UMA SEQUÊNCIA DE ENSINO PARA A APLICAÇÃO DO TESTE DA HESSIANA

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1 UMA SEQUÊNCIA DE ENSINO PARA A APLICAÇÃO DO TESTE DA HESSIANA Francisco Regis Vieira Alves Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia do Estado do Ceará, Brasil fregis@ifce.edu.br RESUMO Investigações em torno do ensino/aprendizagem do Cálculo Diferencial a Várias Varáveis CVV são registradas de forma escassa no Brasil. Neste estudo, apresenta-se uma Engenharia Didática ED (ARTIGUE, 1995a, 1995b) com o tema envolvendo a identificação dos pontos extremantes de uma função z f ( x, y). A fase de experimentação e de validação da ED é apoiada nos pressupostos da metodologia de ensino conhecida no Ceará como Sequência Fedathi SF. Deste modo, produziu-se um clima de investigação em uma atividade, na qual a exploração didática do software Maple se mostrou essencial com vista a se evitar sua algoritmização. A exploração das fases previstas pela SF proporcionou o emprego dos conhecimentos do CUV no contexto do CVV, o que fortalece o processo de transição interna (ALVES, 011). Na fase de validação interna, registrou-se que os alunos confrontaram os dados obtidos por intermédio da visualização, segundo a identificação de pontos de inflexão e pontos críticos no IR, com os dados obtidos pelas inferências lógicas. O uso do teste da Hessiana não se limitou ao modelo formal. Por fim, ante a complexidade dos símbolos algébricos do CVV, a mediação com recurso no software estimulou a interpretação intuitiva da tarefa e instalou o debate entre os alunos. Palavras-chave: Engenharia Didática, Ensino do Cálculo, Visualização, Sequência Fedathi.

2 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA ABSTRACT Investigations on the teaching/learning of the Differential Calculus in Several Variables CVV are registered in the rare way in Brazil. This study presents an Didactical Engineering DI (ARTIGUE, 1995a, 1995b) with the theme involving the identification of extreme points of a function z f ( x, y). The experimental and the validation phase of ED are supported on the assumptions of teaching methodology known in Ceará as Sequencia Fedathi SF. In this way, its produces an atmosphere of investigation of a structured activity, in which the didactics exploration of the software Maple shown to be essential in order to avoid the algoritmization of the proposed task. The exploration of the phase anchored by the SF provide the use of knowledge s CUV in the context of CVV, witch strengthens the process of internal transition (ALVES, 011). In phase of internal validation, registered that the students confronted the data obtained though the visualization, identification of inflexion points and critical points in the IR based in the data obtained by the use of logical inferences. The use of the Hessian test not limited to the formal model. Finally, facing the complexity of algebraic CVV symbols, the mediation using the software, encouraged the intuitive interpretation of the task and setup the debate among students. Keywords: Didactic Engineering, Teaching of Calculus, Visualization, Sequência Fedathi. 1 Introdução O ensino e a aprendizagem do Cálculo Diferencial e Integral em Uma Variável Real - CUV é objeto de estudo há décadas. Vários escritos científicos, sejam realizados no Exterior ou no Brasil, indicam elementos preocupantes que, apesar dos esforços e da proposição de possíveis indicadores com vistas à superação de sérios entraves detectados no ensino e na aprendizagem do CUV, observamos que problemáticas inerentes a este contexto de interesse persistem até nossos dias. Por outro lado, em relação ao ensino e à aprendizagem do Cálculo a Várias Variáveis - CVV, sobretudo no Brasil, não percebemos a mesma atenção e igual vigor, no que tange ao surgimento de pesquisas. Assim, malgrado essa escassez aparente

3 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA relativa ao desenvolvimento de pesquisas no âmbito do CVV, conjecturamos a ideia de que muitos dos obstáculos, já identificados há algum tempo, no contexto do ensino do CUV, ocorrem também no CVV, com agravantes proporcionados pelas próprias características intrínsecas deste conteúdo, como, por exemplo, as simbologias. Revisão Bibliográfica sobre o ensino do CVV No estudo do CVV, as mudanças simbólicas são percebidas, como evidenciamos na figura 1, que descreve a transição interna analisada na tese de Alves (007; 011). Figura 1: Quadro de transição interna do CUV para o CVV (ALVES, 011) Em sua tese, Alves (011) indica os elementos de transição e os elementos de ruptura relacionados ao contexto de transição interna do CUV para o CVV. Tais elementos podem ser identificados de modo intimamente vinculados aos seguintes fatores: (i) um sistema de representação simbólica mais complexo do que o outro; (ii) as argumentações envolvidas na demonstração dos teoremas do CVV envolvem ideias generalizadas dos teoremas do CUV, inclusive a natureza das definições formais envolvidas; (iii) a mudança da natureza geométrica dos objetos matemáticos envolvidos; (iv) a mudança de significação conceitual; (v) o surgimento de regras operatórias semelhantes, tanto no CUV, como no CVV; (vi) regras operatórias válidas num contexto e inapropriadas em outro; (vii) teoremas do CUV sem interpretações semelhantes no CVV e vive-versa; (viii) definições formais que envolvem uma mudança de significado de acordo com a teoria formal e (ix) generalização de noções e definições formais no IR ou n IR, sobretudo de natureza topológicas. Na medida em que exploramos o uso da tecnologia de modo adequado, os

