XEOMETRÍA MÉTRICA DO ESPAZO

Transcrição

1 XEOMETRÍA MÉTRICA DO ESPAZO Índice. Ángulos..... Ángulo de dúas rectas..... Ángulo de dous planos..... Ángulo de recta e plano.... Distancias Distancia entre dous puntos Distancia dun punto a unha recta Distancia dun punto a un plano Distancia entre rectas e planos Distancia entre planos paralelos Distancia de rectas paralelas Distancia dunha recta a un plano paralelo a ela Distancia entre dúas rectas que se cruzan Áreas de paralelogramos e triángulos Volumes Ángulos.. Ángulo de dúas rectas Sábese que dous vectores, trazados con orixe no mesmo punto, poden formar dous ángulos; un comprendido entre 0º e 80º e outro, maior, comprendido entre 80º e 60º. Tómase como ángulo dos vectores o menor dos dous. Se se lle chama α ao ángulo que forman dous vectores, u e v, o cálculo da medida α faise coa calculadora científica e a partir da definición do produto escalar: u v arccos u v ou cos u v - (como aparece nas calculadoras) u v Dúas rectas determinan catro ángulos, iguais dous a dous, e tómase como ángulo das dúas rectas o menor deles, que é un ángulo agudo ou como moito recto se son perpendiculares.

2 O ángulo formado por dúas rectas que se cruzan, r e s, defínese como o ángulo formado por dúas rectas secantes paralelas ás dadas. En calquera caso, o ángulo que forman as dúas rectas r e s é igual ou suplementario ao ángulo que forman os seus vectores de dirección, como se advirte no debuxo. Chámase ao ángulo de r e s; como este ángulo é o menor dos dous ángulos suplementarios será un ángulo agudo e o seu coseno será sempre positivo, logo pódese escribir: u v cos cos( u,v) u v Calcular o ángulo que forman as rectas r: (x, y, z) ( + λ, + λ, 5 λ) e x z s: y 4. Os vectores de dirección de r e s son v (,, ) e w (,, ), respectivamente. Se é o ángulo que forman r e s, entón tense: u v cos u v (,, ) (,,) Polo tanto, arccos 60º. 6.. Ángulo de dous planos O ángulo de dous planos secantes, π e π, é o menor dos catro ángulos diedros que determinan. A súa medida coincide co ángulo rectilíneo formado por dúas rectas perpendiculares á recta común aos planos, e trazadas polo mesmo punto. Chamando ao ángulo de π e π, poden aparecer dúas situacións:. Se n e n son os vectores normais a π e π, pode ocorrer tan como se ve no primeiro debuxo, que ( n,n ) porque son ángulos comprendidos entre perpendiculares.. Se n e n adoptan outra posición, represéntase no segundo debuxo, entón e n,n ) son suplementarios. (

3 De calquera forma, como é o menor de dous ángulos suplementarios, é agudo e o seu coseno positivo, en consecuencia: n n cos cos(n,n ) n n Calcular o ángulo que forman os planos π : x y + z 0 e π : x + y z + 0. Os vectores normais de π e π son n (,, ) e n (,, ), logo cúmprese que: n n cos n n (,,) (,, ) Polo tanto, arccos º 0' 50,86''... Ángulo de recta e plano O ángulo da recta r co plano π é igual ao ángulo que forma a recta r coa recta r', proxección de r sobre o plano π. Pódense dar dúas situacións:. No primeiro debuxo, chamando v ao vector director de r e n ao vector normal a π e ao ángulo de r e π, obsérvase que e ( v,n) son complementarios e, polo tanto, sen cos(v,n ).. No segundo debuxo representouse outra situación e é que ( v,n) e ( v,n) son suplementarios, entón sen cos( v,n) cos(v,n ) cos(v,n ) De calquera das dúas situacións conclúese que: sen cos(v,n) v n v n

