Tema: Circunferência e Polígonos. Rotações

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1 Nome: N.º: Turma: 9.º no Compilação de Exercícios de Exames Nacionais (EN) e de Testes Intermédios (TI) Tema: Circunferência e Polígonos. Rotações 1. Na figura está representado um decágono regular [ BCDEFGHIJ ], inscrito numa circunferência de centro O. HC são diâmetros desta circunferência. Os segmentos de recta [ ID ] e [ ] 1.1. pós uma rotação de centro em O e de amplitude 144 (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio), o ponto desloca-se para uma posição que, antes da rotação, era ocupada por outro ponto. De que ponto se trata? 1.. o observar a figura, a Rita afirmou: «amplitude do ângulo CDI é igual à amplitude do ângulo CHI.» Uma vez que a Rita não tinha transferidor, como é que ela poderá ter chegado a esta conclusão? Justifica a tua resposta Com o auxílio de material de desenho, inscreve, na circunferência desenhada ao lado, um triângulo equilátero. O ponto que está marcado no interior da circunferência é o seu centro. Não apagues as linhas auxiliares que traçares para construíres o triângulo. (EN ª Chamada). Na figura, está representado, num referencial ortogonal (eixos BC. perpendiculares), um triângulo [ ] O segmento de reta [ ] Sabe-se que 0 BC é perpendicular ao eixo dos xx. B =, C = 5 e BC = Indica um valor aproximado por defeito e outro por excesso do BC, a menos de 0,1. perímetro do triângulo [ ] Valor aproximado por defeito valor aproximado por excesso.. imagem do segmento de recta [ ] segmento de reta... BC obtida por meio de uma rotação de centro em e amplitude 90 é um () paralelo ao eixo dos xx (B) paralelo ao eixo dos yy (C) perpendicular a [ B ] (D) perpendicular a [ C ] (EN 005.ª Chamada) Ex. Exame + TI (9.º no) Circunferência e Polígonos. Rotações 1 / 7

2 3. Na figura, está representada uma circunferência, de centro O, em que:, B e C são pontos da circunferência; o segmento de reta C é um diâmetro; OB 30º? = Qual é a amplitude do arco B (em graus)? 3.. Considera uma reta tangente à circunferência no ponto. Seja D um ponto pertencente a essa reta. Sabendo que o ângulo BD é agudo, determina a sua amplitude (em graus). Justifica a tua resposta. BCDEFGH, 4. Na figura, está representado um octógono regular [ ] inscrito numa circunferência de centro O. o observar a figura, e sem efectuar medições, a na afirmou: BDFH é um quadrado.» «O quadrilátero [ ] Como é que ela poderá ter chegado a esta conclusão? Justifica a tua resposta. (EN 005.ª Chamada) 5. O símbolo ao lado está desenhado nas placas do Parque das Nações que assinalam a localização dos lavabos. s quatro figuras a seguir representadas foram desenhadas com base nesse símbolo. Em cada uma delas, está desenhada uma reta r. Em qual delas a reta r é um eixo de simetria? () (B) (C) (D) (EN 005.ª Chamada) (EN ª Chamada) 6. piscina da casa do Roberto vai ser decorada com azulejos. Em cada uma das quatro figuras que se seguem, estão representados dois azulejos. Em qual delas o azulejo da direita é imagem do azulejo da esquerda, por meio de uma rotação, com centro no ponto O, de amplitude 90 (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio)? () (B) (C) (D) 7. Na figura ao lado, está representada uma circunferência, de centro O, em que:, B, C e D são pontos da circunferência; DB 50º?? = ; DOC 60º =. Qual é, em graus, a amplitude do arco CB? (EN 006.ª Chamada) (EN 006.ª Chamada) Ex. Exame + TI (9.º no) Circunferência e Polígonos. Rotações / 7

