ENGENHARIA DIDÁTICA PARA A CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS NO CÁLCULO: EXPERIÊNCIA NUM CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

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1 ENGENHARIA DIDÁTICA PARA A CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS NO CÁLCULO: EXPERIÊNCIA NUM CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA Francisco Regis Vieira Alves Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia do Estado do Ceará, Brasil fregis@ifce.edu.br RESUMO No estudo do Cálculo Diferencial e Integral em Uma Variável Real, as informações obtidas das derivadas f ' e f '' de uma função f são essenciais para o esboço do gráfico, entretanto, no caso de funções não polinomiais, a tarefa pode se tornar fastidiosa sem o uso da tecnologia. Deste modo, nesta investigação, apontamos como objetivo principal, desenvolver uma Engenharia Didática ED, envolvendo o tema de construção de gráficos no Cálculo. Desenvolvem-se as fases de experimentação e validação, ancoradas na metodologia de ensino nominada de Sequência Fedathi - SF. Com relação aos dados colhidos, comprovaram-se as hipóteses iniciais formuladas no estudo e atingiram-se os objetivos propostos. Ademais, no que se refere aos resultados, destacam-se os seguintes resultados: os alunos manifestam maiores dificuldades nas tarefas envolvendo funções não diferenciáveis e não polinomiais; por intermédio da SF, os alunos evitam a algoritmização das tarefas e obtêm dados com base na visualização e percepção das propriedades topológicas e gráficas fornecidas pelo computador; o computador proporciona o aperfeiçoamento e a evolução de suas produções escritas e, consequentemente, suas imagens mentais pertinentes aos objetos matemáticos em foco neste estudo. Palavras-chave: Engenharia Didática, Gráficos, Cálculo, Sequência Fedathi. ABSTRACT It presents an Engineering Didactics ED involving the theme construction of graphs in Calculus. In the study of Differential and Integral Calculus in

2 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 2 One Real Variable, the information obtained from the derivative f ' and f '' of a function f are essential to the outline of the graphs, however, in the case of the non-polynomial function, the task can becomes boring without use the technology. Thus, in this research, develops a phase of experimentation anchored in the teaching methodology nominated Sequence Fedathi SF. However, with respect to the data collected, confirmed the initial hypotheses formulated in this study and, in the list of students productions, include the following results: students expressed the greatest difficulties in the tasks involving the non-differentiable functions and not polynomial; thought the SF students avoided the algoritmization of the tasks and retrieve data based on the view and perception of the properties provided by the computer graphics; the computer provides the improvement and development of their written productions and, consequently, their mental images relevant to the mathematical objects in focus in this study. 1 Introdução Keywords: Didactic Engineering, Graphics, Calculus, Sequencia Fedathi Há décadas observamos a realização de estudos e pesquisas em torno das dificuldades enfrentadas pelos estudantes no primeiro ano de estudos acadêmicos relativos à disciplina Cálculo Diferencial e Integral em uma Variável Real CUV. Nesse período, os estudantes mantêm contato com os conceitos de limite, derivada e integral de funções do tipo y f ( x) e, desde este momento, registramos incompreensões específicas relacionadas aos referidos conceitos matemáticos. Já no contexto de estudo das derivadas, os alunos aprendem conceitos fundamentais que auxiliam na elaboração e entendimento do comportamento qualitativo (geométrico) dos gráficos de funções no propriedades extraídas das derivadas 2 IR. Assim, conceitos como ponto crítico, ponto de inflexão e outras f ' e f '' de uma função f fornecem elementos fundamentais para o esboço de gráficos. Reparemos, todavia, que hodiernamente, o uso da tecnologia proporciona a obtenção de funções, de natureza complexa, cujos gráficos são inexeqüíveis no contexto restrito ao lápis e ao papel. Assim, neste artigo, descrevemos uma Engenharia Didática elaborada para a concepção e estruturação de atividades em sala de aula, envolvendo a construção de gráficos de funções

