Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 1 ELECTROMAGNETISMO

Transcrição

1 Física P.A.U. ELECTOMAGNETISMO 1 ELECTOMAGNETISMO INTODUCIÓN MÉTODO 1. En xeral: a) Debúxanse as forzas ou vectores intensidade de campo que actúan sobre o sistema. b) Calcúlase cada forza ou vector intensidade de campo. c) Calcúlase a resultante polo principio de superposición. d) Aplícase a 2ª lei de Newton (lei Fundamental da Dinámica) F = m a e) No caso de campos conservativos (campo electrostático) (e.1) Calcúlanse os potenciais nos puntos de orixe A e destino. (e.2) Calcúlase o traballo das forzas do campo W A = - (E E A ) = E A E = q (V A V ) (e.3) Se non hai variación de enerxía cinética o traballo necesario dunha forza exterior é: W(exterior) = -W(campo) 2. Nos problemas de campo electrostático de cargas puntuais ou esféricas: a) Cálculo do vector intensidade de campo electrostático nun punto creado por unha soa carga: A intensidade do campo electrostático E creado por unha carga puntual Q nun punto situado a unha distancia r é igual á forza eléctrica F E que exercería a carga Q sobre a unidade de carga positiva situada nese punto. E = F E / q Sendo q a carga de proba situada no punto. Se substituímos F E pola expresión da lei de Coulomb, queda: (a.1) (a.2) E = K Q q F E q = r 2 q u r = E =K Q r u 2 r Determínase a distancia r entre a carga Q (situada no punto 1) que crea o campo e o punto 2. Se os datos son as coordenadas (x₁, e₁) e (x₂, e₂) dos puntos, a distancia r₁₂ entre eles é: r 12 = r 12 = (x 2 x 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2 Se trátase de puntos nun triángulo, a altura h calcúlase: h = L sen α E se o triángulo é equilátero, a distancia d desde o punto medio O a un vértice A pódese calcular como d = L /2 cos 30 Determínase o vector unitario a partir do vector de posición do punto 2 respecto ao punto 1 onde se atopa a carga Q que crea o campo. Se os datos son as coordenadas dos puntos, o vector de posición r₁₂ é: O vector unitario será: r 12 =Δ r = r 2 r 1 =(x 2 x 1 ) i +(y 2 y 1 ) j A L α L d 30 L / 2 h h O

2 Física P.A.U. ELECTOMAGNETISMO 2 (a.3) u r = Δ r Δ r En caso de coñecer o ángulo α que forma o vector r₁₂ co eixe X horizontal, o vector unitario calcúlase coa expresión: u = cos α i + sen α j Calcúlase o vector intensidade de campo coa ecuación: E =K Q r 2 u r (a.4) Sen esquecer escribir as unidades (N/C) no resultado. Calcúlase o módulo do vector intensidade de campo sen esquecer escribir as unidades. b) Cálculo do vector intensidade de campo electrostático nun punto creado por varias cargas: A intensidade de campo electrostático nun punto debido a varias cargas puntuais é a suma vectorial das intensidades de campo electrostático creadas por cada carga coma se as outras non estivesen. (b.1) (b.2) (b.3) (b.4) (b.5) Debúxanse os vectores forza ou intensidade de campo electrostático producidos no punto por cada unha das cargas, e debúxase tamén o vector forza ou campo resultante, que é a suma vectorial deles (principio de superposición). Calcúlanse cada un dos vectores forza ou intensidade de campo creados polas cargas, do mesmo xeito que se indicou no apartado anterior, aínda que ás veces non é necesario repetir cálculos porque se poden deducir os resultados a partir do primeiro, á vista da simetría da situación. Calcúlase o vector forza ou intensidade de campo electrostático resultante no punto como a suma vectorial das forzas ou intensidades de campo electrostático producidas por cada carga, aplicando o principio de superposición. Analízase o resultado comparándoo co esbozo debuxado. Calcúlase o módulo do vector forza ou intensidade de campo resultante sen esquecer escribir as unidades. c) Cálculo do vector forza electrostática sobre unha carga q nun punto creado por varias cargas: A forza electrostática F E entre dúas cargas, Q e q, puntuais ou esféricas (condutoras ocas ou macizas, ou illantes cunha distribución homoxénea de carga) separadas unha distancia r réxese pola lei de Coulomb: F =K Q q r 2 ealízase de forma análoga á do campo electrostático, usando a expresión da forza no canto da intensidade de campo, e tendo en conta que as unidades son newtons (N). d) Cálculo do traballo necesario para desprazar unha carga q entre dous puntos. Supoñendo que a carga parte do repouso e que chega a con velocidade nula, o traballo da forza resultante é nulo, e o traballo da forza exterior será igual e de signo contrario ao traballo das forzas do campo: u r W' = - W A O traballo que fan as forzas do campo conservativo é igual ao valor da carga q que se despraza pola diferenza de potencial entre os puntos de partida A e chegada : W A = - (E E A ) = E A E = q (V A V ) O potencial electrostático nun punto situado a unha distancia r dunha carga puntual Q é o traballo que fai a forza electrostática cando a unidade de carga positiva trasládase desde a súa posición ata o infinito:

3 Física P.A.U. ELECTOMAGNETISMO 3 V = W r q = r F E q d r = r K Q r u d r = 2 r r K Q r [ dr = K Q =K Q 2 r ]r r O potencial electrostático nun punto debido a varias cargas puntuais é a suma dos potenciais electrostáticos creados por cada carga coma se as outras non estivesen. (d.1) (d.2) V = V Para o punto de partida calcúlanse as distancias entre o punto no que hai que calcular o potencial e os puntos nos que se atopan as cargas, se non se calcularon antes. Calcúlase o potencial no punto producido por cada carga Q, coa ecuación: V =K Q r (d.3) (d.4) (d.5) (d.6) Súmanse os potenciais producidos por cada carga nese punto. epítese o proceso para o punto de chegada. Calcúlase o traballo das forzas do campo. W A = q (V A V ) E explícase que o traballo das forzas exteriores é de signo contrario. 3. Nos problemas de campo magnético creado por correntes rectilíneas. Lei de iot e Savart: O campo magnético creado a unha distancia r por un condutor rectilíneo polo que circula unha intensidade de corrente I vale = μ 0 I e é circular arredor do fío. O sentido do 2 π r campo magnético é o de peche da man dereita cando o polgar apunta no sentido da corrente. a) Cálculo do vector intensidade de campo magnético nun punto creado por varias correntes rectilíneas: A intensidade de campo magnético nun punto debido a varias intensidades de corrente eléctrica é a suma vectorial das intensidades de campo magnético creadas por cada corrente coma se as outras non estivesen. (a.1) Debúxanse os vectores intensidade de campo magnético producidos no punto por cada unha da correntes, e debúxase tamén o vector campo resultante, que é a suma vectorial deles (principio de superposición). (a.2) Calcúlanse cada un dos vectores intensidade de campo magnético creados pola correntes usando a lei de iot e Savart: = μ 0 I, aínda que ás veces non é necesario repetir cálculos 2 π r porque se poden deducir os resultados a partir do primeiro, á vista da simetría da situación. (a.3) Calcúlase o vector intensidade de campo magnético resultante no punto como a suma vectorial das intensidades de campo magnético producidas por cada corrente, aplicando o principio de superposición. (a.4) (a.5) Analízase o resultado comparándoo co esbozo debuxado. Calcúlase o módulo do vector forza ou intensidade de campo resultante sen esquecer escribir as unidades. b) Cálculo da forza magnética sobre un condutor exercida por unha ou varias correntes rectilíneas: Lei de Laplace: A forza magnética que exerce un campo magnético sobre un tramo l de condutor rectilíneo polo que circula unha intensidade de corrente I é: F = I (l ) (b.1) (b.2) Calcúlase a intensidade do campo magnético resultante sobre o fío como se indica no apartado anterior. Aplícase a lei de Laplace para calcular a forza magnética. 4. Nos problemas de movemento de cargas nun campo magnético constante. Lei de Lorentz F = q (v ) A forza magnética é perpendicular á velocidade, polo que non realiza traballo. A aceleración só ten compoñente normal a N = v² /. Como non hai aceleración tanxencial, o módulo da velocidade é cons-

