APRESENTAÇÃO. Assim, apresentamos-te uma compilação de exercícios de exame / testes intermédios organizados pelos temas abordados no 11.

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2 PRESENTÇÃ Esta publicação dá-te a possibilidade de resolveres alguns itens saídos nos últimos eames nacionais e nos testes intermédios (estes últimos são testes temáticos e periódicos que se realizaram até 0). ssim, apresentamos-te uma compilação de eercícios de eame / testes intermédios organizados pelos temas abordados no.º ano: Trigonometria e Funções Trigonométricas Geometria nalítica Sucessões Funções Reais de Variável Real Estatística ada tema encontra-se organizado em itens de seleção e itens de construção. No final, disponibilizamos-te as soluções de todos os eercícios. Terás ainda à tua disposição, em as resoluções detalhadas destes eer cícios, para te apoiar caso tenhas dúvidas. Esperamos que este livro te seja muito útil. om trabalho!

3 NDIE Eercícios de Eame Tema I Trigonometria e Funções Trigonométricas Itens de seleção... Itens de construção... 5 Tema II Geometria nalítica Itens de seleção... 7 Itens de construção... 9 Tema III Sucessões Itens de seleção... Itens de construção... Tema IV Funções Reais de Variável Real Itens de seleção... 7 Itens de construção... 0 Tema V Estatística Itens de seleção... Itens de construção... Soluções...

4 TEM I Trigonometria e Funções Trigonométricas Tema I Trigonometria e Funções Trigonométricas Itens de seleção. onsidere, em R, a equação trigonométrica cos = 0,9. Em qual dos intervalos seguintes esta equação não tem solução? () π, π () [0, π] π (), π (D) π, π Teste Intermédio de Matemática,.º ano, janeiro de 0. Sejam α, β e θ três números reais. Sabe-se que: α 0, π α + β = π α + θ = π Qual das epressões seguintes é equivalente a senα + senβ + senθ? () senα + cosα () senα cosα () cosα (D) cosα Teste Intermédio de Matemática,.º ano, janeiro de 0. Na figura está representado, num referencial o. n., o círculo trigonométrico. Sabe-se que: é o ponto de coordenadas (, 0); os pontos D e E pertencem ao eio ; E [] é um diâmetro do círculo trigonométrico; as retas E e D são paralelas ao eio ; q θ é a amplitude do ângulo ; θ 0, π. Qual das epressões seguintes representa o perímetro da região sombreada na figura? D () (cosθ + senθ) () cosθ + senθ () ( + cosθ + senθ) (D) + cosθ + senθ Eame Nacional de Matemática, 0,.ª fase. Seja θ um número real. Sabe-se que θ é uma solução da equação sen =. Qual das epressões seguintes designa uma solução da equação sen =? () π θ () π + θ π () θ π (D) + θ Teste Intermédio de Matemática,.º ano, fevereiro de 0

5 TEM I Eercícios de Eame 5. onsidere o triângulo [] representado na figura. Sabe-se que: = Ĉ = 0º h a 0º Seja α = Â = 0º. Qual das epressões seguintes representa, em função de α? () senα () 6senα () cosα (D) 6cosα Teste Intermédio de Matemática,.º ano, fevereiro de 0 6. onsidere o intervalo 5π, π. Qual das equações seguintes não tem solução neste intervalo? 6 () cos = 0,5 () sen = 0,5 () cos = 0,9 (D) sen = 0,9 Teste Intermédio de Matemática,.º ano, março de 0 7. Qual das epressões seguintes designa um número real positivo, para qualquer pertencente ao intervalo π, π? () sen + cos cos () () tg sen (D) sen tg tg Teste Intermédio de Matemática,.º ano, março de 0 8. onsidere, em R, a equação trigonométrica sen = 0,. Quantas soluções tem esta equação no intervalo [ 0π, 0π[? () 0 () 0 () 60 (D) 80 Teste Intermédio de Matemática,.º ano, março de 0 9. Na figura estão representadas, num referencial o.n., a circunferência de centro e a reta r. Sabe-se que: os pontos e pertencem à circunferência; o ponto tem coordenadas (0, ); a reta r é tangente à circunferência no ponto ; o ponto é o ponto de interseção da reta r com a semirreta Ȯ; α é a amplitude, em radianos, do ângulo, com α 0, π. Qual das epressões seguintes representa, em função de α, a área da região a sombreado? senα α tgα α tgα () () () (D) r α α Eame Nacional de Matemática, 0, época especial