3 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 3 a partir das informações de natureza algébrica e geométrica das derivadas f ' e f ''. Nossa mediação didática apóia-se na metodologia de ensino conhecida como Sequência Fedathi SF e visa criar um clima experimental de investigação. 2 Breve discussão sobre o ensino do Cálculo Desde a década de 1980, encontramos pesquisas e relatos pertinentes às dificuldades referentes ao ensino e a aprendizagem no Cálculo Diferencial e Integral em uma Variável Real CUV. No contexto de ensino desta disciplina, os alunos se deparam com simbologias, tais como: lim f ( x) L ; lim f ( x) f ( a) ; xa xa f '( a) lim x 0 f ( a x) f ( a) x b ; f ( x ) dx. Nesta lista de simbologias descritas e relacionadas aos conceitos respectivos, sublinhamos o caráter diversificado relativo à interpretação da derivada de uma função no ponto f '( a ) ou mesmo da função derivada f '. De modo recorrente, os especialistas atribuem aos excessos de formalismo no ensino deste conceito como fator de produção de entraves ao entendimento. Com efeito, Artigue (2002, p. 174) lembra que a análise formal causa vários problemas, mesmo para estudantes habilidosos e, em algumas universidades, existe uma tentativa de reduzir as formalidades deste assunto, que se concentram mais nos métodos e aplicações. Um pouco mais adiante, no mesmo texto, Artigue (2002, p ) evidencia as concepções a priori dos estudantes referentes a uma tangente em uma curva num ponto A. A autora descreve seis concepções que envolvem a interpretação do processo de aproximação (do ponto M) com respeito ao ponto A, e a obtenção de uma reta tangente (figura 1). a Figura 1: O movimento de uma secante à posição de tangência descrita em Artigue (2002) Reparemos que muitas destas dificuldades residem na necessidade da compreensão dos formalismos relacionados ao processo de prova e demonstração em Matemática. No âmbito do Cálculo, a situação não é diferente, e quando nos atemos à práxis do professor e do estudante, notamos que, enquanto para o professor (e matemático profissional), em razão de um elevado grau de raciocínio, as noções de prova e demonstração são tomadas como ideias procedurais essencialmente apoiadas na Lógica e num formalismo característico. Para o estudante, todavia, o alcance inicial decorre do recurso de ideias informais, de caráter local e

4 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 4 de natureza empírica. De modo geral, Duval (1991, p. 233) declara que a compreensão do significado de uma demonstração constitui um dos obstáculos que resistem no ensino de Matemática. Duval (1991) desenvolve importante descrição da natureza do raciocínio dedutivo e a variação da natureza deste, segundo um valor epistêmico teórico e um valor epistêmico semântico. De modo breve, observamos tal variação de modo intrínseco relativo às sentenças proposicionais produzidas pelos estudantes envolvendo situações de aprendizagem em Matemática. Não nos deteremos de modo específico nos elementos extraídos da experimentação em classe desenvolvida por Duval (1991), uma vez que seu contexto é o do ensino da Geometria Plana, entretanto, uma de suas categorias possui valor de aplicação e implicação para o nosso universo de discussão que merece destaque. Para tanto, sublinhamos a noção de valor epistêmico semântico como o grau de certeza ou convicção agregado a uma determinada proposição. (DUVAL, 1991, p. 254). Por exemplo, Tall (1992) menciona que, num estudo realizado, os estudantes que consideraram a prova visual mais convincente e, acrescentaram ainda o caráter de clareza, evidente e simplicidade vinculado ao experimento. Reparemos a figura explicativa do teorema do Valor Médio descrito na figura 2. Figura 2: Demonstração visual do teorema do valor médio discutido por Tall (1992, p. 509). Por meio de uma figura, temos um acesso rápido à demonstração do teorema há pouco mencionado em qualquer livro de CUV, entretanto, o aluno pode simplesmente reproduzir todas as cadeias de inferências exigidas em sua demonstração. Sua atenção pode manter-se direcionada apenas ao viés operatório que realiza o encadeamento entre as sentenças proposicionais, em detrimento do significado e entendimento do conteúdo de cada proposição. Na próxima seção, evidenciaremos o papel da tecnologia e as possibilidades de explorarmos o significado e não apenas formulações lógicas envolvendo propriedades no CUV. 2.1 O ensino do Cálculo e o uso da Tecnologia

5 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 5 Encontramos no ensino atual do CUV um leque diversificado de esforços e propostas envolvendo a inserção da tecnologia na prática de sala de aula do professor. Nestes estudos, destacamos o uso do software Geogebra, que possibilita a utilização de cenários no ensino do CUV que se mostram inviáveis num contexto restrito às mídias lápis e papel (ALVES & BORGES NET0, 2012). A visualização é uma das habilidades cognitivas que pode ser promovida no ensino deste conteúdo e é objeto de atenção por parte de especialistas tanto no Brasil (ALVES, 2012; ALVES & BORGES NETO, 2012) como no Exterior. Muitos teoremas importantes estudados no CUV podem ser explorados, numa abordagem que privilegia um primeiro entendimento intuitivo, quando empregamos expedientes didáticos que evidenciam as propriedades geométricas envolvidas. Por exemplo, consideremos o seguinte teorema tradicionalmente encontrado nos livros de CUV. Com ele extraímos propriedades geométricas importantes do gráfico da função. Teorema 1: (i) Se f '( x) 0 sobre um intervalo I IR, então f( x ) é crescente em I ; (ii) Se f '( x) 0 sobre um intervalo I IR, então f é decrescente em I. Com apoio do Geogebra, observamos na figura 3 que, no trecho onde contamos com o caráter de diferenciabilidade da função g num ponto, obtendo o valor da declividade 1,37 0 (correspondente ao valor da derivada), inferimos que a função será crescente (à esquerda e à direita) num intervalo centrado neste ponto. O gráfico da função 3 2 g( x) x ( x 1) nos conduz a uma situação de convencimento do teorema por intermédio da percepção e que se apóia num valor epistêmico semântico. Figura 3: Interpretação geométrica do teorema 1 com recurso tecnológico. Ademais, na figura 3, é possível identificar pontos críticos da função g, ou seja, os pontos onde g'( x) 0 ou onde sua derivada não existe ( x 0 ). Reparemos o seguinte

