I NÚMEROS E ÁLXEBRA 5

Transcrição

1 Índice xeral Páxina I NÚMEROS E ÁLXEBRA 5 1. NÚMEROS REAIS Coñecementos previos Números racionais e irracionais Notacións Valor absoluto Distancia Intervalos Aproximación e erros Notación científica Radicais Exercicios NÚMEROS COMPLEXOS 3.1. Coñecementos previos Introdución Forma binómica do número complexo Operacións con números complexos Números complexos en forma polar Operacións con complexos en forma polar Radicación de números complexos Exercicios SUCESIÓNS Definición de sucesión Tipos importantes de sucesións Sucesións monótonas e acotadas Límite dunha sucesión Número e O número áureo, φ Logaritmos Exercicios ECUACIÓNS Coñecementos previos Polinomios

2 ÍNDICE XERAL 4.3. Fraccións alxébricas Ecuacións Inecuacións Sistemas de ecuacións Sistemas de inecuacións Exercicios II ANÁLISE FUNCIÓNS Funcións e gráficas Funcións elementais Operacións con funcións Transformacións elementais de funcións Composición de funcións Funcións de oferta e demanda Exercicios LÍMITES E CONTINUIDADE Visión intuitiva da continuidade. Tipos de descontinuidades Límite dunha función nun punto Continuidade de funcións Límite dunha función no infinito Ramas infinitas. Asíntotas Exercicios DERIVADAS Taxa de variación media dunha función Derivada dunha función nun punto Función derivada Regras de derivación Regra da cadea Derivación da función logaritmo e derivación logarítmica Aplicacións da derivada Exercicios III XEOMETRÍA RAZÓNS TRIGONOMÉTRICAS Introdución Razóns trigonométricas dun ángulo agudo Razóns trigonométricas dun ángulo calquera Propiedades e relacións das razóns trigonométricas Fórmulas trigonométricas Ecuacións trigonométricas Exercicios

3 ÍNDICE XERAL 9. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Introdución e propiedades Resolución de triángulos rectángulos Teorema do seno Teorema do coseno Resolución de triángulos non rectángulos Aplicación da resolución de triángulos Exercicios XEOMETRÍA ANALÍTICA Introdución Vectores Produto escalar de dous vectores Ecuacións da recta Posición relativa de dúas rectas Feixes de rectas Distancias e ángulos Exercicios LUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS Introdución Lugares xeométricos Circunferencia Elipse Hipérbola Parábola Exercicios IV ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE ESTATÍSTICA DESCRITIVA 171 3

4 ÍNDICE XERAL 4

5 Parte I NÚMEROS E ÁLXEBRA 5

6

7 Unidade 1 NÚMEROS REAIS 1.1. Coñecementos previos Concepto de fraccións equivalentes Dúas fraccións son equivalentes cando representan o mesmo número. Podemos comprobar que dúas fraccións son equivalentes de distintas formas: As súas representacións gráficas son iguais: 3 4 e 9 1 Teñen a mesma expresión decimal. Os seus produtos cruzados son iguais: 3 4 = = 0,75 e 9 1 = 0,75 xa que 3 1 = 4 9 = 36 Podemos obter fraccións equivalentes de dúas maneiras: Amplificación: multiplicamos o numerador e o denominador polo mesmo número. 3 4 = 6 8 = 9 1 7

8 1.1. COÑECEMENTOS PREVIOS Simplificación: dividimos o numerador e o denominador polo mesmo número. Se non podemos seguir simplificando unha fracción, decimos que a fracción é irredutible. Concepto de fracción propia e impropia 4 3 = 1 16 = 3 4 Unha fracción é propia se o numerador é máis pequeno que o denominador. Representa un número decimal entre 0 e , 4 7, 8 10 Unha fracción é impropia se o numerador é máis grande ou igual que o denominador. Representa un número maior ou igual ca , 9 4, 6 3 As fraccións impropias pódense expresar como números mixtos, que están formados por un número enteiro máis unha fracción propia. Para pasar de fracción impropia a número mixto debemos facer a división do numerador entre o denominador, pero sen obter decimais. O número enteiro será o cociente da división, e a fracción propia estará formada polo resto da división como numerador e o divisor como denominador. Ás veces podemos ver o número mixto sen o signo da suma entre o número enteiro e a fracción propia. 9 4 = = 1 4 Para pasar de número mixto a fracción impropia basta con realizar a suma e deixar a fracción resultante = = 8 5 Paso de decimal a fracción Números decimais exactos: son aqueles que teñen un número determinado (finito) de decimais. Para expresalos como fracción poñemos no numerador o número sen a coma e no denominador a unidade seguida de tantos ceros como decimais teña o número. A fracción obtida podémola simplificar.,75 = = 11 8 Números decimais periódicos puros: son aqueles que teñen un número infinito de decimais, pero que se repiten na súa totalidade continuadamente (empézanse a repetir inmediatamente despois da coma). O conxunto de cifras decimais que se repiten recibe o nome de período. Para expresalos como fracción debemos poñer no numerador a resta entre o número sen coma (parte enteira e período) e a parte que non se repite (parte enteira) e no denominador tantos noves como cifras teña o período. Ao igual que todas as fraccións, a que obtemos tamén podemos tratar de simplificala., 36 {{ = 36 = =

9 1.. NÚMEROS RACIONAIS E IRRACIONAIS Números decimais periódicos mixtos: son aqueles que teñen un número infinito de decimais que se repiten indefinidamente (período) e un número determinado de decimais que non se repiten (anteperíodo). Para expresalos como fracción debemos poñer no numerador a resta entre o número sen coma (parte enteira, anteperíodo e período) e a parte que non se repite (parte enteira e anteperíodo) e no denominador tantos noves como cifras teña o período e tantos ceros como cifras teña o anteperíodo. Ao igual que todas as fraccións, a que obtemos tamén podemos tratar de simplificala.,8 {{ 3 = = = 17 6 Clasificación dos números decimais a partir da fracción irredutible Dada unha fracción, podemos saber que tipo de número decimal é sen necesidade de realizar a división. Para iso deberemos traballar coa fracción irredutible. Unha vez que temos a fracción irredutible debemos descompoñer en factores primos o seu denominador. Se na descomposición do denominador só hai e/ou 5, a fracción correspóndese cun número decimal exacto. 9 0, 1 5, Se na descomposición do denominador non aparecen nin o nin o 5, a fracción correspóndese cun número decimal periódico puro. 4 7, 8 9, 10 1 Se na descomposición do denominador aparecen outros factores ademais do e/ou 5, a fracción correspóndese cun número decimal periódico mixto. 3 1, 17 6, Números racionais e irracionais Os número naturais son os números {0, 1,, 3...} e utilízanse para contar e para ordenar os elementos dun conxunto. Cómpre remarcar que o feito de considerar ou non o cero depende de se traballamos en Cálculo, no que non se considera; ou en Álxebra no que se consideran os cardinais e, por tanto, o cero si que se inclúe. O conxunto dos enteiros está formado polos naturais e os enteiros negativos { 1,, 3, 4...}. O conxunto dos números racionais está formado polos enteiros e as fraccións. Todos os conxuntos dos que acabamos de falar son infinitos e a súa relación pódese ver dunha maneira máis clara no seguinte esquema: Números naturais(n) : {1,, 6 Números enteiros(z), 16,...} Números enteiros negativos : { 1, 8 4, 3 7,...} Números racionais(q) Números decimais exactos : {0, { 7; 1, 5,...} Números decimais Periódicos puros : {1, {{ 4,...} Números decimais periódicos Periódicos mixtos : {, 3 56, {{...} 9

10 1.. NÚMEROS RACIONAIS E IRRACIONAIS Representación de números racionais Para representar un número racional sobre a recta usamos normalmente o Teorema de Thales. Para iso, trazamos unha semirrecta calquera nun dos extremos para dividir o noso segmento en partes iguais. Esa semirrecta dividímola en tantas partes iguais como número de partes nas que se queira dividir o noso segmento, e logo únense os extremos dos dous segmentos e trázanse paralelas. Cómpre recordar que debemos traballar coa fracción en forma de número mixto, no caso de que sexa impropia, e tomar como punto de partida o número enteiro que obtivemos en dita expresión de número mixto. Por exemplo para representar a fracción 3 obtemos o seguinte: Números irracionais O conxunto dos números que non se poden representar en forma de fracción forma ao conxunto dos números irracionais. A súa expresión ten un número infinito de cifras decimais, pero que non se repiten periodicamente. Existen infinitos números irracionais, algúns exemplos son: 0, = 1, π = 3, Vexamos, por exemplo, que efectivamente non se pode representar mediante unha fracción. Supoñamos que efectivamente si que se pode e chegaremos a un absurdo. Tomemos entón dita fracción de modo que sexa irredutible: = a b, Elevamos ao cadrado ambos membros e chegamos a que = a b, b = a Por tanto a debe ser múltiplo de, e por tanto tamén a é múltiplo de, xa que a e b son coprimos. Tomamos agora a = k e substituindo obtemos: b = (k), b = 4k, b = k Temos agora que b é múltiplo de, o que fai que tamén o sexa b. Chegamos así a unha contradición, pois agora temos que a e b son múltiplos de, feito que non pode suceder pois a e b non teñen ningún divisor en común. Temos entón por tanto que é irracional. 10

11 1.3. NOTACIÓNS Representación de números irracionais Para representar os números irracionais podémolo facer de maneira aproximada, facendo unha cadena de representacións na que facemos unha especie de zoom e imos sendo cada vez máis precisos. En cambio, hai algúns irracionais, como os que son raíces cadradas de calquera número natural, que se poden representar usando o teorema de Pitágoras. Podemos ver no seguinte exemplo como representar algunhas raíces como 5, 6 ou Notacións Aínda que algunha notación xa a puidemos ver escrita no anterior epígrafe, vexámola agora con máis detalle e profundidade, e tamén a relación entre os diferentes números. N representa o conxunto dos números naturais. Z representa o conxunto dos números enteiros. Q representa o conxunto dos números racionais. I representa o conxunto dos números irracionais. R representa o conxunto dos números reais. Ademais, a relación de inclusión deles é a seguinte: N Z Q R Tamén temos que dicir que Q I = e Q I = R. Vexamos un exemplo, onde podemos ver os distintos tipos de números: 1.4. Valor absoluto O valor absoluto dun número é a distancia do propio número á orixe. Temos entón que o valor absoluto é o mesmo número se este é positivo, e o oposto se é negativo. 11

12 1.5. DISTANCIA a = { a, si a 0 a, si a < 0 Tendo en conta esta definición vemos que o valor absoluto verifica as seguintes propiedades para todo a,b R: a 0 para calquera número real e ademais a = 0 se e só se a = 0. a b = a b a + b a + b. A esta propiedade coñecémola co nome de desigualdade triangular. Exemplo = 8 3 = Distancia A distancia entre dous números reais é o valor absoluto da súa diferenza. d(a, b) = b a Por estar definida como o valor absoluto dun número real cumpre as seguintes propiedades: d(a, b) 0 a, b R d(a, a) = 0 a R d(a, b) = d(b, a) a, b R. É a propiedade simétrica. d(a, c) d(a, b) + d(b, c) a, b, c R. É a propiedade da desigualdade triangular. Exemplo 1. d(3, 8) = 8 3 = 5 = 5 d( 5, 1) = 1 ( 5) = = 4 = Intervalos Un intervalo é un conxunto de números reais que se poden representar graficamente cun segmento ou unha semirrecta na recta real. No caso de que sexa un segmento, o intervalo vén determinado por dous extremos, e no caso de que sexa unha semirrecta só tén un extremo. En función de se incluímos ou non os extremos, os intervalos poden ser abertos, pechados ou semiabertos. 1

13 1.6. INTERVALOS Intervalo aberto Intervalo aberto (a, b) é o conxunto de todos os números reais maiores que a e menores que b. Os extremos do intervalo non están incluídos. Intervalo pechado (a, b) ={x R a < x < b} Intervalo pechado [a, b] é o conxunto de todos os números reais maiores ou iguais que a e menores ou iguais que b. Os extremos do intervalo si están incluídos. Intervalo semiaberto [a, b] ={x R a x b} Intervalo semiaberto é aquel conxunto dos números reais no que si está incluído un dos extremos, pero o outro non. En función de cal dos extremos non estea incluído, reciben o nome de intervalo semiaberto pola esquerda ou intervalo semiaberto pola dereita. Intervalo semiaberto pola esquerda Intervalo semiaberto pola esquerda é o conxunto de todos os números reais maiores que a e menores ou iguais que b. Só se inclúe o extremo dereito. Intervalo semiaberto pola dereita (a, b] ={x R a < x b} Intervalo semiaberto pola dereita é o conxunto de todos os números reais maiores ou iguais que a e menores que b. Só se inclúe o extremo esquerdo. Semirrectas [a, b) ={x R a x < b} Unha semirrecta é o conxunto de todos os números reais que só teñen un extremo. Ao igual que sucede cos intervalos, clasifícanse en abertas ou pechadas dependenden de se inclúen ou non os extremos. 13

14 1.7. APROXIMACIÓN E ERROS Semirrectas abertas Unha semirrecta é aberta se non inclúe o extremo. Vexamos dous exemplos: (a, + ) é o conxunto de todos os números reais maiores que a. (a, + ) ={x R a < x} (, a) é o conxunto de todos os números reais menores que a. (, a) ={x R x < a} Semirrectas pechadas Unha semirrecta é pechada se si inclúe o extremo. Vexamos dous exemplos: [a, + ) é o conxunto de todos os números reais maiores ou iguais que a. [a, + ) ={x R a x} (, a] é o conxunto de todos os números reais menores ou iguais que a. (, a] ={x R x a} Tanto a representación dalgúns números como os intervalos ou semirrectas podémolos ver dun xeito máis interactivo no seguinte enlace: Aproximación e erros Todos os números reais teñen unha expresión decimal, que pode ser exacta, periódica ou ningunha das dúas, tal como vimos en apartados anteriores. Debido a isto, cando facemos cálculos con algúns deles, ás veces non podemos traballar co número exacto, senón con algunha aproximación, para simplificar as operacións. Existen dous tipos de aproximacións: Aproximación por defecto, tamén coñecida como aproximación por truncamento: consiste en eliminar as cifras a partir da orde considerada. Aproximación por redondeo: consiste en eliminar as cifras a partir da orde considerada, pero tendo en conta que se a primeira cifra eliminada é menor que 5, mantemos a última cifra conservada; e se a primeira cifra eliminada é maior ou igual que 5, aumentamos nunha unidade a última cifra conservada. 14

15 1.8. NOTACIÓN CIENTÍFICA Erros O erro absoluto, E a, é a diferenza en valor absoluto entre o valor real e o valor aproximado. E a = V real V aproximado O erro relativo, E r, é o cociente en valor absoluto entre o erro absoluto e o valor real. E r = E a V real Exemplo 1.3 Calcula os erros cometidos ao redondear 5,68 ás centésimas. 5,68 5,7 (redondeo ás centésimas). E a = 5,68 5,7 = 0,00 = 0,00 E r = 0,00 5,68 = 0, = 3, Notación científica A notación científica utílizase para representar dun modo máis sinxelo números moi grandes e números moi pequenos, para poder facer tamén cálculos dunha maneira máis doada con eles. Un número en notación científica vén dado da forma N 10 n, onde: N: recibe o nome de mantisa, e ademais é un número decimal exacto cunha soa cifra non decimal. Isto é N [1, 10). n: é a orde de magnitude. É un número enteiro, que é positivo se o número que expresamos en notación científica é moi grande en valor absoluto. En cambio, é negativo se o número é moi pequeno en valor absoluto. Para calcular o expoñente que hai que usar, cóntanse as cifras que ten o número desde a primeira cifra significativa, distinta de cero, ata as unidades sen contar esta (a variación da coma). Exemplo = 5, , = 4, Operacións con números en notación científica Para sumar ou restar números en notación científica, han de ter a mesma orde de magnitude. No caso de que non o teñan, transformamos un deles. Unha vez que teñen a mesma orde, basta con operar as mantisas e deixar a mesma potencia. Por último debemos arranxar o número para que a mantisa cumpra as condicións que debe cumprir. 15

16 1.9. RADICAIS Para multiplicar ou dividir números en notación científica, multiplícanse ou divídense por un lado as mantisas, e por outro lado as potencias de 10. Neste caso tamén debemos arranxar o número para que a mantisa cumpra as condicións que debe cumprir. Exemplo 1.5 9, , = , = 101, = 1, (4, ) : ( ) = (4,5 : 9) = 0,5 10 = = Radicais Definición de raíz. A raíz n-ésima dun número a é outro número b, tal que b elevado a n é a. n a = b b n = a A raíz n-ésima é a operación inversa da potencia de exponente n. Cando calculamos a raíz n-ésima dun número, debemos ter en conta se o seu índice é par ou impar e o signo do radicando. Radicando Índice Nº de raíces reais n impar 1 raíz positiva a > 0 n par raíces: unha positiva e a súa oposta n a a = 0 n par ou impar 1 raíz n 0 = 0 n impar 1 raíz negativa a < 0 n par Ningunha raíz en R Relación entre radicais e potencias de exponente fraccionario Un radical pódese expresar mediante unha potencia de expoñente fraccionario onde o índice coincide co denominador, e a base e o numerador veñen dados polo radicando. q a p = a p q 16

17 1.9. RADICAIS Exemplo = = = = 4 3 Dise que dous radicais son equivalentes cando as fraccións dos expoñentes ao expresalos en forma de potencia son equivalentes e as bases son iguais. Por tanto se multiplicamos ou dividimos o expoñente do radicando e o índice polo mesmo número natural distinto de cero, obtemos radicais equivalentes. Simplificación de radicais Para simplificar un radical extráense todos os factores posibles da raíz. Para iso debemos descompoñer en factores primos o radicando. Só poderemos simplificar o radical no caso de que algún dos expoñentes da factorización sexa maior có índice do radical. Unha vez feita a factorización, e no caso dalgún expoñente que cumpra as condicións, dividímolo entre o índice. Fóra do radical escribimos o factor elevado ao cociente e dentro do radical deixamos o factor elevado ao resto da división. Exemplo = 3 5 = = 5 = = = = 5 3 = Introdución de factores nun radical Para introducir factores dentro dun radical basta con introducilos elevados ao índice do radical. Redución de radicais a común índice a n b = n a n b Reducir radicais a común índice consiste en atopar radicais equivalentes que teñan o mesmo índice. Para facelo podemos traballar coa forma exponencial das raíces e reducir a común denominador os seus expoñentes, sen embargo é máis rápido facendo os seguintes pasos (na práctica): 1. Atopamos un múltiplo común aos índices dos radicais. Normalmente será o m.c.m. deles, pero pode ser un múltiplo maior. O múltiplo atopado será o índice común.. Como este novo índice é múltiplo de todos os anteriores podémolo dividir por cada un deles. Efectivamente, agora é o que hai que facer; dividir o índice común entre cada índice e multiplicar o resultado por cada expoñente. 17