6 TEM I Trigonometria e Funções Trigonométricas Itens de construção 0. Determine o valor de, sabendo que α 0, π h e que cos π α = i. tgα j 5 Resolva este item sem recorrer à calculadora. i h j Teste Intermédio de Matemática,.º ano, maio de 0. Na figura está representado um trapézio retângulo [D]. Sabe-se que: = ; D = ; α é a amplitude, em radianos, do ângulo D; D α π, π. Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos... Mostre que o perímetro do trapézio [D] é dado, em função de α, por P(α) = + cosα. senα.. Para um certo número real θ, tem-se que tgθ = 8, com π < θ < π. Determine o valor eato de P(θ). daptado de Eame Nacional de Matemática, 0,.ª fase. Na figura está representado, num referencial o.n., o círculo trigonométrico. s pontos,, e D são os pontos de interseção da circunferência com os eios do referencial. P Q onsidere que um ponto P se desloca ao longo do arco, nunca a coincidindo com nem com. Para cada posição do ponto P, seja Q R o ponto do arco que tem ordenada igual à ordenada do ponto P e seja R o ponto do eio que tem abcissa igual à abcissa do ponto Q. Seja α a amplitude, em radianos, do ângulo orientado que tem por lado D origem o semieio positivo e por lado etremidade a semirreta ȮP h α π, π i. j Resolva os itens seguintes, sem recorrer à calculadora... Mostre que a área do trapézio [PQR] é dada por senα cosα... Para uma certa posição do ponto P, a reta P interseta a reta de equação = num ponto de ordenada 7. Determine, para essa posição do ponto P, a área do trapézio [PQR]. presente o resultado na forma de fração irredutível. i h j Teste Intermédio de Matemática,.º ano, março de 0 5

7 TEM I Eercícios de Eame. Na figura estão representados: o retângulo [D], em que D = e = ; o ponto, ponto médio do segmento [D]; uma semicircunferência de centro no ponto e raio. onsidere que um ponto P se desloca ao longo do segmento de reta [], nunca coincidindo com, mas podendo coincidir com. Para cada posição do ponto P, seja Q o ponto de interseção da reta P com a semicircunferência. h Seja a amplitude, em radianos, do ângulo DQ 0, π i. j Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora. i h j P Q D R.. Mostre que a área do polígono [DQP], representado a sombreado, é dada, em função de, por tg + sen. h.. Para uma certa posição do ponto P, tem-se cos π = i. Determine, para essa posição do j 5 ponto P, a área do polígono [DQP]. presente o resultado na forma de fração irredutível. i h j Teste Intermédio de Matemática,.º ano, março de 0. Na figura está representada uma planificação de uma pirâmide quadrangular regular cujas arestas laterais medem. h Seja α a amplitude, em radianos, do ângulo FSE α π, π i. aresta da j base da pirâmide e, consequentemente, a área de cada uma das faces late - rais variam em função de α. Mostre que a área lateral da pirâmide é dada, em função de α, por cosα. i h j G P Q F S R α E Sugestão: tendendo a que sen(α) = senα cosα, comece por eprimir a área de uma face lateral em função da amplitude do ângulo FSP, que poderá designar por β. H daptado de Teste Intermédio de Matemática,.º ano, abril de 0 5. Na figura estão representados uma circunferência de centro e raio e os pontos P, Q, R e S. Sabe-se que: os pontos P, Q, R e S pertencem à circunferência; P α [PR] é um diâmetro da circunferência; P Q = P S; α é a amplitude, em radianos, do ângulo QPR; α 0, π Q S ; R (α) é a área do quadrilátero [PQRS], em função de α. Para um certo número real θ, com θ 0, π, tem-se que tgθ =. Determine o valor eato de (θ), recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. omece por mostrar que (α) = 6senαcosα. Eame Nacional de Matemática, 0,.ª fase 6

