SISTEMA DIÉDRICO I Intersección de planos e de recta con plano TEMA 8 INTERSECCIÓNS. Obxectivos e orientacións metodolóxicas. 1.

Transcrição

1 Obxectvos e orentacóns metodolóxcas SISTEMA DIÉDRICO I Interseccón de planos e de recta con plano TEMA 8 Como prmero problema do espazo que presenta a xeometría descrtva, o alumno obterá a nterseccón de dous planos. Fnalmente, determnará o punto de nterseccón dunha recta cun plano, segundo o esquema de operacóns a realzar. XEOMETRÍA DESCRITIVA As actvdades centraranse en resolver os problemas de nterseccón de planos e nterseccón de recta con plano. Esta undade temátca comprenderá un mínmo de dúas sesóns. INTERSECCIÓNS. Introducón Imos resolver dous problemas do espazo de aplcacón constante no estudo da xeometría descrtva:. Achar a recta de nterseccón de dous planos.. Achar o punto de nterseccón dunha recta cun plano.. Interseccón de dous planos. Procedemento xeral A nterseccón de dous planos é unha recta que fca defnda ao seren determnados dous dos seus puntos. A pesar de parecer paradoxal, para determnar esta nterseccón córtanse os dous planos cun tercero plano e determínanse as nterseccóns con cada un deles: estas rectas córtanse nun punto que será o da nterseccón buscada. Repítese a operacón cun segundo plano secante auxlar e as rectas obtdas cortaranse noutro punto da nterseccón, que co anteror defne a mesma. Os planos auxlares que se toman son os planos de proxeccón H e V, ou planos paralelos a eles, cuxas nterseccóns cos planos dados son as trazas destes planos, ou ben rectas horzontas ou frontas de plano. DEBUXO TÉCNICO II Bacharelato 83

2 XEOMETRÍA DESCRITIVA Sexan, por exemplo, os planos α e β, cuxa recta nterseccón ha que achar (Fg. ). Tómase un plano calquera γ e determínanse as rectas r e s de nterseccón cos anterores que se cortan no punto. Tomando outro plano ε, obtemos as rectas r e s, que se cortan no punto. A recta que une os puntos e é a nterseccón dos dous planos. A segur resólvense algúns casos de nterseccón de dous planos. r s Vsto en dédrco (Fg. 3), se cortamos os planos α e β polo plano H, as nterseccóns son as rectas s (s -s ) e r (r -r ), que son precsamente as trazas horzontas α e β, e cuxo punto de nterseccón é H -H. Tomando como plano auxlar secante o plano V, este corta os dados polas rectas s (s -s ) e r (r -r ), que son as trazas vertcas α e β e que se cortan no punto V -V. ' s r s Fg. 3 solucón no espazo A recta ( - ), que une os puntos H (H -H ) e V (V -V ), é a nterseccón dos dous planos. Fg. 3. Interseccón de dous planos oblcuos (Fgs. e 3) Resolvemos o problema no espazo (Fg. ). Sexan os planos α (α - α ) e β (β - β ). Obsérvase que a recta de nterseccón é a que une os puntos H e V, onde se cortan as trazas do mesmo nome dos dous planos. P.V. 4. Interseccón dun plano proxectante horzontal cun plano proxectante vertcal (Fg. 4) A recta de nterseccón, por pertencer ao plano β ( β - β ), proxéctase vertcalmente sobre β, xa que o plano é proxectante vertcal, e por pertencer ao plano α (α - α ), que é proxectante horzontal, proxéctase horzontalmente sobre α. A nterseccón é, por tanto, a recta ( - ), que pasa polos puntos H -H e V -V, onde se cortan as trazas do mesmo nome dos planos. ' ' P.H. solucón no espazo Fg. Fg DEBUXO TÉCNICO II Bacharelato

3 5. Interseccón dun plano oblcuo con outro horzontal (Fg. 5) Todo plano horzontal corta un plano calquera nunha recta horzontal. Neste caso, o plano horzontal α (α) corta o plano oblcuo (β- β) pola horzontal -, que pasa polo punto V (V -V ), onde se cortan as trazas vertcas: a traza β corta a traza α, que é mpropa, no punto do nfnto, polo que e β deberán de ser paralelas. 7. Interseccón de dous planos paralelos á L.T. (Fgs. 7 e 8) Prmero procedemento (Fg. 7) Segundo o procedemento xeral, cortamos os planos dados α e β por un plano γ oblcuo calquera. Os planos α e γ córtanse na recta r (r -r ) e os planos β e γ, pola recta s (s -s ). Estas dúas rectas córtanse no punto ( - ), que é da nterseccón. Dado que os planos son paralelos á L.T. a súa nterseccón tamén resulta paralela á L.T., polo que basta con trazar por - as paralelas á L.T. para obter as proxeccóns e da nterseccón que se procura. ' ' XEOMETRÍA DESCRITIVA Fg Interseccón dun plano oblcuo con outro de perfl (Fg. 6) A nterseccón do plano α, oblcuo, e do β, de perfl, é a recta de perfl ( - ), cuxas trazas son H -H (a horzontal) e V -V (a vertcal). As súas proxeccóns están confunddas coas trazas β e β do plano do perfl. Na fgura a recta fo pasada á tercera proxeccón con axuda dos puntos H e V. Fg. 7 Segundo procedemento (Fg. 8) Se cortamos os dous planos cun plano de perfl, estes vense segundo as rectas α e β, que se cortan en, proxeccón tercera da recta de nterseccón. As proxeccóns da nterseccón - obtéñense ao proxectar sobre os dous planos. V H Fg. 6 Fg. 8 DEBUXO TÉCNICO II Bacharelato 85