6 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 6 comportamento na origem lim g'( x) e x0 lim g'( x) (conhecido como ponto de cúspide na origem). Ademais, no ponto x 1, percebemos que não há reta tangente ao x0 gráfico, dado o comportamento dos limites laterais há pouco indicados. Outro conceito relevante no estudo e elaboração de gráfico diz respeito ao conceito de ponto de inflexão. Com base nos livros consultados, encontramos os seguintes modos de se definir (descrever) este conceito: Figura 4: Descrição de noção de ponto de inflexão, fornecida por Guidorizzi (2010, p. 239). Figura 5: Descrição de noção de ponto de inflexão, fornecida por Stewart (2004, p. 298). Figura 6: Descrição de noção de ponto de inflexão, fornecida por Leithold (1994, p. 244). É flagrante a diferença proposta pelos três autores destacados, observando-se que o primeiro exige a continuidade da função em um ponto x p. Reparemos que, se contamos com a hipótese de que f ' é contínua no ponto x p, e ocorre uma mudança de concavidade neste ponto, consequentemente, o sinal dos valores numéricos da derivada f ' mudam de positivo para negativo (resp. negativo para positivo); segue pelo Teorema do Valor Médio que f ''( p) 0. Por outro lado, quando não contamos com a continuidade da função f ' num ponto x p, de inflexão, então o número f ''( p ) não existe. Nesta circunstância, poderá ou não haver uma mudança de concavidade no gráfico da função f. Nesta situação apenas com o estudo do sinal da função f '' podemos concluir, de acordo com a definição da figura 5, se há ou não ponto de inflexão. A última definição proposta por Leithold (1994) exige que tenhamos sobre o ponto de

7 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 7 inflexão uma reta tangente. Neste caso, então, contamos com a continuidade da função f ' no ponto x p e, sobre ele temos f ''( p) 0. De modo resumido, registramos o fato de que não há homogeneidade, e diríamos, até mesmo, consenso por parte dos autores Guidorizzi (2010), Leithold (1994) e Stewart (2004). Vejamos outro teorema imprescindível na construção de gráficos. Teorema 2: (i) Se f ''( x) 0 sobre um intervalo I IR, então o gráfico de f é côncavo para cima em I ; (ii) Se f ''( x) 0 sobre um intervalo I IR, então o gráfico de f é côncavo para baixo em I. Na prática, quando lidamos com funções mais complexas, pode se tornar difícil identificar a localização exata da mudança de posição das retas tangentes a uma curva, na dependência do enunciado do teorema e descrição das definições formais em questão. Na figura 7, por meio de alguns comandos básicos do Geogebra, e ativando a animação, podemos conjecturar a localização aproximada em que temos a mudança de concavidade e, portanto, um ponto de inflexão da função 3 2 h( x) x 6x 9x 3. Figura 7: Interpretação geométrica do teorema 1 e a posição das retas tangentes ao gráfico de funções. x Por fim, enunciamos o último teorema que pode ser utilizado na construção de gráficos Teorema 3: Supor que f '' seja contínua num intervalo I IR, que contém um ponto c. Então: (i) se f '( c) 0 e f ''( c) 0, então f( x ) tem um mínimo local em I ; (ii) se f '( c) 0 e f ''( c) 0, então f tem um máximo local em I. As definições e teoremas exibidos envolvem o campo conceitual que caracteriza um

8 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 8 conhecimento necessário para o entendimento do estudante relativo à tarefa de construção de gráficos. Ressaltamos, entretanto, que nosso contexto de aplicação e investigação se restringiu a um curso de licenciatura em Matemática. Deste modo, o domínio da demonstração dos teoremas principais que auxiliam na construção de gráficos não é posto em destaque e, sim, o entendimento de sua aplicação e fatores limitantes do seu uso. 3 Problema da Pesquisa Nosso problema de investigação diz respeito ao uso da tecnologia como fator de promoção de uma abordagem didática, que alie a visualização como fator de entendimento na construção de gráficos. Assim, desenvolver uma Engenharia Didática que possibilite a concepção de situações didáticas envolvendo a construção de gráficos, com suporte nas informações (de natureza geométrica) extraídas das derivadas f ' e f '' de uma função f. A formulação deste problema indica uma dificuldade que pretendemos resolver ou, pelo menos, compreender no contexto de um curso de graduação de Licenciatura. 3.1 Hipótese da Pesquisa Desde que apoiamos nossas ações nos pressupostos da ED, então, assumimos determinadas hipótese de trabalho ao longo de todo o processo investigativo: 1ª) a incidência de erros e incompreensões é maior no caso da derivação de funções não polinomiais; 2ª) os alunos manifestam mais erros na construção de funções não diferenciáveis sem o recurso computacional e 3ª) os alunos manifestam menores dificuldades no entendimento de propriedades matemáticas de natureza geométrica com apoio na visualização. Em relação a estas hipóteses, cabem alguns comentários. Inicialmente, como nosso ambiente de investigação trata-se de um curso de licenciatura em Matemática, não enfatizamos o domínio das demonstrações formais, envolvendo as propriedades das funções f ' e f ''. Segundo, gráficos que possuem pontos de cúspide ou a perda de diferenciabilidade apresentam difícil identificação e construção, conforme o relato de autores dos livros consultados. Numa perspectiva geral, Artigue (1995b, p. 40) salienta que o ensino tradicional privilegia o quadro algébrico. Assim, ante a natureza da exploração registrada nos livros didáticos que consultamos, habilidades relacionadas com a visualização de propriedades geométricas restam comprometidas.

