UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA FACULDADE GAMA / FACULDADE DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM INTEGRIDADE DE MATERIAIS DA ENGENHARIA

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1 UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA FACULDADE GAMA / FACULDADE DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM INTEGRIDADE DE MATERIAIS DA ENGENHARIA 1 ANÁLISE NUMÉRICA DE MODELOS DE DANO BASEADOS NA MICROMECÂNICA DE DEFEITOS MAURÍLIO ANTÔNIO DE CASTRO DIAS CUNHA ORIENTADOR: PROF. LUCIVAL MALCHER, DR. (ENM/FT/UNB) DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM INTEGRIDADE DE MATERIAIS DA ENGENHARIA PUBLICAÇÃO: 018A/2014 BRASÍLIA/DF: OUTUBRO 2014

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3 UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA FACULDADE GAMA / FACULDADE DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM INTEGRIDADE DE MATERIAIS DA ENGENHARIA 3 MAURÍLIO ANTÔNIO DE CASTRO DIAS CUNHA ANÁLISE NUMÉRICA DE MODELOS DE DANO BASEADOS NA MICROMECÂNICA DE DEFEITOS DISSERTAÇÃO DE MESTRADO SUBMETIDA AO PROGRAMA DE PÓS-GRADU- AÇÃO EM INTEGRIDADE DE MATERIAIS DA ENGENHARIA DA FACULDADE GAMA E FACULDADE DE TECNOLOGIA DA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA, COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM INTEGRIDADE DE MATERIAIS DA ENGENHARIA. ORIENTADOR: PROF. LUCIVAL MALCHER, DR. (ENM/FT/UNB) BRASÍLIA 2014

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5 Dedico este trabalho ao meu Pai, Amigo, Professor e Benfeitor Milton Antônio da Cunha, rogando a Deus o faça receber o meu abraço de saudade e gratidão e saber que finalmente realiza-se um sonho que não foi somente meu. 5

6 AGRADECIMENTOS 6 Agradeço a Deus Criador e Provedor, or conceder-me esta vitória. Agradeço também aos rofessores Dr. Lucival Malcher, Dra. Sandra Maria da Luz, Dr. Fábio Comes de Castro, Dra. Carla Tatiana Mota Anflor, Dr. Jorge Luiz de Almeida Ferreira e Dr. Éder Lima de Albuquerque, ela dedicação e interesse or meu arimoramento; aos colegas de curso, aos funcionários da UnB e a todos os amigos, encarnados e desencarnados, que comigo comartilharam desta jornada através de seu aoio, comreensão às minhas limitações e incentivo ao constante aerfeiçoamento, mas em esecial a uma Pessoa que, quando os caminhos de nossas vidas se cruzaram, deixou ele a condição de rofessor, assando a de um Amigo fiel, confidente e incentivador. Ao meu Orientador, Prof. Dr. Lucival Malcher, os meus mais sinceros agradecimentos or ter-me trago até aqui.

7 7 Se eu vi mais longe, foi or estar de é sobre ombros de gigantes. (Isaac Newton)

8 RESUMO 8 A falha de comonentes de máquinas, equiamentos e estruturas em geral tem sido constante causa de reocuações da engenharia, não só elos rejuízos materiais que ocasiona, mas rincialmente elas erdas humanas que ode carrear consigo. Diversos esquisadores debruçaram-se arduamente sobre o tema, buscando identificar o momento, local de ocorrência e causa da falha, obtendo resultados que acresceram contribuições ara maior conhecimento dos materiais, mas a versão final e definitiva, aquela recisa ara a quase totalidade dos casos, ainda não foi atingida. Partindo de dados exerimentais tomados à literatura, neste trabalho aresentaremos um estudo comarativo dos resultados ara a revisão da falha obtidos or três modelos embasados na micromecânica do dano, a saber: Modelo de Gurson; Modelo GTN (modelo de Gurson, Tvergaard, Needleman) e Modelo GTN Xue (modelo GTN com cisalhamento). Palavras chave: micromecânica do dano; micromecânica da fratura; orosidade ara o dano; modelo de Gurson; modelo GTN; modelo GTN Xue.

9 ABSTRACT 9 The comonent failure of machinery, equiment and structures in General has been a constant cause of engineering concerns, not only by hysical damage which causes, but mainly by the loss of life that can carry you. Several researchers focused hard on the subject, seeking to identify the moment, lace of occurrence and cause of the failure, obtaining results that contribute to greater understanding of the oints are materials, but the final and definitive version, that need for almost all of the cases, has not yet been reached. Starting from exerimental data taken to literature, in this work we resent a comarative study of the results for the rediction of failure resulting from three models based on Micromechanics of damage, namely: Gurson model; GTN Model (Gurson, Tvergaard, Needleman) and GTN Xue Model (GTN Model with shearing). Keywords: Micromechanics of damage; Micromechanics of fracture; orosity for the damage; Gurson Model; GTN Model; GTN Xue Model.

10 10 LISTA DE FIGURAS Figura 1.1 Gráfico Tecnologia (eventos) x Temo de Humanidade (anos) Figura 1.2 Relação entre resistência a tração à temeratura ambiente e às altas temeraturas MBCEM-SIDERBRAS, Vol I, g 48) Figura 1.3 Trinca em roda ferroviária tendo como uma das causas a concentração de tensões or desalinhamento eixo x roda e a outra o defeito na borda externa do boleto na região da trinca. A riori, aenas com inseção visual, não odemos afirmar que a trinca tenha sentido de roagação, mas aenas direção.. 26 Figura 2.1 Definição do ângulo de Lode, dentro do esaço π (Xue ) Figura 2.2 Critério de Tresca Figura 2.3 Critério de von Mises Figura 2.4 Sobreosição dos critérios de Tresca e von Mises Figura 2.5 Reresentação esquemática da cavidade esférica interna ao VRE roosta or Gurson (Rice & Tracey) Figura 2.6 Reresentação esquemática do rocesso de nucleação, crescimento e coalescência de vazios e sua correlação com o carregamento global Figura 2.7 VRE: (a) estado inicial; (b) estado final aós solicitação de corte.45 Figura 2.8 Evolução das funções do ângulo de Lode normalizado em relação ao terceiro invariante roosto or Xue (2008) Figura 4.1 Geometria dos coros de rova utilizados material aço 1045: a) cilíndrico liso, b) cilíndrico entalhado e c) tio borboleta Figura 4.2 Configuração da malha de elementos finitos ara os coros de rova adotados Figura 4.3 Aço Curva de encruamento Micromecânica de Defeitos. 68 Figura 4.4 Aço Curva de reação e evolução do dano ara o coro de rova cilíndrico liso Figura 4.5 Aço Curva de reação e evolução do dano ara o coro de rova cilíndrico entalhado... 70

11 11 Figura 4.6 Aço Curva de reação e evolução do dano ara o coro de rova borboleta em cisalhamento simles Figura 4.7 Aço Curva de reação e evolução do dano ara o coro de rova borboleta em tração ura Figura 4.8 Aço Curva de reação e evolução do dano ara o coro de rova borboleta em carregamento combinando tração e cisalhamento Figura 4.9 Aço Curva de evolução da deformação lástica equivalente ara os diferentes coros de rova. a) cilíndrico liso, b) cilíndrico entalhado, c) borboleta em cisalhamento, d) borboleta em tração e d) borboleta em combinado.. 74 Figura 4.10 Aço Curva de evolução da deformação lástica equivalente ara os diferentes coros de rova. a) cilíndrico liso, b) cilíndrico entalhado, c) borboleta em cisalhamento, d) borboleta em tração e d) borboleta em combinado.. 75 Figura 4.11 Contorno do nível de dano (orosidade) ara o CP cilíndrico liso. a) modelo GTN, b) modelo GTN Xue e c) modelo de Gurson Figura 4.12 Contorno do nível de dano (orosidade) ara o CP cilíndrico entalhado. a) modelo GTN, b) modelo GTN Xue e c) modelo de Gurson Figura 4.13 Contorno do nível de dano (orosidade) ara o CP borboleta sujeito a cisalhamento. a) modelo GTN, b) modelo GTN Xue e c) modelo de Gurson Figura 4.14 Contorno do nível de dano (orosidade) ara o CP borboleta sujeito a tração. a) modelo GTN, b) modelo GTN Xue e c) modelo de Gurson Figura 4.15 Contorno do nível de dano (orosidade) ara o CP borboleta sujeito a carregamento combinado tração/cisalhamento. a) modelo GTN, b) modelo GTN Xue e c) modelo de Gurson

12 LISTA DE TABELAS 12 Tabela 3.1 Algoritmo de atualização das tensões e variáveis int...59 Tabela 3.2 Algoritmo ara resol.do sist. linear método Newton-Rahson Tabela 4.1 Aço 1045 Proriedades Materiais...67

13 ABREVIATURAS 13 CDM: Continuous Damage Model; CP: Coro de Prova; GTN Model: Gurson - Tvergaard - Needleman Model; GTN Xue Model: Gurson - Tvergaard - Needleman Xue Model Modelo GTN com mecanismo de cisalhamento; CTOD: Crack Ti Oen Dislacement; MBCEM: Manual Brasileiro ara Cálculo de Estrutumas Metálicas; MFLE: Mecânica da Fratura Linear Elástica; NBR 8800/86: Projeto e Execução de Estruturas de Aço em Edifícios; SIDERBRAS: Siderúrgicas Brasileiras S/A; VRE: Volume Reresentativo Elementar;

14 SÍMBOLOS 14 D = Dano; D cis = Dano associado ao cisalhamento; D cis = Taxa do dano associado ao cisalhamento; ε e = Tensor das deformações elásticas; e ε n+1 = Tensor das deformações elásticas no seudo-temo t n+1 ; et ε n+1 = Tensor das deformações elásticas tentativa; ε d e = Tensor elástico deviador; ε d e = Tensor elástico deviador; ε = Lei de fluxo lástico; ε n+1 t ε n+1 = Tensor das deformações lásticas no seudo-temo t n+1 ; = Tensor das deformações lásticas tentativa; ε d = Tensor lástico deviador; ε = Variável interna associada ao endurecimento isotróico; ε d = Taxa de evolução da deformação lástica equivalente; ε eq = Deformação equivalente; ε eq = Taxa da deformação equivalente; ε N = Média das deformações/ressões or nucleação de vazios; ε v = Tensor das deformações volumétricas; ε v = Taxa do fluxo volumétrico; ε v e = Taxa do fluxo volumétrico elástico; ε v = Taxa do fluxo volumétrico lástico; ε = Deformação lástica equivalente; ε art =Deformação artificial; ε cis = Deformação associada ao cisalhamento;

15 e ε t n+1 ε t n+1 = Tensor das deformações elásticas tentativa; = Tensor das deformações lásticas tentativa; 15 e ε t dn+1 = Comonente deviadora do tensor das deformações elásticas tentativa; ε t dn+1 = Comonente deviadora do tensor das deformações lásticas tentativa; E = Módulo de elasticidade do material; f = Fração volumétrica de vazios; f C = Fração volumétrica de vazios crítica; f f = Fração volumétrica de vazios ara fratura; f N = Fração volumétrica de todos os vazios com otencial ara entrar em nucleação; f r = Tensão residual; f y = Tensão de escoamento do material; f = Fração volumétrica de vazios efetiva = orosidade efetiva; f = Taxa da fração volumétrica de vazios; f g = Taxa da fração volumétrica de vazios devida à coalescência; f n =Taxa da fração volumétrica de vazios devida à nucleação; g 0 = Função do ângulo de Lode; G = Modulo de cisalhamento do material; H = Modulo de endurecimento isotróico; I 1,2,3 = Primeiro, segundo e terceiro invariantes do tensor das tensões; I = Tensor identidade de segunda ordem; J 2,3 = Segundo e terceiro invariantes do tensor tensão deviador; k = Constante de Boltzmann; força termodinâmica associada ao endurecimento isotróico; módulo volumétrico do material; N = Vetor do fluxo lástico; γ = Multilicador lástico; γ = Taxa de evolução do multilicador lástico;

