TEMA DE PROPORCIONALIDADE

Transcrição

1 TEMA DE PROPORCIONALIDADE PROPORCIONALIDADE A proporcionalidade é a relación en canto a magnitudes, cantidades ou graos dun oxecto con outro, ou a relación dunha parte co todo (dun oxecto). RAZÓN: É o valor da relación entre as magnitudes de dous segmentos. É dicir, dous segmentos de lonxitudes a e, considerando nesta orde o segmento non nulo, a razón é o cociente entre a e, a/ (proporcionalidade directa), ou a multiplicación a. (proporcionalidade inversa). Cando dúas razóns son iguais chámase proporción. Así, dicimos que catro segmentos de lonxitudes a,, c e d son proporcionais cando tomados de dous en dous estes segmentos as súas razóns é a mesma: a/ = c/d (proporcionalidade directa). Nunha proporción cúmprese que o produto dos extremos é igual ao produto dos medios: a.d =.c Clases de proporcionalidade: Proporcionalidade directa. Proporcionalidade inversa. PROPORCIONALIDADE DIRECTA: Dúas magnitudes X e Y, son directamente proporcionais cando a razón de cada par de valores é constante K. Así tendo os valores x1,x2,x3...xn de magnitude X e os valores y1,y2,y3...yn da magnitude Y, tense que cumprir: X1/y1=x2/y2=x3/y3...xn/yn= k, de onde xn=k.yn Onde K é a constante de proporcionalidade directa ou a razón directa. para K mayores de 0 para K menores de 0 Se queremos representar mediante un sistema de coordenadas cartesianas os valores das dúas magnitudes X e Y, oteremos unha recta que pasa pola orixe de coordenadas. 1

2 PROPORCIONALIDADE INVERSA Dicimos que dúas magnitudes son inversamente proporcionais, cando o produto de cada par de valores é constante, así os valores x1,x2,x3...xn da magnitude X e os valores y1,y2,y3...yn da magnitude Y, cumpre que x1.y1=x2.y2=x3.y3=...=xn.yn= K Onde a constante K chamase constante de proporcionalidade inversa ou razón inversa. Se queremos representar nun sistema de coordenadas os valores de X e de Y, oteremos unha curva, con dúas ramas chamadas hipéroles. y y x x para valores de K mayores de 0 para valores de K menores de 0 APLICACIÓNS DA PROPORCIONALIDADE DIRECTA THALES DE MILETO: Naceu entre os séculos VII- VI a. De C. Filósofo-matemático foi uns dos sete saios de Grecia, o seu discípulo foi Pitágoras. Aplicou os seus coñecementos da proporcionalidade directa, medindo a altura dunha pirámide relacionando a lonxitude da pirámide coa lonxitude da somra proxectada pola devandita pirámide. TEOREMA DE THALES: Os segmentos resultantes da intersección de rectas paralelas con dúas rectas concorrentes (que se cortan) son sempre proporcionais: d e A B c a f g h a/f=/g=c/h=d/i=e/j i j Dividir el segmento AB en 5 partes iguales. 1.1División dun segmento en cinco partes iguais: ver figura anterior. 1.2 División dunha circunferencia en partes iguais: apuntamentos posteriores. 2

3 1.3 Cuarta proporcional: Chámase cuarta proporcional de tres segmentos a,,c, a un cuarto segmento x que cumpre a/=c/x. De onde se deduce que a.x=.c X= a.c/ a/=c/x 20/35=25/x x=20.25/35 X=14,28 a =20 mm. = 35 mm. c=25mm. x 1.4 Terceira proporcional: Chámase terceira proporcional de dous segmentos a, a un terceiro X que cumpre a/=/x Dónde dedúcese que: a.x=. X= 2 /a a a a=35mm. =45 mm. X a/= /x 35/45=45/x de dónde se deduce: X=45.45/35=2025/35=57,85mm. 1.5 Media proporcional: Chámase media proporcional de dous segmentos a, a un terceiro X que cumpre que: a/x=x/, onde X 2 =a. Hai tres procedementos para a realización da media proporcional: 1.- Teorema de Euclides ou o teorema da altura: a altura dun triángulo rectángulo respecto da hipotenusa é media proporcional das proxeccións dos catetos sore a hipotenusa. Datos: - Dados a, poñen estes segmentos sore unha recta. - Trázase o arco capaz. - Levántase polo extremo da unha perpendicular. - Esa perpendicular é o segmento X media proporcional. 3