8 TEM II Geometria nalítica Tema II Geometria nalítica Itens de seleção. onsidere, num referencial o.n. z, o plano α, definido por z + = 0. Seja r uma reta perpendicular ao plano α. Qual das condições seguintes pode definir a reta r? () (,, z) = (0, 0, ) + k(,, 0), k å R () = z = () (,, z) = (, 0, 0) + k(, 0, ), k å R (D) (,, z) = (,, 0) + k(, 0, ), k å R daptado de Eame Nacional de Matemática, 0,.ª fase. onsidere, num referencial o.n. z, o ponto, de coordenadas (, 0, ), e o plano α, definido por + = 0. Seja β um plano perpendicular ao plano α e que passa pelo ponto. Qual das condições seguintes pode definir o plano β? () + = 0 () z + = 0 () + z = 0 (D) + = 0 Eame Nacional de Matemática, 0,.ª fase. onsidere, num referencial o.n. z, o ponto, de coordenadas (, 0, ), e o plano α, definido por z =. Seja r a reta perpendicular ao plano α que passa pelo ponto. Qual das condições seguintes pode definir a reta r? () (,, z) = (, 0, ) + k(, 0, ), k å R () (,, z) = (5,, ) + k(,, ), k å R () (,, z) = (,, ) + k(, 0, ), k å R (D) (,, z) = (, 0, ) + k(,, ), k å R daptado de Eame Nacional de Matemática, 0, época especial 7

9 TEM II Eercícios de Eame. Na figura está representado, num referencial o.n., um triângulo equilátero []. Sabe-se que: o ponto tem ordenada positiva; os pontos e pertencem ao eio ; o ponto tem abcissa e o ponto tem abcissa maior do que. Qual é a equação reduzida da reta? () = () = + () = + (D) = Eame Nacional de Matemática, 05,.ª fase 5. onsidere, num referencial o.n., a circunferência definida pela equação + ( ) =. Esta circunferência interseta o eio em dois pontos. Destes pontos, seja o que tem abcissa positiva. Seja r a reta tangente à circunferência no ponto. Qual é a equação reduzida da reta r? () = + () = () = + (D) = Eame Nacional de Matemática, 05,.ª fase 6. s segmentos de reta [] e [] são lados consecutivos de um heágono regular de perímetro. Qual é o valor do produto escalar.? () () () (D) Eame Nacional de Matemática, 05, época especial 8

10 TEM II Geometria nalítica Itens de construção 7. Na figura está representada, num referencial o.n. z, parte do plano, de equação + + z =. z Tal como a figura sugere,, e são os pontos de interseção deste plano com os eios coordenados. 7.. Determine uma equação cartesiana do plano que passa no ponto D(,, ) e é paralelo ao plano. 7.. Seja M o ponto médio do segmento de reta []. Determine uma equação vetorial da reta M. 7.. plano é tangente, num ponto P, a uma esfera centrada na origem do referencial, tal como se ilustra na figura. z P Determine o valor eato do volume dessa esfera. Nota: Tenha em conta que a reta P é perpendicular ao plano. daptado de Teste Intermédio de Matemática,.º ano, março de 0 8. Na figura está representada, num referencial o.n. z, uma pirâmide quadrangular regular [DV], cuja base está contida no plano e cujo vértice V tem cota positiva. ponto P é o centro da base da pirâmide. dmita que: z V V = 0; o vértice pertence ao eio e tem abcissa igual a 6; o vértice V tem abcissa e ordenada iguais a Mostre que o vértice V tem cota igual a 8. P D 8.. Seja M o ponto médio da aresta [V]. Determine uma equação vetorial que defina a reta M. 8.. Determine uma equação cartesiana do plano que passa no ponto P e que é perpendicular à aresta [DV]. daptado de Teste Intermédio de Matemática,.º ano, abril de 0 9

11 TEM II Eercícios de Eame 9. Na figura está representado, num referencial o.n. z, o cubo [DEFG], de aresta. z G D F H E Sabe-se que: o ponto pertence ao semieio positivo ; o ponto pertence ao semieio negativo ; o ponto D pertence ao semieio positivo z; o ponto H tem coordenadas (,, ). Seja α a amplitude, em radianos, do ângulo H. Determine o valor eato de sen α, sem utilizar a calculadora. Eame Nacional de Matemática, 0,.ª fase 0. Na figura está representado um pentágono regular [DE]. Sabe-se que =. D E Mostre que. D = sen h π i. j D 5 Nota:. D designa o produto escalar do vetor pelo vetor D. Use a igualdade cos(α) = cos α sen α. i h j daptado de Eame Nacional de Matemática, 0,.ª fase 0

