DETERMINAÇÃO AUTOMATIZADA DE PARÂMETROS FOTOELÁSTICOS

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1 15º POSMEC - Sipósio do Prograa de Pós-Graduação e Engenharia Mecânica Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Mecânica DETEMINAÇÃO AUTOMATIZADA DE PAÂMETOS FOTOELÁSTICOS Fernando Lourenço de Souza Faculdade de Engenharia Mecânica, Universidade Federal de Uberlândia Av. João Naves de Ávila, 160, Capus Santa Mônica, Bloco 1M Uberlândia MG, CEP: fernando@ecanica.ufu.br Gualter Aurélio Alves de Souza Faculdade de Engenharia Mecânica, Universidade Federal de Uberlândia Av. João Naves de Ávila, 160, Capus Santa Mônica, Bloco 1M Uberlândia MG, CEP: gualter@ecanica.ufu.br Prof. Dr. Cleudar Aaral de Araúo Faculdade de Engenharia Mecânica, Universidade Federal de Uberlândia Av. João Naves de Ávila, 160, Capus Santa Mônica, Bloco 1M Uberlândia MG, CEP: cleudar@ecanica.ufu.br esuo: A Fotoelasticidade é ua técnica experiental aplicada a solução de probleas coplexos de engenharia. A obtenção dos parâetros fotoelásticos pode ser feita através de leituras anuais. Noralente, este procediento é deorado e exige a interferência do usuário. O obetivo deste trabalho é autoatizar a técnica através do desenvolviento de u software e abiente Matlab para a aquisição, trataento e análise das iagens fotoelásticas. As iagens dos odelos fotoelásticos são captadas por ua câera acoplada diretaente ao polariscópio e posteriorente tratadas pelo software. O software perite efetuar u trataento das iagens afi de eliinar ruídos e elhorar a confiabilidade dos resultados. O aparato experiental é coposto de u polarizador convencional austado para polarização elíptica e ua câera acoplada ao polariscópio. As iagens são transferidas diretaente ao icrocoputador para posterior análise. A validação da técnica proposta foi feita através de u odelo de u disco sob copressão. Paralelaente, foi confeccionada ua barra prisática de seção transversal retangular para a geração de ua tabela de calibração utilizada coo base para a deterinação das ordens de frana. As ordens de franas obtidas através dos padrões GB para o odelo do disco sob copressão fora coparadas co resultados teóricos e experientais. Palavras-chave: Fotoelasticidade, ordens de franas, direções das tensões principais, tensões. 1. INTODUÇÃO O conceito atual de proeto de sisteas ecânicos envolve duas etapas básicas de desenvolviento: Análise teórica e análise experiental. Co a eficiência obtida pelas técnicas coputacionais, a etapa da análise teórica te u peso preponderante na engenharia de concepção e de desenvolviento, ua vez que o custo envolvido na análise experiental pode ser elevado. A análise experiental se ustifica para a caracterização de coponentes de u sistea coplexo, podendo a sua aplicação ser orientada pelas técnicas de odelage analítico-coputacional. Este tipo de abordage é cou, quando as soluções de probleas