3 8. Na figura, está representada uma circunferência, de centro O, em que:, B, C e D são pontos da circunferência; o segmento de reta [ ] BD é um diâmetro; E é o ponto de interseção das retas BD e C; DE é retângulo em E ; o triângulo [ ] CD 30º? = Qual é a amplitude, em graus, do arco CD (assinalado na figura a traço mais grosso)? D =, determina ED. 8.. Sabendo que 5 presenta todos os cálculos que efetuares Sem efetuares medições, explica por que é que a seguinte afirmação é verdadeira. CDE são geometricamente iguais.» «Os triângulos [ DE ] e [ ] 9. Sejam, B e C três pontos distintos de uma circunferência em que o arco B tem 180 de amplitude. Justifica a seguinte afirmação: «O triângulo [ BC ] não é equilátero.» BCDE. 10. Na figura está desenhado um pentágono regular [ ] Em qual das quatro figuras que se seguem o pentágono sombreado é a imagem do pentágono [ ] amplitude 180? BCDE obtida por meio de uma rotação de centro no ponto e () (B) (C) (D) 11. Na figura que se segue está representada uma circunferência de centro O, em PQRST. que está inscrito um pentágono regular [ ] (TI 9no Maio 008) (EN ª Chamada) (EN 007.ª Chamada) Qual é a amplitude, em graus, do ângulo TPQ? presenta todos os cálculos que efetuares Sabe-se que: a circunferência tem raio 5; SOR tem área 1. o triângulo [ ] Determina a área da zona sombreada a cinzento na figura. presenta todos os cálculos que efetuares e indica o resultado arredondado às décimas. 1. Na figura ao lado, está representada uma circunferência de centro no ponto O e diâmetro [B]. O ponto C pertence à circunferência. Determina a amplitude, em graus, do ângulo α. presenta os cálculos que efetuares. (EN 008.ª Chamada) (TI 9no Maio 008) Ex. Exame + TI (9.º no) Circunferência e Polígonos. Rotações 3 / 7

4 13. Na figura 3 está representada uma circunferência. Sabe-se que: [C] é um diâmetro de comprimento 15. B é um ponto da circunferência. B = Justifica que o triângulo [BC] é retângulo em B. Fig Calcula a área da região sombreada da figura 3. presenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às unidades. Nota: Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais. (TI 9no Maio 009) 14. figura 4 apresenta um pormenor arquitectónico da casa do Cipreste, de Raul Lino, em Sintra. Na figura 5, estão a representação geométrica de parte do pormenor arquitetónico e o vetor v?. Em qual das alternativas seguintes estão representadas a figura 5 e a imagem dessa figura através da translação associada ao vector v?? () (B) (C) (D) 15. figura ao lado [BCDEFGH] é um octógono regular inscrito na circunferência de centro O. Qual é a imagem do triângulo [OB] obtida por meio da rotação de centro no ponto O e de amplitude 135º, no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio? () [COD] (C) [HOG] 16. Na figura ao lado, sabe-se que: O é o centro da circunferência; (B) [EOD] (D) [GOF] [B] e [BC] são cordas geometricamente iguais; (EN ª Chamada) D é o ponto de interseção do diâmetro [EB] com a corda [C]. Nota: figura não está construída à escala Qual é, em graus, a amplitude do arco C, supondo que BC ˆ 8º =? 16.. Qual é, em centímetros, a medida do comprimento de [DE], supondo que O = 6,8 cm e C = 6, 4 cm. presenta os cálculos que efetuares. (TI 9no Maio 009) (EN ª Chamada) Ex. Exame + TI (9.º no) Circunferência e Polígonos. Rotações 4 / 7

