INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO

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1 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO LICENCIATURA EM ENGENHARIA E ARQUITECTURA NAVAL HIDRODINÂMICA EXERCÍCIOS RESOLVIDOS JAC Falcão de Capos 6-7

2 Capítulo Aplicação da Análise Diensional a Probleas de Hidrodinâica Ensaios co Modelos Reduzidos Ondas de pequena aplitude propaga-se e água pouco profunda h λ << co ua celeridade V p (velocidade da fase) independente do seu copriento de onda Aplique a análise diensional para ostrar que, nessas circunstâncias, V p (gh) e que o período T λ ( gh) Deterine qualitativaente a variação do copriento de onda que ocorre quando ondas de u certo período constante se aproia de ua praia de profundidade decrescente Resolução: A variável cujo efeito se pretende caracterizar é a profundidade h Toando coo variável dependente a celeridade V p e atendendo a que esta é independente do copriento de onda, te-se V p f ( A, h, g, ρ) Seleccionando coo variáveis priárias h, g e ρ obtê-se os grupos adiensionais / π V p ( gh) e π A / h e a análise diensional perite estabelecer que V p A f ( ) / ( gh) h Para ondas de pequena aplitude, A / h <<, te-se de onde se deduz que V p f () const, / ( gh) / V p (gh) A variação do período pode obter-se da relação V p λ / T, o que perite obter / T λ ( gh)

3 Se o período for constante e a profundidade diinuir, a relação anterior ostra que o / copriento de onda se reduz de acordo co λ h 3

4 Deterine os valores áios da densidade e do peso de u corpo esférico co,5 de diâetro adissíveis para que a sua velocidade final descendente não eceda,3 /s quando largado e água salgada à teperatura de 5 C Se a densidade do corpo for conhecida co u erro relativo de ±%, co que erro poderá ser conhecida a velocidade final descendente? Resolução: U corpo e queda nu fluido atinge a velocidade final constante quando as forças que actua sobre o corpo se encontra e equilíbrio E rigor, esta velocidade terinal só se atinge assiptoticaente para u tepo infinito No entanto, ao fi de u intervalo de tepo finito podeos considerar que a velocidade é praticaente igual à velocidade final Assi, a esfera atinge a velocidade final quando I + D P, e que I é a força de ipulsão, D a resistência viscosa e P o peso A força de ipulsão é igual ao peso do volue de líquido deslocado V I ρgv, () e que ρ é a assa específica do líquido e g a aceleração da gravidade O peso do corpo é P ρc gv, () e que ρ c é a assa específica do corpo Se designaros por d o diâetro do corpo, o volue deslocado é V π d 3 (3) 6 A resistência viscosa e escoaento estacionário será D CD ρ U S, (4) e que esfera C D é o coeficiente de resistência, U a velocidade e S πd / 4 a área frontal da 4

5 Substituindo (), (3) e (4) e () obté-se ρ c 3 U + C D ρ 4 gd (5) Para a deterinação do valor áio de assa específica do corpo co a equação (5) é necessário deterinar o coeficiente de resistência da esfera O coeficiente de resistência depende apenas do núero de Reynolds CD CD (R) (6) estando esta curva disponível através dos resultados eperientais da Fig 5 A viscosidade cineática da água salgada à teperatura de 5º C é 6 υ,56 s (Tabela A) O núero de Reynolds será Ud,3 s,5 R,96 6 υ, 56 s 5 e o coeficiente de resistência correspondente na Fig 5 é C D,5 Substituindo U,3 / s, g 9,8 / s e d,5 / s e (5) obté-se ρ c ρ Dado que para a água salgada a 5º C O peso será 3 (,3) +,5,69 4 9,8,5 3 ρ 7,6 Kg /, te-se 3 c 34,7 Kg / ρ 3 P ρ c gv 34,7 9,8 π,5 / 6 N 663,6 N Resolvendo a equação (5) e orde à velocidade ve U 4 3 gd C D ρ c ρ 5

6 Utilizeos a fórula de propagação de erros relativos para deterinar o erro relativo de U, sabendo que ρ c / ρ d te u erro relativo de ± % Assi, o erro relativo da velocidade será e( U ) e( d ) e( d ) ( d ) E( d) d d e( d) Calculando co d ρ c / ρ 34,7 /7,6,7 ve e ( U ),5 (,7 /,7),, 7, ou seja 7% 6