9 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA Objetivos da Pesquisa Este trabalho teve como objetivo geral implementar uma ED, envolvendo a construção de gráficos de funções a partir das derivadas f ' e f '' de uma função f. Para alcançar este objetivo geral, descrevemos ainda os seguintes objetivos específicos: promover a habilidade de visualização da identificação de pontos críticos e pontos de inflexão e promover a habilidade de visualização relativa à compreensão da noção de diferenciabilidade. 4 Metodologia da Pesquisa A metodologia de pesquisa adotada foi a Engenharia Didática ED, a qual pode ser utilizada em pesquisas que estudam os processos de ensino e aprendizagem de um dado objeto matemático (ALMOULOUD, 2010, p. 171). A ED apresenta dois níveis de pesquisa, a microengenharia e a macroengenharia. A pesquisa em microengenharia exterioriza um olhar mais restrito, na medida em que se interessa pelas relações e fenômenos ocorrentes em sala de aula e são mais fáceis de desenvolver na prática (ARTIGUE, 1995b, p. 36). Neste nível, podemos estudar determinado assunto no âmbito da complexidade da classe. No outro plano, deparamos dificuldades metodológicas e institucionais. Esta pesquisa é uma microengenharia que busca desenvolver uma Engenharia Didática no ensino do CUV, relativo à construção de gráficos de funções a partir das propriedades de suas derivadas de 1ª e de 2ª ordens. Exibe um método de validação interna, que não emprega métodos estatísticos comparativos (sem aplicação de pré-teste ou pós-teste). Apresenta também variáveis macrodidáticas e variáveis microdidáticas. As primeiras dizem respeito a organização global da ED, enquanto que as variáveis micro-didáticas se relacionam com uma fase específica prevista da ED. Vista como uma prática controlada de intervenção (ARTIGUE, 2008, p. 10), nossa ED se apóia, em sua fase de experimentação, na Sequência Fedathi SF empregada em estudos acadêmicos (ALVES, 2011, 2012; ALVES & BORGES NETO, INGAR, 2012), de tal modo que, as atividades foram exploradas em sala de aula, de acordo com as fases de ensino nela previstas. Caráter importante é que a SF proporciona a criação de um ambiente experimental para a investigação em Matemática, de sorte que o aluno pode reproduzir, em escala elementar, passos semelhantes aos executados pelo matemático profissional (BORGES NETO et al, 2001, p. 594). Passaremos, então, a descrição de suas fases. 5 Fases da Engenharia

10 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA Análises Preliminares De modo sistemático, conforme Artigue (1995a, p ), nesta etapa consideramos: uma análise epistemológica dos conteúdos visados no ensino; análise dos entraves no campo de ensino em que pretendemos realizar uma ação didática; exame das concepções dos alunos e, por fim, análise do ensino atual e seus efeitos. Por fim, todos os elementos anteriores levaram em consideração os objetivos desta investigação. As análises preliminares foram realizadas mediante pesquisa em livros didáticos de CUV (GUIDORIZZI, 2010; LEITHOLD, 1994; STEWART, 2004), com o objetivo precípuo de analisar e comparar a abordagem dos teoremas 1, 2 e 3, enunciados na seção 1. O objetivo desta revisão bibliográfica foi encontrar atividades didáticas potencializadoras dos conceitos envolvendo nosso objetivo geral. A parte preditiva desta fase centra-se nas características da situação didática que tencionamos levar aos estudantes. Consideramos também o que pode ser posto em funcionamento pelos sujeitos em circunstância de ação, seleção, decisão, controle e validação. Neste caso, por exemplo, os estudantes dispõem da aplicação dos teoremas 1, 2 e 3. Reparemos, entretanto, que os elementos considerados nesta fase podem ser retomados na etapa seguinte (ALMOULOUD, 2010, p. 173). 5.2 Concepção e análise a priori Nesta fase, elaboramos e analisamos uma sequência de atividades com a finalidade de responder às questões e validar as hipóteses suscitadas na fase anterior. Como características destas três atividades, sublinhamos as seguintes características: os alunos entendem facilmente os dados do problema e podem se engajar na situação; os conhecimentos dos alunos não são insuficientes para a resolução completa. Ademais, as situações-problema devem ser concebidas de modo a permitir ao aluno agir, se expressar, refletir e evoluir por iniciativa própria, adquirindo assim novos conhecimentos. (ALMOULOUD, 2007, p. 174). Por fim, na análise a priori, de acordo com as características de cada situação proposta, podemos prever o comportamento dos alunos e explicar seu sentido, coadunando-se com o que prevê Artigue (1995a; 1995b). No próximo segmento, apresentamos a fase de experimentação, em que colocaremos em funcionamento todo o dispositivo construído Atividade 1. Considerando a função f ( x) x 6 x, descrever o comportamento do seu gráfico e analisar seu caráter de diferenciabilidade no intervalo [ 2,7]. Atividade 2. Considerando a função 3 2 g( x) x ( x 1), descrever o comportamento do

