1 Olá, migos! UL DEZESSETE: GEOMETRI ÁSI Novmente pedimos desculps por não ter sido possível presentrmos est ul 17 n semn pssd. Dremos hoje início um novo ssunto: GEOMETRI! omo de prxe, presentremos muits questões de concursos pssdos que servirão no nosso prendizdo, e tmbém pr sbermos qul é profundidde exigid deste ssunto dentro ds provs de Rciocínio Lógico. presentremos seguir, solução do dever de cs d ul pssd, sobre o ssunto de Trigonometri. Vmos els! DEVER DE S 01. (F-STN-000 ESF) expressão dd por y = senx + 4 é definid pr todo número x rel. ssim, o intervlo de vrição de y é ) -1 y 7 b) -7 < y < 1 c) -7 < y -1 d) 1 y < 7 e) 1 y 7 Sol.: expressão fornecid no enuncido envolve função seno. ssim, encontrremos o intervlo de vrição de y, prtir do intervlo de vrição d função seno. D função seno, sbemos que o seu intervlo de vrição é: [-1, 1], ou sej, o vlor máximo é 1, e o vlor mínimo é -1. E podemos escrever que: sen x -1 e sen x 1 prtir d expressão sen x -1, obteremos um expressão de vrição de y. Temos que sen x -1, se multiplicrmos por mbos os ldos, obteremos:.sen x.(-1) Dí: sen x - Se somrmos 4 mbos os ldos d expressão cim, teremos: sen x + 4 - + 4 Dí: sen x + 4 1 E como y=sen x +4, então encontrmos que y 1. y. gor, prtir d expressão sen x 1, obteremos um outr expressão de vrição de Temos que sen x 1, se multiplicrmos por 4 mbos os ldos, obteremos:.sen x.1 Dí: sen x Se somrmos 4 mbos os ldos d expressão cim, teremos: sen x + 4 + 4 Dí: sen x + 4 7 www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio rvlho & Prof. Weber mpos
E como y=sen x +4, então encontrmos que y 7. Dos resultdos obtidos: y 1 e y 7, encontrmos o intervlo de vrição de y: 1 y 7 (Respost!) 0. expressão dd por y = senx + 5 é definid pr todo número x rel. ssim, o intervlo de vrição de y é ) -1 y 7 b) y ou y 7 c) < y 5 d) y 8 e) y 7 Sol.: expressão fornecid no enuncido envolve função seno. ssim, encontrremos o intervlo de vrição de y, prtir do intervlo de vrição d função seno. D função seno, sbemos que o seu intervlo de vrição é: [-1, 1], ou sej, o vlor máximo é 1, e o vlor mínimo é -1. E podemos escrever que: sen x -1 e sen x 1 prtir d expressão sen x -1, obteremos um expressão de vrição de y. Temos que sen x -1, se multiplicrmos por - mbos os ldos, obteremos: -.sen x -.(-1) Observe que o sinl inverteu, er um sinl de mior e pssou pr um sinl de menor, isso ocorreu porque multiplicmos por um vlor negtivo (-). ontinundo, teremos: -sen x Se somrmos 5 mbos os ldos d expressão cim, teremos: -sen x + 5 + 5 Dí: -sen x + 5 7 E como y=-sen x +5, então encontrmos que y 7. y. gor, prtir d expressão sen x 1, obteremos um outr expressão de vrição de Temos que sen x 1, se multiplicrmos por - mbos os ldos, obteremos: -.sen x -.1 Novmente, invertemos o sinl, gor de menor pr mior, porque multiplicmos por um vlor negtivo (-). ontinundo, teremos: -sen x - Se somrmos 5 mbos os ldos d expressão cim, teremos: -sen x + 5 - + 5 Dí: -sen x + 5 E como y=-sen x +5, então encontrmos que y. Dos resultdos obtidos: y e y 7, encontrmos o intervlo de vrição de y: y 7 (Respost!) www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio rvlho & Prof. Weber mpos
