Unidade III Interferencia 1
Tema 8 Fenómeno de interferencia. Requisitos e formalismo Cando nunha mesma rexión do espacio se superpoñen dúas ou máis) ondas electromagnéticas, pode ocorrer que, en determinados puntos, a irradiancia da superposición non sexa a suma das irradiancias de producirían cada unha delas por separado. Dito dun xeito máis coloquial: a combinación de dúas luces pode producir sombra, ou unha luz máis intensa que a suma, dependendo das condicións. Esta afirmación é sorprendente e contraria á nosa experiencia cotiá porque para que se produza este fenómeno, que se denomina interferencia, teñen que cumprirse condicións moi concretas que estudaremos neste tema. En contra do que puidera parecer, este fenómeno non contradí a conservación da enerxía, só se trata dunha redistribución da enerxía no espacio. Nunha interferencia típica, esta redistribución forma franxas claras e escuras con xeometrías moi diversas dependendo da forma das ondas que interfiren. As máis comúns son franxas rectas e paralelas, franxas curvas, circunferencias concéntricas, elipses, etc. Unha distribución de irradiancia concreta denomínase padrón interferencial. Neste capítulo só estudaremos a interferencia entre ondas planas, que sempre producen un padrón de franxas rectas e paralelas. 8.1. Ondas contrapropagantes. Coherencia Veremos inicialmente tres situacións simples que exemplifican algunhas condicións necesarias para observar a interferencia. Ondas estacionarias Dende un punto de vista conceptual, quizá a situación máis simple na que xorde a interferencia é cando dúas ondas planas de amplitude unidade da mesma frecuencia e polarización se propagan en sensos opostos; por exemplo: E r, t) = E 1 r, t) + E r, t) = ˆxe ikz ωt) + ˆxe i kz ωt) = ˆxe iωt e ikz + e ikz) = ˆxe iωt cos kz { } Re E r, t) = ˆx cos ωt cos kz
Obsérvese que esta expresión é produto dunha parte espacial por unha temporal. A parte espacial se anula en determinados puntos, é dicir o campo eléctrico é cero para todos os instantes, sempre. Neses puntos, denominados nodos, non se detectará luz; en cambio obteremos a máxima oscilación do campo naqueles puntos onde o coseno vale 1 ou 1 que se denominan antinodos e están xusto a medio camiño entre dous nodos. Obsérvese que se só existise unha das ondas, detectaríamos luz en todas partes; a presencia da segunda onda cancela o campo nalgúns lugares e intensifícao noutros. Aínda que o campo oscila no tempo e no espacio, non podemos dicir que a onda completa se propague nin para a dirección positiva de z, nin para a negativa; de aí o seu nome de onda estacionaria. 1. Calculemos os puntos onde o campo se anula: cos kz = 0 kz m = π/ + mπ z m = λ m + 1 ) m Z onde cada valor de m se corresponde con un nodo. Con estes valores podemos calcular a interfranxa, que é a distancia entre dous nodos e que coincidirá coa distancia entre dous antinodos): z m+1 z m = λ m + 1) + 1 ) λ m + 1 ) = λ Vemos entón que a interfranxa das ondas estacionarias é a metade da súa longura de onda, que para o centro do visible λ 0,5 µm) vale 0,5 µm. As ondas estacionarias de luz son doadas de xerar, simplemente coa interferencia entre luz que incida perpendicularmente sobre a superficie dun metal e o seu reflexo. Sen embargo son difíciles de detectar xa que, como acabamos de ver, a interfranxa é moi pequena. Ondas con frecuencias