11 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 11 seu gráfico e analisar seu caráter de diferenciabilidade em IR Atividade 3. Considerando a função polinomial 3 2 h( x) x 6x 9x 3, analisar, justificar e escolher um dos gráficos (I) ou (II) correspondente ao comportamento geométrico das funções h, h ' e h '' no intervalo [ 1,5]. Figura 8: Comportamento gráfico da função h e suas derivadas Figura 9: Comportamento gráfico da função h e suas derivadas 5.3 Experimentação O experimento foi aplicado a uma turma do 4º semestre do curso de licenciatura em Matemática, do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Estado do Ceará IFCE. As três atividades desenvolvidas ocorreram durante as aulas da disciplina Cálculo I (num período de três horas de duração). Os instrumentos de coleta de dados foram entrevistas semiestruturadas, a produção escrita em sala de aula pelos grupos de dois (total quatro grupos ou oito alunos) alunos e registros de áudio e imagens (fotos e gravação de vídeo). A exploração e abordagem de um problema, por parte do professor de Matemática, influenciado pelos fundamentos assumidos na Sequência Fedathi SF (BORGES NETO et

12 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 12 al, 2001), não orienta sua explicitação imediata do mesmo. De modo sistemático, seguimos as etapas a seguir expressas. Fase 1 Tomada de posição apresentação do problema. No que se refere aos alunos, faz parte do seu papel a descoberta/identificação de um problema relevante. No caso das três atividades propostas e o recurso computacional, os estudantes vivenciam um clima de debate em sala de aula. Cabe ao professor estimular os aprendizes à formulação de conjecturas. No caso de nossas atividades, os estudantes devem manifestar melhor desempenho na identificação das propriedades da função 3 2 h( x) x 6x 9x 3, por se tratar de uma função polinomial. Na próxima fase, explicitamos o problema em foco. Fase 2 Maturação entendimento e identificação das variáveis envolvidas no problema. Nesta fase, os alunos são estimulados à identificação das variáveis mais pertinentes, ou melhor expressando, os elementos invariantes desta situação. Parte destes elementos diz respeito aos teoremas que podem ser empregados para a aplicação de uma estratégia que pode possuir maior chance de êxito. Notemos, entretanto, que as funções f ( x) x 6 x e 3 2 g( x) x ( x 1) não estão nas condições dos teoremas 1, 2 e 3. Com efeito, não evidenciamos os cálculos e exibimos na tabela abaixo apenas a lista de suas derivadas de 1ª e de 2ª ordens. No caso da função f, o aluno deve identificar, algebrica e geometricamente, três pontos críticos. De modo semelhante, identificar três pontos críticos correspondentes à função g e apenas dois pontos críticos de h. A identificação dos pontos de inflexão exige o estudo do sinal das expressões f ''( x ) e g''(x). Na tabela 1 trazemos algumas informações. Tabela 1: Descrição analítica dos pontos críticos e de inflexão das funções. Função 1ª Derivada 2ª Derivada f ( x) x 6 x f '( x) 3 4x x 2 (6 x x ) pontos criti cos x 4,0,6 f ''( x) 3 8x 2 ( x 6 x ) pontos inflexão x 0,6 3 2 g( x) x ( x 1) 2 pontos criti cos 3x 2x 2 g'( x) g''( x) ( x x ) x,0,1 3 9 x ( x1) 3 pontos inflexão x 0,6 3 2 h( x) x 6x 9x 3 2 pontos criti cos h'( x) x 4x 3 pontos inflexão h''( x) 6 12 x 1,3 x x 2 Fase 3 Solução apresentação e organização de esquemas/modelos que visem à solução