7 3 A resistência de u subarino de investigação oceanográfica de 9 de copriento vai ser deterinada a partir de ensaios nu túnel aerodinâico co u odelo de,5 de copriento e área olhada, A força de resistência edida co o odelo no túnel aerodinâico à velocidade de 3 /s é de 7,9 N, sendo a teperatura do ar de 5 C Para o subarino protótipo ierso a grande profundidade e água salgada a 5 C, deterine: a) a velocidade do subarino para a qual se pode deterinar a sua resistência co a aior eactidão b) a elhor estiativa possível da sua resistência se a sua velocidade for de /s Indique se esta estiativa poderá ser elhorada auentando ou diinuindo no ensaio a teperatura do ar no túnel Resolução: As assas específicas e as viscosidades cineáticas dos fluidos do protótipo e do odelo são dadas na tabela seguinte para as respectivas teperaturas: Teperatura (º C) 3 ρ ( Kg / ) υ ( / s ) Ar 5,84 5,55 Água salgada 5 5,9 6,9 a) A resistência do subarino será prevista co a aior precisão para a velocidade à qual se obté seelhança dinâica entre os dois escoaentos, ou seja, para a velocidade à qual ocorre a igualdade dos núeros de Reynolds no odelo e no protótipo: U sls υ s U l υ Resolvendo e orde a U s e substituindo valores te-se U s l 6,5,9 υ s s U 3s,384s 9 5 l,55 s υ s b) À velocidade de / s do subarino não se verifica condições de seelhança dinâica entre o odelo e o protótipo Co efeito, o núero de Reynolds do odelo é R U l υ 3s,5 5,55 s 6,9 7

8 e o núero de Reynolds do subarino é Rs U sls υs s 9 6,9 s 7,5 Podeos proceder à etrapolação da resistência recorrendo à fórula da ITTC Decopoos a resistência nas coponentes de atrito e de pressão Assi, teos para o subarino e para o odelo CD S ( RS ) CF ( RS ) + CP, CD ( R ) CF ( R ) + CP Subtraindo as duas equações anteriores, podeos escrever A fórula da ITTC CDS ( RS ) CD ( R ) CF ( R ) + CF ( RS ) CF ( R ) 75, (log R ) fornece para o subarino e para o odelo, co os respectivos valores do núero de Reynolds,,75,75 C F ( R ),3766, C F ( RS ), 796 (log R ) (log RS ) O coeficiente de resistência total no caso do odelo calcula-se a partir do ensaio C D D 7,9N 3 ρu S,84Kg (3s ),,36 Assi, te-se C D S,36,3766 +,796,39 8

9 Para o cálculo da resistência do subarino precisaos da área olhada do subarino Esta pode obter-se da relação entre as áreas do protótipo e do odelo, válida para corpos geoetricaente seelhantes, SS S l S, l isto é ls 9 SS S, 43, l,5 A resistência será DS CD S 3 ρsu S SS,39 5,9Kg (s ) 43, 9,6N A previsão da resistência seria elhorada auentando o núero de Reynolds do teste no túnel aerodinâico Este auento podia ser obtido diinuindo a viscosidade do ar, o que se consegue reduzindo a teperatura do ar no túnel 9

10 4 Pretende-se deterinar a resistência de u navio de de copriento à velocidade de nós e água salgada a 5 C, recorrendo a u ensaio de resistência nu canal de ensaios de reboque de u odelo reduzido do navio co de copriento A teperatura da água doce do canal é de 5 C A superfície olhada do navio é de 6 e o seu deslocaento é de 9 MN Nestas condições deterine: a) o peso do odelo b) a área olhada do odelo c) a velocidade de reboque que deve ser utilizada no ensaio de resistência d) ua estiativa da resistência do navio utilizando a linha da ITTC, sabendo que a força de resistência edida no odelo foi de,6 N e) a velocidade do odelo à qual se verificaria a igualdade do núero de Reynolds entre o odelo e o navio Resolução: a) O peso do odelo é igual ao deslocaento do odelo, isto é P ρ gv, e que ρ é a assa específica da água doce, g a aceleração da gravidade e V o volue de água deslocado do odelo Te-se P PS ρ ρ gv S gvs ρ l 3 ( ) ρs ls de onde se pode escrever P ρ l 3 ( ) ρs gvs ρs ls 999, ( 5,9 3 6 ) 9 N 85, N b) A partir das condições de seelhança geoétrica entre o navio e o odelo, te-se que a relação entre as áreas olhadas do odelo e do navio deve ser igual ao quadrado da relação entre os coprientos: S SS l ls Logo

11 l S SS 6,6 l S c) O ensaio de resistência é realizado ao eso núero de Froude do navio: U U F S FS gl gls Logo l U U S,55 / s,3 / s ls d) A força de resistência edida no odelo é D,6 N O coeficiente de resistência adiensional do odelo baseado na área olhada é C D D ρu S,6 N 3 999, Kg,3 s,6,53 O coeficiente de resistência total decopõe-se no coeficiente de resistência de atrito, que é só função do núero de Reynolds, e no coeficiente de resistência residual, que é apenas função do núero de Froude Para o odelo e para o navio CD CF ( R ) + CR ( F ) CD S CF ( RS ) + CR ( FS ) Coo os núeros de Froude são idênticos no navio e no odelo, Logo, F FS CR ( F ) CR ( FS ) CDS CD CF ( R ) + CF ( RS ) Os coeficientes de resistência de atrito para o odelo e para o navio deterina-se a partir da fórula da ITTC, ua vez calculados os respectivos núeros de Reynolds Para o odelo

12 R U l υ,3 s 6,4 s 6,87 e,75 C F ( R ) (log R ),44 Para o navio RS U SlS υs,3 s 6,9 s 9,73 e,75 C F ( RS ) (log RS ),43 Assi, o coeficiente de resistência do navio será C,53,44 +,43,3 D S A resistência do navio será DS CD S 3 ρsu S SS,3 5,9 Kg,3 s 6 7,575 5 N e) Á igualdade dos núeros de Reynolds iplica R RS U l υ U SlS υs donde ls υ 6,4 U ( )( ) U S ( ) ( ),3 / s 986,7 / s l υs 6,9