5 17. Na figura ao lado, sabe-se que: o diâmetro [BD] é perpendicular ao diâmetro [C]; [OHDE] e [OFBG] são quadrados geometricamente iguais; o ponto O é o centro do círculo; OC = m Escreve, em graus, a amplitude do ângulo CB De entre as transformações geométricas indicadas nas alternativas seguintes, assinala a que não completa corretamente a afirmação que se segue. O quadrado [OHDE] é a imagem do quadrado [OFBG], através da transformação geométrica definida por uma: () rotação de centro no ponto O e amplitude 180º. (B) rotação de centro no ponto O e amplitude 180º. (C) simetria axial de eixo C. (D) simetria axial de eixo DB Determina o valor exato, em centímetros, da medida do lado do quadrado [OFBG]. presenta os cálculos que efetuares. EN 009.ª Chamada) 18. Na figura, está representada uma circunferência de centro O, na qual está inscrito um hexágono regular [BCDEF] Qual é a amplitude, em graus, do ângulo DOC? 18.. Relativamente à figura, sabe-se ainda que: a circunferência tem raio 4; o triângulo [DOC] tem área 4 3. Determina a área da região sombreada. Escreve o resultado arredondado às unidades. presenta os cálculos que efetuaste. Nota: Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais Considera a rotação de centro no ponto O e de amplitude 40º (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio). Qual é a imagem do ponto D obtida por meio dessa rotação? (TI 9no - Maio 010) 19. Na figura ao lado, está representada uma circunferência de centro O, na qual está inscrito um retângulo [BCD]. figura não está desenhada à escala. Sabe-se que: BD ˆ = 70º B = 4,35 cm Qual é a amplitude, em graus, do arco B? 19.. Quantos eixos de simetria tem o retângulo [BCD]? Qual é o comprimento, em cm, do diâmetro [BD] da circunferência? presenta os cálculos que efetuaste. Escreve o resultado arredondado às centésimas. Nota Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais. (EN ª Chamada) Ex. Exame + TI (9.º no) Circunferência e Polígonos. Rotações 5 / 7

6 0. Relativamente à figura, sabe-se que: [CEG] é um quadrado de lado 4 e centro O; os pontos B, D, F e H são os pontos médios dos lados do quadrado [CEG]; os vértices do quadrado [CEG] são os centros das circunferências representadas na figura; o raio de cada uma das circunferências é ; o ponto I pertence à circunferência de centro no ponto ; o ponto pertence ao segmento de reta [IO] Qual é a amplitude, em graus, do ângulo BIH? 0.. Determina a área da região sombreada. presenta os cálculos que efetuaste. Escreve o resultado arredondado às décimas. Nota Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais Determina o comprimento de [IO]. presenta os cálculos que efetuaste. Escreve o resultado arredondado às décimas. Nota Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais. (EN 010.ª Chamada) 1. Na figura ao lado, está representada uma circunferência de centro no ponto O. Os pontos, B, C, P e R pertencem à circunferência. Sabe-se que: a circunferência tem raio 8 B = BC [PR] é um diâmetro da circunferência; o ponto Q é o ponto de intersecção dos segmentos [B] e [PR] o ponto S é o ponto de intersecção dos segmentos [BC] e [PR] BO ˆ = Qual é a amplitude, em graus, do arco B? 1.. Determina a área da região representada a sombreado. presenta o resultado arredondado às unidades. presenta os cálculos que efetuares. Nota Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. (TI 9no - Maio 011). Na figura ao lado, está representada uma circunferência de centro O, na qual está inscrito um quadrado [BCD]. figura não está desenhada à escala..1. Quantos eixos de simetria tem o quadrado [BCD]? Transcreve a letra da opção correta. () 8 (B) 6 (C) 4 (D) 0.. dmite que B = 6. Determina o perímetro da circunferência. presenta o resultado arredondado às décimas. Mostra como chegaste à tua resposta. Nota Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais. (TI 9no - Maio 011) Ex. Exame + TI (9.º no) Circunferência e Polígonos. Rotações 6 / 7