4 X 2 =a. X 2 = X= 31,62 x 2.- Teorema dos catetos: dise que un cateto é media proporcional entre a hipotenusa e a súa proxección sore ela. X 2 = a. X 2 = X= 52,91 a=40mm. 3.- Aplicación da potencia dun punto con respecto a unha circunferencia: A media proporcional sería o cadrado da tanxente trazada dende o punto á Circunferencia. Potencia = PA. PB Potencia = PT. PT Dónde PA.PB=PT 2 por lo tanto X 2 = a. X 2 =60.20; X = 60.20; X= 34,641mm. x 4

5 4) DIVISIÓN AUREA DUN SEGMENTO (tamén chámase a divina proporción ou Extrema e media razón): Se dividimos un segmento en duas partes "a" e "", sendo a> e que verifican que a+/a=a/, se estalece unha terceira proporcional moi particular, pois a súa razón sempre é a mesma, (phi)= (1 + 5) /2 =1,618 esta proporción otida está presente nas formas naturais, empezando pola propia figura. O número de ouro chamado por Leonardo dá Vince, foi calculado matematicamente por un franciscano chamado Luca Pacioli. Otención da sección áurea, dous casos: Caso 1:Dado o segmento a, deemos atopar un punto E que divida ao segmento de modo que cumpra: a/x= x/ X 2 =a., osea AB/AE = AE/EB a=65mm. N O M A m E B Pasos: 1. Dado a áchase a mediadriz e danos m. 2. Trázase unha perpendicular por B. 3. (B,Am) danos O. 4. (O,OB) circunferencia. 5. Trazar unha recta que pase por O centro e curta á circunf.en M e N. 6. (A, AN) que corta a AB en E (punto aureo o de oro). Demostracción: 5

6 Caso 2: Coñecido o segmento AC de lonxitude a= 40 mm. Oter un segmento que sumado ao a estea en proporción áurea E a= 40mm. A a M 40 C B AB/AC=AC/CB 64,72140/40=40/ 24,7214 1,618=1,618 Que es el valor del punto aureo. Pasos: - Dado a=40mm - Trazar un cadrado de lado 40 mm. - Trazar a mediatriz dá M - (M, ME) que corta á prolongación AC en B. - AC=a, CB= Caso 2: Dado un segmento achar outra parte para que sexa aureo. Outra forma. Pasos: -Dado o segmento AB, por B trázase unha perpendicular. - Trázase a mediatriz de AB que é C. - (B, CB, ) que corta á recta perpendicular "r" en D. - Trázase unha circunferencia de centro D e radio DB. - Únese e prolóngase AD, a recta curta á Circunferencia en E. - (A, AE) que corta á prolongación AB en F. -O segmento que estamos uscado pode ser BF ou AF 6

7 Construír un rectángulo áureo. Chámase rectángulo áureo a aquel os lados do cal están relacionados segundo a proporción áurea. Pasos: - Dado AB trázase perpendiculares polos seus extremos. - Áchase a súa mediatriz que nos dá M. - (B, BA) que corta á perpendicular en C. - (A, BA) que corta á perpendicular end. - prolongar B. - (M, MC) que corta á recta AB en E. - AE é o outro lado do rectángulo uscado. Nun pentágono hai dúas medidas que teñen relación áurea: - A diagonal e o lado do pentágono cumpran que d/ l =1, As dúas alturas do pentágono h/a =1, No pentágono estrelado tamén existe relación áurea. 7

8 Exercicios de aplicación. Resoltos. 1.Multiplicar entre si dous segmentos.: Dado a=30mm e =15mm alla o segmento a =45mm. É dicir 4,5cm.; a/c=x/; 30/10= x/15; despéxase e dá 30/10.15 =x; x=45mm. a= 30mm a x =15mm mm. se toma como unidad decimal Trazar dúas rectas que se cortan, transportando a partir do vértice a unidade e un dos segmentos a continuación. Sore o outro lado levar o outro segmento dado. Unir o segmento unidade co segmento a e trazar polo extremo unha paralela á recta última dándonos deste modo x segmento da multiplicación. 2. División dun número racional, ou división de dous segmentos. Dado o segmento a= 50 mm e = 20 mm achar a/, é dicir 5/2. a= 50mm. =20mm. aplicar la cuarta proporcional dónde a/= c/d ; 50/20=c/10 ; c= 50/20; c= a c

