SEQUÊNCIA DE ENSINO PARA O TEOREMA DE SCHWARZ: ANÁLISE PRELIMINAR E ANÁLISE A PRIORI

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1 SEQUÊNCIA DE ENSINO PARA O TEOREMA DE SCHWARZ: ANÁLISE PRELIMINAR E ANÁLISE A PRIORI Francisco Regis Vieira Alves regis@ice.edu.br Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Estado do Ceará - IFCE Tema: Pensamento Matemático Avançado Modalidade: CB Nivel educativo: Terciário Universitário Palabras chave: Teorema de Schwarz, Engenharia Didática, Tecnologia, Ensino. Resumo Sob determinadas hipóteses, quando consideramos unções em duas variáveis reais, a ordem da derivação de suas variáveis é irrelevante e conduzem ao mesmo resultado. Tal ato é relatado e apresentado pelos autores de livros de Cálculo no Brasil como Teorema de Schwarz. Assim, diante dos entraves relatados na literatura, descrevemos as etapas de análise preliminar e analise a priori, previstas na metodologia de pesquisa conhecida como Engenharia Didática. A sistematização e detalhamento destas duas etapas de investigação nos auxiliaram na estruturação do desenho didático de situações-problema que evitam determinados entraves, apontados por especialistas. Ademais, o uso da tecnologia pode impulsionar a modiicação da mediação deste objeto em sala de aula, na medida em que, as atividades visão não apenas a valorização do caráter manipulatório/ algoritmizado. Por im, com origem nessas etapas de pesquisa, inserimos a discussão da adoção de uma proposta de ensino que pode ser usada na ase de experimentação. 1. Introdução Apresentamos neste escrito, a descrição das etapas iniciais (análise preliminar e análise a priori) de um estudo teórico, apoiado na sistematização investigativa da Engenharia Didática - ED. Quando restringimos nossa atenção às duas etapas iniciais, o design de investigação proposto pela ED possibilita a sistematização de etapas para a preparação didático-metodológica do proessor, que antecedem o momento eetivo da mediação em sala de aula. Assim, com o tema Teorema de Schwarz, discutiremos e descreveremos alguns elementos atinentes a certas situações envolvendo o uncionamento de contraexemplos em Matemática. Reparemos que a exploração do CAS Maple uncionará como elemento impulsionador para outras ormas de mobilização do saber matemático, com ênase na visualização e percepção de determinadas propriedades gráico-geométricas. Actas del VII CIBEM ISSN

2 . Engenharia Didática A metodologia de pesquisa nominada Engenharia Didática (ARTIGUE, 1996), tem sido utilizada design de investigação, numa perspectiva de complementaridade (ARTIGUE, 008) com outras teorias, desde a década de 80. Sublinhamos o estudo de Camacho & Aguirre (001) que discute um desenho didático para a apresentação do conceito de limite. Esses autores dão ênase nas etapas de analise preliminar e análise a priori. De modo semelhante, neste artigo, escolhemos um teorema que prevê as condições de comutatividade das derivadas mista (em nosso caso, para unções z ( x, y) ) como objeto investigado. Ademais, diante da relevância do citado teorema, e lugar didático garantido nas discussões desenvolvidas em disciplinas dos cursos de graduação no Brasil, sobretudo, nos cursos de licenciatura em Matemática, assumimos a premissa sobre a relevância da descrição de situações didáticas que promovam a visualização, com vistas ao seu melhor entendimento conceitual, e não apenas lógico-ormal (ALVES, 01b, p. 15). Desde que, vista como metodologia de pesquisa, a Engenharia Didática ED é caracterizada como um esquema experimental com base em realizações didáticas em sala de aula. Além disso, nos apoiando em Almouloud (007, p. 171), optamos pela descrição das seguintes etapa: (i) análise preliminar ou análise prévia; (ii) construção das situações e análise a priori. Daí, em (i), tencionamos descrever o estudo da organização matemática e da organização didática do objeto matemático. Em (ii), realizaremos a descrição das situações problema, a determinação das escolhas das variáveis didáticas locais. Por im, salientamos que, de acordo com Almouloud (007, p. 176), a análise matemática envolve a possibilidade de identiicar os métodos e/ou estratégias de resolução de cada situação, evidenciando os conhecimentos e saberes matemáticos envolvidos.. Passaremos, então, a etapa de análises preliminares.. Análise a priori e concepção de situações Nas situações doravante propostas, indicaremos elementos, descreveremos uma via de abordagem que evita os processo algébricos manipulatórios, recorrentemente identiicados nos livros de Cálculo no Brasil (ALVES, 011; ALVES & BORGES NETO, 011). Neste sentido, concordamos com Alves & Borges Neto (011, p. 10), quando apontam a hegemonia do caráter dos procedimentos e aplicações, em detrimento do caráter conceitual, como característica marcante dos autores de livros de Cálculo no Brasil. Desde modo, nossas análises prévias envolvidos com este saber, apontam Actas del VII CIBEM ISSN