16 γ = Incremento Do multilicador lástico; 16 L = Aresta generalizada da célula; L x = Aresta da célula na direção x; L y = Aresta da célula na direção y; θ = Ângulo de Lode; θ = Ângulo de Lode normalizado; = Pressão hidrostática (rimeiro invariante do tensor tensão); n+1 =Pressão hidrostática no seudo-temo t n+1 ; t n+1 = Pressão hidrostática tentativa no seudo-temo t n+1 ; N = Limite de ressão hidrostática abaixo da qual não há nucleação; R = Raio do vazio central; R x = Raio do vazio na direção x; R y = Raio do vazio na direção y; ρ = Densidade do material (VRE); ρ m = Densidade da matriz material; ρ m = Taxa da densidade da matriz material; S N = Tensor deviador; S n+1 = Tensor das tensões deviadoras no seudo-temo t n+1 ; t S n+1 = Tensor das tensões deviadoras tentativa; σ y = Lei de encruamento do material; σ 0 = Tensão de escoamento inicial do material; σ x, σ y, σ z = Tensões rinciais; σ 1, σ 2, σ 3 = Tensões máxima, média e mínima rinciais no onto considerado; σ VM = q = Tensão de von Mises; σ n+1 = Tensor das tensões no seudo-temo t n+1 ; t σ n+1 = Tensor das tensões tentativa no seudo-temo t n+1 ;

17 17 μ d = Energia de distorção/deformação; μ de = Energia de distorção/deformação necessária ara rovocar escoamento; ξ = Terceiro invariante normalizado; λ 1 = Razão entre os raios do vazio nas direções x/y; λ 2 = Razão entre as dimensões do vazio nas direções x/y; φ = Função de escoamento do material; α = Ângulo de deformação da célula sob tensão cisalhante; ρ m = Densidade do material; τ = Tensão cisalhante; t n+1 = Pseudo-temo; v m = Porosidade material; Χ = Parâmetro de roorção do tamanho da ligação;

18 18 SUMÁRIO 1 Introdução CONTEXTUALIZAÇÃO DO ASSUNTO OBJETIVO ESCOPO DO TRABALHO Revisão bibliográfica DEFINIÇÕES PRELIMINARES Tensor Tensão Pressão hidrostática Tensão equivalente de von Mises Ângulo de Lode CRITÉRIO DE TRESCA OU TEORIA DA MÁXIMA TENSÃO CISALHANTE CRITÉRIO DE VON MISES OU TEORIA DA MÁXIMA ENERGIA DE DEFORMAÇÃO Sobreosição dos critérios de Tresca e von Mises MODELO DE GURSON Mecanismos de formação de microvazios MODELO DE GURSON-TVERGAARD-NEEDLEMAN (MODELO GTN) Nucleação ou formação de microvazios Coalescência de vazios MECANISMOS DE CISALHAMENTO Função do ângulo de Lode RESUMO DOS MODELOS MATEMÁTICOS Modelo matemático de Gurson Modelo matemático GTN Modelo matemático GTN com cisalhamento Asectos Numéricos ALGORITMO DE ATUALIZAÇÃO DAS TENSÕES E VARIÁVEIS INTERNAS OPERADOR TANGENTE CONSISTENTE EQUAÇÕES RESIDUAIS PARA OS MODELOS GTN E GTN COM CISALHAMENTO Resultados e Discussões GEOMETRIA E MALHA DE ELEMENTOS FINITOS... 64

19 PROPRIEDADES DOS MATERIAIS RESULTADOS NUMÉRICOS PARA O AÇO PREVISÃO DO LOCAL POTENCIAL PARA INICIO DA FRATURA CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS Anexos ANEXO A EQUAÇÕES RESIDUAIS PARA O MODELO DE GURSON ANEXO B - EQUAÇÕES RESIDUAIS PARA O MODELO GTN ANEXO C - EQUAÇÕES RESIDUAIS PARA O MODELO GTN COM CISALHAMENTO Referências Bibliográficas... 91

20 1 INTRODUÇÃO 20 Toda a área tecnológica sofreu um grande desenvolvimento no último século e meio. Se antes o homem assava uma vida inteira ara incororar alguma mudança tecnológica, agora uma década é suficiente ara mudar-lhe a vida. Tomemos o setor de transortes como exemlo. Em meados do século XVII o adre brasileiro Bartolomeu de Gusmão inventou o balão a ar quente, o mais famoso dos quais foi aquele denominado Passarola. Daí ouca coisa mudou em relação ao transorte, ois, como na ré-história, o homem viajava à velocidade do cavalo, quando muito, até que em meados do século XIX outra grande reviravolta, a oularização das ferrovias e assou-se então a viajar com a velocidade das locomotivas a vaor, as mais velozes atingindo a estuenda marca de 60 km/h. Em 1906 Santos Dumont realizou o rimeiro voo verdadeiro e úblico com um mais esado que o ar (decolado e não secreto, lançado or cataulta e divulgado aenas aós o sucesso de Santos Dumont). Nove anos aós, esse invento já embarcava tecnologia suficiente ara ser utilizado como eficiente arma de guerra. Em 1957 o rimeiro artefato humano controlado é lançado ao esaço emitindo um simles sinal em morse. Em 1969 o homem isa a Lua e atualmente já são lanejadas viagens a Marte e outros lanetas do Sistema Solar com fins de imlantação de colônias humanas ara exloração dos recursos minerais, dentre outras finalidades. Da Passarola de Bartolomeu de Gusmão ao 14 Bis decorreram aroximadamente trezentos anos; do 14 Bis ao ouso na Lua 63 anos. Do ouso na Lua a uma sonda em Júiter, menos de 14 anos e considerando as dificuldades logísticas de uma viagem exo-lanetária onde os esforços ara garantir a segurança, surimento de energia, manutenção da vida e distâncias a vencer são enormes ara nossa atual tecnologia, tem-se assim um sistema de dificuldades a suerar que não se faz equeno. Cada quilograma de material colocado em órbita custa verdadeira fortuna e, como não é ossível reduzir o consumo de ar, alimentos, etc., ara manutenção dos

21 Evento 21 ocuantes biológicos, deve-se então reduzir o eso rório dos aarelhos de transortes, armazenamento e manutenção da vida, rojetando-os estruturalmente mais esbeltos o que imlica trabalhar sob maiores solicitações, mas tudo isso com razoável grau de confiabilidade. O mesmo tem ocorrido com os aarelhos e estruturas aeronáuticas, navais, de edificações e outras. Por todas estas questões, econômicas, necessidades biológicas e de segurança, necessários se fazem maiores conhecimentos sobre os materiais quanto às suas características e ossibilidades, arcela que comete à engenharia de materiais, ois os métodos de dimensionamento que atenderam razoavelmente bem até algum temo atrás já não satisfazem aos atuais níveis de exigências e aqueles que vierem a ser descobertos, em breve laso temoral serão suerados. Lançando os dados citados acima em um gráfico temo versus fatos tecnológicos, obtemos uma curva com a configuração róxima à lançada na Figura 1.1, onde odemos verificar que nos últimos três séculos houve um incremento muito grande da tangente a essa curva, e a cada novo dia esse incremento aumento fazendo-a tender ao infinito. 10 Temo x Sonda a Júiter Pouso Triulado na Lua 1º Homem em Órbita Sutnik Uso bélico de aerolanos Aerolano Locomotiva a vaor Temo Considerado da Humanidade (anos) Viagem a é Montarias Passarola (Balão a ar quente) Figura 1.1 Gráfico Tecnologia (eventos) x Temo de Humanidade (anos)

22 1.1 CONTEXTUALIZAÇÃO DO ASSUNTO 22 A literatura recente conta com diversos trabalhos desenvolvidos ara determinação dos arâmetros constitutivos de modelos de deformação elasto-lástica dos materiais utilizados em engenharia, rincialmente quanto à caracterização dos modelos de encruamento clássico de von Mises e daqueles com dano. Materiais dúcteis são todos aqueles que sofrem consideravel deformação antes de atingir o romimento. O Manual Brasileiro ara Cálculo de Estruturas Metálicas (MBCEM - SIDERBRAS Vol I, g 45) assim define: Ductlidade é o índice que avalia a caacidade do material que se deforma na fase inelástica. Em outras alavras, ductilidade é a roriedade do material de sofrer grandes deformações lásticas. Quanto maior a ductilidade, maiores serão as deformações lásticas suortadas elo material antes de atingir o dano. Vários fatores influenciam nos valores da ductlidade de determinado aço, dentre eles esessura e tio de aço, temeratura de trabalho e outros. Temos também que considerar como fator que modifica a ductlidadedo aço um fenômeno conhecido como envelhecimento or deformação. Esta situação ocorre quando o material é submetido a variações cíclicas de temeratura. Aços armazenados ao temo, em regiões ensolaradas,sofrem grandes variações térmicasdurante o dia vindo, com o razo, aulatinamente erder ductlidade e ganhar resistência a tração. Segundo o Manual Brasileiro ara Cálculo de Estrutura Metálica, este fenômeno é mais acentuado na faixa de temeratura comreendida entre 150º C e 370º C (MBCEM - SIDERBRAS 1989-Vol I, g 46), conforme mostrado na Figura 1.2 a seguir:

23 23 Figura 1.2 Relação entre resistência a tração à temeratura ambiente e às altas temeraturas MBCEM-SIDERBRAS, Vol I, g 48). Diversos esquisadores tem se debruçado sobre o roblema de desenvolvimento de uma metodologia ara revisão da vida à fadiga de materiais metálicos, mas coube a Basquin (1911) desenvolver aquela que, embora considerando aenas um arâmetro, a quantidade de ciclos de carregamento e desconsiderando temo e forma desse carregamento, continua em uso até o momento ainda que, atualmente, com ressalvas, ois aresenta resultados hora conservadores hora otimistas, ou seja, converge, tem boa aroximação, mas não exatidão. É imortante lembrar que à éoca do desenvolvimento de seu método Basquin não disunha das tecnologias auxiliares hoje oularizadas, o que só faz aumentar seu mérito. Pesquisadores, como Mohr, Coulomb, von Mises, Treska, Drucker, Prager e outros também se engajaram na busca or métodos que redissessem a vida de uma eça metálica sujeita a determinado carregamento, de forma mais realística. Todas essas metodologias são consagradas e ainda utilizadas, embora não tão recisas quanto a realidade de suas revisões de vida, ois aresentam resultados hora essimistas, hora otimistas, o que torna sua classificação, frente às exigências de mercado, com o assar do temo cada vez mais arrojadas, aenas satisfatórios e a justificativa ara tal imrecisão reside em algo comum a todos os materiaisdúcteis, a lasticidade, que tem sido natural maciço a ser conquistado, já que éfenômeno detentor de duas grandes características: i) Grande comlexidade; e ii) Difícil modelagem.

