cuja secção é um círculo com raio R, e uma sua ramificação, mais estreita, cuja secção é um círculo com raio r.

Transcrição

1 Trigonometria 6. Na circunferência trigonométrica da figura ao lado, considere o heptágono regular de lado 1 tal que: um dos lados do heptágono coincide com o raio da circunferência e encontra -se no semieio positivo ; é um ponto do heptágono pertencente à circunferência; α Q é um ponto do semieio negativo ; o segmento [Q] é um raio da circunferência; Q a é a amplitude do ângulo cujo lado origem passa no semieio positivo e cujo lado etremidade passa no segmento []. Qual é, aproimadamente, a área do triângulo [Q]? (A) 0,191 (B) 0,312 (C) 0,391 (D) 0, Na circunferência trigonométrica da figura ao lado está representado o ângulo de amplitude 3p, que tem por lado origem o segmento de reta 10 [A] e por lado etremidade o semieio positivo. Tal como a figura sugere: [A] é um raio da circunferência; 3 10 B A B é um ponto do semieio positivo ; o ângulo BA é reto. Qual é o valor, arredondado às centésimas, de AB? (A) 0,81 (B) 0,75 (C) 0,63 (D) 0,59 8. Na figura ao lado está representada uma artéria principal do corpo humano, cuja secção é um círculo com raio, e uma sua ramificação, mais estreita, cuja secção é um círculo com raio r. Seja q å ] 0, p 2 [ a amplitude, em radianos, do ângulo que a artéria principal faz com a sua ramificação (medida relativamente a duas geratrizes complanares dos dois cilindros). Sabendo que r 2 = 2 cos q, indique, arredondado à centésima do radiano, o valor de q no caso em que = 2 r. θ r (A) 1,11 (B) 1,18 (C) 1,25 (D) 1,32 Adaptado do Eame Nacional de Matemática, 12. ano, 2.ª fase,

2 EAA EXAME NACINAL (CNTINUAÇÃ) 2. Na figura ao lado encontra-se, num referencial o.n. z, a pirâmide quadrangular reta [QS]. z S Sabe-se que: a base é o quadrado [Q] de lado 2 e está contida num plano concorrente ao plano ; a área total da pirâmide é igual a 24; o ponto pertence ao eio ; o ponto S pertence ao plano z ; Admita que o ponto tem cota igual a 1. Q 2.1 Determine as coordenadas do ponto S. 2.2 Mostre que as coordenadas do ponto Q são (2, - 3, 1). 2.3 Determine as coordenadas do ponto de interseção da reta S com o plano. 2.4 Mostre que + 3 z = 0 é uma equação do plano. 3. plano a representado parcialmente no referencial o.n. z da figura ao lado tem de equação + z = 4 e contém o ponto A(2, 1, 2). z 3.1 Seja r a reta que passa no ponto A e é perpendicular ao plano a. Justifique que esta reta interseta o plano eatamente no eio. 3.2 Considere agora o plano b definido pela equação z = 5. Mostre que a e b são perpendiculares. A 3.3 Considere o ponto, pertencente ao eio, e o ponto Q, pertencente ao eio z, ambos do plano a. Escreva uma equação vetorial e um sistema de equações paramétricas do plano que contém os pontos A, e Q. 4. Na figura ao lado está representado, em referencial o.n. z, o octaedro [QAB]. Sabe-se que: z A um dos vértices do octaedro é a origem do referencial; a reta AB é paralela ao eio z ; Q o ponto pertence ao semieio positivo ; o ponto pertence ao semieio positivo ; B a altura do octaedro é igual a Mostre que a aresta do octaedro tem comprimento 6 e que as coordenadas do ponto A são (3, 3, 3 2 ). 4.2 Escreva a equação geral de um plano perpendicular à reta e que passa no ponto de coordenadas (3, 4, 5). 4.3 Escreva a equação geral do plano AQ. 46