9 3.Dividir un segmento n=20mm. Por ¾: n/3/4. é o mesmo que 4 n/3 (o que está a dividir pasa multiplicando) 4 n/3; 4.20/3= 26,66. Imos realizar o exercicio de dúas formas: - Realizando primeiro a escala gráfica e logo medir o segmento. - Buscar primeiro a multiplicación 4n (4.2). Buscar logo a división 4.n/3. - Realizando a escala gráfica e logo medir o segmento: Nunha recta trasládase o segmento "n" catro veces, divídese o segmento resultante en tres partes iguais polo teorema de tales, cada parte equivale a 4 n/3 ou o que é o mesmo n/3/4. n= n/ Buscar primeiro a multiplicación 4n (4.2). Buscar logo a división 4.n/ Achar a raiz cadrada dun segmento dado: AB. Sexa o segmento AB de 50 mm. Utilízase a media proporcional onde temos dous segmentos AB=50mm e o segmeto unidade u=10mm. Pódese utilizar calquera dos procedementos da media proporcional. U/x= x/ab; onde x2=u. AB; x= 1.AB; x= AB X= ; x= 1.50; x=22,36 AB=50mm u AB A B 9

10 5. -Dado un segmento n= 30 mm, achar o segmento n 2 : Pódese trazar con dous procedementos. 1) Pola media proporcional: Recordemos que a media proporcional sería n 2 =a., onde a=10mm a unidade. Recordemos que n é o segmento media proporcional que vale: n= a.. O exercicio resólvese igual que o anterior, pero empezando polo final. Recordemos que a mediatriz dunha corda pasa sempre polo centro da circunferencia uscada. n= 30mm = =n 2 2Pasos: - Colócase nunha recta a unidade 10 mm no extremo transpórtase perpendicularmente o segmento n=30mm. - Únense os extremos dos dous segmentos e trázase a mediatriz, onde corte a mediatriz é o centro da semicircunferencia da media proporcional. -O segmento n 2 =90 mm. 2). - Pola terceira proporcional: Recordamos que a terceira proporcional sería: n/1=x/n; n2 =x n= 30mm n X= n 2 30 n Pasos: - Nas rectas concorrentes trasládase o segmento n nunha e na outra a unidade e outra vez o segmento n. 10

11 -Únese o extremo da unidade coa de n. Trázase unha paralela a esta última recta polo outro extremo de n e dános x. 6. -Dado un segmento l= 30 mm, achar o segmento l 2 : Hai que aplicar o teorema de Pitágoras onde o cadrado da Hipotenusa é igual á suma dos cadrados dos seus catetos. l l 2 l 2 2 d= l +l 2 d= 2.l d= 2. l 7. -Dado un segmento l= 30 mm, achar o segmento l 3 : según el teorema de Pitágoras a 2 = l l 2 según vimos no exercicio anterior l 2 2 = l 2 + l 2 sustitúes a 2 = l 2 + l 2 + l 2, a 2 = 3. l 2 a= 3. l 2 a= l Dividir un número irracional: Achar s / 2, sendo "s"= 40 mm. Para achar esta operación multiplícase todo pola raiz cadrada de dous 11

12 9. - Achar graficamente o produto de q pola raiz cadrada de 5 +1 partido por 2. Pasos: - Áchase graficamente a raiz cadrada de 5.q como vimos no exercicio anterior coa raiz cadrada de tres por "l" do exercicio anterior.. -Trázase a mediatriz do devandito segmento,y dános o segmento raíz cadrada de 5.q partido por 2. - Áchase a mediatriz do segmento q para oter q/2. Súmanse os dous segmentos Dividir un segmento de 60 mm en partes proporcionais a outros tres dados: a=20mm, =10mm, c=25mm. A B A B a c a c 12