0. (TF 1995 ESF) Simplificndo expressão (sen. tg. cossec ) / (cos. cotg. sec ), obtém-se: ) 0 b) 1 c) sen d) sec e) tg Sol.: O que temos que fzer pr resolver est questão é substituir s funções: tg, cossec, cotg e sec, pels funções seno e cosseno. Sbemos que: sen x tg x =, cos x cos x cot g x =, sen x 1 sec x = e cos x 1 cos sec x =. sen x expressão dd no enuncido é: (sen. tg. cossec ) / (cos. cotg. sec ), se colocrmos tudo em função do seno e cosseno, teremos: (sen. sen. cos 1 sen ) / (cos. cos. sen 1 ) cos (sen. sen. cos 1 sen ) / (cos. cos. sen 1 ) cos ( ( sen cos sen cos / x cos ) sen sen ) cos sen ( cos ) ( tg ) (Respost: lterntiv E) 04. (SERPRO 1996 ESF) Se sen x = 0,5, então (1 / cotg x) vle: ) b) c) d) e) 4 Sol.: É bom inicirmos solução d questão definindo os qudrntes em que o ângulo x pode estr. omo senx=0,5, temos que o seno é positivo, dí o ângulo x pode está no 1º qudrnte ou no º qudrnte. cos x expressão dd no enuncido é: (1 / cotg x), e sbemos que cot g x =. Dí, se sen x colocrmos cotngente em função do seno e cosseno, teremos: (1 / cos x sen x ) ( ) sen x cos x www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio rvlho & Prof. Weber mpos
Pr descobrirmos o vlor d expressão cim, temos que chr o cosseno de x. 4 Pel relção fundmentl: sen x + cos x = 1, podemos encontrr o vlor do cosseno de x prtir do vlor do seno de x. Temos que senx=1/, substituindo esse vlor n relção fundmentl cim, teremos: (1/) + cos x = 1 1/4 + cos x = 1 cos x = 1-1/4 cos x = /4 cos x = / 4 cos x = ± / Obtemos dois vlores pr o cosseno de x, um positivo e outro negtivo. gor, temos que nlisr qul destes devemos escolher. No início dess solução, vimos que o ângulo x poderi estr no 1º qudrnte ou no º qudrnte. Dí, fremos dus nálises: O vlor do cosseno no 1º qudrnte é positivo, dí se o x está no 1º qudrnte, então devemos escolher o vlor positivo: cos x = /. O vlor do cosseno no º qudrnte é negtivo, dí se o x está no º qudrnte, então devemos escolher o vlor negtivo: cos x = - /. questão solicit o vlor d expressão (1 / cotg x), que como já vimos é igul : sen x. Substituiremos os vlores do seno e cosseno nest expressão. cos x Pr senx=1/ e cosx= /, teremos: sen x cos x = 1/ / = 1 = 1 = (respost pr x no 1º qudrnte) Pr senx=1/ e cosx= - /, teremos: sen x cos x = (respost pr x no º qudrnte) Portnto, temos dus resposts, porém únic que prece ns lterntivs é respost. E é clro, devemos mrcr lterntiv. questão deveri ter definido qul er o qudrnte de x pr que tivéssemos somente um respost! 05. (MPOG 00 ESF) Sbendo que x é o ângulo correspondente um rco do segundo qudrnte, e que seno de x é igul 1/1, então tngente de x é igul : ) 1/5 b) 10/1 c) 10/1 d) 1/1 e) 1/5 Sol.: www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio rvlho & Prof. Weber mpos
O enuncido inform que x é um ângulo do segundo qudrnte, portnto tngente de x é um vlor negtivo. ssim, lterntiv corret ou é ou é. Pel relção fundmentl: sen x + cos x = 1, podemos encontrr o vlor do cosseno de x prtir do vlor do seno de x. Temos que senx=1/1, substituindo esse vlor n relção fundmentl cim, teremos: (1/1) + cos x = 1 144/169 + cos x = 1 cos x = 1 144/169 cos x = 5/169 cos x = 5 / 169 cos x = ± 5/1 5 No início dess solução, já hvímos concluído que o cos x devi ser negtivo. Portnto, descrtremos o vlor de +/5, e respost será: cos x = /5 (Respost!) 06. (Especilist em Pol. Públics e Gestão Governmentl MPOG 00 ESF) Sbe-se que função invers d função seno é função cossecnte e que o seno do dobro de um rco é ddo por sen x = sen x cos x. Sbendo-se que x é um rco do segundo qudrnte e que o cosseno d metde deste rco é igul 1/, então cossecnte de x vle: ) b) c) d) e) 1 Sol.: O enuncido firm que função invers d função seno é função cossecnte, isto quer dizer que: cossec x = 1 / sen x Tmbém o enuncido trz s seguintes informções: sen x = senx. cosx x é um rco do segundo qudrnte cos(x/) = 1/ Pr clculrmos cossecnte de x, devemos obter primeirmente o vlor do sen x. Pr isso, vmos utilizr