24 24 Aliados, estes dois fatores tornaram-se barreiras quase intransoníveis ara uma situação tecnológica desrovida de ferramentas comutacionais e tanto assim que, somente aós a oularização desses meios, que facilitaram, agilizaram e reduziram os custos dos cálculos matemáticos, ermitindo inclusive a utilização de simulações virtuais, ocorreu um grande incremento nas esquisas envolvendo lasticidade. A artir de 2008intensificaram-se as roosições de teorias lásticas e aesar de sua maior ou menor facilidade de utilização são ainda aenas indicativas dos caminhos a serem seguidos elos novos esquisadores, já que conseguem rever razoavelmente o comortamento dos materiais, mas com exatidão rejudicada, ois tomam oucos arâmetros ara obtenção de seus resultados, como or exemlo o carregamento trativo aliado ao cisalhante, mas desconsiderando os demais como temeratura, frequência, intensidade, etc. A combinação de fatores, como or exemlo das temeraturas do coro e ambiente; tio, velocidade e durabilidade de carregamento; intervalos de reouso totalmente descarregados ós carregamento ou conformação, etc., ainda não foram adequadamente calibrados e sabe-se que todos exercem fortes influências sobre a ductilidade. Lembrando que o dano dúctil ode ser iniciado a qualquer momento ou fase da existência da eça ou material, inclusive durante seus rocessos de fabricação, conformação ou manuseio, ou seja, em quaisquer etaas onde sofra trabalho, carregamentos devidos aos rocessos fabris, de transorte, de montagem ou regime de trabalho. Tais etaas tomam imortância elas ossibilidades de geração de energias suficientes ara desencadeamento dos rocessos de formação e evolução de trincas com evolução ara o dano e/ou redução das tensões residuais com o consequente ganho de resistência tornando variável o temo de vida útil. Em rocessos fabris equenos defeitos, más formações, descontrole ou falhas nas etaas envolvendo variações térmicas, descuidos em montagens (rincialmente aqueles que envolvam metais e cerâmicas) dentre outros, odem gerar tensões residuais, emenos, nódulos de material frágil ou encruado e, ortanto com resistência diferente daquela aresentada elo material original, formando ontos de roblemas

25 25 que ermanecerão latentes até que determinada ação, com energia suficiente, os tire dessa dormência, iniciando-se assim a evolução da má formação ou defeito (microfissura, nódulo, incrustação, etc.) ara o dano. Podemos então afirmar que o dano em si ode ter sido originado ainda na fase de fabricação/formação ou em qualquer eríodo aós a mesma e, ortanto, muito antes de detectada sua evolução ou consequências necessitando aenas o surgimento de uma solicitação com energia suficiente ara ser desencadeado o rocesso de evolução ara trinca e desta ara a falha. Um exemlo rático desses efeitos é aquele que envolve erfis metálicos, soldados ou laminados, onde nas regiões de ligação das mesas e alma, temos uma concentração de tensões devidas às diferenças de velocidades de resfriamento que causam reduções de confiabilidade quanto a resistência do material naquelas áreas. Normas diversas que regem o cálculo e fabricação de estruturas metálicas, como or exemlo a NBR 8800/86 Projeto e Execução de Estruturas de Aço em Edifícios (itens a ), definem a redução de resistência nominal do erfil, em função desse roblema, como sendo de 115 MPa ara todos os erfis. Na roosta ara 2003 a mesma norma reduziu este valor ara 70 MPa ara erfis laminados e soldados mantendo a redução de 115 MPa ara os demais erfis (conformados a frio, comostos, etc.). Tomando um erfil estrutural em aço comercial com fy = 250 MPa, 115 MPa reresentam 46% de redução da caacidade efetiva somente devido a este efeito. A edição 2008 da mesma norma modificou esse ercentual referente à tensão residual ara 30% da tensão de escoamento (fr = 0,3 fy) o que, no caso do aço acima referido, torna o valor de fr = 75 MPa, muito alto e 5,0 MPa maior que aquele da roosta Para o regime lástico ouca coisa muda. A erda econômica é enorme. Nas etaas de montagem odemos ter a inserção de cargas com energias suficientes ara contribuir no rocesso de dano. Uniões or atrito, como aquelas utilizadas entre eixos e rodas ferroviárias, nas quais os eixos aresentam diâmetros maiores que os furos das rodas nas quais irão se alojar, or si só causam concentrações de tensões.

26 26 Caso, durante o rocesso de montagem, sejam negligenciadas as temeraturas envolvidas no rocesso, ou os alinhamentos entre as eças, dimensões e erendicularidade eixo/roda (ver Figura 1.3) dentre outros, odem tais fatos gerar grandes forças comressivas com energia suficiente ara trincarem a roda com direção fronteira furo/eixo borda mais exterior da roda. A evolução ara a falha será iniciada assim que ocorra solicitação adicional que ode ser equena deformação nas fibras exteriores da roda, ou uma carga dinâmica não revista e seu laso temoral de evolução será inversamente roorcional ao regime de trabalho a que o conjunto está submetido. Portanto, o óvulo ara a falha já existe necessitando aenas ser fecundado elo regime de trabalho. Quanto mais solicitado o conjunto, menor o temo de vida do mesmo. Figura 1.3 Trinca em roda ferroviária tendo como uma das causas a concentração de tensões or desalinhamento eixo x roda e a outra o defeito na borda externa do boleto na região da trinca. A riori, aenas com inseção visual, não odemos afirmar que a trinca tenha sentido de roagação, mas aenas direção. Soldas executadas de forma incorreta, aresentando bolhas ou fissuras internas também são fontes desse tio de roblema e contribuem ara a falha da eça metálica de forma semelhante à aquela dos vazios gerados em eças executadas em concreto onde houve deficiência no adensamento, na fluidez da massa, ou cimento fora do razo de validade, etc., que geram vazios no interior das eças, constituindose em roblema de difícil solução e eterna fonte de cuidados.

27 27 Em eças metálicas, caso tenhamos roblemas de trincas internas, aós identificadas, deendendo de sua localização e ossibilidades de acesso odemos recorrer às técnicas de retirada de material até a trinca, enchimento com solda e o roblema assará então aos cuidados executivos ara não rovocarmos modificações indevidas na microestrutura do material, criando assim ilhas concentradoras de tensões, visto ser agora a região trabalhada de resistência nominal maior que a do metal base. Em conjuntos soldados de grandes dimensões, como vasos de ressão, cascas de fornos, etc., devido ao rocesso executivo, or etaas, é rática comum aós sua execução, realizar-se o método conhecido como alívio de tensões. Tal rocesso nada mais é que um conjunto de rocedimentos envolvendo variações térmicas de forma lenta e controlada, utilizando das roriedades da ductilidade do material ara mitigação dos efeitos das tensões residuais decorrentes das etaas de soldagem, conformação, forjamento, etc., e que, caso não tratados, imõem à eça tensões concentradas de magnitudes e direções desconhecidas, levando-a ao "emeno", à deformação e mesmo à falha. Para eças em concreto armado a solução já é um ouco mais trabalhosa ois este material não aceita rocessos de integração de material novo ao material velho com facilidade. Existem rodutos que até minimizam os roblemas das chamadas juntas frias, mas seu sucesso é arcial, aresentando ainda aqueles roblemas inerentes às concentrações de tensões. Como vimos, em todos os casos citados temos o envolvimento, em maior ou menor grau, do dano dúctil. 1.2 OBJETIVO Neste trabalho estudam-se os modelos de Gurson, GTN (Modelo Gurson - Tvergaard - Needleman) e GTN Xue, modelo GTN acrescido com mecanismo de cisalhamento, comarando seus resultados com a curva exerimental. Foram adotados coros de rova cilíndrico liso, cilíndrico entalhado e borboleta, carregados a tração, cisalhamento e combinação de tração x cisalhamento, semre comarando os resultados exerimentais obtidos da literatura com aqueles obtidos via simulação comutacional.

28 1.3 ESCOPO DO TRABALHO 28 Este trabalho destina-se à aresentação e comaração das revisões de dano obtidas através de três dos rinciais modelos de revisão de dano, a saber: do modelo de Gurson, do modelo GTN e do modelo GTN Xue, comarando-os às curvas exerimentais. O modelo de Gurson é baseado na análise da micromecânica de evolução da trinca considerando a ré-existência de orosidade, ou seja, neste modelo o material é tomado como ortador de um certo valor de vazios ré-existentes. O material é tomado como ré-danificado. O Modelo GTN (Modelo de Gurson Tvergaard Needleman) acresce ao modelo de Gurson o oder de tratar os efeitos da nucleação, crescimento e coalescência dos vazios. O modelo GTN Xue acresceu ao modelo GTN o tratamento do cisalhamento até então desconsiderado e ermite disensar a estimativa inicial ara a fração volumétrica de vazios. Alimentando os diversos modelos com dados exerimentais tomados à literatura consagrada, realizamos simulação numérica em softwares acadêmicos de elementos finitos rocedendo então à comaração dos resultados obtidos através dos três métodos citados com aqueles resultados fornecidos elas curvas exerimentais tomadas à literatura. Foram também utilizadas três geometrias ara os coros de rova, submetidos aos seguintes carregamentos: CP Cilíndrico liso sob tração; CP Cilíndrico entalhado sob tração e CP tio borboleta, carregado sob tração ura, cisalhamento uro e tração combinada com cisalhamento.

29 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 29 Fissuras são entidades de difícil detecção a olho nu, rincialmente quando se iniciam, seja or suas reduzidas dimensões, muitas vezes microscóicas, seja or sua localização, que ode ser interna ao coro quando então detectáveis aenas or exames a raios X, ultrassonografia ou líquido enetrante, testes mais comuns. Para o cálculo da evolução do dano várias abordagens foram tentadas, mas todas aresentando algum tio de limitação ou deixando de considerar algum asecto: Modelo de Rousselier (1980, 2001): Abordagem termodinâmica do contínuo com deendência diferenciada do camo de tensões hidrostáticas; Utiliza a densidade do estado e dissiação; Aresenta efeito de danos do acolamento elástico, mas limitado à variação de densidade; Não inclui a fase da coalescência. Modelo Leblond Gologanu-Deveux ( ): Introdução de um arâmetro de forma também utilizado or Pardoen e Hutchinson (2000), Benzerga et al (1999), Benzerga (2002), Sirueguet e Leblond (2004); Inconveniente: equações de evolução devem ser tratadas nos eixos rinciais das cavidades elisoidais; Modelo de dano da Mecânica dos Meios Contínuos - CDM (Continuous Damage Model): De estrutura claramente termodinâmica: o Baseia-se no rincíio da conservação de energia através da tensão eficaz; Inconveniente: o Equações de evolução devem ser tratadas nos eixos rinciais das cavidades elisoidais; Variável do estado de danos afeta: o Comortamento elástico;

30 30 o Fluxo lástico; Provoca incremento na evolução de danos ela taxa de liberação de energia elástica já incororados os efeitos multiaxiais; Descreve os efeitos das tensões triaxiais sobre a tensão de fratura. Lemaitre (1986); Perda total da caacidade de serviço ocorre quanto dano atinge o valor crítico (D = 1). Existem diversas metodologias ara estudo da evolução da trinca, mas aquele que interessa a este trabalho artiu do modelo roosto or Gurson (1977) ara abordagens locais de fratura baseado na análise da micromecânica de crescimento da trinca. Contribuições a este modelo, realizadas or Tvergaard e Needleman, acrescentaram o tratamento dos efeitos da nucleação, crescimento e coalescência dos vazios, ficando este modelo, agora acrescido, conhecido como modelo GTN (modelo Gurson - Tvergaard - Needleman) cuja característica básica é a combinação do rimeiro invariante das tensões (ressão hidrostática) com o segundo invariante (de von Mises) através de uma função de acolamento, que or sua vez é função da orosidade do material (fração volumétrica de vazios), ou seja, sua característica básica é a utilização do fluxo lástico otencial. Podemos então afirmar que as características mais marcantes do modelo são: Descrição da comonente volumétrica ara a deformação lástica; Modelagem da evolução do dano rincial através da equação de conservação de massa a nível global do volume reresentativo elementar(vre). Para imlementação em elementos finitos, ambos os modelos, Gurson original e GTN, utilizam técnicas lagrangeanas e esectros de equenas deformações. O nível de deformação de um coro é diretamente deendente da ductilidade, imortante fenômeno material, influenciando fenômenos que envolvam vazios ou orosidade material. Assim, tomaremos como base os seguintes trabalhos:

31 31 Teoria da máxima tensão cisalhante: critério de Tresca; Teoria da máxima energia de deformação: critério de von Mises; Modelo de Gurson; Modelo Gurson Tvergaard- Needleman (modelo GTN); Modelo de Gurson com mecanismo de cisalhamento (modelo GTN Xue); 2.1 DEFINIÇÕES PRELIMINARES Para que entendamos os conceitos relativos às definições de um modelo constitutivo, necessário façamos antes uma breve aresentação dos entes que serão tratados TENSOR TENSÃO O tensor Tensão σé comosto or duas arcelas, uma deviadora e outra volumétrica (Lemaitre & Chabouche, 1990) cuja reresentação é: Onde: S = Tensor das tensões deviadoras; = ressão hidrostática/volumétrica; I = Tensor identidade de segunda ordem; PRESSÃO HIDROSTÁTICA σ = S + I (2.1) Pela equação 1.1 odemos retirar a equação da ressão hidrostática em função das tensões deviadoras: Onde: tr(σ) = traço do tensor tensão; = 1 tr(σ) (2.2) 3 Agora odemos definir os invariantes do tensor tensão: I 1 = tr(σ) I 2 = 1 2 {[tr(σ)]2 tr(σ 2 )} (2.3)

