COLÉGIO NAVAL 2016 (1º dia)

COLÉGIO NAVAL 016 (1º di) MATEMÁTICA PROVA AMARELA Nº 01 PROVA ROSA Nº 0 ( 5 40) 01) Sej S som dos vlores inteiros que stisfzem inequção 10 1 0. Sendo ssim, pode-se firmr que + ) S é um número divisíel por 7. b) S é um número primo. c) S é divisível por 5. d) S é um número rcionl. e) S + 1 é um número ímpr. Sendo 5 40 0 8 stisfez Como (5 40) 0 pois tendo rel, 10 + 1 < 0 10 + 1 0 ou 7 estudo do sinl: Logo: 10 + 1 0 < < 7 Como é inteiro, pode ser 4, 5, 6 ou 8 S 4 + 5 + 6 + 8 GABARITO: B PROVA AMARELA Nº 0 PROVA ROSA Nº 09 y 6 0) Ddo o sistem S : ns vriáveis e y, pode-se firmr que + y c ) eiste 6, 5 tl que o sistem S não dmite solução pr qulquer número rel C. b) eiste 1, 10 tl que o sistem S não dmite solução pr qulquer número rel C. c) se 4 e c 9, o sistem S não dmite solução. d) se 4 e c 9, o sistem S dmite infinits soluções. e) se 4 e c 9, o sistem S dmite infinits soluções. S: possível determindo 4 S: possível indetermindo 4 6 c c 9 S: impossível 4 6 c c 9 Como o sistem é impossível se 4 e c 9, Sendo 4 e c 9, o sistem será impossível (c) GABARITO: E ou C

PROVA AMARELA Nº 0 PROVA ROSA Nº 07 9999... 997 9 0) Sej k onde cd um dos números 9999...997 e 9999...994, são constituídos de 015 9999... 994 lgrismos 9. Desej-se que i k sej um número rcionl. Qul mior potênci de que o índice i pode ssumir? ) b) 16 c) 8 d) 4 e) A 9 k B A 99...97 com 015 lgrismos 9 A 99...99 com 016 lgrismos 9 A 10 016 1 10 016 A 10 40 6. 10 016 + 9 A 9 10 016 (10 016 6) B 99...94 com 015 lgrismos 9 B 99...99 5 com 016 lgrismos 9 B 10 016 1 5 B 10 016 6 ( ) 016 016 10 10 6 k 016 10 6 i k 10 6048 k seu rcionl, i é divisor de 6048 Como 6048 5 7, e i é mior potênci de, i GABARITO: A PROVA AMARELA Nº 04 PROVA ROSA Nº 010 04) Pr cpinr um terreno circulr plno, de rio 7 m, um máquin gst 5 hors. Qunts hors gstrá ess máquin pr cpinr um terreno em iguis condições com 14 m de rio? ) 10 b) 15 c) 0 d) 5 e) 0 Terreno circulr plno de rio 7 m áre 49π cm Terreno circulr plno de rio 14 m áre 196π cm 49π 5 h 196π 196π 0 hors 5 49π GABARITO: C

PROVA AMARELA Nº 05 PROVA ROSA Nº 06 05) Pr obter o resultdo de um prov de três questões, us-se médi ponderd entre s pontuções obtids em cd questão. As dus primeirs questões tem peso,5 e ª, peso. Um luno que relizou ess vlição estimou que: II su not n 1ª questão está estimd no intervlo fechdo de,,1; e II su not n ª questão foi 7. Esse luno quer tingir médi igul 5,6. A diferenç d mior e d menor not que ele pode ter obtido n ª questão, de modo tingir o seu objetivo de médi é ) 0,6 b) 0,7 c) 0,8 d) 0,9 e) 1 : not d 1ª quetão,,1 y: not d ª quetão m: médi ponderd 5, + 5, y+ 7 m : 56, 5, + 5, + 5, + 5, y+ 1 56, 5, + 5, y+ 1 56 10,5 5,5y 10 y Ms,,,1, 10 y,1, 10 y,1 10 7,7 y 6,9 6,9 y 7,7 A diferenç entre mior e menor not 7,7 6,9 0,8 GABARITO: C PROVA AMARELA Nº 06 PROVA ROSA Nº 01 06) Qul medid d mior ltur de um triângulo de ldos, 4, 5? ) 1 5 b) c) 4 d) 5 e) 0 A mior ltur é opost o menor ldo (). Logo é o outro cteto, ou sej, mede 4. GABARITO: C