4 Física P.A.U. ELECTOMAGNETISMO 4 tante. Como q, v e son constantes, tamén o será a aceleración normal e o raio de curvatura, polo que a traxectoria será circular se a partícula entra perpendicularmente ao campo. a) Se só actúa a forza magnética, F, ao aplicar a 2ª lei de Newton queda F = q v senφ =m a=m a N =m v 2 Se a dirección da velocidade é perpendicular ao campo magnético, q v =m v 2 m v = q b) Para calcular o período T úsase a expresión do movemento circular uniforme: v = 2π T Para a frecuencia f, a inversa do período T: f = 1 /T c) Se hai un campo electrostático que anule a desviación producida polo campo magnético: (c.1) Faise un debuxo para determinar a dirección e sentido da forza magnética. A dirección do campo magnético tómase perpendicular ao papel usando unha cruz se o campo entra no papel ou un punto se sae. A dirección da forza eléctrica é a mesma e o sentido, oposto. O sentido do campo eléctrico depende da carga. (c.2) Aplícase a lei de Lorentz: F + F E = q (v ) + q E = 0 ECOMENDACIÓNS 1. Farase unha lista cos datos, pasándoos ao Sistema Internacional se non o estivesen. 2. Farase outra lista coas incógnitas. 3. Debuxarase un esbozo da situación, procurando que as distancias do esbozo sexan coherentes con ela. Deberase incluír cada unha das forzas ou das intensidades de campo, e a súa resultante. 4. Farase unha lista das ecuacións que conteñan as incógnitas e algún dos datos, mencionando á lei ou principio ao que se refiren. 5. En caso de ter algunha referencia, ao terminar os cálculos farase unha análise do resultado para ver se é o esperado. En particular, comprobar que os vectores campo electrostático teñen a dirección e o sentido acorde co esbozo. 6. En moitos problemas as cifras significativas dos datos son incoherentes. esolverase o problema supoñendo que os datos que aparecen cunha ou dúas cifras significativas teñen a mesma precisión que o resto dos datos (polo xeral tres cifras significativas), e ao final farase un comentario sobre o as cifras significativas do resultado. ACLAACIÓNS Os datos dos enunciados dos problemas non adoitan ter un número adecuado de cifras significativas, ben porque o redactor pensa que a Física é unha rama das Matemáticas e os números enteiros son números «exactos» (p. ex. a velocidade da luz: 3 10⁸ m/s cre que é , m/s) ou porque aínda non se decatou de que se pode usar calculadora no exame e parécelle máis sinxelo usar 3 10⁸ que m/s). Por iso supuxen que os datos teñen un número de cifras significativas razoables, case sempre tres cifras significativas. Menos cifras darían resultados, en certos casos, cunha incerteza desmedida. Así que cando tomo un dato como c = 3 10⁸ m/s e reescríboo como: Cifras significativas: 3

5 Física P.A.U. ELECTOMAGNETISMO 5 c = 3,00 10⁸ m/s O que quero indicar é que supoño que o dato orixinal ten tres cifras significativas (non que as teña en realidade) para poder realizar os cálculos cunha incerteza máis pequena que a que tería nese caso. (3 10⁸ m/s ten unha soa cifra significativa, e unha incerteza relativa do 30 %. Como as incertezas adóitanse acumular ao longo do cálculo, a incerteza final sería inadmisible. Entón, para que realizar os cálculos? Cunha estimación sería suficiente). POLEMAS CAMPO ELECTOSTÁTICO 1. Dúas cargas eléctricas de 3 mc están situadas en A(4, 0) e (-4, 0) (en metros). Calcula: a) O campo eléctrico en C(0, 5) e en D(0, 0). b) O potencial eléctrico nos mesmos puntos C e D. c) O traballo para trasladar q' = -1 mc desde C a D. Datos: K = 9 10⁹ N m² C ²; 1 mc = 10 ³ C (P.A.U. Xuño 09) ta.: a) E C = 1,03 10⁶ j N/C; E D = 0; b) V C = 8,43 10⁶ V; V D = 1,35 10⁷ V c) W(ext.) = -5,1 10³ J Datos Cifras signiffativas: 3 Posición da carga Q₁ r A = (4,00, 0) m Posición da carga Q₂ r = (-4,00, 0) m Posición do punto C r C = (0, 5,00) m Posición do punto D r D = (0, 0) m Valor da carga situada no punto A Q₁ = 3,00 mc = 3,00 10 ³ C Valor da carga situada no punto Q₂ = 3,00 mc = 3,00 10 ³ C Valor da carga que se traslada q = -1,00 mc = -1,00 10 ³ C Constante eléctrica K = 9,00 10⁹ N m² C ² Infógnitas Intensidade do campo electrostático nos puntos C e D E C, E D Potencial electrostático nos puntos C e D V C, V D Traballo para trasladar unha carga de -1 mc desde C a D W C D Outros símbolos Distancia entre dous puntos A e r A Efuafións Intensidade do campo electrostático nun punto creado por unha carga puntual Q situada a unha distancia r E=K Q r u 2 r Principio de superposición E A = E A i Potencial electrostático nun punto creado por unha carga puntual Q situada V =K Q a unha distancia r r Potencial electrostático nun punto debido a varias cargas V = V Traballo que fai a forza do campo cando se move unha carga q desde un punto A até outro punto W A = q (V A V ) Solufión: a) Faise un debuxo cos vectores intensidade de campo electrostático creado por cada carga e a suma vectorial, que é o vector campo E resultante. Para o punto C(0, 5): As distancias entre os puntos AC e C son as mesmas: r AC =r C = r C r A = (0 [ m] ( 4,00 [ m])) 2 +(5,00 [ m] 0 [m ]) 2 =6,40 m A intensidade de campo electrostático no punto C, debida á carga de 3 mc situada no punto A, é: E A C r C E C C E C E A D E D D A