4 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 4 elementos de ruptura podem funcionar como elementos de transição, uma vez que o aprendiz apoia uma nova aprendizagem no CVV nos conhecimentos já adquiridos e consolidados do contexto anterior. Uma discussão detalhada e alguns exemplos específicos podem ser observados no trabalho de Alves & Borges Neto (011). De fato, Alves & Borges Neto (011) verificam que a exploração da tecnologia proporciona a evolução de habilidades cognitivas e a percepção de propriedades topológicas de gráficos no IR, evitando o processo de algoritmização no ensino, que se apresenta priorizado no ensino acadêmico, todavia, criticado por especialistas (Artigue, 1998). Em outro estudo (Henriques, 006), evidenciamos o efeito didático das representações gráficas fornecidas pelo Maple, com vistas a promover melhor compreensão e, consequentemente, a solução de problemas pertinentes ao contexto do ensino do CVV. Por fim, destacamos o estudo desenvolvido por Bridoux (011), que constata o fracasso acadêmico na Bélgica, com respeito ao ensino de noções topológicas no primeiro ano de estudos acadêmicos. Em razão destes problemas registrados no Brasil e no Exterior (Martinez-Planell & Trigueros, 010), relativos ao ensino do CVV, mostramos nosso problema de investigação. Problema da Pesquisa O problema de investigação foi desenvolver uma Engenharia Didática que promova situações didáticas envolvendo a aplicação do teste da Hessiana que possibilita a identificação de pontos extremantes para funções do tipo z f ( x, y). Observamos que, no estudo de funções do tipo z f ( x), utilizamos, de modo tradicional, as noções de pontos críticos e ponto de inflexão. Semelhantemente ao que comenta Artigue (007, p. 70), com o uso das potencialidades do CAS Maple, exploramos estas noções no espaço 4 Hipóteses da Pesquisa IR como fonte de desequilíbrio no ensino do CVV. Desde que apoiamos nossas ações nos pressupostos da ED, então, assumimos determinadas hipótese de trabalho ao longo de todo o processo investigativo: 1ª) com o uso do software, os alunos conseguem avaliar a existência de pontos extremantes, sem nenhum recurso algorítmico e com apoio da visualização; ª) o emprego da tecnologia proporciona a evolução de habilidades cognitivas vinculadas à percepção de propriedades geométricas (e topológicas); ª) a aplicação do software influencia a interpretação dos dados e proporciona a

5 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 5 comparação dos dados analíticos com os dados qualitativos obtidos a partir da visualização de objetos no espaço IR e 4ª) descrições analíticas do tipo f ( x, y) x y xy, em virtude sua própria natureza, dificultam o esboço de gráficos no IR e os estudantes não obtêm êxito. Notemos que tanto o nosso problema, as hipóteses, há pouco mencionadas, como logo em seguida, os objetivos da pesquisa, constituem parte de nossas análises prévias. Na próxima seção forneceremos mais detalhes. 4.1 Objetivos da Pesquisa Este trabalho teve como objetivo geral implementar uma ED como metodologia de pesquisa, envolvendo a identificação dos pontos extremantes de uma função z f ( x, y). Para alcançar este objetivo geral, descrevemos, ainda, os seguintes objetivos específicos: promover a habilidade de visualização e da identificação de pontos críticos, pontos de inflexão e ponto de bordo no espaço IR ; promover a habilidade de visualização relativa à compreensão da noção de diferenciabilidade e desenvolver uma abordagem diferenciada com respeito aos livros didáticos de CVV que evidenciam o caráter analítico dos conceitos. 5 Metodologia da Pesquisa A metodologia de pesquisa adotada foi a Engenharia Didática - ED, a qual exibe dois níveis de pesquisa, a microengenharia e a macroengenharia. A pesquisa em microengenharia demonstra uma visão mais restrita, na medida em que se interessa pelas relações e fenômenos que ocorrem em sala de aula e são mais fáceis de desenvolver na prática (Artigue, 1995b, p. 6). Neste nível, podemos estudar determinado assunto no âmbito da complexidade da classe. No outro nível, deparamos dificuldades metodológicas e entraves institucionais que não foram considerados. Esta pesquisa é uma microengenharia que busca desenvolver uma Engenharia Didática no ensino do CVV, relativo à aplicação do teste de Hessiana na identificação de pontos extremantes de funções em duas variáveis reais. Nossa ED apresenta um método de validação interna, que não emprega métodos estatísticos comparativos. Apresenta também variáveis macro-didáticas e variáveis micro-didáticas. As primeiras dizem respeito a organização global da ED, enquanto as variáveis micro-didáticas se relacionam com uma fase específica e consideram fenômenos específicos em classe.

