PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD ( )

Transcrição

1 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD ( )

2 XUÑO 017 (OPCIÓN A). 0,75+1 ptos Página de 47

3 Página 3 de 47

4 XUÑO 017 (OPCIÓN B). 1,75 ptos Página 4 de 47

5 Página 5 de 47

6 SETEMBRO 017 (OPCIÓN A). 1 pto Página 6 de 47

7 SETEMBRO 017 (OPCIÓN B) 1+1 ptos Página 7 de 47

8 Página 8 de 47

9 XUÑO 016 (OPCIÓN A) 0,75+1,5 ptos Página 9 de 47

10 XUÑO 016 (OPCIÓN A) 1 pto Página 10 de 47

11 XUÑO 016 (OPCIÓN B) ptos Página 11 de 47

12 Página 1 de 47

13 XUÑO 016 (OPCIÓN B) 1 pto Página 13 de 47

14 SETEMBRO 016 (OPCIÓN B) ptos Página 14 de 47

15 Página 15 de 47

16 Página 16 de 47

17 XUÑO 015 (OPCIÓN A) 3.- Debuxa a gráfica de f(x) = x estudando: dominio, simetrías, puntos de corte cos eixes, asíntotas, x - 1 intervalos de crecemento e decrecemento máximos e mínimos, puntos de inflexión e intervalos de concavidade e convexidade. 1+1 ptos 1 x 1 = 0 f ( 1) = = Sen solución Dom ( f ) = \ { 1} ( f x ( ) = f ' x ) ( = x ) ( x) 4x x = x x = 1 x 1 x + 1 ( 1) x x = ( x 1) ( x 1) 4x = ( ) f x Non é par (Non hai simetrías) f (x) Non é impar ( x ) ( x 1) x ( ) ( ) ( x 1) f ' x > 0 x x > 0 0 > 0 ( + ) ( + ) ( + ) x > 0 ( - ) ( + ) ( + ) x > ( - ) ( - ) ( + ) (x 1) > 0 ( + ) ( + ) ( + ) Solución ( + ) crecente ( - ) decrecente ( + ) crecente Daquela: Crecemento x /(x < 0) (x > ) Decrecemento x / 0 < x < x = = 8 1 Máximo relativo en x = 0 f ( 0) = = 0 Mínimo relativo en = f ( ) Asíntotas verticais x = 1 Asíntotas horizontais x x f (x) = = = = x y lim lim lim = lim x x 1 x x 1 x 1 1 x x x x No existe asíntota horizontal cuando x = = Por ser racional, tampouco existe asíntota horizontal cuando x Asíntotas oblicuas x 0 Sin solución x x f ( x) = = x x = = = x m lim lim 1 lim lim = lim = = = x x x x x x x x x x x x x x x x x x + x x n = [ f ( x) mx] = x = = = = x lim lim lim lim lim = lim x x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x 1 1 x x x n = Existe asíntota oblicua, y = x +, cuando x Por ser racional, tamén existe a mesma asíntota horizontal cando x Página 17 de 47

18 = ( ( ) = ( ) (x 1) 4x 4 (x 1) ( x 4x) f '' x 4x 4x 4x + 4 4x ( x 1) + 8x = ( x 1) 3 ( x 1) 4 > 0 x x 1) 3 > 0 x 1 > 0 x > = ( 4x 4) (x 1) ( x 4x) Concavidad ( x 1) f '' 3 ( x) > 0 4 = ( x 1) 3 > 0 Concavidade x / x > 1 Convexidade x / x < 1 Non existe punto de inflexión xa que en x = 1 hai un punto de descontinuidade. Página 18 de 47

