1 Processos Aproximativos

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Rosângela de Vieira Flores
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1 Desenho Geométrico Professora: Sandra Maria Tieppo 1 Processos Aproximativos Um processo é chamado aproximativo quando existe nele um erro teórico. Muitas vezes tais processos podem ser convenientes haja vista que o erro teórico é bem pequeno (pode ser considerado desprezível). Vejamos a seguir alguns processos aproximativos. 1.1 Retificação da circunferência Retificar significa tornar reto, alinhar ou ainda, achar a grandeza linear de uma curva. Para retificar uma circunferência deve-se construir um segmento cujo comprimento seja igual ao comprimento da circunferência. Processo de Arquimedes: usa π = C = 2rπ = dπ Onde d = 2r é o diâmetro. Deve-se então construir um segmento cujo comprimento é l = dπ = 3d + d 7 Exemplo 1 Dada uma circunferência de raio 3 cm, retifique-a pelo processo de Arquimedes. Calcule o comprimento da circunferência, C = 2rπ e compare com o resultado gráfico para verificar a precisão de seu traçado. 1. Obtenha graficamente o diâmetro de uma circunferência cujo comprimento l=9cm. O processo usado neste problema é chamado desretificação de uma circunferência. 2. Dada uma circunferência de raio 25 mm, retifique-a pelo processo de Arquimedes. 1.2 Retificação de arcos de circunferência Retificar um arco de circunferência é construir um segmento de reta cujo comprimento é igual ao comprimento do arco. 1) 0 < AB 90 Traça-se a reta s, suporte do diâmetro AC,e a tangente t por A. Toma-se P sobre s, externo a circunferência tal que P C = 3 do raio da circunferência. A reta que passa por P e B intercepta t em B. O segmento AB é o arco retificado. 1

2 No triângulo OBD tem-se que BD = r sin α e OD = r cos α. Veja figura a seguir. Da semelhança de PAB e PDB, tem-se Ou ainda, podemos escrever: AB BD = AP DP Portanto x r sin α = x = 11r r(7+ cos α) 11r sin α 7 + cos α A última igualdade permite determinar o comprimento x do segmento AB em função do ângulo α. Com auxílio de uma calculadora, pode-se calcular o valor de x para alguns ângulos e se comparando-se com o valor teórico l = rα, tem-se um erro pequeno. Por exemplo, para α = 30 o, tem-se x = 0, r e l = 0, r. 2

3 2) 90 < AB< 180 Divida o arco em dois arcos (Tome um ponto M próximo a seu ponto médio) Retifique-os pelo método anterior. 2) 180 < AB< 360 Retifica-se a circunferência Retifica-se o arco replementar daquele cuja retificação se pede Subtrai-se da retificação da circunferência, a retificação do replementar. (Jota-pág. 50 vol2) 1. Retifique um arco de 75 o de circunferência de raio igual a 35 mm. Qual é o comprimento aproximado desse arco? 2. Desretifique um arco de 0 mm de comprimento de uma circunferência de 30 mm de raio. Qual é a medida aproximada desse arco em graus?. 3. Determine graficamente o comprimento de um arco de 120 o de uma circunferência de raio igual a 30 mm.. São dadas duas circunferências tangentes no ponto A e sobre uma delas role o ponto B. Suponha que a circunferência que contém ao arco AB role sem esocrregamento sobre a outra circunferência, com o seu centro seguindo o sentido horário Determine graficamente o ponto em que B toca pela primeira vez a circunferência fixa. 1.3 Divisão de Ângulos Seja DÊF um ângulo a ser dividido. Com centro em O e raio qualquer (convenientemente grande), descreve-se uma circunferência, que intercepta os lados do ângulo em A e B. Retifica-se o arco AB obtendo-se AB. Divide-se AB no número de partes em que se quer dividir o ângulo. As retas conduzidas pelo ponto de divisão e pelo ponto P dividem o arco AB em partes iguais. Ligando os pontos de divisão do arco ao vértice O, o ângulo fica dividido em partes iguais. 1. Construa um ângulo de 8 o com régua e compasso. Utilizando o transferidor, meça sua resposta. 2. Construa um triângulo ABC, dados b=c=90mm e Â = 20o. Qual é o valor aproximado de a? (Utilizar só régua e compasso). 3