6 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 6 Vista como uma prática controlada de intervenção (Artigue, 008, p. 10), nossa ED se apoia em sua fase de experimentação na Sequência Fedathi SF, usada em vários estudos (Alves, 011; 01; Alves & Borges Neto, Ingar, 01). Deste modo, as atividades foram exploradas em sala de aula de acordo com as fases de ensino previstas. Um caráter importante a salientar é que a SF proporciona a criação de um ambiente experimental para a investigação em Matemática (Borges Neto et al, 001). Deste modo, o aluno pode reproduzir, em escala elementar, passos semelhantes aos executados pelo matemático profissional. Passaremos, pois, à descrição das quatro fases de nossa ED. 6 Fases da Engenharia Didática 6.1 Análises Preliminares Nesta seção, consideremos o problema definido, as hipóteses levantadas e os objetivos da pesquisa. No que segue, conforme Artigue (1995a, p ), devemos considerar de modo sistemático: uma análise epistemológica dos conteúdos visados no ensino; estudo dos entraves no campo de ensino em que pretendemos realizar uma ação didática; análise das concepções dos alunos e, por fim, exame do ensino atual e seus efeitos. Por fim, todos os elementos anteriores levaram em consideração os objetivos desta investigação. As análises preliminares foram realizadas mediante pesquisa em livros didáticos (Leithold, 1999; Guidorizzi, 010; Stewart, 004), artigos de congressos e vídeos (Lima, 010a; 010b; 010c), e resultados de investigações (Alves & Borges Neto, 011; Alves, 011), buscando autores que poderiam indicar possíveis entraves no que se refere ao delineamento e alcance das hipóteses formuladas na seção anterior. Várias vertentes podem ser consideradas nesta fase (Almouloud, 007, p. 17) e, em nosso caso, evidenciamos: análise da estrutura matemática dos conceitos investigados e análise dos livros didáticos de CVV. Neste sentido, desenvolvemos uma a análise que envolveu a estrutura matemática e sua abordagem, por meio de uma inspeção das vídeoaulas de Lima (010a; 010b; 010c). Nelas, registramos as dificuldades de um matemático profissional na descrição geométrica e intuitiva de conceitos complexos da Análise no n IR, como a noção de funções diferenciáveis. Concluímos, baseando-nos nesta análise das vídeoaulas e, também a partir das considerações de Alves (011), que: os casos perceptíveis, que admitem uma interpretação em Análise n IR, ocorrem para n e n ; sem o recurso

7 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 7 computacional, se torna impraticável a descrição geométrica de muitos conceitos importantes do CVV (Henriques; Attie & Farias, 007), sobretudo o esboço de gráficos de funções. Estas conclusões nos apoiarão na fase subsequente, no tocante à estruturação de situações-problema, relacionadas com o conteúdo em foco. No próximo segmento, trazemos a fase de concepção e análise a priori. De modo semelhante ao destacado por Bridoux (011, p. 17), nesta fase, evidenciaremos as ligações possíveis entre a Sequência Fedathi. Destacamos, todavia, que cada uma das fases previstas por Artigue é retomada de acordo com as necessidades do desenvolvimento do trabalho. Ademais, a temporalidade identificada pelo termo preliminar ou previa é relativa (Almouloud, 007, p. 17). Com efeito, alguns elementos desta fase podem ser retomados na próxima fase. 6. Concepção e Análise a priori Nesta fase, elaboramos e analisamos uma sequência de atividades com a finalidade de responder às questões e validar as hipóteses levantadas na fase anterior. Como características destas atividades, sublinhamos as seguintes características: os alunos entendem facilmente os dados do problema e podem se engajar na situação e os conhecimentos dos alunos do CUV são insuficientes para a resolução completa. Ademais, as situações-problema devem ser concebidas de modo a permitir ao aluno agir, se expressar, refletir e evoluir por iniciativa própria, adquirindo assim novos conhecimentos. (Almouloud, 007, p. 174). Por fim, na análise a priori, de acordo com as características de cada situação proposta, podemos prever o comportamento dos alunos, o que se coaduna com o que prevê Artigue (1995a, 1995b). Atividade 1. Observe a figura e responda justificando cada item na sequência. Consideramos a região no plano R [,] [,] e a função f ( x, y) x y xy. (a) Identificar os pontos críticos, pontos de inflexão e pontos extremantes na região interior da superfície; (b) descrever a natureza (ponto extremante ou sela) do ponto (,1) e (c) analisar o comportamento de suas curvas de nível f ( x, y) abaixo (figura ) e comparar com o gráfico exibido figura. k que exibimos