19 XUÑO 015 (OPCIÓN B) 3.- a ) Definición e interpretación xeométrica da derivada nun punto. ln(e + x ) si x < 0 b) Calcula os valores de b e c para que a función f(x) = sexa derivable en x = 0. x + bx + c si x 0 a) A derivada da función f no punto x = a, f (a), se existe, é o valor do seguinte limite: ( ) f ' a = lim h 0 f (a + h) f (a h ) 1+1 ptos Cando h tende a 0, o punto Q tende a confundirse con P. Entón a recta secante tende a ser a recta tanxente á función f(x) en P, e por tanto o ángulo α tende a ser β. b) A función ten que ser, primeiro continua e despois derivable ( ) ( ) = f ( x) = ln (e + 0 ) 0 ) f ( x) = 0 lim x ( f 0 = lim+ x 0 f ' x f x x = e + x x + b si si ( e + x ) ln si x < 0 x + 1 si x > 0 = ln e = 1 + b 0 + c = c x < 0 lim f ' x 0 x > 0 lim f ' x + x 0 ( 0) = lim f ( x) = lim f ( x) ( x) ( ) + x 0 x 0 0 = = 0 e + 0 b = 0 = 0 + b = b c = 1 Página 19 de 47

20 SETEMBRO 015 (OPCIÓN A) 3. a) Calcula os valores de a e de b para que a función sexa derivable en x = 1. b) Para os valores a = -4 e b = 6, determina os intervalos de crecemento e decrecemento de f(x). a) Para que a función sexa derivable, ten que ser continua. Vamos entón primeiro a estudar a continuidade en x = 1: 1+1 ptos Para que sea continua: Agora, estudamos la derivabilidade. Para eso derivamos: Calculamos as derivadas laterais no punto x = 1: Para que sexa derivable, as derivadas laterais deben ser iguais: Coa condición de continuidade e coa de derivabilidade, calculamos os valores de a e b que nos piden: b) La función y la derivada para eses valores quedarán: O dominio de la función f(x) é, xa que o primeiro trozo é unha función polinómica e ao segundo non lle poderiamos dar o valor cero nin números negativos, pero a propia función no di que para ese anaco temos que dar valores maiores que un. Para estudar o crecemento e decrecemento igualamos a primeira derivada a cero: O segundo valor descartámolo, porque non pertence ao intervalo no que está definido ese segundo trozo. Co punto 3/4 e co 1, que é o que nos divide en dos trozos a función, miramos o signo da primeira derivada. Daquela: f(x) crece en f(x) decrece en Página 0 de 47

21 SETEMBRO 015 (OPCIÓN B) 3. a) Define derivada dunha función nun punto. Interpretación xeométrica. b) Dada a función, calcula: intervalos de crecimiento e decrecimiento y máximos y mínimos relativos de f(x). a) Véxase Xuño 015 (Opción A) b) O dominio da función é, xa que é produto dunha función exponencial por unha polinómica e a ambas podemos darlles calquera valor real. Para estudar o crecemento e decrecemento facemos a primeira derivada e igualamos a cero: 1+1 ptos O cero é por tanto un posible máximo ou mínimo da función. Con este punto vamos a estudar o signo da primeira derivada: Os intervalos de crecemento e decrecemento son: O posible máximo ou mínimo relativo da función é x = 0, para comprobalo, substituímos este valor na segunda derivada: Por último, calculamos a outra coordenada do máximo relativo: A función f(x) ten un máximo relativo no punto (0,). Página 1 de 47

22 SETEMBRO 015 (OPCIÓN B) 4. a) Calcula: a) Resolvemos o límite aplicando a regra de L Hôpital para resolver as indeterminacións que nos saen: 1 pto La solución del límite es: Página de 47

23 XUÑO 014 (OPCIÓN A) 3. a) Define función continua nun punto. Que tipo de discontinuidade ten = nos puntos = 0 e =? b) Calcula a ecuación da recta tanxente á gráfica de = no seu punto de inflexión a) Una función dise continua nun punto se: 1+1 ptos 1) Existe e é finito lim ) Existe 3) O valor da función no punto coincide co límite anterior: = lim Discontinuidade en = 0: lim = lim = + lim = lim = Discontinuidade de salto infinito Discontinuidade en = : lim = lim = lim = lim = Discontinuidade evitable. Evítase definindo = b) = = 6 1 " = 1 1 " = 0 = 1 = 1 No punto (1,-3), ten un punto de inflexión. 1 = 6 = pendente da recta tanxente á grafica de no punto (1,-3). Polo tanto, a ecuación da recta tanxente no punto (1,-3) é: + 3 = 6 1 É dicir: = Página 3 de 47