32 I 3 = det(σ) 32 Onde: I1, I2, I3 = rimeiro, segundo e terceiro invariantes do tensor tensão (Holzafel, 2000); Podemos agora definir a ressão hidrostática em função do invariante do tensor tensão. Para o tensor deviador S, os seus invariantes odem ser determinados como: Onde: J 2 = 1 S: S 2 J 3 = det( S) (2.4) J2 e J3 = segundo e terceiro invariantes do tensor deviador; S: S= dula contração entre dois tensores de segunda ordem. O tensor deviador, or sua rória definição, não ossui arte volumétrica e ortanto seu rimeiro invariante é igual a zero (Holzafel, 2000) TENSÃO EQUIVALENTE DE von MISES A tensão equivalente de von Mises é uma função do segundo invariante do tensor deviador e ode ser escrita como: q = 3J 2 = 3 S: S (2.5) 2 Onde: q= Tensão equivalente de von Mises (Souza Neto et al, 2008); O terceiro invariante do tensor deviador é escrito como: 3 r = 27 J = 27 2 det (S) (2.6) Onde: r= terceiro invariante do tensor deviador (Bai, 2008; Malcher et al, 2012); Escrevendo o terceiro invariante na forma normalizada, teremos:

33 33 ξ = ( r 27 q )3 2 = J 2 (2.7) q 3 Onde: ξ = terceiro invariante normalizado; ÂNGULO DE LODE O ângulo de Lode é um imortante arâmetro elasto-lástico. Segundo alguns esquisadores (Xue, 2007; Bai, 2008; Gao, 2011), é o arâmetro resonsável or dar forma à suerfície de escoamento do material. É definido como sendo o menor ângulo formado entre a rojeção do tensor das tensões e os eixos das tensões rinciais dentro do esaço deviador (ver figura abaixo). Figura 2.1 Definição do ângulo de Lode, dentro do esaço π (Xue ). Matematicamente, sua definição é: Onde: θ = Ângulo de Lode; θ = tan 1 { 1 3 [2 (S 2 S 3 S 1 S 3 ) 1]} (2.8) S1, S2, S3 = comonentes do tensor deviador;

34 34 A relação entre o ângulo de Lode e o terceiro invariante normalizado ode ser escrita como sendo: Escrevendo na forma normalizada: Onde: ξ = cos (3θ) (2.9) θ = 1 60 = 1 2 arcos(ξ) (2.10) π π θ = ângulo de Lode normalizado. 2.2 CRITÉRIO DE TRESCA OU TEORIA DA MÁXIMA TENSÃO CISA- LHANTE Para Tresca (1868) as rinciais causas do escoamento dos materiais dúcteis são as tensões cisalhantes e seu critério tem como limite de referência o onto no qual a tensão cisalhante máxima se iguala à tensão cisalhante máxima do coro de rovasno momento de seu escoamento em um ensaio de tração. Uma crítica ao modelo de Tresca tem sido o fato do mesmo não considerar a significativa influência da tensão intermediária no comortamento lástico dos materiais. Assim trabalhando, Tresca determinou que a falha no elemento estrutural ocorre quando, em algum de seus ontos: τ = σ x sen2α 2 (2.11) Para = 45 o { 1 τ max = σ x 2 τ max = σ x 2 τ max σ y 2 (2.12) Onde: σ y = Tensão de escoamento do material; τ max = Máxima cortante no onto considerado; τ max = (σ 1 σ 3 ) 2 (2.13)

35 σ 1, σ 3 = maior e menor tensão rincial no onto considerado. 35 Igualando a equação 2.12à equação 2.13 temos: σ y = (σ 1 σ 3 ) 2 2 σ y = (σ 1 σ 3 ) (2.14) σ e σ 2 σ e Região segura σ e σ 1 σ e Figura 2.2 Critério de Tresca. 2.3 CRITÉRIO DE VON MISES OU TEORIA DA MÁXIMA ENERGIA DE DEFORMAÇÃO O critério de von Mises (1913) basea-se no critério de Tresca (1868) refinado or Maxwell (1865). Pela roosta de von Mises, uma eça ou material resistente falha quando, em algum de seus ontos, a energia de distorção or unidade de volume assume: μ d σ y 2E (2.15) Reescrevendo em termos da tensão: Onde: σ VM = (σ 1 σ 2 ) 2 +(σ 2 σ 3 ) 2 +(σ 3 σ 1 ) 2 2 σ 1 > σ 2 > σ 3 tensões rinciais no onto considerado. σ y (2.16)

36 36 Em outras alavras ara von Mises a segurança esta garantida até o onto no qual a energia de distorção (μ d ) se iguala ou suera a energia de distorção necessária ara rovocar o escoamento do coro de rova no ensaio de tração μ d e (constante ara dado material e condições e indeendente do estado de tensões) ou seja, a segurança esta garantida enquanto o onto estiver interno à área da Figura 2.2. Segurança μ d < μ d e (2.17) σ 2 C σ e Região segura A σ e σ e σ 1 B σ e D Figura 2.3 Critério de von Mises SOBREPOSIÇÃO DOS CRITÉRIOS DE TRESCA E VON MISES Por considerar a tensão intermediária o critério de von Mises aresenta resultados mais realísticos que aqueles obtidos or Tresca exceto ara estados cilíndricos de tensão quando ambos os critérios se igualam e von Mises aresenta diferentes valores ara seus resectivos camos de tensões limites. Comarando-os, vemos que Tresca é um critério conservador frente a von Mises (otimista) e neste caso torna-se difícil definir, elo gráfico, a área segura. Até ode-se tomar a região exterior a Tresca e interior a von Mises como região de transição, mas nesse caso estaríamos admitindo Tresca como totalmente seguro e von Mises seguro somente em sua intersecção com Tresca, o que gera dúvidas quanto à acertividade dessa metodologia. A sobreosição dos gráficos de ambos os critérios gera a seguinte figura:

37 37 Critério de von Mises S2 Critério de Tresca S3 S1 Figura 2.4 Sobreosição dos critérios de Tresca e von Mises 2.4 MODELO DE GURSON Partindo do modelo de von Mises, Gurson (1977) roôs um modelo que na realidade é uma extensão daquele, mas descrevendo a degradação do material considerando que: i) Os metais aresentam orosidade inicial ré-existente; ii) Os defeitos materiais ré-existentes, associados às grandes deformações lásticas, são os resonsáveis ela redução da resistência característica; iii) A degradação material ode ser descrita através do crescimento das cavidades esféricas de vazios, ré-existentes ou não; iv) O comortamento da matriz metálica ode ser descrito elas equações constitutivas de von Mises. Desta forma, a função de escoamento ara o modelo de Gurson é função: i) Da ressão hidrostática (rimeiro invariante do tensor tensão); ii) Do segundo invariante do tensor tensão deviador J 2 ; iii) Da fração volumétrica de vazios f; e

38 iv) Do limite de escoamento inicial do material σ y. 38 Gurson (1977) considerou uma célula cúbica com um vazio esférico em seu interior (Figura 2.4) e derivou a função de escoamento, definida ela equação: Onde: (σ, k, f) = J 2 (S) 1 3 [1 + f2 2fcosh ( 3 )] σ y 2 = 0 (2.18) J 2 = Segundo invariante do tensor tensão deviador; = Pressão hidrostática (rimeiro invariante do tensor tensão); f = Fração volumétrica de vazios; σ y = Limite de escoamento do material. Tornando a fração volumétrica de vazios nula (f = 0), constatamos que o modelo de Gurson reduz-se ao modelo de von Mises. Assim odemos afirmar que a degradação das roriedades mecânicas de qualquer material é função dos micro vazios 1 ré-existentes ou que venham a se formar na matriz desse material. O modelo roosto or Gurson (1977) descreve a degradação do material através do crescimento de vazios, tomados como cavidades esféricas assumindo, dentre outras considerações que ossam simular defeitos materiais ré-existentes, os metais como orosos, associando tal fato às grandes deformações lásticas, o que contribui ara a redução da resistência característica e ainda, assume que o comortamento da matriz metálica ode ser descrito elas equações constitutivas de von Mises. A resença de vazios induz ao emrego de uma suerfície de escoamento deendente: Pressão hidrostática (); Porosidade do material. 1 Aqui tomamos os termos vazios e microvazios como equivalentes.

39 39 Figura 2.5 Reresentação esquemática da cavidade esférica interna ao VRE roosta or Gurson (Rice & Tracey). A suerfície de escoamento é então obtida a artir da consideração de uma cavidade esférica em um meio rígido lástico sem endurecimento. A relação entre volume de vazios (orosidade) redita no modelo de Gurson, e o volume do elemento (volume de referência) recebe a denominação de fração volumétrica de vazios (f), utilizada como arâmetro de mensuração do grau de degradação do material: Onde: f = V m V VRE (2.19) f = Fração volumétrica de vazios = arâmetro de degradação material; V m = Volume dos vazios; V VRE = Volume reresentativo elementar; Portanto, ara Gurson, o material é dilatável, sensível à ressão hidrostática e aresenta comortamento elastolástico contínuo (Reis, 2009; de Souza Neto et al., 2008; Xue, 2007). A Figura 2.5, adatada or Pineau & Pardoen (2003) ara cargas redominantemente trativas, descreve a degradação da estrutura material devida à resença de vazios ou criação de novos vazios em função da evolução do carregamento. Nela odemos observar quatro fases distintas:

40 Fase a: domínio elástico; não há alteração na micro estrutura. 40 Fase b: aumento da carga macroscóica rovoca deformação lástica localizada que or sua vez induz a nucleação de vazios. Fase c: aumento do crescimento de vazios devido às altas tensões hidrostáticas elásticas. Fase d: sequencialmente ao crescimento (fase c), ocorre a coalescência dos vazios. Tensão Deformação Figura 2.6 Reresentação esquemática do rocesso de nucleação, crescimento e coalescência de vazios e sua correlação com o carregamento global MECANISMOS DE FORMAÇÃO DE MICROVAZIOS remissas: A lei de evolução da fração volumétrica de vazios foi desenvolvida tomando or Lei da conservação de massa; Suosição de que a deformação volumétrica elástica é desrezível (de Souza Neto et al., 2008; Reis, 2009). Tomando um material oroso, com vazios disersos numa matriz sólida (conforme Figura 2.4, odemos descrever a densidade como:

41 Onde: ρ = Densidade do material (VRE); ρ m = Densidade da matriz do material; 41 V ρ = ρ m m (2.20) V VRE V m = Volume de vazios (= volume de micro vazios); V VRE = Volume de referência = volume do elemento considerado (VRE= Volume Reresentativo Elementar); O somatório do volume total de sólido or unidade de volume e a fração volumétrica de vazios, evidentemente, é igual à unidade: Levando a equação (2.21) na equação (2.20) temos: Derivando a equação (2.12) obtemos: V m V VRE = (1 f) (2.21) ρ = ρ m (1 f) (2.22) ρ = ρ m (1 f) ρ mf (2.23) Em regime lástico, a matriz é incomressível e, ortanto, a deformação volumétrica elástica é desrezada. Assim, a densidade ermanece inalterada, ou seja: Onde: Daí que: ρ = Taxa da densidade do VRE; f = Taxa da fração volumétrica de vazios; ρ m = Taxa da densidade da matriz material; Pela lei da conservação de massa temos: ρ m = 0 (2.24) f = ρ ρ m (2.25) f = ρ (1 f) (2.26) ρ ρ = ρ ε V = ε V e + ε V (2.27)

42 Onde: ε V = Taxa do fluxo volumétrico; ε V e = Taxa do fluxo volumétrico elástico; ε V = Taxa do fluxo volumétrico lástico; 42 f = ρ (2.28) ρ m f = ε v (1 f) (2.29) A equação (2.29): Exressa a lei de evolução da fração volumétrica de vazios; Descreve a degradação de materiais orosos. A regra de fluxo lástico é regida or: ε = γ = ε σ d + ε v (2.30) Onde: ε = Tensor lástico; ε d = Tensor lástico deviador; ε = γ S γ fσ ysinh ( 3 ) I (2.31) ε v = Taxa do fluxo volumétrico lástico; γ = Taxa do multilicador lástico; = Pressão hidrostática; Tomando o segundo termo do lado direito da equação (2.21) e levando na equação (2.19), obtemos a equação ara a lei de evolução da fração volumétrica de vazios f: f = (f f 2 )γ σ y sinh ( 3 ) (2.32)