13 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 13 do problema. Nesta fase, os alunos devem empregar uma estratégia com vistas à solução das atividades propostas. Neste momento, de modo individual ou em grupos, os estudantes devem aplicar os teoremas 1, 2 e 3, com vistas à obtenção de informações qualitativas sobre os gráficos das funções f, g e h. Fase 4 Prova formalização do modelo matemático a ser ensinado. Na ultima fase, o professor deve retomar a condução do debate com a intenção de evidenciar e indicar a adequação dos argumentos válidos aplicados na resolução das atividades propostas, os limites de aplicabilidade destes e a possibilidade de restrições. O auxílio do software proporciona antecipar e confrontar diversas conjecturas produzidas nas fases anteriores, como, por exemplo, o entendimento da existência de um ponto de cúspide na origem, presente no gráfico da função f ( x) x 6 x (figura 10). Figura 10: Função f(x) não diferenciável na origem Nesta ocasião, professor e os alunos devem confrontar os dados de natureza algébrica com os gráficos exibidos na tela do computador. Reparemos na figura 10 a complexidade do gráfico envolvido neste caso, quando comparado ao gráfico exibido na figura 7. Por fim, com a mediação proposta pela SF, estamos concordes com as concepções de Cornu (2002, p. 165), quando acentua, no caso do conceito de limites, que sua aprendizagem necessita de contextos específicos de resolução de problemas. Certamente suas orientações se aplicam também aqui. 5.4 Análise a posteriori e Validação Nesta fase, foram analisados os indicadores recolhidos na fase de experimentação. Evidenciaremos agora os resultados extraídos dos dados que podem contribuir para a melhoria dos conhecimentos didáticos e do saber em jogo. Segue, então, a análise a posteriori

14 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 14 que se apóia no conjunto de dados recolhidos durante a experimentação. (ALMOULOUD, 2007, p. 176). Na experimentação, consideramos observações realizadas sobre as sessões de ensino, as produções escritas em sala de aula e a fala durante entrevistas semiestruturadas, realizadas de modo individual e, uma atividade em grupo de dois alunos. Deste modo, considerando a dupla 1, um dos seus componentes, na fase de solução, descreveu as derivadas da função f ( x) x 6 x. De modo adequado, o sujeito não efetua nenhum cancelamento envolvendo a variável x (figura 11). A dificuldade aqui se refere ao fato de que efetuar o cancelamento, desconsiderou o caso em que x 0. Prevemos dificuldades como esta, referente às regras operatórias, na 1ª hipótese de trabalho. Figura 11: A dupla 1 forneceu as derivadas de 1ª e 2ª ordem na fase de solução Na realização da atividade 2, o mesmo sujeito da dupla 1 forneceu os dados analíticos pertinentes às derivadas da função 3 2 g( x) x ( x 1) como exibimos na figura 12. Figura 12: A dupla 1 forneceu as derivadas de 1ª e 2ª ordem na fase de solução

15 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 15 Reparemos que a análise dos pontos críticos proporcionou muitas dificuldades aos sujeitos participantes, uma vez que expressões do tipo g'( x) 2 3x 2 x ( x x ) não podem ser simplificadas, para x 0. Assim, temos que g '(0) não existe. Os alunos tinham que considerar, em seguida, para o caso de x 0. Reparemos, todavia, que um dos alunos da dupla 1 extraiu conclusões apenas com o estudo do sinal da função f '' como evidenciamos na figura 13. A partir daí, desenvolveu um primeiro esboço do gráfico sem o computador. Figura 13: A dupla 1 aplicou o teorema 2 e esboçou o gráfico da função f(x) Na figura seguinte observamos um dos alunos da dupla 2 participando de um debate em sala de aula na fase de tomada de posição da SF, durante a atividade 3. O aluno identificou visualmente a localização dos pontos críticos e pontos de inflexão. Indicou a necessidade de aplicar alguns teoremas com vista a extrair possíveis conclusões para a atividade 3. Na figura 14, observamos sua atividade descritiva da situação, sem recurso da algoritmização.

16 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 16 Figura 14: Na prova, um dos alunos da dupla 2 comparou os dados analíticos com os gráficos Com respeito à atividade 1, um dos sujeitos da dupla 2 nos forneceu o comentário na fase de solução que confirma o confronto dos dados analíticos com os de natureza gráfica: Nos pontos críticos...no zero não vai existir...não terá reta tangente...no zero...e 2 quando x...a tangente é igual a zero...não...nos pontos x 0 e x=1 3 intervalo de 1 até 5 ela é diferenciável...no ponto de x 0 que f '( x) por que para todo x que eu pegar aqui...o f '( x) f '( p) [...] No é ponto de máximo...por...menor ou igual...os pontos 0 e 1 são pontos de inflexão...neste ponto não existe...a concavidade esta mudando...a segunda derivada no x 0 não existe...bolinha aberta. [...] Agora eu vou calcular aqui...a partir do x 0 começa a 2 decrescer...então até o 3. Não sei...vou calcular o valor de 2 f...passa na 3 2 origem. Assim, no ponto x, a parti daqui ela começa a crescer de novo...deu 3 errado [...] Isso aqui é um ponto crítico...eu acho...a concavidade mudo aqui...esta tipo uma coisa assim...aqui muda para cima...então ela decresce...chega no zero e muda...a concavidade voltada para cima [...] Aqui a concavidade está para cima... No fragmento acima, um dos alunos da dupla 2 explicou as estratégias que empregava na solução da atividade 1. Com respeito à atividade 2, este descreveu extensas cadeias de inferências com vistas à identificação dos pontos críticos da função 3 2 g( x) x ( x 1).