12 TEM II Geometria nalítica. Na figura está representada, num referencial o.n. z, a pirâmide [D]. z D Sabe-se que: o ponto pertence ao semieio positivo ; os pontos e têm igual abcissa; o ponto pertence ao plano e tem ordenada ; o ponto pertence ao semieio negativo ; o ponto D pertence ao semieio positivo z; a reta D é definida por (,, z) = (, 0, 0) + k(, 0, 5), k R; D =. Determine as coordenadas de um vetor normal ao plano que contém a face [D], recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. daptado de Eame Nacional de Matemática, 0, época especial. onsidere, num referencial o.n. z, os pontos (0, 0, ) e (, 0, 0)... onsidere o plano α de equação + z + = 0. Escreva uma equação do plano que passa no ponto e é paralelo ao plano α... Determine uma equação cartesiana que defina a superfície esférica da qual o segmento de reta [] é um diâmetro... Seja P o ponto pertencente ao plano tal que: a sua abcissa é igual à abcissa do ponto ; a sua ordenada é positiva; ÂP = π. Determine a ordenada do ponto P. Eame Nacional de Matemática, 05,.ª fase

13 TEM II Eercícios de Eame. Na figura está representado, num referencial o.n. z, o poliedro [NPQRSTUV] que se pode decompor num cubo e numa pirâmide quadrangular regular. Sabe-se que: o vértice P pertence ao eio ; o vértice N pertence ao eio ; o vértice T pertence ao eio z; o vértice R tem coordenadas (,, ); o plano PQV é definido pela equação 6 + z = 0. z V.. Determine as coordenadas do ponto V. T S.. Escreva uma equação cartesiana do plano que passa no ponto P e é perpendicular à reta R. U R.. Seja um ponto pertencente ao plano QRS. Sabe-se que: P Q N o ponto tem cota igual ao cubo da abcissa; os vetores e T Q são perpendiculares. Determine a abcissa do ponto, recorrendo à calculadora gráfica. Na sua resposta: equacione o problema; reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) que visualizar na calculadora e que lhe permite(m) resolver a equação, devidamente identificado(s) (sugere-se a utilização da janela de visualização em que [, ] e [, 7]); apresente a abcissa do ponto arredondada às centésimas. Eame Nacional de Matemática, 05,.ª fase. onsidere, num referencial o.n. z, o plano β definido pela condição + z = 0... onsidere o ponto P(,, a), sendo a um certo número real. Sabe-se que a reta P é perpendicular ao plano β, sendo a origem do referencial. Determine o valor de a... onsidere o ponto (,, ). Seja o ponto de interseção do plano β com o eio. Seja o simétrico do ponto relativamente ao plano z. Determine a amplitude do ângulo. presente o resultado em graus, arredondado às unidades... Determine uma equação da superfície esférica de centro na origem do referencial, que é tangente ao plano β. Na resolução deste item, tenha em conta que o raio relativo ao ponto de tangência é perpendicular ao plano β. Eame Nacional de Matemática, 05, época especial

14 TEM III Sucessões Tema III Sucessões Itens de seleção. Seja (u n ) a sucessão definida por recorrência do seguinte modo: Seja (w n ) a sucessão de termo geral w n = 5n. Qual é o valor de n para o qual se tem w n = u? () () () 5 (D) 6 u = u n = u n + n se n > Teste Intermédio de Matemática,.º ano, maio de 0. Qual das epressões seguintes é termo geral de uma sucessão monótona e limitada? () ( ) n () ( ) n. n () n (D) + n Eame Nacional de Matemática, 05,.ª fase. De uma progressão geométrica (a n ), sabe-se que o terceiro termo é igual a e que o seto termo é igual a. Qual é o valor do vigésimo termo? () 89 () 6 8 () 768 (D) Eame Nacional de Matemática, 05, época especial

15 TEM III Eercícios de Eame Itens de construção. onsidere as sucessões (a n ) e (b n ) de termos gerais a n = n e b n = n +. Mostre, por indução, que a n b n, n N. Eame Nacional de Matemática, 00,.ª fase,.ª chamada 5. onsidere a sucessão (u n ), definida, por recorrência, do seguinte modo: 6 u = 9 + un u n + = Utilizando o método de indução matemática, mostre que n N, u n =. n + Eame Nacional de Matemática, 00,.ª fase 6. Estude, quanto à monotonia, a sucessão (u n ) de termo geral u n = n. n + Teste Intermédio de Matemática,.º ano, maio de 0 7. Para criar o logótipo de um aldeamento turístico, foi considerada uma sequência de circunferências concêntricas, em que o círculo central é branco e, a partir dele, as regiões eteriores a cada uma das circunferências e interiores à circunferência seguinte são, alternadamente, pretas e brancas, sendo a última preta, tal como sugere a figura. logótipo foi pintado num dos muros do aldeamento e, tal como a figura ilustra, consiste num quadrado com duas dessas sequências de circunferências concêntricas, uma das quais dividida em duas partes geometricamente iguais. De acordo com o esquema representado na figura, verifica-se que o conjunto I, o conjunto II e o conjunto III são tangentes entre si e que cada um deles é tangente a dois lados do quadrado que os circunscreve. Figura III II I Figura Figura No logótipo pintado no muro do aldeamento: o conjunto I tem 0 circunferências concêntricas, que passarão a ser designadas, da menor para a maior: circunferência um, circunferência dois,, circunferência vinte; os raios dessas circunferências estão em progressão aritmética de razão 5 cm; o círculo central do conjunto I, limitado pela circunferência um, tem 5π cm de área.