2 específicos e coplexos, apresenta solução teórica pouco confiável devido ao grau de siplificação adotado. A Fotoelasticidade é ua técnica experiental para análise e deterinação do capo de tensões/deforações e peças e/ou estruturas de engenharia utilizada, principalente, e odelos coplexos, sendo portanto u poderoso e eficiente étodo para análise de capo copleto de tensões no estado plano ou tridiensional. Na fotoelasticidade de transissão é necessária a confecção de odelos transparentes co características de birrefringência ou anisotropia ótica quando subetidos a esforços ecânicos. Para a aplicação desta técnica, é necessário utilizar u aparelho ótico denoinado polariscópio, cua característica principal é trabalhar co luz polarizada. O polariscópio possibilita a visualização dos parâetros fotoelásticos, e fora de franas coloridas, quando utilizada a luz branca, e franas pretas e brancas quando se utiliza luz onocroática. Esta orde de franas está associada co o estado de tensão no odelo. Vários autores tê desenvolvido étodos para tratar o fenôeno ótico da polarização da luz, Theocaris P. S. As várias foras de luz polarizadas são definidas pelos tipos de traetória ou curva que o ponto final do vetor luz descreve na propagação da onda. Stokes, H. J. Menges, e 1940, e G.G. Stokes e 185 provara que ua fora particular de luz polarizada pode ser descrita por quatro parâetros. Estes parâetros consiste de eleentos de u vetor de quatro eleentos chaado vetor de Stokes. Os parâetros de Stokes tê diensões de intensidade que pode ser operacionalente definidos coo luz de intensidade eergente, obtidos a partir de lâinas polarizadoras adequadas. Neste trabalho foi desenvolvido u software e abiente Matlab aplicado à aquisição e trataento de iagens de odelos fotoelásticos visando obter as ordens de franas de odelos subetidos a u capo de tensões. As iagens dos odelos fotoelásticos fora captadas por ua câera digital acoplada diretaente ao polariscópio. É apresentada a técnica que eprega luz branca co polarização elíptica, Yoneyaa e Takashi (1998). Na deterinação das ordens de franas foi utilizada ua tabela de calibração obtida de u odelo fotoelástico de ua viga sueita a flexão e quatro pontos. As direções principais serão deterinadas através de u étodo nuérico e ua outra etapa através da solução de equações não lineares originadas da forulação. Co isso, o obetivo principal do trabalho foi autoatizar o processo de leitura, aquisição e trataento dos parâetros fotoelásticos visando elhorar a precisão dos resultados e facilitar a aplicação da técnica de fotoelasticidade de transissão plana.. A TÉCNICA DA FOTOELASTICIDADE DE TANSMISSÃO PLANA A técnica da fotoelasticidade é baseada na propriedade ótica de certos ateriais plásticos transparentes que apresenta diferentes índices de refração (ou anisotropia ótica) quando subetido a u estado de tensão/deforação (Dally e illey, 1978). A associação de filtros dispostos entre o observador, a fonte luinosa e o odelo perite a visualização deste fenôeno. Tais filtros copõe u aparelho denoinado polariscópio que proove a polarização da luz que o atravessa. A luz polarizada perite a observação das tensões através da interpretação das iagens que copõe os parâetros óticos (Bernardes; Araúo e Neves, 004)..1. Fotoelasticidade de Transissão Plana Os efeitos óticos de interesse na fotoelasticidade pode ser descritos por ua onda senoidal, onde a vibração associada à luz é perpendicular à direção de propagação. Ua fonte de luz eite ondas contendo vibrações transversais à direção de propagação. Co a introdução de u filtro Polarizador (p) no cainho das ondas de luz, soente ua

3 coponente dessas vibrações será transitida (aquela paralela ao eixo de polarização do filtro). Este feixe orientado é chaado de luz polarizada. Se u outro filtro polarizador (q) for colocado e sua traetória, pode-se obter ua extinção copleta do feixe se os eixos de polarização dos dois polariscópios estivere perpendiculares entre si. A luz branca, cuas ondas vibra e todas as direções, ao passar pelos polarizadores é polarizada e diferentes coprientos, ou sea, e diferentes cores. A lei de Brewster deterina que a udança do índice de refração é proporcional a diferença entre as deforações principais (DALLY; ILLEY, 1978). Utilizando esta forulação pode-se obter a relação básica para a edida de deforação, e teros das tensões principais, denoinada de lei ótica das tensões, sendo dada por: NKσ σ 1 σ = (1) b Na Equação 1, K σ é a constante ótica do aterial, (N) é a orde de frana lida e (b) a espessura do odelo. Quando as duas ondas eerge do odelo elas não são siultâneas, devido ao atraso relativo (δ ), e se este odelo estiver entre duas lentes polarizadoras, o analisador transitirá soente u coponente de cada ua dessas ondas que interferirão entre si e a intensidade de luz resultante, será ua função do atraso relativo (δ ) e do ângulo entre o eixo de polarização do analisador e da direção das tensões principais. A interferência causada pela diferença de fase entre os feixes de luz propagando nas duas direções principais e o ângulo entre as direções principais e os eixos de polarização do polariscópio dão orige a dois parâetros fotoelásticos, as isoclínicas, que são os lugares geoétricos dos pontos do odelo que possue a esa direção das tensões principais, e estas coincide co as direções de polarização do polariscópio. As isoclínicas são necessárias para a localização da direção das tensões principais. As isocroáticas são os lugares geoétricos dos pontos que apresenta o eso valor para a diferença entre as tensões principais. Este parâetro é facilente identificado no polariscópio circular, que te a propriedade de eliinar o parâetro das isoclínicas quando o polariscópio é austado para luz polarizada circular. Quando a fonte de luz é branca, as isocroáticas são foradas por faixas luinosas de diferentes colorações dependendo da orde de frana (N), confore ostrado na Figura. Figura : Ordens de frana isocroáticas inteiras. 3. DETEMINAÇÃO AUTOMÁTICA DAS ODENS DE FANJAS A intensidade de luz eergindo do filtro da câera pode ser expressa coo ua função de ua parcela da intensidade da luz definida pela Equação e de parâetros óticos da iage adquirida, sendo dada por:

4 λ 1 1 δπcλ I = I0 I0Fi sen ( 9 + cos ε + 5 cos 4ϕ + cos ε cos 4ϕ sen ε sen 4ϕ )dλ 16 λ λ 1 λ λc () 0 1 Onde i = r,g,b denota as cores verelho, verde e azul, λi1 e λi são os liites ínios e áxios do espectro dos filtros equipados na câera e Fi (=Fi(λ)) são respostas espectrais dos filtros verelho, verde e azul. O erro da placa retardadora de onda (ε) e a dispersão da dupla refringência são ignorados desde que os efeitos destes parâetros não sea uito largos. Coparando os valores da intensidade da luz a cada ponto do odelo analisado co os valores correspondentes e ua tabela de calibração, que relaciona a orde da frana co os valores da intensidade da luz (Parâetros GB), a orde da frana pode ser deterinada. Na técnica fotoelástica proposta as ordens de frana pode ser deterinadas por duas funções erro, definidas coo: E ( ) + ( G G ) + ( B B ) = (3) E = + B B + G G (4) Onde, G e B são valores das intensidades das luzes digitalizadas Ir, Ig e Ib, por exeplo os tons de cinza da iage e cada ponto e, G e B são tabé valores digitalizados obtidos da tabela de calibração, respectivaente. A orde da frana e cada ponto pode ser deterinada através do índice () que iniiza a função erro E. A função erro definida na Equação 4 é utilizada coo copleento na análise devido ao enfraqueciento da intensidade da luz devido a sua natureza elíptica. Portanto, a análise da orde de frana pode ser executada por eio das duas funções erro E, avaliando-se os valores dos índices () que iniiza abas as funções e odulando as saídas através dos índices inteiros das ordens de frana relativos a cada ínio relativo. Se a variação da orde da frana na tabela da calibração é linear e o prieiro pixel da tabela de calibração é zero na orde da frana, a orde da frana N correspondendo ao pixel () é dado por: N = N (5) Onde N é a orde de frana áxia na tabela de calibração e é o núero de valores arquivados na tabela de calibração. 4. METODOLOGIA PAA OBTENÇÃO DOS MODELOS FOTOELÁSTICOS A etodologia será avaliada através de u disco sueito a ua força de copressão constante confeccionado e aterial fotoelástico. Coo ostrado na seção anterior é necessário utilizar u outro odelo fotoelástico para a obtenção da tabela de calibração.