13 5 U aerobarco co u peso de N é sustentado por duas asas ("hydrofoils") idênticas co secções co a fora de perfis NACA 63-4 operando a u ângulo de ataque de 3 Sabendo que a corda das secções é constante e igual a,5, e utilizando os coeficientes de sustentação da figura 6, calcule a envergadura das asas necessária para sustentar o navio à velocidade de nós Resolução: A velocidade do navio é de U,55,3 / s Da Fig 6 obté-se o coeficiente de sustentação C L, 6 de u perfil NACA 63-4 ao ângulo de ataque α 3º Por definição do coeficiente de sustentação L C L, ρ U l e que L é a sustentação por unidade de envergadura, te-se L C 3 L ρ U l,6 5,9 Kg,3 s,5 636 N / A sustentação total será L L b, e que b é a envergadura da asa A sustentação requerida para cada hydrofoil é de L / N 5 N, logo, a envergadura b L 5 N,3 L 636 N 3

14 6 Considere ua hidro-asa ("hydrofoil") que se desloca na horizontal e água salgada à profundidade de e relação à superfície livre a) Se o núero de cavitação crítico para o início de cavitação for de σ,, deterine a velocidade ínia a que ocorre cavitação b) Para u odelo à escala de / da hidro-asa operando co o eso núero de Froude, calcule a pressão abiente à superfície livre nu canal de reboque e "vácuo" (canal fechado e que se reduziu a pressão abiente do ar acia da superfície livre co bobas de vácuo) necessária para se obter o eso núero de cavitação do protótipo Adita nua gaa de teperaturas de a 3 C a teperatura enos favorável possível para o protótipo e a ais favorável possível para o odelo no canal de reboque e "vácuo" Resolução: a) O núero de cavitação de início de cavitação é σ i, A gaa de teperatura no protótipo é de º C a 3º C A situação ais desfavorável no protótipo corresponde à situação e que a cavitação se inicia a ua velocidade da asa ais baia Seja U i a velocidade da asa para a qual se inicia a cavitação Te-se Resolvendo e orde a U i te-se σ i p p ρu v i U i ( p p ) ρσ i v O valor ais baio da velocidade U i ocorre para o valor áio de p v, isto é, à teperatura de 3º C A esta teperatura a pressão do vapor é p v 43 Pa e a assa 3 específica é ρ,7 Kg / A pressão do escoaento de aproiação é p pat + ρgh, e que h é a iersão Co h e, Pa te-se p at p, Pa +,7 Kg 9,8s, Pa 5 Logo 4

15 5 (, 43) U i 45,7 / s,7, b) A teperatura ais favorável para o odelo será a que corresponde a ua pressão de vapor aior, ou seja, 3º C, pois essa situação corresponde a ua aior pressão abiente p, requerida no ensaio para se atingir o núero de cavitação de início de cavitação no protótipo Assi, para a água doce ρ 995,6 Kg / e p 43 Pa 3 v O ensaio deverá ser realizado co o eso núero de Froude: deterina a velocidade no odelo F F Esta condição S U l U S 45,7 / s 4,46 s l / S O ensaio é realizado co o eso núero de cavitação de início de cavitação que o protótipo: σ σ, Esta condição deterina i is p p v 3 σ i 4,46 s + ρu 43 Pa + 995,6 Kg, 4638,6 Pa A pressão à superfície livre obté-se de p a p ρ gh Por condições de seelhança geoétrica te-se h h S l l S Logo h /, e te-se p a ,6 Pa 995,6 9,8, Pa,366 Pa 5

16 7 U odelo de u veleiro é rebocado a ua velocidade U, fazendo o seu eio de sietria longitudinal u pequeno ângulo de ataque α co a velocidade de reboque U Durante o reboque as coponentes de resistência (na direcção da velocidade do reboque U) e lateral (na direcção perpendicular a U) da força eercida sobre o casco são edidas separadaente a) Se o casco do veleiro for considerado coo ua hidro-asa ("hydrofoil") vertical na presença da superfície livre, escreva as leis de seelhança (relações entre os parâetros adiensionais) apropriadas para cada coponente da força Distinga os parâetros adiensionais que deveria ser respeitados e princípio e aqueles ais iportantes que deverão sê-lo nu ensaio co u odelo reduzido b) Os resultados do ensaio de reboque e água doce (5 C) de u odelo de de copriento e área olhada,5 à velocidade de,4 /s fora de N para a coponente de resistência e de 8 N para a coponente lateral Quais a velocidade e as estiativas das coponentes da força correspondentes para u veleiro de de copriento e água salgada (5 C)? Resolução: α U δ U v D L a) Para o veleiro co ua dada fora podeos dizer que a sua sustentação e resistência depende da velocidade U, do copriento l, do ângulo de ataque α, da assa 6

