EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: XEOMETRÍA MÉTRICA DO ESPAZO

Transcrição

1 EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: XEOMETRÍA MÉTRICA DO ESPAZO. Acha o ángulo que forman as rectas x y z + e x y. y z x. Comproba que as rectas r: y z e s:(x, y, z) ( + λ,, + λ) se cruzan e logo acha o ángulo que forman.. Dados os planos π : x y + 5z e π : x my + z + 0, acha o valor de m para que sexan perpendiculares.. Cal é o ángulo que forman os planos π : x + y z e π : x y + z 0? 5. Determina o ángulo que forma a recta r: π: x + y z x y z 0 x y z 5 0 co plano 6. Acha as coordenadas dun punto P do eixe OY tal que a súa distancia ao punto A(,, ) é igual a 6 unidades de lonxitude. 7. Acha a distancia do punto P(,, ) á recta r: x y 5. z 8. Determina a ecuación dun plano que contén á recta unidade de lonxitude do punto P(,, ). x z 0 y z 0 e que está a 9. Acha a distancia entre os planos paralelos π: x + y + z 0 e π': x + y + z Acha a distancia entre as rectas paralelas r: s: (x, y, z) ( λ, + λ, λ). x y z + e x y z 0. Acha o valor de m para que a recta r: sexa paralela ao plano x y z 0 π: x y + mz 0. Para o valor de m obtido, calcula a distancia entre r e π. x. Dadas as rectas r: (x, y, z) ( λ, + λ, + λ) e s: a) Acha as ecuación da recta que as corta perpendicularmente. b) Calcula a distancia de r a s. y z :. Sábese que os puntos A(, 0, ), B(,, ) e C( 7,, 5) son vértices consecutivos dun paralelogramo ABCD. a) Calcula as coordenadas do punto D. b) Acha a área do paralelogramo.

2 . Calcula a área do triángulo que ten por vértices a intersección do plano π: x + y + z 6 cos eixes de coordenadas. 5. Calcula o volume do paralelepípedo cuxas arestas non paralelas son as distancias da orixe aos puntos de corte do plano π: x y + z 6 0 cos tres eixes de coordenadas. 6. Calcula a área e o volume da pirámide triangular determinada polos puntos (0, a, a), (a, 0, a), (a, a, 0) e (a, a, a).

3 EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: XEOMETRÍA MÉTRICA DO ESPAZO (SOLUCIONARIO). Acha o ángulo que forman as rectas x y z + e x y. y z Os vectores de dirección de r e s son v (,, ) e w (,, ), respectivamente. Se é o ángulo que forman r e s, entón tense: u v cos u v (,,) (,,) Polo tanto, arccos 70º ',6''. x. Comproba que as rectas r: y z e s:(x, y, z) ( + λ,, + λ) se cruzan e logo acha o ángulo que forman. Os vectores de dirección de r e s son, respectivamente, v (,, ) e w (, 0, ). Calcúlase rango( v, w ) rango e 0 rango( v, w, AB) rango 0, como son distintos, as rectas crúzanse. Se é o ángulo que forman r e s, entón tense: u v cos u v (,,) (,0,) Polo tanto, arccos 0 5º ' 6,''.. Dados os planos π : x y + 5z e π : x my + z + 0, acha o valor de m para que sexan perpendiculares. Se son perpendiculares forman un ángulo de 90º e os vectores normais n (,, 5) e n (, m, ) tamén. Logo (,, 5) (, m, ) 0 m m.. Cal é o ángulo que forman os planos π : x + y z e π : x y + z 0? Os vectores normais de π e π son n (,, ) e n (,, ), logo cúmprese que: n n (,, ) (,,) cos n n 6

4 Polo tanto, arccos 70º 5' 6,''. x y z 0 5. Determina o ángulo que forma a recta r: co plano x y z 5 0 π: x + y z O vector director de s é (,, ) x (,, ) i j k i j + k i ( ) j + k (,, ) O vector normal ao plano é n (,, ). Se é o ángulo de r e π cúmprese que: v n sen v n (,,) (,, ) Polo tanto, arcsen 9 6 5º 7' 5,'' Acha as coordenadas dun punto P do eixe OY tal que a súa distancia ao punto A(,, ) é igual a 6 unidades de lonxitude. Se P pertence ao eixe OY, entón P(0, y, 0). Para que a distancia a A(,, ) sexa igual a 6, debe ocorrer que: y ( y) 6 ( y) 6 y ± Se y y e se y y 7. Hai dous puntos: (0,, 0) e (0, 7, 0). 7. Acha a distancia do punto P(,, ) á recta r: x y 5. z A recta pode expresarse (x, y, z) (5 + λ, λ, ), polo que pasa polo punto A(5, 0, ), logo AP (,, ) e como v (,, 0) aplícase a fórmula: v x AP (,,0) (,, ) (,8, ) d(p, r) v de lonxitude v i j k 0 0 x AP 0 i j + k i ( 8) j + ( ) k (, 8, ) 05 5 unidades

5 8. Determina a ecuación dun plano que contén á recta unidade de lonxitude do punto P(,, ). x z 0 y z 0 e que está a Da ecuación do feixe de planos x z + δ(y + z ) 0 obtense a ecuación x + δy + (δ )z δ 0 que representa a un plano do feixe. A distancia do punto P(,, ) a este plano é: 6 0 ( (δ + )) δ 6δ + 0 δ + 8δ + 6 δ 6δ + 0 δ δ 6 0 δ 7 ± 55 Hai dous planos que cumpren as condicións: x + ( )y + ( + 55 )z ( + 55 ) 0 e x + (7 55 )y + ( 55 )z ( 55 ) Acha a distancia entre os planos paralelos π: x + y + z 0 e π': x + y + z 5 0. Un punto de π é P(,, ). Como os planos son paralelos, a distancia de P a π' é a medida buscada: 5 d(π, π') d(p, π') unidades de lonxitude 0. Acha a distancia entre as rectas paralelas r: s: (x, y, z) ( λ, + λ, λ). x y z + e A recta r pasa por A(,, ) e ten como vector director v (,, ) e a recta s pasa por B(,, 0) e ten como vector director w (,, ). Polo tanto, AB (5,, ). As rectas son paralelas porque rango( v, w ) rango e rango( v, w, AB) rango. 5 v i j k x AB i j + k 0 i ( ) j + k (0,, ) v x AB (,,) (5,,) (0,,) Así, d(r, s) d(a, s) v unidades de lonxitude 5

