OP = x 1 i + y 1 j + z 1 k.

Transcrição

1 RECTAS E PLANOS Índice. Coordenadas dun punto no espao. Sistema de referencia.... Coordenadas dun ector de etremos coñecidos.... Ecuacións dunha recta..... Determinación lineal dunha recta. Ecuacións paramétricas e continua..... Recta que pasa por dous puntos. Comprobar se tres puntos están aliñados..... Segmento de recta Posicións relatias de dúas rectas Ecuacións dun plano Ecuación eral do plano Ecuacións paramétricas do plano Paso das ecuacións paramétricas á eral e iceersa Outras determinacións do plano Posicións relatias de dous planos Posicións relatias de tres planos Posicións relatias de recta e plano Algúns problemas de rectas e planos Coordenadas dun punto no espao. Sistema de referencia Escóllese un punto arbitrario do espao, que se simbolia por O e se lle chama orie de coordenadas. Entre O e calquera outro punto do espao, P, pódese traar o ector OP. A este ector chámaselle ector de posición do punto P porque dende O localia ao punto P. O ector de posición OP pódese escribir como combinación lineal dos ectores dunha base do espao, { u, u, u }, e así obtense a epresión OP a u + b u + c u. Se, para simplificar as cousas, a base escollida é a base ortonormal { i, j, k }, entón tense OP i + j + k. Aos números (,, ), coeficientes da combinación lineal anterior, chámaselles coordenadas cartesianas do punto P relatias ao punto O e á base { i, j, k }. Ao conunto heteroéneo formado por O e { i, j, k }

2 denomínaselle sistema de referencia e simbolíase por R {O; i, j, k }. Neste caso o sistema de referencia é ortonormal por selo os ectores da base. É eidente que se se toma outro punto como orie de coordenadas, por eemplo Q, e tres ectores linealmente independentes {u,, }, tense outro sistema de referencia R {Q; u,, } respecto o cal as coordenadas do punto P serán distintas de (,, ). No sucesio farase uso unicamente do sistema de referencia ortonormal R {O; i, j, k } e as coordenadas cartesianas dos puntos do espao estarán referidas a el. Dende o momento en que a cada punto do espao, fiado un sistema de referencia, se lle poden asociar de modo único tres números, chamados as súas coordenadas, simbolíase ao conunto de todos os puntos do espao por R. Debuar no espao os puntos M(,, ) e N(, 0, ). As rectas que pasan polo punto O e teñen a dirección dos ectores i, j, k chámanse eies de coordenadas e simbolíanse polas letras X, Y e Z. As coordenadas de M(,, ) son as medidas das proeccións do ector OM sobre os eies X, Y e Z. Aínda que a mellor maneira de debuar M en R é marcar no eie X,, no eie Y, e, no eie Z. Debúase sobre cada plano XY, YZ e XZ un rectángulo a partir das marcas e tráanse paralelas aos eies polos értices opostos a O, nestes rectángulos. O punto onde se cortan estas rectas paralelas aos eies é M. O punto N(, 0, ) é un punto do plano XZ como se e no debuo.. Coordenadas dun ector de etremos coñecidos Considérase o ector MN cua orie é o punto M(,, ) e cuo etremo é N(,, ). O ector MN cumpre que OM + MN ON MN ON OM. Sábese que ON i + j + k e OM i + j + k, logo tense:

3 MN ( ) i + ( ) j + ( ) k. Co que se pode afirmar que as coordenadas do ector MN, de etremos M(,, ) e N(,, ), son igual á diferena de coordenadas de N e M: MN (,, ) Dados os puntos A(,, ), B(,, 0) e C( 5,, ), acha as coordenadas dos ectores AB, AC, BC, BA, CA e CB. AB (,, 0 ( )) (, 7, ), AC ( 5,, ( )) ( 7,, ) BC ( 5, ( ), 0) ( 6, 6, ), BA (, ( ), 0) (, 7, ) CA ( ( 5),, ) (7,, ), CB ( ( 5),, 0 ) (6, 6, ). Ecuacións dunha recta.. Determinación lineal dunha recta. Ecuacións paramétricas e continua Unha recta pode determinarse se se coñece un dos seus puntos e un ector paralela a ela, que se chamará ector de dirección da recta. Sea r unha recta da que se coñece un punto A(,, ) e un ector de dirección (,, ) distinto do ector cero. Calquera outro punto da recta P(,, ) cumpre, como se e no debuo, que o ector AP é proporcional a, é dicir, AP λ ; sendo λ un número real. Pero, ademais, ao sumar o ector de posición de A co ector AP resulta o ector de posición de P: OA + AP OP. Esta ecuación ectorial pódese escribir así: OP OA + λ onde para cada punto P de r se obtén un alor de λ e para cada alor de λ se obtén un punto de r. Epresando esta ecuación ectorial en coordenadas resulta: (,, ) (,, ) + λ(,, ) A partir da ecuación ectorial, se se opera no membro dereito da ecuación: (,, ) (,, ) + (λ, λ, λ ) ( + λ, + λ, + λ ) e agora se se separan as tres coordenadas dos ectores, obtense: Estas ecuacións chámanse ecuacións paramétricas da recta r e para cada alor de λ atópanse as coordenadas dun punto diferente de r. Este modo de lograr as ecuacións paramétricas dunha recta denomínase determinación lineal da recta. As ecuacións paramétricas dunha recta non son únicas. Eidentemente, se en e de A se toma outro punto B e un ector paralelo a, resultan outras ecuacións paramétricas pero que describen tamén todos os puntos de r ao ariar o parámetro λ. Se se despea λ nas ecuacións paramétricas da recta obtense

4 A epresión da recta r. λ coñecese como ecuacións en forma continua Ás eces nas ecuacións continuas pode aparecer un cero nalgún denominador, non en todos, pero debe terse en conta que non se está diidindo entre 0, senón que os numeradores son proporcionais aos denominadores e se un destes é 0, tamén o será o numerador correspondente. Achar as ecuacións paramétricas e continuas da recta que pasa por A(,, ) e ten como ector director (, 0, ). Ecuacións paramétricas da recta:. Ecuacións en forma continua: 0.. Recta que pasa por dous puntos. Comprobar se tres puntos están aliñados Sábese que por dous puntos pasa unha única recta. Se se queren achar as ecuacións paramétricas dunha recta que pasa polos puntos A(,, ) e B(,, ), tómase un dos puntos por onde pasa r, por eemplo A, e como ector de dirección ou ector director, o ector AB. Trátase tamén dunha determinación lineal. Achar a ecuación da recta que pasa polos puntos A(,, 5) e B(, 6, ). Estase ante a recta que pasa por A(,, 5) e ten como ector director AB (, 0, ), logo as ecuacións paramétricas son: 0 e as continuas: Tres puntos, A(,, ), B(,, ) e C(,, ), están aliñados (ou son colineais) se pertencen á mesma recta. Isto tradúcese en que os ectores AB e AC teñen a mesma dirección e, polo tanto, son proporcionais, é dicir, rango( AB, AC) ou

5 Comprobar se os puntos A(7, 6, ), B( 5,, 8) e C(, 6, ) están aliñados. Como AB ( 5 7, ( 6), 8 ) (, 0, 9) e AC ( 7, 6 ( 6), ) (, 0, ), entonces tense: 0 9 rango( AB, AC) rango, a que as dúas filas son proporcionais ou, de outro modo,. 0 Logo os tres puntos están aliñados... Segmento de recta A recta r, que pasa polos puntos A(,, ) e B(,, ), ten as seguintes ecuacións paramétricas: ( ) ( ) ( ) Cando λ 0, (,, ) (,, ), alcánase o punto A. Cando λ, (,, ) (,, ) + (,, ) (,, ), o punto alcanado é B. Logo o segmento de etremos A e B é o conunto de puntos: {(,, ) (,, ) + λ(,, ), 0 λ } As coordenadas do punto que diide ao segmento AB en dúas partes iguais, o punto medio, áchanse tomando λ e son: (,, ) (,, ) + (,, ) n Se na fórmula anterior faise que λ tome os alores,,...,, determínanse n n n n puntos que diiden ao segmento AB en n partes iguais. Achar as coordenadas do punto medio do segmento de etremos A(,, ) e B(,, )., 5 5 O punto medio do segmento AB é M AB,,,,. Achar as coordenadas dos puntos que diiden ao segmento AB anterior en tres partes iguais. As coordenadas dos puntos N e N que diiden ao segmento AB en tres partes iguais obtéñense dando a λ, en (,, ) (,, ) + λ(,, ), os alores e. Entón tense:, N (,, ) + (,, ) (,, ) + 7 0,,,, 5