PROVA AMARELA Nº 07 PROVA ROSA Nº 05 07) Observe figur seguir. A figur cim represent o trjeto de sete pessos num treinmento de busc em terreno plno, segundo o método rdr. Nesse método, reúne-se um grupo de pessos num ponto chmdo de centro pr, em seguid, fzê-ls ndr em linh ret, fstndo-se do centro. Considere que o rio de visão eficiente de um pesso é de 100 m e que π. Dentre s opções seguir, mrque que present quntidde mis próim do mínimo de pessos necessáris pr um busc eficiente num rio de 900 m prtir do centro e pelo método rdr. ) 4 b) 9 c) 5 d) 0 e) 19 GABARITO: C PROVA AMARELA Nº 08 Um pesso seri suficiente pr cobrir um rco de mis de 00 m. O círculo todo tem um comprimento de π. R.. 900 5400 m Assim: 1 pesso > 00 7 pessos 7 > 5400 Então 7 pessos cobririm região com sobr. Dest form, o vlor mis próimo é 5. PROVA ROSA Nº 04 08) Num semicírculo S, inscreve-se um triângulo retngulo ABC. A mior circunferênci possível que se pode construir eternmente o triângulo ABC e internmente o S, ms tngente um dos ctetos de ABC e o S, tem rio. Sbe-se ind que o menor cteto de ABC mede. Qul áre do semicírculo? ) 10π b) 1,5π c) 15π d) 17,5π e) 0π 7 Rio + + 1 5 Logo: π R π 5 1, 5π GABARITO: B

PROVA AMARELA Nº 09 PROVA ROSA Nº 08 09) Sej um número rel tl que + + + 1 + + + 0. Pr cd vlor possível de, obtém-se o resultdo d som de com seu inverso. Sendo ssim, o vlor d som desses resultdos é ) 5 b) 4 c) d) e) 1 rel e + + + 1 + + + 0 (1) S + 1? 1 como é rel, + 1 Fzendo + y, 1 1 1 1 + y + + 1 1 + + y( y ) 1 1 1 + + + y y + y y y 1 + y y Em (1), y y + y + y + 0 y + y y 0 y(y + y ) 0 y 0 ou y 1 ou y 1 Como S + y, 1 S + pode y ser (não stisfez); 1 (não stisfz) ou A som dos vlores de S GABARITO: D PROVA AMARELA Nº 10 PROVA ROSA Nº 0 10) Observe figur seguir

A figur cim é formd por círculos numerdos de 1 9. Sej TROCA operção de pegr dois desses círculos e fzer com que um ocupe o lugr que er do outro. A quntidde mínim S de TROCAS que devem ser feits pr que som dos três vlores de qulquer horizontl, verticl ou digonl, sej mesm, está no conjunto: ) {1,,} b) {4,5,6} c) {7,8,9} d) {10,11,1} e) {1,14,15} 6 1 8 Qudrdo mágico: 7 5 9 4 1 4 7 Qudrdo fornecido: 5 8 6 9 1 4 7 1ª troc: 5 8 9 6 1 4 7 ª troc: 5 8 9 6 4 1 7 ª troc: 5 8 9 6 6 1 7 4ª troc: 5 8 9 4 6 1 8 5ª troc: 5 7 9 4 6 1 8 6ª troc: 7 5 9 4 GABARITO: B

PROVA AMARELA Nº 11 PROVA ROSA Nº 19 11) Sej n um número nturl e um operdor mtemático que plicdo qulquer número nturl, sepr os lgrismos pres, os som, e esse resultdo, crescent tntos zeros qunto for o número obtido. Eemplo: (56) + 6 8, logo fic: 800000000. Sendo ssim, o produto [ (0)]. [ (1)]. [ ()]. [ ()]. [ (4)]..... [ (9)] possuirá um quntidde de zeros igul ) 46 b) 45 c) 4 d) 41 e) 40 (0) + 0 10 (1) () (5) (7) (9) 10 () + 4 4 10 4 (4) + 4 6 6 10 6 (6) + 6 8 8 10 8 (8) + 8 10 10 10 10 10 11 P 10 ( 10 ) 5 4 10 4 6 10 6 8 10 8 10 11 P 5 4 6 8 10 +10+4+6+8+11 P 6 4 6 8 10 41 GABARITO: D PROVA AMARELA Nº 1 PROVA ROSA Nº 1 1) N multiplicção de um número k por 70, por esquecimento, não se colocou o zero à direit, encontrndo- -se, com isso, um resultdo 8 uniddes menor. Sendo ssim, o vlor pr som dos lgrismos de k é ) pr. b) um potênci de 5. c) múltiplo de 7. d) um qudrdo perfeito. e) divisível por. 70k 7k + 8 6k 8 k 51 som dos lgrismos de k 5 + + 1 8 GABARITO: A PROVA AMARELA Nº 1 PROVA ROSA Nº 16 1) Sej ABC um triângulo de ldos medindo 8, 10 e 1, Sejm M, N e P os pés ds lturs trçds dos vértices sobre os ldos desse triângulo. Sendo ssim, o rio do círculo circunscrito o triângulo MNP é ) 5 7 7 b) 6 7 7 c) 8 7 7 d) 9 7 7 e) 10 7 7