7 3. Na figura ao lado, está representada uma circunferência de centro no ponto O. Sabe-se que:? os pontos, B, C, D e E pertencem à circunferência;? [D] é um diâmetro da circunferência;? o ponto P é o ponto de interseção dos segmentos de reta [C] e [BD].? CD ˆ = 40. figura não está desenhada à escala Qual das afirmações seguintes é verdadeira? Transcreve a letra da opção correta. () O ponto O pertence à mediatriz do segmento [P] (B) O ponto O pertence à mediatriz do segmento [BC] (C) O ponto B pertence à mediatriz do segmento [BC] (D) O ponto B pertence à mediatriz do segmento [P] 3.. Qual é a amplitude, em graus, do arco C? Mostra como chegaste à tua resposta Relativamente ao triângulo [ED], admite que:? E = 6,8 cm? DE = 3, cm Determina o perímetro da circunferência representada na figura. presenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas. presenta os cálculos que efetuares. Nota Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. (EN ª Chamada) 4. Na figura ao lado, está representada uma circunferência. figura não está representada à escala. Sabe-se que:? os pontos, B, C e D pertencem à circunferência;? o ponto P é o ponto de interseção das cordas [C] e [BD];? a amplitude do arco BC é 80º;? a amplitude do ângulo DPC é 85º Determina a amplitude, em graus, do ângulo DB. presenta os cálculos que efetuares. 4.. Os triângulos [BP] e [DCP] são semelhantes. dmite que:? DP = P ;? a área do triângulo [BP] é 6 cm. Qual é a área, em cm, do triângulo [DCP]? Transcreve a letra da opção correta. () 1 (B) 18 (C) 4 (D) 30 (EN 011.ª Chamada) Bom trabalho! Ex. Exame + TI (9.º no) Circunferência e Polígonos. Rotações 7 / 7

8 SOLUÇÕES 9.º no Compilação de Exercícios de Exames Nacionais (EN) e de Testes Intermédios (TI) Tema: Circunferência e Polígonos. Rotações 1.1. Ponto G; 1.. Porque os dois ângulos estão inscritos no mesmo arco de circunferência ver construção geométrica ao lado..1. valor aproximado por defeito: 14,4; valor aproximado por excesso: 14,5;.. (); 3.1. amplitude do arco B é 10 graus; 3.. amplitude do ângulo BD é 60 graus. Na justificação deve estar implícito o conhecimento de que uma recta tangente à circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangencia. 4. Os quatro lados do quadrilátero são iguais, porque a arcos iguais correspondem cordas iguais e cada um dos seus ângulos é recto, pois cada um destes ângulos está inscrito num arco de circunferência cuja amplitude é 180 graus. 5. (B); 6. (B); 7. amplitude do arco CB é 40 graus; º (a amplitude do arco é o dobro da amplitude do ângulo inscrito); ED ED =. Nota: sen30º = ED = 5sen30º ED =, , recta BD é um eixo de simetria. O ângulo ED tem de amplitude 90º. imagem do ponto é o ponto C e os pontos E e D são imagens de si próprios. Uma simetria em relação a uma recta transforma uma figura noutra CDE são geometricamente iguais. geometricamente igual, logo os triângulos [ DE ] e [ ] 9. O ângulo CB está inscrito no arco B, logo é um ângulo inscrito numa semicircunferência e como tal tem 90º de amplitude. O triângulo BC não pode ser equilátero, pois todos os ângulos internos de qualquer triângulo equilátero têm uma amplitude de 60º. Nota: Um triângulo rectângulo nunca pode ser equilátero, a hipotenusa é sempre o lado maior do triângulo. 10. (C) plicando a fórmula que nos dá a amplitude de um polígono regular com n lados podemos concluir que = 108º, logo TPQ ˆ = 108º. OU Tendo em conta que o ângulo TPQ é um ângulo inscrito no arco maior 5 TQ, cuja amplitude é 16º, porque 360º 5 = 7º e 7º 3 = 16º, a sua amplitude será metade deste valor, ou seja, TPQ ˆ = 108º = = 5 = 5π 60 18, 5 sombreada pentágono Cálculo uxiliares: π π = 5 = 5 e pentágono = 5 = 5 1 = 60 Ex. Exame + TI (9.º no) Circunferência e Polígonos. Rotações 1 / 3