4 Achar o ángulo que forma o plano π: x y + z + 0 coa recta r: x y z. Sábese que n (,, ) e que o vector de dirección de r é v (,, ). Se é o ángulo de r e π cúmprese que: v n sen v n (,,) (,,) 9 9 Polo tanto, arcsen 9 º 5' 44,896''.. Distancias.. Distancia entre dous puntos A distancia entre dous puntos de R, A(x, y, z ) e B(x, y, z ), é o módulo do vector AB. Se se simboliza a distancia de A a B como d(a, B), entón: d(a, B) AB x x y y z z Compróbase que se cumpren as seguintes propiedades:. d(a, B) d(b, A), xa que AB BA. d(a, B) 0, unicamente é cero cando A B. d(a, C) d(a, B) + d(b, C), desigualdade triangular Se A(,, ) e B(,, 4) comprobar que d(a, B) d(b, A). d(a, B) 4 9 d(b, A) 4 9 4

5 .. Distancia dun punto a unha recta A distancia dun punto P(x, y, z ) a unha recta r, que pasa por A e ten vector director v, é a distancia do punto P ao punto P', proxección de P sobre r: d(p, r) d(p', r) Hai varios procedementos para calcular as coordenadas do punto P', proxección de P sobre r:. a) Determínase un plano π que contén a P e é perpendicular a r. b) Áchase a intersección de r con π, que dará as coordenadas de P'. c) Coñecidas as coordenadas de P', entón d(p, r) d(p, P').. a) Tómase un punto xenérico de r ao que se lle chama P', cuxas coordenadas dependen dun parámetro λ, e fórmase o vector cuxas coordenadas tamén dependen de λ. b) Áchase o valor de λ para que PP v 0. c) Co valor de λ atopado, calcúlanse as coordenadas de P', e evidentemente, d(p, r) d(p, P'). PP, O terceiro procedemento proporciona unha fórmula para determinar a distancia de P a r.. No debuxo represéntanse o punto P e a recta r cos seus elementos. Nela trázase un paralelogramo con vértices en A, P e de lados v e AP. A área deste paralelogramo é v x AP, pero é coñecido que: Área paralelogramo base altura Agora, a altura do paralelogramo, d, é a distancia de P a r, d(p, r); logo: v x AP Área parale log ramo d(p, r) base v Achar a distancia do punto P(,, ) á recta r: (x, y, z) ( λ, + λ, λ) por cada un dos procedementos anteriores.. O plano que contén a P e é perpendicular á recta é: x + y z + d 0 + ( ) + d 0 d 7 Polo tanto o plano é: x + y z A intersección do plano coa recta: ( λ) + + λ ( λ) λ + 0 λ Logo o punto P' é:,,,, E a distancia entre P e r: d(p, r) d(p, P') O vector PP ten de coordenadas ( λ, + λ, λ). 5 5 unidades de lonxitude 5

6 Como PP v 0: ( λ, + λ, λ) (,, ) 0 ( λ) + + λ ( λ) λ + 0 λ Logo P' é:,,,, E a distancia entre P e r: d(p, r) d(p, P') unidades de lonxitude. O punto da recta A é (,, ), logo AP (,, ) e como v (,, ) aplícase a fórmula: v x AP (,, ) (,, ) ( 8, 6,5) 5 5 d(p, r) unidades de lonxitude v Distancia dun punto a un plano Dados un punto P(x, y, z ) e un plano π: ax + by + cz + d 0 en R, a distancia de P a π. Simbolicamente d(p, π), é a distancia de P ao punto P', sendo este a proxección de P sobre o plano π. Hai varios modos de calcular esta distancia:. a) Áchase a recta r que pasa por P e é perpendicular ao plano π. b) Áchase a intersección de r con π e chámase a este punto P'. c) Entón d(p, π) d(p, P'). Hai outro procedemento que proporciona unha fórmula para atopar a distancia dun punto a un plano e resulta moi fácil de aplicar.. Sexa P'(x 0, y 0, z 0 ) o pé da perpendicular trazada por P sobre π, é dicir, a proxección de P sobre π. Como é un punto do plano cumprirase que: ax 0 + by 0 + cz 0 + d 0 e d ax 0 by 0 cz 0 Por outra parte, se se substitúen as coordenadas de P(x, y, z ) na ecuación do plano π e substituíndo d pola expresión anterior, obtense: ax + by + cz + d ax + by + cz ax 0 by 0 cz 0 a(x x 0 )+ b(y y 0 )+ c(z z 0 ) n (x x 0, y y 0, z z 0 ) n P P É dicir, ax + by + cz + d n P P. Ademais da definición de produto escalar: n P P n PP cos. Combinando as dúas igualdades anteriores: ax + by + cz + d n Onde é o ángulo que forman n e PP cos P P e que só pode ser 0º ou 80º, dependendo que n e P P estean ao mesmo lado do plano ou en lados opostos, e polo tanto cos ou cos. En consecuencia, o valor absoluto do primeiro membro é igual ao valor absoluto do segundo membro: ax by cz d n PP cos ax by cz d n P P 6