18 1.9. RADICAIS Exemplo m.c.m.(, 3, 4) = 1 Temos por tanto que: 1 3 = = 1 ( ) 4 = = 1 3 (3 ) 3 = Suma e resta de radicais Dicimos que dous radicais son semellantes se unha vez simplificados teñen o mesmo radicando e o mesmo índice, aínda que teñan distinto coeficiente. e 18 son semellantes entre eles porque 18 = 3 = 3 Dous radicais que non son semellantes non poden sumarse se non é obtendo as súas expresións decimais aproximadas. Só poden sumarse radicais semellantes. Por exemplo, + 3 ou só poden realizarse de forma aproximada ou deixándoas indicadas. Para sumar ou restar radicais equivalentes, previamente debemos transformalos en radicais semellantes. Unha vez que temos esto feito, basta con sacar factor común o radical e operar cos coeficientes: Exemplo 1.9 a n k + b n k + c n k = (a + b + c) n k = = = = 4 = 4 = 3 Propiedades dos radicais Produto e cociente de radicais Para multiplicar ou dividir radicais cómpre que teñan o mesmo índice. En caso de que non o teñan, pódese conseguir reducindo a común índice. Tendo en conta isto, imos ver dúas propiedades relacionadas co produto e o cociente de radicais. 1. n a n b = n a b Esta propiedade ten as seguintes aplicacións: ˆ Xuntar varios radicais nun só. ˆ Efectuar a multiplicación. ˆ Sacar un factor fóra da raíz. 18

19 1.9. RADICAIS. n a n b = n a b Esta propiedade, ademais de permitirnos efectuar o cociente de raíces, ás veces axúdanos tamén á simplificación de radicais. Exemplo = 18 = 36 = = = = = = 6 8 = 6 3 = Potencias e raíces de radicais 3. np a p = n a Xa vimos a utilidade desta propiedade para simplificar radicais e para reducir a índice común. 4. ( n a) p = n a p 5. m n a = mn a Exemplo = 4 3 = 3 ( 3 1) = 3 1 = 3 ( 3) = = 3 3 = = 3 5 = 30 Racionalización de denominadores Ás veces convén suprimir os radicais que hai nun denominador. Para iso, debemos multiplicar a fracción por unha expresión que faga que o denominador se transforme nun número ou expresión sen radicais. Este proceso recibe o nome de racionalización de denominadores. Vexamos os procedementos para eliminar as raíces do denominador nos casos que se repiten máis a miúdo: No denominador só hai unha raíz cadrada. Para quitar os radicais dos denominadores en fraccións do tipo e denominador pola mesma raíz. a b c = a c b c c = a c b c a c, multiplicamos numerador b No denominador só hai unha raíz n-ésima. Para quitar os radicais dos denominadores en fraccións a do tipo b n, multiplicamos numerador e denominador pola raíz que completa a raíz n-ésima cp ou sexa por n c n p. 19

20 1.10. EXERCICIOS a b n c p = a n c n p b n c p n c = a n p n c n p No denominador hai unha suma ou unha resta de raíces cadradas. a Para quitar os radicais dos denominadores en fraccións do tipo, multiplicamos nume- b ± c rador e denominador polo conxugado (igual có denominador pero co signo central cambiado) de dito denominador b c. a b ± c = b c a ( b c) ( b ± c) ( b c) = a ( b c) b c Cómpre recordar que: Suma por diferenza é igual a diferenza de cadrados ; por tanto, neste caso ( b + c) ( b c) = ( b) ( c) = b c. Exemplo = 6 = 6 = 6 = = = = = 5 8 ( 5 + 3) ( 5 3) ( 5 + 3) = 8 ( 5 + 3) 5 3 = 8 ( 5 + 3) = 4 ( 5 + 3) Exercicios 1. Clasifica estes números segundo o tipo ao que pertencen: 0, {{ , 00 {{ , , Di que tipo de número representan as seguintes fraccións sen calcular o número decimal que representan: Expresa en forma de fracción e simplifica sempre que poidas: 4, 5 5, {{ 09 3, 56 {{ 1, 0 { 304 { 3, , Sol: 17 4, 56 11, , , non se pode e Escribe 4 números irracionais, especificando a súa regra de formación. 5. Representa graficamente, de maneira exacta e tamén de maneira aproximada, os seguintes números: a) 17 b) 13 c) 8 6. Coloca na recta real o número Obtén o valor absoluto dos números: ( 4) Representa sobre a recta real os seguintes números: 0

21 1.10. EXERCICIOS Coa axuda da calculadora, escribe 7 en forma decimal e as súas aproximacións por truncamento e por redondeo. a) b) c) Ás dezmilésimas. Ás cenmilésimas. Ás millonésimas Simplifica os seguintes radicais: a) b) 4 (4a 3 ) 3 (a ) 11. Calcula: Reduce a índice común: Sol: a) e b) 4a 3 4 a 3 16 Sol: a) 1 a 5 e 18 a 7 b) e Suma e simplifica: a) 5 x + 3 x + x b) c) d) Sol: a) 10 x, b) 9, c) e d) Efectúa e simplifica: a) ( 3 + ) ( 3 ) b) ( 9 + 8) c) ( 6 + 5) ( 6 5) d) ( 3 1) ( 3 + 1) Sol: a) 4 6, b) , c) 1 e d) 18. Racionaliza: a) 3 18 b) c) 3 5 d) Sol: a) 3, b) 6 + 6, c) 3 5 e d) Cal é maior, Sol: a) 36 a 15 e 36 a 14, b) e ou 3 13? Sol: Efectúa e simplifica: a) b) Sol: a) 3 + e b) Reduce: a)( k) 8 b) 5 3 x 10 c) 6 ( x) 3 Sol: a) k, b) 3 x e c) 4 x 15. Reduce: a) 3 5 b) c) 4 8 d) Sol: a) 15 8, b) 6 43, c) 8 7 e d) Efectúa, realizando paso a paso, e dá o resultado en notación científica con tres cifras significativas: a) (3, , ) 8, , b) (1, )(3, , ) 9, 10 6 c) 5, , , Sol: a) 1,41 10, b),99 10 e c),

22 1.10. EXERCICIOS 1. Efectúa sen axuda da calculadora, razonando todos os pasos: Sol: 7, Expresa como desigualdade e como intervalo, e represéntaos: a) x é menor ca -5. b) 3 é menor ou igual ca x. c) x está comprendido entre -5 e 1. d) x está entre - e 0, ámbolos dous incluídos. Sol: a) {x R x < 5} = (, 5], b) {x R 3 x} = [3, + ), c) {x R 5 < x < 1} = ( 5, 1), d) {x R x 0} = [, 0] 3. Representa graficamente e expresa como intervalos estas desigualdades: a) {x R 3 x } b) {x R 5 < x} c) {x R x 3} d) {x R 1 x < 5 } e) {x R x} f) {x R x < } Sol: a) [ 3, ], b) (5, + ), c) [ 3, + ), d) [1, 5 ), e) [, + ), f) (, )

23 Unidade NÚMEROS COMPLEXOS.1. Coñecementos previos Razóns trigonométricas dun triángulo rectángulo Debemos recordar as razóns trigonométricas dun triángulo rectángulo, que son as seguintes sen α = cos α = tg α = Cateto oposto Hipotenusa Cateto contiguo Hipotenusa Cateto oposto Cateto contiguo Razóns trigonométricas de ángulos notables sen 1 3 cos 3 1 tg Introdución Do mesmo modo que sucede con todos os conxuntos numéricos, os números complexos xorden a partir das necesidades que temos. Neste caso, xorden como resposta á necesidade de atopar solución a 3

24 .3. FORMA BINÓMICA DO NÚMERO COMPLEXO todas as ecuacións de segundo grao. Temos visto que no corpo dos números reais, cando o discriminante é negativo (b 4ac < 0), a ecuación non tiña solución. Vexamos por exemplo o que sucede ao tratar de resolver x + 1 = 0. x + 1 = 0 x = 1 x = ± 1 Temos entón que dar validez a esta expresión. Para iso admitimos como número válido a 1 e a todos os obtidos ao operar con el como se fose un número máis. Para facilitar as expresións tomamos como unidade deste tipo de números e designámola por i a 1, tendo entonces a seguinte igualdade i = 1. Lembrando as propiedades do tema anterior vemos que todas as raíces cadradas negativas podémolas descompoñer en produto dunha raíz positiva e a unidade imaxinaria i. a = a 1 = a i Por exemplo: 9 = 9 1 = 3i Temos entón xa que desta maneira podemos expresar todas as solucións das ecuacións de segundo grao. Vexamos por exemplo o que sucede agora coas seguintes ecuacións: Definición x + 4 = 0 x = 4 x = ± 4 x = ± 4 1 x = ±i x x = 0 x == ± 4 8 = ± 4 = ± 4 1 = ± i = 1 ± i Podemos así xeneralizar que os números complexos son expresións da forma a + bi onde a e b son números reais. Se o expresamos dunha forma máis correcta temos que: C = {a + bi a, b R}, onde i = 1.3. Forma binómica do número complexo A expresión a+bi chámase forma binómica dun número complexo porque ten dous compoñentes: a compoñente real b compoñente imaxinario Tamén se poden chamar parte real e parte imaxinaria respectivamente. Vexamos entón unhas consideracións: Ao tratarse de crear unha ampliación dos números reais temos que ver que estes últimos tamén son complexos (R C). Efectivamente, os números reais son números complexos que teñen como compoñente imaxinario o cero: a + 0i = a Os números nos que a súa parte imaxinaria é distinta de cero reciben o nome de números imaxinarios. Temos, por tanto, que un número complexo ou é real ou é imaxinario. Os números complexos que teñen a parte real igual a cero 0 + bi = bi chámanse imaxinarios puros. Dado un número complexo z = a + bi chamamos oposto de z ao número z = a bi. Dado un número complexo z = a + bi chamamos conxugado de z ao número z = a bi. 4

25 .4. OPERACIÓNS CON NÚMEROS COMPLEXOS Representación gráfica As sucesivas categorías de números (naturais, enteiros, racionais...) pódense representar sobre a recta. Cos números reais completamos a recta, xa que a cada número real lle corresponde un punto na recta e a cada punto, un número real. Por iso falamos de recta real. Por iso, para representar os números complexos identificámolos co plano R, considerando o eixe horizontal como eixe real, e o eixe vertical como eixe imaxinario. Con esta consideración pasamos así da recta real ao plano complexo. O número complexo z = a + bi represéntase mediante o punto (a, b), que se chama afixo, ou mediante unha frecha de orixe (0, 0) e extremo (a, b). Os afixos dos números reais sitúanse sobre o eixe real, e os imaxinarios puros, sobre o eixe imaxinario..4. Operacións con números complexos Para definir operacións entre números complexos cómpre determinar cando dous números complexos en forma binómica son iguais. Para iso definimos: a + bi = c + di a = c e b = d é dicir, cando teñen a mesma parte real e a mesma parte imaxinaria, polo que os dous números complexos teñen a mesma representación no plano, ou o que é equivalente, teñen o mesmo afixo. A suma, a resta e máis a multiplicación de números complexos realízanse seguindo as regras das operacións dos números reais e tendo en conta que i = 1. Suma e resta Para sumar dous números complexos sumamos (ou restamos) as partes reais entre si, e as partes imaxinarias tamén entre si. Exemplo.1 (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i (3 + i) + (6 + 5i) = i + 5i = 9 + 7i (8 3i) (4 6i) = 8 4 3i + 6i = 4 + 3i Produto Para multiplicar dous números complexos tamén se pode usar a propiedade distributiva, tendo en conta, tal como se dixo antes, que i = 1. Polo que temos: (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi = (ac bd) + (ad + bc)i Veremos agora dúas maneiras de multiplicar dous números complexos: 5

26 .5. NÚMEROS COMPLEXOS EN FORMA POLAR Exemplo. (3 + 4i) ( 5i) = 3 ( 5i) + 4i ( 5i) = 6 15i + 8i 0i = 6 15i + 8i + 0 = i + 8i = 6 7i (3 + 4i) ( 5i) a = 3, b = 4, c =, d = 5 (3 + 4i) ( 5i) = (3 4 ( 5)) + (3 ( 5) + 4 )i = (6 + 0) + ( )i = 6 7i Antes de pasar á división debemos sinalar que o produto dun número complexo, c + di, polo seu conxugado, c di, é sempre un número real: División (c + di) (c di) = c (di) = c + d Para dividir dous números complexos multiplicamos e dividimos polo conxugado do denominador e operamos. Ao igual que nos números reais, non se pode dividir por 0. a + bi (a + bi) (c di) (ac + bd) + (bc ad)i = = c + di (c + di) (c di) c + d = Exemplo.3 ac + bd bc ad c + + d c + d i 5 3i (5 3i)(4 3i) 0 15i 1i i = = = = i (4 + 3i)(4 3i) i.5. Números complexos en forma polar Tal como vimos no apartado da representación gráfica, un número complexo podiámolo representar mediante o punto (a, b) ou mediante unha frecha de orixe (0, 0) e extremos (a, b). Tendo en conta esta última maneira de representalo podemos fixarnos en dous aspectos: o primeiro deles é a lonxitude da frecha e o outro é o ángulo que forma esta co eixe real. Por exemplo, o número complexo 3 + 4i represéntase mediante unha frecha de lonxitude 5 unidades e forma un ángulo de 53 8 co eixe real. Eses dous aspectos a considerar reciben o nome de módulo e argumento respectivamente. Vexámolos con máis detalle: 6

27 .5. NÚMEROS COMPLEXOS EN FORMA POLAR Módulo dun número complexo z é a lonxitude da frecha mediante a que ese número se representa. Desígnase entre barras z. Argumento dun complexo z, z 0, é o ángulo que forma a frecha coa parte positiva do eixe real. Desígnase arg(z). Se temos que z = r e arg(z) = α, o número complexo pódese designar así: z = r α. Esta forma de describir un número complexo chámase forma polar. Debemos observar que hai varios argumentos posibles para cada número complexo, polo que temos que: r α = r α+360 = r α+70 = r α+1080 =... De todos os argumentos posibles, só un deles está entre 0 e 360. Paso de forma binómica a polar Se temos en conta a maneira de representar un número complexo z = a + bi en forma binómica, tendo en conta que coa parte real, a parte imaxinaria e a frecha (ou vector) formamos un triángulo rectángulo podemos calcular as compoñentes polares dun xeito moi claro: r = z = a + b tg α = b a Debemos, ademais, ter en conta que hai dous ángulos que teñen a mesma tanxente, polo que ademais de ver o posible ángulo, temos que ver cal é o afixo (ver a representación) do número en forma binómica para decidir cal é o argumento correcto. Ademais, nos números imaxinarios puros, a = 0, non podemos levar a cabo dita operación. Vemos, dun xeito moi doado, que o argumento é 90 ou 70 en función de se b é positivo ou negativo. Podemos aplicar algo similar para os números reais nos que o seu argumento será 0 ou 180 en función do signo que teña. 7

28 .5. NÚMEROS COMPLEXOS EN FORMA POLAR Exemplo.4 Pasar z = + 3i a forma polar: z = ( ) + ( 3) = = 4 tg α = 3 = 3 Como tanto 10 como 300 teñen como tanxente 3, debemos ter en conta o cadrante no que está representado o número. Dados os valores das partes real e imaxinaria, vemos que está no segundo cadrante, polo que o argumento ten que ser 10. Por tanto o número é z = Pasar z = i Neste caso, xa sabemos inmediatamente o valor do módulo, pois só temos unha das compoñentes. Por tanto z =. Por outra parte, dado que non hai parte real, vemos que a representación queda no eixo imaxinario, e como o valor de b é negativo, temos que o seu argumento α é 70. Así, z = i expresado en forma polar é z = 70. Paso da forma polar á forma binómica Se temos un número complexo z = r α expresado en forma polar, tendo en conta as relacións que nos proporcionan as razóns trigonométricas podemos pasalo a forma binómica do seguinte xeito: a = r cos α b = r sen α Usando o módulo e o argumento, e tendo en conta o paso de forma polar a binómica, podemos expresar un número complexo da seguinte forma: z = r cos α + (r sen α)i = r(cos α + i sen α) A expresión z = r(cos α + i sen α), recibe o nome de forma trigonométrica e resulta moi útil para pasar de forma polar a binómica. Exemplo.5 Pasar z = 6 40 a forma binómica: ( a = 6 cos 40 = 6 1 ) = 3 ( ) 3 b = 6 sen 40 = 6 = 3 3 Por tanto, o número z = 6 40 podémolo expresar en forma binómica da seguinte forma: z = 3 3 3i. Ademais de proceder desta forma, podiamos ter expresado o número z = 6 40 previamente na forma trigonométrica 6(cos 40 + i sen 40 ) e obteriamos a mesma expresión. Pasar a forma binómica: Aínda que poderiamos proceder da mesma forma, neste caso tamén o podemos facer sen realizar cálculo algún. Como o argumento é de 180, temos que o número está representado sobre o eixe real, e na súa parte negativa. Polo que temos inmediatamente que z = 3. 8