6 N (,, ) + (,, ) (,, ) + 8 8,,,,. Posicións relatias de dúas rectas Supóñanse dúas rectas: r, que pasa por A ten como ector director, e s, que pasa por B ten como ector director. As posicións que poden adoptar r e s son: Coincidentes. Trátase de dúas ecuacións distintas da mesma recta. Isto ocorre cando os ectores, e AB son proporcionais, posúen todos a mesma dirección. En consecuencia, son coincidentes se: rango(, ) e rango(,, AB) Paralelas. Cando as rectas son paralelas, os ectores de dirección son tamén paralelos, é dicir, proporcionais e polo tanto: rango(, ) e rango(,, AB) Incidentes. Córtanse nun punto. Isto acontece cando os ectores e teñen distinta dirección, pero, e AB son linealmente dependentes e o seu rango será. Polo tanto, son incidentes se: rango(, ) e rango(,, AB) Crúanse. Non teñen ningún punto en común, pero non son paralelas. Cando isto acontece, os ectores, e AB, nin teñen a mesma dirección nin son coplanarios; son linealmente independentes, logo: rango(, ) e rango(,, AB) 6

7 7 Estudar as posicións relatias dos seguintes pares de rectas. Achar as coordenadas do punto de corte cando o par de rectas sean coincidentes. a) e b) e c) e (,, ) ( + λ,, 5 λ) d) (,, ) (, + λ, λ) e (,, ) ( + μ,, μ) a) rango 8 6, rango , as rectas son coincidentes. b) rango 8 6, rango 8 6, as rectas son paralelas. c) rango 0, rango 0 0, as rectas son incidentes. Ponse a primeira recta en paramétricas utiliando a letra μ para o parámetro: Se as rectas se cortan, compartirán un punto; logo eistirá un alor para μ e outro para λ, que postos nas ecuacións paramétricas respectias darán as coordenadas dese punto. Isto equiale a que teña solución o sistema: 5 ou 0 Neste caso é fácil er que μ 0 e que, substituíndonas outras ecuacións, obtense λ. O punto de corte conséguese ao poñer μ 0 e λ nas ecuacións paramétricas e resulta ser (,, ). d) rango 0 0, rango 0 0, as rectas crúanse.

8 5. Ecuacións dun plano 5.. Ecuación eral do plano Todos os puntos dun plano quedan inequiocamente determinados se se coñece un punto do plano e un ector perpendicular a el. Supóñase un plano π do que se coñece o punto A(,, ) e un ector n (a, b, c) perpendicular ao plano (ou normal ao plano). Para calquera outro punto de plano P(,, ) ocorre que os ectores n e AP, como se e no debuo, son ortogonais; en consecuencia, o seu produto é cero: n AP 0 Se se poñen os ectores en coordenadas, obtense: (a, b, c) (,, ) 0 a( ) + b( ) + c( ) 0 a + b + c a b c 0 Se se simbolia o número a b c por d, entón resulta: a + b + c + d 0 Esta ecuación denomínase ecuación eral ou implícita do plano π, e ademais, salo o produto por un número, é única. É posible demostrar que toda ecuación do tipo a + b + c + d 0 corresponde a un plano de ector normal n (a, b, c) e que pasa por un punto A(,, ) cuas coordenadas son solución da ecuación, é dicir, a + b + c + d 0. Acha a ecuación do plano que pasa polo punto A(,, ) e ten como ector normal n (,, ). Os tres primeiros coeficientes da ecuación eral do plano son, e, logo a ecuación será: + + d 0. Como ademais pasa polo punto A(,, ) cumprirase que: ( ) + + d 0 + d 0 d 5.. Ecuacións paramétricas do plano Tamén para o plano eiste unha determinación lineal. Para iso son necesarios un punto, A(,, ), e dous ectores contidos ou paralelos ao plano, (,, ) e (,, ), non paralelos entre si ( λ ), pois teñen que ser linealmente independentes para formar unha base do plano π, de modo que todo ector de dito plano escríbase como combinación lineal de ambos os dous. Calquera outro punto do plano, P(,, ), pode determinarse, como se obsera no debuo, da ecuación ectorial: OP OA + AP. Pero ao ser AP combinación lineal de e, pódese escribir: OP OA + λ + μ. Epresando esta ecuación ectorial en coordenadas resulta: (,, ) (,, ) + λ(,, ) + μ(,, ) A partir da ecuación ectorial, se se opera no membro dereito da ecuación: (,, ) (,, ) + (λ, λ, λ ) + (μ, μ, μ ) ( + λ + μ, + λ + μ, + λ + μ ) 8