6 Física P.A.U. ELECTOMAGNETISMO 6 A intensidade de campo electrostático no punto C(0, 5) debida á carga de 3 mc situada no punto é simétrica á do punto A: E C = (4,11 10⁵ i + 5,14 10⁵ j) N/C Polo principio de superposición, a intensidade de campo electrostático resultante no punto C(0, 5) é a suma vectorial das intensidades de campo de cada carga: E C = E A C + E C = (-4,11 10⁵ i + 5,14 10⁵ j) [N/C] + (4,11 10⁵ i + 5,14 10⁵ j) [N/C] = 1,03 10⁶ j N/C Análise: A dirección do campo resultante é vertical cara arriba, como se ve no debuxo. Para o punto D(0, 0): Como as distancias AD e D son as mesmas e as cargas situadas en A e en son iguais, os vectores intensidade de campo electrostático creados polas cargas en A e en son opostos (mesmo valor e dirección pero sentido contrario como se ve no debuxo) polo que a súa resultante é nula. E D = 0 b) Os potenciais no punto C(0, 5) debidos a cada carga son iguais e valen: V C =V A C =V 1 =9, [ N m 2 C 2 ] 3, [C] =4, V (6,40 [ m]) O potencial electrostático dun punto debido á presenza de varias cargas, é a suma alxébrica dos potenciais debidos a cada carga. Analogamente para o punto D(0, 0) V C = V A C + V C = 2 V₁ = 2 4,22 10⁶ [V] = 8,43 10⁶ V V D =V A D =V 2 =9, [ N m 2 C 2 ] 3, [C] =6, V (4,00 [m]) V D = V A D + V D = 2 V₂ = 2 6,75 10⁶ [V] = 13,5 10⁶ V c) O traballo que fai a forza do campo é W C D = q (V C V D ) = -1,00 10 ³ [C] (8,43 10⁶ 13,5 10⁶) [V] = 5,1 10³ J Supoñendo que salga e chegue con velocidade nula, o traballo que hai que facer é: W(exterior) = -W(campo) = -5,1 10³ J 2. Tres cargas de +3 μc están situadas equidistantes entre se sobre unha circunferencia de raio 2 m. Calcula: a) O potencial eléctrico no centro da circunferencia. b) O vector campo eléctrico no mesmo punto. c) O traballo para traer unha carga q' = 1 μc desde o infinito ao centro da circunferencia. Dato: K = 9 10⁹ N m² C ² (P.A.U. Xuño 12) ta.: a) V = 4,05 10⁴ V; b) E O = 0; c) W(ext.) = 4,05 10 ² J Datos Cifras signiffativas: 3 Valor de cada carga Q = 3,00 μc = 3,00 10 ⁶ C adio da circunferencia = 2,00 m Valor da carga que se traslada q = -1,00 μc = 1,00 10 ⁶ C Constante eléctrica K = 9,00 10⁹ N m² C ² Infógnitas Potencial electrostático no centro da circunferencia V O Intensidade do campo electrostático no centro da circunferencia E O Traballo para trasladar unha carga de 1 μc desde o infnito ao centro W O Outros símbolos

7 Física P.A.U. ELECTOMAGNETISMO 7 Datos Cifras signiffativas: 3 Distancia entre dous puntos A e r A Efuafións Lei de Coulomb (aplicada a dúas cargas puntuais separadas unha distancia r) E =K Q r u 2 r Principio de superposición Potencial electrostático nun punto creado por unha carga puntual Q situada a unha distancia r Potencial electrostático de varias cargas Traballo que fai a forza do campo cando se move unha carga q desde un punto A ata outro punto F A = F A i V =K Q r V = V W A = q (V A V ) Solufión: a) Os potenciais no centro O da circunferencia debidos a cada carga son iguais porque tanto as cargas como as distancias ao centro son iguais. Valen: V C O =V O =V A O =V =9, [N m 2 C 2 ] 3, [ C] =1, V (2,00 [m]) O potencial electrostático dun punto debido á presenza de varias cargas, é a suma alxébrica dos potenciais debidos a cada carga. V O = V A O + V O + V C O = 3 V = 3 1,35 10⁴ [V] = 4,05 10⁴ V b) Faise un debuxo cos vectores intensidade de campo electrostático creado por cada carga e a suma vectorial que é o vector campo E resultante. Ao ser iguais as tres cargas e estar á mesma distancia do centro da circunferencia, os tres vectores intensidade de campo electrostático son simétricos e a súa resultante é nula: E O = 0 C Se queres realizar os cálculos: A intensidade de campo electrostático no centro O da circunferencia, debida á carga de 3 μc situada no punto A é: E A O =9, [ N m 2 C 2 ] 3, [C] (2,00 [m]) 2 ( i )= 6, i N/C A intensidade de campo electrostático no centro O da circunferencia, debida á carga de 3 μc situada no punto é: E O =9, [ N m 2 C 2 ] 3, [C] (2,00 [ m]) 2 (cos( 60 ) i +sen( 60 ) j)=(3, i 5, j) N/C Por simetría, a intensidade de campo electrostático no centro O da circunferencia, debida á carga de 3 μc situada no punto C é: E C O = 3,38 10³ i + 5,85 10³ j N/C Polo principio de superposición, a intensidade de campo electrostático resultante no punto O é a suma vectorial das intensidades de campo de cada carga: E O = E A O + E O + E C O = (-6,75 10³ i) + (3,38 10³ i 5,85 10³ j) + (3,38 10³ i + 5,85 10³ j) = 0 i + 0 j A c) O traballo que fai a forza do campo é W O = q (V V O ) = 1,00 10 ⁶ [C] (0 4,05 10⁴) [V] = -4,05 10 ² J Supoñendo que salga e chegue con velocidade nula, o traballo que hai que facer é: W(exterior) = -W(campo) = 4,05 10 ² J

8 Física P.A.U. ELECTOMAGNETISMO 8 3. Tres cargas eléctricas puntuais de 10 ⁶ C atópanse situadas nos vértices dun cadrado de 1 m de lado. Calcula: a) A intensidade do campo e o potencial electrostático no vértice libre. b) Módulo, dirección e sentido da forza do campo electrostático sobre unha carga de ⁶ C situada no devandito vértice. c) O traballo realizado pola forza do campo para trasladar a devandita caga desde o vértice ao centro do cadrado. Interpreta o signo do resultado. Dato: K = 9 10⁹ N m² C ² (P.A.U. Set. 13) ta.: a) E = 1,72 10⁴ N/C, diagonal cara a fóra; V = 2,44 10⁴ V; b) F = 0,03 4 N, diagonal cara ao centro; c) W E = 0,02746 J Datos Cifras signiffativas: 3 Lado do cadrado l = 1,00 m Valor da carga situada no punto A(0, 0) m Q A = 1,00 10 ⁶ C Valor da carga situada no punto (1,00, 0) m Q = 1,00 10 ⁶ C Valor da carga situada no punto C(0, 1,00) m Q C = 1,00 10 ⁶ C Valor da carga situada no punto D(1,00, 1,00) m Q D = -2,00 10 ⁶ C Constante eléctrica K = 9,00 10⁹ N m² C ² Infógnitas Intensidade do campo electrostático no punto D E D Potencial electrostático no punto D V D Traballo do campo ao levar a carga desde D ao centro do cadrado G W D G Outros símbolos Distancia entre dous puntos A e r A Efuafións Intensidade do campo electrostático nun punto creado por unha carga puntual Q situada a unha distancia r E=K Q r u 2 r Principio de superposición E A = E A i Potencial electrostático nun punto creado por unha carga puntual Q situada V =K Q a unha distancia r r Potencial electrostático nun punto debido a varias cargas V = V Traballo que fai a forza do campo cando se move unha carga q desde un punto A até outro punto W A = q (V A V ) Solufión: a) Faise un debuxo das cargas e de cada un dos vectores campo e da suma vectorial que é o vector campo E resultante. As distancias D e CD valen a lonxitude do lado: r D = r CD = l = 1,00 m A distancia AD é a lonxitude da diagonal do cadrado r AD = r AD = (1,00 [ m]) 2 +(1,00 [m]) 2 =1,41 m Elíxese un sistema de referencia coa orixe en cada carga, tomando o eixe X horizontal, positivo cara á dereita e o eixe Y vertical, positivo cara arriba. O vector unitario u CD do punto D tomando como orixe o punto C é o vector i unitario do eixe X. A O vector unitario u D do punto D tomando como orixe o punto é o vector j unitario do eixe Y. O vector unitario u AD do punto D tomando como orixe o punto A é: u AD = r AD r AD =(1,00 i +1,00 j) [ m] =0,707 i +0,707 j 1,41 [ m] C E D D E A D E D E C D