s informções dds no enuncido. equção sen x = senx.cosx pode ser escrit de mneir diferente, ms equivlente, d seguinte form: sen x = sen(x/). cos(x/). Dest últim expressão, observmos que já temos o cos(x/) e pr clculrmos o senx, necessitmos encontrr o vlor do sen(x/). Fremos isso trvés d relção fundmentl: sen x + cos x = 1. Podemos escrever relção fundmentl cim d seguinte form: sen (x/)+cos (x/)=1. Substituiremos o vlor de cos(x/) nest expressão. www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio rvlho & Prof. Weber mpos
6 sen (x/)+cos (x/)=1 sen (x/) + (1/) = 1 sen (x/) = 1 1/9 sen (x/) = 8/9 sen(x/) = ± 8 9 sen(x/) = ± O seno de x/ é positivo ou negtivo? omo o x é um rco do º qudrnte, então x/ será do 1º qudrnte e, portnto, o seno de x/ é positivo. Dí, descrtmos o vlor negtivo cim e ficmos com: sen(x/) = gor é só substituir o vlor do sen(x/) e do cos(x/) n expressão bixo pr encontrrmos o vlor do senx. sen x = sen(x/). cos(x/) sen x =. 1. 4 sen x = 9 Dí, cossecnte de x é igul : cossec x = 1 / sen x cossec x = 1 / 4 9 cossec x = 4 9 cossec x = 9 8 (Respost!) Observe que est respost não prece entre s lterntives, foi por este motivo que ESF teve que nulr est questão. 07. (TF 1997 ESF) Sbe-se que o seno do dobro de um ângulo α é igul o dobro do produto do seno de α pelo co-seno de α. ssim, sendo o seno de um ângulo de 10º igul, o seno de um ângulo de 40º é: ) c) e) b) d) Sol.: E enuncido trz seguinte informção: sen α = senα.cosα. Nest expressão, fzendo α igul 10º, podemos obter o seno de 40º. sen 40º =.sen10º.cos10º Flt clculr o vlor do seno de 10º. Usremos relção fundmentl: sen x+cos x=1. sen 10º + cos 10º = 1 ( ) + cos 10º = 1 cos 10º = 1-4 cos 10º = 1/4 cos 10º = ± 1 / 4 cos 10º = ± 1/ www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio rvlho & Prof. Weber mpos
O cosseno de 10º é positivo ou negtivo? omo o ângulo de 10º é do º qudrnte, então o cosseno de 10º é negtivo. Dí, descrtmos o vlor positivo cim e ficmos com: cos 10º = 1/ De posse do seno e do cosseno de 10º, já podemos obter o seno de 40º. Teremos: sen 40º =.sen10º.cos10º sen 40º =..( 1/) 7 sen 40º = (Respost!) 08. (F-SF 001 ESF) condição necessári e suficiente pr identidde senα = senα ser verddeir é que α sej, em rdinos, igul : ) π/ b) π/ c) n π sendo n um número inteiro qulquer d) n π/, sendo n um número inteiro qulquer e) n π/,sendo n um número inteiro qulquer Sol.: Um ds fórmuls presentds n ul dezesseis, e que já usmos em lgums questões resolvids cim, foi est: sen x = sen x cos x ssim o vlor de senα = senα.cosα. Substituiremos o vlor de senα n expressão dd no enuncido d questão. senα = senα senαcosα = senα senαcosα senα = 0 senα(cosα 1) = 0 O vlor de α que stisfz est últim expressão, pode ser obtido fzendo-se: senα=0 ou (cosα 1)=0 1) Vmos clculr os vlores de α pr que senα=0. senα=0 senα=0 O seno é igul zero pr os rcos 0, ±π, ±π, ±π,.... Generlizndo: α = kπ, onde k = 0, ±1, ±,... ) Vmos clculr os vlores de α pr que (cosα 1) = 0. (cosα 1) = 0 cosα = 1 O cosseno é igul um pr os rcos 0, ±π, ±4π,.... Generlizndo: α = k.π, onde k = 0, ±1, ±,... www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio rvlho & Prof. Weber mpos