9 9 e agora se se separan as tres coordenadas dos ectores, obtense: Estas ecuacións chámanse ecuacións paramétricas do plano π, e para cada alor que se lle dea aos parámetros λ e μ determínase un punto do plano. Achar as ecuacións paramétricas do plano determinado polo punto A(,, ) e os ectores paralelos (,, ) e (,, ). Ecuacións paramétricas do plano:. 5.. Paso das ecuacións paramétricas á eral e iceersa Se son as ecuación paramétricas dun plano que pasa por A(,, ) e ten como ectores paralelos ao plano (,, ) e (,, ), con λ, entón un punto P(,, ) pertence ao plano se eisten alores de λ e μ que satisfán as igualdades anteriores. Isto equiale a dicir que P(,, ) pertence ao plano, se o sistema ten solución para as incógnitas λ e μ. Claro que este sistema terá solución, segundo o teorema de Rouché-Frobenius, se o rango da matri dos coeficientes e o da matri ampliada alen : rango rango Se o rango da matri ampliada ale, o seu determinante será cero: 0 Desenolendo o determinante polos elementos da última columna, tense: ( ) ( ) + ( ) Na última igualdade, obsérase que os coeficientes de,, son as coordenadas do produto ectorial, logo trátase dun ector perpendicular ao plano, chamando

10 a, b, c e d +, obtense a ecuación eral do plano que pasa por A(,, ) e ten como ectores paralelos ao plano (,, ) e (,, ): a + b + c + d 0 Ecuación que, como se sabe, é única, salo un factor de proporcionalidade. O paso da ecuación eral ás paramétricas é máis sinelo. Se na ecuación a + b + c + d 0 despéase, resulta: a d a b a c d b c a a a Igualando λ e μ obtéñense as ecuacións, que son as ecuacións paramétricas do plano que pasa polo punto d, 0, 0 e ten como ectores a paralelos a el b,, 0 e c, 0,. Hai que ter presente que as a a ecuacións paramétricas dun plano non son únicas. Achar as ecuacións paramétricas e eral do plano que contén ao punto A(,, ) e ten como ectores paralelos (, 0, ) e (,, ). As ecuacións paramétricas son:. A ecuación eral sae do determinante nulo: 0 0. Ao desenoler resulta ; diidindo por, queda: Outras determinacións do plano Hai arias situacións que conducen a unha determinación lineal do plano. Plano que pasa por tres puntos. O que por tres puntos pase un plano ten unha comprobación eperimental sinela no feito de que unha cadeira ou unha banqueta con tres patas nunca baila; e a raón é porque as tres patas adáptanse perfectamente ao plano do chan. Polo tanto, un plano determinado por tres puntos A, B e C é o mesmo que o que determina un punto, por eemplo, A, e é paralelo aos ectores AB e AC. Plano que determina unha recta e un punto. Unha recta r, que pasa por A e ten como ector director, e un punto B, eterior a ela, tamén determinan un plano; para iso tómase o punto A da recta r e como ectores paralelos ao plano e AB. 0