13 11. - Achar dous segmento a e que son proporcionais a m e n de 15 e 20 mm. Respectivamente. Coñecendo outro segmento p= 60 mm., e saendo que a+=p Dados tres segmentos AB =3cm, CD =4cm e EF =6cm, calcula o segmento cuarta proporcional Dados dous segmentos AB= 4 cm, e CD=5cm, calcula un segmento terceira proporcional. 13

14 14. - Dados dous segmentos AB=3cm e CD=7cm, calcula o segmento media proporcional Utiliza o teorema de Pitágoras para demostrar o procedemento realizado no calculo da media proporcional de dous segmentos dados. A media proporcional ten que cumprir que x2= a. Se aplicamos o teorema de Pitágoras en cada un dos rectángulos da figura dada: C 2 = a 2 +x 2 Y 2 = 2 + x 2 Sumamos as devanditas ecuacións: c 2 +y 2 =a x 2 ; c 2 +y 2 =a x 2 Hai que recordar que existe outro triángulo rectángulo formado polos lados (a+), c e y, segundo Pitágoras (a+) 2 =c 2 +y 2. Se sustituímos quedaría (a+) 2 = a x 2 ***(a+)2 recorda que o cadrado dunha suma se resolve: como o cadrado do primeiro máis o cadrado do segundo máis o dore produto do primeiro polo segundo*** c a x y a a =a x 2 2a = 2x 2 a.=x 2 14

15 16. - Deuxar o segmento c=a., sendo a e segmentos dados e considerando como unidade o centímetro Deuxar o segmento m=a/, sendo a=3cm, =2 e considerando o centímetro como unidade Deuxar o segmento a. sendo a=2cm e =5cm. 15

16 19. - Deuxar o segmento n2, sendo n =25mm e considerando a unidade o centímetro Deuxar o segmento n, sendo n=3 cm e considerando como unidade o centímetro Achar un segmento, sendo <a, tal que a/= (phi) Dado a=3cm. 16

17 22. -Realiza a segmentación áurea do segmento (a+)=5cm, de modo que a/= (phi) Deuxar un rectángulo de ouro o lado maior do cal sexa m= Achar dous segmentos coñecida a súa suma e o seu media proporcional. Suma=5 cm. media proporcional=2cm. -Trázase unha semicircunferencia co segmento suma. -Leva o segmento media X=20 Proporcional perpendicularmente ao segmento suma. -Dito segmento dividiranos ao segmento suma nos dous segmentos uscados. a=9.7 =

18 25. - Achar dous segmentos coñecendo o seu segmento diferenza e o segmento media proporcional. Diferencia=3cm Mp=3,5. Mp=35 Resólvese mediante a potencia: -Trázase unha circunferencia con diámetro o segmento diferenza -Trázase unha recta tanxente de 35 mm, únese o último punto co centro da circunferencia ata que corte a devandita circunferencia. -O resultado final será un segmento con 23 mm e o outro con 53 mm A que distancia do centro dunha circunferencia de radio 3 CMatopa o punto a potencia do cal é de 16 cm? -Búscase a raiz cadrada de 16: Potencia: a.=pt 2 16= PT 2 16=PT 16 -Segundo paso é realizar unha circunferencia co radio 3 cm. -Trazar unha recta tanxente P á circunferencia co segmento raiz cadrada de 16. -Únese co centro e danos a solución do prolema: a 16 distancia do centro da circunferencia ata o punto P é de 5 cm o 18

19 27. - Deuxar o rectángulo de lados l1 e l2 coñecendo o perímetro do rectángulo P=8cm, que cumpre l1 /l2 =m/n sendo m=3.5cm e n=2cm. -Áchase a mediatriz do segmento perímetro (xa que p/2=l1+l2. -Divídese proporcionalmente o devandito segmento segundo a proporción l1 /l2 =m/n, deste xeito acharemos os segmentos l1,l2. -Cos devanditos segmentos realízase o rectángulo L1 L perimetro=80mm m p/2=l 1 +l 2 35 n 20 L2 L Dados dous segmento a suma da cal a+=9cm, e o seu produto é a.=16cm. Achar segméntoos a e. -Búscase primeiro co produto coa media proporcional xa que -O segundo paso é realizar a media proporcional coñecendo 16 o segmento suma e o segmento raiz cadrada de 16 mm, asi oteremos os segménto a=2.46cm e = a.= a a. 19