3 Funções reais de variável real 7. telescópio espacial Hubble é um satélite não tripulado que transporta um grande telescópio para a luz visível e infravermelha e tem, desde 1990, uma órbita elítica em torno da Terra, tal como se representa nas duas figuras seguintes ( H representa o Hubble). Como é óbvio, os elementos dessas figuras não estão na mesma escala. Afélio H d eriélio Figura 1 d H Figura 2 Tal como se pode observar na elipse da Figura 1, estão assinalados dois pontos: o afélio, que é o ponto da órbita do Hubble mais afastado do centro da Terra; o periélio, que é o ponto da órbita do Hubble mais próimo do centro da Terra. ângulo de amplitude radianos, assinalado nas figuras, tem o seu vértice no centro da Terra, o seu lado origem passa no periélio e o seu lado etremidade passa no Hubble. Admita que a distância d, em quilómetros, do Hubble à Terra, é dada por d() = cos, å [0, 2p[. 7.1 Determine a distância do Hubble à Terra quando este se encontra no afélio. Apresente o resultado em quilómetros, arredondado às unidades. 7.2 Num certo instante, o Hubble está na posição indicada na Figura 2. Sabe-se que distância do Hubble à Terra nesse ponto é igual a 642 quilómetros. Determine o valor de, em radianos, arredondado às centésimas. 8. Uma mola está suspensa por uma etremidade, tendo na outra etremidade um corpo C. Após ter sido alongada na vertical, a mola inicia um movimento oscilatório no instante t = 0. A distância ao solo do corpo C, em metros, é dada em cada instante t, em segundos, pela epressão: D(t) = cos ( pt + p 2 ) para t å [0, 4] 8.1 Determine a distância máima e a distância mínima do corpo C ao solo. 8.2 Indique o valor da amplitude do movimento do corpo C. 8.3 Determine o período, a frequência e a respetiva fase deste oscilador. 8.4 Determine os instantes, em segundos, em que o corpo C está à distância de 5,5 metros do solo. 9. Um ponto move-se no eio das abcissas de forma que a sua abcissa no instante t, em segundos, é dada por: (t) = 5 cos p ( 8 t ) sen ( p 8 t ) 9.1 rove que se trata de um oscilador harmónico escrevendo (t) na forma A cos (ωt + φ), com A > 0, w > 0 e φå [0, 2p[. 9.2 Indique a amplitude, o período e a frequência do movimento, bem como o respetivo ângulo de fase. 81

4 Sucessões Eais Itens de construção 5n Considere as sucessões (u n ) e (v n ) definidas, respetivamente, por u n = 2n + 1 e v n = (u n ) n. Sem usar a calculadora, resolva os itens seguintes. 1.1 rove, usando a definição, que lim u n = Calcule lim v n. 2. Calcule, se eistirem: 4n 2.1 lim 3 + 6n lim 1-16n 3n 3 + 3n n n 4 + 5n lim _ 3 n + 3 n n lim n - 1 [ 5n (- 7 1)n + _ n 2-40 ] n 4n - 1 ( 2.5 lim a n, sendo a n = 6n + 3 ) se n < cos n lim ( 16 n 2 + 2n - 4n) n se n n 2.7 lim u n, sabendo que, para n 12, u n n 2.8 lim v, sabendo que, para n 5000, v n 4 - n n n sen 2 pn ( 10 ) 2.9 lim _, usando o teorema das sucessões enquadradas. n 2.10 lim n 2 + cos n 2, usando o teorema das sucessões enquadradas. 4n n 6n 2.11 lim ( n + 5 ) 2.12 lim ( 1 + 2n 3n ) n lim ( 4n n ) 2.14 lim ( 3n n2 3n ) 2.15 lim ( 5n n4 5n 4 + 2n + 1 ) a 1 = Considere a sucessão (a n ), de termos positivos, definida por: _ a n + 1 = 4a n - 4, An å N 3.1 Mostre que (a n ) é monótona decrescente. 3.2 Justifique que (a n ) é convergente e calcule lim a n. 4. Seja 1 um retângulo de área 1. Dividindo 1 em quatro retângulos iguais, constrói-se o retângulo 2 pintando um dos quatro retângulos mais pequenos. Em cada um dos outros retângulos, procede-se analogamente para construir 3, e assim sucessivamente Designe por (a n ) a sucessão que dá a área total da parte pintada do retângulo n. 4.1 Escreva a epressão geral de (a n ). 4.2 Calcule lim a n e interprete o resultado no conteto do problema. 117