11 Plano que contén a dúas rectas paralelas. Unha recta r, que pasa por A e con ector director, e outra s, que contén a B e con ector director, son paralelas ambas as dúas, configuran un plano cuas ecuacións paramétricas pódense achar tomando, por eemplo, o punto A e como ectores paralelos ao plano e AB. Plano determinado por dúas rectas que se cortan. Se unha recta r, que pasa por A e con ector director, e outra s, que contén a B e con ector director, son incidentes, entón cun dos puntos, A ou B, e tomando como ectores paralelos ao plano e, tense unha determinación lineal da que achar a ecuación do plano. 6. Posicións relatias de dous planos Sean π : a + b + c + d 0 e π : a + b + c + d 0 dous planos, cuos ectores normais son n (a, b, c ) e n (a, b, c ), respectiamente. As posicións que poden adoptar no espao son as seguintes: Paralelos: os ectores normais, n (a, b, c ) e n (a, b, c ), tamén son paralelos e, polo tanto, as súas coordenadas proporcionais; iso quere dicir que: rango(n, n a b ) ou c d a b c d Coincidentes: trátase do mesmo plano. Os coeficientes das dúas ecuacións, incluíndo os termos independentes son proporcionais; en consecuencia, tense: a b c d a b c d Secantes: córtanse determinando unha recta común. Os ectores n (a, b, c ) e n (a, b, c ) non teñen a mesma dirección, polo tanto, rango(n, n ).

12 Ademais a recta común aos dous planos ten como ecuacións paramétricas as a b c d 0 solucións do sistema formado polos dous planos:. a b c d 0 Como neste sistema o rango da matri dos coeficientes é, rango(n, n ), e hai tres incógnitas, entón as solucións dependerán dun parámetro. É dicir, relegando unha incógnita ao segundo membro das ecuacións, por eemplo, as solucións 0 terán este aspecto: 0, e que se pode identificar como a recta que pasa polo punto ( 0, 0, 0) e ten como ector director (,, ). Cando unha recta én dada polas ecuacións de dous planos dise que estas son as ecuacións implícitas da recta. Das ecuacións continuas dunha recta é sinelo atopar dúas ecuacións implícitas desa recta. As ecuacións continuas dunha recta r, da que se coñece un punto A(,, ) e un ector de dirección (,, ), son:. Das tres igualdades, se se collen dúas, por eemplo, a primeira fracción coa segunda e a primeira coa terceira, obtéñense as ecuacións de dous planos que constitúen un par de ecuacións implícitas desa recta. É dicir, de e obtéñense as ecuacións dos planos Obiamente unha recta ten unha infinidade de ecuacións implícitas. Estudar as posicións relatias dos pares de planos seguintes: a) + 0 e b) e c) + 0 e a) Como 6 b) Como 6 plano. Son coincidentes. 9 c) É eidente que dous planos secantes., pódese afirmar que os planos son paralelos , trátase de dúas ecuacións diferentes do mesmo ou rango. Logo trátase de Feie de planos Chámase feie de planos de eie r ao conunto de todos os planos que contén á a b c d 0 recta r. Se de r coñécense as súas ecuacións implícitas, r:, a b c d 0 entón o feie de eie r én dado por: α(a + b + c + d ) + β(a + b + c + d )0.