20 29. - Dados dous segmento a diferenza da cal é a-=5cm, e o seu produtoa. =15cm. Acha os segméntoos a e. -Como no outro exercicio, faise primeiro a media proporcional do produto de a. -o segundo paso é como temos o segmento diferenza e segmento media proporcional sacado do paso anterior, para achar os segmentos a e tense que facer o exercicio da potencia. -Trázase unha circunferencia de diámetro o segmento diferenza. -Trasládase tanxente o segmento raíz cadrada de 15 cm á circunferencia. -Únese o último punto co centro da circunferencia e prolóngase. Achando os segmentos uscados a.= Determinar graficamente un segmento saendo que a media proporciona l con outro segmento a é de 5 cm. segmento a=3cm. Pódese realizar de dúas formas: 1º Caso -Trázase o segmento a=3cm. -Trázase perpendicular ao segmento a, o segmento x=5cm. x resultado =83mm. a -Únense os dous segmentos. Trázase a mediatriz que corta á prolongación do segmento a, da o punto O. -Trázase a semicircunferencia con centro O, que nos dará o segmento. o 20

21 2º Caso É case igual ao exercicio anterior -Trázase a mediatriz do que vai ser a corda da semicircunferencia. 50 x a 0 30 resultado=83 mm Construír un triángulo coñecendo o lado AB sendo AB=5cm, o ángulo oposto C= 75º e a altura do lado=10cm. Escala 2:1 - X 2 = 1.AB - X= 1.AB AB =22.3mm A C c Datos do triángulo a construír a escala 2:1 a X 10 A Construír un octógono a diagonal do cal entre os vértices máispróximos é a cuarta cuarta proporcional de tres segmentos dados a=1cm, = 2, c= 4 cm. B B 1/ 2=4/X X = X

22 -Primeiro hai que uscar 4 por raiz cadrada de dous. -Segundo os apuntamentos de proporcionalidade este resultado sae de construír un triángulo rectángulo isóscele, os catetos do cal son 4 cm. -O segundo paso é construír un octógono regular Buscar as diagonais dun vértice, e por semellanza trasladar 5.6 cm que é o que é Trazamos paralelas a os lados do polígono auxiliar Deuxar o trapecio rectángulo de altura h=30mm, as ases da cal miden h. 5 e h. 7. Otén graficamente estas magnitudes Construír un Pentágono, o lado do cal é a terceira proporcional de dous segmentos dados a=80mm e =70mm. 22

23 35. - Acha un Pentágono dado a diagonal AC= 60 mm. (recorda que a diagonal dun pentágono é un segmento aureo) Achar o segmeto, coñecendo os segmentos a=60mm, a/=35mm e considerando como unidade o centímetro. a/ 1 = a/ a/ a Utilizase a cuarta proporcional, e utilizando a/ como un segmento individual Construír un heptágono regular, o lado do cal é a terceira proporcional de dous segmentos que miden a=80 e =70mm. Escala ½. 23

24 39. - Deuxar un triángulo isóscele de perímetro 10 cm e no que a ase é o segmento áureo dun dos lados laterais -Primeiro temos que conseguir un triángulo isóscele áureo calquera, para ter o ángulo que será igual en todos os triángulos isósceles áureos. Para isto constrúese un rectángulo áureo calquera, co lado menor e co maior se realiza o triángulo. Ver imaxes. -Saemos que as relacións angulares dun triángulo calquera co seu perímetro son as seguintes e máis cando é un triángulo isóscele. Pasos: - trazamos o rectángulo áureo. -Buscamos o triángulo isóscele áureo. -Conseguimos o ángulo = 72º -Buscamos a súa mediatriz para lograr = 36º -No segmento perímetro trazamos dous ángulos de 36º ditos ángulos córtanse en C. -Trazamos outros dous ángulos 36º a cada lado do vértice C. Os devanditos ángulos cortarán á recta de 10 cm en A e B. -O resultado final é o triángulo A,B,C. º º 36º C 36º 36º 38 72º A 24 72º B 36º