3 indicadores que podem atuar como entraves, em abordagens que se pautam, apenas, nesses compêndios tradicionais de Cálculo (GUIDORIZZI, 010; STEWART, 001). Deste modo, com o intuito de superar tais entraves, estruturamos duas situações. (1) Decidir a classe de dierenciabilidade e as condições de aplicação do teorema de Schwarz em relação à seguinte unção ( x y ) ( ) ( x, y) xy x y Comentários: Na igura abaixo indicamos as regiões do espaço onde estão deinidos os gráicos de ( x, y ), ( xy, ) e ( xy, ).. Esse primeiro exemplo oi escolhido, tendo em vista, que o mesmo constitui, aparentemente, o principal contraexemplo ornecido pelos autores de livros (ALVES, 011, p. 10). Nossa discussão deverá evitar, de modo precipitado, a constatação do principal ato salientado por esses autores, ou seja, a constatação de que (0, 0) 1 1 (0, 0). y y Figura 1. Descrição gráico-geométrica da unção e suas derivadas de 1ª e ª em relação à variável x Na tabela 1 exibimos a descrição analítica das derivadas parciais de 1ª e ª ordem relativas à unção ( x, y ). Determinados teoremas, cuja demonstração é, em muitos casos, omitida, podem ser aplicados nos termos que apresentamos, como as seguintes propriedades lim ( xy, ) (0,0) e ( xy, ) (0,0) lim ( xy, ) (0,0). ( xy, ) (0,0) Tabela 1: Descrição analítica das derivadas de 1ª e ª ordem da unção. Descrição analítica das derivadas com auxílio do sotware Maple y( x y ) x y x y( x y ) x ( x, y) x y x y ( x y ) xx 6yx 6 yx( x y ) 8x y 8 x y( x y ) ( x, y) x y ( x y ) ( x y ) ( x y ) y ( x, y) x x y xy xy x y y x y x y ( x y ) ( ) ( ) Actas del VII CIBEM ISSN

4 ( x, y) xy yy yx 6yx 6 yx( x y ) 8xy 8 xy ( x y ) y x y ( x y ) ( x y ) ( x y ) x y y y ( x y ) x x ( x y ) 8 x y ( x y ) ( x, y) y x y x y x y x y x y ( x y ) Fonte: Elaboração do autor. Uma veriicação negligenciada diz respeito à análise da classe de dierenciabilidade desta unção. De ato, usando a substituição por coordenadas polares, veriicamos que lim ( cos( ), sen( )) 0 (0,0) ( cos( ), sen( )) (0,0) e lim ( cos( ), sen( )) 0 (0,0). y y ( cos( ), sen( )) (0,0) Por outro lado, lim ( x, x ) 0 (0,0) ( xx, ) (0,0) e lim ( x, x) 0 (0,0). Tais limites devem indicar elementos aos y y ( yy, ) (0,0) estudantes concluir que 1 e C C, onde 1 C representa a classe de dierenciabilidade das derivadas de 1ª ordem contínuas. Enquanto que indica C que suas derivadas de ª não são contínuas. Na igura, mostramos que as derivadas de 1ª ordem são distintas (ig., lado direito) do ponto de vista gráico-geométrico. Figura. Descrição gráico-geométrica das derivadas parciais de 1ª ordem Ainda com base nos dados que exibimos na tabela 1, podemos também veriicar que lim (, ) xy (0,0) ( xy, ) (0,0) e lim ( xy, ) (0,0), com o uso de yy yy ( xy, ) (0,0) coordenadas polares. Vale observar o argumento empregado em Alves & Borges Neto (011), em que escrevem ( x y ) ( x y ) ( x, y) xy xy g( x, y), onde g( x, y ) é limitada. A vantagem desse argumento diz respeito à possibilidade de avaliar e descrever Actas del VII CIBEM ISSN