17 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 17 Figura 15: Um dos alunos da dupla 2 investigou os pontos críticos na fase de solução Na fase de prova, a dupla 2 confrontou os dados analíticos com o comportamento geométrico exibido pelo computador, e aplicou os teoremas previstos. Quando questionamos a referida dupla sobre a validade das conclusões fornecidas, um dos seus membros explicou: Com o teste da 1ª derivada...sim...ta batendo o gráfico...aqui f ' é sempre positiva...e sempre crescendo...bateu...depois, quando chega no x 0 e é negativa até esse ponto aqui 23...não é diferenciavel nos pontos x 0 e x=1...não é em todos os pontos...por que f '(1)...não existe a reta tangente...pela direita vai para e pela esquerda vai para..então não é cúspide...a f ''( x ) à esquerda esta sempre crescendo...opa...a concavidade esta para cima... Neste trecho, registramos que a dupla 2 confrontou os dados sistematizados na fase de solução com os fornecidos pelo computador. O papel do software nesta fase foi essencial, na medida em que proporcionou o aperfeiçoamento da construção inicial do gráfico com base nos dados analíticos (figura 16, lado esquerdo). Reparemos na figura 16 que a dupla 2, na fase de prova, comparou os dados analíticos com o gráfico exibido pelo Geogebra. Com base na SF, estimulamos tal hábito na estratégia de todas as duplas participantes. Figura 16: Na fase de prova, a dupla 3 confrontou os dados analíticos com os indicadores fornecidos pelo computador Situações como a que registramos na figura 16 foram recorrentes em relação as duplas,

18 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 18 na medida em que o software proporcionou o aperfeiçoamento do traçado inicial dos gráficos. Na sequência, temos um dos alunos da dupla 3 na fase de solução da SF, realizando o tratamento algébrico para as derivadas da função f, com vistas à obtenção do gráfico. Notemos a complexidade das expressões envolvidas nesta situação que exigem o estudo do sinal (figura 17). Nestas situações, os alunos manifestam maiores dificuldades quando comparada ao seu desempenho no tratamento da função polinomial h. Registramos situação semelhante na atividade das outras duplas, o que comprovou nossa hipótese primeira. Figura 17: Na fase de solução um dos sujeitos da dupla 4 analisou o estudo do sinal Por fim, as atividades com o auxílio computacional proporcionaram, aos estudantes participantes, relacionar as informações geométricas com as informações analíticas das derivadas das funções f, g e h. No discurso dos entrevistados, registramos explicações que se apoiam no convencimento, na crença adquirida de modo privativo, com origem na visualização dos gráficos exibidos pelo computador, obtidos inicialmente nas fases de tomada de posição e de solução e, por fim, aperfeiçoados na fase de prova da SF. Deste modo, as sentenças proposicionais produzidas não se apoiaram apenas no valor lógico teórico das inferências, mas também no valor epistêmico semântico dessas sentenças. 6 Considerações Finais Várias são as dificuldades enfrentadas pelos estudantes no primeiro ano de estudos acadêmicos envolvendo o conteúdo de CUV. As noções de: função, limite, prova e o infinito são apontadas por Tall (1992) como fatores que geram incompreensões e podem atuar como obstáculos epistemológicos (CORNU, 2002). Neste trabalho, desenvolvemos uma ED com o intuito de promover situações de ensino e aprendizagem envolvendo a construção de gráficos de funções, com arrimo nas informações extraídas das derivadas de 1ª e 2ª ordens.