24 XUÑO 014 (OPCIÓN A) 4. a) Calcula lim (Nota: = logaritmo neperiano) 1 pto a) lim = lim = = Indeterminación, aplicamos L Hôpital. Página 4 de 47

25 XUÑO 014 (OPCIÓN B) 3. a) Dada a función = calcula os valores de,, sabendo que = é unha asíntota vertical e que = 5 6 é a recta tanxente á súa gráfica no punto correspondente a = 1. Para os valores de,, calculados, posúe máis asíntotas? b) Enuncia o teorema do valor medio do cálculo diferencial. Pódese aplicar, no intervalo 0,1, este teorema á función =? En caso afirmativo calcula o punto ao que fai referencia o teorema. a) = 1 asíntota vertical = 1+1 ptos = = = = Como a recta = 5 6 é tanxente á gráfica de no punto correspondente a = 1 : 1 = 5 + = 1 = 3 1 = 5 = 5 = 4 Para estes valores de, e, ten unha asíntota horizontal: lim ± = 3 í h: = 3 b) Teorema do valor medio do cálculo diferencial: Se é unha función continua no intervalo, e derivable en, entón existe polo menos un punto, tal que = A función dada é unha función racional e o denominador non se anula no intervalo 0,1. Polo tanto, é continua en 0,1 e derivable en 0,1 e podemos aplicar o teorema do valor medio do cálculo diferencial: 0 =, 1 = 1 = x = 4 + = 0 = 0,1 = + 0,1 Polo tanto, o punto que cumple a igualdade do teorema é: = Página 5 de 47

26 SETEMBRO 014 (OPCIÓN A) 3. a) Calcula lim b) Queremos dividir un fío metálico de 70 metros de lonxitude en tres partes de maneira que unha delas teña dobre lonxitude que outra e ademais que ao construír con cada parte un cadrado, a suma das áreas dos tres cadrados sexa mínima. Calcula a lonxitude de cada parte. 1+1 ptos a) Indeterminación, aplicamos L Hôpital. lim = lim = lim = b) Lonxitudes das partes: ; ; 70 3 Función a minimizar: = = = 8 40 = 0 = = 15 15, 15 mínimo " = > 0 : 15; 30; 5 Página 6 de 47

27 SETEMBRO 014 (OPCIÓN B) < 1 3. Dada a función = a) Calcula os valores de, e para que sexa derivable en = 1 e teña un extremo relativo en = 3. b) Enuncia o teorema do valor medio do cálculo diferencial. Para os valores = 1, = 6 e = 4, calcula, se existe, un punto 0,5 tal que a tanxente á gráfica de en = sexa paralela ao segmento que une os puntos 0,0 e 5, 4. a) = = = 1 = < 1 + > 1 Entón, debe cumprirse: Para que sexa continua en = 1 = ptos = = = 0 Para que sexa derivable en = 1 ( 3 = 6 +, 3 = 0, por ter un extremo relativo en = 3.) Resolvendo este sistema obtense: = 4; = 1; = 6 b) Teorema do valor medio do cálculo diferencial: Se é continua no intervalo, e derivable en,, entón existe algún punto, tal que = é dicir, a tanxente á gráfica de, no punto =, é paralela ao segmento que une os puntos,,,. Para os valores dados, a función é derivable en R (en (, 1 e 1, é polinómica e para eses valores xa vimos que era derivable en = 1) e ademais 4 < 1 = < 1 = 6 1 Temos que encontrar un 0,5 tal que coincida coa pendente do segmento que une os puntos 0,0, 5, 4, é dicir: = = 6 = = = 13 5 Página 7 de 47