16 TEM III Sucessões Relativamente ao conjunto I, designe por a área do círculo central, por a área da região eterior à circunferência um e interior à circunferência dois, e assim sucessivamente, até 0, de acordo com o esquema representado na figura. 7.. onsidere, no logótipo pintado no muro do aldeamento, os valores corres - pondentes a,,,..., 0, em cm. Justifique que n = 50πn 5π. 7.. Mostre que n é termo geral de uma progressão aritmética de razão 50π. 0 Figura 7.. Na pintura do logótipo do muro do aldeamento, foram usadas tinta branca e tinta preta, com igual rendimento. dmita que, para pintar o círculo central do conjunto I, se gastou centilitro de tinta branca. Determine a quantidade total de tinta preta gasta na pintura dos conjuntos I, II e III do logótipo, admitindo que a quantidade de tinta gasta na pintura de uma região é diretamente proporcional à área dessa região. presente o resultado em litros, arredondado às décimas. Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, pelo menos, três casas decimais. daptado de Eame Nacional de Matemática, 0,.ª fase 8. dmita que, numa determinada mina de ouro, foi necessário construir um poço que permitisse um acesso direto às galerias da mina situadas a maior profundidade. Dadas as características geológicas do subsolo e a compleidade dos trabalhos de escavação, o número de metros escavados em cada dia foi progressivamente diminuindo, até se alcançar a profundidade pretendida. Sabe-se que: no final do primeiro dia de trabalho, o poço ficou com 0 metros de profundidade; no segundo dia, foram escavados 8,5 metros (95% de 0 metros), ficando o poço, no final desse dia, com 58,5 metros de profundidade. dmita que os trabalhos prosseguiram, de modo que, em cada dia, a partir do segundo, a profundidade acrescentada ao poço, em metros, foi 95% da profundidade acrescentada ao poço no dia anterior. onsidere a sequência (p n ), em que p n é o número de metros acrescentados à profundidade do poço, no dia de trabalho de ordem n. 8.. Quantos metros foram acrescentados à profundidade do poço no décimo dia de trabalho? presente o resultado arredondado às décimas. Na sua resposta, comece por justificar que os termos da sequência (p n ) são termos consecutivos de uma progressão geométrica de razão 0,95. Em cálculos intermédios, conserve, no mínimo, três casas decimais. 8.. Determine quantos dias de trabalho foram necessários para que a profundidade do poço ultrapassasse 575 metros. Em cálculos intermédios, conserve, no mínimo, três casas decimais. Eame Nacional de Matemática, 0,.ª fase 5