7 Como d(p, π) P P, pódese escribir: P P d(p, π) ax by cz d n Logo a distancia dun punto a un plano obtense substituíndo as coordenadas do punto na ecuación do plano, áchase o seu valor absoluto, e divídese polo módulo do vector normal ao plano. Achar a distancia do punto P(,, ) ao plano π: x + y z + 0. d(p, π) ax by cz d n unidades de lonxitude. Distancia entre rectas e planos.. Distancia entre planos paralelos A distancia entre dous planos paralelos, π e π', é igual á distancia dun punto calquera dun dos planos, por exemplo P de π, ao outro plano: d(π, π') d(p, π') É dicir, a distancia entre planos paralelos redúcese á distancia dun punto a un plano... Distancia de rectas paralelas A distancia entre dúas rectas paralelas, r e s, é igual á distancia dun punto calquera dunha delas, por exemplo P de r, á outra recta s: d(r, s) d(p, s) É dicir, a distancia entre dúas rectas paralelas redúcese á distancia dun punto a unha recta... Distancia dunha recta a un plano paralelo a ela A distancia entre unha recta r e un plano π é igual á distancia dun punto calquera P de r ao plano π: d(r, π) d(p, π) O cálculo da distancia dunha recta a un plano redúcese á distancia dun punto a un plano ou dun punto a unha recta, se o punto se toma sobre a recta ou sobre o plano. x y z x y z Dadas as rectas r: e s:. a) Achar a ecuación xeral do plano π que contén a r e é paralelo a s. b) Determinar a distancia de s ao plano π. a) A ecuación do plano π que contén a r e é paralelo a s obtense a partir dun punto de r, A(,, 0), e o seu vector director, v (,, ), ademais do vector director de s, w (,, ) A ecuación de π é: 7

8 x y z 0 9x y + 5z 0 0 b) A distancia de s a π é a distancia dun punto de s, B(0,, ), ao plano π: d(s, π) d(b, π) unidades de lonxitude Distancia entre dúas rectas que se cruzan Sexa unha recta r, que pasa por A e ten vector director v e outra recta s, que contén a B e ten como vector de dirección w. Existen varios procedementos para achar a distancia entre elas:. a) Tómase un punto xenérico de r, chámaselle R, e outro de s, chámaselle S. As coordenadas de R dependen dun parámetro λ e as de S dun parámetro μ. Con ambos os puntos fórmase o vector RS. RS v 0 b) Resólvese o sistema. RS w 0 Trátase dun sistema con λ e μ como incógnitas e cuxas ecuacións permiten achar as coordenadas de R e S, puntos polos cales pasa a perpendicular común ás rectas r e s. c) Entón d(r, s) d(r, S). Outro procedemento para achar a perpendicular común é o seguinte:. a) Búscase un plano π que contén a r e é paralelo a s. Para iso elíxese en r o punto A e o vector director v e con w, vector director de s, tense unha determinación lineal de π. (Tamén se pode achar π como o plano que pasa por A e ten como vector normal v x w ). b) A distancia de r a s, d(r, s), é a mesma que a distancia de s a π, logo d(r, s) d(s, π) d(b, π) sendo B un punto da recta s. Un terceiro procedemento subministra unha fórmula para calcular automaticamente a distancia entre as rectas.. A dedución da fórmula facilítase observando o debuxo. Debuxáronse as rectas r e s e construíuse un paralelepípedo de arestas v, w e AB. Por unha parte, d(r, s) altura do paralelepípedo. Por outra parte, Volume do paralelepípedo área da base altura. det(v,w, AB) Volume do paralelepípedo Logo, d(r, s) altura área da base v w 8