29 .6. OPERACIÓNS CON COMPLEXOS EN FORMA POLAR.6. Operacións con complexos en forma polar Debemos dicir que se analizamos o módulo e o argumento da suma e o dos sumandos, vemos que a relación entre eles é complicada, polo que non analizaremos a suma (e por tanto a resta) de números complexos en forma polar. Veremos por tanto o que sucede co produto e co cociente. Produto Se analizasemos polo miúdo o produto de dous números complexos, realizado en forma binómica, e a relación existente entre os módulos e os argumentos dos factores e do resultado, obteriamos o seguinte: O módulo do resultado coincide co produto dos módulos dos factores. O argumento do resultado coincide coa suma dos argumentos dos factores. Basta coller un exemplo para ver que, efectivamente, isto sucede así. Dado que para unha demostración formal precisamos dalgúns coñecementos do tema de Trigonometría, non nos deteremos nela, indicando entón que sucede o seguinte: r α s β = (r s) α+β Tendo en conta o anterior, vemos que se multiplicamos un número complexo calquera z = r α por calquera complexo de módulo 1, 1 β, é equivalente a xirar o número complexo z un ángulo β arredor da orixe. Exemplo.6 r α 1 β = (r) α+β = (4 ) = = (3 3) = = 9 0 Cociente Se temos en conta o que sucede na multiplicación, podemos ver que un dos factores se consegue a partir da división do resultado entre o outro factor. Así que no caso do cociente temos que: O módulo do resultado coincide co cociente dos módulos. O argumento do resultado coincide coa diferenza dos argumentos. r α : s β = r ( α r ) = s β s α β ( r ( r ) Isto veríficase porque s β = s) s s = r α Exemplo.7 α β α β+β 4 95 : 40 = (4 : ) = : 3 50 = (3 : 3) =

30 .7. RADICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEXOS Potencia Sabendo que a potencia dun número complexo consiste, ao igual que no corpo dos reais, nunha multiplicación reiterada, temos que: (r α ) n = r α r α... r α = (r r... r) α+α+...+α = (r n ) nα Por tanto, ao elevar r α a un número natural n: O seu módulo elévase a n O seu argumento multiplícase por n Exemplo.8 (r α ) n = (r n ) nα ( 30 ) 3 = ( 3 ) 3 30 = 8 90 (3 135 ) 4 = (3 4 ) = = Fórmula de Moivre Se temos en conta a notación trigonométrica dun número complexo de módulo 1, 1 α, e as propiedades das potencias, obtemos o seguinte: (cos α + i sen α) n (1 α ) n = 1 nα cos nα + i sen nα Obtemos así a seguinte igualdade, de moita utilidade no tema de Trigonometría, que recibe o nome de fórmula de Moivre. (cos α + i sen α) n = cos nα + i sen nα.7. Radicación de números complexos Para definir a raíz n-ésima dun número complexo debemos recordar a definición de raíz n-ésima dun número calquera. n Rβ = r α (r α ) n = R β Pero como temos que (r α ) n = (r n ) nα, chegamos á seguinte igualdade: R = r n = r = n R R β = (r n ) nα β = nα = α = β n Por tanto, a raíz n-ésima dun número complexo R β ten: De módulo r = n R De argumento α = β n 30

31 .8. EXERCICIOS De todas formas, cómpre recordar que, como xa se dixera, hai varios argumentos iguais β = β = β + 70 =... Se dividimos cada un destes ángulos por n, obtemos valores diferentes. Vexamos que son exactamente n valores diferentes: β k = nα = α = β k n Ao dividir β k por n hai n posibles valores. Temos que se k = n, β n = β n n = β, que é o mesmo resultado para k = 0. Como é o primeiro valor que se repite, temos que, efectivamente, hai n valores posibles para o n argumento. Temos entón que un numéro complexo R β ten n raíces n-ésimas, que son da seguinte forma: r = n R α k = β (k 1), con k = 1,..., n. n Ademais, se representamos todas as raíces, obtemos os vértices dun polígono regular de n lados con centro na orixe. Exemplo.9 Determina as raíces cúbicas de 7i 7i 7 70 O seu módulo é 3 7 = 3 Os seus argumentos son: Así, as tres raíces cúbicas de 7i son: α k = k = 90 + (k 1) α 1 = 90 α = = 10 α 3 = = = , 3 10 e Exercicios 1. Obtén as solucións das seguintes ecuacións e represéntaas: a) z + 9 = 0 b) z 18 = 0 c) z 4z + 5 = 0 d) z + 8z + 0 = 0 Sol: a) 3i, 3i; b) 3, 3; c) + i, i; d) 4 + i, 4 i. Efectúa as seguintes operacións e simplifica o resultado: a) (6 5i) + ( i) ( 5 + 6i) b) ( 3i) (5 + 4i) + (3 i) c) (3 i)(4 + i) d) ( + 3i)(5 6i) e) ( i + 1)(3 i)(1 + 3i) f) + 4i 4 i g) 4i 3 + i 31

32 .8. EXERCICIOS h) 3 + i 1 + 5i 5 + i i) 3i Sol: a) 18 18i; b) 9i; c) 16 i; d) 8 + 3i; e) 16 i; f) i; g) 1 5 7i 5 ; h) 1 i ; i) 1 + i 3. Representa graficamente no plano complexo z 1 = 3 + i, z = + 5i, z 1 + z. Comproba que z 1 + z é unha diagonal do paralelogramo de lados z 1 e z. 4. Dado un número complexo en forma binómica z = a + bi, utiliza a división para obter o inverso. Sol: a a + b b a + b i 5. Determina o número t, se sabemos que se cumpre a seguinte igualdade: 5(t+)+4i(t+5) = (t 3i)+8(t+5i)+ti Sol: t = 6. Escribe en forma polar os seguintes números complexos: a) 1 + 3i b) 3 + i c) 1 + i d) 5 1i e) 3i f) 5 Sol: a) 60 ; b) 30 ; c) 135 ; d) ; e) 3 90 ; f) Escribe en forma binómica os seguintes números complexos: a) 6(π/6)rad b) 135 c) 495 d) 3 40 e) f) 4 90 Sol: a) i; b) + i; c) + i; d) i; e) 3; f) 4i 8. Efectúa as seguintes operacións: a) b) 6 45 : 3 15 c) d) 10 (π/3)rad : 60 Sol: a) ; b) 30 ; c) 6 10 ; d) Compara os resultados en cada caso: a) ( 30 ) 3, ( 150 ) 3, ( 70 ) 3 b) (3 0 ) 4, (3 110 ) 4, (3 00 ) 4, (3 90 ) Dados os complexos z = 5 45, w = 15 e t = 4i, obtén en forma polar: a) z t b) z w c) z 3 w t Sol: a) ; b) d) z w3 t ( ) 5 ; c) 4 15 ( 15 3 ) 300 ; d) Calcula as oito raíces oitavas de 1. Represéntaas e exprésaas en forma binómica. Sol: 1 0 1, i, 1 90 i, i, , i, 1 70 i, i 1. Resolve a ecuación z = 0. Representa as súas solucións. Sol: 3 60, 3 180, Calcula o módulo e o argumento dos números complexos: a) 3 + i b) ( 3 3i) Sol: a) 150 ; b) Obtén a forma polar e a forma binómica dos seguintes números complexos: a) z = (cos i sen 135 ) b) z = 3(cos i sen 180 ) c) z = 6(cos 40 + i sen 40 ) Sol: a) i, b) , 15. Calcula e representa: z = c) i ( + i)i1 i 0 (i 1) 3

33 .8. EXERCICIOS Sol: 1 i 16. O produto de dous números complexos é 90 e o cubo do primeiro dividido polo outro é (1/) 0. Determínaos. Sol: 1,5 e 67,5 17. Calcula as razóns trigonométricas de 15 se coñeces as de 45 e as de 30 mediante o cociente de 1 45 : 1 30 e a axuda da fórmula trigonométrica Sol: sen 15 = e cos 15 = Para que valores de x é imaxinario puro o cociente x 4i x + i? Sol: e 19. Calcula x para que o número complexo que obtemos ao dividir x + i estea representado na bisectriz do primeiro 4 3i cuadrante. Para que a + bi estea na bisectriz do primeiro cuadrante, debe ser a = b Sol: x = Calcula dous números complexos conxugados cuxa suma é 8 e a suma dos módulos é 10. Sol: 4 + 3i e 4 3i 1. A suma de dous números complexos é 3 + i. A parte real do primeiro é, e o produto dos dous é un número real. Determínaos. Sol: + i e 1 i. Obtén k para que o afixo de ( 3i) (k + i) sexa o punto P = (5, 1) Sol: k = 1 33

34 .8. EXERCICIOS 34

35 Unidade 3 SUCESIÓNS 3.1. Definición de sucesión Sucesión Chámaselle sucesión a un conxunto de números dados ordenadamente, de xeito que cada número ocupa un determinado lugar e se poden numerar: primeiro, segundo, terceiro... Denomínanse termos da sucesión a cada un dos elementos que forman a sucesión, e adoitanse designar mediante unha letra cos subíndices correspondentes aos lugares que ocupan na sucesión: Exemplo 3.1 a 1, a, a 3, a 4... Os números 4, 8, 1, 16,... forman unha sucesión que representaremos a 1, a, a 3, a 4... a 1 = 4 indica que o número 4 ocupa a posición 1 da sucesión. a = 8 indica que o número 8 ocupa a posición da sucesión. a 3 = 1 indica que o número 1 ocupa a posición 3 da sucesión. E así sucesivamente. Termo xeral dunha sucesión Chámase termo xeral dunha sucesión o termo que representa a un calquera dela. Vén sendo un criterio que permite determinar calquera termo da sucesión e se expresa mediante unha fórmula, a n = f(n). Dándolle a n o valor da posición que ocupa, obtense o termo correspondente. Hai que remarcar que non todas as sucesións teñen termo xeral. Destas, hai algunhas nas que cada termo se obtén operando dous ou máis dos anteriores. Estas sucesións chámanse recorrentes. Ao non coñecer o termo xeral, para determinar un termo hai que obter, previamente todos os anteriores. Exemplo 3. Se temos a seguinte sucesión, 6, 10, 14,..., podemos ver que a expresión a n = 4n nos serve para obter os diferentes termos. Temos entonces que a n = 4n é o termo xeral desa sucesión. 35

36 3.. TIPOS IMPORTANTES DE SUCESIÓNS Exemplo 3.3 Na coñecida sucesión de Fibonacci, 1, 1,, 3, 5, 8, 13,..., cada termo obtense sumando os dous anteriores, excepto os dous primeiros que son sendos uns. É unha sucesión recorrente. 1 se n = 1 a n = 1 se n = a n 1 + a n se n > 3.. Tipos importantes de sucesións Progresións aritméticas Unha progresión aritmética é unha sucesión na que cada térmo se obtén sumando unha cantidade fixa ao térmo anterior. Esta cantidade fixa denomínase diferenza, d, da progresión. O termo xeral a n dunha progresión aritmética cuxo primeiro termo é a 1 e cuxa diferenza é d obténse: a n = a 1 + (n 1) d A suma S n = a 1 + a a n 1 + a n dos n primeiros termos dunha progresión aritmética a n é: S n = (a 1 + a n ) n A demostración desta fórmula baséase na propiedade que di que os termos equidistantes dos extremos suman o mesmo: Temos o seguinte a 1 + a n = a + a n 1 = a 3 + a n =... S n = a 1 + a a n 1 + a n S n = a n + a n a + a 1 S n = (a 1 + a n ) + (a + a n 1 ) (a n 1 + a ) + (a n + a 1 ) Os n parénteses valen cada un o mesmo, a 1 + a n. Polo que: S n = (a 1 + a n ) n S n = (a 1 + a n ) n 36

37 3.. TIPOS IMPORTANTES DE SUCESIÓNS Exemplo 3.4 4, 9, 14, 19, 4, 9,..., é unha progresión aritmética, pois sempre se lle suma a mesma cantidade. Para calcular a diferenza restamos dous termos consecutivos e vemos se efectivamente é a mesma: d = a a 1 = a 3 a = a 4 a 3 =... = a n a n 1. Neste caso a diferenza, d é 5. O termo xeral desta sucesión é: a n = (n 1) = 4 + 5n 5 a n = 5n 1 Se o que queremos é calcular a suma dalgúns dos seus primeiros termos, por exemplo, a suma dos quince primeiros termos, antes de nada temos que calcular o termo que ocupa o lugar 15, usando a forma do termo xeral. a 15 = = 75 1 = 74 Unha vez que coñecemos este termo, basta con aplicar a fórmula da suma dos n primeiros termos. S 15 = (a1 + a15) 15 = (4 + 74) 15 = = 585. Exercicio resolto 3.1 O primeiro termo dunha progresión aritmética é 4 e a súa diferenza é 6. Averigua cantos termos hai que sumar para obter 990. Resolución Da fórmula da suma obtemos: Por tanto: (a1 + an) n 990 = a n = 4 + 6(n 1) = 6n 990 = (4 + 6n ) n Se operamos, obtemos que 990 = 3n + n, 3n + n 990 = 0. Resolvendo a ecuación obtemos n = 18 e n = 50 A segunda solución non ten sentido neste 3 caso, polo que hai que sumar 18 termos. Progresións xeométricas Unha progresión xeométrica é unha sucesión na que cada térmo se obtén multiplicando unha cantidade fixa polo termo anterior. Esta cantidade fixa denomínase razón, r, da progresión. O termo xeral a n dunha progresión xeométrica cuxo primeiro termo é a 1 e cuxa razón é r obtense: a n = a 1 r n 1 A suma S n = a 1 + a a n 1 + a n dos n primeiros termos dunha progresión xeométrica a n, de razón r 1 é: 37

38 3.. TIPOS IMPORTANTES DE SUCESIÓNS S n = a n r a 1 r 1 = a 1 r n a 1 r 1 = a 1 (r n 1) r 1 A demostración desta fórmula pódese facer da seguinte maneira, multiplicando os dous membros da igualdade S n = a 1 + a a n 1 + a n pola razón, r, e restando o seguinte: S n r = + a 1 r + a r a n 1 r + a n r S n = a 1 + a + a a n S n r S n = a 1 + a n r Polo que temos que: S n r S n = a n r a 1 S n (r 1) = a n r a 1 S n = a n r a 1 r 1 Ademais se substituímos a n = a 1 r n 1 obtemos as outras igualdades. No caso de que r < 1 convén poñer a fórmula anterior cambiando o signo do numerador e do denominador: S n = a 1 (1 r n ) 1 r Canto maior sexa n temos que r n achégase cada vez máis a cero. Polo que podemos calcular a suma de todos os termos da progresión xeométrica que cumpre estas condicións: Exemplo 3.5 S = a 1 1 r 3, 6, 1, 4, 48,..., é unha progresión xeométrica, pois sempre se multiplica pola mesma cantidade. Para calcular a razón dividimos dous termos consecutivos e vemos se efectivamente é a mesma: r = a = a3 = a4 =... = an. a 1 a a 3 a n 1 Neste caso a razón, r é. O termo xeral desta sucesión é: a n = 3 n 1 Se o que queremos é calcular a suma dalgúns dos seus primeiros termos, por exemplo, a suma dos dez primeiros termos, basta con aplicar a fórmula da suma dos n primeiros termos. S 10 = 3 (10 1) 1 = 3 (104 1) 1 =

39 3.3. SUCESIÓNS MONÓTONAS E ACOTADAS. Exercicio resolto 3. Tres números están en progresión xeométrica. A súa suma é 56 e o seu produto é Calculaos. Resolución Como están en progresión xeométrica temos que: a 1 = a 1 a = a 1 r a 3 = a 1 r Ademais a progresión verifica que a 1 a a 3 = 4096 Obtemos entón que: Ademais temos que a 1 + a + a 3 = 56 De onde obtemos que: Resolvendo o sistema non lineal: a 1 (a 1 r) (a 1 r ) = 4096 a 3 1 r 3 = 4096 (a a r) 3 = 4096 (a 1 r) = = 16 a 1 + (a 1 r) + (a 1 r ) = 56 a 1 (1 + r + r ) = 56 { a1 r = 16 a 1 (1 + r + r ) = 56 Obtemos que, ou a 1 = 8 e r =, ou a 1 = 3 e r = 1. En calquera dos caos, os números que obtemos son : 8, 16 e Sucesións monótonas e acotadas. Sucesións monótonas Dicimos que unha sucesión é monótona se, e só se é monótona crecente ou monótona decrecente. Unha sucesión a n é monótona crecente se, e só se para todo n, se verifica que a n a n+1, ou o que é o mesmo, se cada termo é menor ou igual que o seguinte. Concretamente dicimos que unha sucesión é estritamente crecente se cada termo é menor que o seguinte (coa desigualdade estrita, a n < a n+1 ). Unha sucesión a n é monótona decrecente se, e só se para todo n, se verifica que a n a n+1, ou o que é o mesmo, se cada termo é maior ou igual que o seguinte. Concretamente dicimos que unha sucesión é estritamente decrecente se cada termo é maior que o seguinte (coa desigualdade estrita, a n > a n+1 ). 39

40 3.3. SUCESIÓNS MONÓTONAS E ACOTADAS. Exemplo 3.6 A sucesión de Fibonacci 1, 1,, 3, 5, 8,..., é unha sucesión monótona crecente, xa que cada termo é maior igual que o anterior. En cambio, non é estritamente crecente pois non se cumple a desigualdade en todos os casos (a 1 = a ). A sucesión 7, 5, 3, 1, 1,..., é unha sucesión monótona decrecente, xa que cada termo é menor ou igual que o anterior. Máis concretamente, é estritamente decrecente pois cada termo é estritamente menor que o anterior. Para mirar a relación de monotonía basta con ter en conta as relacións existentes nas inecuacións, pois se a > b temos que a b > 0 e tamén que a > 1, se b > 0. b Exercicio resolto 3.3 Demostra que a sucesión a n = Resolución 4n + 10 n + 1 é decrecente. Unha sucesión é decrecente se a n a n+1 para todo n N. Observemos que sucede cos primeiros termos a 1 = 7, a = 6, a 3 = 5,5, a 4 = 5, Xa temos entón que a 1 > a > a 3 > a 4. Agora estudemos o que sucede no caso xeral. Para eso vexamos que sucede se restamos dous termos consecutivos, a n+1 a n. a n+1 a n = 4(n + 1) + 10 (n + 1) + 1 Se reducimos a común denominador temos que: (4n + 14)(n + 1) (n + )(n + 1) (4n + 10)(n + ) (n + 1)(n + ) 4n + 10 n + 1 = 4n + 14 n + 4n + 10 n + 1 = 4n + 18n + 14 (n + )(n + 1) 4n + 18n + 0 (n + )(n + 1) = 6 (n + )(n + 1). Como n N, (n + )(n + 1) é positivo. Polo que a n+1 a n < 0, por ser o numerador negativo. Se temos en conta o arriba exposto sobre as inecuacións, temos por tanto que a n+1 < a n, co que nos queda demostrado que a sucesión a n é decrecente. Sucesións acotadas Dise que unha sucesión a n está acotada inferiormente se todos os seus termos son maiores ou iguais ca un certo número k. Isto é, a n > k para todo n. A este número k chámaselle cota inferior da sucesión. De todas as cotas inferiores, a maior delas recibe o nome de extremo inferior ou ínfimo. Se o ínfimo dunha sucesión é un dos seus termos, chámase mínimo. Dise que unha sucesión a n está acotada superiormente se todos os seus termos son menores ou iguais ca un certo número K. Isto é, a n < K para todo n. A este número K chámaselle cota superior da sucesión. De todas as cotas superiores, a menor delas recibe o nome de extremo superior ou supremo. Se o supremo dunha sucesión é un dos seus termos, chámase máximo. 40