9 1. α = 30º. Nota: OC ˆ = 180º 60º = 10º ; 180º 10º = 60º = OC ˆ + OC ˆ, como o triângulo [OC] é isósceles CO ˆ = OC ˆ = 60º = 30º, ou seja, α = 30º. OU Tendo em conta que CB? = 60º, uma vez que se trata do arco correspondente ao ângulo ao centro COB, podemos concluir que o ângulo inscrito BC vai ter uma amplitude de 30º (metade de 60º). Dado que o triângulo [OC] é isósceles, a lados iguais opõem-se ângulos iguais, ou seja, BC ˆ = CO ˆ = α = 30º Trata-se de um ângulo inscrito numa semicircunferência = = 56, 5π sombreada Cálculo uxiliares: = π 7,5 = 56,5π e 9 1 = = 54 Para determinar a base do triângulo, BC, usamos o Teorema de Pitágoras: B + BC = C 1 + BC = 15 BC = BC = 81 BC = ± 81 BC = ± 9, como se trata de um comprimento não pode ser negativo logo BC = (); 15. (D); 16.1.? C = 56º ; 16.. DE = 0,8. Nota: DE = OE OD ; OE = O = 6,8 (raio da circunferência) e OD pode ser calculado usando o Teorema de Pitágoras, uma vez que o triângulo [OD] é rectângulo. Sendo assim comprimento não pode ser negativo logo 6 + = + 3, = 6,8 (...) = ± 6, como se trata de um OD D O OD OD OD =. Deste modo DE = OE OD = 6,8 6 = 0, CB ˆ = 45º (ângulo inscrito num quarto de circunferência) (D); Nota: Pelo Teorema de Pitágora podes concluir que OG + GB = OB x + x = trata de um comprimento não pode ser negativo logo = 4 = = ±, como se x = OG = DOC ˆ = 60º ; 18.. = = 16π sombreada hexágono x x x Cálculo uxiliares: = 4 = 16 e hexágono = 6 = = 4 3 π π F; 19.1.? 4,35 4, 35 B = 140º ; 19.. ; sen 70 = BD BD 4, 63cm BD = sen 70º 0.1. BIH ˆ = 45º (ângulo inscrito num quarto de circunferência). = 4 = = 16 4π 3, 4 Sombreada 4 Cálculo uxiliares: = 4 4 = 16 e = = 4. π π 0.. IO = I + O IO = + 8 IO 4,8. Nota: Usando o Teorema de Pitágoras podes concluir O =, uma vez que [ O ] é a hipotenusa do triângulo [ ] que 8 circunferência) º. Nota:? B = 180º 7º = 108º. HO e H = HO = (raio da 1.. = [ ] = 3π 64 tan 36º 54 Sombreada Semicírculo QBS. Nota: = 8 = 64, logo Semicírculo 3 π π = ; π OQ tan 36º = OQ = 8 tan 36º ; 8 OQ OB 8 tan 36º 8 = = = = 64 tan 36º [ QBS] [ QOB] ; Ex. Exame + TI (9.º no) Circunferência e Polígonos. Rotações / 3

10 .1. (C);.. P 7 = π r = π = 7 π 6, 7. Nota: pelo Teorema de Pitágoras podemos determinar o diâmetro da circunferência. C = B + BC C = C = 7 C = ± 7, como se trata de um comprimento, não pode ser negativo logo C = 7, ou seja, o valor exato do raio desta circunferência é (B); º. Nota:? C = 180º 80º = 100º P = π r = π d = π D = π 7,5 3, 6 cm. Nota: O triângulo [ED] é retângulo em E porque o ângulo ED é um ângulo inscrito numa semicircunferência. O valor de D pode ser determinado pelo Teorema de Pitágoras. D = 6,8 + 3, D = 56, 48 D = ± 56, 48 D ± 7,5, como se trata de um comprimento D 7, DB ˆ = 55. Nota: DPB ˆ = 85 (ângulos verticalmente opostos) e CB ˆ = 40 amplitude igual a 80º). (ângulo inscrito num arco de 4.. (C). Nota: a razão de semelhança desta ampliação é, como a razão entre as áreas de figuras semelhantes é igual à razão de semelhança ao quadrado temos [ DCP] [ DCP] [ DCP] = = = r 6 4 [ DCP]. Ex. Exame + TI (9.º no) Circunferência e Polígonos. Rotações 3 / 3