8 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 8 Figura : Comportamento das curvas de nível da superfície no Comentários. Reparemos que na figura destacamos as curvas parametrizadas (em azul) que descrevem o bordo da superfície (no simplesmente como restrições do tipo f ( x, ) x ( ) x( ) IR IR ), entretanto, podem ser vistas f (, y) () y () y ou e se comportam como funções em uma variável real. Ademais, os alunos devem confrontar os dados do modelo computacional e concluir que o ponto (,1) não é critico (ou de sela), todavia, o gráfico sugere tal natureza. Ademais, de acordo com as indicações de Almouloud (007, p. 174), nesta situação, os alunos devem possuir como conhecimentos disponíveis os conteúdos do CUV, todavia, insuficientes para a resolução do problema. Concordamos com Artigue (007, p. 7), ao propor uma situação-problema inconcebível somente restrita ao ambiente lápis/papel. Por fim, com ela, tencionamos promover habilidades especificas vinculadas à apreensão perceptual do solucionador deste problema. Apoiando-nos na perspectiva de Henriques (006), a atividade 1 é mostrada num contexto de exploração do software, com a intenção de proporcionar melhor interação das representações matemáticas gráficas e analíticas. Além disso, levamos em consideração também determinados fatores negativos e que podem atuar como entraves, apontados nos livros de CVV (ALVES & BORGES NETO, 011). Deste modo, propomos uma situação de investigação, e não apenas a exploração de um exercício que pode ser resolvido por intermédio da aplicação automática de um teorema do CVV, como valorizam os autores de livros didáticos (ALVES, 011).

9 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 9 Figura : Apresentação da atividade 1 com apoio computacional. 6. Experimentação O experimento foi aplicado a uma turma do 4º semestre do Curso de Licenciatura em Matemática, do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Estado do Ceará IFCE, no ano de 01. As atividades desenvolvidas ocorreram durante duas aulas da disciplina Cálculo III. Os instrumentos de coleta de dados foram entrevistas semiestruturadas, a produção escrita em sala de aula pelos grupos de dois alunos (total quatro duplas ou oito alunos) e registros de áudio e imagens (foto e vídeo). A exploração de um problema, por parte do professor de Matemática, influenciado pelos fundamentos assumidos na Sequência Fedathi SF (Borges Neto et al, 001), não orienta sua explicitação imediata. De modo sistemático, ao decorrer da investigação, seguimos as etapas ora delineadas. Fase 1 Tomada de posição apresentação do problema. No que se refere aos alunos, faz parte do seu papel a descoberta/identificação de um problema relevante. Neste caso, sem o recurso algorítmico, os alunos devem realizar a identificação visual (perceptiva) de pontos extremantes (e pontos de inflexão) sob a superfície z f ( x, y) fornecida num documento impresso (em D). Observamos que, diferentemente dos livros didáticos consultados, exploramos a noção de ponto de inflexão e pontos crítico no IR. Com base na visualização, os sujeitos devem inspecionar o caráter de diferenciabilidade da superfície (figura ). Na próxima fase, explicitamos o problema em foco.

10 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 10 problema. Fase Maturação compreensão e identificação das variáveis envolvidas no Nesta fase, os alunos são estimulados à identificação das variáveis mais pertinentes, ou melhor, os elementos invariantes desta situação-problema. Devem divisar os pontos interiores e os pontos de fronteira ou bordo (noções topológicas) e relacionar os gráficos exibidos no IR (figura ) com os gráficos no IR (figura ). Sublinhamos que, diferentemente dos livros consultados, exploramos de modo concomitante o entendimento do comportamento das curvas de nível (figura ) no e, após este comportamento, os alunos devem compreender a existência de apenas um ponto de sela. A comprovação formal desta propriedade deverá, todavia, ser realizada nas próximas fases. Fase Solução apresentação e organização de esquemas/modelos que visem à solução do problema. Nesta fase os alunos devem empregar uma estratégia com vistas à solução das atividades propostas. Neste momento, de modo individual ou em grupos, os estudantes devem aplicar os teoremas do CUV relativos às informações que podem ser extraídas da função f ( x, y) x y xy restrita na região [,] [,] aplicar teoremas relacionados à situação problema do CVV. IR R. De modo semelhante, Fase 4 Prova formalização do modelo matemático a ser ensinado. Na ultima fase, o professor deve retomar a condução do debate com a intenção de evidenciar e indicar a adequação dos argumentos válidos aplicados na resolução das atividades propostas, os limites de aplicabilidade destes e a possibilidade de restrições. Neste momento, professor e alunos devem confrontar os dados de natureza algébrica com os gráficos exibidos na tela do computador. Com respeito à atividade 1, por intermédio da mediação do professor, os alunos podem tomar o ponto (,1) como um ponto de sela, o que não se verifica pelo teste da Hessiana. Referido teste foi consultado nos livros CVV (Guidorizzi, 010; Leithold, 1999; Stewart, 004) e, no contexto da Análise no n IR, o encontramos em Lima (009, p ). Adotamos as análises de livros indicadas por Alves (011) e Alves, Borges Neto & Alves Dias (01). Eis então, seu enunciado. Teste da Hessiana. Consideremos z f ( x, y) uma função de classe C numa bola aberta B B x y IR r ( 0, 0) e vamos supor que 0 0 ( x, y ) é um ponto crítico de