43 MODELO DE GURSON-TVERGAARD-NEEDLEMAN (MODELO GTN) Tvergaard e Needleman (1980) rouseram alterações no modelo de Gurson visando a consideração da nucleação de vazios, o que ermitiu tomar qualquer elemento considerando-o como erfeito, sem defeitos, ois com esta introdução naturalmente ocorre a evolução da variável de dano e ainda descreve o efeito da coalescência de vazios (Tvergaard e Needleman -1984). Desta forma, a evolução da orosidade é determinada com: Onde: f = Taxa da fração volumétrica de vazios; f = f n + f g (2.33) f n = Taxa da fração volumétrica de vazios devida à nucleação; f g = Taxa da fração volumétrica de vazios devida à coalescência NUCLEAÇÃO OU FORMAÇÃO DE MICROVAZIOS Com o aumento da deformação lástica ocorre a nucleação que nada mais é que o surgimento de novos vazios no interior do material. Desta forma a fração volumétrica de vazios assa a ser comosta or duas arcelas, uma devida ao crescimento dos vazios e outra devida à nucleação. Onde: f n = f N S N 2π ex [ 1 2 (ε ε N S N ) 2 ] ε (2.34) f N = Fração volumétrica de todos os vazios com otencial ara entrar em nucleação; ε N = Média das deformações/ressões or nucleação de vazios; S N =Tensor deviador; ε = Deformação equivalente lástica; ε = Taxa da deformação equivalente lástica COALESCÊNCIA DE VAZIOS Continuando os efeitos da deformação lástica, aós o crescimento e nucleação de vazios, ocorre a coalescência, nome dado à aglutinação dos vazios ara

44 44 formação de vazios cada vez maiores o que incrementa ositivamente a erda da caacidade de carga do material ou, em outras alavras, reduz sua caacidade resistiva. Introduz-se a coalescência de vazios no modelo com: f, f = { f C + ( 1 f q C ) (f f C), 1 (f f f C ) f < f C f f C (2.35) Onde: f C = Fração volumétrica de vazios crítica; f f = Fração volumétrica de vazios ara fratura. f = Fração volumétrica de vazios efetiva = orosidade efetiva. Quando a fração volumétrica de vazios efetiva ou orosidade efetiva (f ) for menor que a fração volumétrica de vazios crítica (f C ), sua obtenção se dá através dos mecanismos de crescimento e nucleação; caso contrário, sua obtenção advém do mecanismo de coalescência. A função de escoamento do modelo GTN então assume o endurecimento isotróico e o dano isotróico, ficando: (σ, k, f) = J 2 (S) 1 3 [1 + q 3 f 2 2q 1 f cosh ( q 2 3 )] σ y 2 (2.36) Os arâmetros q1, q2eq3 são introduzidos com o objetivo de caacitar o modelo a redições mais exatas da eriodicidade da matriz de vazios, utilizando a análise numérica. 2.6 MECANISMOS DE CISALHAMENTO O modelo original de Gurson não inclui os efeitos de cisalhamento e, ortanto, não ermite a redição dos locais onde ocorreriam o cisalhamento e também a fratura em baixa triaxialidade. Acresce o fato de que, sob cisalhamento dominante, a distorção dos vazios vinculada aos intervazios romove incrementos na degradação interna ao material, tornando-o mais macio.

45 45 As leis de evolução que incluem a influência do terceiro invariante do tensor tensão e do tensor de deformação lástica, surgiram da necessidade de dotar o modelo de Gurson da caacidade de fornecer resostas adequadas mesmo sob tensões a baixos níveis de triaxialidade. O mecanismo de dano or cisalhamento orosto or Xue (2007) foi baseado na solução de McClintock et al. (1968) ara a coalescência de vazios em uma faixa de cisalhamento baseada em uma célula quadrada reresentativa contendo um vazio circular no centro, sujeita a um tensão cisalhante simles (Figura 2.6-a). Figura 2.7 VRE: (a) estado inicial; (b) estado final aós solicitação de corte. A célula quadrada, com aresta L e raio do vazio central R, ao ser carregada sofre um giro e o vazio se alonga na direção referencial. Pela lei de conservação do volume, Xue (2008) ressuôs que as osições relativas do vazio em relação à célula não se alteram, mas à medida que a tensão cisalhante aumenta, as distâncias entre o contorno do vazio e as bordas da célula diminuem (Figura 2.6-b), sendo reresentado elo ângulo de deformação, fruto da alicação de uma tensão cisalhante simles, odendo sua relação ser assim escrita: = L 2 R (2.37) e tan = γ (2.38) Onde: = Ângulo de deformação da célula sob carregamento cisalhante; γ =Tensão cisalhante simles. A distância mínima do vazio ao bordo da célula na configuração deformada ode ser calculada como:

46 46 a = a cos(α) = a 1 1+γ 2 (2.39) Segundo Xue (2008), ode-se também associar esta distância mínima com a tensão de cisalhamento simles através de uma equação logaritmica: Onde: ε art = Deformação artificial. ε art = ln a a = ln 1 + γ2 (2.40) a = Distância não deformada entre a borda do vazio central e aresta da célula. a = Distância entre a borda do vazio central à aresta da célula deformada. McClintock et al. (1968) ode-se definir o início da fratura em determinada faixa de cisalhamento através da condição de contorno das fronteiras do vazio na direção longitudinal da faixa cisalhante. Para Xue (2008), em equenas frações volumétricas, a falha é consequencia da tensão cisalhante e a determinou como: ε cis = L 2R (2.41) Onde: ε cis = Deformação associada ao cisalhamento. L = Aresta da célula; R = Raio do vazio central. Assim, ode-se determinar os danos associados ao cisalhamento do vazio como: D cis = ε art ε cis = ln 1+γ2 ( L 2R ) = 2R ln 1+γ2 L (2.42) Onde: D cis = Dano associado ao cisalhamento ε art = Deformação artificial ε cis = Parcela da deformação associada ao cisalhamento

47 47 Trabalhando uma exressão da série de Taylor e simlificando-a, Xue (2008) definiu o termo ara a deformação artificial como: ε art 1 2 γ2 (2.43) Desta forma a tensão cisalhante ode ser exressa através da tensão equivalente de von Mises: γ = 3ε eq (2.44) O que ermite, ara cisalhamento simles e equenas frações volumétricas de vazio, reescrever a equação (2.42): Onde: D cis 1 2 γ2 = γ2 = γ 2 f = π f π π f 1 π f( 2 ) ε eq Fração volumétrica de vazios da célula: f = πr2 L 2 f = 4πR3 3L 3 Problema bidimensional; Problema tridimensional. De maneira similar, ara o caso tridimensional: 2 (2.45) D cis = 3 2 (6 π )(1 3 ) f (1 3 ) 2 ε eq (2.46) Daí que a evolução do dano or cisalhamento ode ser exressa: D cis = q 4. f q 5. ε eq. ε eq (2.47) Onde q 4 e q 5 são arâmetros geométricos assim definidos: Problema bidimensional: { q 4 = 3 π q 5 = 1 2 Problema tridimensional: { q 4 = 2 3 (6 π )( 1 3 ) (2.48) (2.49) q 5 = 1 3 Butcher & Zhen (2009) também derivaram uma exressão logaritmica ara deformação de rutura, or cisalhamento, mas não a artir da série de Taylor:

48 D cis = ε art ε cis = ln 1+γ2 ln 1 χ 48 (2.50) Onde: D cis = Dano associado ao cisalhamento χ = Parâmetro de roorção do tamanho da ligação definido diferentemente ara: Problema bidimensional: χ = R x L x = ( 4 π f λ ) λ 2 (2.51) Com: Problema tridimensional: 1 3 ) λ 2 χ = R x L x = ( 6 π f λ 1 (2.52) Onde: λ 1 = R y R x e λ 2 = L y L x (2.53) R x = Raio do vazio na direção x; R y = Raio do vazio na direção y; L x = Dimensão da célula na direção x; L y = Dimensão da célula na direção y; λ 1 e λ 2 = 1 (modelo de Xue 2008) rotação da célula é roorcional ao elongamento do vazio; Pode-se reresentar estes arâmetros como função do estado de tensão obtendo or resultado a evolução das dimensões da ligação relacionada às tensões normais. Butcher e Zhen (2009). Trabalhando com cisalhamento simles e equena fração volumétrica de vazios, a tensão cisalhante e a tensão equivalente de von Mises com: γ = 3ε eq, odemos definir a evolução do dano or cisalhamento como: Onde: D cis = 1 ln 1 χ D cis = Dano associado ao cisalhamento ( 3ε eq 1+3ε2 ) ε eq (2.54) eq

49 ε eq = Deformação equivalente; 49 ε eq = Taxa da deformação equivalente. χ = Definido elas equações 2.51 e 2.52, conforme o caso. Nahshon e Hutchinson (N&H-2008) sugeriram um mecanismo de cisalhamento baseado nos asectos fenomenológicos que odem ser exressos or: D cis = k. f S:ε q (2.55) Onde: k = Parâmetro material assível de calibração; ε = Lei de fluxo lástico; S = Tensor tensão deviador; q = Tensão equivalente de von Mises; f= Fração volumétrica de vazios. O trabalho lástico, reresentado or (S: ε ), ode ser substituído elo equivalente (σ: ε ). Reescrevendo a equação 2.54: D cis = k. f σ:ε q = k. fε (2.56) Onde: D cis = Taxa de evolução do dano associado ao cisalhamento; ε = Taxa de evolução da deformação lástica equivalente. Com isto a variável de dano ode ser reescrita como: Onde: f = f n + f g + D cis (2.57) f = Taxa da fração volumétrica de vazios; f n f g =Taxa da fração volumétrica de vazios devida à nucleação; = Taxa da fração volumétrica de vazios devida à coalescência; D cis =Taxa do dano associado ao cisalhamento; Sob condições de cisalhamento dominante, introduzindo-se um dos mecanismos de cisalhamento no modelo GTN, este tem sensível melhora na caacidade de redição da falha, mas ara isso é necessária a introdução de uma função do ângulo

50 50 de Lode com valor 0 g 0 1 como condição de carregamento ara generalizar a evolução de danos or cisalhamento ara o estado de tensão arbitrário FUNÇÃO DO ÂNGULO DE LODE As evoluções de danos or cisalhamento uro descritas devem ser generalizadas ara estados de tensões arbitrárias e isso ode ser feito através da introdução de uma função diretamente associada ao terceiro invariante do tensor tensão deviador, o ângulo de Lode, arâmetro essencial na caracterização do efeito do estado de tensão na fratura dúctil (Kim et al., 2003 e 2004; Bao e Wierzbicki, 2004; Gao et al., 2005; Breit e Faleskog, 2007a e 2007b; Bai e Wierzbicki, 2008; Gao et al., 2009). O ângulo de Lode está comreendido no intervalo entre 0 ara estados de tensão de tração ura e 1 ara os estados de cisalhamento uro. Para valores intermediários, or ser um estado de tensões combinadas, a função deve ser caaz de definir a grandeza relativa a cada condição de tensão. A função de deendência do ângulo de Lode roosta or Xue (2008) é definida or uma exressão linear do ângulo de Lode normalizado, como: Onde: g 0 = Função do ângulo de Lode; θ = Ângulo de Lode normalizado. g 0 = 1 θ (2.58) Nahshon & Hutchinson (2008) rouseram alternativa ara a função do ângulo de Lode, que discrimina tensões uniaxiais daquelas biaxiais e exressa uma relação quadrática com o terceiro invariante normalizado. Onde: ξ = Terceiro invariante normalizado. g 0 = 1 ξ 2 (2.59) As equações 2.58 e 2.59 odem ser utilizadas ara ativar o mecanismo de cisalhamento descritos na seção anterior semre que os efeitos de cisalhamento estiverem resentes. A Figura 2.7 reresenta ambas funções em relação ao terceiro invariante do tensor tensão.