Resumindo: URSO ONLINE RIOÍNIO LÓGIO 8 Pr que senα = 0, devemos ter α = kπ, onde k é um inteiro qulquer. Pr que (cosα 1)=0, devemos ter α = k.π, onde k é um inteiro qulquer. solução é: α = kπ ou α = k.π, ms como α=kπ tmbém brnge os vlores de α=k.π, então podemos dizer que solução é simplesmente: α = kπ, onde k é um inteiro qulquer (Respost: lterntiv ) 09. (SERPRO 1996 ESF) Sendo p um constnte rel, os vlores de x e de y que solucionm o sistem: x.sen p y.cos p = -cos p x.cos p + y.sen p = sen p ) (sen p,cos p) b) (sen,cos p) c) (sen p,cos p) d) (sen p,-cos p) e) (-sen p,-cos p) Sol.: Os vlores de x e de y são s rízes do sistem. Devemos elevr o qudrdo mbos os ldos ds equções do sistem, pr que possmos utilizr relção fundmentl: sen p+cos p=1, e, ssim, teremos: (x.sen p y.cos p) = ( cos p) (x.cos p + y.sen p) = (sen p) (x.sen p) (x.sen p)(y.cos p) + (y.cos p) = ( cos p) (x.cos p) + (x.cos p)(y.sen p) + (y.sen p) = (sen p) x.sen p xy.sen p.cos p + y cos p = cos p x.cos p + xy.cos p.sen p + y.sen p = sen p Somndo membro membro s dus equções do sistem, teremos: x.sen p + x.cos p + 0 + y cos p + y.sen p = cos p + sen p x (sen p + cos p) + y (cos p + sen p) = cos p + sen p x (1) + y (1) = 1 x + y = 1 Os únicos vlores de x e de y que stisfzem equção x + y = 1 são os que são presentdos n lterntiv e D, ms se substituímos o vlor de x e de y d lterntiv d n segund equção do sistem, verificremos fcilmente que estes vlores não servem. Dí, respost: lterntiv. www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio rvlho & Prof. Weber mpos
10. (Oficil de hncelri MRE 00 ESF) Sbendo que x = sent e y = 4cost, então, um relção entre x e y, independente de t é dd por: ) 16 y - 9 x = 144 b) 16 x - 9 y = 144 c) 16 y + 9 x = 144 d) 16 x + 9 y = 144 e) 9 y - 16 x = 144 Sol.: Devemos elevr o qudrdo os vlores de x e de y, pr que possmos utilizr relção fundmentl: sen t+cos t=1. Fzendo isso, teremos: x = sent x = (sent) x = 9sen t (1) y = 4cost y = (4cost) y = 16cos t () Pr que preç relção sen t+cos t=1, devemos multiplicr 1ª equção por 16 e ª equção por 9, e depois somrmos s dus. 9 16x = 16.9sen t 9y = 9.16cos t 16x = 144sen t 9y = 144cos t Somndo, membro membro, teremos: 16x + 9y = 144sen t + 144cos t 16x + 9y = 144(sen t + cos t) 16x + 9y = 144 (Respost: lterntiv D) 11. Simplificndo expressão ) sec x b) cot g x c) tg x d) cos sec x e) cos x tgx.cot gx, obteremos: sec x 1 Sol.: D ul dezesseis, temos s seguintes fórmuls que usremos n solução dess questão, são els: cotgx = 1/tgx tg x + 1 = sec x Substituindo esss fórmuls n expressão do enuncido, teremos: tgx.cot gx sec x 1 1 tgx. tgx tg x 1 tg x cot g x (Respost: lterntiv ) www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio rvlho & Prof. Weber mpos
10 1. Determine o vlor de x e y ns figurs bixo: x y 1 60 o 0 Sol.: x y 1 y 60 o x 0 0 - x y 1 60 o 0 - x Sbemos que: sen 60º = e que cos 60º = ½. 1) álculo de y sen 60º = cteto oposto / hipotenus = y / 1 y = 6 ) álculo de x cos 60º = cteto djcente / hipotenus 1/ = (0-x) / 1 (0-x) = 6 x = 14 gor, sim, flremos sobre Geometri! www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio rvlho & Prof. Weber mpos
GEOMETRI 11 1. ÂNGULOS 1.1. Definição Ângulo é o nome que se dá à bertur formd por dus semi-rets que prtem de um mesmo ponto. O α Indic-se por: Ô ou α. Em que: O e O são os ldos do ângulo; O é o vértice do ângulo. 1.. Ângulo gudo É quele cuj medid é menor que de um ângulo reto. 1.. Ângulo obtuso α rso. É quele cuj medid é mior que de um ângulo reto e menor que de um α 1.4. Ângulos opostos pelo vértice β γ α θ α e γ são opostos pelo vértice. θ e β são opostos pelo vértice. Dois ângulos opostos pelo vértice têm medids iguis, ou sej, são congruentes. www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio rvlho & Prof. Weber mpos