9 Física P.A.U. ELECTOMAGNETISMO 9 A intensidade de campo electrostático no punto D, debida á carga de 1 µc situada no punto A é: E A D =9, [ N m 2 C 2 ] 1, [ C] (1,41 [ m]) 2 (0,707 i +0,707 j)=(3, i +3, j) N / C A intensidade de campo electrostático no punto D, debida á carga de 1 µc situada no punto é: E D =9, [ N m 2 C 2 ] 1, [C] (1,00 [ m]) 2 j=9, j N/C Por analoxía, a intensidade de campo electrostático no punto D, debida á carga de 1 µc situada no punto C é: Aplicando o principio de superposición, E C D = 9,00 10³ i N/C E D = E D = E A D + E D + E C D E D = (3,18 10³ i + 3,18 10³ j) [N/C] + (9,00 10³ j) [N/C] + (9,00 10³ i) [N/C] = (1,22 10⁴ i + 1,22 10⁴ j) N/C Análise: O vector intensidade de campo eléctrico resultado do cálculo é diagonal cara arriba e cara á dereita, coherente co debuxo que se fxo. O valor do campo é: E D = (1, [ N/C]) 2 +(1, [N/ C]) 2 =1, N/ C Xeneralizando o resultado para calquera sistema de referencia, E D = 1,72 10⁴ N/C. O campo vai na dirección da diagonal, cara a fóra. Os potenciais electrostáticos no punto D debidos ás cargas en C e son iguais e valen: V D =V C D =9, [ N m 2 C 2 ] 1, [C] =9, V (1,00 [ m]) O potencial electrostático no punto D debido á carga en A vale: V A D =9, [ N m 2 C 2 ] 1, [C] =6, V (1,41 [ m]) O potencial electrostático nun punto debido á presenza de varias cargas, é a suma alxébrica dos potenciais debidos a cada carga. V D = V A D + V D + V C D = 6,36 10³ [V] + 2 9,00 10³ [V] = 2,44 10⁴ V b) Como a intensidade do campo electrostático nun punto é a forza sobre a unidade de carga positiva colocada nese punto, podemos calcular a forza electrostática sobre a carga de -2 µc a partir do vector intensidade de campo electrostático: F = q E = -2,00 10 ⁶ [C] (1,22 10⁴ i + 1,22 10⁴ j) [N/C] = (-2,44 10 ² i 2,44 10 ² j) N Xeneralizando o resultado para calquera sistema de referencia, F = q E = 2,00 10 ⁶ [C] 1,72 10⁴ [N/C] = 3,44 10 ² N. A forza vai na dirección da diagonal, cara ao centro do cadrado, porque a carga é negativa. c) O traballo que fai a forza do campo cando se traslada a carga q = -2 µc desde o vértice D ao centro G do cadrado é W D G = q (V D V G ) Falta calcular o potencial electrostático no punto G situado no centro do cadrado de forma análoga a como se fxo antes. A distancia de cada vértice ao centro do cadrado é a metade da diagonal: r AG = r G = r CG = 1,41 [m] / 2 = 0,707 m Os potenciais electrostáticos no punto G debidos ás cargas en A, e C son iguais e valen:

10 Física P.A.U. ELECTOMAGNETISMO 10 V A G =V G =V C G =V =9, [N m 2 C 2 ] 1, [ C] (0,707 [ m]) =1, V O potencial electrostático en G é a suma alxébrica dos potenciais debidos a cada carga. O traballo da forza do campo é V G = V A G + V G + V C G = 3 V = 3 1,27 10⁴ [V] = 3,82 10⁴ V W E = W D G = q (V D V G ) = -2,00 10 ⁶ [C] (2,44 10⁴ 3,82 10⁴) [V] = 2,76 10 ² J O traballo é positivo porque o sentido da forza (cara ao centro do cadrado) e o do desprazamento son iguais. 4. Tres cargas de -2, 1 e 1 µc están situadas nos vértices dun triángulo equilátero e distan 1 m do centro do mesmo. a) Calcula o traballo necesario para levar outra carga de 1 µc desde o infinito ao centro do triángulo. b) Qe forza sufrirá a carga unha vez que estea situada no centro do triángulo? c) azoa se nalgún punto dos lados do triángulo pode existir un campo electrostático nulo. Dato: K = 9 10⁹ N m² C ² (P.A.U. Xuño 16) ta.: a) W = 0; b) F = 0,02740 N cara á carga negativa Datos Cifras signiffativas: 3 Valor da carga situada no punto A Q₁ = -2,00 µc = -2,00 10 ⁶ C Valor da carga situada no punto Q₂ = 1,00 µc = 1,00 10 ⁶ C Valor da carga situada no punto C Q₃ = 1,00 µc = 1,00 10 ⁶ C Distancia das cargas ao centro do triángulo r = 1,00 m Valor da carga que se traslada q = 1,00 µc = 1,00 10 ⁶ C Constante eléctrica K = 9,00 10⁹ N m² C ² Infógnitas Traballo para levar unha carga de 1 µc do infnito ao centro do triángulo. W O Forza sobre a carga no centro do triángulo F Outros símbolos Distancia entre dous puntos A e r A Efuafións Lei de Coulomb (aplicada a dúas cargas puntuais separadas unha distancia r) E =K Q r 2 u r Principio de superposición Potencial electrostático nun punto creado por unha carga puntual Q situada a unha distancia r Potencial electrostático de varias cargas Traballo que fai a forza do campo cando se move unha carga q desde un punto A ata outro punto F A = F A i V =K Q r V = V W A = q (V A V ) Solufión: a) O traballo W da forza do campo cando se leva unha carga q desde o infnito ata o centro O do triángulo é: W O = q (V V O ) Para calcular o potencial electrostático no centro O do triángulo, calcúlanse cada un dos potenciais creados nese punto por cada carga situada nos vértices e de seguido súmanse. A ecuación do potencial V electrostático nun punto creado por unha carga puntual Q situada a unha distancia r é: V =K Q r O potencial electrostático no centro O do triángulo debido a a carga de -2 µc situada no punto A a 1 m de distancia vale:

11 Física P.A.U. ELECTOMAGNETISMO 11 V A O =9, [ N m 2 C 2 ] 2, [C] = 1, V (1,00 [m]) Os potenciais electrostáticos no centro O do triángulo debidos ás cargas de 1 µc situadas nos puntos e C son iguais porque tanto as cargas como as distancias ao centro son iguais. Valen: V O =V C O =9, [ N m 2 C 2 ] 1, [ C] =9, V (1,00 [ m]) O potencial electrostático dun punto debido á presenza de varias cargas é a suma alxébrica dos potenciais debidos a cada carga. V O = V A O + V O + V C O = -1,80 10⁴ [V] + 9,00 10³ [V] + 9,00 10³ [V] = 0 O potencial electrostático no infnito é nulo por defnición. O traballo que fai a forza do campo cando se leva unha carga de 1µC desde o infnito ata o centro O do triángulo é: W O = q (V V O ) = 1,00 10 ⁶ [C] (0 0) [V] = 0 Supoñendo que a carga salga e chegue con velocidade nula, o traballo que hai que facer é: W(exterior) = -W(campo) = 0 b) Faise un esquema no que se debuxan os vectores forza electrostática exercida sobre a carga que está no centro. Debúxase un vector por cada carga, tendo en conta o sentido. As forzas exercida polas cargas nos puntos e C son de repulsión (porque as cargas son do mesmo signo) pero a forza realizada pola carga en A é de atracción e vale o dobre que unha das outras. Debúxase o vector suma vectorial que é o vector forza F resultante. C Como os vectores forza creados polas cargas en e C son do mesmo valor, as súas compoñentes verticais anúlanse e a resultante estará dirixida cara ao vértice A. Calcúlanse cada unha das forzas entre as cargas situadas nos O -60 vértices e a carga situada no centro coa lei de Coulomb. F =K Q q u r 2 r A forza electrostática sobre a carga de 1 μc situada no centro O do triángulo, debida á carga de- 2 μc situada no punto A é: F A O =9, [ N m 2 C 2 ] 2, [C] 1, [C] (1,00 [ m]) 2 ( i )=0,01840 i N (O vector unitario u é un vector cuxa dirección é a da liña A O e o sentido é desde a carga que exerce a forza (A) cara a carga que a sofre (O): neste caso é o vector unitario horizontal en sentido negativo i) A forza electrostática sobre a carga de 1 μc situada no centro O do triángulo, debida á carga de 1 μc situada no punto é: F O =9, [ N m 2 C 2 ] 1, [ C] 1, [C] (1,00 [m]) 2 (cos( 60 ) i +sen ( 60 ) j)=(4, i 7, j) N (Cando se coñece o ángulo α que forma o vector u co eixe X horizontal, o vector unitario calcúlase coa expresión: u = cos α i + sen α j) A forza electrostática sobre a carga de 1 μc situada no centro O do triángulo, debida á carga de 1 μc situada no punto C é simétrica á exercida pola carga que se atopa no punto : F C O = 4,50 10 ³ i + 7,79 10 ³ j N (O vector ten a mesma compoñente horizontal, e a compoñente vertical é do mesmo valor pero de signo contrario). C A O A