51 51 g 0 ξ Figura 2.8 Evolução das funções do ângulo de Lode normalizado em relação ao terceiro invariante roosto or Xue (2008). A evolução do dano or cisalhamento exresso nas equações 2.47, 2.54 e 2.56 odem ser reescritas ara condições de carregamento arbitrário como: D cis = g 0 (q 4 f q 5 ε eq ε eq) (2.60) D cis = g 0 [ 1 ln 1 x ( 3ε eq 1+3ε2 ) ε eq] (2.61) eq D cis = g 0 k fε (2.62) 2.7 RESUMO DOS MODELOS MATEMÁTICOS MODELO MATEMÁTICO DE GURSON i) Decomosição aditiva da deformação ε = ε e + ε (2.63) ii) Lei de Hooke σ = D e : ε e (2.64) iii) Função de escoamento

52 iv) Lei de fluxo lástico ε = γ = J 2 (S) 1 3 [1 + f2 2fcosh ( 3 )] σ y 2 N = γ S: S + 1 [f σ σ 3 y sinh ( 3 2 )] R = γ {f sinh( 3 2σy )+2 3 [1+f2 2f cosh( 3 2σy )]σ y} (1 f) f = f G = (1 f)ε v ε = γ S: S + 1 [f σ 3 y sinh ( 3 2 )] 52 (2.65) (2.66) (2.67) (2.68) (2.69) ε v = γ fσ y sinh ( 3 ) (2.70) v) Critério de carregamento e descarregamento γ 0; 0; γ = 0 (2.71) MODELO MATEMÁTICO GTN Partindo do modelo roosto de Gurson, Tvergaard e Needleman fizeram acréscimos ao modelo, tornando-o caaz de tratar a nucleação e coalescência de vazios, ficando o novo modelo conhecido como GTN (modelo Gurson-Tvergaard-Needleman). As remissas matemáticas são: i) Decomosição aditiva da deformação ε = ε e + ε (2.72) ii) Lei de Hooke σ = D e : ε e (2.73) iii) Função de escoamento = J 2 (S) 1 3 [1 + q 3 f 2 2q 1 f cosh ( 3q 2 )] σ y 2 (2.74)

53 53 iv) Lei do fluxo lástico e equações de evolução ara R e f ε = γ [S q 1q 2 f sinh ( 3q 2 ) I] (2.75) R = γ {q 1 q 2 f sinh( 3q 2 2σy )+2 3 [1+q 3f 2 2q 1 f cosh( 3q 2 2σy )]σ y} (1 f) (2.76) f = f n + f g = f N S N 2π ex [ 1 2 (ε ε N S N ) 2 ] ε + (1 f)ε v (2.77) f, f f c f = { f c + ( 1 f q c ) ( f f c (2.78) ) f f 1 f f f c c ε = γ 2 {S: S + 1 [q 3 3 1q 2 fσ y sinh ( 3q 2 2 )] } (2.79) ε v = γ q 1 q 2 fσ y sinh ( 3q 2 ) (2.80) v) Critério de carregamento e descarregamento γ 0; 0; γ = 0 (2.81) MODELO MATEMÁTICO GTN COM CISALHAMENTO i) Decomosição aditiva da deformação ii) iii) Lei de Hooke Função de escoamento ε = ε e + ε (2.82) σ = D e : ε e (2.83) (σ, r, f) = J 2 (S) 1 3 [1 + q 3 f 2 2q 1 f cosh ( 3q 2 )] σ y 2 (2.84)

54 iv) Lei do fluxo lástico e equações de evolução ara R e f 54 ε = γ [S q 1 q 2 f σ y sinh ( 3q 2 ) I] (2.85) R = γ {q 1 q 2 f sinh( 3q 2 2σy )+2 3 [1+q 3 f 2 2q 1 f cosh( 3q 2 2σy )]σ y} (1 f) (2.86) f = f n + f g + D cis = Onde: f N S N 2π ex [ 1 2 (ε ε N S N ) 2 ] ε + (1 f)ε v + D cis (2.87) ε = γ 2 {S: S + 1 [q 3 3 1q 2 fσ y sinh ( 3q 2 2 )] } (2.88) ε v = γ q 1 q 2 fσ y sinh ( 3q 2 ) (2.89) D cis = { q 4f q 5g 0 ε ε (Xue) kfg 0 ε (Nahshon) g 0 = { 1 θ (Xue) 1 ξ 2 (Nahshon) (2.90) (2.91) v) Critério de carregamento e descarregamento γ 0; 0; γ = 0 (2.92)

55 3 ASPECTOS NUMÉRICOS 55 Partindo do modelo de von Mises, Gurson (1977) roôs um novo modelo ara estudo do dano considerando a orosidade inicial do material que, associada às grandes deformações lásticas, são resonsáveis elo dano. Desta forma, a função de escoamento ara o modelo de Gurson é função da ressão hidrostática (rimeiro invariante do tensor tensão), do segundo invariante do tensor tensão deviador J 2, da fração volumétrica de vazios f e do limite de escoamento inicial do material σ y. Com isto, a função de escoamento ara o modelo de Gurson fica conforme descrita ela equação (2.8). Constata-se assim que, caso a fração volumétrica de vazios f seja nula, o modelo de Gurson reduz-se ao de von Mises. 3.1 ALGORITMO DE ATUALIZAÇÃO DAS TENSÕES E VARIÁVEIS INTERNAS O algoritmo de atualização, também chamado em lasticidade comutacional de algoritmo de maeamento de retorno, é construído através do révio conhecimento da deformação elástica (ε e n ); do incremento de deformação rescrito ara este intervalo, ε (fornecido); do conjunto das variáveis internas α n, no início do intervalo do seudo-temo [t n, t n+1 ]; Com estes dados, o chamado estado tentativa elástico ode ser assim construído: e ε t n+1 ε t n+1 t σ n+1 = ε n e + ε = ε n = D e e : ε t n+1 σ y = σ y (α n ) t α n+1 = α n (3.1) Onde: t σ n+1 = Tensor das tensões tentativa;

56 e ε t n+1 = Tensor das deformações lásticas tentativa; 56 t α n+1 = Variável interna associada ao endurecimento isotróico tentativa; σ y = Limite de escoamento inicial do material. Lembremos que σ y, limite de escoamento inicial do material, é função da variável interna associada ao endurecimento isotróico, σ y (α n ). No modelo de von Mises a deformação lástica equivalente, ε é tomada como a variável interna associada ao endurecimento isotróico ε n e assim odemos afirmar que o limite de escoamento do material, ou limite de escoamento inicial do material σ y, é função da deformação lástica equivalente ε n. Podemos então decomor o tensor das tensões tentativas em uma arte deviadora e outra hidrostática: Onde: t S n+1 t S n+1 t n+1 e = 2Gε t dn+1 = Comonente deviadora tentativa; (3.2) e = Kε t dn+1 t n+1 = Comonente hidrostática tentativa; G = Módulo de cisalhamento; k = Módulo volumétrico; e ε t dn+1 = Comonente deviadora do tensor das deformações elásticas tentativa; Prosseguindo, verificamos a osição do estado tentativa em relação ao intervalo contendo os limites elásticos do material e ara tal, a função de escoamento é definida com base nos termos acima. Novamente ara o modelo de Gurson, a função de escoamento tentativa é então determinada como: = J 2 1 [1 + f t 2 3 n+1 t 2f n+1 cosh ( 3 n+1 2 )] σ (3.3) y Caso seja menor ou igual a zero, temos que o incremento de deformação rescrito inicialmente é totalmente elástico e o estado tentativa construído assa então

57 57 a ser considerado como estado real do material, ( ) n+1 = ( ) t n+1. Em caso contrário, ou seja, sendo maior que zero, temos a comrovação de que o material se encontra inserido nos limites do regime lástico e que o incremento de deformação rescrito, que inicialmente foi considerado elástico, ossui uma arcela lástica, o que nos obriga à correção do estado tentativa construído acima, rocedimento que será realizado a artir da remoção do incremento de deformação lástica daquele valor tomado ara deformação elástica tentativa, nos ermitindo então escrever: e ε n+1 e = ε t dn+1 γ [S n f n+1σ y sinh ( 3 n+1 )] (3.4) Assim como no modelo de von Mises, ara o modelo de Gurson, o incremento de deformação lástica é definido através da Lei de Fluxo Plástico, ficando: ε n+1 = ε n + γ [S n f n+1σ y sinh ( 3 n+1 )] (3.5) A atualização das variáveis de estado ode então ser obtida através das equações a seguir: ε n+1 = ε n + γ 2 {S 3 n+1: S n [f 3 n+1σ y sinh ( 3 2 n+1 )] } (3.6) Onde: γ = Incremento da deformação lástica equivalente. Já a atualização da fração volumétrica de vazios fica: f n+1 = f n + γ(1 f n+1 )f n+1 σ y sinh ( 3 n+1 ) (3.7) Agora, a função de escoamento atualizada é determinada através do estado real no seudo-temo t n+1, de acordo com a exressão: = J 2 1 [1 + f t 2 3 n+1 t 2f n+1 cosh ( 3 n+1 2 )] σ (3.8) y Analisando as equações (3.5), (3.7) e (3.8), verifica-se que ara determinarmos o estado real do material, deve-se, rimeiro, resolver um sistema de equações não e lineares que tem como variáveis ε n+1, ε n+1 e γ.

58 58 O sistema não linear citado acima, ara um roblema tridimensional (estado geral de tensão), ode ser considerado como um sistema com oito variáveis e oito equações, o que ermite reescrever a equação (3.5) em termos do camo de tensão: σ n+1 = D e e : ε t n+1 (3.9) Assim, o sistema de equações não-lineares a ser resolvido assa a ter como variáveis σ n+1, f, ε n+1 e γ odendo ser reresentado na forma de equações residuais: R σ n+1 σ n+1 R ε n+1 σ n+1 R f σ n+1 R σ n+1 ε n+1 R ε n+1 ε n+1 R f ε n+1 R σ n+1 f R ε n+1 f R f f R σ n+1 Δγ R ε n+1 Δγ R f Δγ δσ Rσ δε Rε [ δf ] = [ Rf ] (3.10) δ γ R γ [ R Δγ σ n+1 R Δγ ε n+1 R Δγ f R Δγ Δγ ] Desta forma o modelo numérico desenvolvido ara o modelo matemático de Gurson fica resumido conforme demonstrado na Tabela 3.1.

59 59 Tabela 3.1 Algoritmo de atualização das tensões e variáveis internas associado ao modelo de Gurson. i) Determinar o estado tentativa: Dado um incremento deformação, Δε. e t ε n+1 = ε e n + Δε ε n+1 = ε n t σ n+1 = D e e : ε n+1 = ε n ) = f n ii) σ y = σ y (ε n Verificar a admissibilidade Plástica: φ t = J [1 + f t 2 n+1 t ε n+1 t f n+1 t 2f n+1 cosh ( 3 n+1 2 )] σ y Se φ t 0, então (asso elástico): ( ) n+1 = ( ) t n+1 ; Caso contrário, então (asso lástico): iii) Algoritmo de retorno: resolver o sistema de equações não-lineares (Newton-Rahson), tendo como variáveis: σ n+1, ε n+1, f e Δγ. R σn+1 σ n+1 R σn+1 ε n+1 R σn+1 f R σn+1 Δγ R ε n+1 σ n+1 R f σ n+1 R ε n+1 ε n+1 R f ε n+1 R ε n+1 f R f f R ε n+1 Δγ R f Δγ δσ Rσ δε n Rε [ ] = [ δf Rf ] δ γ R γ [ R Δγ σ n+1 R Δγ ε n+1 R Δγ f R Δγ Δγ ] iv) Atualizar outras variáveis internas: v) Fim. Para resolução do sistema não-linear descrito na tabela acima adota-se o método de Newton-Rahson, elo fato de sua convergência ser bem mais ráida. Partindo da equação (3.10). Assim, a tabela a seguir mostra de forma resumida a alicação do método de Newton-Rahson ara resolução do sistema linear acima citado, onde o estado tentativa é tomado como arâmetro inicial do roblema.