1.5. issetriz de um ângulo URSO ONLINE RIOÍNIO LÓGIO 1 issetriz de um ângulo é um semi-ret de origem no vértice do ângulo que o divide em dois ângulos congruentes. α β bissetriz α = β 1.6. Ângulos formdos por dus rets prlels interceptds por um trnsversl Dus rets prlels r e s, interceptds por um trnsversl, determinm oito ângulos, ssim denomindos: t c b d r γ β θ α s ângulos correspondentes: e α, b e β, c e γ, d e θ; ângulos lternos internos: c e α, d e β; ângulos lternos externos: e γ, b e θ; ângulos colteris internos: c e β, d e α; ângulos colteris externos: e θ, b e γ; Proprieddes: Ângulos lternos internos são congruentes. Ângulos lternos externos são congruentes. Ângulos correspondentes são congruentes. Ângulos colteris internos são suplementres. Ângulos colteris externos são suplementres. www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio rvlho & Prof. Weber mpos
. TEOREM DE TLES URSO ONLINE RIOÍNIO LÓGIO 1 Um feixe de prlels determin, em dus trnsversis quisquer, segmentos que são proporcionis. t 1 t D r 1 E r F r Posto isso, teremos: = DE EF onseqüênci: M N M N M N onsiderndo que MN é prlelo, então temos: M N MN = =.. POLÍGONOS.1. Nomencltur Sej o polígono d figur: D www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio rvlho & Prof. Weber mpos
14 Em que:,, e D são os vértices do polígono.,, D e D são os ldos do polígono. lguns tipos de polígonos convexos: triângulo ldos qudrilátero 4 ldos pentágono 5 ldos hexágono 6 ldos decágono 10 ldos icoságono 0 ldos.. Número de digonis de um polígono O número de digonis d de um polígono de n ldos é ddo por: d = n( n ).. Som ds Medids dos ângulos Internos e Externos e 1 i 1 i n e n e e i i i 4 i 5 e 5 e 4 Som dos ângulos internos de um polígono: S i = i 1 +i +...+i n = (n-).180º Som dos ângulos externos de um polígono: S e = e 1 +e +...+e n = 60º Observção: Se o polígono for regulr, ele tem todos os ldos e os ângulos congruentes, logo: ângulo interno de um polígono de n ldos: n S i ângulo externo de um polígono de n ldos: 60º www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio rvlho & Prof. Weber mpos
15 4. TRIÂNGULOS 4.1. lssificção: Eqüilátero: tem os três ldos iguis e os três ângulos iguis (60º). Isóceles: tem dois ldos iguis e dois ângulos iguis. Escleno: os três ldos são diferentes e tmbém os três ângulos. 4.. Relções no triângulo qulquer: c b 1) Qulquer ldo é menor que som dos outros dois: < b + c b < + c c < + b ) som dos ângulos internos é 180 : ) + ) + ) = 180º 4.. Medin È o segmento que une um vértice o ponto médio do ldo oposto. medin M www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio rvlho & Prof. Weber mpos
4.4. ltur URSO ONLINE RIOÍNIO LÓGIO 16 É o segmento que prte de um vértice e é perpendiculr o ldo oposto. ltur ltur H H 4.5. issetriz bissetriz do ângulo  divide este ângulo em dus prtes iguis e intercept o ldo oposto no ponto D. O segmento D denomin-se bissetriz intern reltiv o vértice. D Teorem d bissetriz intern: bissetriz do ângulo interno de um triângulo determin sobre o ldo oposto dois segmentos proporcionis os outros dois ldos. D figur cim, temos: D = D 4.6. Semelhnç de Triângulos Dois triângulos e são dito semelhntes, se: os ângulos correspondentes forem congruentes ( ) = ) ', ) = ) ' e ) = ) ' ). b c os ldos correspondentes forem proporcionis ( = = ). ' b' c' b c b c www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio rvlho & Prof. Weber mpos