12 Física P.A.U. ELECTOMAGNETISMO 12 Polo principio de superposición, a forza electrostática resultante sobre a carga de 1 μc situada no centro O do triángulo é a suma vectorial das forzas exercidas por cada carga: F = F A O + F O + F C O = (18,0 10 ³ i) + (4,5 10 ³ i 7,8 10 ³ j) + (4,5 10 ³ i + 7,8 10 ³ j) = 0,02740 i N Análise: Coincide co debuxo pois as compoñentes verticais anúlanse e só queda a compoñente horizontal en sentido positivo. c) Non. En ningún punto dos lados do triángulo pode existir un campo electrostático nulo. No centro do lado C anúlanse as forzas debidas ás cargas situadas nos vértices e C, pero a forza da carga de -2 µc situada en A queda sen contrarrestar. Calquera outro punto dese lado estaría máis cerca dunha das cargas verticais, e nese caso, a compoñente vertical dunha delas sería maior que a ou- tra e non se anularían. Nos outros lados as forzas da carga situada en A e a do outro vértice sempre sumarían e tampouco se anularían. O debuxo representa forza no cen- O A tro do lado A. C 5. Dadas tres cargas puntuais q₁ = 10 ³ µc en (-8, 0) m, q₂ = 10 ³ µc en (8, 0) m e q₃ = 2 10 ³ µc en (0, 8) m. Calcula: a) O campo e o potencial eléctricos en (0, 0) b) A enerxía electrostática. c) Xustifica que o campo electrostático é conservativo. Datos: 1 µc = 10 ⁶ C; K = 9 10⁹ N m² C ² (P.A.U. Set. 07) ta.: a) E O = 0,282 i 0,282 j N/C; V O = 2,25 V; b) E = -5,63 10 ¹⁰ J Datos Cifras signiffativas: 3 Valor da carga situada no punto 1 q₁ = 10 ³ µc = 1,00 10 ⁹ C Valor da carga situada no punto 2 q₂ = -10 ³ µc = -1,00 10 ⁹ C Valor da carga situada no punto 3 q₃ = 2 10 ³ µc = 2,00 10 ⁹ C Posición do punto 1 r₁ = (-8,00, 0) m Posición do punto 2 r₂ = (+8,00, 0) m Posición do punto 3 r₃ = (0, 8,00) m Posición do punto 4 onde hai que calcular o campo e potencial r₄ = (0, 0) m Constante eléctrica K = 9,00 10⁹ N m² C ² Infógnitas Intensidade do campo electrostático no punto (0, 0) E₄ Potencial electrostático no punto (0, 0) V₄ Enerxía electrostática E Outros símbolos Distancia entre dous puntos A e r A Efuafións Intensidade do campo electrostático nun punto creado por unha carga puntual Q situada a unha distancia r E=K Q r u 2 r Principio de superposición E A = E A i Potencial electrostático nun punto creado por unha carga puntual Q situada V =K Q a unha distancia r r Potencial electrostático nun punto debido a varias cargas V = V Enerxía potencial electrostática dunha interacción entre dúas cargas Q e q E situadas a unha distancia r una da outra. p =q V =K Q q r Enerxía potencial electrostática dun conxunto de cargas E = E = ½ E Solufión: a) A intensidade de campo electrostático debida á carga de 1 no punto 4 é:

13 Física P.A.U. ELECTOMAGNETISMO 13 E 1 4 =9, [N m 2 C 2 ] 1, [C] (8,00 [m ]) 2 i =0,141 i N/C A intensidade de campo electrostático debida á carga 2 no punto 4 é a mesma, E₂ ₄ = 0,141 i N/C A intensidade de campo electrostático debida á carga 3 no punto 4 é: E 3 4 =9, [N m 2 C 2 ] 2, [C] (8,00 [m ]) 2 ( j)= 0,282 j N/ C A intensidade de campo electrostático no punto 4 é, polo principio de superposición: O seu módulo vale: Os potenciais no punto 4 debidos a cada carga valen: O potencial electrostático debido á carga 1: E₄ = E₁ ₄ + E₂ ₄ + E₃ ₄ = 0,282 i 0,282 j N/C E 4 = ((0,282 [N /C]) 2 +(0,282 [ N/ C]) 2 )=0,398 N / C V 1 4 =9, [N m 2 C 2 ] 1, [C] =1,13 V (8,00 [m ]) O potencial electrostático debido á carga 2 é oposto, xa que a carga 2 vale o mesmo que a carga 1 pero é negativa e atópase á mesma distancia: V₂ ₄ = -1,13 V O potencial electrostático debido á carga 3 é o dobre que o da carga 1, xa que a carga 3 vale o dobre e atópase á mesma distancia: O potencial electrostático do punto 4 é: V₃ ₄ = 2,25 V V₄ = V₁ ₄ + V₂ ₄ + V₃ ₄ = 1,13 V 1,13 V + 2,25 V = 2,25 V b) A enerxía potencial de cada interacción entre dúas cargas vén dada pola expresión: E p i =K Q q r A enerxía total electrostática é a suma das enerxías do tres interaccións: 1 2; 2 3 e 1 3. E 1 2 =9, [ N m 2 C 2 ] 1, [C] ( 1, ) [C] = 5, J 16,00 [m ] E 2 3 =9, [ N m 2 C 2 ] ( 1, ) [ C] 2, [ C] = 15, J (8,00 [m]) 2 +(8,00 [ m]) 2 E 1 3 =9, [ N m 2 C 2 ] 1, [C] 2, [C] =15, J (8,00 [ m]) 2 +(8,00 [m ]) 2 E = E₁ ₂ + E₂ ₃ + E₁ ₃ = -5,63 10 ¹⁰ J Análise: Se se calculase a enerxía total como a suma das enerxías potenciais do tres cargas, o resultado daría o dobre, porque estaríanse contando as interaccións dúas veces. Por exemplo a interacción 1 2 aparece no cálculo da enerxía potencial da carga 1 e tamén no cálculo da enerxía potencial da carga 2. c) O campo de forzas electrostático é conservativo porque o traballo que realizan as forzas do campo ao mover unha carga entre dous puntos é independente do camiño seguido e só depende dos puntos inicial e fnal. Neste caso pódese defnir unha función escalar chamada potencial V asociada ao campo de forzas vectorial de modo que o traballo entre eses puntos é igual a variación da enerxía potencial entre eses dous puntos. Como o potencial electrostático é igual á enerxía potencial da unidade de carga.