13 Para cada alor que se lle dea a α e β obtense a ecuación dun plano que, se pode demostrar, contén á recta r. Diidindo a ecuación anterior por α, obtense a + b + c + d + δ(a + b + c + d ) 0 onde δ. Esta ecuación, dando alores a δ, describe todos os planos do feie agás a + b + c + d 0 e ten a antae de empregar un único coeficiente. O feie de planos facilita a resolución dalgúns problemas, aínda que admitan outros métodos de resolución. Particularmente resulta interesante para achar a ecuación dun plano do que se sabe que contén a unha recta dada polas súas ecuacións implícitas. Achar a ecuación do plano que contén á recta e pasa polo punto (,, ). Das ecuacións continuas obtéñense dous planos: e. É dicir: 0 e 5 0. Considérase o feie: + δ( 5) 0. Substituíndo na ecuación do feie as incógnitas polas coordenadas do punto (,, ), tense: ( ) + δ( ( ) 5) δ 0 δ. O plano pedido será: ( 5) Posicións relatias de tres planos Tres planos no espao π : a + b + c + d 0, π : a + b + c + d 0 e π : a + b + c + d 0 poden adoptar arias posicións que se deducirán da análise do sistema formado polas súas ecuacións. Segundo o teorema de Rouché- Frobenius pódense presentar distintas situacións que se an interpretar eometricamente. a b c d 0 No sistema a b c d 0 chamaráselle A á matri dos coeficientes e A á a b c d 0 matri ampliada e poden aparecer os seguintes casos:. Se rango(a) rango( A ), o sistema ten solución única. Isto interprétase como que os tres planos córtanse nun punto cuas coordenadas son a solución do sistema.. Se rango(a) e rango( A ), o sistema é incompatible, non ten solución; e eometricamente interprétase como que os tres planos non teñen tres puntos en común. Aínda que pódense dar dúas situacións: a) Dous planos son paralelos e están cortados polo terceiro. b) Os planos córtanse de dous en dous, como as caras dunha superficie prismática triangular, determinando tres rectas paralelas. Estas dúas situacións distínguense unha da outra polos ectores normais aos planos. No caso a) n e n son paralelos e polo tanto proporcionais, pero n non é paralelo aos anteriores; é dicir, na matri A hai dúas filas proporcionais. No caso b) cada dous planos definen unha recta, polo que os ectores normais non manteñen

14 entre eles ningunha relación de paralelismo, entón na matri A non eisten dúas filas proporcionais.. Se rango(a) rango( A ), o sistema posúe infinitas solucións dependentes dun parámetro. Estas solucións constitúen as ecuacións paramétricas dunha recta. Esta recta é o eie dun feie de planos ao que pertencen os planos dados.. Se rango(a) e rango( A ), o sistema ole ser incompatible e interprétase este feito como que os tres planos son paralelos ou que dous son coincidentes e o terceiro paralelo a eles. Hai dous planos coincidentes se na matri A aparecen dúas filas proporcionais. 5. Se rango(a) rango( A ), os tres planos son coincidentes. Nos debuos sinálanse os seis casos anteriores: Dados os planos π : m + +, π : + m + e π : + + m, estudar a súa posición relatia para os diferentes alores de m. m Discútese o sistema para os diferentes alores de m: m. m Calcúlase o determinante da matri dos coeficientes: m det(a) m m m m +, m m + 0 m e m Se m e m, rango(a) rango( A ), o sistema é compatible e determinado. Os tres planos córtanse nun punto. Se m, rango(a) rango( A ), sistema compatible e indeterminado. Os tres planos son coincidentes. No caso de que m, rango(a) e rango( A ),

15 sistema incompatible, eamínase a matri A e non se obsera nela dúas filas proporcionais; polo tanto os tres planos córtanse dous a dous formando unha superficie prismática triangular. 8. Posicións relatias de recta e plano Unha recta r, que pasa por A(,, ) e ten como ector director (,, ), e un plano, π: a + b + c + d 0, con ector normal n (a, b, c), poden adoitar as posicións seguintes: A recta corta ao plano: eometricamente supón que os ectores e n non son perpendiculares, como se aprecia no debuo, logo o seu produto escalar será distinto de cero, n 0. A recta e o plano son paralelos: entón os ectores e n son perpendiculares e loicamente o seu produto escalar será nulo, n 0. A recta está contida no plano: en cuo caso os ectores e n seguen sendo perpendiculares, é dicir, n 0, pero distínguese do caso anterior porque todos os puntos de r pertencen a π, en particular A. Cabe aínda outra análise se a recta está dada polas súas ecuacións implícitas, e consiste en formar un sistema de tres ecuacións con tres incógnitas. Chamando A á matri dos coeficientes do sistema e A á matri ampliada, pódense atopar as seguintes posibilidades:. Rango(A) rango( A ). Cando isto ocorre dise que a recta é secante ao plano, córtao nun punto. O punto de corte é a solución do sistema.. Rango(A) e rango( A ). Isto ocorre cando a recta é paralela ao plano.. Rango(A) rango( A ). Entón a recta está contida no plano. 5

