X Encontro Nacional de Educação Matemática Educação Matemática, Cultura e Diversidade Salvador BA, 7 a 9 de Julho de 2010

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1 ANALISANDO POSSÍVEIS ERROS DE GEOMETRIA A PARTIR DAS RESOLUÇÕES DOS ALUNOS DO 6º SEMESTRE DO CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA DA UNEB CAMPUS ALAGOINHAS Roberta Andrade Souza de Araújo 1 Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia - UESB robertauesb@bol.com.br Roberta D'Angela Menduni Bortoloti 2 Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia - UESB robertamenduni@yahoo.com.br Resumo: Este artigo é baseado no Projeto Intitulado Análise dos Erros Cometidos por Discentes de Cursos de Licenciatura em Matemática das Universidades Estaduais Baianas (BORTOLOTI, et al, 2007) em parceria com dez campi das Universidades estaduais baianas e traremos um recorte de alguns resultados parciais já detectados na pesquisa. Em cada instituição foi aplicado o teste padrão para alunos dos 1º e 6º semestres com questões subjetivas de assuntos de matemática do ensino básico. Aqui identificaremos, analisaremos e por fim classificaremos os tipos de erros encontrados nas resoluções dos alunos do 6º semestre da UNEB campus Alagoinhas em relação à quarta questão que aborda o conteúdo de Geometria. Baseamo-nos para as análises em Cury (2007) e Gusmão (2006), a qual foi dividida em três níveis: Nível 1, contabilizamos os erros, acertos e resoluções em branco; Nível 2: categorizamos as resoluções e no Nível 3, usamos os descritores da Prova Brasil (BRASIL, 2008) para identificarmos as habilidades presentes nessa questão. Concluímos que, das sete resoluções, apenas três estavam corretas e as outras, apresentaram descuidos em relação ao conteúdo de Geometria. Palavras-chave: Análise de Erros; Geometria; Formação de Professores de Matemática. 1. INTRODUÇÃO A partir do Projeto intitulado Análise dos Erros Cometidos por Discentes de Cursos de Licenciatura em Matemática das Universidades Estaduais Baianas (BORTOLOTI, et al, 2007) em parceria com as Universidades estaduais: Universidade 1 Acadêmica do Departamento de Química e Exatas/UESB. Bolsista da Uesb. 2 Profa.Msa./Orientadora- Depto. de Química e Exatas- UESB campus Jequié. Anais do 1

2 Estadual do Sudoeste da Bahia (UESB) campi: Jequié e Vitória da Conquista; Universidade Estadual de Feira de Santana (UEFS) Feira de Santana; Universidade Estadual de Santa Cruz (UESC) Ilhéus; Universidade do Estado da Bahia (UNEB) Campi: Alagoinhas (campus II); Caetité (campus VI); Senhor do Bonfim (campus VII); Paulo Afonso (campus VIII); Barreiras (campus IX); Teixeira de Freitas (campus X), totalizando dez campi, traremos um recorte de alguns resultados parciais já detectados na pesquisa. Em cada instituição, foram escolhidas turmas de calouros e de alunos do 6º semestre. Dos calouros, queremos observar como eles estão chegando ao ensino superior e quais as dificuldades do ensino básico, em relação à matemática, são trazidas por eles. Com relação aos veteranos, queremos saber se o ensino superior tem contribuído para o amadurecimento e enriquecimento de tais conteúdos vistos no ensino básico. Responderam ao teste padrão duzentos e trinta e oito estudantes com previsão de mais duzentos e vinte e cinco (em média) no início de 2010 totalizando quatrocentos e sessenta e três estudantes. O teste padrão é composto de seis questões que tratam sobre: geometria, funções, probabilidade e conjuntos. Com a aplicação desse teste pretendese: [...] identificar possíveis erros e dificuldades em relação à matemática da educação básica; categorizar esses erros; construir estratégias de intervenção para que os erros identificados sejam sanados e contribuir para uma formação matemática e pedagógica mais consistente ao futuro professor de matemática. (OLIVEIRA; BORTOLOTI; ARAÚJO, 2009, p. 3). Dentre as questões do teste padrão aplicado, escolhemos a questão 4 que trata sobre o conteúdo de Geometria Plana: [...] por ser assunto trabalhado do ensino fundamental ao ensino superior. (BORTOLOTI; GUSMÃO; SILVA; NEVES, 2010, p. 12). Nesse artigo, iremos categorizar e analisar alguns tipos de erros cometidos por estudantes do 6º semestre da UNEB - Alagoinhas. 2.REVISÃO DE LITERATURA O erro hoje não deve ser mais visto como um bicho-papão ou algo que devemos exterminar. Na pedagogia tradicional o foco do processo de ensino estava no Anais do 2