5 Neste caso, o odelo utilizado foi ua barra prisática sueita a ua flexão e quatro pontos. A Figura 3 ostra as diensões dos odelos utilizados na análise. Os odelos fotoelásticos fora produzidos a partir de oldes confeccionados e borracha de silicone azul. A Figura 4 ostra os oldes de silicone utilizados para fundir os odelos fotoelásticos a) Disco sob copressão b) Viga de calibração. Figura 3: Diensões dos odelos analisados, dadas e. Figura 4: Moldes fotoelásticos utilizados para a obtenção dos odelos fotoelásticos. Os odelos fotoelásticos fora obtidos a partir de ua istura de resinas a base de epoxy e agente catalisador. Utilizou-se a proporção de ua parte e volue do catalisador (Solução B) para duas partes e volue da resina (Solução A) confore descrito no trabalho de Oliveira (003). Essa istura foi hoogeneizada cuidadosaente, por aproxiadaente 15 inutos, procurando-se evitar a foração de bolhas. O preenchiento dos oldes é feito na teperatura abiente. A seguir, são deixados e ua estufa na teperatura de 5 C por u período de 48 horas a fi de copletar a cura. Para a realização dos experientos, o odelo da viga de calibração foi colocado e u polariscópio desenvolvido no Laboratório de Proetos Mecânicos (LPM) da Faculdade de Engenharia Mecânica, sendo posicionado e u dispositivo de carga de copressão a 4 pontos. A carga aplicada no odelo foi controlada ediante a utilização de ua célula de carga odelo Kratos de capacidade 50 KN. A constante ótica do aterial fotoelástico foi obtida por u processo de calibração prévio desenvolvido no trabalho de Araúo, Bernardes e Neves (004), sendo de 0.6 N/. Apesar da constante ótica do aterial utilizado ser baixa sua resposta ótica é excelente, eso para pequenos níveis de carga aplicada. Por isso, no

6 odelo da viga de calibração a carga de flexão foi da orde de 15 N gerando franas de orde 3 no odelo. A Figura 5 ostra o padrão de franas obtido no odelo de calibração. Figura 5: Padrão de franas na parte central do odelo de calibração utilizando luz polarizada elíptica. Para a validação da técnica de leitura autoatizada proposta no trabalho, u disco sob copressão foi colocado e u polariscópio austado para polarizar a luz elipticaente, co ua carga de 10 KN. As iagens dos padrões de franas fora adquiridas por ua câera digital e transferidas diretaente ao prograa, desenvolvido e abiente Matlab, de acordo co a etodologia proposta no trabalho. A Figura 6 ostra o padrão de franas obtido no disco sob copressão. A Figura 7 apresenta o esquea para a ipleentação do prograa. Y 10 N 10 N X Figura 6: Padrão das iagens fotoelásticas para o disco sob copressão de 10 N. Fonte de Luz θ ϕ Polarizador Modelo Analisador I CC Figura 7: Desenho esqueático da aquisição de iage.

7 5. MODELAGEM COMPUTACIONAL Foi criado e abiente Matlab funções que perite através dos pixels de ua iage GB de u odelo, deterinar a orde de frana (Equação 5) e consequenteente à diferença das tensões principais (Equação 1). A Figura 8 ostra o padrão de franas extraídos da parte central do odelo de calibração (Figura 5). Observa-se nesta figura que a iage possui ruídos originados do próprio odelo fotoelástico confeccionado untaente co o processo de aquisição da iage. Logo, para garantir ua elhor visualização do padrão de franas be coo para elhorar a precisão dos resultados da tabela de calibração, utilizou-se u processo de trataento das iagens adquiridas. Neste caso, os ruídos fora eliinados/iniizados através de u processo de interpolação da iage utilizando o étodo de Gauss. Estas funções faze parte do tutorial do Matlab no pacote de trataento de iagens. A Figura 9 ostra a iage interpolada. Figura 8: Iage GB original. Figura 9: Iage GB interpolada. O software desenvolvido que acopla todas as funções possui ua interface aigável co o usuário, exigindo u ínio conheciento e fotoelasticidade. A geração da tabela de calibração utiliza o padrão de cores GB da iage digitalizada das diferentes ordens de frana. Nestes casos, u ponto de ínio dos tons de cinza da iage (vale) representa ua udança na orde inteira de frana iniciando pela frana zero. O software anipula as iagens e o usuário define a região de leitura selecionando-a através do ouse sob a iage da viga de calibração. A seguir, a iage é interpolada e o usuário deliita a linha e a faixa de analise sob a região selecionada. E seguida ua iage é apresentada ao usuário e tons de cinza untaente co o seu gráfico correspondente, Figura 10. Linha Linha 1 Figura 10: Iage e tons de cinza interpolada.