17 específica ρ, da viscosidade υ e da aceleração da gravidade g Estas dependências eprie-se na fora L f ( U, l, α, ρ, υ, g), D f ( U, l, α, ρ, υ, g) Aplicando a análise diensional obteos a relação entre núeros adiensionais L D C L f ( α, R, F), C D f ( α, R, F) ρu S ρu S Ul U E que R é o núero de Reynolds e F o núero de Froude υ gl Os parâetros adiensionais que deverão ser respeitados e princípio no ensaio do odelo são o ângulo de ataque, o núero de Reynolds R e o núero de Froude Isto é, o ensaio de reboque deveria ser feito co α αs, R Rs e F Fs, e que o índice diz respeito ao odelo e o índice s ao veleiro Dada a ipossibilidade prática de igualar siultaneaente os núeros de Reynolds e os núeros de Froude entre o veleiro e o seu odelo, apenas se respeitará a igualdade do ângulo de ataque e do núero de Froude b) Calculeos os coeficientes de sustentação e resistência do odelo no ensaio de 3 reboque Co a assa volúica da água doce a 5º de ρ 999, kg/, a área olhada S, 5 e à velocidade do odelo U,4 /s, ve C L L 8 N, 9 ρ 3 999, kg/,4 /s,5 U S e C D D N, 68 ρ 3 999, kg/, 4 /s,5 U S O ensaio à escala do odelo corresponde à velocidade do veleiro que respeita a igualdade do núero de Froude, isto é, F Fs Igualando os núeros de Froude para o veleiro e o seu odelo, obteos a velocidade do veleiro: U s ls U, 4 /s3,3 /s l Para a etrapolação da sustentação do veleiro aditios que o núero de Reynolds não influencia a força de sustentação Coo α α s e F F s, te-se CL C s L Nesse caso a sustentação de veleiro será 7

18 3 S L ρ s s s s L C U S,9 5,9 kg/ 3,3 /s 37, N Ua vez que a área do veleiro é S s ls ( ) S ( ),5 37,5 l E a assa específica da água salgada a 5º C 3 ρ s 5,9 kg/ Para a etrapolação da resistência, considerareos o efeito da variação do núero de Reynolds Co efeito, o núero de Reynolds do odelo é R Ul υ,4 s -,4 s 6 6 -,46 e o núero de Reynolds do veleiro é R s Ul s s υ,9 s s - 3,3 s 7 6 -,63 Podeos proceder à etrapolação da resistência recorrendo à fórula da ITTC Decopoos a resistência nas coponentes de atrito e residual Assi, teos para o veleiro e para o odelo C ( R ) C ( R ) + C ( α, F ), DS S F S R S S C ( R ) C ( R ) + C ( α, F ) D F R Subtraindo as duas equações anteriores, podeos escrever A fórula da ITTC CDS ( RS ) CD ( R ) CF ( R ) + CF ( RS ) CF ( R ) 75, (log R ) fornece para o veleiro e para o odelo, co os respectivos valores do núero de Reynolds, 8

19 ,75 CF( R),389 (log R ),75 ( ),553, CF RS (log RS ) Assi, te-se A resistência será C, 68, 389 +, 553, 5463 D S -3 - DS CD ρ, ,9 Kg (3,3 s ) 37,5 3,3 N S SUS SS 9

20 8 Nu escoaento de ua corrente à velocidade de nós observou-se ua vibração e ressonância de u cabo cilíndrico de secção circular colocado co o seu eio perpendicular à direcção da velocidade da corrente O diâetro do cabo é de c Deterine a frequência natural do cabo A velocidades ais elevadas a aplitude das vibrações tenderá a diinuir ou a auentar? Justifique Resolução: A observação da vibração e ressonância indica que a frequência de libertação de vórtices é igual à frequência natural do cabo Nas condições do escoaento deterineos a frequência de libertação de vórtices Sabeos que o núero adiensional de Strouhal é apenas função do núero de Reynolds para u corpo co ua dada fora e que é o núero de Reynolds fl S U Ul R υ Para cilindros co secção circular verifica-se S(R) S,3 C D e que C D é o coeficiente de resistência do cilindro e que é função do núero de Reynolds Este te o valor Ud R υ 5,5 s, 6 s 5,3 O coeficiente de resistência a este núero de Reynolds retira-se da Fig, obtendo-se Logo C, D S,3

21 A frequência calcula-se a partir do núero de Strouhal f U S d 5,5 s,3, 59, s 59, Hz Se a velocidade da corrente auentar a frequência de libertação de vórtices auenta, tornando-se superior à frequência natural do cabo e a aplitude das vibrações tenderá a diinuir Neste raciocínio aditiu-se que o núero de Strouhal se anteve constante, isto é, que no auento de núero de Reynolds que se obté quando se auenta a velocidade, o coeficiente de resistência não se alterou