41 3.4. LÍMITE DUNHA SUCESIÓN Dicimos que unha sucesión a n está acotada se o está tanto inferior como superiormente. É dicir, todos os termos da sucesión están comprendidos entre os valores k e K do seguinte xeito, k a n K para todo n. Exemplo 3.7 a n = 1, 3, 5, 7,..., n 1 Está acotada inferiormente, pois é unha sucesión crecente. Cotas inferiores: 1, 0, 1,... A maior das cotas inferiores é 1, que como pertence a sucesión temos que é mínimo. Non está acotada superiormente. b n = 3, 16, 8, 4,,... Está acotada superiormente, xa que é unha sucesión decrecente, polo que b 1 = 3, é unha cota superior, e ademais é o máximo. Como nunca vai valer un valor negativo temos que 0, 1,,... son cotas inferiores. 0 é unha cota inferior, pero como non é un termo da sucesión, non é o mínimo, senón que é o ínfimo ou extremo inferior. Por tanto, a sucesión está acotada. 0 < b n Límite dunha sucesión Representación gráfica dalgunhas sucesións Para estudar o comportamento dalgunhas sucesións, comecemos representándoas graficamente. Se na sucesión do exercicio resolto 3.3 a n = 4n + 10 n + 1 substituímos por 1,, 3,..., 9,... obtemos: a 1 = 10, a = 6, a 3 = 5,5,... a 9 = 4,6 Estes resultados pódense representar sobre uns eixes do seguinte xeito: Observamos que os elementos da sucesión se achegan cada vez máis a 4. Iso expresámolo así: lím n a n = lím n 4n + 10 n + 1 = 4 41

42 3.4. LÍMITE DUNHA SUCESIÓN Procedemos de forma análoga coa sucesión b n = n 10 n: Como podemos ver, a sucesión comeza decrecendo, pero chega un punto no que empeza a crecer e os termos fanse moi grandes. Isto expresámolo así: Límite dunha sucesión ( ) n lím b n = lím n n 10 n = + Tendo en conta isto podemos definir o límite dunha sucesión como o valor ao que tenden os termos da sucesión cando n toma valores moi grandes. Chamamos sucesións converxentes a aquelas que teñen un límite finito. Exemplo 3.8 A sucesión a n = 4n + 10 n + 1 é converxente porque o seu límite é 4. Chamamos sucesións diverxentes a aquelas que non teñen límite finito. Exemplo 3.9 A sucesión b n = n n é diverxente porque ten por límite Toda sucesión monótona decrecente e acotada inferiormente é converxente e o seu límite é o ínfimo da sucesión. Toda sucesión monótona crecente e acotada superiormente é converxente e o seu límite é o supremo da sucesión. 4

43 3.4. LÍMITE DUNHA SUCESIÓN Cálculo de límites Para o cálculo de límites de sucesións, substitúese n por +, realizando as seguintes operacións: ± + k = ± + + = + k (± ) = ± (+ ) n = + (± ) (± ) = (± ) ( ± k ) = ± ( ) k = 0 ( ) n = ± ± Pero poden presentarse situacións indeterminadas, é dicir, expresións nas que non resulta un valor concreto e cómpre realizar operacións para obter o límite ou demostrar que ese límite non existe. Estas representanse con corchetes. Vexamos algunhas delas: [ Indeterminacións da forma. ] Nestes casos resólvese dividindo numerador e denominador entre a potencia de maior grao do denominador. Exemplo 3.10 n 1 [ ] O límite lím n n + 3 presenta unha indeterminación que resolvemos dividindo numerador e denominador por n. lím n n 1 n + 3 = lím n 1 n n = = 1 = Aclarando as túas ideas Se temos unha sucesión a n, con termo xeral un polinomio e b n o termo de maior grado entón lím n a n = lím n b n Se a sucesión ten unha expresión racional Nn D n, entón lím n N n D n = lím n a n b n Por tanto, simplificando todo isto temos que: lím n N n D n = D n con a n o termo de maior grao de N n e b n o de 0 se grao N n < grao D n ( a b ) se grao N n = grao D n ± se grao N n > grao D n Indeterminacións da forma [ ] en sucesións irracionais. Nestes casos resólvese multiplicando e dividindo pola expresión conxugada. 43

44 3.5. NÚMERO e Exemplo 3.11 O límite lím n ( n + 4 n ) presenta unha indeterminación [ ] que resolvemos multiplicando e dividindo n n. lím n ( n + 4 n ) = lím n ( n + 4 n ) ( n n ) n n = (n + 4) (n ) 6 6 lím = lím = n n n n n n + + = Número e O número e é o límite da sucesión a n = ( n) n : lím n ( n) n = e =, Se imos calculando algúns dos seus termos e os representamos vemos que a sucesión é monótona crecente e acotada superiormente, polo que ten límite que coincide co supremo da sucesión. Se analizamos os termos moi grandes da sucesión vemos que a medida que se aumenta o valor de n, a sucesión tende ao valor de e. Vemos por exemplo que: Límites do número e a = ( ) =, Se houbesemos estudado previamente o comportamento da sucesión anterior, a n = ( n) n, para + teríamos obtido o seguinte: [1 ]. Esta situación é outra indeterminación, polo que vexamos como resolver este tipo de indeterminacións. Indeterminacións da forma [1 ]. Nestes casos temos que identificar primeiro dúas sucesións, sendo a n a base e b n o exponente. Unha vez identificada esta situación temos a seguinte fórmula: lím n (a n ) bn = e lím n (an 1) bn 44

45 3.6. O NÚMERO ÁUREO, φ Exemplo 3.1 ( ) n 4n n + O límite lím presenta unha indeterminación [1 ] que resolvemos aplicando a n n 1 seguinte fórmula lím(a n n) bn = e lím n (an 1) bn Calcularemos primeiro o límite do expoñente: ( ) n + lím n n 1 1 4n n = lím n ( ) n 4n n + Entón, temos que lím = e 4 n n 1 n + n + 1 n 1 lím n 1n n 3 n 3n + = 4 4n n = lím n 3 n 1 4n3 + 3n = 3.6. O número áureo, φ O número áureo, φ é o límite da sucesión que resulta de dividir dous termos consecutivos da sucesión de Fibonacci. Expresemos o resultado dun xeito máis formal: Se a n é a sucesión de Fibonacci, 1, 1,, 3, 5, 8, 13,..., a sucesión b n = a n+1 ten por límite o número áureo: 3.7. Logaritmos a n lím b n = lím = φ = = 1, n n a n Se a > 0 e a 1, chámase logaritmo en base a de P, e designase por log a P, o expoñente ao que hai que elevar a base a para obter P. Exemplo 3.13 Por exemplo: log a P = b a b = P a n log 8 = 3 porque 3 = 8 log 1 16 = 4 porque 4 = 1 4 = 1 16 log 3 81 = 4 porque 3 4 = 81 log = porque 3 = 1 3 = 1 9 log 5 5 = porque 5 = 5 log = 3 porque 5 3 = =

46 3.7. LOGARITMOS Exercicio resolto 3.4 Calcula o valor de x nas seguintes igualades: log 3 (x ) = 5; log x 1 15 = 3 Resolución Tendo en conta a definición: log 3 (x ) = 5 x = 3 5 Polo que basta resolver x = 43, e temos por solución x = 45 log x 1 15 = 3 (x 1) 3 = 15 Polo que basta resolver x 1 = 5, e temos por solución x = 6 Propiedades dos logaritmos Antes de enumerar as propiedades teñamos en conta os seguintes logaritmos: log a P = x a x = P e log a Q = y a y = Q 1. O logaritmo da base é 1: log a a = 1 porque a 1 = a. O logaritmo de 1 é 0, calquera que sexa a base: log a 1 = 0 porque a 0 = 1 3. O logaritmo dun produto é igual á suma dos logaritmos dos factores: Isto demóstrase: log a (P Q) = log a P + log a Q log a (P Q) = log a (a x a y ) = log a (a x+y ) = x + y = log a P + log a Q 4. O logaritmo dun cociente é igual á diferenza dos logaritmos dos factores: ( ) P log a = log Q a P log a Q Isto demóstrase: ( ) ( ) P a x log a = log Q a a y = log a (a x y ) = x y = log a P log a Q 5. O logaritmo dunha potencia é igual ao produto do expoñente polo logaritmo da base da potencia: log a P n = n log a P 46

47 3.7. LOGARITMOS Isto demóstrase: log a P n = log a (P... P ) = log a P log a P = n log a P Ou ben log a P n = log a (a x ) n = log a a nx = nx = n log a P 6. O logaritmo dunha raíz é igual ao logaritmo do radicando dividido polo índice: Isto demóstrase: log a n P = log a P n log a n P = log a P 1 n = 1 n log a P = log a P n Ou ben log a n P = log a n a x = log a a x n = x n = log a P n 7. Cambio de base de logaritmos. O logaritmo en base a dun número pódese obter a partir de logaritmos noutra base: Logaritmos decimais log a P = log b P log b a Os logaritmos en base 10 chámanse logaritmos decimais, e neste caso a base non se escribe. Temos por tanto que para designar un logaritmo decimal usamos simplemente log. Obtemos así o seguinte: Logaritmos neperianos log b = c 10 c = b Anteriormente vimos o número e como un número con moita importancia nos límites e nas sucesión. Este número tamén posúe gran trascendencia nos logaritmos. Os logaritmos que teñen como base o número e chámanse logaritmos neperianos e desígnanse mediante ln. Obtemos así o seguinte: ln b = c e c = b Tanto os logaritmos decimais coma os logaritmos neperianos son moi útiles para o cálculo dos demais logaritmos a partir das propiedades antes expostas, en especial, o cambio de base. Pois permítenos, coa axuda da calculadora, calcular calquera logaritmo. 47

48 3.8. EXERCICIOS Exemplo 3.14 Por exemplo: log = log 500 log 5 = log(5 100) log 5 Se sabemos que log 5 = 0, obtemos facilmente que = log 5 + log 100 log 5 log = 1 + log 5 = 1 + = 3, , = 1 + log 5 Exercicio resolto 3.5 Usando logaritmos decimais e a calculadora, calcula os seguintes logaritmos: log 3000; log π 1 ; ln 100; log Resolución Coa fórmula do cambio de base obtense que: log 3000 = log 3000 log = 3, ,301 = 11,550 7 log π 1 = log 1 log π = 0,301 0,497 1 = 0,605 5 ln 100 = log = log 100 log e = 0,434 = 4,605 1 log 500 log 5, = = 3, , Exercicios 1. Di o criterio polo que se forma as sucesións seguintes e engádelle dous termos a cada unha. Ademais da o termo xeral daquelas sucesións que non sexan recorrentes. a) 3, 8, 13, 18, 3,... b) 1, 8, 7, 64, 15,... c) 0, 3, 8, 15, 4,... d) 1, 3, 4, 7, 11, 18,... e) 9, 4, 5, 1, 6, 7,... f) 0, 13, 6, 1, 8,.... Constrúe unha sucesión cuxa lei de recorrencia sexa a n = a n 1 + n. 3. Escribe os catro primeiros termos das sucesións que teñen como termo xeral: a) a n = 5n ( 1 b) b n = 3 ) n 1 c) c n = ( 1) n n d) d n = (n 1)(n ) 48

49 3.8. EXERCICIOS 4. Cales das seguintes sucesións son progresións aritméticas? En cada unha delas di a súa diferenza e atopa o seu termo xeral. a) 3, 7, 11, 15, 19,... b) 4, 5, 7, 10, 14,... c) 3, 6, 1, 4, 48,... d) 11, 8, 5,, 1,... e) 11,4; 9,8; 8,; 6,6; 5;... f) 18; 3,1; 11,8; 6,7; 41,6; Na sucesión 4a) determina o termo a 0 e mais a suma dos 0 primeiros termos. 10. Os lados dun hexágono están en progresión aritmética. Calcúlaos sabendo que o maior mide 14 cm e que o perímetro vale 54 cm. Sol: 4 cm, 6 cm, 8 cm, 10 cm, 1 cm e 14 cm. 11. Escribe os termos intermedios e o termo xeral dunha progresión aritmética se sabes que a 4 = 5 e a 10 = 13. Sol: a n = 3n Indica o quinto termo dunha progresión aritmética na que d = 4 e a 0 = 150. Sol: a 0 = 79 e S 0 = Na sucesión 4d) determina o termo d 40 e mais a suma dos 40 primeiros termos. Sol: d 40 = 106 e S 40 = Na sucesión 4e) determina o termo e 100 e mais a suma dos 100 primeiros termos. Sol: e 100 = 147 e S 100 = Na sucesión 4f) indica os termos f 8 e f 17 e a suma f 8 + f f 16 + f 17. Sol: f 8 = 86,3, f 17 = 0,4 e S = 1533,5. 9. As butacas dunha sala de cine están en progresión aritmética. Se a sétima fila está a 9,8 metros da pantalla e a décimoquinta fila está a 16, metros, a qué distancia está a fila número 1? En que fila debe sentar unha persoa que lle guste ver a pantalla a unha distancia de 9 metros. Obtén unha fórmula que nos permita calcular a distancia de calquera fila dunha maneira rápida. Sol: 1 metros, Fila 31, a n = 4, + 0, 8n. Sol: a 5 = Calcula a suma de todos os múltiplos de 3 de tres cifras. Sol: Canto vale a suma dos 00 primeiros múltiplos de 7? Sol: Calcula a 1 e a 10 nunha progresión aritmética na que sabemos que d = 10 e S 10 = 500. Sol: a 1 = 5 e a 10 = Cales das seguintes sucesións son progresións xeométricas? En cada unha delas di a súa razón e engade dous termos máis: a) 1, 3, 9, 7, 81,... b) 100; 50; 5; 1, 5;... c) 1, 1, 1, 1, 1,... d) 5, 5, 5, 5, 5, 5,... e) 90, 30, 10, 10 3, Calcula a suma dos 10 primeiros termos de cada unha das progresións xeométricas do exercicio anterior. 49

50 3.8. EXERCICIOS 18. En cales das progresións xeométricas do exercicio anterior podes calcular a suma dos seus infinitos termos? Indícaa. 19. Nunha progresión xeométrica, a 1 = 8 e a 3 = 0,5. Calcula a 5 e a suma dos infinitos termos. Sol: a 5 = 0,0315 e S = Nunha progresión xeométrica de razón r = 3 coñecemos S 5 = Calcula a 1 e a 4. Sol: a 1 = 11 e a 4 = A suma dos infinitos termos dunha progresión xeométrica é igual a 4 e a = 1. Calcula a 1 e a razón. d) lím n 8n 3n + 15 n + 5n 10 Sol: a) ; b) 0; c) + ; d) 4 7. Indica o límite destas sucesións: a) a n = n 3 6 b) b n = 5 1 n c) c n = 4 n d) d n = 4 5n 10n + 6n Sol: a) + ; b) 5; c) ; d) 1 Sol: a 1 = e r = 1. Sabendo que a 4 a 6 = 196, calcula o quinto término desta progresión xeométrica. Sol: a 5 = Comproba que a sucesión a n = n n + 4 é crecente. 4. Comproba que a sucesión a n = 3 + n n + 5 é decrecente. 5. Determina se son crecentees ou decrecentes as seguintes sucesións: a) a n = ( 1)n n b) b n = 4 + n n + 1 c) c n = n 7n 1 d) d n = n n + 1 n 1 6. Determina os seguintes límites: a) lím n n + 5n + 1 4n b) lím n 3n + 8 4n c) lím n (n 3 4n + 9n 6) 8. Determina os seguintes límites: ( ) 3n 1 n a) lím n n ( n + n b) lím n n + 3 ( 1 c) lím n 5n d) lím n ( n + 3 n + 5 ) 1 n ) 3n 1 n+1 ) 3n 3 n 3 Sol: a) + ; b) + ; c) + ; d) Determina os seguintes límites: ( a) lím 3 + n ) n+3 n n n + 5 b) lím n ( ) n 9 (n + 1) n 3 n 1 ( ) n n 3n c) lím n 5n 1 d) lím n ( 3n 6n 3n + ) 3n Sol: a) 4; b) 1 ; c) 0; d) e6 e 50