8 D1 D3 D5 C C4 B1 B3 B5 A A5 O software então solicita ao usuário que ele clique sobre a frana zero (Linha 1 sobre a Figura 10) e frana áxia (Linha sobre a Figura 10), solicitando a entrada da orde dessa frana áxia. Após este prieiro passo, a tabela de calibração é gerada autoaticaente e na seqüência a iage do odelo a ser analisado é carregada para posterior análise. O usuário então define o ponto e que desea obter a orde de frana e o software calcula autoaticaente este valor a partir da iniização proposta na etodologia. E paralelo, está sendo desenvolvido u procediento para deterinar a direção das tensões principais. 6. ESULTADOS Aplicou-se ao disco ua carga de 10 N onitorada através de ua célula de carga adaptada ao sistea de carga do polariscópio. Neste caso, a orde de frana áxia no disco era aproxiadaente 7 confore ostra a Figura 6. Ua vez que a solução analítica para este o odelo do disco é conhecida, Tioskenko, 1970, os resultados pode ser validados experientalente (leitura anual) e tabé co a teoria. Afi de avaliar a etodologia fora escolhidos pontos de leitura das ordens de frana de acordo co o esquea ostrado na Figura 11. A Tabela 1 ostra as ordens de frana para os pontos analisados no disco sob copressão. P P Figura 11: Mapeaento dos pontos no odelo fotoelástico analisado. A tensão cisalhante áxia (τ) pode ser obtida pela seguinte expressão: σ1 σ NKσ τ = = (6) b Na Equação 6 σ 1 e σ são as tensões principais, co σ 1 sendo de tração e σ de copressão. A Figura 1 ostra as tensões cisalhantes áxias calculadas para os pontos analisados nos odelos, analítico, experiental e via software. Shear Stress Points Analytical Experiental Calculated Figura 1: Tensões cisalhantes áxias e Mpa para os pontos analisados.

9 Tabela 1. Ordens de frana obtidas analiticaente, experientalente (leitura anual) e pelo prograa desenvolvido para os pontos analisados. Coordenadas Orde de frana (N) Analítico Experiental software Pontos X () Y () N N N D D D D D C C C C C B B B B B A A A A A Tabela 1 ostra que as ordens de frana obtidas pelo étodo proposto nos pontos analisados são próxias aquelas obtidas pelo étodo usual (Leitura anual) e tabé através da forulação analítica. A leitura anual foi feita seguindo procedientos padrões de análise das franas considerando coo 0.5 coo sendo a áxia resolução nas ordens de frana. Para os odelos analíticos foi criada ua função e Matlab para calcular as tensões nas direções x e y, que fora utilizadas para estiar a tensão cisalhante áxia. Utilizandose a Equação 6 estiou-se as ordens de frana analíticas. A Figura 1 ostra que o coportaento para as tensões cisalhantes áxias foi siilar, diferindo naqueles pontos onde a orde de frana era de aior orde. Assi coo observado no trabalho de Yoneyaa e Takashi (1998), devido a atenuação da intensidade luinosa graças a sua natureza elíptica, o étodo pode ser utilizado co segurança e ordens de frana áxia de CONCLUSÃO O trabalho apresenta ua etodologia para obtenção dos parâetros fotoelásticos utilizando luz polarizada elíptica. A validação da técnica proposta foi feita através de u disco sob força de copressão. Todos os odelos fotoelásticos e o aparato experiental utilizado e a avaliação da etodologia fora apresentados, co exceção da etodologia para a deterinação das direções das tensões principais que é feita através da solução nuérica de ua equação não linear obtida da forulação co luz elíptica. Este processo encontra-se e andaento.