3 conteúdo a ser transmitido pelo professor e hoje é centrado no aluno e/ou nos métodos utilizados pelo professor, em sala de aula em como o aluno irá construir o conhecimento. Assim, Pinto (2000, p. 12) nos aponta: Se na pedagogia tradicional, centrada no professor, o relevante era saber o que se ensina, na pedagogia nova a preocupação do professor é saber como as crianças aprendem. Além disso, a autora nos trás que o erro servia, geralmente, como indicador do fracasso do aluno e nas novas teorias ele se apresenta como um fator positivo e de grande valor pedagógico, onde a criança (em nosso caso, o aluno) mostra o seu pensamento. Muito já se foi descoberto e estudado com relação a esse assunto. Mas, ainda não é o suficiente. A relevância do tema erros ou da análise das respostas dos alunos tem importância crucial em muitas outras frentes da Educação Matemática atual, seja na definição de parâmetros curriculares, na análise de materiais didáticos ou na formação de professores. (BIGODE, apud CURY, 2007, p. 12). Outro ponto fundamental e que ainda precisa ser melhor discutido entre professores e pesquisadores é a relação entre o erro e os saberes: específico, da experiência e o didático: O fato de o tema envolver, simultaneamente, três saberes de ordens distintas, ou seja, um saber específico (matemática), um saber de experiência do professor (construído na prática), um saber didático (a avaliação como componente de ensino), contexto raramente trabalhado nos programas de formação, atesta toda a complexidade e urgência de discussão no âmbito da pesquisa educacional. (PINTO, 2000, p. 8). O erro hoje é visto, por muitos autores, como uma ferramenta capaz de indicar a dificuldade do aluno, e a partir da detecção dessas dificuldades, o professor irá criar estratégias didáticas para que o aluno aprenda com o seu próprio erro. Nesta perspectiva, Cury (2007, p. 80) define o erro como constituinte do conhecimento, um saber que o aluno possui, construído de alguma forma. Considera-o como trampolim para a aprendizagem : A análise das respostas, além de ser uma metodologia de pesquisa, pode ser, também, enfocada como metodologia de ensino, se for empregada em sala de aula, como trampolim para a aprendizagem (BORASI, 1985), partindo dos erros detectados e levando os alunos a questionar suas respostas, para construir o próprio conhecimento. (BIGODE, apud CURY, 2007, p. 13) Anais do 3

4 Estamos compreendendo o erro como uma metodologia de ensino. É reconhecendo os erros dos alunos que o professor criará estratégias de ensino. E o aluno, reconhecendo seu erro, irá analisar suas respostas e questioná-las para construir o próprio conhecimento. 3.METODOLOGIA A pesquisa qualitativa realizada é um estudo de caso, pois se trata de algo particular, singular. Considerando que a análise de erros ou a análise da produção escrita, seja ela representativa de acertos ou de erros, uma tendência em educação Matemática (CURY, 2007, p. 17) analisaremos as produções escritas de alunos do 6º semestre do curso de Licenciatura em Matemática da UNEB, campus Alagoinhas. A questão sobre geometria plana tem o seguinte enunciado: Uma empresária comprou um terreno de forma retangular com trinta metros de perímetro, notando que o triplo da medida do menor lado é igual ao dobro da medida do lado maior. Resolveu plantar grama em todo o terreno, exceto em um semicírculo cujo diâmetro coincide com o lado menor. Considerando-se o valor aproximado de π=3,14 e que o metro quadrado da grama custa R$ 40,00, determine o valor gasto pela empresária. Fazendo referências às resoluções dos alunos do teste aqui analisado, iremos identificá-los pelas letras A, B, C, D, E, F e G, totalizando sete resoluções. As análises da questão do teste seguiram de acordo a três níveis: Nível 1: contabilizamos o número de resoluções acertadas, erradas e deixadas em branco. Quando nos referimos à resposta correta é aquela que está de acordo com a resolução institucional que foi elaborada pela equipe executora da pesquisa composta por professores, alunos e colaboradores. Consideramos o aluno que errou aquele que não resolveu de acordo com o esperado na resolução institucional. Nível 2: Apresenta sete categorias de resoluções. Entretanto, abordaremos apenas as que foram contempladas nestas resoluções: C1 Apresenta desenvolvimento completo com argumentos e justificativas para as etapas mais críticas do seu raciocínio e C3 Aparenta compreender conceitos e procedimentos, exibe uma organização matemática correta, mas descuida de algo nos procedimentos que induz ao erro. Ressaltamos que estas sete categorias resultaram de discussões feitas entre a equipe executora e a proposta para análise feita por Gusmão (2006) que se baseia na tipologia de competências cognitivas. Anais do 4