diferentes Consideremos novamente dúas ondas que se propagan en sensos opostos, pero de frecuencias distintas: ω 1 e ω, e polo tanto de números de onda diferentes: k 1 e k lembremos que ω 1 = k 1 c e ω = k c). Agora as fases das dúas ondas non teñen termos comúns, pero aínda así sacaremos como factor común una exponencial imaxinaria coa fase media das dúas ondas: E r, t) = ˆxe ik 1z ω 1 t) + ˆxe i k z ω t) = ˆxe i[ k 1 k z ω 1 +ω t] { e i[ k 1 +k z ω 1 ω t] + e i[ k 1 +k z ω 1 ω t] } = ˆxe i[ k 1 k z ω 1 +ω t] k1 + k cos z ω 1 ω t Nótese que agora os puntos onde o coseno se anula van cambiando co tempo, en concreto vanse movendo a velocidade uniforme: k 1 + k z m ω 1 ω t = π + mπ z m = λ 1λ 1 λ 1 + λ + m + ω ) 1 ω t m Z π 1 Para ver ondas estacionarias en auga: http://www.youtube.com/watch?v=npeevfou4z8 ). 3
Dito doutro xeito, se colocamos un detector nun punto fixo, sobre el van pasando a gran velocidade nodos e antinodos sucesivamente. Como os tempos de detección típicos son moito maiores que o ritmo ó que van pasando os nodos, sempre detectaremos luz, independentemente de onde coloquemos o detector. Polo tanto, para detectar a interferencia entre dúas ondas, estas deben ter a mesma frecuencia. Este requisito mantense en situacións máis complexas. Ondas con fases iniciais diferentes Na terceira situación que imos estudar consideraremos dúas ondas coa mesma frecuencia pero con fases iniciais constantes pero diferentes: E r, t) = ˆxe ikz ωt+ɛ 1) + ˆxe i kz ωt+ɛ ) = ˆxe { i[ωt/+ɛ 1+ɛ )/] e i[kz+ɛ 1 ɛ )/] + e } i[kz+ɛ 1 ɛ )/] = ˆxe i[ωt+ɛ 1+ɛ )/] cos kz + ɛ ) 1 ɛ. Se as fases iniciais das dúas ondas son iguais, ɛ 1 = ɛ, as interferencias manteranse no mesmo lugar que no primeiro caso, pero se estas fases son distintas, o patrón aparecerá trasladado. Por exemplo, se ɛ 1 ɛ = π, o campo quedaría: E r, t) = ˆxe i[ωt+ɛ+π/] cos kz + π ) = iˆxe i[ωt+ɛ ] sen kz que ten nodos xusto onde están os antinodos cando as fases iniciais son iguais: kz m = mπ mλ m Z Xa comentamos anteriormente que a luz procedente de fontes monocromáticas pode considerarse no marco dun modelo algo simplista) como formada por paquetes ou pulsos dentro dos cales o campo varía sinusoidalmente cunha frecuencia e unha fase inicial constante, pero esta fase inicial cambia de forma aleatoria entre pulsos. Se facemos interferencia entre dúas ondas procedentes do mesmo pulso, formaranse interferencias sempre na mesma posición, independentemente da súa fase inicial. En cambio, se intentamos facer interferir ondas procedentes de pulsos distintos, a posición dos nodos dependerá da diferencia das súas fases iniciais, e polo tanto será aleatoria. Cando midamos a irradiancia, estaremos promediando as interferencias entre moitos pares de pulsos, de forma que os nodos dun patrón interferencial coincidirán cos antinodos doutro, ocultando as interferencias. Cando a diferencia entre as fases iniciais das ondas que interfiren se manteñen constantes no tempo ondas procedentes do mesmo pulso), dise que esas ondas son coherentes. É dicir as ondas deben proceder da mesma fonte e ter recorrido distancias parecidas cando chegan ó punto de observación; en concreto, a diferencia de recorridos debe ser menor que a longura dun pulso, denominada longura de coherencia. A longura de coherencia é un parámetro que depende da fonte de luz e está inversamente relacionado coa anchura espectral: canto menor é o rango de frecuencias no que emite unha Logrouse unha excepción a esta regra con láseres moi estables en frecuencia e detectores moi rápidos. 4