51 3.8. EXERCICIOS 30. Calcula os seguintes logaritmos: a) log 3 43 b) log 9 81 c) log d) log 8 e) log 3 9 f) log 1 3 g) log h) log Sol: a) 5; b) ; c) 3; d) 3, e) ; f) 5; g) 4; h) Determina o valor de x nestas expresións aplicando as propiedades dos logaritmos a) ln x = ln 17 + ln 13 b) log x = log 36 log 9 c) ln x = 4 ln 3 d) log x = log 1 + log 5 3 log 4 e) ln x = 4 ln 1 ln Que relación existe entre a e b nos seguintes casos: a) log a = 1 + log b b) log a + log 1 b = 0 Sol: a) a = 10b; b) a = b 36. Aplica a definición de logaritmo e obtén x: a) log 3 x = 1 4 b) ln x 3 = 1 c) log x 15 = 3 Sol: a) ; b) 3 e ; c) Aplica as propiedades dos logaritmos e indica A. log A = log 3 + 0, 5 log 4 3 log Sol: 9 4 Sol: a) 1; b) 4; c) 81; d) 75 16, e) Sabendo que log k = 14, 4, calcula o valor das seguintes expresións: a) log k b) log 0,1k 100 c) log 3 1 k d) (log k) 1/ Sol: a) 1,4; b) 7,8; c) 4,8; d) 3, Sabendo que ln k = 0,45, calcula o valor de: a) ln k e b) ln 3 k c) ln e k Sol: a) 0,55; b) 0,15; c) 1, Se log k = x, escribe en función de x: a) log k b) log k c) log 10k 100 Sol: a) x; b) x ; c) 1 + x 38. Sabendo que log 5 = 0,699, e aplicando as propiedades calcula: a) log 5 b) log 15 c) log 65 d) log e) log(0,) Sol: a) 1,398; b),097; c),796; 39. Opera aplicando as propiedades: a) log 3 7 log 7 3 b) log e ln 10 c) log e 3 ln d) log a 3 b log b a 9 d) 0,17475, e) 1,398 Sol: a) 1; b) ; c) 1; d) 3 51

52 3.8. EXERCICIOS 5

53 Unidade 4 ECUACIÓNS 4.1. Coñecementos previos Polinomios e operacións Un monomio é unha expresión alxébrica formada por unha parte numérica chamada coeficiente, e unha parte formada por letras, relacionadas pola operación produto. Dous monomios son semellantes se teñen a mesma parte literal. O grao dun monomio é igual a suma dos expoñentes das variables que o compoñen. Un polinomio é a suma de dous ou máis monomios non semellantes. Se falamos dun polinomio cunha sóa variable, podemos definir un polinomio nunha variable x como calquera expresión do tipo: Onde: a n x n + a n 1 x n a x x + a 1 x + a 0 n é un número natural que chamamos grao do polinomio. É o maior dos graos de cada monomio. Cada un dos elementos (sumandos) do polinomio chámanse termos. a n, a n 1,..., a, a 1, a 0 chámanse coeficientes do polinomio. a 0 é o termo independente. O valor numérico dun polinomio P (x) para x = a é o valor que resulta de substituír x por a no polinomio, e desígnase por P (a). Dous polinomios P (x) e Q(x) son iguais se teñen iguais os coeficientes dos termos do mesmo grao. Para operar os polinomios: Suma de dous polinomios. Obtense sumando os termos semellantes dos polinomios sumados. Resta de dous polinomios. Obtense sumando ao minuendo o oposto do substraendo. Produto de dous polinomios. Obtense multiplicando cada un dos termos dun deles por todos os termos do outro e sumar os que resulten ser semellantes. División de polinomios. Obtense: ˆ Colocando os polinomios da mesma forma que na división numérica. Se o dividendo é incompleto, (falta algún termo), deixamos espazos en branco que corresponden aos termos que faltan. 53

54 4.1. COÑECEMENTOS PREVIOS Identidades notables ˆ Dividimos o primer monomio do dividendo entre o monomio de maior grao do divisor, obtendo así o primeiro termo do cociente. ˆ Multiplicamos o resultado obtido no paso anterior polo divisor e restámosllo ao dividendo para obter o primeiro resto parcial. ˆ Continuamos o proceso do mesmo xeito ata que obteñamos un resto parcial de inferior grao ao do divisor. Cómpre ter ben claras as identidades notables, pois serán manexadas en moitas situacións: O cadrado dunha suma de dous monomios: (a + b) = a + ab + b O cadrado dunha diferenza de dous monomios: (a b) = a ab + b A suma multiplicada por unha diferenza de dous monomios: (a + b) (a b) = a b Regra de Ruffini A regra de Ruffini é unha ferramenta que facilita a división de polinomios cando o divisor é da forma (x a). Para recordar como funciona a regra de Ruffini observemos un exemplo. Exemplo 4.1 Vexamos como dividir (x 3 3x + 5) entre (x + ): Sitúase a esquerda a (neste caso ), e na parte de arriba os coeficientes do polinomio que se vai dividir ordenados de xeito decrecente, poñendo 0 se falta algún coeficiente. Baixase o primeiro coeficiente, neste caso o. Agora multiplícase por a, ( ), e ponse debaixo do seguinte coeficiente, sumando ambos números, e volvendo a escribir debaixo o resultado. Reiteramos o proceso ata que chegamos ao final. O número que queda a dereita é o resto da división e os demais son os coeficientes ordenados do cociente. Obtemos así que: Cociente: x 4x + 5 Resto: 5 Teorema do resto O teorema do resto afirma que o resto r que resulta da división dun polinomio P (x) por (x a) é igual ao valor numérico do polinomio para ese valor de a. 54

55 4.. POLINOMIOS Exemplo 4. Sexa P (x) = x 3 3x + 5. Ao dividir P (x) entre (x + ) obtemos que: Cociente: x 4x + 5 Resto: 5 Podemos asegurar entón que P ( ) = 5. Vexamos que efectivamente sucede así: P ( ) = ( ) 3 3 ( ) + 5 = ( 8) 3 ( ) + 5 = = 5 Factor común Sacar factor común é expresar como produto unha suma ou unha resta: Exemplo 4.3 Vexamos como sacar factor común ás seguintes expresións: 4x 4 y z 6 6x y 3 z 4 + 8x 3 y 4 z = x y z (x z 4 3yz + 4xy ) abx + byz + x 3 b = b (ax + yz + x 3 ) (x 1) (x + 3) + (x 1) = (x 1) [(x + 3) + (x 1)] = (x 1) (x + ) Ecuacións Resolver unha ecuación é buscar o valor ou os valores numéricos que fan que a igualdade sexa certa. Exemplo 4.4 Vexamos que dada a seguinte ecuación 5 + x 3 = x, se procedemos a resolución chegaríamos a que x = 7 e x = 4 son posibles solucións. Vexamos cal delas é solución. Se substituímos na ecuación x = 7 obtemos que: = 7 que efectivamente é certo. En cambio se substituímos na ecuación x = 4 obtemos que: = 4 que é falso, polo que a solución da ecuación é x = Polinomios Raíces dun polinomio Dicimos que a é raíz dun polinomio se o valor numérico do polinomio en a é cero. a é raíz do polinomio P (x) P (a) = 0 55

56 4.. POLINOMIOS Exemplo 4.5 O polinomio P (x) = x + 3x 10 ten por raíces x = e x = 5 Comprobemos que efectivamente P () = 0 e P ( 5) = 0 P () = = = 0 P ( 5) = ( 5) + 3 ( 5) 10 = = 0 Polo que e 5 son raíces do polinomio. Propiedades das raíces Vexamos algunhas propiedades que cómpre ter en conta: 1. As raíces enteiras dun polinomio son divisores do termo independente do polinomio.. Todo polinomio que non teña termo independente ten como raíz x = O número de raíces reais dun polinomio é sempre menor ou igual ao grao. 4. Se a é raíz dun polinomio P (x), entón (x a) é divisor de P (x), ou o que é o mesmo, existe Q(x) tal que P (x) = (x a) Q(x). Exemplo 4.6 Dado o polinomio x 3 + 7x 8, as raíces enteiras poden ser Div(8) = {±1, ±, ±4, ±8}. Exercicio resolto 4.1 Atopa as raíces do polinomio P (x) = x 3 3x 4x + 1 Resolución Primeiro achamos os divisores do termo independente, Div(1) = {±1, ±, ±3, ±4, ±6, ±1}. Con estes valores aplicamos a definición de raíz (se P (a) = 0, entón a será raíz). P (1) = = = 6. Por tanto x = 1 non é raíz. P ( 1) = ( 1) 3 3 ( 1) 4 ( 1) + 1 = = 1. Por tanto x = 1 non é raíz. P () = = = 0. Por tanto x = é raíz. P ( ) = ( ) 3 3 ( ) 4 ( ) + 1 = = 0. Por tanto x = é raíz. P (3) = = = 0. Por tanto x = 3 é raíz. Como o número de raíces non pode ser maior que 3, (pola propiedade 3 das raíces), non fai falla mirar os demais valores, tendo que as raíces son x =, x = e x = 3. Tamén podemos obter ditos valores probando as divisions entre x a e utilizando o método de Ruffini, na que o resto debe dar 0. 56

57 4.. POLINOMIOS Factorización dun polinomio Factorizar un polinomio P (x), é poñelo como producto de polinomios do menor grao posible. Tomando a propiedade 4 das raíces, sabes que se a é raíz, entón P (x) = (x a) Q(x), polo que, factorizar un polinomio consiste en buscar as raíces do polinomio P (x). Ademais, usando a propiedade 3, se o grao do polinomio é n, a descomposición pode ter como moito n factores. Para factorizar un polinomio debemos ter en conta: Se non ten termo independente, unha das raíces é 0 (propiedade ), por tanto divisible entre x, que vén sendo o mesmo a sacar factor común x. Se ten termo independente podemos actuar de varias maneiras, sempre e cando sexa posible: ˆ Utilizando as identidades notables. ˆ Usar Ruffini, que xunto co Teorema do Resto, nos permite ir obtendo as posibles raíces enteiras, e a súa vez os factores. ˆ Se chegado o caso estamos ante un polinomio de grao, podese obter as raíces mediante a resolución da ecuación resultante de igualar o polinomio a 0. Sexa cal sexa o método do que nos sirvamos para factorizar o polinomio, P (x), unha vez obtido un factor, x a, traballaremos co polinomio Q(x), que resulta de dividir P (x) entre (x a). Exercicio resolto 4. Factoriza o polinomio P (x) = 4x 6 1x 5 x 4 + 7x 3 18x. Resolución Primeiro debemos sacar factor común x. x (4x 4 1x 3 x + 7x 18) Factorizamos agora o segundo termo mediante Ruffini: 4x 4 1x 3 x + 7x Así: 4x 6 1x 5 x 4 + 7x 3 18x = x (4x 4 1x 3 x + 7x 18) = x (x 1)(x )(4x 9) Para factorizar 4x 9 usamos as identidades notables, pois observamos que é unha diferenza de cadrados polo que 4x 9 = (x + 3)(x 3). Obtemos así que: 4x 6 1x 5 x 4 + 7x 3 18x = = x (4x 4 1x 3 x + 7x 18) = = x (x 1)(x )(4x 9) = = x (x 1)(x )(x + 3)(x 3) 57

58 4.3. FRACCIÓNS ALXÉBRICAS 4.3. Fraccións alxébricas Chámase fracción alxébrica o cociente de dous poninomios, P (x) Q(x). Exemplo 4.7 Son fraccións alxébricas: x x 3 4 ; x ; x + 4 = x ; 14 = 7 Simplificación Se o numerador e o denominador dunha fracción alxébrica se poden dividir por un mesmo polinomio, ao facelo simplíficase a fracción. Se non se pode simplificar (dividir entre un mesmo polinomio numerador e denominador) dicimos que a fracción é irredutible. Ao igual que se facía cos números reais, aquí tamén se pode obter o máximo común divisor (m.c.d.) e o mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dous ou máis polinomios. Para iso procedemos dun xeito similar ao que facíamos cos números reais: Para calcular o m.c.d. descompoñemos os polinomios e de entre os factores collemos aqueles que formen parte de todas as descomposicións coa súa multiplicidade máis pequena. Para calcular o m.c.m. descompoñemos os polinomios e collemos todos os factores coa multiplicidade máis grande coa que aparecen Exemplo 4.8 Sexan P (x) = x 1, Q(x) = x + x + 1 e R(x) = x + 3x +. Vexamos como se calculan o seu m.c.m e o seu m.c.d. Primeiro factoricemos cada un dos polinomios: P (x) = x 1 = (x + 1)(x 1) Q(x) = x + x + 1 = (x + 1) R(x) = x + 3x + = (x + 1)(x + ) Temos entón que: m.c.m.(p (x), Q(x), R(x)) = (x + 1) (x 1)(x + ) = x 4 + 3x 3 + x 3x m.c.d.(p (x), Q(x), R(x)) = x + 1 Para simplificar nun só paso unha fracción e obter a fracción irredutible debemos dividir numerador e denominador entre o seu máximo común divisor. Fraccións equivalentes Dúas fraccións son equivalentes se: Unha delas se obtén simplificando a outra 58

59 4.3. FRACCIÓNS ALXÉBRICAS Ou ben, as dúas, ao simplificarse, dan lugar á mesma fracción. Se dúas fraccións P (x) Q(x) e M(x), son equivalentes, tamén se cumpre que os produtos cruzados son N(x) iguais: Exemplo 4.9 P (x) N(x) = Q(x) M(x) As fraccións x x 4 e x x + x son equivalentes porque ao simplificarse as dúas dan lugar a 1 x +. Os seus produtos cruzados coinciden: (x )(x + x) = (x 4)x = x 3 4x Reducción a común denominador Do mesmo xeito que obtemos fraccións equivalentes simplificando, tamén podemos obter fraccións equivalentes multiplicando o numerador e o denominador dunha fracción alxébrica por un mesmo polinomio para obter outra fracción equivalente. Se temos varias fraccións equivalentes, podemos obter outras que, sendo respectivamente equivalentes ás primeiras, teñan entre si o mesmo denominador. Este proceso recibo o nome de reducción a común denominador. Se o denominador resultante é o mínimo común múltiplo dos denominadores dise que se reducción a mínimo denominador común. Exemplo Se queremos reducir a común denominador as fraccións x + 1 e x +, calcularemos o m.c.m.(x+ x + 3 1, x + 3) = (x + 1)(x + 3) polo que xa temos o denominador resultante. (x + 3) Obtemos así que (x + 1)(x + 3) as dúas o mesmo denominador. (x + )(x + 1) e son fraccións equivalentes ás iniciais e que teñen (x + 3)(x + 1) Operacións Suma e resta Para sumar ou restar fraccións alxébricas, redúcense a común denominador (se non o están xa) e súmanse ou réstanse os seus numeradores. Produto e cociente O produto de dúas fraccións alxébricas é o produto dos seus numeradores partido polo produto dos seus denominadores. A fracción inversa doutra fracción dada conséguese intercambiando numerador e denominador, pois o produto de elas é igual a 1. O cociente de dúas fraccións alxébricas é igual ao produto da primeira pola inversa da segunda. 59

60 4.4. ECUACIÓNS Exemplo 4.11 Vexamos algúns exemplos de operacións: 1 Suma x x + x + 3 Reducímolas a común denominador e despois sumamos: 1 x x + x + 3 = (x + 3) (x + )(x + 1) + (x + 1)(x + 3) (x + 3)(x + 1) = (x + 3) (x + 1)(x + 3) + x + 3x + (x + 3)(x + 1) =. = x + 4x + 5 (x + 3)(x + 1) = x + 4x + 5 x + 4x + 3 En todas as operacións resulta útil non multiplicar inmediatamente pois pode que ao final o ter o numerador e o denominador factorizados nos axude a simplificar. Produto x 9 x + x 1 x 3 Multiplicamos numerador por numerador e denominador por denominador.. x 9 x + x 1 x 3 = (x 9)(x 1) (x + 3)(x 3)(x 1) (x 3)(x 1) = = = (x + )(x 3) (x + )(x + 3) x + = x 4x + 3 x + x Cociente x + : x x Multiplicamos a primeira fracción pola inversa da segunda: x x + : x x = x x + x x = 4x x Ecuacións Ecuacións de segundo grao As ecuacións de segundo grao son da forma ax + bx + c = 0, onde a, b e c son números reais e a 0. As súas solución obtéñense aplicando a seguinte fórmula: x = b ± b 4ac a Chamamos discriminante dunha ecuación de segundo grao a = b 4ac. O discriminante indícanos o número de solucións: > 0, hai dúas solucións reais. = 0, hai unha única solución (con dobre multiplicidade) < 0, non hai solucións reais. Si tén solucións complexas, e as dúas solucións son conxugadas entr si. 60

61 4.4. ECUACIÓNS Cando b = 0 ou c = 0, a ecuación chámase incompleta e pódese resolver de forma sinxela sen necesidade de aplicar a fórmula, aínda que tamén se pode utilizar. Se b = 0 temos ax + c = 0. Basta con despexar x e despois facer a raíz cadrada (collendo os valores positivos e negativos). Se c = 0 temos ax + bx = 0. Basta con sacar factor común (ax + b)x = 0 e igualar cada un dos factores a 0 e despexar. ax + b = 0 e x = 0 Ecuacións bicadradas As ecuacións bicadradas son ecuacións de cuarto grao sen termos de grao impar. Para resolvela efectuamos o cambio x = y, e por tanto, tamén x 4 = y, co que queda unha ecuación de segundo grao na incógnita y: ax 4 + bx + c = 0 ay + by + c = 0 Unha vez resolta esta ecuación debemos desfacer o cambio igualando y a cada das solucións anteriores. Se as solución da ecuación en y son positivas darán lugar a dúas solucións reais e opostas na ecuación en x. Se son negativas só teñen solución no corpo dos números complexos, e son dous pares de números conxugados. Exemplo 4.1 Resolvamos a seguinte ecuación x 4 8x 9 = 0. Comezamos facéndo o cambio x = y, polo que obtemos a seguinte ecuación y 8y 9 = 0. Esta é unha ecuación de segundo grao que se resolve mediante a fórmula escrita no apartado anterior: y = 8 ± ( 8) 4 1 ( 9) 1 = 8 ± = 8 ± 10 = y 1 = y = 8 10 = 9 = 1 Desfacemos agora o cambio obtendo dúas igualdades: y 1 = = 9 x = 9 x = ± { x1 = 3 9 Ten solucións reais x = 3 y = 8 10 = 1 x = 1 x = ± { x3 = i 1 Non ten solucións reais x 4 = i Aínda que non as imos a estudar en profundidade, procedendo dun xeito similar poderemos resolver ecuacións de maior grao como as da seguinte forma ax 6 + bx 3 + c = 0, que se poden resolver tamén facendo o cambio x 3 = y e transformándoa nunha ecuación de segundo grao. Ecuacións polinómicas de grao superior a dous Se exceptuamos algúns casos particulares como o das ecuacións bicadradas, non temos ningún método xeral para achar as solucións dunha ecuación polinómica de grao superior a dous. Soamente seremos quen de resolver estas ecuacións se somos capaces de factorizar o polinomio P (x) en polinomios de primeiro e de segundo grao. Unha vez factorizado o polinomio basta con igualar a cero cada factor e resolver as ecuacións resultantes. 61