16 Estudar a posición relatia da recta (,, ) ( + λ, + λ, λ) e o plano determinado polos puntos A(,, ), B(, 0, ) e C(,, ). Se se cortan achar o punto de corte. Áchase a ecuación eral do plano que pasa por A(,, ) e ten como ectores paralelos AB (,, ) e AC (0,, ). Esta ecuación obtense igualando a cero o 0 determinante: 0. E resulta o plano: Áchase o produto escalar do ector normal ao plano, n (,, ), co ector director da recta, (,, ): n (,, ) (,, ) 5 0. Logo a recta e o plano córtanse nun punto. Para achar o punto de corte, substitúense as ecuacións paramétricas da recta na do plano e calcúlase o alor de λ: ( + λ) ( + λ) + λ + 0 5λ + 0 λ 5 Substituíndo nas ecuacións paramétricas da recta o alor de λ atopado, conséguense 6 as coordenadas do punto de corte: (,, ) ( +, +, ),, Algúns problemas de rectas e planos Punto simétrico doutro respecto a un punto Dise que P'(,, ) é simétrico de P(,, ) con respecto a M(m, m, m ) se M é o punto medio do segmento PP'. Logo m, m, m. Achar o punto simétrico de P(,, ) con respecto a M(,, ). Chamando P'(,, ) ao simétrico de P con respecto a M, entón: 0, 5, 5 Logo P'(0, 5, 5). Punto simétrico doutro con respecto a unha recta Dise que P' é simétrico de P con respecto á recta r se hai un punto M de r que é o punto medio do segmento PP'. Achar o punto simétrico de (, 0, ) respecto á recta. Sea P(, 0, ) e P'(,, ) o simétrico con respecto á recta dada. Sea M un punto da recta que é o punto medio do segmento PP'. Procederase cos seguintes pasos: 6

17 i) Se se pon a recta en paramétricas (,, ) ( + λ, + λ, + λ), o punto M ten de coordenadas ( + λ, + λ, + λ). Ademais, o ector PM ( + λ, + λ 0, + λ ) ( + λ, + λ, + λ), é perpendicular ao ector director da recta (,, ), logo PM 0: ( + λ, + λ, + λ) (,, ) 0 + λ + + λ + λ 6λ 0 λ 5 ii) Áchanse as coordenadas de M,,,,. 5 0 iii) Da igualdade,,,, obtense, 5 e. O punto buscado é P'(, 5, ). Punto simétrico doutro con respecto a un plano Dise que P' é simétrico de P con respecto ao plano π se hai un punto M de π que é o punto medio do segmento PP'. Achar o simétrico do punto P(0,, ) respecto ao plano π: Chámase P'(,, ) ao simétrico de P(0,, ) respecto a π e procédese cos seguintes pasos. i) Áchase a ecuación da recta r que pasa por P e é perpendicular a π. As ecuacións paramétricas de r: (,, ) (λ, λ, + λ). ii) Áchase M, o punto de corte de r e π: λ ( λ) + ( + λ) + 0 λ + λ + + 9λ + 0 λ + 0 λ Entón M(,, ). ii) Da igualdade (,, ),, obtense, 5 e. O punto P' ten de coordenadas (, 5, ). Recta que corta perpendicularmente a outras dúas que se cruan Se r é unha recta que corta perpendicularmente a outras dúas, s e t, que se cruan, terá o ector director ortogonal aos ectores de dirección de s e t. Achar a recta r, perpendicular común ás rectas s: e t:. Se se escriben s e t en paramétricas obtense: s: (,, ) (λ, λ, λ) e t: (,, ) (μ, + μ, + μ) Búscase un punto S(λ, λ, λ) de s e outro T(μ, + μ, + μ) de t tales que o ector ST (μ λ, + μ λ, + μ λ) sea ortogonal ao ector director de s, (,, ), e ao de t, (,, ). Isto significa que: ST 0 (μ λ, + μ λ, + μ λ) (,, ) 0 μ λ + + μ λ + μ λ 6μ λ 0 ST 0 (μ λ, + μ λ, + μ λ) (,, ) 0 μ λ + + μ λ 6 + 9μ λ μ 6λ 0 7