19 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 19 Sem o uso da tecnologia, tarefas envolvendo a construção de gráficos de funções não polinomiais se tornam difíceis e registramos que os exercícios propostos pelos livros consultados privilegiam funções polinomiais. Por outro lado, a exploração didática do software segundo as fases da SF, proporcionou a produção de conjecturas e a elaboração de sentenças proposicionais com origem na visualização e a percepção das propriedades geométricas pertinentes às funções não polinomiais f e g adotadas no estudo. Nosso contexto de realização da ED foi um curso de licenciatura em Matemática, de maneira que não buscamos investigar o entendimento das demonstrações dos teoremas 1, 2 e 3; e sim, a compreensão de sua aplicação (na fase de solução). Os dados evidenciaram maiores dificuldades das duplas pertinente às atividades 1 e 2, enquanto que a atividade 3, por se tratar de uma função polinomial, o êxito dos alunos foi mais freqüente no que diz respeito ao entendimento das relações requisitadas na atividades estruturadas (figura 12). Por outro lado, as funções que exploramos nas atividades 1 e 2 (figuras 3 e 10) viabilizam ao observador compreender a perda de diferenciabilidade das funções em foco, a existência de pontos de cúspide etc. Além disso, a natureza das funções f e g proporcionou maior dificuldade no que tange ao estudo do sinal das expressões resultantes das derivadas (tabela 1) e aplicação de regras. Tal fato confirmou nossa 1ª hipótese de trabalho. Por fim, com origem nos pressupostos assumidos que caracterizam a SF, proporcionamos um clima de investigação e debate em sala de aula. Certamente, o uso e a exploração do software Geogebra assumiram um papel de estímulo e alavanca como aprendizagem dos conceitos envolvidos na feitura dos gráficos. Sua apropriação por parte dos estudantes participantes proporcionou a verificação e rediscussão dos resultados obtidos em cada tarefa, por intermédio do confronto dos dados analíticos e a natureza geométrica dos gráficos exibidos pelo computador. Situações como esta proporcionam um entendimento das relações algébrico-geométricas relacionadas ao estudo das derivadas de 1ª e 2ª ordens. Referências ALVES, Francisco. R. V. Aplicações da Sequência Fedathi na promoção das categorias do raciocínio intuitivo no Cálculo a Várias Variáveis. Fortaleza: UFC, 2011, 399 p. Tese (Doutorado) Programa de Pós-graduação em Educação Brasileira, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, ALVES, Francisco. R. V. Exploração de noções topológicas na transição do Cálculo para a Análise Real com o Geogebra. In; REVISTA DO INSTITUTO GEOGEBRA

20 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 20 INTERNACIONAL DE SÃO PAULO, 1, P. CLXV-CLXXIX. 2012, Disponível em: Acessado em: 04 de Abril de ALVES, Francisco. R. V.; BORGES NETO, H. & INGAR, Kátia, V Aplicações da Sequência Fedathi: sobre o ensino de pontos críticos e de inflexão 3 IR. In: VI COLÓQUIO INTERNACIONAL SOBRE LA ENSEÑANSA DE LAS MATEMÁTICAS. 2012, P Disponível em: Acessado em: 10/03/2012. ALVES, F. R. V. & BORGES NETO (2012). Uma sequência de ensino para explorar a regra de L`Hospital com uso da tecnologia. In: Educação Matemática e Pesquisa. v. 15, nº 2, Disponível em: Acessado em: 25 de agosto de ALMOULOUD, Saddo Ag. Fundamentos da Didática da Matemática. São Paulo: Editora UFPR, ARTIGUE, Michèle. Ingénierie didactique. In: BRUN, J. Didactiques des Mathématiques. Paris : Délachaux et Niestle. 1995a, P ARTIGUE, Michèle. Ingenieria Didática. In : ARTIGUE, Michelle ; DOUADY, Régine ; MORENO, Luis & Gomez, Pedro. Ingeniéria didatica en Educacion Matemática. Bogotá : Grupo Editorial Iberoamericano, 1995b, P Disponível em: Acessado em: 20/02/2012. ARTIGUE, Michèle. Analysis. Tall, David. Advanced Mathematical Thinking. New York: Klumer Academic Publishers, 2002, ARTIGUE, Michèle. Didactical design in Mathematics Education. In: WINSLON, Carl. (ed.) Nordic Research in Mathematics Education. Proceedings from NORMA08, 2008, P Disponível em: Acessado em: 20/02/2012. BORGES, Hermínio. et al. A Seqüência Fedathi como proposta metodológica no ensinoaprendizagem de Matemática e sua aplicação no ensino de retas paralelas, In: Anais do XV EPENN ENCONTRO DE PESQUISA EDUCACIONAL DO NORDESTE, São Luís, 2001, P CORNU, Bernard. Limits. In: TALL, David. Advanced Mathematical Thinking. New York: Klumer Academic Publishers, 2002, P DUVAL, Raymond. Structure du raisonnement deductif et apprentissage de la

21 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 21 démonstration. In: EDUCATIONAL STUDIES IN MATHEMATICS, 22, 1991, P GUIDORIZZI, Hamilton. L. Um curso de Cálculo, v. 2, 5ª ed., Rio de Janeiro: LTC, LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. v. 1, 3ª edição, LIMA. Elon. Lages. Curso de Análise. v.1, 12º edição, Rio de Janeiro: SBM, STEWART, James. Cálculo. v. 2, 4ª edição, São Paulo: Thompson, TALL, David. The transition to advanced mathematical thinking: functions, limits, infinity and proofs. In: Grouws. D. A. (ed.). Handbook of Research of Mathematical Teaching and Learning. 1992, P