9 x y Achar a distancia entre as rectas r e s, sendo r: z 4 e s: x y 4 z. As rectas crúzanse porque, se é v (,, ), w (,, 4) e AB (0,, 4), rango( v, w ) e rango( v, w, AB). Coñecendo que se cruzan, o método máis directo para resolvelo é aplicando a fórmula: det 4 det(v,w, AB) 0 4 d(r, s) unidades de lonxitude v w (, 9, ) 5 5 v x w i j k i j + k i 9 j + ( )k (, 9, ) Áreas de paralelogramos e triángulos Un paralelogramo é un cuadrilátero que ten os lados opostos iguais e paralelos. Se se coñecen os vértices consecutivos do paralelogramo, A, B, C e D, os lados non paralelos están constituídos polos vectores AB e AD; e a área do paralelogramo vén dada polo módulo do produto vectorial dos vectores AB e AD: Área do paralelogramo ABCD AB AD Ao unir dous triángulos iguais (e igualmente orientados) por un lado común resulta sempre un paralelogramo, cuxos lados coinciden cos outros dous lados do triángulo. En consecuencia, a área do triángulo será igual á metade da área dun paralelogramo co que comparte tres vértices, e polo tanto pódese escribir: Área do triángulo ABC AB AC Comprobar que os puntos A(,, ), B(,, ) e C(4, 5, ) non están aliñados e achar a área do triángulo ABC. Como rango( AB, AC), os puntos non están aliñados. Dado que AB (,, ) e AC (, 4, 4), entonces tense: Área ABC AB AC ( 6, 5,7) 570 unidades cadradas i j k AB x AC i j + k 6 i ( 5) j + 7k (6, 5, 7) 9

10 5. Volumes Volume dun paralelepípedo Un paralelepípedo é un prisma de seis caras. Trátase dun sólido construído por seis caras, de modo que as caras opostas son iguais e paralelas. Sábese que o volume dun paralelepípedo de arestas u, v e w é o valor absoluto do produto mixto, det(u,v,w ). Se se coñecen as coordenadas de catro vértices contiguos do paralelepípedo: A(x, y, z ), B(x, y, z ), C(x, y, z ) e D(x 4, y 4, z 4 ), entón o volume vén dado por: Volume dun tetraedro Volume det( AB,AC,AD) x det x x 4 x x x Se no debuxo anterior se unen os vértices C con B e D con C e B, obtense un poliedro de catro caras triangulares e seis arestas, chamado tetraedro. En realidade, un tetraedro é unha pirámide triangular e sábese que o volume dunha pirámide é: Volume pirámide área da base altura y y y 4 y y y Ademais coñécese que: Dado que o volume do tetraedro debe ser unha cantidade positiva, o produto mixto debe estar en valor absoluto: Área da base AB AC E a altura é a proxección do vector AD sobre o vector AB x AC: altura AD cos( AD,AB AC) Polo tanto, o volume do tetraedro quedará así: V AB AC AD cos( AD,AB AC) [ AD AB AC cos ( AD,AB AC) ] 6 z z z 4 z z z 6 AD ( AB x AC) 6 det( AD, AB, AC) 6 det( AB,AC,AD) A última igualdade é consecuencia dunha das propiedades dos determinante: ao permutar dúas filas o determinante só cambia de signo. Logo o volume dun tetraedro é igual á sexta parte do volume do paralelepípedo construído sobre tres das súas arestas concorrentes nun vértice. Achar o volume do tetraedro de vértice (,, ) e os puntos no que o plano x + y + z 0 corta aos eixes coordenados. Chámanse A, B e C os puntos de corte do plano x + y + z 0 cos eixes coordenados. 0

11 Os puntos do eixe OX teñen y 0, z 0, logo substituíndo na ecuación do plano tense: x x 0 x 6. O punto A é (6, 0, 0). Os puntos do eixe OY teñen x 0, z 0, logo substituíndo na ecuación do plano tense: 0 + y y 0 y 4. O punto B é (0, 4, 0). Os puntos do eixe OZ teñen x 0, y 0, logo substituíndo na ecuación do plano tense: z 0 z 0 z. O punto C é (0, 0, ). Chamando V ao vértice (,, ), os vectores VA (5,, ), VB (,, ) e VC (,, ) son tres arestas que concorren en V; e polo tanto o volume do tetraedro será: V 6 det( VA,VB,VC) 6 5 det 44 4 unidades cúbicas 6