62 4.4. ECUACIÓNS Exemplo 4.13 Resolvamos a seguinte ecuación 4x 6 1x 5 x 4 + 7x 3 18x = 0. Se procedemos a factorizar do mesmo xeito que no exercicio resolto 4., poderemos chegar ao seguinte 4x 6 1x 5 x 4 + 7x 3 18x = x (x 1)(x )(4x 9) No exercicio resolto inda se conseguía factorizar máis, pero neste caso podemos parar aquí, pois xa está descomposto en factores de segundo e de primeiro grao. Resolver a ecuación inicial é equivalente a igualar a cero cada un dos factores nos que se descompuxo o polinomio. Temos por tanto que: 4x 6 1x 5 x 4 + 7x 3 18x = 0 x (x 1)(x )(4x 9) = 0 x (x 1)(x )(4x 9) = 0 x = 0 x 1 = 0 (É unha solución dobre) x 1 = 0 x = 1 x = 0 x 3 = 4x 9 = 0 x = 9 4 x = ± 3 x 4 = 3 x 5 = 3 Ecuacións racionais Unha ecuación racional é aquela na que aparecen fraccións alxébricas. Para resolver estas ecuacións debemos transformalas en ecuacións polinómicas. Os denominadores alxébricos, ao igual que os numéricos, suprímense multiplicando polo produto de todos eles ou, incluso mellor, polo seu mínimo común múltiplo. Deste xeito, chégase a unha ecuación que, probablemente, se sabe resolver. No proceso de multiplicar por expresións polinómicas, ás veces aparecen solucións falsas. Polo tanto, sempre que o fagamos, deberemos comprobar todas as solucións obtidas. Exemplo 4.14 Resolvamos a seguinte ecuación x 3x x 1 = 1 x x 1. O mínimo común múltiplo dos denominadores é (x+1)(x 1) = x 1. Polo que multiplicaremos cada miembro da ecuación por el. x 3x = (x 1) (x + 1) = x 3x + = 0 Como é unha ecuación de segundo grao, podemos resolvela mediante a fórmula e obtemos as seguintes solucións: Agora só queda comprobar as solucións: x 3x + = 0 x 1 = 1 e x = x = 1: x = : = = = 3 x = 1 non é solución da ecuación inicial xa que anula algúns denominadores x = é solución da ecuación inicial 6

63 4.4. ECUACIÓNS Ecuacións irracionais Chamamos ecuacións irracionais ás ecuacións que conteñen polinomios ou fraccións alxébricas baixo un signo radical. Só estudaremos o caso das ecuacións con radicais cadráticos. Para resolver este tipo de ecuacións: illamos a raíz cadrada nun membro. elevamos os dous membros ao cadrado. Se a ecuación resultante é irracional, repetimos o proceso anterior as veces que faga falta ata que desaparezan todos os radicais. Neste proceso poden aparecer solucións falsas que naturalmente, hai que rexeitar. Por iso, neste tipo de ecuacións é funtamental comprobar todas as solucións. Exemplo 4.15 Resolvamos a seguinte ecuación x 3 + 3x 5 = 6. Illamos no primeiro membro un dos radicais. 3x 5 = 6 x 3 Elevamos ao cadado os dous membros e reducimos a expresión. Neste caso, como a ecuación resultante é irracional, volvemos a illar o radical. 3x 5 = 36 1 x 3 + (x 3) x 38 = 1 x 3 Volvemos a elevar ao cadrado e reducir a expresión. 4x 15x = 144(x 3) 4x 15x = 144x 43 4x 96x = 0 Resolvemos a ecuación sen radicais resultante. 4x 96x = 0 x 74x = 0 Agora só queda comprobar as solucións: { x1 = 7 x = 67 x = 7: x = 67: = = = = 6 x = 1 é solución da ecuación inicial x = 67 non é solución da ecuación inicial Ecuacións exponenciais Chamamos ecuacións exponenciais ás ecuacións nas que a incógnita aparece no expoñente dunha potencia. Para resolvela úsanse as propiedades das potencias se teñen a mesma base e temos en conta que A x = A y x = y Se isto non funciona, ás veces convén facer algún cambio de variable. 63

64 4.4. ECUACIÓNS Exercicio resolto 4.3 Resolve as seguintes ecuacións exponenciais: a) 4 4x = 104 b) 3 x + 3 x+ = 90 Resolución a) Para resolver esta ecuación despexamos primeiro 4x. 4x = 104 = 56 4 Tratamos de poñer 56 como potencia de. Efectivamente, temos que 8 = 56. Polo que a igualdade transfórmase en 4x = 8, obtendo así que 4x = 8 x =. b) Para resolver esta ecuación é útil realizar un cambio de variable, pero tras aplicar antes algunha das propiedades das potencias. 3 x + 3 x+ = 90 3 x + 3 x 3 = 90 Agora facemos o seguinte cambio 3 x = y e obtemos y + 9y = 90. Se resolvemos a ecuación obtemos que y = 9. Neste momento desfacemos o cambio de variable co que chegamos a 3 x = 9, obtendo así que x =. Ecuacións logarítmicas Chamamos ecuacións logarítmicas ás ecuacións nas que interveñen logaritmos. Para resolver úsanse as propiedades dos logaritmos e temos en conta que: log A = log B A = B No caso de que cheguemos a unha expresión do tipo log A = B debemos expresar B como un logaritmo. Unha vez resolta a ecuación temos que comprobar as solucións para que non aparezan logaritmos de cero ou de números negativos. Exercicio resolto 4.4 Resolve a seguinte ecuación logarítmica log x + log(x + 6) = 4 log Resolución Usamos as propiedades dos logaritmos log x(x + 6) = log 4 log x + 6x = log 16 Se quitamos os logaritmos temos x + 6x = 16 x + 6x 16 = 0. Se resolvemos a ecuación obtemos as seguintes solucións: x = e x = 8. Como temos que comprobar se algunha delas non sirve por dar lugar a logaritmos de cero de número negativos, quedamos que a solución é x =, descartando x = 8 64

65 4.5. INECUACIÓNS 4.5. Inecuacións Unha inecuación é unha desigualdade entre dúas expresións alxébricas, na que os seus membros aparecen ligados por algún destes signos (<,, > ou ). Os valores das incógnitas que fan que sexa certa a desigualdade son solucións da inecuación. O conxunto de todas as solución chámase conxunto solución e represéntase por S, e expresámolo en forma de intervalo. Do mesmo xeito que sucede coas ecuacións, coas inecuacións podemos clasificalas en función do seu grao e da número de incógnitas. Polo momento traballaremos coas inecuacións dunha sóa incógnita e estudaremolas en función do seu grao: Inecuacións de primeiro grao Son inecuacións nas que o grao da expresión alxébrica é un. A súa estructura é similar á das ecuacións de primeiro grao exceptuando que os membros están enlazados por un dos signos das inecuacións. Para resolver este tipo de inecuacións procédese igual que coas ecuacións de primeiro grao coa salvedade de que ao multiplicar ou dividir por un número negativo, a desigualdade cambia de sentido. Outra maneira de resolvela consiste en resolver a ecuación correspondente a inecuación e posteriormente mirar os signos en cada intervalo. Exercicio resolto 4.5 Resolve a seguinte inecuación: (x ) + 3x < 4x + 6 Resolución Vexamos como resolvelo de dúas maneiras diferentes: Procedemos exactamente igual que nas ecuacións de primeiro grao coa excepción da orientación do signo de desigualdade antes comentada. (x ) + 3x < 4x + 6 x 4 + 3x < 4x + 6 x < 10 Unha vez que chegamos a este paso expresamos a solución mediante un intervalo que neste caso é: S= (, 10) Nesta outra maneira, primeiro transformamos a inecuación noutra inecuación equivalente na que no segundo membro só teñamos o 0, chegando neste caso a x 10 < 0. Unha vez aquí, resolvemos a ecuación correspondente a esta inecuación, obtendo que x = 10. Agora analizamos o signo en cada intervalo determinado por este punto. (, 10) (10, + ) Signo da expresión x 10 + Como precisamos aqueles valores nos que a expresión é negativa temos doadamente que a solución é S= (, 10) Se a inecuación se cumpre para todos os valores diremos que a solución é S=R = (, + ). En cambio se non hai ningunha solución da inecuación diremos que S=. Tamén cómpre recordar que os extremos finitos dos intervalos incluiranse se a inecuación contén os símbolo ou. En cambio non se incluirán se a inecuación contén os símbolo extrictos < ou >. Inecuacións de segundo grao Son inecuacións nas que o grao da expresión alxébrica é dous. Do mesmo xeito que sucedía coas de primeiro grao, aquí a súa estrutura é similar á das ecuacións de segundo grao. 65

66 4.5. INECUACIÓNS Para resolver este tipo de inecuacións procédese do mesmo xeito que vimos na alternativa a resolución ás inecuacións de primeiro grao. Para que quede máis claro, tranformamos a inecuación nunha inecuación na que un dos membros sexa 0. Unha vez neste caso, resolvemos a ecuación correspondente para obter os puntos críticos, nos que cambia o signo da expresión. Unha vez que se teñen os puntos críticos mírase o signo da expresión en cada un dos intervalos xerados por eses puntos. Exercicio resolto 4.6 Resolve a seguinte inecuación: (x 3) 4 Resolución Antes de comezar a resolver a inecuación, tratamos de obter unha inecuación equivalente na que un dos membros é 0. (x 3) 4 x 6x x 6x Unha vez que obtemos a inecuación equivalente, imos resolver a ecuación asociada a esta última inecuación. Neste caso x 6x+5 = 0. As solucións de esta ecuación son x = 1 e x = 5. Obtemos por tanto dous puntos críticos que dan lugar a tres intervalos. Agora analizamos o signo en cada un deses intervalos para a expresión x 6x + 5. (, 1) (1, 5) (5, + ) Signo da expresión x 6x Tal como obtivemos antes, precisamos aqueles valores que fan que a expresión sexa negativa ou valga 0. Como xa obtivemos os puntos onde é igual a 0 e obtivemos o intervalo onde é negativa, temos que a solución é S=[1, 5] Inecuacións polinómicas Os métodos que se siguen para resolver inecuacions de segundo grao cunha incógnita podemos aplicar tamén ás inecuacións polinómicas de grao superior a dous. Neste caso, ao igual que se facía coas ecuacións polinómicas, debemos descompoñer previamente o polinomio en factores de grao un ou grao dous. Unha vez feito este paso, basta con igualar cada un dos factores a cero para obter os puntos críticos que nos determinan os intervalos de cambios de signo. Este método tamén sirve se o aplicamos a un polinomio de segundo grao, pois se temos as súas raíces, obtemos dous factores de grao un, no que é moi sinxelo analizar o signo que ten cada factor. Exercicio resolto 4.7 Resolve a seguinte inecuación: x 6x Resolución Esta é a mesma inecuación que no exercicio resolto anterior, pero imos obter a súa solución factorizando o polinomio. Como xa obtivemos previamente as raíces do polinomio (x = 1 e x = 5) temos que x 6x (x 1)(x 5) 0. (, 1) (1, 5) (5, + ) x x 5 + (x 1)(x 5) + + Estudando o signo e os extremos, do mesmo xeito que fixemos antes, obtemos que S=[1, 5] 66

67 4.6. SISTEMAS DE ECUACIÓNS Tal como procedemos neste exercicio resolto podemos proceder para calquera expresión polinómica na que teñamos que conseguir os factores, ou aquelas expresións que xa temos factorizadas. Tamén será útil á hora de resolver as inecuacións racionais que veremos a continuación. Inecuacións racionais Unha inecuación racional é aquela na que aparecen fraccións alxébricas. Para resolver debemos operar previamente as fraccións para deixar, como nos casos anteriores, nun membro só o 0. Unha vez que chegamos a esta expresión, neste caso igualamos a 0 o numerador e o denominador para obter os puntos críticos e estudar, como fixemos ata o de agora os signos da expresión en cada un dos intervalos xerados. No caso de que o símbolo utilizado sexa un dos non estrictos ( ou ), debemos descartar aquel extremo que anule o denominador. Exercicio resolto 4.8 Resolve a seguinte inecuación: x 3 x Resolución Tal como comentamos igualamos a 0 o numerador e o denominador: x 3 = 0 x = 3 x + 1 = 0 x = 1 Analizamos o signo en cada un dos intervalos para cada unha das expresións e na fracción completa. (, 1) ( 1, 3) (3, + ) x 3 + x x 3 x Neste caso precisamos que a fracción sexa negativa ou igual a cero. Tras analizar o signo vemos facilmente o intervalo no que a fracción é negativa. Porén, non é tan doado saber se temos que coller ou non os extremos dos intervalos, a pesar de ter o símbolo. Debemos descartar aquel extremo (ou aqueles extremos) do intervalo que anulen o denominador. Tendo en conta o anterior obtemos que a solución desta inecuación é S=( 1, 3] 4.6. Sistemas de ecuacións Antes de entrar en profundidade cos sistemas de ecuacións debemos lembrar que: Unha solución dunha ecuación con varias incógnitas é un conxunto de valores (un para cada incógnita) que fan certa a igualdade. Por exemplo, unha solución da ecuación x + y = 8 é x = e y = 4, pois + 4 = 8. As ecuacións con máis dunha incógnita adoitan ter infinitas solucións. Un sistema de ecuacións é un conxunto de ecuacións que deben verificarse simultáneamente. Resolver un sistema consiste en atopar todas as solucións comúns a cada unha das ecuacións que o forman. 67

68 4.6. SISTEMAS DE ECUACIÓNS Para resolver os sistemas existen varios procedementos, pero previamente axuda moito transformar cada unha das ecuacións en ecuacións equivalentes. Dicimos que unha ecuación é linear se cada unha das incógnitas está elevada a 1 (grao un) e non están multplicadas entre si. Estudaremos os sistemas en función do seu número de incógnitas e da linearidade ou non linearidade das súas ecuacións. Sistemas de ecuacións lineares con dúas incógnitas Un sistema de ecuacións lineares con dúas incógnitas é da forma { ax + by = c a x + b x = c Para resolver os sistemas desta forma podemos proceder gráficamente ou alxebricamente. Resolución gráfica Cada unha das ecuacións lineares con dúas incógnitas representan unha recta. Para resolver o sistema, representamos cada unha rectas que forman o sistema e vemos en que puntos se tocan. Pode darse o caso que se corten nun só punto, que sexan a mesma recta ou que sexan paralelas, obtendo así unha, infinitas ou ningunha solución respectivamente. Exemplo 4.16 Resolvamos alxebricamente o seguinte sistema { x + y = 3 x 3y = 1. Representamos nos eixos cartesianos cada unha das rectas que corresponden as solucións de cada unha das ecuacións do sistema. O punto (, 1) é común a ambas rectas. Por tanto, x = e y = 1 é a solución, neste caso única, do sistema. Resolución alxébrica Repasemos os tres métodos elementais que nos permiten resolver alxebricamente os sistemas de ecuacións lineares con dúas incógnitas. Son os métodos de igualación, substitución e reducción. Método de substitución. O proceso consiste en despexar unha das incógnitas en calquera das ecuacións e substituir ese valor na outra ecuación. Obtemos así unha ecuación de primeiro grao cunha soa incógnita, que podemos resolver sinxelamente. Unha vez resolta a ecuación, substituimos o valor obtido na expresión na que aparece despexada a outra incógnita, aínda que tamén podemos facelo en calquera das ecuacións iniciais. Este método é útil nos casos nos que temos algunha das incógnitas con coeficiente 1, pois o seu despexe é moi sinxelo. 68

69 4.6. SISTEMAS DE ECUACIÓNS Exemplo 4.17 Resolvamos o seguinte sistema polo método de substitución { x + y = 3 x 3y = 1. Despexamos a x na primeira ecuación obtendo x = 3 y. Substituimos esa expresión na segunda ecuación e resolvemos a ecuación: (3 y) 3y = 1 6 y 3y = 1 5 = 5y y = 1 Substituimos y = 1 no despexe x = 3 y e obtemos x = 3 1 = Temos por tanto que a solución do sistema é, tal como vimos no método gráfico x =, y = 1. Método de igualación. O proceso consiste en despexar a mesma incógnita nas dúas ecuacións e igualar as expresións Obtemos así unha ecuación de primeiro grao cunha soa incógnita, que podemos resolver sinxelamente. Unha vez resolta a ecuación, substituimos o valor obtido nalgunha das expresións na que aparece despexada a outra incógnita, aínda que tamén, como sucede no método de substitución, podemos facelo en calquera das ecuacións iniciais. Exemplo 4.18 Resolvamos o seguinte sistema polo método de igualación { x + y = 3 x 3y = 1. Despexamos a x na primeira ecuación obtendo x = 3 y e na segunda ecuación obtendo x = 1 + 3y. Igualamos ambas expresións e resolvemos a ecuación 3 y = 1 + 3y (3 y) = 1 + 3y 6 y = 1 + 3y 5 = 5y y = 1 Substituimos y = 1 nun dos despexes, neste caso no primeiro, x = 3 y, por non ter denominadores e obtemos x = 3 1 = Temos por tanto que a solución do sistema é, tal como xa vimos x =, y = 1. Método de reducción. Este método consiste en transformar algunhas das ecuacións noutras equivalentes de xeito que, ao sumalas ou restalas se elimine unha das incógnitas. Para resolver, observamos se algunha das incógnitas ten os coeficientes opostos nas dúas ecuacións. No caso contrario, multiplicamos cada ecuación polo número adecuado para que unha das incógnitas teña os coeficientes opostos nas dúas ecuacións. Unha vez que unha das incógnitas ten coeficientes opostos, sumamos membro a membro as dúas ecuacións e resolvemos a ecuación linear resultante. Para obter o valor da outra incógnita podemos substituir o valor que acabamos de conseguir nalgunha das ecuacións iniciais e resolver, ou ben, utilizar de novo o método de reducción para eliminar a outra incógnita. 69