28 013 (OPCIÓN ) 3. a) Enuncia o teorema de Bolzano. Ten a ecuación + = 0 algunha solución no intervalo 0,1? Ten esta ecuación máis dunha solución real? b) Calcula os valores de e para que lim = 1 a) Teorema de Bolzano: Se é continua en, e toma valores de distinto signo nos extremos do intervalo, é dicir < 0, entón existe polo menos un punto, tal que = 0. Consideremos a función real de variable real = ptos é continua en 0,1 xa que é continua en R por ser unha función polinómica. 0 = < 0 1 = 1 > 0 0,1 tal que = 0 teorema de Bolzano Polo tanto, ó + = 0, h ó 0,1. Se tivese dúas raíces reais e entón continua en, e derivable en, por ser continua e derivable en R = 0 = teorema de Rolle, tal que = 0 (a función derivada tería unha raíz real) pero a función derivada, = 3 +, non ten raíces reais. Polo tanto: + = 0, h ú ó ó á 0,1. b) lim = lim = Indeterminación, aplicamos L Hôpital. Para que este límite sexa finito, ten que ser =. Tomando =, resulta lim = lim = Indeterminación, aplicamos L Hôpital. Entón = 1 = 3 Página 8 de 47

29 013 (OPCIÓN ) 4. a) Calcula os intervalos de crecemento e decrecemento e os intervalos de concavidade e convexidade da función = pto a) = = = = 0; =, 3) 3,, > 0 < 0 > 0 Crecente Decrecente Crecente ± 3 Crecente nos intervalos, 3 e, Decrecente no intervalo 3, " = 6 8; " = 0 = 4 3, 4 3) 4 3, " < 0 > 0 Cóncava Convexa Cóncava en, 4 3) Convexa en 4 3, Página 9 de 47

30 013 (OPCIÓN B) C 3. Nunha circunferencia de centro O e radio 10 cm trázase un diámetro AB e unha corda CD perpendicular a ese diámetro. A que distancia do centro O da circunferencia debe estar a corda CD, para que a diferencia entre as áreas dos triángulos ADC e BCD sexa máxima? A O D B C ptos 10 y 10 A O B x Triángulo ADC: Base: Altura: 10 + Triángulo BCD: Base: Altura: 10 Á = 10 + Á = 10 Diferencia de áreas: = = D O teorema de Pitágoras proporciónanos unha relación entre e : = 10 Polo tanto, a función a maximizar que nos proporciona a diferencia de áreas é: = 100 Calculamos os valores que anulan a primeira derivada = 100 ; = = = 50 = ±5 Comprobamos que = 5 corresponde a un máximo: " = ; "5 = = 8 < 0 ó: 5. Página 30 de 47

31 013 (OPCIÓN B) 4. a) Enuncia o teorema de Rolle. Determina o valor de para que sexa aplicable o teorema de Rolle á función = + 1, no intervalo 0,1. Para este valor de, calcula un punto 0,1 no que a recta tanxente á gráfica de sexa paralela ao eixe OX. 1 pto a) Teorema de Rolle: Se é continua en, e derivable en, e ademais =, entón existe polo menos un punto, tal que = 0. = + 1 é continua e derivable en R, xa que é unha función polinómica. Polo tanto, é continua en 0,1 e derivable en 0,1. Para aplicar Rolle neste intervalo, debemos impoñerlle a condición 0 = 1 0 = 1 = 1 Un punto do intervalo 0,1 no que a recta tanxente é paralela ao eixe OX, será un punto do intervalo no que se anule a primeira derivada (a existencia dese punto está garantida polo teorema de Rolle) = 1 = 3 1; = 0 = ±, pero = non é un punto do intervalo 0,1. Polo tanto: = 3 3 Página 31 de 47

32 SETEMBRO 013 (OPCIÓN A) 3. a) Calcula: lim 1 pto a) Indeterminación, aplicamos L Hôpital. lim = lim = lim = lim = Simplificamos Página 3 de 47

33 SETEMBRO 013 (OPCIÓN B) 3. Calcula o dominio, as asíntotas, os intervalos de crecemento e decrecemento e os máximos e mínimos de = ptos = O denominador non se anula nunca, polo tanto = R e í lim ± = lim ± = 0 Polo tanto Indeterminación. Aplicamos L Hôpital í h: = 0. í Estudo da derivada: = = = = 0 = ± = 1 1 Como > 0, o signo de determínao o numerador. Temos polo tanto que, 1) 1, 1 1, < 0 > 0 < 0 Decrecente Crecente Decrecente Crecente en: 1, 1 Decrecente en:, 1 e 1, En = 1, a función pasa de decrecente a crecente e en = 1 pasa de crecente a decrecente. Polo tanto: í: 1, 1 á: 1, Página 33 de 47

