2. A condición de equilibrio para o prezo, en unidades monetarias, de tres produtos,

Transcrição

1 Exercicios de Reforzo: Sistemas de ecuacións lineais. Tres socios reúnen 6000 euros para investir nun produto financeiro. Sábese que o primeiro achega o dobre que o segundo e que oterceiro achega tanto coma o primeiro e o segundo xuntos. a) Formula o sistema de ecuacións lineais asociado ao enunciado e exprésao en forma matricial. b) Resolve o sistema anterior, canto diñeiro achega cada un dos socios para realizar o investimento?. A condición de equilibrio para o prezo, en unidades monetarias, de tres produtos, P, P, e P, relacionados en tre si, dá lugar ao seguinte sistema de ecuacións lineais: x + y + z = 6; x + y z = 0; x y + z = sendo x, y e z os prezos dos produtos P, P, e P, respectivamente. a) Expresa o sistema en forma matricial AX = B. Calcula amatriz inversa de A sendo A a mariz cadrada de orde dos coeficientes. b) Calcula os prezos de equilibrio para eses tres produtos x, y, e z.. a) Calcula as matrices X e Y que verifican o sistema: X + Y = ( ) ; X 5Y = ( 5 4 ) b) Calcula a matriz inversa de X Y 4. Decidimos investir unha cantidade de 5000 euros en bolsa, comprobando accións de tres entidades A, B e C. Investimos en A o dobre que en B e en C xuntas. Transcorrido un ano, as accións da entidade A revalorizándose un %, as de B un 4% e as de C perderon un %, e como consecuencia, obtivemos un beneficio de 80 euros. Determina canto investimos en cada unha das entidades. Formular o sistema e resolvelo por un método axeitado. 5. Considera as matrices A, B, C e D seguintes: 0 x A = ( 0 0) B = ( 4 ) C = ( 0) D = ( x y ) 0 0 y a) Calcula a inversa da matriz A b) Calcula a matriz C D B, cal é a súa orde? c) Determina os valores de x, y e z que verifiquen x A B = C D B 6. Sexan as matrices A, B, C, D e E: 0 0 A = ( 0) B = ( ) C = ( ) D = ( ) E = ( 7) Calcula os valores dos números reais x,y, z, para que se verifique a seguinte igualdade entre matrices: x A B = E + y C + z D

2 7. Un autobús transporta en certa viaxe 60 viaxeiros de tres tipos: viaxeiros que pagan o billete enteiro que custa, estudantes que teñen un 5% de desconto e xubilados cun desconto do 50% do prezo do billete. A recadación do autobús nesta viaxe foi de 49. Calcula o número de viaxeiros de cada clase sabendo que o número de estudantes era o dobre do resto de viaxeiros. 8. Unha empresa de produtos informáticos ten tres tendas (T, T, e T nas que vende un modelo de ordenador (O), un de impresora (I) e outro de cámara dixital (C) a un prezo de venda por unidade de 00, 00 e 650 respectivamente. En certo mes, o número de artigos vendidos en cada tenda é o indicado na seguinte táboa: Determina o número de artigos vendidos en cada unha das tres tendas, sabendo que os ingresos obtidos no devandito mes foron 600 na tenda T, 9700 nat e 00 na T. Formula o sistema matricial. 9. Un fabricante produce tres artigos diferentes (A,B, e C),cada un dos cales precisa para a súa elaboración de tres materias primas (M, M e M ). Na seguinte táboa represéntase o número de unidade de cada materia prima que se require para elaborar unha unidade de cada produto: Produtos A B C M M M 4 Dispón de 50 unidade dem, 70 unidades de M, e unidades de M. a) Determina as cantidades de artigos A, B e C que produce dito fabricante. b) Se os prezos de venda de cada artigo son respectivamente 500, 600 e 000 euros e gasta en cada unidade de materia prima 50, 70 e 60 euros, respectivamente, determina o beneficio total que consegue coa venda de toda a produción obtida.(utilizando todos os recursos posibles)