60 60 Tabela 3.2. Algoritmo ara resolução do sistema linear através do método de Newton-Rahson. i) Dado o estado tentativa como arâmetros iniciais: (0) t σ n+1 = σ n+1 ; ε n+1 (0) = ε n 0 t ; f n+1 = f n+1 ; Δγ (0) = Δγ ii) Resolver o sistema de equações ara: σ n+1, ε n+1, f e Δγ. R σn+1 σ n+1 R σn+1 ε n+1 R σn+1 f R σn+1 Δγ R ε n+1 σ n+1 R f σ n+1 R ε n+1 ε n+1 R f ε n+1 R ε n+1 f R f f R ε n+1 Δγ R f Δγ δσ Rσ δε n Rε [ ] = [ δf Rf ] δ γ R γ [ R Δγ σ n+1 R Δγ ε n+1 R Δγ f R Δγ Δγ ] iii) Calcular: σ (k+1) (k) (k+1) n+1 = σ n+1 + δσ n+1 f (k+1) n+1 = f (k) (k+1) n+1 + δf n+1 ε n+1 (k+1) = ε n+1 (k) (k+1) + δε n+1 Δγ (k+1) = Δγ (k) + δδγ (k+1) iv) Verificar convergência: v) Fim. φ k+1 = J [1 + (f n+1 k+1 ) 2 2f k+1 n+1 cosh ( 3 n+1 2 )] σ y φ (k+1) erro = tolerância 1 [1 + (f 3 n+1 k+1 ) 2 2f k+1 n+1 cosh ( 3 n+1 )] σ2 y Onde:

61 [ R σn+1 R ε n+1 R fn+1 R γ ] = ε n+1 t σ n+1 σ n+1 + γ [2GS n kf n+1σ y sinh ( 3 ) I] ε n γ 2 {S 3 n+1: S n [f 3 n+1σ y sinh ( 3 2 n+1 )] } f n+1 f n γ(1 f n+1 )f n+1 σ y sinh ( 3 n+1 ) 61 (3.11) [ J 2n+1 1 [1 + f 2 3 n+1 2f n+1 cosh ( 3 n+1 2 )] σ y ] 3.2 OPERADOR TANGENTE CONSISTENTE Tomando como base a imlementação imlícita do modelo descrito acima em um desenvolvimento de elementos finitos, requer-se o oerador tangente consistente com o algoritmo de integração como ferramenta ara construção da chamada matriz de rigidez. Considerando um caso elástico, ou seja, quando o fluxo lástico é igual a zero dentro de um asso esecífico, o oerador tangente no temo t n+1, assa a ser simlesmente o oerador elástico danificado, descrito or: D e = 1 1 f D (3.12) Por outro lado, em um caso elasto-lástico, ou seja, quando se assume a existência do fluxo lástico, o oerador tangente, escrito or D e, é definido como: D e = σ ε n+1 (3.13) Onde σ reresenta a função algorítmica constitutiva imlícita ara a atualização das tensões, definida elo algoritmo de retorno descrito acima. Para o modelo de Gurson, a metodologia alicada ara determinação do oerador tangente consistente com o algoritmo de atualização de tensões é escrito a artir da Equação (3.10) escrita na forma inversa: Onde: σ n+1 ε n+1 [ f n+1 γ ] C 11 C 12 C 13 C 14 C = [ 21 C 22 C 23 C 24 ] [ C 31 C 32 C 33 C 34 C 41 C 42 C 43 C 44 D e et : ε n ] (3.14)

62 R σ n+1 σ n+1 R σ n+1 ε n+1 R σ n+1 f R σ n+1 Δγ 1 62 C 11 C 12 C 13 C 14 C [ 21 C 22 C 23 C 24 ] = C 31 C 32 C 33 C 34 C 41 C 42 C 43 C 44 R ε n+1 σ n+1 R f σ n+1 R ε n+1 ε n+1 R f ε n+1 R ε n+1 f R f f R ε n+1 Δγ R f Δγ (3.15) [ R Δγ σ n+1 R Δγ ε n+1 R Δγ f R Δγ Δγ ] Escalares: C 22,C 23, C 32, C 33 ; Tensores de segunda ordem: C 12,C 21 ;C 13,C 31 ;C 14,C 41 ; Tensor de quarta ordem: C 11. Assim, a Equação 3.13, ode ser reescrita como: D e = σ n+1 εe t = C 11 : D e (3.16) n+1 Onde a oeração (C 11 : D) reresenta a comosição entre o tensor de quarta ordem C 11 e o tensor de quarta ordem D, dado ela matriz de elasticidade. Toda a metodologia aqui descrita alicada ao modelo de Gursonara determinação do algoritmo de atualização das tensões e matriz tangente consistente, também será alicada aos modelos GTN e GTN com cisalhamento, diferenciando aenas na formação do sistema de equações residuais articularizados a seguir. 3.3 EQUAÇÕES RESIDUAIS PARA OS MODELOS GTN E GTN COM CISALHAMENTO Para o modelo GTN o seguinte sistema de equações residuais é definido: t σ n+1 σ n+1 + γ [2GS n q 3 1q 2 kf n+1 σ y sinh ( 3q 2 n+1 ) I] [ R σn+1 R ε n+1 R fn+1 R γ ] = ε n+1 ε n γ 2 {S 3 n+1: S n [q 3 1q 2 f n+1 σ y sinh ( 3q 2 2 n+1 )] } f n+1 f n f N γ(1 f n+1 )q 1 q 2 f n+1 σ y sinh ( 3q 2 n+1 ) (3.17) [ J 2n+1 1 [1 + q 2 3 3f n+1 2q 1 f n+1 cosh ( 3q 2 n+1 2 )] σ y ] Para o modelo GTN com cisalhamento, o sistema de equações residuais fica definido como:

63 63 R σ n+1 σ n+1 R ε n+1 σ n+1 R f σ n+1 R σ n+1 ε n+1 R ε n+1 ε n+1 R f ε n+1 R σ n+1 f R ε n+1 f R f f R σ n+1 Δγ R ε n+1 Δγ R f Δγ δσ Rσ δε Rε [ δf ] = [ Rf ] (3.18) δ γ R γ [ R Δγ σ n+1 R Δγ ε n+1 R Δγ f R Δγ Δγ ] [ Rσ n+1 Rε n+1 Rf n+1 R γ ] = [ t σ n+1 σ n+1 ε n+1 + γ [2GS n q 3 1q 2 kf n+1 σ y sinh ( 3q 2 n+1 ) I] ε n γ 2 {S 3 n+1: S n [q 3 1q 2 f n+1 σ y sinh ( 3q 2 2 n+1 )] } f n+1 f n f N S N 2π ex [ 1 2 (ε ε N S N ) 2 ] ε + (1 f)ε v + D cis J 2n+1 1 [1 + q 2 3 3f n+1 2q 1 f n+1 cosh ( 3q 2 n+1 2 )] σ y ] (3.19) As derivadas das equações residuais ara o modelo GTN e GTN com cisalhamento são encontradas no anexo deste trabalho.

64 4 RESULTADOS E DISCUSSÕES GEOMETRIA E MALHA DE ELEMENTOS FINITOS Os coros de rova utilizados ara testar a robustez dos modelos numéricos roostos foram retirados da literatura (Bai, 2008) e fabricados em aço 1045 sob três geometrias clássicas (Figura 4.1): Cilíndrico liso; Cilíndrico entalhado; Tio Borboleta. A escolha do aço 1045 deu-se em função, rincialmente, da facilidade de obtenção, na literatura disonível, de resultados exerimentais ara as diferentes geometrias dos coros de rova e estados de tensão (ver Bai & Wierzbicki, 2007), nos ermitindo assim, maior assertividade quanto ao estudo como um todo. Foram eleitos também três tios de carregamentos, alicados até falha total do coro de rovas (comleto romimento/searação): Carregamentos trativos, monotônicos: o Cilíndrico liso (Figura 4.1 a); o Cilíndrico entalhado (Figura 4.1 b); o Tio borboleta (Figura 4.1 c); Carregamentos cisalhantes: o Tio Borboleta (Figura 4.1 c); Carregamentos combinando tração e cisalhamento: o Tio Borboleta (Figura 4.1 c).

65 65 (a) Cilíndrico liso (b) Cilíndrico entalhado (c) Tio Borboleta Figura 4.1 Geometria dos coros de rova utilizados material aço 1045: a) cilíndrico liso, b) cilíndrico entalhado e c) tio borboleta. A geometria ara discretização dos coros de rova ara simulação numérica é mostrada na Figura 4.2 com as seguintes articularidades: Coros de rova cilíndrico liso e cilíndrico entalhado: o Discretizados como elementos finitos bidimensionais, quadrilaterais de 8 nós, formando malha com elementos e nós. o Considerando que neste estudo o roblema é comletamente simétrico, a discretização ode ser realizada em aenas um quarto do coro, adotando, ara medição do deslocamento da área de interesse do CP, um cli gage de 20,6 mm (ver Bai, 2008); Coro de rova tio borboleta: o Sob tração ura:

66 66 Adotados elementos finitos tridimensionais hexaédricos de 8 nós, formando malha de elementos e nós. o Sob carregamento combinado (tração e cisalhamento): Adotamos malha tridimensional constituída or elementos finitos hexaédricos de 20 nós, totalizando elementos e nós. (a) Cilíndrico liso (b) Cilíndrico com entalhe (c) Borboleta Figura 4.2 Configuração da malha de elementos finitos ara os coros de rova adotados. 4.2 PROPRIEDADES DOS MATERIAIS. A utilização dos modelos constitutivos descritos exigiu um grande número de arâmetros materiais em boa arte tomados à literatura disonível (ver Bai & Wierzbicki, 2007; Malcher, 2011; Malcher, 2013 e outros), calibrados através da utilização de método de identificação de arâmetros baseado na seção áurea. A Tabela 4.1 a seguir, aresenta as roriedades materiais ara o aço 1045.

67 67 Tabela 4.1 Aço Proriedades Materiais. PROPRIEDADE UNIDADE VALOR Módulo de elasticidade(e) [GPa] 220 Limite de escoamento inicial (σ y ) [MPa] 830 Fração volumétrica de vazios com otencial ara nucleação (f N ) Desvio adrão da deformação ara nucleação de vazios (S N ) Deformação média ara nucleação de vazios (ε N ) Parâmetro de forma (q 1 ) Parâmetro de forma (q 2 ) Parâmetro de forma (q 3 ) Fração volumétrica crítica de vazio (f c ) - 0,07964 Plasticidade inicial (f 0 ) A Figura 4.3 a seguir, nos ermite comarar as curvas de encruamento ara o aço 1045, lotadas segundo a Micromecânica de Defeitos.

68 68 Figura 4.3 Aço Curva de encruamento Micromecânica de Defeitos. 4.3 RESULTADOS NUMÉRICOS PARA O AÇO 1045 As Figuras 4.4, 4.5, 4.6, 4.7 e 4.8 aresentam as curvas de reação e evolução do dano ara os diferentes CP s e estados de tensão alicados. A Figura 4.4 nos mostra quatro curvas de reação e evolução do dano ara o coro de rova cilíndrico liso sob tração ura. Uma dessas curvas refere-se àquela obtida exerimentalmente e as demais aos resultados obtidos através dos modelos de Gurson, GTN e GTN com cisalhamento (GTN Xue), estando as curvas obtidas elos dois últimos modelos erfeitamente sobreostas. Todos os modelos foram caazes de rever o dano e, aesar de otimistas, o fizeram bastante róximos ao dado exerimental.

69 69 Força Y (N) Falha exerimental Deslocamento Y (mm) D/Dc Deslocamento Y (mm) Figura 4.4 Aço Curva de reação e evolução do dano ara o coro de rova cilíndrico liso.