17 TEM III Eercícios de Eame 9. Desde muito cedo que o Dinis procura fazer economias, quer poupando quer investindo as suas poupanças para as rentabilizar. 9.. No dia em que fez dezasseis anos, o Dinis decidiu iniciar uma poupança. Pensou em duas hipóteses diferentes: colocar euros num mealheiro vazio e, todos os meses, a partir desse dia, colocar no mealheiro mais euro do que a quantia colocada no mês anterior; colocar 5 euros num mealheiro vazio e, todos os meses, a partir desse dia, colocar novamente 5 euros no mealheiro. objetivo do Dinis era juntar, pelo menos, 500 euros. Qual das duas hipóteses permite concretizar este objetivo mais rapidamente? Justifique a sua resposta. 9.. Quando o Dinis completou o Ensino Secundário, os pais e os avós deram-lhe algum dinheiro. Dinis decidiu rentabilizar esse dinheiro num depósito a prazo, obtendo juros, num regime de juro composto. Depois de se informar em várias instituições bancárias, o Dinis depositou o dinheiro que tinha recebido dos pais e dos avós numa conta a prazo com uma taa de juro anual de,50%, com capitalizações anuais. Dinis fez alguns cálculos e verificou, corretamente, que, nas condições referidas, seis anos após a data de abertura da conta, o correspondente capital iria perfazer cerca de 50,8 euros. Determine a quantia que o Dinis recebeu dos pais e dos avós quando completou o Ensino Secundário. presente o resultado arredondado às unidades. Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. daptado de Eame Nacional de Matemática, 05,.ª fase 0. reservatório de um parque industrial tem a forma de um tronco de cone, tal como o que se apresenta na figura. Na superfície lateral do reservatório, foram pintadas 7 circunferências, de espessura desprezável, contidas em planos paralelos equidistantes, como o esquema da figura ilustra. figura apresenta a vista de cima do reservatório, na qual estão representadas, no mesmo plano, algumas dessas circunferências. Figura Figura Sabe-se que a menor circunferência pintada no reservatório tem 6,9 metros de raio e que cada circunferência, da menor para a maior, tem mais 0, metros de raio do que a circunferência anterior. s perímetros das 7 circunferências pintadas no reservatório, da menor para a maior, são termos consecutivos de uma progressão aritmética. 0.. Mostre que a razão dessa progressão é eatamente 0,6π metros. 0.. Determine a soma dos perímetros das 7 circunferências pintadas no reservatório. presente o resultado em metros, arredondado às unidades. Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. daptado de Eame Nacional de Matemática, 05,.ª fase 6

18 TEM IV Funções Reais de Variável Real Tema IV Funções Reais de Variável Real Itens de seleção. onsidere a função f, de domínio R\{ }, definida por f() =. onsidere a função g definida por + g() = f( + a) + k, com a R e k R. Sabe-se que as retas de equações = e = são assíntotas do gráfico de g. Quais são os valores de a e de k? () a = e k = () a = e k = () a = e k = (D) a = e k = Teste Intermédio de Matemática,.º ano, março de 0. Sejam f e g duas funções de domínio R. Sabe-se que: as funções f e g são funções quadráticas; a função f tem dois zeros distintos; a função g tem um único zero; os gráficos das funções f e g intersetam-se no ponto de coordenadas (, 0). Qual das afirmações seguintes é verdadeira? () função f g tem dois zeros e a função f tem um zero. g () função f g tem dois zeros e a função f tem dois zeros. g () função f g tem três zeros e a função f tem um zero. g (D) função f g tem três zeros e a função f tem dois zeros. g Teste Intermédio de Matemática,.º ano, março de 0. Seja (u n ) a sucessão definida por u n = +. De uma certa função f, sabe-se que lim f(u n ) = +. n Em qual das seguintes opções pode estar representada parte do gráfico da função f? () () () (D) Teste Intermédio de Matemática,.º ano, fevereiro de 0 7

19 TEM IV Eercícios de Eame. Na figura está representada, num referencial ortogonal, parte do gráfico de uma função polinomial g, de grau. Seja f uma função, de domínio R, que verifica a condição f() = g( ). Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função f, primeira derivada da função f? g () () 6 6 () (D) 6 6 Eame Nacional de Matemática, 0,.ª fase 5. Seja f uma função de domínio R. Sabe-se que: lim f() = Æ + lim [f() + ] = Æ Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função f? () () () (D) Nota: Em cada uma das opções estão representadas parte do gráfico de uma função e, a tracejado, assíntotas desse gráfico. Eame Nacional de Matemática, 0, época especial 8

20 TEM IV Funções Reais de Variável Real 6. Na figura está representada, num referencial o.n., parte da hipérbole que é o gráfico de uma função f. gráfico da função f interseta o eio no ponto de abcissa. s retas de equações = e = são as assíntotas do gráfico da função f. Qual é o conjunto-solução da condição f() 0? () ], [ ], 0] f () ], ] ]0, + [ () ], 0] ], + [ (D) ], ] ], + [ Teste Intermédio de Matemática,.º ano, março de 0 7. Sejam f e g duas funções de domínio R. Sabe-se que: a função f é definida por f() = + 6; a função g é uma função quadrática e é uma função par; g() = 0. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? () função f g tem três zeros e a função f não tem zeros. g () função f g tem três zeros e a função f tem um zero. g () função f g tem dois zeros e a função f não tem zeros. g (D) função f g tem dois zeros e a função f tem um zero. g Teste Intermédio de Matemática,.º ano, março de 0 8. Seja f uma função de domínio R +. reta de equação = 5 é assíntota do gráfico da função f. Qual é o valor de lim 6? Æ + f() () 0 () () (D) + Eame Nacional de Matemática, 0, época especial 9. Seja f uma função de domínio R. Sabe-se que f () = 6 (f designa a derivada de f ). Qual é o valor de lim f() f()? Æ () () () 5 (D) 6 Eame Nacional de Matemática, 05, época especial 9