5 y (0,0) e, usando limites interados. Na próxima situação, y x(0,0) abordaremos um exemplo histórico, discutido por Hairer & Wanner (008, p. 8). () Decidir as condições de aplicação do teorema de Schwarz em relação à seguinte unção y x arctg y arctg se (x,y) (0,0) ( x, y) x y. Investigar sua 0 se (x,y)=(0,0) classe de dierenciabilidade. Comentários: Nesse caso, sem o apoio computacional, a obtenção de suas derivadas de 1ª e ª ordem se torna uma tarea astidiosa. A organização didática do proessor deve prever o momento em que os aprendizes concluem que 1 C e. Tabela : Descrição analítica das derivadas de 1ª e ª ordem da unção. Descrição analítica das derivadas com auxílio do sotware Maple x x arctg y y y x 1 y x 1 x y y y y x arctg xx x x 1 y x 1 y x x y 1 y x x x y arctg y yy xy yx 1 y x y 1 y y x x x arctg x 1 y x y y 1 y x 1 y y Fonte: Elaboração do autor. Na ig., exibimos uma região do 1 y 1 x 1 y x x y x 1 x y x y y 1 1 IR aonde se tem deinido o gráico da unção, limitado, nas vizinhanças da origem. Com eeito, na ig. -I indicamos uma bola, centrada na origem. Mostramos também suas derivadas x (II) e xx (III). C Figura. Comportamento geométrico do gráico da unção e suas derivadas de 1ª e ª ordens Actas del VII CIBEM ISSN

6 Na igura -I, o proessor deve levar o entendimento do caráter limitado na origem (condição necessária para a existência do limite). Por outro lado, na igura 4, conduzimos o solucionador de problema a perceber que o comportamento gráicogeométrico de suas derivadas de ª ordem é distinto (ig. 4 no centro). Com eeito, é mais imediato se produzir alguma ilação a partir dos gráicos da igura 4, do que a identiicação de padrões algébricos exibidos na tabela. Reparemos que com amparo na percepção, divisamos a região no derivadas de ª ordem (vizinhança da origem (0,0,0)). IR na qual não temos deinido o gráico das Figura 4. Descrição gráico-geométrica de suas derivadas de ª ordem Com base dos dados da tabela e nas iguras e 4, conjecturamos que contamos com a continuidade das derivadas de 1ª ordem e a descontinuidade de suas derivadas de ª ordem. De ato, podemos escrever no quadro analítico que: lim (, ) lim [ ] 0 (0,0). Por outro y x y x y xarctg y y ( x, y) (0,0) ( x, y) (0,0) x x y x y lado, simpliicando a expressão da tabela, podemos escrever: y xy y xy lim ( x, y) lim [ arctg ]. x x x x y x y x x y ( x, x) (0,0) ( x, x) (0,0) Percebemos que, devido ao termo (*), indicado na expressão acima, se veriica, acilmente, que ( xx, ) (0,0) (*) xx lim depende da trajetória escolhida, quando tomamos x x o limite na origem. Vale destacar que nas descrições analíticas que obtemos do sotware e descrevemos as tabelas 1 e, teremos a oportunidade de empregar teoremas envolvendo a soma de limite, que devem corresponder ao limite da soma, na condição em que, exista cada limite em separado. Por im, no rol dos exemplos que encontramos nos compêndios especializados no Brasil, destacamos algumas situações: (i) Actas del VII CIBEM ISSN