5 Nível 3: É considerado o último nível de análise, baseado nos descritores da Prova Brasil (BRASIL, 2008a) e Saeb (BRASIL, 2008b), de onde destacamos os que foram contemplados na questão 4 do teste padrão. Entendemos por descritor [...] uma associação entre conteúdos curriculares e operações mentais desenvolvidas pelo aluno, que traduzem certas competências e habilidades [...] (BRASIL, 2008a, p. 18). Por competência a capacidade de agir eficazmente em um determinado tipo de situação, apoiando-se em conhecimentos, mas sem se limitar a eles (BRASIL, 2008b, p. 18). E habilidade se refere especificamente, ao plano objetivo e prático do saber fazer e decorrem, diretamente, das competências já adquiridas e que se transformam em habilidades (Ibid, 2008b, p. 18). Sendo assim, elegemos os descritores relacionados a questão, conforme quadro abaixo: QUADRO 1 DESCRITORES CONTEMPLADOS NA QUESTÃO 4 PROVA BRASIL - 8ª série do ensino fundamental Tema II - Grandezas e Medidas D12-Resolver problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas. D13-Resolver problemas envolvendo o cálculo de área de figuras planas. Tema III - Números e Operações/Álgebra e Funções D24-Reconhecer as representações decimais dos números racionais como uma extensão do sistema de numeração decimal, identificando a existência de ordens como décimos, centésimos e milésimos. D25-Efetuar cálculos que envolvam operações com números racionais (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação). D29-Resolver problema que envolva variação proporcional, direta ou inversa, entre grandezas. SAEB - 3º ano do nível médio D11-Resolver problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas. D12-Resolver problemas envolvendo o cálculo de área de figuras planas. D15-Resolver problema que envolva variação proporcional, direta ou inversa, entre grandezas. D19-Resolver problema envolvendo uma função do 1º grau. D34-Identificar um sistema de equações do 1º grau que expressa um problema. D35-Identificar a relação entre as representações algébrica e geométrica de um sistema de equações do 1º grau. Podemos observar que há descritores comuns a 8ª série do ensino fundamental e ao 3º ano do ensino médio, o que indica habilidades trabalhadas em momentos distintos da vida acadêmica do estudante. Anais do 5

6 Iremos nos referir, no nível 3 da análise, somente aos descritores da Prova Brasil (BRASIL, 2008 a) por contemplar toda a resolução institucional da questão aqui analisada. Ressaltamos que o D19, do Saeb está sendo compreendido pelo D13 da Prova Brasil, pois ao modelarmos a área de figuras planas, envolvemos a resolução de problemas com função de 1º grau. 4.ANÁLISE No Nível 1, temos três acertos, quatro erros e nenhuma resolução em branco. Já no Nível 2, os alunos A, C e G que acertaram a questão, foram agrupados na C1. Estes alunos apresentaram um desenvolvimento completo da resolução, com argumentos e justificativas corretas. Entretanto, ao finalizarem suas respostas, utilizaram o recurso da aproximação, o que diferenciou o valor final de suas respostas da resolução institucional. Os demais alunos se enquadraram na categoria C3, pois apresentaram uma organização matemática correta, porém, pequenos descuidos os levaram a cometer alguns erros. Percebemos uma semelhança nesses descuidos: no procedimento e no cálculo da área do semicírculo e em cálculos de potenciação. Abaixo segue o quadro relacionando as resoluções dos alunos com as categorias e descritores contemplados, no 2º e 3º níveis de análises, respectivamente. No descritor contemplado pelo aluno, marcamos um X, os espaços vazios correspondem ao descritor em que, não podemos inferir se a resolução os contemplava ou não e, onde há falhas nas resoluções de cada aluno, escrevemos ERRO para que, posteriormente, possamos analisá-los. Anais do 6