6 x y z 0. Acha o valor de m para que a recta r: x y z 0 sexa paralela ao plano π: x y + mz 0. Para o valor de m obtido, calcula a distancia entre r e π. x y z A recta r e o plano π son paralelos se o sistema x y z é incompatible, e x y mz isto ocorre se rango(a) e rango( A ). Áchase m para que rango(a), para iso, 0 m 0 m m x y z Se se resolve o sistema obtéñense as paramétricas de r e son x y z (x, y, z) ( 7 + 5λ, 9 + 8λ, λ). ( 7) ( 9) 0 Así, d(r, π) d(a, π) 9 7 unidades de lonxitude x. Dadas as rectas r: (x, y, z) ( λ, + λ, + λ) e s: a) Acha as ecuación da recta que as corta perpendicularmente. b) Calcula a distancia de r a s. y z : a) Sexa R( λ, + λ, + λ) un punto de r e S( + μ, + μ, + μ) de s. Fórmase o vector RS (5 + λ + μ, λ + μ, λ + μ) que debe ser perpendicular a v (,, ) e w (,, ). Logo: (5,, ) (,,) 0 λ, μ (5,, ) (,, ) 0 5 Polo tanto, R(,, ), S(, 0, ) e RS (,, ). A corta que corta perpendicularmente é (x, y, z) ( + λ, λ, + λ). b) d(r, s) RS de lonxitude i v x w (,, 6) j det(v,w,rs) v w k det (,, 6) unidades 5 6 i j + k i ( ) j + ( 6)k 6

7 . Sábese que os puntos A(, 0, ), B(,, ) e C( 7,, 5) son vértices consecutivos dun paralelogramo ABCD. a) Calcula as coordenadas do punto D. b) Acha a área do paralelogramo. a) No paralelogramo AB DC (,, ) ( 7 x, y, 5 z) x 9, y, z D( 9,, ) i j k b) AB x AD i j + k i 8 j + 8k (0, 8, 8) Área ABCD AB AD ( 0, 8,8) 08 0 unidades cadradas. Calcula a área do triángulo que ten por vértices a intersección do plano π: x + y + z 6 cos eixes de coordenadas. Chámanse A, B e C os puntos de corte do plano x + y + z 6 cos eixes coordenados. Os puntos do eixe OX teñen y 0, z 0, logo substituíndo na ecuación do plano tense: x x 6 x. O punto A é (, 0, 0). Os puntos do eixe OY teñen x 0, z 0, logo substituíndo na ecuación do plano tense: 0 + y y 6. O punto B é (0, 6, 0). Os puntos do eixe OZ teñen x 0, y 0, logo substituíndo na ecuación do plano tense: z 6 z 6 z. O punto C é (0, 0, ). A área do triángulo será a metade do módulo do produto vectorial dos vectores que van dun deses puntos aos outros: i j k AB x AC 6 0 i 0 0 (, 6, 8) Área AB AC (, 6,8) 6 j + k i ( 6) j + 8k 0 50 unidades cadradas 5. Calcula o volume do paralelepípedo cuxas arestas non paralelas son as distancias da orixe aos puntos de corte do plano π: x y + z 6 0 cos tres eixes de coordenadas. Téñense que achar as tres arestas que concorren nun vértice. Se se toma como vértice a orixe, as arestas están formadas polos vectores OA, OB e OC, sendo A un punto sobre o eixe OX, B, sobre o eixe OY, e C, sobre o eixe OZ. Os puntos do eixe OX teñen y 0, z 0, logo substituíndo na ecuación do plano tense: x x 6 0 x. 7

8 O punto A é (, 0, 0). Os puntos do eixe OY teñen x 0, z 0, logo substituíndo na ecuación do plano tense: 0 y y 6 0 y. O punto B é (0,, 0). Os puntos do eixe OZ teñen x 0, y 0, logo substituíndo na ecuación do plano tense: z 6 0 z 6 0 z. O punto C é (0, 0, ). As arestas do paralelogramo son OA (, 0, 0), OB (0,, 0) e OC (0, 0, ). O volume do paralelepípedo será: Volume det( OA,OB,OC) 0 0 det 0 0 unidades cúbicas Calcula a área e o volume da pirámide triangular determinada polos puntos (0, a, a), (a, 0, a), (a, a, 0) e (a, a, a). Se se chaman A(0, a, a), B(a, 0, a) e D(a, a, a) aos vértices da pirámide triangular, as súas caras, se se representa sobre uns eixes de coordenadas, son tres triángulos rectángulos, ADB, ACD e BDC, e un triángulo equilátero, ABC. Área ADB AD BD a Área dos tres triángulos rectángulos a Área ABC i AB x AC a a AB AC (a j k a a a, a, a ) 0 a i a a a 0 a a a j + a 0 k a i ( a ) j + a k (a, a, a ) Área da pirámide triangular a + Volume da pirámide triangular 6 unidades cúbicas a ( )a det( AB,AC,AD) 6 unidades cadradas a a 0 det a 0 a a 0 0 a 6 8