4.7. Relções Métrics no Triângulo Retângulo 17 c h b m n hipotenus b e c ctetos h ltur reltiv hipotenus m e n projeções dos ctetos sobre hipotenus Relções métrics: 1) bc = h ) c =.m ) b =.n 4) h = m.n Teorem de Pitágors: = b + c 5. QUDRILÁTEROS Qudrilátero é o polígono de qutro ldos. som dos ângulos internos de um qudrilátero é: 60º. i 1 i 4 i 1 + i + i + i 4 = 60º i i 5.1. lssificção Prlelogrmo É o qudrilátero cujos ldos opostos são prlelos. Os ângulos opostos são congruentes. Prlelogrmos Notáveis Retângulo: é o prlelogrmo que tem os qutro ângulos congruentes e de medid igul 90º. www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio rvlho & Prof. Weber mpos
18 Losngo: é o prlelogrmo que tem os qutro ldos iguis. Qudrdo: é o prlelogrmo que tem os qutro ldos e os qutro ângulos iguis entre si. Trpézio É o qudrilátero em que pens dois ldos são prlelos entre si. D H é prlel D. é bse mior. D é bse menor. DH é ltur. Propriedde: D ponto médio M N ponto médio MN = + D 6. Ângulos n ircunferênci 6.1. Ângulo entrl É todo ângulo cujo vértice coincide com o centro d circunferênci. O α α = medid de um ângulo centrl é igul à medid do rco que ele enxerg. www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio rvlho & Prof. Weber mpos
19 6.. Ângulo inscrito V α α = medid de um ângulo inscrito é igul à medid do rco que ele enxerg. Se corresponde à metde d circunferênci (180º), então o ângulo α é reto. O O triângulo inscrito é retângulo. 6.. Ângulo de Vértice Interno D V α α = + D medid de um ângulo de vértice interno à circunferênci é igul semi-som ds medids dos rcos determindos pelos seus ldos. 6.4. Ângulo de Vértice Externo V α D α = - D medid de um ângulo de vértice externo à circunferênci é igul semi-diferenç ds medids dos rcos determindos pelos seus ldos. 6.5. Ângulo de Segmento É todo ângulo cujo vértice pertence à circunferênci, sendo um de seus ldos secnte e o outro, tngente à circunferênci. www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio rvlho & Prof. Weber mpos
0 α V= α = medid de um ângulo de segmento é igul metde do rco por ele determindo. 7. ÁRES DS FIGURS PLNS Retângulo: b áre =. b Qudrdo: áre = Prlelogrmo: b h áre = bse x ltur = x h Trpézio: b c h d áre = ( + b).h Losngo: D d áre = D. d d = digonl menor D = digonl mior www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio rvlho & Prof. Weber mpos
Triângulo: URSO ONLINE RIOÍNIO LÓGIO 1 c h b α áre = bse x ltur = x h áre =.b.senα ou Triângulo Eqüilátero: h h = e áre = 4 Áre do írculo O r áre = πr omprimento de um circunferênci: = πr Setor irculr: r α l áre = απr _ 60º Hexágono Regulr: no seu interior há seis triângulos equiláteros áre = 6 4 www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio rvlho & Prof. Weber mpos
8. VOLUME DOS SÓLIDOS URSO ONLINE RIOÍNIO LÓGIO Prlelepípedo retângulo c b Volume = áre d bse x ltur =. b. c Áre totl = (b +c + bc) b ubo Volume = áre d bse x ltur =. = Áre totl = áre d bse x ltur = 6 ilindro h Áre lterl = πr. h Áre totl h = áre lterl + áre ds bses = πrh + πr r Volume = áre d bse x ltur = πr. h Esfer R = rio d esfer Áre totl = 4π R 4πR Volume = Pirâmide (tetredro regulr: s fces são triângulos equiláteros) h Volume = áre d bse x ltur Volume = 4 h www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio rvlho & Prof. Weber mpos
one h Volume = áre d bse x ltur = πr. h r Prtiremos direto pr o dever de cs, n próxim ul trremos tods s questões resolvids. DEVER DE S DE GEOMETRI ÁSI 01. (FTN 1998/ESF) Em um triângulo retângulo, um dos ctetos form com hipotenus um ângulo de 45º. Sendo áre do triângulo igul 8 cm, então som ds medids dos ctetos é igul : ) 8 cm d) 16 cm b) 16 cm e) 8 cm c) 4 cm 0. (Esp. em Pol. Públics e Gestão Governmentl MPOG/000 ESF) Os ctetos de um triângulo retângulo medem, respectivmente, +X e +Y, onde, X e Y são números reis. Sbendo que o ângulo oposto o cteto que mede +X é igul 45º, segue-se que: ) Y = - X d) Y = X b) Y = ( 1/ )/ X e) Y = X c) Y = 1/ X 0. (F-STN-000 ESF) Os ctetos de um triângulo retângulo medem, respectivmente, x e (y-). Sbendo que tngente trigonométric do ângulo oposto o cteto que mede x é igul 1, então o perímetro do triângulo é igul ) y (x + 1) d) (x + y) b) y ( + ) e) x + y c) x ( + ) 04. (FTN 1998/ESF) Um trpézio D possui bse mior igul 0 cm, bse menor igul 8 cm e ltur igul 15 cm. ssim, ltur, em cm, do triângulo limitdo pel bse menor e o prolongmento dos ldos não prlelos do trpézio é igul : ) 10 d) 17 b) 5 e) 1 c) 7 www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio rvlho & Prof. Weber mpos
05. (Esp. em Pol. Públics e Gestão Governmentl MPOG/000 ESF) Em um triângulo eqüilátero de ldo igul 1 cm, trç-se um segmento XY prlelo o ldo de modo que o triângulo fique decomposto em um trpézio e em um novo triângulo. Sbendo-se que o perímetro do trpézio é igul o perímetro do novo triângulo, então o comprimento do segmento de ret XY, em centímetros, vle ) 5 c) 9 e) 1 b) 6 d) 10 06. (TF 1996 ESF) Os pontos X, Y e Z estão todos no mesmo plno. distânci, em linh ret, do ponto X o ponto Y é de 0 cm, e do ponto X o ponto Z é de cm. Se d é distânci em centímetros, tmbém em linh ret, do ponto Y o ponto Z, então o conjunto dos possíveis vlores pr d é ddo por: ) 8 d 0 d) d 5 b) 8 d 5 e) 0 d 5 c) d 0 07. (TU 00 ESF) s medids dos ângulos do triângulo YG são tis que  < Y < 90 e G > 90. s bissetrizes externs dos ângulos  e G cortm os prolongmentos dos ldos opostos YG e Y nos pontos P e Q, respectivmente. Sbendo que, G = GQ = P, então som dos ângulos Y e G é igul : ) 48 d) 148 b) 64 e) 168 c) 144 08. (Oficil de hncelri MRE 00 ESF) O ângulo de um triângulo qulquer mede 76. ssim, o menor ângulo formdo pels bissetrizes externs reltivs os vértices e deste triângulo vle: ) 50 d) 64 b) 5 e) 18 c) 56 09. (ssistente de hncelri MRE 00) Num triângulo, o ângulo interno de vértice mede 60. O mior ângulo formdo pels bissetrizes dos ângulos internos de vértices e mede: ) 45 c) 90 e) 150 b) 60 d) 10 10. (Especilist em Pol. Públics e Gestão Governmentl MPOG 00 ESF) Se o rio de um circunferênci tiver um créscimo de 50%, então o créscimo percentul em seu comprimento será igul : ) 5% d) 80% b) 50% e) 85% c) 75% 11. (TF/SF 001 ESF) s rods de um utomóvel têm 40 cm de rio. Sbendose que cd rod deu 0.000 volts, então distânci percorrid pelo utomóvel, em quilômetros(km), foi de: ) 16 Km d) 1,6. 10 π Km b) 16 π Km e) 1,6. 10 π Km c) 16 π Km 4 www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio rvlho & Prof. Weber mpos
1. (F 00 ESF) circunferênci é um figur constituíd de infinitos pontos, que tem seguinte propriedde: distânci de qulquer ponto P(x,y), d circunferênci té o seu centro (,b) é sempre igul o seu rio R. form gerl d circunferênci é dd por: (x - ) + (y - b) = R. ssim, equção d circunferênci de centro n origem dos eixos e que pss pelo ponto (,4) é: ) x + y = 4 d) x + y = 5 b) x + y = 9 e) x + y = 49 c) x + y = 16 1. (F 005 ESF) Um feixe de 4 rets prlels determin sobre um ret trnsversl,, segmentos que medem cm, 10 cm e 18 cm, respectivmente. Esse mesmo feixe de rets prlels determin sobre um ret trnsversl,, outros três segmentos. Sbe-se que o segmento d trnsversl, compreendido entre primeir e qurt prlel, mede 90 cm. Desse modo, s medids, em centímetros, dos segmentos sobre trnsversl são iguis : ) 6, 0 e 54 d) 14, 6 e 50 b) 6, 4 e 50 e) 14, 0 e 56 c) 10, 0 e 50 14. (nlist de Recursos Finnceiros SERPRO 001 ESF) Um triângulo tem ldos que medem, respectivmente, 6m, 8m e 10m. Um segundo triângulo, que é um