7 QUADRO 2 IDENTIFICAÇÃO DOS ALUNOS E ANÁLISES DO 2º E 3º NÍVEIS IDENTIFICAÇÃO ALUNOS Nível 3 Descritores Prova Brasil 8ª Nível 2 série do fundamental Categorias D12 D13 D24 D25 D29 D34 D35 A C1 x x x x x x C C1 x x x x x x x G C1 x x x x x x B C3 x E x x x x x D C3 x E E x x x E C3 x E x x x x F C3 x E x x x x OBSERVAÇÕES Arredondou o valor da área do semicírculo de 14,13m 2 para 15m 2. Arredondou o resultado R$ 1.594,80 para R$1.594,00 Arredondou o resultado de 39,87 X 40 = reais. Arredondou a área a ser gramada e escreveu a fórmula da área do círculo de forma incorreta. Não elevou o três ao quadrado no cálculo da área do semicírculo. Além disso, ele somou as áreas do retângulo com a do semicírculo. Parece ter confundido a área do círculo com o comprimento da circunferência e gramou o valor encontrado por ele. Calculou a área de um círculo e não a de um semicírculo e a aproximou de 25,74m 2 para 26m 2. Todas as resoluções analisadas mostram que os alunos montaram um sistema de equações do 1º grau, partindo do perímetro do retângulo e das relações entre seus lados através do enunciado do problema. Podemos, a partir daí, afirmar que esses alunos demonstraram ter as habilidades indicadas nos descritores D12 e D34. Além disso, estes alunos identificam os valores encontrados no sistema de equações como sendo as dimensões do retângulo. Com isso, acrescentamos a habilidade indicada pelo D35. Os alunos A, C e G, que se encaixaram na C1, resolvem corretamente a questão. Observe as figuras: Anais do 7

8 Figura 1 Resolução do aluno C Figura 2 Resolução do aluno A Fonte: Dados da Pesquisa (2009) Figura 3 - Resolução do Aluno G Observe que o aluno A arredonda o valor da área do semicírculo de 14,13m 2 para 15m 2, o aluno C é o que mais se aproxima do valor considerado na resolução institucional, pois ele só desconsidera a parte decimal do valor gasto encontrado. Já o aluno G arredonda a área a ser gramada de 39,87m 2 para 40m 2. Observe também que a resolução C contempla o D24, pois separa a representação da parte inteira da decimal do número 39,87 para realizar a multiplicação por 40. Anais do 8

9 Fazendo um comparativo entre o 2º e o 3º nível de análise, observa-se a partir do quadro acima, que as falhas no nível 2 podem ser constatadas no 3º nível. Os alunos que não contemplaram o D13 e o D25, que tratam sobre o cálculo da área de figura plana e cálculos com racionais (potenciação), respectivamente, encaixaram-se também na C3, onde descuidaram de algo nos procedimentos que induziram a erros. Os alunos B e E erraram na escrita da fórmula da área do círculo: ERRO ERRO Figura 4 Resolução do Aluno B Figura 5 Resolução do Aluno E O aluno B desenvolveu a habilidade indicada pelo D24, pois resolveu corretamente multiplicações com o número 44,56 separando a representação inteira da decimal. Entretanto, escreveu a área do círculo sem elevar o raio ao quadrado e ainda confundiu o valor do raio, que deveria ser 3m, com o diâmetro, 6m. O aluno E parece confundir a fórmula da área do círculo com a fórmula do comprimento da circunferência, além disso, não calculou a área a ser gramada de forma correta. Percebese daí, que esses alunos não desenvolveram a habilidade citada pelo D13. ERRO Figura 6 Resolução do Aluno D Anais do 9

10 O aluno D escreveu a fórmula da área do semicírculo corretamente, porém não elevou o raio ao quadrado. A partir daí, a sua resolução se deu de forma incorreta não contemplando, assim, o D25. Além disso, ao adicionar as áreas do retângulo e do semicírculo, não percebeu que área deveria ser gramada, encontrando um valor incorreto a ser gasto para gramar todo o terreno. Com isso, o aluno D parece não demonstrar a habilidade do D13. Na resolução do Aluno F pode-se perceber que ele não se deu conta de que a área a ser calculada trata-se da área do semicírculo e não de um círculo. Ele encontrou o valor da área a ser gramada (25,74m 2 ), subtraindo o valor da área do retângulo pelo da área do círculo. Nesse momento cometeu o erro, pois não percebeu que se tratava da área de um semicírculo. Por esse motivo podemos dizer que este aluno não desenvolveu a habilidade indicada no D13. Já no final da sua resolução ele arredondou o valor de 25,74 m 2 para 26 m 2 e o multiplicou por 40, pois percebeu que se 1 m 2 vale 40 reais, logo a área a ser gramada valerá 40 vezes essa área, concluindo a sua resolução mostrando ter a habilidade descrita no D29. ERRO Figura 7 Resolução do aluno F 5.CONSIDERAÇÕES FINAIS A partir da análise, podemos perceber que apenas três alunos acertaram a questão, mostrando que desenvolveram as habilidades indicadas pelos descritores aqui considerados. Porém, arredondaram valores desnecessariamente, pois a situação proposta pede o valor exato da resposta, não cabendo, assim, arredondamentos e nem aproximações. Acreditamos que este fato se deu, ou para tornar mais fácil os cálculos, uma vez que estes envolviam números decimais e são mais trabalhosos ou por pensarem Anais do 10