22 9 U corpo esférico co u volue de,5 3 e densidade igual a etade da densidade da água salgada encontra-se ierso e ancorado ao fundo do oceano através de u cabo de de copriento a) Desprezando todas as forças hidrodinâicas as incluindo a força de ipulsão no corpo, deterine a força de tensão que se eerce no cabo e o período natural de oscilação do sistea cabo e corpo, que funciona coo u pêndulo invertido b) Deterine qualitativaente a fora coo a força de inércia resultante da assa adicionada influencia o período natural do sistea c) Deterine o deslocaento na horizontal do corpo e o ângulo do cabo co a vertical se o corpo estiver sujeito a u escoaento estacionário de corrente co a velocidade de,5 nós Resolução: a) Na situação de equilíbrio hidrostático o corpo encontra-se sujeito às forças de ipulsão I, do peso P e da tensão no cabo T Necessariaente estas encontra-se e equilíbrio: A ipulsão é T + P I ρgv e que ρ é a assa específica do fluido, g a aceleração da gravidade e V o volue de fluido deslocado pelo corpo O peso é dado por I P ρb gv e que ρ b é a assa específica do aterial do corpo A força de tensão no cabo será assi T I P ρgv ρ gv b ρ ρgv ( b ) ρ Substituindo valores, co ρ b ρ, 5 ve T kg 9,8s,5 (,5),5 N A equação do oviento do pêndulo invertido, desprezando todas as forças hidrodinâicas será

23 d θ l ( I P)sinθ, dt e que é a assa do corpo e l o copriento do cabo Aditindo pequenas oscilações, sin θ θ, ve A solução da equação é da fora d θ I P + θ dt l d θ + ω θ dt θ θ cosω t e que ω π T é a frequência natural, T o período natural e θ a aplitude das oscilações No caso do pêndulo invertido que estaos a considerar te-se ω I P l ρgv ( ρb / ρ) ρbvl g( ρb / ρ) ( ρb / ρ) l Substituindo valores, obté-se 9,8 (,5) - s, 99 s,5 ω O período natural será π π T s 63, 4 s ω,99 b) Se consideraros o efeito de assa adicionada tereos ω I P ρgv ( ρb / ρ) g( ρb / ρ) ( + ) l ( ρbv + ) l ρb ( + ) l ρ ρv 3

24 Verifica-se que o efeito de assa adicionada ( > ) auenta o denoinador da equação anterior reduzindo a frequência natural das oscilações e auentando o período natural das oscilações Se aditiros para a esfera ρv ve E para o período natural g( ρb / ρ) 9,8 (,5) s, 7 s ρb (,5 +,5) ( + ) l ω ρ π π T s 89, 8 s ω,7 c) Para o corpo sujeito à acção da corrente de velocidade U, o desvio angular estacionário θ é dado pela equação de equilíbrio de forças e que D é a força de resistência do corpo ( I P) tanθ D A força de resistência calcula-se a partir do coeficiente de resistência da esfera através de D CD ρu ( πr ) e que r é o raio da esfera Calculando o raio da esfera a partir do volue dado, te-se e substituindo valores ve O coeficiente de resistência 3 V r 3 4 π 3,5 r 3, 49 4 π C D é função do núero de Reynolds Ud R, e que d é ν o diâetro do corpo e ν a viscosidade cineática do fluido Calculando o núero de Reynolds, te-se 4

25 ,58s,984 5 R,4 6,5 s Da Fig5 obteos C D, 5 e a resistência será D,5 O desvio angular será -3 5 kg,58 s π,49,97 N tan θ I D P Calculando ρb I P ρ gv ( ) 5 9,8,5 (,5) N 5,3 N, ρ e tanθ,97 5,3 3 5,64 ou θ,96º O deslocaento horizontal é l sin θ sin(,96º ) 5, 65 5

26 Ua bóia cilíndrica co de altura flutuando livreente e ondas conté u aceleróetro que perite deterinar o oviento de arfage (oviento linear vertical) e relação a u referencial de inércia Co base no gráfico da figura 3, deterine a gaa de coprientos da onda incidente para a qual esta bóia pode edir a altura da onda co ua precisão de % Adita que a aplitude da arfage da bóia pode ser edida co ua precisão de,5 Resolução: Seja y a a aplitude do oviento de arfage da boia Vaos aditir que esta aplitude (calculada, por eeplo, a partir das edições de u aceleróetro por integração) pode ser obtida co ua precisão de,5 Te-se ya f, A e que ( λ f f ), para este caso de acordo co a Fig 3 A aplitude será l ya A f Vaos aditir que f é conhecido co eactidão Assi te-se A ya f e Para que A A < ter-se-á que ter A A ya f A λ y f ( ) a > l, A,5, A o que depende de A Assi podeos construir a tabela a partir da Fig 3 6

27 A () f 5,5,5,5,5,5 λ l λ () 5,5< λ l <8 4,8< λ l < 4< λ l 3,5< λ l,5< λ l < λ <6 9,6< λ <4 8< λ 7< λ 5< λ 7

28 Capítulo 3: Escoaento de u Fluido Viscoso Teoria da Caada Liite Verifique se o escoaento de Couette entre duas placas planas paralelas à distância h co o perfil de velocidades dado por: dp u d y y h U ( ) + h y, µ < y< h, e que U é a velocidade da placa y h, dp d é o gradiente longitudinal de pressão, µ a viscosidade do fluido e y a distância noral às placas, é ou não ua solução eacta das equações de caada liite co as respectivas condições de fronteira Resolução: As equações de caada liite escreve-se As condições de fronteira são as seguintes: u v +, y (3) u u dp u u + v + ν y ρ d y (33) u v para y, (34) u U () para y, (35) Verifiqueos se a solução de Couette satisfaz estas equações: a) A equação da continuidade é identicaente satisfeita já que u u( y) e v u v Assi e y b) Na eq (33) da quantidade de oviento segundo os teros convectivos são identicaente nulos Calculeos o tero difusivo Te-se u dp ( y h) U u dp µ + e Substituindo na eq (33) co ν, y µ d h y µ d ρ verificaos que a equação é satisfeita A solução verifica u v e y, o que satisfaz a eq (34) Co y h te-se u U, o que satisfaz a eq (35) se entendeos que y h corresponde à espessura da caada liite 8