fonte, maior é a súa longura de coherencia e viceversa. Polo xeral, de todos os requisitos necesarios para observar interferencia, a coherencia é o máis difícil de conseguir con fontes convencionais, e é a principal virtude dos láseres, cos que se logra facilmente longuras de coherencia da orde do metro. 8.. Efecto das direccións de propagación na interferencia. Cálculo da irradiancia. Se sumamos dúas ondas planas que se propagan na mesma dirección e senso, o resultado é outra onda plana que non presenta ceros de irradiancia. Pero, que ocorre se as direccións de propagación forman un ángulo arbitrario? Como é a transición dende non ter ceros de irradiancia as direccións de propagación forman un ángulo nulo) ata ter ondas estacionarias ángulo de 180 )? Para facilitar ese cálculo imos escoller un sistema de coordenadas que nos conveña. Tomaremos o plano YZ de xeito que conteña ás direccións de propagación e o eixo Z na súa bisectriz para que queden situadas simetricamente. Ademais imos considerar que o campo das dúas ondas vibra na dirección X coa mesma amplitude E 0. Entón o campo vale: E r, t) = E 0ˆx e ikz cos θ+ky sen θ ωt) ikz cos θ ky sen θ ωt) + E 0ˆx e = E 0 e iky sen θ + e iky sen θ) ikz cos θ ωt) ˆx e = E 0 cosky sen θ) ˆx e ikz cos θ ωt). 8.1) onde θ é o ángulo que forma a dirección de propagación de cada onda plana coa dirección Z. Polo tanto as direccións de propagación das dúas ondas forman un ángulo de θ entre si. Agora as coordenadas y m dos nodos veñen determinadas por: ky m sen θ = π/ + mπ y m = λ sen θ m + 1 ) m Z, polo que a interfranxa vale: y m+1 y m = λ sen θ Para θ = 90 as ondas se propagan en sensos opostos, polo que recuperamos a interfranxa calculada para ondas estacionarias. Por outra banda, se as dúas ondas se propagan en direccións moi próximas, θ é moi pequeno e a interfranxa pode chegar a ser moito maior que a longura de onda, e polo tanto visible a simple vista. Agora imos calcular a irradiancia da interferencia. Lembremos que para unha onda plana cun campo en notación complexa: a irradiancia vale: E = E 0 e i k r ωt), E0 C 3, { }) I 0 = ɛc Re E = ɛ 0c E t ɛ 0 c 0 = E E. 8.) Cando se superpoñen varias ondas propagándose en direccións próximas, a expresión anterior segue a ser válida, sendo E a suma dos campos de todas as ondas. Introducindo 5
o valor do campo de dúas ondas da ecuación 8.1) na expresión da irradiancia 8.), temos: I = ɛ 0c [E 0 cosky sen θ)] ˆx e ikz cos θ ωt) ikz cos θ ωt) ˆx e = ɛ 0c 4E 0 cos ky sen θ), 8.3) = 4I 0 cos ky sen θ), A irradiancia faise nula nos nodos e máxima antinodos, o que xa sabíamos a partir do campo. Pero agora tamén podemos calcular o valor da irradiancia en calquera punto; por exemplo, o seu valor máximo é nos antinodos): I máx = I y= mλ sen θ = 4 ɛ 0c E 0 = 4I 0. Polo tanto, segundo o punto onde miremos, a irradiancia pode valer dende cero ata catro veces a que xeraría por separado cada unha das dúas ondas que interfiren. En cambio, se non houbese interferencia, a irradiancia sería en todas partes o dobre da irradiancia producida por cada onda. Naqueles puntos onde a irradiancia é maior que a suma das irradiancias de cada onda, dise que se produce interferencia construtiva; onde ocorre o contrario prodúcese interferencia destrutiva. 