5 EAA EXAME NACINAL (CNTINUAÇÃ) 17.1 Mostre que a área do quadrilátero [ABCD] é dada, em função de q, pela função f definida por: ercorra sucessivamente as seguintes etapas: f(q) = sen ( q + p 6 ) escreva uma epressão, em função de q, para a área do triângulo [BCD] ; identifique, no triângulo [ABD], a amplitude q ; escreva uma epressão, em função de q, para a área do triângulo [ABD] ; mostre que f(q) é a área pedida Sem usar a calculadora, determine o valor de q para o qual é máima a área do quadrilátero [ABCD]. 18. Na figura seguinte está representada a trajetória de uma bola, depois de ter sido pontapeada por um atleta. B h() S Seja h uma função de domínio [0, p], definida por h() = 2,2 [p sen (0,5) - ]. Admita que h dá a altura, em metros, da bola ao solo em função da amplitude, em radianos, do ângulo SB ( S é o ponto de saída da bola, é um ponto fio do solo e B é o ponto onde se encontra a bola) Mostre que se o ângulo SB for reto, a altura da bola será, em metros, igual a 1,1p( 2-1) ecorra à calculadora para determinar graficamente as soluções da equação que lhe permita resolver o seguinte problema: Quais são os valores para a amplitude, em radianos, do arco SB, para que a altura da bola seja igual a 1 metro? Apresente todos os elementos recolhidos da utilização da calculadora, nomeadamente o(s) gráfico(s) obtido(s). Apresente também os resultados na forma de dízima, arredondados às centésimas Num certo instante em que < p, a bola encontra-se a uma distância do ponto B 2 que é igual ao dobro da distância da projeção da bola no solo (ponto, como se pode ver na figura ao lado) a esse ponto. 2d Qual é a altura da bola nesse instante? Apresente o resultado em metros, arredondado às centésimas. d 18.4 ecorrendo a métodos analíticos, determine a altura máima que a bola atinge, apresentando o resultado em metros, arredondado às centésimas. Nota: nos cálculos intermédios, conserve pelo menos duas casas decimais. h() 18.5 Considere agora a função f de domínio ]0, p], definida por f() = _. Sem recorrer à calculadora, estude-a quanto à eistência de assíntotas ao seu gráfico. 186

6 EAA EXAME NACINAL (CNTINUAÇÃ) 22. Na figura ao lado está representada parte do gráfico da função f, cujo domínio é. As retas de equações = e = são assíntotas ao gráfico de f. Qual é o valor de lim _ f() " -? (A) + (B) 2 (C) - 2 (D) - f 23. Acerca da função h, de domínio, sabe-se que: lim h() 0 lim h() ; + " 0 " 0 - o seu gráfico admite apenas duas assíntotas de equações = k e = k, sendo k um número real. Qual dos gráficos cartesianos seguintes pode representar a função h num referencial o.n.? (A) (B) (C) (D) 24. Na figura seguinte está representada parte do gráfico da função f, de domínio \ {2}. 2 2 f Tal como a figura sugere, as retas de equações = 2 e = 2 são assíntotas ao gráfico de f. ln n 24.1 Considere a sucessão (u n ) definida por u n = 3 n. Qual pode ser o valor de lim f(u n )? (A) - (B) - 0,3 (C) 1,6 (D) Considere a sucessão (v n ) definida por v n = - 3 e n n Qual é o valor de limf(v n )? (A) - (B) - 0,3 (C) 0 (D) 2 148

7 Derivadas de funções 10. Acerca da função g, de domínio [0, π], sabe-se que a epressão da primeira derivada, também de domínio [0, π], é dada por: g () = cos (2) Sem recorrer à calculadora, resolva os itens seguintes Calcule o valor de lim " 0 g ( + p 2 ) - g p ( 2 ) Seja r a reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 0. Sabe-se que r passa no ponto de coordenadas (0, 2) e num outro ponto de ordenada 6. Qual é a abcissa desse ponto? 10.3 Sabe-se que, no intervalo [ 0, p 2 ], o gráfico da função g interseta num só ponto o gráfico da função h definida por: h() = Determine as coordenadas desse ponto Estude a função g quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e determine as abcissas dos pontos de infleão. 11. Um projétil foi lançado verticalmente e a respetiva altura h, em metros, acima do solo é dada, em função do tempo decorrido t, em segundos, após o instante inicial t = 0, por h(t) = - 4,9 t ,1t Determine, em km/h, a velocidade média do projétil nos dois primeiros segundos Determine, em km/h, a velocidade do projétil nos instantes t = 2 e t = Entre o instante inicial e o instante t = 4, qual foi a velocidade máima atingida pelo projétil? Qual foi a sua aceleração nesse instante? 12. Um ponto desloca-se, durante alguns segundos, sobre uma reta numérica cuja unidade é o centímetro. A abcissa de (nessa reta) da respetiva posição no instante t, em segundos, é dada por: p(t) = 4t 3-2t 2 + 3t Determine, em centímetros por segundo, a velocidade média de : nos primeiros três segundos; entre os instantes t = 2 e t = Determine, em centímetros por segundo, a velocidade de nos instantes t = 1 e t = Determine, em centímetros por segundo ao quadrado, a aceleração média de : nos primeiros cinco segundos; entre os instantes t = 3 e t = Determine, em centímetros por segundo ao quadrado, a aceleração de no instante t = Supondo que o ponto esteve em movimento entre os instantes t = 0 e t = 3, em que instante, em segundos, o ponto atingiu a velocidade mínima? Qual foi a aceleração do ponto nesse instante? 199