70 4.6. SISTEMAS DE ECUACIÓNS Exemplo 4.19 Resolvamos o seguinte sistema polo método de reducción { x + y = 3 x 3y = 1. Como xa temos unha das incógnitas con signos opostos, basta con ver se somos capaces de que teñan o coeficiente oposto. Para iso neste caso, basta con multiplicar por 3 a primeira ecuación, pasando de x + y = 3 a 3x + 3y = 9. Agora sumamos membro a membro ambas ecuacións: 3x + 3y = 9 x 3y = 1 5x = 10 Se resolvemos a ecuación resultante 5x = 10, obtemos que x =. Para obter o valor da outra incógnita basta con substituír ese valor nunha das ecuacións inicias. Efectivamente + y = 3 y = 1, obtendo por tanto que a solución é x =, y = 1. Sistemas de ecuacións non lineares con dúas incógnitas Dicimos que un sistema de dúas ecuacións con dúas incógnitas é non linear se unha ou ambas ecuación son non lineares. En función dos termos cuadráticos que teñamos nas ecuacións será máis útil un método ou outro, pero xeralmente utilizaremos o método de substitución, deixando o de reducción para sistemas nos que teñamos termos semellantes en ambas ecuacións. Exercicio resolto 4.9 Resolve o sistema Resolución { x y = 1 x y = 9 Dado que non temos os mesmos termos en ambas ecuacións, neste caso é moi útil o método de substitucion. Para iso despexamos unha das incógnitas na ecuación linear e substituimola na outra (por comodidade farémolo coa que non ten grao na segunda ecuación). Obtemos así que y = x 1 Se substituímos na segunda ecuación obtemos que x (x 1) = 9, ecuación que equivale a x x 8 = 0. Se resolvemos esta ecuación obtemos que x = ou x = 4. Temos neste caso que ver o valor da outra incógnita para cada un dos valores de x. Por tanto temos que se x =, y = ( ) 1 = 5, e se x = 4, y = 4 1 = 7. Por tanto as solucións deste sistema son: x 1 =, y 1 = 5 e x = 4, y = 7. Sistemas de ecuacións lineares. Método de Gauss Unha ecuación linear con tres incógnitas é calquera ecuación equivalente a ax + by + cz = d, con a, b, c e d R. Unha solución dunha ecuación está formada por tres valores que satisfan a ecuación. Igual que sucedía coas ecuación lineares de dúas incógnitas, unha ecuación linear con tres incógnitas ten infinitas solucións. No caso das de dúas incógnitas todas as solución representaban unha recta, en cambio nun sistema de tres incógnitas, o conxunto das solución representan un plano. 70

71 4.6. SISTEMAS DE ECUACIÓNS Resolución de sistemas graduados Un sistema graduado de tres ecuacións con tres incógnitas é un sistema de tres ecuación onde unha ecuación contén unha soa incógnita, outra das ecuacións pode conter dúas incógnitas (unha delas a que xa tiñamos na primeira ecuación) e a terceira ecuación pode conter as tres incógnitas. Para resolver un sistema de ecuacións graduado resolvemos primeiro a ecuación cunha soa incógnita, substituíndo esta na segunda ecuación para obter a segunda incógnita e repetindo o proceso na terceira ecuación ata resolver todas as incógnitas. Exemplo 4.0 Resolvamos o seguinte sistema graduado 3x 5y 10z = 15 y + 5z = 4 3z = 6 A resolución deste sistema pode facerse de xeito moi sinxelo. Primeiro resolvemos a 3ª ecuación: 3z = 6 z =. Agora substituimos o valor obtido para z na segunda ecuación, obtendo y + 5 ( ) = 4. Resolvemos a ecuación obtida para obter o valor de y. y 10 = 4 y = 14 y = 7 Repetimos o proceso na primeira ecuación cos valores obtidos ata o de agora e substutuíndoos: 3x ( ) = 15. Resolvemos a ecuación resultante: 3x = 15 3x = 0 x = 0 Temos por tanto que a solución é x = 0, y = 7, z =. Debemos notar que, pese a que se acostuma a traballar cun sistema triangularizado (no que as incógnitas que faltan son as dunha das esquinas do sistema), tamén pode ser graduado calquera outro que cumpra as condicións da definición. Vexamos un exemplo de sistema graduado que non é triangular. Exemplo 4.1 y z = 4 Resolvamos o seguinte sistema graduado 4y = 4 x y + z = 5 A pesar de que a simple vista non o pareza, este sistema tamén e graduado, polo que procederemos dun xeito similar: Primeiro resolvemos a ª ecuación: 4y = 4 y = 6. Agora substituimos o valor obtido para y na primeira ecuación, obtendo 6 z = 4. Resolvemos a ecuación obtida para obter o valor de z. 10 = z z = 5 Repetimos o proceso na terceira ecuación cos valores obtidos ata o de agora e substutuíndoos: x = 5. Resolvemos a ecuación resultante: x = 5 x = Temos por tanto que a solución é x =, y = 6, z = 5. 71

72 4.6. SISTEMAS DE ECUACIÓNS Método de Gauss Como acabamos de ver, os sistemas graduados son moi sinxelos de resolver. O método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuacións lineares calquera nun sistema graduado. Debemos remarcar que, aínda que a tendencia sexa a de transformar un sistema en un sistema triangular, ás veces resulta moito máis cómodo anular as incógnitas noutras ecuacións. Vexamos con algúns exemplos. Exemplo 4. x 3y + 4z = 1 Resolvamos o seguinte sistema 3x + y z = 18 x y + 3z = 1 Este sistema non é graduado, pero podemos facer transformacións para conseguir que o sexa. Como non hai ningunha incógnita que se anule doadamente en dúas ecuacións, podemos comezar po intentar eliminar o x da segunda e da terceira ecuación: x 3y + 4z = 1 3x + y z = 18 x y + 3z = 1 (1ª) (ª) 3 (1ª) (3ª) (1ª) x 3y + 4z = 1 10y 13z = 81 5y 5z = 30 Agora trataremos de conseguir que se anule o y dalgunha das dúas últimas ecuacións, e tamén vemos se podemos simplificar algunha das ecuacións. x 3y + 4z = 1 10y 13z = 81 5y 5z = 30 (1ª) (ª) (3ª) (3ª) : 5) x 3y + 4z = 1 3z = 1 y z = 6 Acabamos de transformar un sistema calquera de 3 incógnitas nun sistema graduado, que podemos resolver moi doadamente. Se resolvemos o sistema obtemos que z = 7 pola segunda ecuación, y = 1 tras utilizar agora a terceira ecuación e x = 4 ao substituír na primeira. Por tanto a solución é x = 4, y = 1, z = 7. Neste exemplo fomos deténdonos en cada caso, pero no seguinte trataremos de facer todos os cálculos seguidos. Exemplo 4.3 x y + z = 3 Resolvamos o seguinte sistema x z = 9 3x + y + z = 13 Como nunha das ecuación xa nos falta unha incógnita, antes de nada trataremos de suprimir esa incógnita nunha das ecuacións: x y + z = 3 (1ª) x y + z = 3 x z = 9 (ª) x z = 9 3x + y z = 13 (3ª) + (1ª) 7x 3z = 9 (1ª) x y + z = 3 (3ª) x = (ª) x z = 9 (ª) z = 5 (3ª) 3 (ª) x = (1ª) y = 3 A solución é x =, y = 3, z = 5. 7

73 4.6. SISTEMAS DE ECUACIÓNS Tipos de sistemas según as solucións Se analizamos o caso de dúas ecuacións lineares, ao representar graficamente cada unha das ecuacións obtemos dúas rectas. Ata o de agora eramos quen de dicir o número de solucións en función de se se cortaban nun punto, eran paralelas ou coincidientes. Vexamos agora como podemos clasificar os sistemas segundo o número de solucións: Se as dúas rectas se cortan nun só punto, temos que o sistema ten unha soa solución. Dicimos que o sistema é compatible determinado. Se as dúas rectas coinciden teñen todos os puntos en común, polo que todas as solucións dunha das ecuacións tamén o son da outra. Dicimos que o sistema é compatible indeterminado. Se as rectas son paralelas non teñen punto en común algún, polo que o sistema non tén solución. Dicimos que o sistema é incompatible. Podemos resumir esto co seguinte esquema: Sistemas { Determinados (Un conxunto finito de solucións) Compatibles (Teñen solución) Indeterminados (Un conxunto infinito de solucións) Incompatibles (Non teñen solución) Esta clasificación tamén nos serve para os sistemas de ecuacións lineares con tres incógnitas. Se tras efectuar o método de Gauss non somos quen de obter un sistema graduado tal como o vimos antes podemos atoparnos coas seguintes opcións: Ao operar obtemos unha igualdade falsa na que nun dos membros é 0 e o outro dos membros da mesma ecuación é un número calquera distinto de 0. Se isto sucede, o sistema non ten solución polo que o sistema é incompatible. Exemplo 4.4 x + y + 3z = 3 4x z = x z = (1ª) (ª) (3ª) (ª) x + y + 3z = 3 4x z = 0 = Ao operar unha das ecuacións anúlase totalmente, pois obtemos a expresión 0 = 0. Neste caso reducimos o número de ecuacións en unha. Se o número de ecuacións é inferior ao número de incógnitas o sistema ten infinitas solucións, polo que o sistema é compatible indeterminado. Exemplo 4.5 x + y + 3z = 3 6x z = 3x z = 1 (1ª) (ª) (3ª) (ª) x + y + 3z = 3 6x z = 0 = 0 Neste caso, temos que poñer as incógnitas en función das demais. Pola segunda ecuación obtemos que z = 3x 1. Substituindo na primeira obtemos que x + y + 3(3x 1) = 3. Polo que tamén podemos poñer y en función de x. Neste caso x + y + 9x 3 = 3 10x + y = 6 5x + y = 3 y = 3 5x. A solución por tanto é x = x, y = 3 5x, z = 3x 1, polo que para cada valor de x temos unha terna que é solución do sistema. 73

74 4.7. SISTEMAS DE INECUACIÓNS 4.7. Sistemas de inecuacións Un sistema de inecuacións é un conxunto de inecuacións que deben verificarse simultaneamente. Para resolver un sistema de inecuacións resolvemos cada unha das inecuacións e a solución é a intersección de todas as solucións. Exercicio resolto 4.10 Resolve o sistema Resolución { x 3x + 0 x + 4 (x + ) Resolvemos cada unha das inecuacións por separado. Obtemos dun doadamente a solución de x 3x + 0. É unha inecuación de segundo grao, na que atopamos os puntos críticos nos que se cumpre que x 3x + = 0 e analizamos o signo. A solución desta inecuación é S=(, 1] [, + ) Para resolver a segunda inecuación debemos operar previamente e simplificar a expresión x + 4 (x + ) x + 4 x + 4x x Por tanto a solución desta inecuación é S = [0, + ). Temos que ver agora a intersección de ambas solucións. ((, 1] [, + )) [0, + ) = [0, 1] [, + ) Entón a solución do sistema é S = [0, 1] [, + ). Vémolo dun xeito máis gráfico se analizamos a representación de cada un dos intervalos: 4.8. Exercicios 1. Razoa se os números 1, - e 3 son ou poden ser raíces dos seguintes polinomios a) x 4 3x 3 x 6x + b) x 3 7x 16x + 5. Factoriza os seguintes polinomios: a) x 3 + x x b) x 3 + 3x 4x 1 c) x 6 9x 5 + 4x 4 0x 3 d) x 6 3x 5 3x 4 5x 3 + x + 8x e) x 4 x 3 + x x Sol: a) (x + )(x 1)(x + 1) b) (x + 3)(x + )(x ) c) x 3 (x ) (x 5) d) x(x 4)(x 1)(x + 1)(x + x + ) e) x(x 1)(x + 1) 3. a) Intenta factorizar x 4 +4x 3 +8x +7x+4. b) Faino agora sabendo que é disivible por x + x Efectúa: 1 x 1 + Sol: (x + x + 1)(x + 3x + 4) x x + 1 x x 1 Sol: x 3x + 1 x 1 74

75 4.8. EXERCICIOS 5. Efectúa estas operacións: a) x x 3 x 5 b) x x 3 x 5 x + x 3 : x + x 3 6. Efectúa estas operacións: a) Sol: a) x + 4x +, b) x 6x + 9 x 5 x 10 ( x x 1 1 ) x x x + 1 x + 1 b) 3x 1x 6 x 3 3x + x Sol: a) x x + 1, b) 5x + x + x Demostra as seguintes identidades: ( 1 a) 1 + x + x ) ( ) 1 1 x x 1 = 1 x b) a 1 a 3a + : a + a + 1 a a = 1 8. Resolve estas ecuacións: a) (x + 1) (x ) = (x + 3) + x 0 b) x x + 5 x + 3x 4 = x 4x Sol: a) e, b) 0 e Resolve estas ecuacións bicadradas: a) x 4 5x + 4 = 0 b) x 4 + 3x 4 c) x 4 + 3x + = 0 d) x 4 9x + 8 = 0 Sol: a),, 1 e 1, b) 1 e 1, c) Non hai solucións reais, d) 1, 1, e 10. Resolve estas ecuacións: a) 1 x 1 x + 3 = 3 10 b) 4 (x + 1) + x 3(x ) = 4 c) 1 x + 1 x = 3 4 x d) x 1 + x x + 1 = 3 5 e) x + + x x + 3 = 3 f) x + 3 x 1 x + 1 x 1 = Resolve estas ecuacións: a) 1 5x = x b) x = x c) x 1 + x + 4 = 5 d) 1 x + x + = 0 e) 6 + 4x 3 = 3 f) x + 4 x 3 = x Sol: a) 5,, b) 3, 4 5, c), 3, d) 3, e) 4, 3, f) 6, 8 13 Sol: a) 0, b) 1, c) 5, d) Non hai solución, e) 3, f) 5 1. Resolve as seguintes ecuacións: a) 3 x = 3 9 b) x x+1 = 8 c) 5 7 x = 35 d) 0,5 x = Resolve as seguintes ecuacións: a) 3x = 0, 5 3x+ b) 3 7 x = 1 9 c) x+1 5 x+1 = 0,01 d) 7 x+ = Sol: a) 3, b) 1, c) 1, d) 4 Sol: a) 1, b) 3, 3, c) 3, d) Resolve as seguintes ecuacións tomando logaritmos: a) 1 e x = 7 75

76 4.8. EXERCICIOS b) x 3 x = 64 c) 4x 1 = 100 x+ 3 x d) x+1 = 1 Sol: a) x 3,958, b) x,311, c) x 10,644, d) x 1, Resolve as seguintes ecuacións mediante un cambio de variable: a) x + 1 x = 3 b) x+1 + x 1 = 5 c) 8 1+x + 3x 1 = d) x 5 x + 4 = 0 e) 9 x 3 x 6 = 0 Sol: a) 0, 1 b) 0, c) 1, d) 0,, e) Resolve as seguintes ecuacións logarítmicas: a) log(x + 1) log(x 1) = log 13 1 b) ln(x 3) + ln(x + 1) = ln 3 + ln(x 1) c) ln(x 3) = ln x ln 4 d) log(x + 3) log(x 6) = Resolve as seguintes ecuacións: a) log(x + 9) = + log x b) log 3x log x = 1 c) (log x) 10 log x + 8 = 0 d) log(x 7x + 110) = Sol: a) 5, 5 b) 5, c) 4, d) 7 e) log(x + 7x) = 1 + log(x + 1) f) ln x + ln x + ln 4x = 3 Sol: a) 1 11, b) 5, c) 10, , d), 5, e) 5, f) e 18. Resolve as seguintes inecuacións: a) x 6x + 9 > 0 b) 3x + 5x 0 c) x + 3x > 0 d) x e) (x 3) 4 Sol: a) (, 3) (3, + ) = R {3}, b) [, 1 3 ], c) (, 3) (0, + ), d), e) [1, 5] 19. Resolve as seguintes inecuacións: a) 3(x 1) 5(x ) > 0 b) x 7 3(x 1) c) x < x d) (5 x ) > 3x + 1 e) x 1 5 > 3x Sol: a) R, b) (, 5] [, + ), 0. Resolve as seguintes inecuacións: a) x(x 5)(x + 3) < 0 b) x 4 x 3 x + x 0 c) x 4 x 3 3x < 0 d) x(x + 3) < 0 c), d) ( 3, 3 ), e) Sol: a) (, 3) (0, 5), b) (, 1] [0, 1] [, + ), 1. Resolve as seguintes inecuacións: a) x + x 1 0 b) x 3x 4 x c) x x 3 x 4 x d) x 5 < 0 > 0 0 c) ( 1, 3), d) (, 0) Sol: a) [, 1), b) ( 1, ) (4, + ), c) (, 1] (, 3], d) (, 0) (0, 5). Resolve os seguintes sistemas de ecuacións: { x a) y = 3 x y = 6 76

77 4.8. EXERCICIOS { x b) xy + y = 16 x + y = 6 { x y = c) x y = 7 xy = 15 d) x y = 5 3 Sol: a) x = 3, y = 3 e x = 5, y = 11, b) x = 1, y = 5 e x = 5, y = 1, c) x = 4, y = 3 e x = 8 3, y = 1 3, d) x = 5, y = 3 e x = 5, y = 3 3. Resolve os seguintes sistemas de ecuacións: { log x + log y = 3 a) log x log y = 1 { y x = 1 b) x + y = 1 { y c) y + 1 = x x + y = 5 { x d) y = 11 log x log y = 1 a) Sol: a) x = 10, y = 100, b) x =, y = 3, c) x = 4, y = 3, d) x = 10 3, y = Resolve os seguintes sistemas de ecuacións graduados: b) c) d) x = 7 x 3y = 8 3x + y z = 1 3x + 4y = 0 3y = 9 4x + y 4z = 13 x + y z = 3 x y = 3 5y = 10 x + 3y z = 8 y = 8 3x = 9 Sol: a) x = 7, y =, z = 11, b) x = 4, y = 3, z = 0, c) x = 1, y =, z =, d) x = 3, y = 4, z = 5 5. Resolve os seguintes sistemas de ecuacións mediante o método de Gauss: a) b) c) d) 3x + y z = 0 x y + z = 8 x + y + z = 5 x y + z = 1 x + y z = 1 x + y + z = 1 x + y 3z = 8 x z = 1 y + z = 1 x + y + 3z = 11 x 6y + 4z = 31 x + y + z = 6 Sol: a) x =, y = 1, z = 4 b) x = 0, y = 0, z = 1, c) x = 9, y = 5, z = 4, d) x = 1, y = 7, z = 8 6. Resolve os seguintes sistemas de ecuacións mediante o método de Gauss: a) b) c) d) x + y + z = x y + z = 6 x y z = 0 x + 3y = 14 x y + z = 3 x y z = 9 3x 4y + z = 3 4x + y 4z = 4 x 3y + z = 3 3x + y + z = x + y z = 1 x + y 3z = 1 Sol: a) x = 1, y =, z = 3 b) x = 4, y =, z = 3, c) x = 1, y =, z = 1, d) x = 1, y = 1, z = 1 7. Resolve os seguintes sistemas de ecuacións, e clasifícaos en incompatibles (S.I.), compatibles indeterminados (S.C.I.) ou compatibles determinados (S.C.D.). a) b) x + y z = 1 x y + z = 4 4x y + z = x + y z = 1 x y + z = 4 4x y + z = 7 77