8.3. Interferencia de dúas ondas planas arbitrarias. Efecto da súa amplitude e polarización. En todos os exemplos vistos ata o momento, as dúas ondas que interfiren teñen a mesma polarización e amplitude. Pero o produto escalar da ecuación 8.) suxire que a polarización das ondas que se superpoñen pode influír na interferencia. Nesta sección abordaremos esta cuestión e xeneralizaremos os resultados anteriores seguindo a mesma filosofía. Supoñamos que nunha rexión do espazo se superpoñen dúas ondas planas harmónicas da mesma frecuencia pero polo demais arbitrarias: onde definimos: E r, t) = E 01 e i k 1 r ωt+ɛ 1 ) + E 0 e i k r ωt+ɛ ) E01, E 0 C 3. = E 01 e iφ 1 + E 0 e iφ φ 1 k 1 r ωt + ɛ 1 e φ k r ωt + ɛ 6
para acurtar a expresión da irradiancia que imos calcular agora empregando directamente a ecuación 8.): I = ɛ 0c E r, t) E r, t) = ɛ 0c E01 e iφ 1 + E 0 e iφ = ɛ 0c ) E 01e iφ 1 + E ) 0e iφ E01E 01 + E 01E 0 e iφ 1 φ ) + E 0E 01 e i φ 1+φ ) + E ) 0E 0 = ɛ 0c E 01E 01 + ɛ 0c E 0E 0 + ɛ { } 0c Re E01E 0 e iφ 1 φ ) = I 1 + I + ɛ 0 cre { E01E } 0e i[ k 1 k ) r+ɛ 1 ɛ ] }{{} termo interferencial onde I 1 e I son as irradiancias que produciría a onda 1 sen a presencia da onda e viceversa. O terceiro sumando denomínase termo interferencial xa que cando é nulo, a irradiancia da suma das dúas ondas é a suma das irradiancias, é dicir para que haxa interferencia este terceiro sumando debe contribuír. Xa adiantamos antes que a polarización debe influír na irradiancia. En concreto, a interferencia desaparece cando: E 01 E 0 = 0; por exemplo se as dúas ondas están linealmente polarizadas en direccións perpendiculares ou se unha é circular levóxira e outra dextróxira. En xeral dise que dúas polarizacións son ortogonais se verifican a relación anterior, e polo tanto non interfiren entre si. Polarización lineal Pola súa importancia, debemos estudar en particular a interferencia de ondas linealmente polarizadas. Neste caso as ondas poden expresarse de xeito que E 01 e E 0 sexan reais E 01 = E 01 e E 0 = E 0 ) e polo tanto a expresión da irradiancia pode simplificarse un pouco: I = I 1 + I + ɛ 0 ce 01E0 Re {e } i[ k 1 k ) r+ɛ 1 ɛ ] = I 1 + I + ɛ 0 ce 01E0 cos [ k 1 ] k ) r + ɛ 1 ɛ A forma deste padrón de interferencia é o mesmo que o descrito na sección 8.: franxas rectas e perpendiculares á dirección Y agora dirección k 1 k ) e máis anchas canto máis próximas son as direccións de propagación agora canto menor é k 1 k ). A diferencia entre as dúas situacións é que agora, en xeral, non se lograrán puntos con irradiancia nula como naquel caso. Por exemplo, se E 01 é case perpendicular a E 0, o termo interferencial é pequeno e a irradiancia sufrirá pequenas variacións respecto da suma das irradiancias. En cambio, para unhas amplitudes das ondas dadas, E 01 e E 0, a interferencia será máis acusada cando os campos sexan paralelos entre si, e nese caso: E 01 E 0 E 01 E0 = E 01 E 0. 7