29 Considere o escoaento bidiensional lainar sobre ua placa plana y, co gradiente de pressão nulo ( dp d ), e u perfil de velocidades dado por: Cy u U ( e ), v V <, e que U, V e C são constantes, sendo V negativa, e y é a distância noral à placa a) Mostre que, para deterinados valores da constante C, este escoaento é ua solução eacta das equações de caada liite b) Quais são as condições de fronteira apropriadas a este escoaento? c) Que tipo de escoaento real poderá ser aproiadaente descrito por aquele escoaento? Resolução: a) As equações de caada liite escreve-se u v +, y (3) u u dp u u + v + ν y ρ d y (33) Calculeos os teros das equações para a solução apresentada: Equação da continuidade (3): A equação da continuidade é identicaente satisfeita já que u u( y) e v V que é u v constante Assi e y Equação da quantidade de oviento segundo (33): u Cy u Cy UCe e UCe Substituindo e (33), e tendo e atenção que o y y gradiente longitudinal de pressão é nulo, dp d, te-se V U Ce ν U C e cy cy ( ) ( ) Resolvendo e orde à constante C, ve V C < ν b)as condições de fronteira apropriadas a este escoaento são: u e v V e y, 9

30 e u U para y c) Esta solução representa o escoaento sobre ua placa infinita co sucção unifore aplicada sobre a placa 3

31 3 Ua placa plana fina co l e largura b 3 está alinhada co u escoaento co velocidade U /s Deterine a força de resistência de cada face da placa e as * espessuras da caada liiteδ, de deslocaento δ e de quantidade de oviento θ nos seguintes casos: a) Ar co ρ,3 Kg/3, ν,46-5 /s b) Água co ρ Kg/3, ν, -6 /s Resolução: As epressões para a resistência da placa, espessuras de deslocaento e de quantidade de oviento que se obtê da solução de Blasius para ua caada liite lainar sobre ua placa plana são dadas por: C F,38R, (354) * ν δ,7( ),7R U (343) ν θ,664( ),664R U (344) U E que R é o núero de Reynolds baseado na distância ao bordo de ataque da ν Ul placa e R o núero de Reynolds baseado no copriento da placa Na ν etreidade da placa θ,664lr l, te-se R R e, necessariaente, Podeos construir ua tabela para os casos da água e do ar: Fuido 6 R δ l δ () * 3 δ l * δ () * δ, 7lR e 3 θ l θ () 3 C F a) Ar 3,7,3,3 4,67,467,79,79 3,59,7 b) Água,96,35,35,3,3,474,474,949 5,69 D (N) 3

32 4 Considere u perfil parabólico para a caada liite lainar sobre ua placa plana dado por: u y y U δ ( δ ), e que u é a velocidade paralela à placa, U é a velocidade do escoaento eterior, y a distância noral à placa e δ a espessura da caada liite * a) Calcule a espessura de deslocaento δ /δ, a espessura de quantidade de oviento δ / θ e o factor de fora H b) Aplique a equação integral de von Kárán para deterinar a variação da espessura da * caada liite δ / Calcule as variações de δ /, θ / e do coeficiente de tensão de corte na parede C f τ w /(/ ρu ) ao longo da placa ( τ w é a tensão de corte na parede e ρ a assa específica do fluido) Resolução: a) As espessuras de deslocaento e de quantidade de oviento define-se coo O factor de fora do perfil de velocidades define-se coo * u δ ( ) dy (34) U u u θ ( ) dy (34) U U δ * H (345) θ Na definição de u perfil de velocidades aproiado de fora polinoial o intervalo que define a espessura da caada liite é y δ, e que δ é a espessura da caada liite Assi as fórulas (34) e (34) são substituídas por δ * δ u ( ) dy U δ u u θ ( ) dy U U 3

33 Substituindo a equação do perfil de velocidades u U te-se y y ( ), nas equações anteriores, δ δ e δ * y y δ + ( ) dy δ δ δ y y y y ( ) ( ) dy δ δ δ δ θ + Para facilitar a escrita dos integrais é conveniente introduzir a udança de variável y Assi, ve δ * y e δ δ * * * * * * * 3 y + ( y ) dy y ( y ) + ( y ) 3 3 * * * * * * * * 3 * 4 * θ y ( y ) y ( y ) dy y 5( y ) 4( y ) ( y ) dy δ + + * 5 * 3 * 4 * 5 5 ( y ) ( y ) + ( y ) ( y ) ( + ) O factor de fora será H * δ /3 5,5 θ /5 b) A equação integral de von Kárán escreve-se d θ du C f + θ ( H + ) d U d (369) No caso de ua placa plana co gradiente de pressão nulo E te-se du d C f dθ d 33