14 Física P.A.U. ELECTOMAGNETISMO 14 W A = E = q (V A V ) 6. En dous dos vértices dun triángulo equilátero de 2 cm de lado sitúanse dúas cargas puntuais de +10 µc cada unha. Calcula: a) O campo eléctrico no terceiro vértice. b) O traballo para levar unha carga de 5 µc desde o terceiro vértice ata o punto medio do lado oposto. c) Xustifica por que non necesitas coñecer a traxectoria no apartado anterior. Datos: K = 9 10⁹ N m² C ²; 1 µc = 10 ⁶ C (P.A.U. Xuño 08) ta.: a) E C = 3,90 10⁸ N/C, na bisectriz cara ao exterior; b) W(ext.) = 45,0 J Datos Cifras signiffativas: 3 Valor de cada carga fxa Q = 10,0 µc = 1,00 10 ⁵ C Lonxitude do lado do triángulo equilátero L = 2,00 cm = 0,02040 m Valor da carga que se despraza q = 5,00 µc = 5,00 10 ⁶ C Constante eléctrica K = 9,00 10⁹ N m² C ² Infógnitas Vector intensidade do campo eléctrico no terceiro vértice E C Traballo para levar 5 µc desde C o terceiro vértice ata o punto D medio do W C D lado oposto Outros símbolos Distancia entre dous puntos A e r A Efuafións Intensidade do campo electrostático nun punto creado por unha carga puntual Q situada a unha distancia r E=K Q r u 2 r Principio de superposición E A = E A i Potencial electrostático nun punto creado por unha carga puntual Q situada V =K Q a unha distancia r r Potencial electrostático nun punto debido a varias cargas V = V Traballo que fai a forza do campo cando se move unha carga q desde un punto A até outro punto W A = q (V A V ) Solufión: a) Sitúanse as cargas nos vértices A e do lado horizontal e faise un debuxo de cada un dos vectores intensidade de campo e da suma vectorial que é o vector campo resultante no punto C que é o outro vértice. O vector unitario do punto C, u AC respecto de A é: u AD =cos60º i +sen 60º j=0,500 i +0,866 j A intensidade de campo electrostático E CA no punto C debida á carga de 10 μc situada en A é: E CA =9, [ N m 2 C 2 ] 1, [ C] (0,02040 [ m]) 2 (0,500 i +0,866 j)= =(1, i +1, j) N/C Por simetría, a intensidade de campo electrostático E C en C debida á carga de 10 μc situada en é: E C = ( 1,13 10⁸ i + 1,95 10⁸) j N/C O campo resultante en C debido a ambas as cargas (principio de superposición) é: E C = ( 1,13 10⁸ i + 1,95 10⁸ j) [N/C] + (1,13 10⁸ i + 1,95 10⁸ j) [N/C] = 3,90 10⁸ j N/C Análise: O campo resultante do cálculo é vertical, coherente co debuxo que se fxo. A E C EC C D 2cm E CA Unha resposta xeral independente de como se elixiron os vértices sería: O campo eléctrico no terceiro vértice vale 3,90 10⁸ N/C e está dirixido segundo a bisectriz do ángulo cara ao exterior do triángulo.

15 Física P.A.U. ELECTOMAGNETISMO 15 b) Os potenciais no punto C debidos a cada carga valen: O potencial electrostático no punto C é: V CA =V C =9, [N m 2 C 2 ] 1, [C] (0,02040 [ m]) =4, V V C = V CA + V C = 2 4,50 10⁶ [V] = 9,00 10⁶ V Chamando punto D ao centro do lado A, os potenciais no punto D debidos a cada carga valen: O potencial electrostático no punto D é: V DA =V D =9, [ N m 2 C 2 ] 1, [C] (0,01040 [ m]) =9, V V D = V DA + V D = 2 9,00 10⁶ [V] = 1,80 10⁷ V O traballo realizado polas forzas do campo electrostático cando se move unha carga q = 5 µc desde o punto C ao D é a diminución da enerxía potencial entre os puntos C e D: W C D = q (V C V D ) = 5,00 10 ⁶ [C] (9,00 10⁶ 1,80 10⁷) [V] = 45,0 J O traballo necesario para mover unha carga q = 5 µc desde o punto C ao D, supoñendo que chegue a D coa mesma velocidade que tiña en C, é: W(exterior) = W(campo) = 45,0 J c) A forza electrostática é unha forza conservativa e o traballo que realiza é independente do camiño seguido para ir dun punto a outro. 7. Dúas cargas puntuais iguais q = 1 µc están situadas nos puntos A(5, 0) e (-5, 0). Calcula: a) O campo eléctrico nos puntos C(8, 0) e D (0, 4) b) A enerxía para trasladar unha carga de -1 µc desde C a D. Datos: 1 µc = 10 ⁶ C, K = 9 10⁹ N m² C ². As coordenadas en metros. (P.A.U. Set. 06) ta.: a) E C = 1,05 10³ i N/C; E D = 2,74 10² j N/C; b) ΔE = 8,81 10 ⁴ J Datos Cifras signiffativas: 3 Valor da carga situada no punto A Q A = 1,00 µc = 1,00 10 ⁶ C Valor da carga situada no punto Q = 1,00 µc = 1,00 10 ⁶ C Posición do punto A r A = (5,00, 0,00) m Posición do punto r = (-5,00, 0,00) m Posición do punto C r C = (8,00, 0,00) m Posición do punto D r D = (0,00, 4,00) m Constante eléctrica K = 9,00 10⁹ N m² C ² Infógnitas Vector intensidade do campo eléctrico nos puntos C e D E C, E D Enerxía para levar unha carga de -1 µc desde C ata D W C D Outros símbolos Distancia entre dous puntos A e r A Efuafións Intensidade do campo electrostático nun punto creado por unha carga puntual Q situada a unha distancia r E=K Q r u 2 r Principio de superposición E A = E A i Potencial electrostático nun punto creado por unha carga puntual Q situada V =K Q a unha distancia r r Potencial electrostático nun punto debido a varias cargas V = V Traballo que fai a forza do campo cando se move unha carga q desde un punto A até outro punto W A = q (V A V ) Enerxía potencial electrostática dunha carga q nun punto A E A = q V A

16 Física P.A.U. ELECTOMAGNETISMO 16 Solufión: a) Faise un debuxo das cargas e cada un dos vectores intensidade de campo e da suma vectorial que é o vector campo resultante en cada punto. Punto C E C E A C O A C E C Cálculo de distancias: r AC = (8,00, 00) [m] (5,00, 0,00) [m] = 3,00 m r C = (8,00, 00) [m] (-5,00, 0,00) [m] = 13,00 m A intensidade de campo electrostático no punto C debida á carga de 1 μc situada en A é: E A C = [N m 2 C 2 ] 1, [C] (3,00 [m ]) 2 i =1, i N/ C A intensidade de campo electrostático no punto C debida á carga de 1 μc situada en é: Aplicando o principio de superposición, Análise: O resultado é coherente co debuxo que se fxo. E C = [ N m 2 C 2 ] 1, [C] (13,0 [m]) 2 i =53,3 i N/ C E C = E = E A C + E C E C = 1,00 10³ i [N/C] + 53,3 i [N/C] = 1,05 10³ i N/C Punto D. Cálculo de distancias: E D E A D D E D r D O vector unitario do punto D, u AD respecto de A é: O r D =r AD = (5,00 [m]) 2 +(4,00 [ m]) 2 =6,40 m u AD = u AD = r AD r AD = ( 5,00 i +4,00 j) [ m] ( 5,00 [ m]) 2 +(4,00 [ m]) 2= 0,781 i +0,625 j A intensidade de campo electrostático no punto D debida á carga de 1 μc situada en A é: E A D =9, [ N m 2 C 2 ] 1, [ C] (6,40 [ m]) 2 ( 0,781 i +0,625 j)=( 1, i +1, j ) N/C Por simetría, a intensidade de campo electrostático no punto D debida á carga de 1 μc situada en é: E D = 1,71 10² i + 1,37 10² j N/C O campo resultante en D debido a ambas as cargas (principio de superposición) é: E D = ( 1,71 10² i + 1,37 10² j ) [N/C] + (1,71 10² i + 1,37 10² j ) [N/C] = 2,74 10² j N/C Análise: A forza resultante do cálculo é vertical, coherente co debuxo que se fxo. A