70 70 Falha exerimental Força Y (N) Deslocamento Y (mm) D/Dc Deslocamento Y (mm) Figura 4.5 Aço Curva de reação e evolução do dano ara o coro de rova cilíndrico entalhado. A Figura 4.5 acima, lotada com os resultados obtidos ara o coro de rova cilíndrico entalhado sob tração ura, nos mostra que os três modelos foram caazes de rever o dano, mas dísares em seus resultados. Tomando a curva exerimental como base o modelo de Gurson manteve-se conservador (12% aquém do resultado exerimental); GTN otimista (38% além do exerimental) e GTN Xue otimista (20% além do exerimental). A Figura 4.6 a seguir aresenta o desemenho dos modelos de Gurson, GTN e GTN Xue ara carregamento cisalhante uro. Dos três modelos, aenas o GTN Xue

71 71 foi caaz de rever o dano, mas infelizmente, em valores 66% aquém daquele observado exerimentalmente. Força Z (N) Falha exerimental Deslocamento Z (mm) D/Dc Deslocamento Z (mm) Figura 4.6 Aço Curva de reação e evolução do dano ara o coro de rova borboleta em cisalhamento simles. Podemos exlicar a falha dos modelos Gurson e GTN or não serem estes dotados de mecanismos revisores de vazios. Já o modelo GTN Xue otencializou os efeitos da geometria do coro de rova. A Figura 4.7 nos mostra que os três modelos foram caazes de rever o dano ara o CP borboleta em tração ura, mas todos de forma otimista. A revisão or

72 72 Gurson ficou 4,7% além da falha exerimental; a revisão elo modelo GTN Xue ficou em 27% acima e ara o modelo GTN em 51,6% além do verificado. Sob carregamentos uramente trativos, observamos que o CP tio borboleta (Figura 4.7) aresenta comortamento semelhante àquele observado ara o CP cilíndrico entalhado da análise anterior. Observa-se ainda que o modelo GTN Xue retorna ao desemenho e condições do GTN, do qual deriva, ara este estado de tensão, como era eserado. Força Y (N) Deslocamento Y (mm) D/Dc Figura 4.7 Aço Curva de reação e evolução do dano ara o coro de rova borboleta em tração ura. Considerando os resultados ara o CP borboleta sujeito a carregamento combinando tração e cisalhamento, conforme mostrado na Figura 4.8, observa-se que Deslocamento Y (mm) os três modelos conseguem rever a falha, mas o modelo GTN Xue de forma conservadora (50,4% do valor da falha verificada); o modelo de Gurson revê falha a 86,4% do

73 73 valor exerimental e o modelo GTN Xue, o que melhor se aroximou, reviu falha com valor 11,6% além daquele verificado exerimentalmente. Força Z (N) Deslocamento Z (mm) D/Dc Deslocamento Z (mm) Figura 4.8 Aço Curva de reação e evolução do dano ara o coro de rova borboleta em carregamento combinando tração e cisalhamento. Podemos então afirmar que, em condição de carregamento misto (trativo aliado ao cisalhante), os efeitos do cisalhamento tornam-se redominantes, condição que exlica o conservadorismo do modelo GTN Xue, que or vir dotado de mecanismo caaz de detectar a distorção dos vazios existentes no material, o faz rever falha em valores extremamente conservadores frente àqueles verificados exerimentalmente

74 74 ou revistos elo modelo GTN, este último, dos três o de maior acertividade, mas ainda assim otimista. Triaxialidade Def. Plást. Equiv. (a) Def. Plást. Equiv. (b) Deslocamento Y (mm) Deslocamento Y (mm) (c) (d) Def. Plást. Equiv. Def. Plást. Equiv. Deslocamento Z (mm) Deslocamento Y (mm) (e) Def. Plást, Equiv. Deslocamento Z (mm) Figura 4.9 Aço Curva de evolução da deformação lástica equivalente ara os diferentes coros de rova. a) cilíndrico liso, b) cilíndrico entalhado, c) borboleta em cisalhamento, d) borboleta em tração e d) borboleta em combinado. A Figura 4.9 nos ermite visualizar os resultados sob tração ura.

75 75 Triaxialidade Triaxialidade Deslocamento Y (mm) Deslocamento Y (mm) Triaxialidade Triaxialidade Deslocamento Z (mm) Deslocamento Y (mm) Triaxialidade Deslocamento Z (mm) Figura 4.10 Aço Curva de evolução da deformação lástica equivalente ara os diferentes coros de rova. a) cilíndrico liso, b) cilíndrico entalhado, c) borboleta em cisalhamento, d) borboleta em tração e d) borboleta em combinado. a) Coro cilíndrico liso - tração: As curvas ara os modelos GTN, GTN Xue e Gurson se sobreõem até as roximidades da metade do deslocamento ara falha. Daí aenas as curvas GTN e GTN Xue ermanecem sobreostas até a falha, aresentando ambas, sob o mesmo deslocamento ara falha, valor róximo a 20% maior que o modelo de Gurson ara a deformação lástica equivalente. As curvas lotadas através dos modelos GTN e GTN Xue, aresentação inclinação mais acentuada que a curva descrita elo modelo de Gurson ou seja, sua taxa de

76 76 crescimento ara a deformação lástica equivalente é maior que a curva referente ao modelo de Gurson. b) Coro cilíndrico entalhado - tração: Os três modelos estudados divergiram comletamente em suas revisões de falha, tanto ara deslocamento quanto ara a deformação lástica equivalente, mas novamente houve sobreosição das curvas GTN e GTN Xue em todo desenvolvimento desta última. Gurson foi o mais conservador dos três modelos, tanto ara o deslocamento quanto ara a deformação lástica equivalente e o modelo GTN o mais otimista. c) Coro tio borboleta - cisalhamento: Para este coro de rova, sob carregamento cisalhante, o modelo GTN aresentou revisão do deslocamento ara falha igual ao modelo de Gurson, diferindo quanto ao valor ara deformação lástica equivalente, onde o modelo GTN se mostra valor5% maior que a curva ara o modelo de Gurson. d) Coro tio borboleta - tração: Sob carregamento trativo, as curvas ara o CP borboleta aresentaram a mesma configuração que ara o CP cilíndrico entalhado. e) Coro tio borboleta tração e cisalhamento: As curvas ara os modelos de Gurson e GTN aresentam-se com geometria similar, aenas com o modelo de Gurson levemente mais otimista ara a deformação lástica equivalente que o modelo GTN. O modelo GYN Xue não aresentou boa erformance, revendo valores ara deformação lástica equivalente bem menores que os outros dois modelos. Na Figura 4.10-a temos o coro cilíndrico liso sob tração, onde as curvas ara os modelos GTN e GTN Xue se sobreõem erfeitamente com inclinação róxima aos 45º enquanto o modelo de Gurson tem sua inclinação reduzida até raticamente voltando a uma leve taxa de crescimento róximo à região do dano.

77 77 Notar que na região do dano, a triaxialidade fornecida elos modelos GTN e GTN Xue são da ordem de 30% maiores que aquela fornecida or Gurson. Na Figura 4.10-b, que descreve o comortamento do coro cilíndrico entalhado, as três curvas raticamente se sobreõem até que a curva de Gurson tenda à inclinação nula, raidamente atingindo o dano ara 0,6 mm de deslocamento e 0,8 ara triaxialidade. Já os modelos GTN e GTN Xue mantém crescente a taxa da triaxialidade até atingir o dano em 1mm e 0,98 ara a triaxialidade total. Para o coro de rova borboleta submetido a cisalhamento uro (Figura 4.10 c), as curvas ara os três modelos descrevem trajetórias bastante róximas, as três sobreondo-se em alguns ontos esarsos, com inclinações também muito róximas. Os modelos Gurson e GTN atingem o dano com o mesmo valor de deslocamento, 1,2 mm, mas diferem quanto à triaxialidade, que ara Gurson ficou róxima a 0,037 enquanto o GTN aresentou 0,042. O modelo GTN Xue, fortemente conservador ara este caso, aresentou deslocamento róximo a 0,35 mm e triaxialidade de 0,018. A Figura 4-10 d, coro tio borboleta sob tração ura, nos mostra uma sobreosição das três curvas com a tendência que tem sido natural ara estes modelos: Gurson romendo a 0,11 mm e 0,92 ara triaxialidade; GTN Xue a aroximadamente 0,125 mm e 1 e o modelo GTN atingindo os valores de 0,15 mm e 1,1 ara deslocamento e triaxialidade, resectivamente. Por último temos a Figura 4.10-e, onde, dos três modelos Gurson aresentou deslocamento e triaxialidade de 0,22 e 0,7, GTN Xue0,125 e 0,68 e o modelo GTN 0,28 e 0,88 ara deslocamento e triaxialidade resectivamente. Novamente temos que em casos onde exista cisalhamento, o modelo GTN Xue se mostra conservador. 4.4 PREVISÃO DO LOCAL POTENCIAL PARA INICIO DA FRATURA A seguir são aresentados os resultados da revisão do local de falha ara os três tios de coros de rova e dois tios de carregamentos estudados, retratando o contorno dos arâmetros de dano calculados.

78 78 As Figuras 4.11 e 4.12 referem-se aos coros de rova cilíndricos liso e cilíndrico entalhado resectivamente e as Figuras 4.13 a 4.15 retratam os coros de rovas tio borboleta sujeitos a cisalhamento uro, tração ura e finalmente à combinação tração x cisalhamento, resectivamente. Observando as Figuras 4.11 e 4.12, referentes aos coros de rovas cilíndricos liso e entalhado, notamos a forte semelhança gráfica ara os três modelos estudados sob carregamento trativo, aontando a região central como início do dano. A diferença entre os gráficos fica or conta do maior esraiamento das tensões ara o coro de rova cilíndrico liso e, em contraartida, a mais ráida variação de tensões, ou o que equivale, à maior concentração de tensões no entorno da região central do CP cilíndrico entalhado, o que era de se eserar em função do oder concentrador de tensões inerentes aos entalhes. a) b) c) Figura 4.11 Contorno do nível de dano (orosidade) ara o CP cilíndrico liso. a) modelo GTN, b) modelo GTN Xue e c) modelo de Gurson.

79 79 Os gráficos, demonstrados nas referidas figuras, corroboram tanto as observações exerimentais quanto as revisões teóricas e novamente, como odemos observar, dos três modelos o de Gurson (Figura 4.11 c) mostrou-se o mais conservador, enquanto os modelos GTN e GTN Xue mantiveram sobreosição de curvas em todo seu domínio. Os maiores valores ara frações volumétricas de vazios, nos três modelos, ocorrem na região central do CP, reduzindo-se gradativamente em direção às fibras externas do coro. Para o coro de rova cilíndrico entalhado, (Figura 4.12) observamos equena diferença ara a revisão de dano através dos modelos GTN e GTN Xue este último da ordem de 5,6% menor que o GTN, firmando-se como o mais conservador dos três modelos ara o caso. Também neste caso o dano ocorre na área central do CP esraiando-se em direção às bordas do coro. a) b) c) Figura 4.12 Contorno do nível de dano (orosidade) ara o CP cilíndrico entalhado. a) modelo GTN, b) modelo GTN Xue e c) modelo de Gurson.

80 80 A Figura 4.13 refere-se ao coro de rova tio borboleta sujeito a carregamento cisalhante uro. O modelo de Gurson não foi caaz de detectar adequadamente o contorno ara a fração volumétrica de vazios, mas todos os modelos detectaram como sendo as regiões mais externas da eça, róximas ao seu núcleo, como locais de maior formação de vazios, daí artindo ara o centro do CP. a) b) Figura 4.13 Contorno do nível de dano (orosidade) ara o CP borboleta sujeito a cisalhamento. a) modelo GTN, b) modelo GTN Xue e c) modelo de Gurson. c)

81 81 A Figura 4.14 nos mostra que o dano ocorreu na região central do CP, com geometria ara as revisões das frações volumétricas de vazios ara o dano muito róximas ara os três modelos. a) b) Figura 4.14 Contorno do nível de dano (orosidade) ara o CP borboleta sujeito a tração. a) modelo GTN, b) modelo GTN Xue e c) modelo de Gurson. c)

82 82 A Figura 4.15 refere-se ao CP borboleta submetido a carregamento misto tração x cisalhamento. Notamos forte semelhança gráfica entre os resultados ara os três modelos, com dano artindo das fibras externas em direção ao núcleo da eça, e também que há uma concentração linear de vazios no núcleo, aralela à largura do CP, acomanhando a direção das forças cisalhantes. (a) (b) Figura 4.15 Contorno do nível de dano (orosidade) ara o CP borboleta sujeito a carregamento combinado tração/cisalhamento. a) modelo GTN, b) modelo GTN Xue e c) modelo de Gurson. (c)