34 Calculeos para o perfil aproiado de velocidades a tensão de corte na parede Ve u τ w µ ( ) y y Substituindo o perfil de velocidades, te-se u U y U τ w µ ( ) y µ ( ) µ y δ δ δ y O coeficiente de tensão de corte na parede é C f τ w, (349) ρu E o tero na equação integral de von Kárán será C f τ w ν ρu Uδ Substituindo a equação anterior e a relação da espessura da quantidade de oviento θ δ obtida na alínea a) na equação integral de von Kárán ve 5 dδ ν 5 d Uδ Esta equação diferencial ordinária para δ ( ) pode ser integrada e a partir do bordo de ataque da placa co a condição inicial δ ( ) Assi, separando variáveis, te-se δ ν δdδ 5 d U Ou ν δ 5 U Resolvendo e orde a δ, obté-se 34

35 ν δ 3 U Dividindo por a equação anterior ve a espessura da caada liite adiensionalizada pela distância ao bordo de ataque da placa: δ ν / 5, 48 5, 48R U U E que R é o núero de Reynolds baseado na distância ν * As variações de δ /, θ / e do coeficiente de tensão de corte na parede C f τ w /(/ ρu ) ao longo da placa pode ser facilente obtidas: Dado que δ δ, ve 3 * E θ δ ve 5 δ * 5, 48 / / R, 83R 3 θ / / 5,58R, 73R 5 O coeficiente de tensão de corte na parede será C f d / θ,73 ν,73r d U 35

36 4a Para o escoaento e torno de u cilindro de raio R coo o que se encontra ilustrado na Figura junto, a solução teórica de fluido perfeito é dada por U( ) U sin( ), e que U é a velocidade do escoaento de aproiação e a R distância edida a partir do ponto de estagnação Utilizando o étodo de Thwaites deterine a localização do ponto de separação lainar sep R e copare co a solução nuérica de Terrill (96), 83 R (4,5º) sep Resolução A solução do étodo de Thwaites é dada por, 45ν 5 θ θ + U d (378) 6 U E que θ é a espessura da quantidade de oviento, ν a viscosidade cineática e θ o valor inicial da espessura de quantidade de oviento que no caso de u ponto de estagnação é dado por θ ( du d),75ν, (377) Substituindo a distribuição de velocidade sobre o cilindro na eq (378), te-se, 45ν θ U U sin ( / R) θ + sin ( / R) d É conveniente introduzir a variável γ que corresponde ao ângulo e radianos R edido a partir do ponto de estagnação Assi, te-se γ, 45ν R 5 sin 6 U sin γ θ θ + γdγ O integral pode calcular-se (a partir de ua tabela de integrais) na fora γ sin d cos cos 3 cos 5 γ γ γ + γ γ cosγ + cos 3γ cos 5γ +, γ 36

37 Logo, 45ν R ( cos + cos 3 cos 5 +,53333) θ θ γ γ γ 6 U sin γ O parâetro do gradiente de pressão no étodo de Thwaites define-se coo θ du λ (37) ν d Ou, e teros da variável γ θ du θ λ U cosγ νrdγ νr Substituindo a epressão de θ na equação anterior, ve θ du, 45cosγ 5 5 λ ( cosγ cos 3γ cos 5γ,53333) 6 ν d + sin γ Coo de (377) se te du ν d θ,75, (377) Obté-se du θ du θ du d, 75cosγ, (377) ν d ν d du d Logo, 45cosγ 5 5 λ, 75cos γ + ( cosγ + cos 3γ cos 5γ +,53333) γ 6 sin A separação ocorre quando,9 λ Calculando para diferentes valores de γ, podeos construir ua tabela 37

38 γ (º) λ,44 -,34 -,733 -,94 -,57 O valor interpolado entre º e º será de,8º, que se copara razoavelente co o valor de Terrill de 4,5º 38

39 5 Considere ua caada liite turbulenta sobre ua placa plana co gradiente de pressão nulo a) Mostre que a distribuição de velocidade dada por: u uτ y C( ) n, uτ ν e que C é ua constante, u τ é a velocidade de atrito, y a distância à parede e ν a viscosidade cineática, conduz a ua representação do tipo potência u y ( ) n, U δ para o perfil de velocidades na caada liite de espessuraδ b) Utilizando a distribuição de velocidades de tipo potência, deterine a espessura de * deslocaento δ / δ, a espessura de quantidade de oviento θ / δ e o factor de fora H c) Co C 8, 7 e n 7, aplique a equação u uτ y C( ) n, uτ ν e a equação integral de von Kárán para deduzir ua equação para o cresciento da espessura da caada liite turbulenta sobre ua placa plana * d) Co os resultados da alíneas b) e c), deterine as variações de δ /, θ / e do coeficiente de tensão de corte na parede C f τ w /(/ ρu ) ao longo da placa Resolução a) Se aditiros que a distribuição de velocidade u uτ y C ( ) n u ν É válida até à espessura da caada liite, te-se u τ U para y δ, donde U u C τδ ( ) n u ν τ Das duas equações anteriores obté-se u u U y / ( ) n U u u τ τ δ 39