4 XEOMETRÍA DESCRITIVA 8. Interseccón dun plano calquera co segundo plano bsector (Fg. 9) Dado que a recta debe estar no segundo bsector, as súas proxeccóns estarán confunddas. Na fgura, un punto da nterseccón é o punto -, onde o plano α corta a L.T. Se os puntos do segundo bsector teñen as proxeccóns confunddas, tómase unha horzontal r -r do plano α e as súas proxeccóns, prolongadas, córtanse no punto - do segundo bsector. A recta que une os puntos e é -, nterseccón do plano α co segundo bsector. ' ' Dreccón de afndade: perpendcular á L.T. Dreccón D a. Exo de afndade: a recta de nterseccón do plano co segundo bsector. Sabemos que os puntos do exo son duplos; de acordo con sto, se a recta h é afín de h, o punto M de nterseccón das dúas é do exo de afndade. Dado que o punto N de L.T. tamén é duplo, a recta M-N é o exo de afndade e é precsamente a recta nterseccón do plano α co segundo bsector, xa que todos os seus puntos teñen as proxeccóns confunddas. Áchase un par de puntos afíns, por exemplo afín de, por medo da horzontal h -h, e a partr destes obtéñense os demas puntos. M '' h'' '' ' ' 5'' 3'' -' 4'' Da Fg. 9 A N B 5' ' h' Como aplcacón desta recta de nterseccón dun plano co segundo bsector resolvemos o próxmo problema. ' 4' 9. Proxeccóns dunha fgura plana (Fg. 0) Trátase de resolver este problema de tpo xeral: C 3' Dados un plano e unha fgura contda no mesmo, da que se coñece unha das proxeccóns, achar a outra proxeccón. exo de afndade Na Fg. 0 temos o plano α -α e unha fgura contda nel que se proxecta vertcalmente formando un pentágono regular estrelado. Ha que achar a proxeccón horzontal da fgura. Este problema pode ser resolto por afndade. As dúas proxeccóns dunha fgura plana son fguras afíns, cos elementos desta afndade: Fg DEBUXO TÉCNICO II Bacharelato

5 0. Interseccón de recta e plano (Fg. ) Na parte superor esquerda da fgura ndícase o procedemento a segur no espazo. Tense a recta r e o plano α. Para achar o punto de nterseccón, fase pasar pola recta un plano calquera β, áchase a nterseccón de ambos os planos, recta, e esta recta corta r no punto I, que é o de nterseccón da recta r co plano α. En dédrco, para facltar as operacóns, o plano β que se fa pasar pola recta é un dos proxectantes dela, no caso da fgura, é o proxectante horzontal β - β. Este plano e o α córtanse na recta -. A proxeccón vertcal corta r no punto I e este punto lévase sobre r, co que se obtén I. Por ser o plano β proxectante horzontal, e r concden con β. Fg.. Revsón dos coñecementos más necesaros da xeometría do espazo Se unha recta ten dous dos seus puntos nun plano, está no plano. Unha recta que só ten un punto común cun plano corta ese plano. Se a recta e o plano que non teñen nngún punto común, dse que son paralelos. Tres puntos do espazo non colneas determnan un únco plano. A nterseccón de dous planos sempre é unha recta. Un plano pode defnrse tamén das formas: por unha recta e un punto que non se pertencen, por dúas rectas que se cortan ou por dúas rectas paralelas. As poscóns relatvas de dúas rectas son: rectas que se cruzan (non teñen nngún punto en común e non forman plano); rectas que se cortan (determnan un plano e teñen un punto común); rectas paralelas (determnan un plano e teñen un punto común que é o do nfnto, chamado punto mpropo). I r I' I' XEOMETRÍA DESCRITIVA DEBUXO TÉCNICO II Bacharelato 87

6 XEOMETRÍA DESCRITIVA. Determnar a recta de nterseccón de dous planos, un oblcuo e outro paralelo á L.T.. Achar a nterseccón de dous planos proxectantes horzontas. 3. Achar a nterseccón de dous planos proxectantes vertcas. 4. Achar a nterseccón dun plano oblcuo cun plano frontal. 5. Achar a nterseccón dun plano oblcuo cun plano proxectante horzontal. 6. Achar a nterseccón dun plano oblcuo cun plano proxectante vertcal. 7. Achar a nterseccón dun plano oblcuo con outro que pasa pola L.T. 8. Achar a nterseccón dun plano calquera cos dous planos bsectores. 9. Determnar a nterseccón dunha recta cos planos bsectores, nos casos: ACTIVIDADES a) A recta é horzontal e non é paralela á L.T. b) A recta é perpendcular a un dos planos de proxeccón. c) A recta é de perfl. 0. Determnar o punto común a tres planos (prmero áchase a nterseccón de dous planos e despos a nterseccón da recta obtda co tercero plano).. Determnar o punto común a tres planos neste caso: Un plano oblcuo calquera, outro frontal e un tercero paralelo á L.T.. Determnar o punto de nterseccón dunha recta cun plano nos casos: a) A recta é de punta e o plano é un oblcuo calquera. b) A recta é de perfl e o plano é un oblcuo calquera. 3. Nun plano oblcuo ha unha fgura cuxa proxeccón horzontal é un hexágono regular. Achar a proxeccón vertcal por afndade. 88 DEBUXO TÉCNICO II Bacharelato