4 2 Circunferência 2.1 Inscrição e Circunscrição de Polígonos Regulares na Circunferência Definição 1 Um polígono é dito circunscrito a uma circunferência, se os seus lados são tangentes à circunferência. Definição 2 Um polígono é dito inscrito em uma circunferência, se todos os seus vértices estão na circunferência. 2.2 Divisão da circunferência por processos exatos Estudaremos o problema da divisão de uma circunferência por processos exatos para n = 2, 3, 5, 15 partes iguais. Divisão em n = 2,, 8, 16,... partes Neste caso o processo é exato. Basta traçar o diâmetro (n = 2) e realizando-se sucessivas bissecções tem-se a divisão em outras partes (n =, 6,...). Divisão em n = 3, 6, 12, 2,... partes Aqui também o processo é exato. Para o caso de n=6, basta tomarmos a medida do raio da circunferência e marcarmos sucessivos arcos na circunferência. Como exercício, explique porque tal afirmação é verdade. Divisão em n = 5, 10, 20, 0,... partes Vejamos a divisão em n = 10 partes. i) Traçam-se os diâmetros AB e CD perpendiculares. ii) Com centro em M, ponto médio de OB e raio MC descreve-se o arco que intercepta OA em E. OE é o áureo do raio (l 10. iii) Fazendo-se raio igual a l 10, a partir de um ponto qualquer da circunferência, efetua-se a divisão. Justificativa: O lado do decágono regular inscrito em uma circunferência é o segmento áureo do raio. (prova: ver pág. 57-vol2-Jota). propriedade 1 Para uma mesma circunferência, o l 5 é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são o l 6 e o l 10. Divisão em n = 15, 30, 60,... partes O arco cuja décima quinta parte da circunferência mede 2 o. Pode-se obter L 15 a partir de l 6 e l 10, pois como l 6 subtende um arco de 60 o e o l 10 um arco de 36 o, tem-se 2 o = o. 1. Em uma circunferência de raio igual a 5 cm, inscreva os polígonos regulares a seguir e dê as medidas aproximadas de seus lados: octógono (n=8), dodecágono (n=12), decágono (n=10) e pentágono (n=5).

5 2.3 Divisão da circunferência por processos aproximativos Estudaremos o problema da divisão de uma circunferência por processos aproximativos para n = 7, 9, 11e13 partes. Para as justificativas de tais construções, ver o livro do Jota, pág. 181 vol.2. Divisão em n = 7, 1, 28,... Construa uma circunferência. Trace a mediatriz do raio. A medida do segmento com origem no ponto médio do raio e extremidade no ponto da mediatriz que intercepta a circunferência é aproximadamente l 7. Divisão em n = 9, 18, 36,... i) traçam-se as retas suportes de dois diâmetros perpendiculares quaisquer.em seguida, tracam-se os seguintes arcos de circunferência ii) centro em A 1 e raio A 1 O obtendo B; iii) centro em A 2 e raio A 2 B obtendo A 3 ; iv) centro em A 3 e mesmo raio A 2 B obtendo D; v) CD é aproximadamente l 9 Divisão em 11, 22, 33,... Seja r o raio da circunferência a ser dividida. Constrói-se um triângulo retângulo de catetos r e r 2. O l 11 é aproximadamente igual a metade da hipotenusa desse triângulo. Divisão em 13, 26, 52,... i) Traçam-se os diâmetros AB e CD perpendiculares; ii) Sobre OC toma-se E com OE = 1 OC; iii) A reta conduzida por B e E intercepta a circunferência em F e AF é aproximadamente igual a l Construa um heptágono regular (n=7) de l=0mm. Qual é a medida aproximada do raio da circunferência circunscrita? 2. Inscreva um eneágono regular (n=9) numa circunferência de raio igual a r = 50mm. Qual é aproximadamente a medida do lado? 5

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