40 b) As espessuras de deslocaento e quantidade de oviento são dadas por δ * δ u ( ) dy U δ u u θ ( ) dy U U Substituindo o perfil de tipo potência nas fórulas anteriores e udando a variável de integração para y, te-se δ * y e * δ * * * + * n n ( y ) dy y ( y ) δ (/ n) n n θ * * * * * n n n n * ( y ) ( y ) dy ( y ) ( y ) dy δ + * + n * n n n n ( y ) ( y ) (/ n) + ( / n) + n+ n+ ( + n)( + n) O factor de fora será H * δ + θ n c) A tensão de corte na parede é τ w u τ ρ Resolvendo U u C τδ ( ) n u ν τ e orde a u τ, co C 8, 7 e n 7, ve 8 7 τ u δ 7 U( ) 8,7 ν 4

41 E 7 4 Uδ 4 Uδ 4 uτ ( ) U ( ),7 U ( ) 8,7 ν ν A tensão de corte na parede será Uδ 4 τw ρuτ,7 ρu ( ) ν E o coeficiente de tensão de corte na parede C f τw Uδ 4,454( ) (/ ) ρu ν A equação integral de von Kárán, escreve-se para gradiente de pressão nulo du d : C f dθ d Substituindo θ 77δ e a epressão para C f, te-se 7 dδ Uδ 4,7( ) 7 d ν Separando as variáveis U 4 4 δ dδ, 335( ) d ν Integrando entre a condição inicial δ δ e e ua estação genérica onde a espessura é δ, te-se δ U 4 4 δ dδ, 335 ( ) d ν δ ou 5 5 U δ δ +, 99( ) ( ) ν 4

42 No caso de ua caada liite turbulenta a partir do bordo de ataque da placa e que δ e, ve U 5 δ,3734( ) ν ou δ,3734r 5 U co R ν d) Dado que para n 7 se te δ * δ 8 e θ 7 δ 7 Te-se no caso da caada liite turbulenta a partir do bordo de ataque e δ,467r * 5 θ,363r O coeficiente de tensão de corte na parede será 5 C f R 5,58 4

43 6 Deterine a espessura da caada liite e a tensão de corte na parede nua secção à distância do bordo de ataque de ua placa plana a u núero de Reynolds 6 Re U / ν nos seguintes casos: a) Caada liite lainar (perfil de Blasius) b) Caada liite turbulenta (perfil de potência /7) Utilize os resultados das alíneas a) e b) para esboçar os correspondentes perfis de velocidade u / U f ( y) e que y é a distância à parede na direcção noral Resolução a) para ua caada liite lainar * δ, 7R C,664R f Para Re / 6 U ν, ve δ * 6 3, 7R, 7 ( ), C f,664 ( ),664 b) para ua caada liite turbulenta * δ 5,467R 5 C,58R f Para Re / 6 U ν, ve δ * 6 5 3, 467 ( ), ,58 ( ) 3,66 C f Para esboçar os perfis de velocidade fazeos ua estiativa da espessura da caada liite nu e noutro casos c) para ua caada liite lainar 43

44 Para Re / 6 U ν, ve δ 4,9R δ 6 3 4,9 ( ) 4,9 d) para ua caada liite turbulenta δ 5,373R Para Re / 6 U ν, ve δ 6 5,373 ( ),35 Perfis de velocidade 5 5 y () Lainar Turbulento 5-5,,4,6,8, u/u 44

45 7 Para u odelo de navio co de copriento à velocidade de /s, faça ua estiativa da espessura de deslocaento da caada liite à ré do navio, usando os resultados de Blasius para ua caada liite lainar e os resultados do perfil de tipo potência /7 para ua caada liite turbulenta Copare o resultado de δ / l que se obté para o odelo co o resultado correspondente que se obté para u navio de de copriento à velocidade de /s 8 Atendendo às diferenças entre a água salgada e a água doce à esa teperatura, coo varia a espessura da caada liite e a tensão de corte na parede nu navio quando este passa de água salgada para a água doce antendo a esa velocidade? 9 U aparelho de edição de velocidade utilizado frequenteente e ebarcações pequenas consiste nu olinete constituído por ua roda co pás ontadas na sua periferia O eio da roda encontra-se ontado à face do casco do navio, sendo o raio do olinete (distância entre o eio e o "centro" das pás) de c As pás gira e torno do eio por efeito de arrastaento e resposta à velocidade local do fluido e relação ao casco Se u destes olinetes for ontado à distância de 3 da proa do navio, estie a linearidade deste dispositivo para edir a velocidade do navio entre e /s Coente a validade da seguinte afiração: O depósito de cracas ("Barnacles") e outros crescientos arinhos na superfície do casco de u navio não é iportante porque a diensão destes organisos é desprezável e coparação co a diensão do navio Recorrendo às figuras e 3 do livro "Marine Hydrodynaics" de J N Newan faça ua estiativa do efeito do depósito de cracas, co ua diensão característica de, na resistência do protótipo do navio "Lucy Ashton" à velocidade de 5 nós Qual a redução da velocidade do navio aditindo a esa resistência total para as condições lisa e rugosa? 45