11 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 11 z f ( x, y) tal que f ( x0, y0 ) (0,0) e denotando por A f x x0 y0 (, ), B f x y x0 y0 (, ) e C f y ( x, y ), temos as seguintes possibilidades: 0 0 (I) (II) B B AC. 0 e A<0, então f tem um valor máximo relativo em ( x0, y 0 ) ; AC. 0 e A>0, então f tem um valor mínimo relativo em ( x0, y 0) ; (III) B AC. 0, então f tem um ponto de sela em ( x0, y 0). (IV) B AC. 0 o teste é inconclusivo. Por se tratar de um contexto de um curso de Licenciatura em Matemática, não exigimos na atividade sua demonstração e, sim, apenas o entendimento de sua aplicação e fatores limitantes do seu emprego. Observamos as dificuldades (Alves & Borges Neto, 011) pertinentes ao domínio das possíveis demonstrações para o teste há pouco mencionado. Outrossim, destacamos o tratamento restrito dos autores de livros com respeito ao comportamento das curvas de nível e o caso (IV) acima (ALVES, 011). Antes de prosseguir, contudo, para a etapa seguinte, sublinhamos que a situaçãoproblema (figura ) discutida de acordo com a mediação e abordagem prevista na SF deve auxiliar o aluno na construção de conhecimentos e saberes de uma maneira construtiva e significativa. (ALMOULOUD, 007, p. 174). 6.4 Análise a posteriori e Validação Nesta fase, foram analisados os dados obtidos na fase de experimentação. Colocamos em funcionamento todo o dispositivo construído e descrevemos os dados a partir da descrição das fases de mediação da SF. Segue então a análise a posteriori, que se apoia no conjunto de dados recolhidos durante a experimentação. (Almouloud, 007, p. 176). Os dados são complementados por entrevistas semiestruturadas realizadas de modo individual com cada membro das quatro duplas. Na experimentação, consideramos observações realizadas sobre as sessões de ensino, as produções escritas em sala de aula, a fala durante a resolução da atividade 1, e o registro de imagens. Deste modo, na figura 4, um dos alunos da dupla 1 com amparo apenas na visualização e percepção, (na fase de tomada de posição da SF), buscou identificar os elementos mais importantes na fase de maturação.

12 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 1 Figura 4: Na fase de solução, a dupla 1 se apoiou na visualização na maturação da SF A partir dos dados inferidos nas fases anteriores, na solução, quando questionado sobre as informações pertinentes aos gráficos, extraídas também do computador, o outro indivíduo da dupla 1 respondeu prontamente que: Eu peguei a função...e essa borda aqui...esta no intervalo de x...mas o y está fixo... y...deriva a primeira vez e iguala a zero...para determinar os pontos críticos...na origem ainda eu não cheguei..identifiquei apenas os pontos de inflexão e pontos críticos...analiso aqui na figura e depois as contas...ainda não cheguei no interior da superfície...para estes pontos no interior...a gente vai usar o teste da Hessiana...eu descobri os pontos de máximos e míninos..a máximo esta aqui..o mínimo aqui..e o de inflexão..aqui...eu analiso aqui a figura... No excerto acima (linhas 5 e 6), comprovamos que sua atividade foi apoiada na visualização do objeto fornecido pelo computador. Além disso, quando declarou que [...] analiso aqui na figura e depois as contas, mostra que sua atividade foi influenciada pelos gráficos exibidos no computador. Mais adiante, a dupla 1 confrontou os dados analíticos com os dados obtidos por intermédio da percepção visual. Diferentemente das abordagens dos livros de CVV (Alves & Borges Neto, 011), este indivíduo da dupla 1 conclui suas análises confrontando os dados analíticos e geométricos. Reparemos no seu discurso terminologias de natureza topológica. Na fase de prova ainda, questionamos a compreensão de um dos sujeitos da dupla. Um dos seus membros escreveu no momento de conclusão da atividade proposta, que exibimos na figura 5. Sublinhamos a comparação dos saberes envolvidos no CUV e no