8 robabilidades e combinatória 6. Considere o conjunto A = {0, 1, 3, 5, 8}. 6.1 Quantos números naturais distintos, menores do que 5000, é possível escrever com os elementos de A? 6.2 Quantos números naturais distintos, com quatro algarismos diferentes, é possível escrever com os elementos de A? 6.3 Admita que numa urna estão cinco cartões, indistinguíveis ao tato, cada um com um dos algarismos do conjunto A. Etraem-se, ao acaso, dois cartões da urna. Calcule a probabilidade de os algarismos serem ambos ímpares nas duas situações seguintes: se a etração for com reposição e se a etração for sem reposição. 6.4 Suponha que, na urna anterior, foram acrescentados mais alguns cartões. Sabe-se que agora eistem 756 maneiras de se etraírem dois quaisquer cartões diferentes, um de cada vez e sem reposição. Quantos cartões foram acrescentados? 7. Uma caia tem dez bombons de café e outros de chocolate. A Isilda pretende comê-los todos, um de cada vez. 7.1 Suponha que a caia tem 20 bombons de chocolate. Verifique que a probabilidade de a Isilda comer os dez bombons de café consecutivamente é igual a 21! * 10!. 30! 7.2 Suponha agora que a caia tem n bombons de chocolate. rove que a probabilidade de a Isilda comer os dez bombons de café consecutivamente é dada por _ n + 1 n C Na figura seguinte está representado o prisma quadrangular regular [QSTUV]. Q T U S V 8.1 Considere que dispomos de cinco cores (amarelo, branco, castanho, azul e encarnado) para pintar a base superior e as quatro faces laterais desse prisma. Determine de quantas maneiras diferentes podem ficar pintadas essas faces, de modo que: duas faces que tenham uma aresta comum fiquem pintadas com cores diferentes; duas faces laterais que sejam opostas fiquem pintadas com a mesma cor. 8.2 Escolhidos três vértices ao acaso do prisma, qual é a probabilidade de definirem um triângulo que contenha o ponto? Apresente o resultado na forma de fração irredutível. 243

9 EAA EXAME NACINAL (CNTINUAÇÃ) 29. No plano compleo da figura seguinte está representado o trapézio retângulo [Q]. Im (z) e (z) Q Sabe-se que: o ponto é a origem do referencial; o ponto é a imagem geométrica do compleo z 1 = 3 e i 3p 2 ; o ponto Q é a imagem geométrica de um compleo z 2 ; o ponto é a imagem geométrica do compleo z 3 = 5. Sem recorrer à calculadora, resolva os itens seguintes Suponha que Im (z 2 ) = 4. z Calcule a e b de modo que a + 2bi b = 1-2i Sabendo que a área do trapézio [Q] é igual a 17, determine, na forma algébrica, o compleo z Calcule, na forma trigonométrica, o número [ z ( 1 3i 1 )2 ](3 3 i). 30. Na figura ao lado está representado, no plano compleo, uma circunferência de centro na origem. Im (z) A Sabe-se que: o ponto A pertence a essa circunferência e é a imagem geométrica do número compleo w 1 ; um argumento de w 1 é 7p 12 ; o ponto B pertence a essa circunferência e é a imagem geométrica do número compleo w 2 ; B 7 12 e (z) α é a amplitude do ângulo B, onde é um ponto do semieio negativo real. Sem recorrer à calculadora, eceto para efetuar eventuais cálculos numéricos, resolva os itens seguintes. w Mostre que w 2 = e i ( a Considere agora que: 5p 12 ) e determine um valor para α de modo que w 1 seja um número imaginário puro. w 2 o número compleo w 3 = 2 3i 123 é tal que w 3 é o raio da circunferência da figura; sen a = 1 2 e a å ] 0, p 2 [ ; w 1 e w 2 são raízes consecutivas de índice n do número compleo z. Escreva w 2 e z na forma trigonométrica. 280