21 TEM IV Eercícios de Eame Itens de construção 0. Na figura está representada, num referencial o.n., parte da hipérbole que é o gráfico de uma função f, de domínio R\{}. s retas de equações = e = são as assíntotas do gráfico da função f. 0.. Responda aos dois itens seguintes sem apresentar cálculos Qual é o valor de k para o qual a equação f() = k é impossível? 0... Qual é o limite de f() quando tende para +? 0.. dmita agora que a função f é definida pela epressão f() = Resolva analiticamente a condição f(). presente o conjunto-solução usando a notação de intervalos de números + reais Seja g a função, de domínio R, definida por g() =. equação (f o g)() = tem eatamente duas soluções. Determine, recorrendo à calculadora gráfica, essas soluções. presente as soluções arredondadas às centésimas. Na sua resposta deve: reproduzir, num referencial, o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar, devidamente identificado(s); assinalar os pontos relevantes para responder à questão colocada.. onsidere duas funções g e h, de domínio R +. Sabe-se que: a reta de equação = é assíntota do gráfico da função g; a função h é definida por h() = [g()]. Mostre que o gráfico da função h tem uma assíntota horizontal. Teste Intermédio de Matemática,.º ano, março de 0 Eame Nacional de Matemática, 0, época especial + se. Seja f a função, de domínio R, definida por f() =. se >.. Resolva analiticamente, em ], + [, a condição f() <. presente o conjunto-solução usando a notação de intervalos de números reais... onsidere, para cada número real k, a função g, de domínio R, definida por g() = k +. Determine o valor de k para o qual se tem (g o f)( ) = 6... Determine o contradomínio da função f. Para resolver este item, recorra à calculadora gráfica. Na sua resposta deve: reproduzir, num referencial, o gráfico da função f que visualizar na calculadora (sugere-se a utilização da janela em que [ 5, 5] e [ 5,0]). Nesse referencial: assinale o ponto do gráfico de abcissa e indique a sua ordenada; represente as assíntotas do gráfico de f; assinale o ponto do gráfico correspondente ao máimo relativo da função. apresentar o contradomínio da função f, usando a notação de intervalos de números reais. Teste Intermédio de Matemática,.º ano, março de 0 f 0

22 TEM V Estatística Tema V Estatística Itens de seleção. Foi realizado um inquérito acerca do número de livros que cada um dos alunos de uma turma tinha lido nas férias. s resultados do inquérito estão representados no gráfico que se segue. 0 Número de alunos Número de livros lidos Em média, quantos livros foram lidos por aluno? (),8 () (),5 (D) Teste Intermédio de Matemática, 0.º ano, maio de 008

23 TEM V Eercícios de Eame Itens de construção. s diagramas de dispersão apresentados na figura e na figura foram construídos com base em dados estatísticos, divulgados pela utoridade Nacional de omunicações, relativos ao número de chamadas efetuadas a partir de telefones da rede fia e ao número de mensagens escritas enviadas, no período compreendido entre os anos de 00 e de 0. Número de chamadas da rede fia (milhares de milhões) r 0, Número de mensagens escritas (milhares de milhões) 0 r 0, no no Figura Figura diagrama de dispersão da figura dá, para cada ano, o número, em milhares de milhões, de chamadas efetuadas a partir de telefones da rede fia durante esse ano. diagrama de dispersão da figura dá, para cada ano, o número, em milhares de milhões, de mensagens escritas enviadas durante esse ano. Em cada diagrama de dispersão está representada a reta de regressão e é indicado um valor aproimado do quadrado do coeficiente de correlação linear. dmita que a reta de regressão representada no diagrama de dispersão da figura é definida pela equação = 0,50 + 0,, em que representa o ano e representa o número, em milhares de milhões, de chamadas efetuadas a partir de telefones da rede fia durante esse ano. onsidere as seguintes afirmações: () correlação linear entre as variáveis relativas ao diagrama de dispersão da figura é positiva. () correlação linear entre as variáveis relativas ao diagrama de dispersão da figura é mais forte do que a correlação linear entre as variáveis relativas ao diagrama de dispersão da figura. () De acordo com o modelo de regressão linear apresentado, o número estimado de chamadas que se efetuariam a partir de telefones da rede fia durante o ano de 0 seria superior a dois milhares de milhões. Elabore uma pequena composição, na qual indique, justificando, quais as afirmações verdadeiras. daptado de Eame Nacional de Matemática, 0, época especial