13 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 1 CVV (linha 1), o que fortalece a transição interna (ALVES, 011). Figura 5: Um dos alunos da dupla relatou os dados colhidos na visualização Na Linha 1 da figura 5, evidenciamos o fato de que um dos seus membros empregou seus conhecimentos do CUV no contexto do CVV, no espaço IR, para a identificação de ponto de inflexão (figura 6). Neste caso, a mediação apoiada na SF fortaleceu a transição interna (Alves, 011). Nas linhas 5 e 6, registramos o fato de que a dupla identificou os pontos extremantes sob a superfície, sem recorrer a nenhum processo algorítmico, com arrimo na visualização. Na fase de solução, a referida dupla empregou a algoritmização necessária para comprovar ou refutar conjecturas da fase anterior da SF. O diferencial da exploração da tecnologia nas seções de ensino diz respeito às possibilidades de se rever as argumentações e inferências produzidas pelo emprego de teoremas. Reparemos ainda que, no caso de algumas duplas, a representação particular do computador induziu a aplicação do teste da Hessiana em pontos (apenas no interior) nos quais não contamos com as hipóteses exigidas pelo mesmo. De fato, no ponto (,1), temos que f (,1) (0, 0), entretanto, em razão deste comportamento da superfície, algumas duplas aplicaram o teste neste ponto de modo indevido e, com base na visualização e percepção (figura 5), conjecturam que o ponto (,1) era um ponto de sela, o que constitui uma contradição e nas seções finais da SF

14 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 14 tivemos que esclarecer. Estes dados comprovaram a hipótese terceira do nosso estudo. Figura 6: Na fase de prova, algumas duplas compararam os dados obtidos nas fases anteriores e aplicaram o teste de Hessiana de modo indevido Na figura 7, registramos a produção escrita de um aluno da dupla. Influenciado pela visualização no computador, empregou o teste da Hessiana de modo inadequado no ponto (1,) pertencente ao interior da região, na qual, a superfície está definida. Não apenas no caso da dupla, mas no das outras equipes, podemos observar o modo pelo qual a exploração do gráfico no computador proporcionou a revisão dos dados obtidos pela aplicação do teste da Hessiana e erros de interpretação na visualização. Reparemos que estes dados foram confrontados com os objetivos específicos definidos a priori. Destacamos a reflexão de Henriques (006, p. 191) quando comenta que os estudantes, frequentemente, começam sua produção escrita, traçando o esboço dos gráficos das funções relacionadas.. Em nosso caso, apesar de não tratarmos do mesmo objeto matemático investigado em Henriques (006), a atividade de produção dos estudantes é semelhante e representações como aquela que fizemos referência nas figuras 6 e 8 são inexequíveis sem o auxílio computacional. Com efeito, nenhum estudante conseguiu fornecer um esboço do gráfico da função f ( x, y) x y xy. Tal verificação comprovou nossa 4ª hipótese, todavia, acompanhamos o esboço de gráficos do tipo f (, y) () y () y restrito ao IR.

15 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 15 Figura 7: A dupla aplicou o teste da Hessiana no ponto (,1) Com respeito à atividade da dupla, na figura 8, exibimos sua atividade de investigação na fase de maturação que, de modo semelhante ao ocorrido com as demais duplas analisadas, confrontou e comparou os dados (em D) apresentados pelo computador com aqueles fornecidos no documento escrito (em D). A dupla investigou o comportamento, também, das curvas de nível (figura ) no IR e no IR. Figura 8: Na maturação da SF, a dupla confrontou os dados exibidos no documento escrito com os dados exibidos no computador

16 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 16 Na fase de maturação, ao entrevistarmos um dos sujeitos da dupla, obtivemos a seguinte explicação referente às suas conjecturas e descobertas produzidas com arrimo na visualização e percepção do gráfico exibido na tela do computador: Aqui diz que tem que identificar apenas na figura...acho que é um extremo..e esse aqui acho que é de sela..parece de sela...esse aqui é sela..por que se você tomar esse caminho aqui...vai ser máximo..se tomar esse outro caminho..vai ser mínimo..na origem...acho que esse aqui...vai ser um extremo..por que esse ponto vai estar por aqui..e se a gente analisar as curvas de nível...por que estou achando que é extremo..por nessa região aqui...as curvas de nível estão fechadas...apesar de não estar na prova...na origem..parece ponto de sela...e temos hipérboles..provavelmente é sela... No trecho acima, registramos a ilação [...] esse aqui é sela... porque se você tomar esse caminho aqui...vai ser máximo..se tomar esse outro caminho evidencia que a visualização proporcionou um entendimento dinâmico da situação. Reparemos na figura 8, que a identificação dos pontos extremantes (máximo ou mínimo local) foi apoiado apenas na visualização e percepção das propriedades topológicas no IR e IR. De fato, no trecho acima, registramos aqui...as curvas de nível estão fechadas.. Este trecho como em outros, percebemos a exploração de noções topológicas (aberto, ponto interior, ponto de bordo, etc.) por meio do uso do software. Quando restrito apenas ao quadro analítico, comprometemos a interpretação qualitativa como a que indicamos no trecho produzido por um dos sujeitos da dupla. Aqui, a dupla identificou propriedades exploradas no computador impossíveis de serem analisadas diretamente no instrumento inscrito, como profundidade, espessura e suavidade da superfície, variação de alturas, distância entre objetos, etc. (ver figura 8). Figura 9: Extrato de um protocolo escrito por um dos membros da dupla evidenciando que suas conclusões foram baseadas desde a inspeção do gráfico na fase de solução