10 O étodo proposto pode ser epregado de fora vantaosa e eficiente na técnica de fotoelasticidade de transissão, devido a sua facilidade de ipleentação. Consequenteente os parâetros fotoelásticos do odelo pode ser obtidos autoaticaente através da aquisição e processaento da iage eliinando os inconvenientes de ua leitura anual. 8. AGADECIMENTOS Os autores Fernando Lourenço de Souza e Gualter Aurélio Alves de Souza agradece e especial à orientação e incentivo do Prof. Dr. Cleudar Aaral de Araúo e ao apoio financeiro do Prograa Institucional de Bolsas PIBIC/CNPq/UFU. Agradece tabé a equipe do Laboratório de Proetos Mecânicos da Faculdade de Engenharia Mecânica da Universidade Federal de Uberlândia pelo copanheiriso e apoio e a todos aqueles que de certa fora contribuíra para realização deste trabalho. 9. EFEÊNCIAS Araúo, C. A. ; Neves, F. D.; Bernardes, S.., 004, Stress analysis in dental iplants using the photoelasticity technique. Proceedings of the 3th National Congress of Mechanical Engineering, Belé, Brazil. Dally, J. W. and iley, W. F.,1978, Experiental Stress Analysis. McGraw Hill, Inc. Oliveira, E.J., 003, Material e técnica para análise fotoelástica plana da distribuição de tensões produzidas por iplantes odontológicos. Dissertação (Mestrado e eabilitação Oral) - Faculdade de Odontologia, Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, Brazil. Takashi M., Mawatari S., Toyoda Y., Kunio T., 1990, A new coputer aided syste for photoelastic stress analysis with structure-driven type iage processing. In Applied stress analysis, Elsevier Applied Sciences, London, p Tioshenko S. P., Goodier J. N., 1970, Theory of elasticity, 3 rd. ed. MacGraw-Hill Inc., New York. Theocaris P. S., Gdoutos E.E, 1979, Matrix Theory of Photoelasticity Proceedings of Springer Verlag, New York. Yoneyaa, S.; Takashi, M A new ethod for photoelastic fringe analysis fro a single iage using elliptically polarized white light, Optics and Lasers in Engineering, V 30, AUTOMATIZATED POCESSING FO PHOTOELASTIC PAAMETES Fernando Lourenço de Souza Federal University of Uberlândia, School of Mechanical Engineering. Av. João Naves de Ávila, 11 Bl. 1M, Uberlândia, Minas Gerais, CEP: , Brazil fernando@ecanica.ufu.br

11 Gualter Aurélio Alves de Souza Federal University of Uberlândia, School of Mechanical Engineering. Av. João Naves de Ávila, 11 Bl. 1M, Uberlândia, Minas Gerais, CEP: , Brazil Prof. Dr. Cleudar Aaral de Araúo Federal University of Uberlândia, School of Mechanical Engineering. Av. João Naves de Ávila, 11 Bl. 1M, Uberlândia, Minas Gerais, CEP: , Brazil Abstract: The photoelasticity is an experiental technique used for get solution for coplex engineering probles, specially when analytical and nueric solution is difficult to apply. The acquisition of the photoelastic paraeters can be ade through anual readings. Norally, this procedure is delayed and deands interference of the user. The obective of this work is to autoatize the technique through developent of one software in Matlab environent to acquisition, treatent and analysis of the photoelastic iages. The iages of the photoelastic odels are collected for one caera connected directly for the polariscope and later treated by software. A treatent of the iages and the reduction noises can be ade through software. The experiental apparatus is coposed of a conventional polarizer adusted for elliptical polarization and a connected caera for the polariscope. The iages are transferred directly to the icrocoputer to posterior analysis. The validation of the technique proposal was ade through of one odel disc under copression. Parallel, one rectangular cross-section prisatic bar was ade for the generation of a table calibration utilized as base for the deterination of the fringe orders. The fringes orders obtained standards GB for the odel disc under copression had been copared with theoretical and experiental results. Keywords: Photoelasticity, fringes orders, direction of the principal stresses, stresses.