34 XUÑO 01 (OPCIÓN A) 3. a) Enuncia o teorema de Bolzano. Probar que a función = + 4 corta o eixe OX nalgún punto do intervalo 1, Pode cortalo en máis dun punto? b) Calcula lim a) Teorema de Bolzano: Se é unha función continua en, e e teñen distinto signo, é dicir <0, entón existe algún, tal que = ptos = + 4 é continua en R por ser polinómica e polo tanto continua en 1, 1, tal que = 0 1 = 1 < 0 = 8 > 0 Teorema de Bolzano Como é continua e derivable en R, pois é unha función polinómica, tamén o será en calquera intervalo de R e si existisen e tales que = = 0, entón aplicando o teorema de Rolle, existiría un tal que = 0, pero = 3 + non se anula en ningún punto de R. Así pois, b É unha indeterminación do tipo 1. Tomamos logaritmos neperianos: lim = lim = lim ln + ln + + = ô + 1 = lim + + = lim = lim = 1 4 = lim e polo tanto: lim = Página 34 de 47

35 XUÑO 01 (OPCIÓN B) 3. a) Determina os valores de para que a función : R R 1 = > 1 sexa continua. É derivable en = 1 para algún valor de? b) Enunciado e interpretación xeométrica do teorema do valor medio do cálculo diferencial. a) é continua en < 1, por ser polinómica. Se 0, é continua en > 1 por ser racional e non anularse o denominador. Estudo da continuidade en = 1: 1+1 ptos lim = 1 lim = 1 = 1 Para que sexa continua en = 1, debe ser 1 = = 0 = 1 ou = Polo tanto, é = 1 = Se unha función é derivable nun punto, necesariamente é continua nel. Polo tanto, para estudar a derivabilidade en = 1, só teremos que facelo cando = 1 ou = Caso: = 1 < 1 = > 1 Caso: = < 1 = 1 > 1 1 = 1 = 1 = 1 = 1 Non é derivable en = 1. Non é derivable en = 1 Polo tanto, é = 1 ú. b) Teorema do valor medio do cálculo diferencial: Se é continua en [a,b] e derivable en (a,b), entón existe algún punto c (a,b) tal que = a c b Interpretación xeométrica: Nas hipótesis do teorema, existe algún punto intermedio no que a tanxente á gráfica de é paralela á corda que une os puntos (a,f(a)) e (b,f(b)). Página 35 de 47

36 SETEMBRO 01 (OPCIÓN A) 3. a) Calcula as asíntotas e os intervalos de crecemento e decrecemento de = 1 pto a) = = + 1 > 0 í lim ± = 1 = 1 é í h, í = = = Como + 1 > 0, o signo de coincide co signo do numerador da fracción anterior. Así: A función é crecente nos (, -1) (-1,1) (1, ) intervalos (, -1) e (1, ). > 0 < 0 > 0 A función é decrecente no crecente decrecente Crecente intervalo (-1,1). Página 36 de 47

37 SETEMBRO 01 (OPCIÓN B) 3. a) Enunciado e interpretación xeométrica do teorema de Rolle. b) Se >, calcula os valores de,, para que a función = + + < + 1 cumpra as hipótesis do teorema de Rolle no intervalo 0,. 1+1 ptos a) Teorema de Rolle: Sexa unha función continua en, e derivable en,. Se =, entón existe algún punto, tal que = 0. Interpretación xeométrica: Dada función continua en, e derivable en,, que toma os mesmos valores nos extremos do intervalo, a súa gráfica ten algún punto con tanxente horizontal. a b b) é continua en 0, e, por ser polinómica nos dous intervalos. Continuidade en = : lim = lim = 3 = = 3 + = 1 é derivable en 0, e, por ser polinómica nos dous intervalos. Derivabilidade en = : = 4 + = = 1 Por outra parte 0 = = + 1 Temos así tres ecuacións con tres incógnitas: + = = 1 = 1 = 3 ; = 5 ; = 4 Página 37 de 47