17 Física P.A.U. ELECTOMAGNETISMO 17 b) Os potenciais no punto C debidos a cada carga valen: O potencial electrostático do punto C é: V A C =9, [N m 2 C 2 ] 1, [C] =3, V (3,00 [m ]) V C =9, [ N m 2 C 2 ] 1, [C] (13,00 [m ]) =6, V V C = V A C + V C = 3,00 10³ [V] + 6,92 10² [V] = 3,69 10³ V Os potenciais no punto D debidos a cada carga valen: O potencial electrostático do punto D é: V A D =V D =9, [ N m 2 C 2 ] 1, [C] =1, V (6,40[m ]) V D = V A D + V D = 1,41 10³ [V] + 1,41 10³ [V] = 2,81 10³ V A enerxía que hai que comunicarlle a unha carga q = 1 µc para movela desde o punto C ao D é a variación de enerxía potencial desde o punto C ao D, supoñendo que chegue a D coa mesma velocidade que tiña en C. ΔE C D = q V D q V C = q (V D V C ) = 1,00 10 ⁶ [C] (2,81 10³ 3,69 10³) [V] = 8,81 10 ⁴ J 8. Tres cargas puntuais de 2 µc sitúanse respectivamente en A(0, 0), (1, 0) e C(1/2, 3/2). Calcula: a) O campo eléctrico nos puntos D(1/2, 0) e F(1/2, 1/(2 3)) b) O traballo para trasladar unha carga q'= 1 µc de D a F. c) Con este traballo, aumenta ou diminúe a enerxía electrostática do sistema? Datos: As coordenadas en metros, K = 9 10⁹ N m² C ²; 1 µc = 10 ⁶ C (P.A.U. Xuño 07) ta.: a) E D = -2,40 10⁴ j N/C; E F = 0; b) W D F (exterior) = W D F (campo) = 7 10 ⁴ J Datos Cifras signiffativas: 3 Valor da carga situada no punto A Q A = 2,00 µc = 2,00 10 ⁶ C Valor da carga situada no punto Q = 2,00 µc = 2,00 10 ⁶ C Valor da carga situada no punto C Q C = 2,00 µc = 2,00 10 ⁶ C Carga da partícula que se despraza q = 1,00 µc = 1,00 10 ⁶ C Posición do punto A r A = (0, 0) m Posición do punto r = (1,00, 0) m Posición do punto C r C = (1/2, 3/2) = (0,500, 0,866) m Posición do punto D r D = (0,500, 0) m Posición do punto F r F = (1/2, 1/(2 3)) = (0,500, 0,289) m Constante eléctrica K = 9,00 10⁹ N m² C ² Infógnitas Intensidade do campo electrostático no punto D E D Intensidade do campo electrostático no punto F E F Traballo para levar q desde D ata F W D F Outros símbolos Distancia entre dous puntos A e r A Efuafións Intensidade do campo electrostático nun punto creado por unha carga puntual Q situada a unha distancia r E=K Q r u 2 r Principio de superposición E A = E A i Potencial electrostático nun punto creado por unha carga puntual Q situada V =K Q a unha distancia r r Potencial electrostático nun punto debido a varias cargas V = V

18 Física P.A.U. ELECTOMAGNETISMO 18 Efuafións Traballo que fai a forza do campo cando se move unha carga q desde un punto A até outro punto W A = q (V A V ) Solufión: a) A intensidade de campo electrostático no punto D debida á carga situada no punto A é: E A D =9, [ N m 2 C 2 ] 2, [C] (0,500 [ m]) 2 i =7, i N/ C A intensidade de campo electrostático no punto D debida á carga situada no punto é oposta, E D = -7,20 10⁴ i N/C A intensidade de campo electrostático no punto D debida á carga situada no punto C é: E C D =9, [ N m 2 C 2 ] 2, [C] (0,866 [m]) 2 ( j)= 2, j N/C A intensidade de campo electrostático no punto D é, polo principio de superposición: E D = E A D + E D + E C D = -2,40 10⁴ j N/C As distancias dos puntos A, e C ao punto F valen todas o mesmo, Q A E D D Q C E A D E C D Q C Q r F =r AF = (0,500 [ m]) 2 +(0,289 [ m]) 2 =0,577 m r CF = (0,500 [ m] 0,500 [m]) 2 +(0,289 [ m] 0,866 [m]) 2 =0,577 m Os módulos dos vectores campo creados en F polas cargas (iguais) situadas nos puntos A, e C son iguais. Ao estar situados simetricamente, a súa resultante é nula. Q A E F F E A F E C F Q Por simetría E A F =9, [N m 2 C 2 ] 2, [C] (0,577 [ m]) 2 ( 0,500 i +0,289 j 0,577 ) =(4, i +2, i ) N/C E F = 4,68 10⁴ i + 2,70 10⁴ j N/C E C F =9, [N m 2 C 2 ] 2, [C] (0,577 [ m]) 2 ( j)= 5, j N/ C O campo resultante no punto F, polo principio de superposición é: E F = E A F + E F + E C F = (4,68 10⁴ i + 2,70 10⁴ j) + ( 4,68 10⁴ i + 2,70 10⁴ j) 5,40 10⁴ j = 0 b) Os potenciais no punto D debidos a cada carga valen: O potencial electrostático do punto D é: V A D =V D =9, [ N m 2 C 2 ] 2, [C] (0,500 [m]) =3, V V C D =9, [ N m 2 C 2 ] 2, [C] (0,866 [m]) =2, V V D = V A D + V D + V C D = 2 3,60 10⁴ [V] + 2,08 10⁴ [V] = 9,28 10⁴ V Os potenciais no punto F debidos a cada carga valen: V A F =V F =V C F =9, [ N m 2 C 2 ] 2, [C] (0,577 [m]) =3, V