O rio do círculo circunscrito um triângulo órtico vle o dobro do rio do círculo circunscrito o triângulo que o gerou. Logo: ( )( )( ) ( )( )( ) S p p p b p c 8 sendo p + 10 ( + 1 15) 4 15 15 8 15 10 15 1 15 7 8 10 1 16 16 7 S bc 8 7 4R R R órtico 4R 15 7 7 7 7 GABARITO: C PROVA AMARELA Nº 14 PROVA ROSA Nº 14 14) ABC é um triângulo equilátero. Sej D um ponto do plno de ABC, eterno esse triângulo, tl que DB intersect AC em E, com E pertencendo o ldo AC. Sbe-se que BÂD AĈD 90. Sendo ssim, rzão entre s áres dos triângulos BEC e ABE é ) 1 b) 1 4 c) d) 1 5 e) 5 BEC CED 5 + 6 10 5 Logo : 5 e 4 5 Então como ABE e BEC possuem mesm ltur, rzão entre sus áres será rzão entre sus bses S BEC 5 1 S 4 5 4 ABE GABARITO: B PROVA AMARELA Nº 15 PROVA ROSA Nº 0 15) Sej ABCD um qudrdo de ldo cujo centro é O. Os pontos M, P e Q são os pontos médios dos ldos AB, AD e BC, respectivmente. O segmento BP intersect circunferênci de centro O e rio em R e, tmbém OM, em S. Sendo ssim, áre do triângulo SMR é

) 0 b) 7 10 c) 9 0 d) 11 0 e) 1 0 1º) SMB SOP SM SO GABARITO: A º) PRQ PBQ RP PB RP h BQ h 1 1 RP RP + RQ 4 RP + 4 + 4 RP 5 J h 1 4 4 4 5 SRP 16 RP 5 5 Logo h 1 RP 4 5 5 4 Assim OJ PJ R 5 5. Então S 5 0 PROVA AMARELA Nº 16 PROVA ROSA Nº 1 16) Observe figur seguir. Sej ABC um triângulo retângulo de hipotenus 6 e com ctetos diferentes. Com relção áre S de ABC, pode-se firmr que ) será máim qundo um dos ctetos for. b) será máim qundo um dos ângulos internos for 0. c) será máim qundo um cteto for o dobro do outro. d) será máim qundo som dos ctetos for 5 e) seu vlor máimo não eiste.

A áre máim é obtid qundo ltur reltiv hipotenus for máim. Est seri obtid no ponto M e seri, ms questão impõe que os ctetos sejm diferentes. Logo não podemos ocupr posição M, e sim qulquer outr posição mis próim possível dest. Sbemos que h < e precisão utilzd fetri respost, logo não eiste um máimo GABARITO: E PROVA AMARELA Nº 17 PROVA ROSA Nº 11 17) Sejm A {1,,,..., 409, 400} um subconjunto dos números nturis e B A, tl que não eistem e y, y, pertencentes B nos quis divid y. O número máimo de elementos de B é N. Sendo ssim, som dos lgrismos de N é ) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 1 A {1,,,..., 409, 400} B A e tl que,y B, não é divisor de y O conjunto B com número máimo de elementos será B {016, 017,...,400} N(B) N 015 Som dos lgrismos de N + 0 + 1 + 5 8 GABARITO: A PROVA AMARELA Nº 18 PROVA ROSA Nº 18 18) O número de divisores positivos de 10 015 que são múltiplos de 10 000 é ) 15 b) 196 c) 16 d) 56 e) 76 N 10 015 N 10 000 10 15 N 10 000. 15. 5 15 número de divisores positivos de 15. 5 15 (15 + 1). (15 + 1) 56 GABARITO: D

PROVA AMARELA Nº 19 PROVA ROSA Nº 15 19) Ddo que o número de elementos dos conjuntos A e B são, respectivmente, p e q, nlise s sentençs que seguem sobre o número N de subconjuntos não vzios de A B. III N p + q 1 III N pq 1 III N p+q 1 IV N p 1, se quntidde de elementos de A B é p. Com isso, pode-se firmr que quntidde desss firmtivs que são verddeirs é: ) 0 b) 1 c) d) e) 4 N(A) p N(B) q N: número de subconjuntos não-vzios e A B N(A B) p + q N p+q 1 III. F III. F III. F seri V se A e B fossem disjuntos IV. F seri V se N q 1 GABARITO: A PROVA AMARELA Nº 0 PROVA ROSA Nº 17 0) No triângulo isósceles ABC, AB AC 1 e BC 10. Em AC mrc-se R e S, com CR e CS. Prlelo AB e pssndo por S trç-se o segmento ST, com T em BC. Por fim, mrcm-se U, P e Q, simétricos de T, S e R, ness, ordem, e reltivo à ltur de ABC com pé sobre BC. Ao nlisr medid inteir pr que áre do hegono PQRSTU sej máim, obtém-se: ) 5 b) 4 c) d) e) 1 1º) 1 BM 10 10 BM 1 º) 1 h 1 h 1 1 Logo S 1 1 S II II 10 1 1 1 60 169 6

º) SI 5 10 1 4 60 10 10 40 + 1 1 1 1 169 0 10 10 SI + 1 169 4º) S III será máim se S I + S II for mínim 180 10 10 1 + 0 X V 169 1 60 169 Ms: 1 1 É mínim em 4 GABARITO: B