17 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 17 Para concluir, registramos na figura 10 a discussão provocada pela dupla 4. Nesta situação, acompanhamos o debate em sala de aula com a citada dupla e as demais, como consequência do confronto de dados fornecidos pelo computador e os obtidos como consequência dos modelos matemáticos formais envolvidos na atividade 1. Sublinhamos que os gráficos em D fornecidos pelo software proporcionaram o entendimento por meio do convencimento das propriedades discutidas. Observamos que nenhuma das duplas entrevistadas conseguiu a partir da descrição analítica f ( x, y) x y xy, esboçar um gráfico (tanto no IR ou IR ) inicial, pertinente a esta função. Tal fato foi observado durante as fases de tomada de posição e de maturação e foi previsto em nossa 4ª hipótese de trabalho. Vale comentar que na etapa de analises preliminares, a partir da inspeção dos conteúdos em vídeo de Lima (010a; 010b; 010c), pudemos constatar os entraves enfrentados por um matemático profissional, na tentativa de descrição geométrica no plano, de muitos conceitos matemáticos que, originalmente se encontram no IR ou n IR. Este exemplo comprova o papel imprescindível da exploração didática da tecnologia em sala de aula, na medida em que os alunos efetuam ligações conceituais entre as simbologias do CVV e os objetos exibidos no espaço tridimensional. Figura 10: Na fase de prova da SF, um dos alunos da dupla 4 participou do debate em sala de aula e comparou os dados do computador com os analíticos Para concluir, destacamos os estudos que apontam o modo pelo qual o ensino do CVV privilegia o quadro analítico (Henriques, 006; Martinezz-Planell; & Trigueros, 010). Em nosso caso, com origem nas fases concernentes à mediação prevista pela SF, proporcionamos uma intensa interação das representações fornecidas pelo software com os dados de natureza analítica, obtidos pela aplicação do teste da Hessiana. Além disso, o software proporcionou a aplicação do teste da Hessiana em mais de um ponto, o que

18 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 18 contradiz o comportamento das curvas de nível projetadas no apontam apenas um ponto de sela (Alves, 011). IR (figura ) que 7 Considerações finais Artigue (1995a, 1995b) critica o ensino acadêmico que prioriza o tratamento algorítmico. Em nossa ED, valorizamos os dados inferidos com apoio na visualização e percepção das propriedades geométricas envolvidas e identificadas no espaço tridimensional. Deste modo, algumas noções do CUV (no espaço IR ) foram exploradas no IR, o que geralmente é negligenciado pelos livros didáticos. As habilidades de visualização e identificação perceptual das propriedades geométricas fortalecem, pois, o processo de transição interna do CUV para o CVV, descrito na tese de Alves (011) e em outros escritos científicos (Alves; Borges Neto; & Costa, 007). Nosso posicionamento metodológico (com apoio na SF) possibilitou a verificação das hipóteses da investigação, por intermédio do confronto dos dados analíticos e as sentenças proposicionais produzidas com a visualização dos elementos da superfície descrita por f ( x, y) x y xy. Nossa escolha da tecnologia envolveu um fator de natureza pessoal, semelhante ao que observa Artigue (007, p. 69), e impulsionou, assim, a evolução de modelos mentais e imagens, baseada na percepção de propriedades dos objetos estudados no espaço IR. De acordo com as fases previstas na SF, estruturantes de nossa fase de experimentação, promovemos a adaptação de conhecimentos do CUV no contexto do CVV e uma investigação apoiada na intuição, sem o emprego precipitado de propriedades formais ou modelos algébricos, desprovidos de um entendimento real por parte do estudante. Por fim, o uso da tecnologia permitiu a comparação dos dados recolhidos por meio da inspeção da figura (em D) no computador com os dados analíticos (em D) produzidos na fase de solução. Observamos que, sem o computador, atividades como a que exploramos neste estudo se restringem ao quadro analítico, o que, aliás, é a tônica marcante no ensino acadêmico, como critica Artigue (1995a; 1995b). Deste modo, verificamos nossos objetivos específicos estabelecidos inicialmente. Concordamos então com Henriques, Attie & Farias (007, p. 78) quando declaram que a utilização do ambiente computacional pode auxiliar no processo dialético de controle e de pré-estruturação das ações.. De fato, em nossa experimentação, ante o clima de investigação promovido pela metodologia de ensino nominada Sequência