24 TEM V Estatística. Na tabela seguinte apresentam-se os valores da altitude, em metros, de alguns locais de Portugal onde estão situadas estações meteorológicas. presentam-se também os valores, em graus elsius (º), das médias anuais das temperaturas máimas, registadas nessas estações, no período e no período Localização da estação meteorológica ragança Vila Real raga Viseu Guarda oimbra astelo ranco Santarém Portalegre Setúbal Évora eja Faro ltitude (metros) Médias anuais das temperaturas máimas (º) ,9 8,6 0,0 9,6,7,,0, 9,5,8 0,7,5,0 8,8 8,8 0,8 8,6 5,7,,5,8 0,5,7,8,0, Fontes: (adaptado), (adaptado) (consultados em setembro de 0) onsiderando a altitude como variável eplicativa e a média anual das temperaturas máimas como vari ável resposta, utilize uma calculadora gráfica ou uma folha de cálculo para resolver as seguintes questões... Represente a nuvem de pontos num referencial ortogonal... Determine, com uma casa decimal, a média dos valores de cada uma das amostras representadas... Determine o declive da reta dos mínimos quadrados que se ajusta a esta nuvem de pontos. presente o resultado com cinco casas decimais... Determine a equação reduzida da reta dos mínimos quadrados..5. Utilizando a equação obtida em.., determine a média anual das temperaturas máimas esperada para uma altitude de 000 metros..6. alcule, com três casas decimais, o valor do coeficiente de correlação linear, r, e interprete-o, no conteto da situação descrita. daptado de Eame Nacional de Matemática, 0,.ª fase. Uma das estações meteorológicas em que se registam os valores mais elevados de precipitação total anual em Portugal é a de Viana do astelo. Relativamente aos valores de precipitação total anual registados na estação meteorológica de Viana do astelo, no período 00-0, verifica-se que: a média dos valores de precipitação total anual, nesses quatro anos, é 70,5 mm e a mediana é,50 mm; desses quatro anos, 0 foi o ano de menor precipitação total anual e 0 foi o ano de maior precipitação total anual. Determine a média, em mm, dos valores de precipitação total anual dos últimos dois anos desse período de tempo, 0 e 0. daptado de Eame Nacional de Matemática, 05,.ª fase

25 SLUÇÕES Tema I - Trigonometria e Funções Trigonométricas Itens de seleção (pág. ). pção (). pção (D). pção (). pção () 5. pção () 6. pção (D) 7. pção () 8. pção () 9. pção () Itens de construção (pág. 5) Tema II Geometria nalítica Itens de seleção (pág. 7). pção (D). pção (). pção (). pção (D) 5. pção () 6. pção () Itens de construção (pág. 9) z = (,, z) = (0,, 0) + k( 6,, ), k Œ 7.. p ( ) (,, z) = (6,, 0) + k(, 6, ), k Œ z = p 0. omece por mostrar que D =. 5. ( 5, 5, )... + z = 0.. ( ) + + (z ) = (,, 6) z = 0.., z = Tema III Sucessões Itens de seleção (pág. ). pção (). pção (). pção () Itens de construção (pág. 0) 6. (u n ) é decrescente = 550p e a tinta gasta é, litros ,9 m 0, n > 575 n = 6 0, ª hipótese, pois + + n + n > 500 n = 0 meses (e na.ª hipótese é ao fim de meses) p7 = 9,p e S7 8 m. Tema IV Funções Reais de Variável Real Itens de seleção (pág. 7). pção (). pção (). pção (). pção () 5. pção () 6. pção (D) 7. pção () 8. pção () 9. pção () Itens de construção (pág. 0) ], [ [0, + [ 0...,6 e,5. omo lim g() =, chega-se a lim h() =. Æ + Æ +... ], + [.... ], ] ], + [ Tema V Estatística Item de seleção (pág. ). pção () Itens de construção (pág. ). São verdadeiras as afirmações () e ().... Média anual das temperaturas Máimas (º) , e ltitude (m) 0,.. 0, = 0, ,.5. 5,8.6. 0,9.