38 XUÑO 011 (OPCIÓN A) 1+1 ptos (,-1) (-1,1) (1, ) < 0 Non está no > 0 decrecente dominio crecente Página 38 de 47

39 XUÑO 011 (OPCIÓN B) 3. Nunha circunferencia de radio 10 cm., divídese un dos seus diámetros en dúas partes que se toman como diámetros de dúas circunferencias tanxentes interiores a ela. Que lonxitude debe ter cada un destes dous diámetros para que sexa máxima a área delimitada polas tres circunferencias (rexión sombreada)? ptos Página 39 de 47

40 SETEMBRO 011 (OPCIÓN A) 3. a)enuncia o teorema de Bolzano. Podemos asegurar que a gráfica da función 3 cos corta o eixo OX nalgún punto do intervalo 0,? Razoa a resposta. b) Descompón o número 40 en dous sumandos tales que o produto do cubo dun deles polo cadrado do outro sexa máximo. Canto vale ese produto? a) Teorema de Bolzano: Se é unha función continua nun intervalo, e 0 (toma valores de distinto signo nos extremos do intervalo), entón existe a lo menos un punto, no que a función se anula: 0. 3 cos continua en 0, π 0 0 π 0 Polo teorema de Bolzano, 0, π tal que 0. b) Sumandos: ; 40. Hai que maximizar a función 40 Calculamos os puntos críticos , que evidentemente non maximiza a 0 40, que evidentemente non maximiza a 4 Posto que 0,4 0 4,40 0 podemos afirmar que ten un máximo relativo en 4. Polo tanto, os sumandos son 4 e 16 e o produto será ptos Página 40 de 47

41 SETEMBRO 011 (OPCIÓN B) 3. a) Calcula os extremos relativos da función 8 1. Calcula tamén o máximo absoluto e o mínimo absoluto desta función no intervalo 3,3. b) Calcula os valores de e para que a función teña un punto de inflexión no punto 1,. Para estes valores de a e b calcula o dominio e os intervalos de concavidade e convexidade de f(x). a) " 1 16 " á : 0,1 " " 3>0. í : -,-15,,-15 función polinómica é continua no intervalo 3,3 alcanza o mínimo e máximo absolutos no intervalo 3, Polo tanto: b) A función pasa polo punto (1,) 1. 4 " 4 í 3,3 : 15 3,3: 10 En 1, a función ten un punto de inflexión 0 " Polo tanto: 4. Como a función ln só está definida para números positivos, temos que 0, Por outra parte " 4 = E analizando o signo da segunda derivada: (0,1) " < 0 > 0 cóncava convexa 1+1 ptos Página 41 de 47

42 XUÑO 010 (OPCIÓN A) x 3x 3. Debuxa a gráfica de f(x), estudando: dominio, puntos de corte cos eixos, asíntotas, x 1 intervalos de crecemento e decrecemento, máximos e mínimos relativos, puntos de inflexión e intervalos de concavidade e convexidade. ptos Dom(f) = R-{-1} Página 4 de 47

43 Con estes datos, a gráfica da función será: Página 43 de 47

44 XUÑO 010 (OPCIÓN B) 3. a) Define función continua nun punto. Cando se di que unha discontinuidade é evitable? Para que x e valores de k, a función f( x é continua en todos os puntos da recta real? x k 3 b) Determina os valores de a, b, c, d para que a función g() x ax bx cx d teña un máximo relativo no punto (0,4) e un mínimo relativo no punto (,0). 1+1 ptos Página 44 de 47

45 SETEMBRO 010 (OPCIÓN A) 3. a) Definición e interpretación xeométrica da derivada dunha función nun punto. x x e b) Calcula: lim e cos x x 0 sen x 1+1 ptos Página 45 de 47

46 SETEMBRO 010 (OPCIÓN B) x 3. Debuxa a gráfica da función f ( x), estudando: dominio, puntos de corte cos eixos, asíntotas, x intervalos de crecemento e decrecemento, máximos e mínimos relativos, puntos de inflexión e intervalos de concavidade e convexidade. ptos Dom(f) = R-{} Página 46 de 47

47 Con estes datos, a gráfica da función será: Página 47 de 47