triângulo semelhnte o primeiro, tem perímetro igul 1m. áre do segundo triângulo será igul : ) 6 m d) 48 m b) 1 m e) 60 m c) 4 m 15. (F 005 ESF) Em um triângulo qulquer, um dos ldos mede cm e um outro mede cm. Se o ângulo formdo por esses dois ldos mede 45, então áre do triângulo é igul 1 ) c) e) 1 1 b) d) 1 16. (Oficil de hncelri MRE 00 ESF) Um trpézio D, com ltur igul h, possui bses = e D = b, com > b. s digonis deste trpézio determinm qutro triângulos. diferenç entre s áres dos triângulos que têm por bses e D respectivmente e por vértices opostos interseção ds digonis do trpézio é igul : ( + b) ( b) h ( b ) h ) c) e) b) ( + b) h d) ( b) 17. (F-SF 001 ESF) Um hexágono é regulr qundo, unindo-se seu centro cd um de seus vértices, obtém-se seis triângulos equiláteros. Desse modo, se o ldo de um dos triângulos ssim obtidos é igul / m, então áre, em metros, do hexágono é igul : ) 9 d) 4 b) 7 e) c) 5 www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio rvlho & Prof. Weber mpos
18. (TE-RN 000/ESF) ret R 1, que possui coeficiente liner igul 8 e que é perpendiculr à ret R = -1/ x + 8, form com os eixos coordendos e com ret x = um figur cuj áre, em metros qudrdos, é igul : ) 16 d) 48 b) 18 e) 50 c) 19. (TTN 1998 ESF) áre de um círculo loclizdo no segundo qudrnte e cuj circunferênci tngenci os eixos coordendos nos pontos (0,4) e (- 4,0) é dd por ) 16 π b) 4 π c) 8 π d) π e) π 0. (F 00 ESF) Um dos ldos de um retângulo é 7 cm mior do que o outro ldo. Se digonl deste retângulo mede 1 cm, então o volume de um prism regulr, de 5 cm de ltur, e que tem como bse este retângulo, é igul : ) 50 cm c) 150 cm e) 00 cm b) 65 cm d) 00 cm 1. (Fiscl do Trblho 00 ESF) Fernndo, João Guilherme e runo encontrmse perdidos, uns dos outros, no meio d florest. d um está prdo em um ponto, gritndo o mis lto possível, pr que os outros possm loclizá-lo. Há um único ponto em que é possível ouvir simultnemente Fernndo e runo, um outro único ponto (diferente dquele) em que é possível ouvir simultnemente runo e João Guilherme, e há ind um outro único ponto (diferente dos outros dois) em que é possível ouvir simultnemente João Guilherme e Fernndo. runo encontrse, em linh ret, 650 metros do ponto onde se encontr Fernndo. Fernndo, por su vez, está 50 metros, tmbém em linh ret, do ponto onde está João Guilherme. Fernndo grit o suficiente pr que sej possível ouvi-lo em qulquer ponto té um distânci de 50 metros de onde ele se encontr. Portnto, distânci em linh ret, em metros, entre os pontos em que se encontrm runo e João Guilherme é: ) 650 b) 600 c) 500 d) 700 e) 70. (Fiscl do Trblho 00 ESF) ugusto, Vinicius e Romeu estão no mesmo vértice de um polígono regulr. Num ddo momento, os três começm cminhr n bord do polígono. Todos os três cminhm em velociddes constntes, sendo que velocidde de ugusto é o dobro d de Vinicius e o quádruplo d de Romeu. ugusto desloc-se em sentido oposto o de Vinicius e o de Romeu. pós um certo tempo, ugusto e Vinicius encontrm-se num determindo vértice. Logo seguir, extmente dois vértices depois, encontrm-se ugusto e Romeu. O número de rests do polígono é: ) 10 b) 15 c) 1 d) 14 e) 11. (SERPRO 1996 ESF) O ponto de intersecção ds rets x + y 1 = 0 e x y + 16 = 0 têm coordends iguis : ) (-11,-5) d) (11,5) b) (-11,) e) (-5,11) c) (-5,-1) 4. (F-SF 001 ESF) Sbe-se que s rets de equções r 1 = αx e r = -x+β interceptm-se em um ponto P(x<0; y<0). Logo, ) α > 0 e β > 0 d) α < -1 e β < 0 b) α > 0 e β < 0 e) α > -1 e β > 0 c) α < 0 e β < 0 www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio rvlho & Prof. Weber mpos 6