7 xy ( x, y) x se (x,y) (0,0) y (GUIDORIZZI, 010, p. 75); (ii) 0 se (x,y)=(0,0) ( x, y) x y 0 se (x,y)=(0,0) x y xy se (x,y) (0,0) (STEWART, 001, p. 908). Sugerimos, do ponto de vista matemático, a seguinte descrição de (i) y ( x, y) xy xy g( x, y). ( x y ) ( x, y) (0, y) xy g( x, y) 0 y g(0, y) x x Daí, escrevemos ainda (0, y) lim lim lim y g( x, y) Por im, podemos usar que: x0 x0 x0 (0, y) (0,0) lim y g( x, y) y lim y g( x, y) y y y y y 0 0 (0,0) (0, ) lim x x x x y lim lim lim lim g( x, y) y0 y0 y0 y0 x0 yx y0 x0 As últimas relações descrevem a derivada mista (0,0) lim lim g( x, y). como um limite interado, o que proporciona proícuas relações conceituais (ALVES, 011, p. 0). Já no caso (ii), a mera identiicação do padrão algébrico x y y (x y ) xy x y (x y ) nos remete a um caso já analisado e não proporciona ulteriores implicações didáticas. 4. Considerações inais Deparamos no locus acadêmico rotinas metodológicas e abordagens de determinados conteúdos que assinalam o caráter algébrico-manipulatório de deinições e teoremas. Nesse escrito, indicamos um teorema clássico do Cálculo a Várias Variáveis que, de modo standard, recebe um trato deicitário, por parte dos autores dos compêndios especializados (ALVES & BORGES NETO, 011; ALVES, 01b). Por outro lado, com origem nos pressupostos e sistematização previstos pela ED, descrevemos duas etapas que podem subsidiar os momentos que antecedem uma aula propriamente dita de Cálculo, com o oco direcionado ao teorema de Schwarz. Sublinhamos que no rol das variáveis didáticas locais, o uso e a estruturação de atividades apoiadas na tecnologia se azem imprescindíveis, na medida em que, prevemos a ação dos sujeitos a partir da inspeção e elaboração de conjecturas a partir da visualização. Por im, no que concerne à organização matemática do objeto desse Actas del VII CIBEM ISSN

8 estudo, recomendamos ao proessor a exploração das propriedades relacionadas com a classe de dierenciabilidade das unções com que tenciona veriicar o teorema de Schwarz. Assim, em vez de restringir uma mediação didática que prioriza apenas o comportamento das derivadas mistas na origem, a investigação pormenorizada da classe da dierenciabilidade, de modo geral, por ser realizada, com o recurso ao sotware. Reerencias bibliográicas Almouloud, S. Ag. (007). Fundamentos da Didática da Matemática. São Paulo: Editora UFPR. Alves, F. R. V. (011). Aplicações da Sequência Fedathi na promoção das categorias do raciocínio intuitivo no Cálculo a Várias Variáveis. Tese (Doutorado em Educação) Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 5p. Disponível em: < Alves, F. R. V.; Borges Neto, Hermínio. (011). Análise de livros de cálculo a várias variáveis: o caso da comutatividade das derivadas parciais. In: XIII Conerência Interamericana de Educação Matemática, 1-1. Acessado em: de evereiro 01. Disponível em: Alves, F. R. V. (01a). Uma Engenharia Didática para o ensino do Cálculo o caso da identiicação dos pontos extremantes de uma unção. In: Anais do X Conerência Argentina de Educación Matemática. Buenos Aires, 1-4. Acessado em: de evereiro 01. Disponível em: 1 de jan 01. Disponível em: Alves, F. R. V. (01b). Uma sequência de ensino para a aplicação do teste da Hessiana. In: Anais do V Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática. Acessado em: de evereiro 01. Disponível em: 10 de jan 01. Disponível em: Artigue, M. (1996). Ingénierie didactique. In: BRUN, J. Didactiques des Mathématiques, Paris: Delachaux et Niestlé, pp Artigue, M. (008). Didactical design in Mathematics Education. En Winslon, Carl. (ed.) Nordic Research in Mathematics Education. NORMA08, p Acessado em: de janeiro 01. Disponível em: Camacho, A. & Aguirre, M. (001). Situación didática del concepto de límite ininito: análisis preliminar. Revista Latinoamericana de Investigacion en Matematica Educativa. Novembro, v. 4, nº, p Guidorizzi, Hamilton. (010). Um curso de Cálculo, v., 5ª edição. São Paulo: LTC. Hairer, E. & Wanner, G. (008). Analysis by its history. New York: Springer. Stewart, J. (001). Cálculo. v. II, 4ª edição. São Paulo: Thomson. Actas del VII CIBEM ISSN