19 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 19 Fedathi, proporcionou estruturação de situações didáticas que apresentam o potencial de permitir sua replicabilidade (Artigue, 1995, 51) em outras experimentações. Referências ALVES, Francisco. R. V; BORGES NETO, Hermínio & COSTA, Rosélia, M. Uma sequência de ensino para a aquisição do conceito de derivadas parciais, direcionais e teoremas correlatos no Cálculo em várias variáveis. In: CONEXÕES, CIÊNCIA E TECNOLOGIA, v. 1, 007, P Disponível em: Acessado em: 1 de abril de 01. ALVES, Francisco. R. V. Aplicações da Sequência Fedathi na promoção das categorias do raciocínio intuitivo no Cálculo a Várias Variáveis. Fortaleza: UFC, 011, 99 p. Tese (Doutorado) Programa de Pós-graduação em Educação Brasileira, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 011. ALVES, Francisco. R. V.; BORGES NETO, Hermínio. Transição interna do cálculo em uma variável para o cálculo a várias variáveis: uma análise de livros. EDUCAÇÃO MATEMÁTICA PESQUISA. v. 1-, 011, P , Disponível em: Acesso em: 5 dez ALVES, Francisco. R. V.; BORGES NETO, H. & INGAR, Kátia, V. Aplicações da Sequência Fedathi: sobre o ensino de pontos críticos e de inflexão IR. In: VI COLÓQUI INTERNACIONAL SOBRE LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICA. 01, P Disponível em: Acessado em: 10 de abril de 01. ALVES, Francisco. R. V. Exploração de noções topológicas na transição do Cálculo para a Análise Real com o Geogebra. In: REVISTA DO INSTITUTO GEOGEBRA INTERNACIONAL DE SÃO PAULO, 1, CLXV-CLXXIX. 01, Disponível em: Acessado em: 04 de Abril de 01. ALMOULOUD, Saddo Ag. Fundamentos da Didática da Matemática. São Paulo: Editora UFPR, 007. ARTIGUE, Michelle. Ingénierie didactique. In: BRUN, J. Didactiques des Mathématiques. Paris : Délachaux et Niestle, 1995a, P. 4-6.

20 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 0 ARTIGUE, Michelle. Ingenieria Didática. In ; ARTIGUE, Michelle ; DOUADY, Régine ; MORENO, Luis & Gomez, Pedro. Ingeniéria didatica en Educacion Matemática. Bogotá : Grupo Editorial Iberoamericano, 1995b, P Disponível em: Acessado em: 10 de abril de 01. ARTIGUE, Michelle. Enseñanza y aprendizaje del Análisis Elemental: que se puede aprender de las investigaciones didáticas y los cambios curriculares? In: REVISTA LATINOAMERICANA EN MATEMATICA EDUCATIVA. Março, 1(1), P. 1998, P ARTIGUE, Michelle. Digital technologies: a window on theorical issues in mathematics education. In: CERME 5, Grécia, plenary, 007, P ARTIGUE, Michelle. Didactical design in Mathematics Education. In: WINSLON, Carl. (ed.) Nordic Research in Mathematics Education. NORMA08, 008, P Disponível em: Acessado em: 0/0/01. BORGES, Hermínio. et al. A Seqüência Fedathi como proposta metodológica no ensino-aprendizagem de Matemática e sua aplicação no ensino de retas paralelas, In: XV EPENN ENCONTRO DE PESQUISA EDCACIONAL DO NORDESTE. São Luís, 001, P BRIDOUX. Stéphanie. Enseignement de premières notions de topologie à l université : une étude de cas. Grenoble : UJF, 011, 9p, Thèse (doctorat) École de doctorat Savoir Scientifiques. Grenoble: Université Joseph Fourier, 011. GUIDORIZZI, Hamilton. L. Um curso de Cálculo, v., 5ª edição, Rio de Janeiro: LTC, 010. HENRIQUES, Afonso. L enseignement et l apprentissage des intégrales multiples: analyse didactique intégrant l usage du logiciel Maple, Grenoble: Université Joseph Fourier, 006, 0 p. Thèse (doctorat) Laboratoires Leibniz-IMAG, Université Joseph Fourier, Grenoble, 006. HENRIQUES, Afonso; ATTTIE, J. Paulo & FARIAS, Luiz, M. Referências teóricas

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