3 s. Tres socios reúnen 6000 euros para investir nun produto financeiro. Sábese que o primeiro achega o dobre que o segundo e que oterceiro achega tanto coma o primeiro e o segundo xuntos. a) Formula o sistema de ecuacións lineais asociado ao enunciado e exprésao en forma matricial. b) Resolve o sistema anterior, canto diñeiro achega cada un dos socios para realizar o investimento? a) Definimos x= euros achegados polo primeiro socio y= euros achegados polo degundo socio e z= euros achegados polo terceiro socio x + y + z = 6000 x + y + z = 6000 { x = y z = x + y { x y = 0 x + y z = 0 x 6000 Expresamos o sistema en forma matricial: ( 0) ( y) = ( 0 ) z 0 b) Resolvemos o sistema anterior polo método de Gauss: 6000 ( 0 0) f f 6000 x + y + z = 6000 ( ) { y + z = 6000 f 0 f z = 6000 Despexamos e obtemos x = 000 y = 000 e z = 000. A condición de equilibrio para o prezo, en unidades monetarias, de tres produtos, P, P, e P, relacionados en tre si, dá lugar ao seguinte sistema de ecuacións lineais: x + y + z = 6; x + y z = 0; x y + z = sendo x, y e z os prezos dos produtos P, P, e P, respectivamente. a) Expresa o sistema en forma matricial AX = B. Calcula amatriz inversa de A sendo A a mariz cadrada de orde dos coeficientes. b) Calcula os prezos de equilibrio para eses tres produtos x, y, e z. x 6 a) Sistema en forma matricial ( ) ( y) = ( 0) z 0 / / Calculamos A =( / /6 /) / / 0 b) Calculamos agora os prezos de equilibrio x, y e z: x 0 / / 6 ( y) = ( / /6 /) ( 0) = ( ) z / / 0 x =, y = e z = e polo tanto o prezo dos produtos P, P, e P é, e unidade monetarias respectivamente.

4 . a) Calcula as matrices X e Y que verifican o sistema X + Y = ( ) ; X 5Y = ( 5 4 ) b)calcula a matriz inversa de X Y a) Multiplicando a segunda ecuación e matriz por - e sumando o resultado coa primeira ecuación X + Y resulta: 7Y = ( ) Y = ( 4 7 ) e X = ( ) + ( 4 4 ) = ( ) b) Calculamos a inversa de X Y por calquera dos métodos: X Y = ( 5 0 ) e a súa inversa (X /5 /5 Y) = ( 0 ) 4. Decidimos investir unha cantidade de 5000 euros en bolsa, comprobando accións de tres entidades A, B e C. Investimos en A o dobre que en B e en C xuntas. Transcorrido un ano, as accións da entidade A revalorizándose un %, as de B un 4% e as de C perderon un %, e como consecuencia, obtivemos un beneficio de 80 euros. Determina canto investimos en cada unha das entidades. Formular o sistema e resolvelo por un método axeitado. x + y + z = 5000 x + y + z = 5000 x = (y + z) { 00 x y { x y z = 0 z = 80 x + 4y z = Sendo x a cantidade investida na entidade A, y a cantidade investida na B e z na C. Resolvemos o sistema polo método de Gauss e obtemos: x=0000 investidos na primeira entidade,a, y=000 na entidade B, z=000 na entidade C 5. Considera as matrices A, B, C e D seguintes: 0 x A = ( 0 0) B = ( 4 ) C = ( 0) D = ( x y ) 0 0 y a) Calcula a inversa da matriz A b) Calcula a matriz C D B, cal é a súa orde? c) Determina os valores de x, y e z que verifiquen x A B = C D B a) A inversa da matriz A, a podemos calcular xa que o determinante da matriz A = logo a matriz adxunta e a súa trasposta e obtemos 0 0 A = ( 0 0 ) 0 4