Entón a irradiancia pode transformarse en: ɛ0 c I = I 1 + I + E ɛ0 c 01 E 0 cos [ k 1 ] k ) r + ɛ 1 ɛ = I 1 + I + I 1 I cos [ k 1 ] k ) r + ɛ 1 ɛ Agora a máxima irradiancia obterase cando co coseno toma o valor 1, e a mínima cando alcanza o 1: I máx = I 1 + I + I 1 I = I 1 + I ) I mín = I 1 + I I 1 I = I 1 I ) Obsérvese que só se conseguirán puntos con irradiancia nula cando I 1 = I, é dicir cando as dúas ondas teñan a mesma amplitude: E 01 = E 0. Nese caso, a irradiancia aínda se simplifica máis: I = I 1 + I 1 cos [ k 1 ] k ) r + ɛ 1 ɛ = I 1 {1 + cos [ k 1 ]} k ) r + ɛ 1 ɛ = 4I 1 cos k 1 k ) r + ɛ 1 ɛ, que coincide coa ecuación 8.3) se tomamos ɛ 1 = ɛ, e nos situamos naquel sistema de referencia. Obviamente canto maior é a variación de irradiancia duns puntos a outros, máis doado é detectar a interferencia. Por ese motivo defínese a visibilidade dun padrón de franxas, V, como a máxima variación relativa da irradiancia respecto da irradiancia media: V I máx I mín I máx +I mín = I máx I mín I máx + I mín, que é un parámetro que pode variar entre 0 ausencia de interferencia) e 1 I mín = 0). Por último, é conveniente observar que cando as dúas ondas teñen a mesma polarización lineal, a maior amplitude posible do campo se alcanza nos puntos onde as dúas ondas están en fase e o seu módulo é a suma dos módulos: E máx = E 01 + E 0, por seren paralelos os campos. Igualmente a menor oscilación posible atópase onde os campos oscilan en contrafase: E mín = E 01 E 0. Isto explica as irradiancias máxima e mínima de antes: I máx E máx = E 01 + E 0 ) I 1 + I ) I mín E mín = E 01 E 0 ) I 1 I ) Dito doutro xeito, como os campos oscilan na mesma dirección, só importa esa compoñente, e pode estudarse a interferencia como se fosen ondas escalares. 8
8.4. Resume Para que se produza o fenómeno de interferencia deben concorrer as seguintes circunstancias: As ondas deben ter a mesma frecuencia. 3 As ondas deben ser coherentes: proceder na mesma fonte de luz e ter recorrido distancias semellantes ata o punto de observación. A tolerancia na diferencia de distancias depende da fonte. As polarizacións das ondas non poden ser ortogonais entre si. O máximo contraste da interferencia obtense coa mesma polarización nas dúas ondas 4 e con amplitudes iguais. Só nese caso a irradiancia chega a anularse en determinados puntos. 8.5. Simulación mediante padróns de moiré Imprime a páxina 10 dúas veces: unha en papel e outra sobre transparencia é importante que as dúas copias teñan exactamente o mesmo tamaño). Coloca a transparencia sobre o papel sen aliñar ben os cantos, deixando a transparencia levemente xirada. Verás unhas franxas claras e escuras ó longo da páxina, máis anchas canto mellor aliñadas estean as figuras. Este efecto denomínase moiré e usarémolo para simular a interferencia de ondas xa que nos seus aspectos básicos compórtase do mesmo xeito. Neste símil, o motivo no papel representa unha onda e o da transparencia a outra. O grosor de dúas liñas unha branca e unha negra contiguas) do debuxo do papel equivale a unha longura de onda, e a fronteira entre unha liña branca e unha negra representa unha superficie de fase constante desa onda: unha liña recta para simular unha onda plana. O debuxo da transparencia simula á outra onda plana. As rexións escuras que se ven cando superpoñemos a transparencia sobre o papel corresponderían á interferencia destrutiva, e as claras a construtiva. Isto permite visualizar a maioría dos comportamentos descritos nas primeiras seccións deste capítulo. 3 Pode observarse interferencia con luz branca cando os padróns de todas as frecuencias son iguais ou moi parecidos. 4 Só o demostramos para polarizacións lineais. 9