18 6 5 Do sistema obtense μ, λ Logo S,, e T(,, ). A recta que pasa por S e T é a recta buscada: (,, ),, + λ,, Outra solución pode acharse como intersección de dous planos: un, pasa por S e ten como ectores paralelos e, e o outro, pasa por T e ten como ectores paralelos e. Recta que pasa por un punto e corta perpendicularmente a outra Dada unha recta r e un punto P eterior a ela trátase de atopar outra recta que pase por P e corte perpendicularmente a r. Achar as ecuacións paramétricas da recta que pasa polo punto P(,, ) e corta perpendicularmente a r:. Escríbese r en paramétricas: (,, ) (,, 0) + λ(,, ) ( + λ, + λ, λ). Interesa atopar un punto de r, chámaselle R( + λ, + λ, λ), de modo que PR ( + λ, + λ +, λ ) (λ, λ +, λ ) sea perpendicular ao ector director de r, (,, ). Se PR 0, entonces terase: (λ, λ +, λ ) (,, ) λ + λ + + λ 0 λ 9 Áchanse as coordenadas de R: 6 7,,,, A recta que pasa por P e R é a recta pedida: 6 8 (,, ) (,, ) + λ,, Outro modo de resolelo é atopar un plano que pasa por P e sea perpendicular a r. A intersección deste plano coa recta r dá o punto R, e a recta pedida é a que une P e R. Recta que é paralela a outra e corta a outras dúas Ás eces dise simplemente, achar a recta que é paralela a un ector e corta a outras dúas. Achar a ecuación da recta que corta ás rectas r: e s: paralela ao ector u (,, ). 0 e é 8

19 A recta r pasa por A(, 0, 0) e ten ector director (,, ), e s pode escribirse en paramétricas despeando e igualando a μ: s:, é dicir, pasa por B(0,, ) e ten ector director (,, 0) Un punto enérico de r é R( + λ, λ, λ) e un punto enérico de s é S(μ, + μ, ). O ector RS (μ λ, + μ λ, λ) é paralelo a u (,, ). Logo (μ λ, + μ λ, λ) α(,, ). A igualdade anterior conduce ao sistema: 0 cua solución é λ, μ, α 0 7 Polo tanto, R,, e S,, e a recta que pasa por R e S satisfai o que se pide: (,, ),, + λ,,. É eidente que o ector,, é paralelo a u (,, ). Hai outro modo de resolelo coa auda do feie de planos. Búscase entre os planos do feie de eie r aquel que sea paralelo a u. A intersección deste plano con s dá un punto dende o cal, e con ector director u, atópase a recta pedida. Recta que pasa por un punto e corta a outras dúas En ocasións este enunciado eprésase dicindo: achar a recta que pasa por un punto e apóiase noutras dúas. Achar as ecuacións paramétricas da recta que pasa polo punto P(,, ) e corta ás rectas r: e s:. Pásase r a continuas, igualando a primeira fracción á segunda e a segunda á terceira obtéñense as ecuacións de dous planos: + 0 e que conteñen a r. O feie de planos de eie r ten de ecuación: + + δ( + 5) 0. Búscase un no feie que pase por P(,, ): + + δ( + 5) 0 δ. Substituíndo δ no feie e operando, tense: + + ( + 5) 0. Obtense o plano: 0. O punto de corte deste plano coa outra recta s resulta de substituír as súas ecuacións paramétricas neste plano: μ ( μ) 0 μ μ. E agora poñendo μ descúbrense as coordenadas do punto de corte S(,, ). A recta pedida pasa por P e S e é: (,, ) (, + λ, ). 9

20 O plano que contén a P e a r pódese achar, sen recurrir ao feie de planos, directamente; e é máis sinelo. Tamén é posible resoler o problema achando os planos. Un que contén a P e a r e outro, a P e a s. A intersección deses dous planos dá a ecuación da recta pedida. 0