19 Física P.A.U. ELECTOMAGNETISMO 19 O potencial electrostático do punto F é: O traballo que fai a forza do campo é V F = V A F + V F + V C F = 3 3,12 10⁴ [V] = 9,35 10⁴ V W D F = q (V D V F ) = 1,00 10 ⁶ [C] (9,28 10⁴ 9,35 10⁴) [V] = 7 10 ⁴ J Análise: Ao restar dous números tan próximos, pérdense cifras signifcativas. Supoñendo que salga e chegue con velocidade nula, o traballo que hai que facer é: W(exterior) = -W(campo) = 7 10 ⁴ J c) Nun campo conservativo, o traballo das forzas do campo é igual e de sentido contrario á variación da enerxía potencial. W A = E = q (V A V ) Como o traballo das forzas do campo electrostático é negativo, a enerxía potencial do sistema aumenta. 9. Unha carga q de 2 mc está fixa no punto A(0, 0), que é o centro dun triángulo equilátero de lado 3 3 m. Tres cargas iguais Q están nos vértices e a distancia de cada carga Q a A é 3 m. O conxunto está en equilibrio electrostático. Calcula: a) O valor de Q. b) A enerxía potencial de cada carga Q. c) A enerxía posta en xogo para que o triángulo rote 45 arredor dun eixe que pasa por A e é perpendicular ao plano do papel. K = 9 10⁹ N m² C ² (P.A.U. Xuño 11) ta.: a) Q = -3,46 mc; b) E = 2,07 10⁴ J; c) ΔE = 0 Datos Cifras signiffativas: 3 Valor da carga situada no punto A q = 2,00 mc = 0, C Lonxitude do lado do triángulo L = 3 3 m = 5,20 m Distancia do centro do triángulo a cada vértice d = 3,00 m Posición do punto A r A = (0, 0) m Ángulo xirado polo triángulo θ = 45 Constante eléctrica K = 9,00 10⁹ N m² C ² Infógnitas Valor da carga Q que se atopa en cada un dos vértices Q Enerxía potencial de cada carga Q E Enerxía necesaria para rotar o triángulo 45 arredor dun eixe perpendicular ΔE Outros símbolos Distancia entre dous puntos A e r A Efuafións Lei de Coulomb: forza entre dúas cargas puntuais Q e q a unha distancia r F =K Q q u r r 2 F A = F Ai Principio de superposición Enerxía potencial electrostática dun par de cargas puntuais Q e q a unha distancia r p =K Q q r E Enerxía potencial electrostática dunha carga puntual Q sometida á acción de varias cargas q a distancias r dela. pq = 1 K Q q i E 2 r i Traballo dunha forza F constante cando o seu punto de aplicación desprázase Δr W F = F Δr Solufión: a) Faise un debuxo das cargas e de cada un dos vectores forza electrostática de dous do tres cargas iguais Q e da carga central q sobre a terceira carga Q. FD D F CD C FAD A 3 3 m 3 m

20 Física P.A.U. ELECTOMAGNETISMO 20 A forza electrostática F AD da carga q situada no punto A sobre a carga Q no punto D é, en función da carga Q descoñecida: F A D =9, [ N m 2 C 2 0, [ C] Q ] j=2, Q j N (3,00 [ m]) 2 A forza electrostática F D que exerce a carga Q situada no punto sobre a carga Q no punto D é, en función da carga Q descoñecida: F D =9, [ N m 2 C 2 Q Q ] (5,20 [m]) (cos120º i +sen120º j)=( 167 i +289 j) 10 6 Q 2 [N] 2 Por simetría, a forza electrostática F C D que exerce a carga Q situada no punto C sobre a carga Q no punto D é, Aplicando o principio de superposición, F C D = (167 i j) 10⁶ Q² [N] F D = F A D + F D + F C D = 0 A forza resultante é nula porque a carga en D está en equilibrio. As compoñentes x das forzas anúlanse. Para as compoñentes y: (2, Q Q) Q 10⁶ = 0 Q= 2,00C = 0,00346 C= 3,46 mc (2 289) b) A enerxía potencial de cada carga é a suma das enerxías potenciais de todos os pares de carga que lle afecten: E Q = E E D = E CD + E D + E AD E p Q =9, [ N m 2 C 2 ] ( 2 ( 3, [C]) 2 (5,20 [m]) [C] ( 3, [C]) (3,00 [m]) ) =2, J c) A enerxía potencial da disposición de cargas é a suma das enerxías potenciais de todos os pares de cargas ou, o que é o mesmo, a metade da suma das enerxías potenciais de todas as cargas (porque neste caso cada interacción cóntase dúas veces) E p A =3 ( 9, [ N m 2 C 2 ] [ C] ( 3, [C]) (3,00 [m ]) ) = 6, J E p = 1 2 ( E p A +3 E p Q )=0 Como ao xirar 45, as distancias relativas non cambian, a enerxía da nova disposición é a mesma, e a enerxía total requirida é cero. ΔE = E ' T E T = Dúas cargas puntuais iguais de +2 μc atópanse nos puntos (0, 1) m e (0, -1) m. Calcula: a) O vector campo e o potencial electrostático no punto (-3, 0) m. b) Calcula o traballo necesario para trasladar unha carga de +3 μc desde o infinito ao citado punto. Se no punto (-3, 0) m abandónase unha carga de -2 μc e masa 1 g: c) Calcula a súa velocidade na orixe de coordenadas. DATO: K = 9 10⁹ N m² C ² (P.A.U. Set. 14) ta.: a) E = -3,42 10³ i N/C; V = 1,14 10⁴ V; b) W(ext.) = -W(campo) = 0,03 42 J; c) v = 9,92 i m/s Datos Cifras signiffativas: 3 Valores das cargas fxas Q = 2,00 µc = 2,00 10 ⁶ C Posicións das cargas fxas: A r A = (0, 1,00) m

21 Física P.A.U. ELECTOMAGNETISMO 21 Datos Cifras signiffativas: 3 r = (0, -1,00) m Posición do punto C r C = (-3,00, 0) m Valor da carga que se traslada desde o infnito q₁ = 3,00 µc = 3,00 10 ⁶ C Carga que se despraza ata a orixe q₂ = -2,00 µc = -2,00 10 ⁶ C Masa da carga que se despraza ata a orixe m = 1,00 g = 1,00 10 ³ kg Velocidade inicial no punto C (suponse) v C = 0 Posición do punto D polo que pasa a carga que se despraza r D = (0, 0) m Constante eléctrica K = 9,00 10⁹ N m² C ² Infógnitas Vector campo electrostático no punto C E C Potencial electrostático no punto C V C Traballo necesario para trasladar 3 μc desde o infnito ao punto C W C Velocidade que terá a carga de -2 μc ao pasar polo punto D v D Outros símbolos Distancia entre dous puntos A e r A Efuafións Lei de Coulomb (aplicada a dúas cargas puntuais separadas unha distancia r) F =K Q q u r Principio de superposición Potencial electrostático nun punto creado por unha carga puntual Q situada a unha distancia r V =K Q r Potencial electrostático de varias cargas V = V Traballo que fai a forza do campo cando se move unha carga q desde un punto A ata outro punto W A = q (V A V ) Enerxía potencial electrostática dunha carga nun punto A E A = q V A Enerxía cinética E = ½ m v² Principio da conservación da enerxía entre dous puntos A e (E + E ) A = (E + E ) Solufión: r 2 F A = F A i a) Faise un debuxo das cargas e cada un dos vectores intensidade de campo electrostático e da suma vectorial que é o campo E C resultante. Cálculo de distancias: A r AC =r C = (3,00 [ m]) 2 +(1,00 [ m]) 2 =3,16 m O vector unitario do punto C, u AC respecto de A é: u AC = r AC r AC =( 3,00 i 1,00 j ) [ m] = 0,949 i 0,316 j 3,16 [ m] A intensidade de campo electrostático no punto C debido á carga de +2 µc situada en A é: Por simetría, E A C =9, [N m 2 C 2 ] [ C] (3,16 [m ]) 2 ( 0,949 i 0,343 j)=( 1, i 5, j ) N/C Aplicando o principio de superposición, E C = (-1,71 10³ i + 5,69 10² j) N/C E C = E A C + E C = (-1,71 10³ i 5,69 10² j [N] + (-1,71 10³ i + 5,69 10² j) [N] = -3,42 10³ i N/C Análise: O campo resultante do cálculo é horizontal cara á esquerda, coherente co debuxo que se fxo. O potencial no punto C debido a cada carga vale o mesmo, porque a distancia é a mesma (están situadas simetricamente) e o valor da carga tamén é o mesmo. E A C V C =V A C +V C =2 V A C =2 9, [N m 2 C 2 ] 2, [C] =1, V (3,16 [m ]) E C E C C D