5 y + z y + z + x b) Calculamos C D = ( y ) e logo C D B = ( y 4 ) a orde da y + z z matriz é x c) Para determinar os valores de x, y e z calculamos: 4 4 y + z + x A B = ( y ) igualamos ambas matrices ( y ) = ( y 4 ) x + y x + y z y + z + x = 4 Obtemos o sistema: { y 4 = y z = x + y e z=- resolvemos o sistema e obtemos x=, y= 6. Sexan as matrices A, B, C, D e E: 0 0 A = ( 0) B = ( ) C = ( ) D = ( ) E = ( 7) Calcula os valores dos números reais x,y, z, para que se verifique a seguinte igualdade entre matrices: x A B = E + y C + z D Calculamos a inversa de A, o seu determinante A = logo a matriz de adxuntos e 0 0 trasposta e obtemos A = ( 0) operamos A B=( ) e formulamos o 0 x + y + z = sistema { x y z = 7 resolvemos polo método de Gauss: x + y + 5z = 4 ( 7) f f ( 0 ) f f ( ) intercambiamos f por f ( 0 4 y=- e x= 0 ) f + f ( ) e obtemos z=, 9 7. Un autobús transporta en certa viaxe 60 viaxeiros de tres tipos: viaxeiros que pagan o billete enteiro que custa, estudantes que teñen un 5% de desconto e xubilados cun desconto do 50% do prezo do billete. A recadación do autobús nesta viaxe foi de 49. Calcula o número de viaxeiros de cada clase sabendo que o número de estudantes era o dobre do resto de viaxeiros. Sexa x= número de viaxeiros que pagan o billete enteiro. Sexa y= número de viaxeiros que son estudantes. Sexa z = número de viaxeiros que son xubilados. 5

6 Formulamos o sistema seguinte: x + y + z = 60 { x + 0,75y + 0,5 = 48 y = (x + z) Resolvemos o sistema polo método de Gauss: ( 0,75 0,5 48) f f ( 0 0,5 0,5 ) 0 0 f + f ( 0 0,5 0, ) { 0 x + y + z = 60 0,5y 0,5z = y = 0 Resolvemos e obtemos x=6 viaxeiros billete enteiro y= viaxeiros estudantes e z=4 viaxeiros xubilados. 8. Unha empresa de produtos informáticos ten tres tendas (T, T, e T nas que vende un modelo de ordenador (O), un de impresora (I) e outro de cámara dixital (C) a un prezo de venda por unidade de 00, 00 e 650 respectivamente. En certo mes, o número de artigos vendidos en cada tenda é o indicado na seguinte táboa: Determina o número de artigos vendidos en cada unha das tres tendas, sabendo que os ingresos obtidos no devandito mes foron 600 na tenda T, 9700 nat e 00 na T. Formula o sistema matricial. x y Sistema matricial ( 5 x z ) ( 00 ) = ( 97000) 0 y z x + 00y = 600 Obtemos o sistema lineal { x + 650z = y + 650z = 00 4x + y = 70 Operamos e simplificamos e obtemos :{ 6x + z = 94 6y + z = 64 Resolvemos o sistema por calquera método e obtemos x=5 y=0 e z=8, concluíndo que a tenda T vendeu nese mes 5 ordenadores, 0 impresoras e 4 cámara dixitais ; na tenda T, vendeuse 5 ordenadores,5 impresoras e 8 cámara dixitais e na tenda T 0 ordenadores 0 impresoras e 8 cámaras dixitais. 6

7 9. Un fabricante produce tres artigos diferentes (A,B, e C),cada un dos cales precisa para a súa elaboración de tres materias primas (M, M e M ). Na seguinte táboa represéntase o número de unidade de cada materia prima que se require para elaborar unha unidade de cada produto: Produtos A B C M M M 4 Dispón de 50 unidade dem, 70 unidades de M, e unidades de M. a) Determina as cantidades de artigos A, B e C que produce dito fabricante. b) Se os prezos de venda de cada artigo son respectivamente 500, 600 e 000 euros e gasta en cada unidade de materia prima 50, 70 e 60 euros, respectivamente, determina o beneficio total que consegue coa venda de toda a produción obtida.(utilizando todos os recursos posibles) a) Chamamos x= unidades do artigo A y =Unidades artigo B, e z= unidades artigo C e obtemos os sistema: x + y + z = 50 x 50 x + y + z = 70} en forma matricial ( ) ( y) = ( 70) x + y + 4z = 4 z Resolvemos por un método axeitado por exemplo por Gauss: intercambiamos as filas 4 ( 50) f f 4 ( 0 5 f 70 f ) f f ( x=8 artigos, y=5 artigos, z= artigos 8 b) Os ingresos serán: I=( ) ( 5 ) = 5000 euros 50 Os gastos serán : G=( ) ( 70) = 9800 euros Calculamos o beneficio total B= I-G= 500 euros 0) 0 7