11 que a aproximação se daria porque escreve-se sobre isto na questão [...] Considerandose o valor aproximado de π=3,14[...]. Em relação aos outros alunos, os quais se enquadraram na categoria C3, podemos perceber os possíveis tipos de erros em suas resoluções: a) Erro na escrita da fórmula da área: os alunos B e E descuidaram-se por não escreverem corretamente a área do círculo. b) Erro ao não considerar o expoente da base 3: o aluno D não considera o expoente 2 da base 3, calculando, incorretamente, a área do semicírculo. c) Erro ao trocar o valor do raio do semicírculo pelo diâmetro: o aluno B não percebe que o número 6 que ele encontrou equivale ao valor do diâmetro do semicírculo, o considerando como o valor raio. d) Erro no cálculo da área a ser gramada: os alunos D e E não calcularam corretamente a área a ser gramada. O primeiro soma o valor da área do retângulo ao da área do semicírculo e o outro apenas calcula a área do retângulo. Assim como Cury (2007), conseguimos, a partir da análise das resoluções dos alunos do 6º semestre, identificar alguns desses possíveis tipos de erros, observando assim, a falta de algumas habilidades por parte desses alunos, não contemplando todos os descritores considerados. Contudo, podemos perceber que, até o momento, ainda há erros por parte dos alunos envolvendo conteúdos do ensino básico, onde aqui consideramos o conteúdo de geometria. O fato de os alunos pesquisados não terem desenvolvido algumas habilidades necessárias para resolver esta questão de conteúdo da educação básica, nos preocupa, pois eles serão futuros professores. 6. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem à Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado da Bahia- FAPESB e à Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia-UESB pelo financiamento ao projeto 8539/2007 e à bolsa de iniciação científica, respectivamente. 7.REFERÊNCIAS Anais do 11

12 BORTOLOTI, R. D. M.; GUSMÃO, T. C. R. S.; SILVA, C. V.; NEVES, M. R. Mapeando possíveis erros e dificuldades de alunos dos cursos de licenciatura em matemática das Universidades Estaduais Baianas: uma ação coletiva. No prelo. BORTOLOTI, R. D. M. et al. Análise dos Erros Cometidos por Discentes de Cursos de Licenciatura em Matemática das Universidades Estaduais Baianas f. Projeto de Pesquisa Departamento de Química e Exatas, Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia, BA, BRASIL. Ministério da Educação. PDE: Plano de Desenvolvimento da Educação: Prova Brasil: ensino fundamental: matrizes de referência, tópicos e descritores. Brasília: MEC, SEB; Inep, 2008a. BRASIL. Ministério da Educação. PDE: Plano de Desenvolvimento da Educação: SAEB: ensino médio: matrizes de referência, tópicos e descritores. Brasília: MEC, SEB; Inep, 2008b. CURY, H. N., Análise de erros: o que podemos aprender com as respostas dos alunos. BH: Autêntica, 2007 GUSMÃO, T. C. R. S. Los procesos metacognitivos en la comprensión de las prácticas de los estudiantes cuando resuelven problemas matemáticos: una perspectiva ontosemiótica f. Tese (Doutorado em Didáctica das Matemáticas). Departamento de Didáctica das Ciencias Experimentales e das Matemáticas. Universidade Santiago de Compostela: Espanha, OLIVEIRA, A.P.T.; BORTOLOTI, R.D.M.; ARAÚJO, R.A.S. Fazendo uma Análise do Teste Piloto Aplicado aos Iniciantes e Veteranos do Curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia Jequié In: VII Semana da Educação 40 anos da Faculdade de Educação, 50 anos da Escola de Aplicação: conquistas e desafios. São Paulo, Anais, USP, PINTO, N. B. O erro como estratégia didática: estudo do erro no ensino da matemática elementar. SP: Papirus, Anais do 12