78 4.8. EXERCICIOS c) d) e) f) x y = 1 x + 6y 5z = 4 x + y z = 0 x y z = 3x y z = 5x 3y 5z = 1 x + y + z = 3 x + y + z = 5 x + 4y + 3z = 1 x + y + z = 1 x y z = 1 3x + y + z = 1 Sol: a) S.I., b) S.C.I. x = 1, y = y, z = y + 3, c)s.c.d. x = 3, y = 1, z =, d) S.C.D. x =, y = 1, z = 3, e) S.I, f) S.C.I. x = 0, y = 1 z, z = z 8. Escribe tres solucións diferentes para os sistemas compatibles indeterminados do exercicio anterior. 9. O polinomio P (x) = ax + bx + c cumpre que: P (1) = 0; P ( ) = 1; P (3) = Calcula a, b e c. Sol: a = 1, b = 3, c = 30. A suma das tres cifras dun número é igual a 7. A cifra das decenas é unha unidade maior ca suma das outras dúas. Se invertemos a orde das cifras, o número aumenta en 99 unidades. Cal é ese número? 31. Queremos repartir, mediante un sistema de ecuacións, 330 euros entre tres persoas de forma que a primeira reciba 0 euros máis cá segunda e a terceira a metade do que recibiron entre as outras dúas. Como o facemos? Sol: 10, 100 e Resolve os seguintes sistemas de inecuacións: { 4x 3 < 1 a) x + 6 > { x 3 < (x 6) + 8x b) x + 5x 1 0 { x c) 9 0 (x + )(x 3) > 0 x x 6 0 d) x + 1 x 3 0 Sol: a) ( 4, 1), b) ( 3, + ), c) [ 3, )], d) 33. A base dun rectángulo mide 5 cm máis cá súa altura. Se sabemos que a superficie é superior a 14 cm, determina os posibles valores que pode tomar a súa altura. Sol: h > cm 34. Un empresario paga a un vendedor un soldo fixo de 900 cada mes máis 0,60 por produto vendido. Outro vendedor non ten soldo fixo, pero cobra 1,80 por cada produto que logra vender. A partir de que número de productos vendidos cobrará máis o segundo empleado. Sol: 14 Sol:

79 Parte II ANÁLISE 79

80

81 Unidade 5 FUNCIÓNS 5.1. Funcións e gráficas Definición de función Unha función é unha relación entre dúas magnitudes de forma que a un valor calquera dunha delas (variable independente) facémoslle corresponder, como moito, un único valor da outra variable (variable dependente). Para indicar que a variable (y) depende ou é función da outra, (x) usamos a notación y = f(x), e recibe o nome de imaxe de x. Como imos a estudar as funcións de R en R, tanto a variable x como a función f(x) toman valores reais, polo que estas funcións reciben o nome de funcións reais de variable real. A pesar da súa complexidade a nivel teórico, algunhas das características que posúen as funcións enténdense doadamente cando se representan nunha gráfica, xa que deste xeito resultan moi intuitivas. Neste curso, imos intentar profundizar un pouco máis nas propiedades e características, pero estudiandoas analíticamente, ou o que é o mesmo, dende a fórmula que as define, e aplicandoas a distintas situacións, entre as que tamén atopamos a representación gráfica, pero sen depender dela. Características das funcións O conxunto Dom dos valores que pode tomar a variable independente, x, chámase dominio de definición da función. Dom f = {x R : y R con y = f(x)} O conxunto dos valores que toma a función chámase percorrido ou imaxe. Im f = {y R : x R con y = f(x)} A gráfica dunha función f é a representación nuns eixes de coordenadas de todos os pares da forma (x, f(x)), sendo x un elemento do dominio de f. Funcións inxectivas G (f) = {(x, f(x)) R : xdom f} Unha función f : R R dise que é inxectiva se nunca toma valores repetidos, ou o que é o mesmo, se verifica o seguinte: 81

82 5.. FUNCIÓNS ELEMENTAIS a, b Dom f a b f(a) f(b) Moitas veces resulta máis cómodo traballar con igualdades que con desigualdades, polo que é mellor utilizar a condición equivalente: f(a) = f(b) a = b Para que o entendamos mellor, se f(x) é unha función inxectiva, cada recta horizontal cortará a súa gráfica nun punto como moito. Exemplo 5.1 Como comentamos na definición, para que unha función sexa inxectiva non pode ter valores repetidos. Como podemos ver na función de cor azul, hai polo menos tres veces na que a función toma o mesmo valor, co que obtemos que a mesma non é inxectiva. Ademais, cúmprese que a recta horizontal corta a función en máis dun punto. Por outra parte, a función de cor verde, non ten ningún valor repetido polo que é unha función inxectiva. Temos ademais que se estamos traballando cunha función continua, a mesma ou ben é estritamente crecente ou estritamente decrecente. Neste caso vemos que estamos no primeiro caso. 5.. Funcións elementais Funcións polinómicas Unha función polinómica é aquela que ten como expresión analítica un polinomio: f(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 con n N {0} e a n, a n 1,..., a 1, a 0 R, a n 0. Nas funcións polinómicas sempre é posible calcular a imaxe de calquera número real, polo que o seu dominio é Dom f = R. As funcións polinómicas máis coñecidas son as funcións afíns e as cadráticas. Funcións afíns Son funcións da forma f(x) = mx + n onde m, n R. Estas funcións teñen como dominio e como recorrido todos os números reais (coa excepción que veremos a continuación) e a súa gráfica é unha recta, de ecuación y = mx + n, que pasa polo punto (0, n) e ten por pendiente m. O valor n recibe o nome de ordenada na orixe. Se algúns dos valores de m ou n son iguais a 0 estamos en casos particulares das funcións afíns: m = 0 Neste caso a función sería da forma f(x) = n, que é unha función constante, na que se transforma todos os números reais no número n, polo que o seu dominio é R e o seu recorrido {n}. A gráfica destas funcións é sempre unha recta horizontal, de ecuación y = n. Incluímos aquí tamén o caso no que, tanto m coma n sexan iguais a 0. 8

83 5.. FUNCIÓNS ELEMENTAIS n = 0 Neste caso a función sería da forma f(x) = mx, sendo m unha constante real distinta de 0. Esta función verifica que f(αx 1 + βx ) = αf(x 1 ) + βf(x ), polo que reciben o nome de funcións lineares. Como dixemos antes, estas funcións teñen por dominio e recorrido todos os números reais e a súa gráfica é unha recta que pasa pola orixe de coordenadas e tén pendiente igual a m. Ademais se m = 1 a función f(x) = x recibe o nome de función identidade en R e a súa gráfica correspondese coa bisectriz dos cadrantes primeiro e terceiro. Aínda que o veremos en máis profundidade no apartado de xeometría cómpre recordar a ecuación da recta en forma punto-pendente, onde (x 0, y 0 ) é un punto da recta e m, a súa pendente. Funcións cadráticas y y 0 = m (x x 0 ) Son as funcións que veñen da forma f(x) = ax + bx + c. A súa representación é unha parábola na que debemos determinar o vértice, a orientación da aperturae os puntos de corte cos eixes. Para calcular o vértice obtemos a súa abscisa do seguinte xeito x v = b e calculamos a súa ordenada substituíndo ese valor obtido na función. Así temos que o vértice é da forma ( b a, f( b a a )) Para saber cara onde está aberta a parábola basta con mirar o valor de a. Se a > 0 a apertura da parábola está pola parte superior, tendo así que o vértice é un mínimo. En cambio, se a < 0, a apertura da parábola está na parte inferior, tendo así que o vértice é un máximo da función. Para calcular os puntos de corte cos eixes, analizaremos cada un deles por separado: ˆ A parábola sempre vai cortar ao eixe Y no punto (0, c). ˆ En cambio, ver os puntos de corte co eixe X non é tan doado. Neses puntos (de existir) a ordenada é igual a 0 (y = 0), polo que para obtelos resolvemos a ecuación ax + bx + c = 0. Como xa sabemos, unha ecuación de segundo grao pode ter dúas, unha ou ningunha solución. O número de solucións podemos velo previamente analizando a situación do vértice e a súa orientación. Por exemplo, se o vértice está na parte superior do eixe cartesiano e a súa apertura é cara arriba, xa sabemos que a parábola non vai cortar en ningún punto ao eixe X. Temos entón que a parábola pode cortar, por tanto, ao eixe X en,1 ou 0 puntos. 83

84 5.. FUNCIÓNS ELEMENTAIS Funcións radicais As funcións radicais son aquelas nas que a variable dependente se calcula facendo unha raíz á variable independente. Son da forma f(x) = n x. Debemos ter en conta que a raíz non sempre se pode obter, xa que non se pode facer a raíz de índice par dun número negativo. Ademais debemos ter en conta que as raíces de índice par (en partícular a cadrada) só teñen unha solución (a positiva). Non debemos confundilo coas solucións dunha ecuación de segundo grao, que esas si son dúas. Veremos entón dous tipos de gráficas en función de seu índice. RAÍCES DE ÍNDICE PAR RAÍCES DE ÍNDICE IMPAR Funcións exponenciais e logarítmicas Función exponencial As funcións exponenciais son da forma f(x) = a x, coa condición de que a > 0. No caso de que sexa a = 1 trataríase da función constante f(x) = 1, que está incluído no epígrafe relacionado coas funcións afíns. Nos demais caso a gráfica dependerá de que sexa 0 < a < 1 ou a > 1. Tanto unha como a outra pasarán polo punto (0, 1). Ademais se as bases de dúas funcións exponencias son inversas a e 1, as súas funcións son simétricas respecto ao eixe Y, xa que cada unha delas toma para x o valor a que a outra toma para x. Ademais, como podes ver na gráfica, se a > 1, a función é estritamente crecente, e se a < 1, a función é estritamente crecente. Función logarítmica As funcións logarítmicas son da forma f(x) = log a x, sendo a > 0 e a 1. Estas funcións son as inversas das exponencias da mesma base, e, ao igual que as exponenciais, son crecentes se a > 1 e decrecentes se 0 < a < 1. 84

85 5.. FUNCIÓNS ELEMENTAIS Funcións trigonométricas Funcións trigonométricas directas As coñecidas funcións seno, coseno e tanxente xorden das relacións métricas existentes nun triángulo rectángulo. Como xa vimos o pasado curso, as dúas primeiras están definidas para todo valor x real, mentres que a tanxente, que é equivalente ao cociente entre o seno e o coseno, non está definida nos valores de x nos que o coseno se anula. Como estas funcións son cíclicas, pois teñen que ver co ángulo, temos que son funcións periódicas de período π. A continuación podemos ver as gráficas das mesmas funcións. Gráfica da función seno Gráfica da función coseno 85

86 5.. FUNCIÓNS ELEMENTAIS Gráfica da función tanxente Funcións trigonométricas inversas As funcións trigonométricas inversas son as funcións inversas das funcións seno, coseno e tanxente. Como estas funcións non son inxectivas no seu dominio de definición, precisamos retrinxir o mesmo a un intervalo no que sean inxectivas. Nos debuxos anteriores xa marcamos en cada unha delas un intervalo no que son inxectivas. Analizaremos agora as funcións inversas de cada unha delas. [ π Para a función y = sen x consideramos o intervalo, π ] onde é inxectiva. Ademais de ter o dominio definido, vamos que a imaxe da función seno é [ 1, 1]. Inda que estudaremos máis en profundidade a relación entre dominio é imaxe de funcións [ inversas, temos por tanto que o π dominio da función y = arc sen x é [ 1, 1] e o seu percorrido é, π ] Para a función y = cos x consideramos neste caso o intervalo [0, π] onde é inxectiva e estritamente decrecente. A súa función inversa é y = arc cos x, con dominio de definición [ 1, 1] e percorrido [0, π]. 86

87 5.. FUNCIÓNS ELEMENTAIS ( π Para a función y = tg x consideramos o intervalo, π ), pois neste caso a función non está definida nos extremos. Nese intervalo a función é inxectiva e ademais crecente. O seu ( percorrido π é R, polo que a función inversa y = arctg x leva calquera valor de R no intervalo, π ). Funcións definidas a anacos. Función valor absoluto Función definida nun intervalo Unha función pode estar definida para números reais pertencentes a un intervalo. Esto expresarémolo do seguinte xeito: f(x) = x x se 1 x < 4 O dominio é a intersección entre o dominio natural de f(x) e o intervalo. Para representar graficamente unha función definida nun intervalo I represéntanse as imaxes dos puntos do intervalo, e se o extremo do intervalo é aberto (non incluído), represéntase un punto aberto (sen pintar); se é pechado (incluído), represéntase un punto pechado (pintado). 87

88 5.. FUNCIÓNS ELEMENTAIS Funcións a anacos Unha función definida a anacos é a unión de funcións definidas en intervalos que son incompatibles entre eles (non teñen puntos en común). O dominio dunha función definida a anacos é a unión dos dominios das funcións que a compoñen e a súa representación gráfica é a representación das funcións nos seus correspondentes intervalos x + 4 se x < 1 y = x x se 1 x < 4 x 4 se x 4 Función valor absoluto Lembremos que o valor absoluto dun número a coincide con a se é positivo ou nulo, ou co seu oposto, se é negativo. Por tanto a función y = x defínese do seguinte xeito: { x se x 0 x = x se x < 0 O seu dominio é R e o percorrido é [0, + ). En xeral, o valor absoluto dunha función defínese así: { f(x) se f(x) 0 y = f(x) = f(x) se f(x) < 0 88

89 5.3. OPERACIÓNS CON FUNCIÓNS 5.3. Operacións con funcións Suma e resta de funcións Dadas as funcións f, g : R R, definimos a suma (resta) de funcións mediante: (f ± g)(x) = f(x) ± g(x) Esta función f ± g ten por dominio a intersección dos dominios de f e g, Dom f Dom g, xa que deben existir cada un dos sumandos f(x) e g(x) para poder sumalos. Exemplo 5. Dadas as funcións f(x) = x 3 e g(x) = x 4x calculemos (f + g)(x) Tal como definimos (f + g)(x) = f(x) + g(x) Obtemos así que (f + g)(x) = (x 3) + (x 4x) = x 3x 3 Como ambas funcións están definidas en R temos que o dominio desta función tamén é R. Vexámolo tamén graficamente Multiplicación dunha función por un escalar Podemos considerar tamén a operación produto dunha función por un escalar (número) do seguinte xeito: se c R e f : R R, definimos verificando que Dom (c f) = Dom f. (c f)(x) = c (f(x)) 89

90 5.3. OPERACIÓNS CON FUNCIÓNS Produto de funcións Dadas as funcións f, g : R R, definimos o produto de dúas funcións (f g)(x) = f(x) g(x) Esta función f g tamén ten por dominio a intersección dos dominios de f e g, Dom f Dom g, xa que deben existir cada un dos factores f(x) e g(x) para poder multiplicalos. Exemplo 5.3 Dadas as funcións f(x) = x 3 e g(x) = x 4x calculemos (f g)(x) Tal como definimos (f g)(x) = f(x) g(x) Obtemos así que (f g)(x) = (x 3) (x 4x) = x 3 7x + 1x Como ambas funcións están definidas en R temos que o dominio desta función tamén é R. Vexámolo tamén graficamente División de funcións Do mesmo xeito que fixemos ata agora podemos definir o cociente de funcións, pero sempre que teñamos en conta que non existe o cociente entre 0, polo que dadas as funcións f, g : R R, con g(x) 0, o cociente de funcións é f f(x) (x) = g g(x) Neste caso o dominio é a intersección dos dominios de f e g exceptuando aqueles valores que fan que g(x) = 0, polo que este é Dom f Dom g {x R : g(x) = 0}. 90

91 5.4. TRANSFORMACIÓNS ELEMENTAIS DE FUNCIÓNS Exemplo 5.4 Dadas as funcións f(x) = x 3 e g(x) = x 4x calculemos ( ) f (x) g Tal como definimos ( ) f (x) = f(x) g g(x) Obtemos así que ( ) f (x) = x 3 g x 4x Aínda que ambas funcións están definidas en R, debemos ver para que valores x 4x = 0. O denominador anúlase para x = 0 e x = 4, polo que temos que o dominio desta función tamén é R {0, 4}. Vexámolo tamén graficamente 5.4. Transformacións elementais de funcións Aquí veremos como se representan, a partir dunha función y = f(x) coñecida, outras funcións relacionadas con ela: y = f(x) + k a partir de y = f(x) Se a é un número real, a gráfica de y = f(x) + a é coma a de y = f(x) desprazada a unidades cara arriba ou cara abaixo, dependendo se a é positivo ou negativo. Por exemplo: y = f(x) a partir de y = f(x) A gráfica correspondente a y = f(x) é a simétrica da de y = f(x) respecto do eixe X. Por exemplo: 91

92 5.4. TRANSFORMACIÓNS ELEMENTAIS DE FUNCIÓNS y = kf(x) a partir de y = f(x) A gráfica de y = kf(x) obtense multiplicando por k as ordenadas da gráfica de y = f(x). Se k é positivo e maior ca 1 (k > 1), a gráfica estírase cara arriba ou cara abaixo ( estírase ). Se 0 < k < 1, a gráfica achégase ao eixe X, achátase ).Se k é negativo, obtense a gráfica de k f(x) e, despois, determínase a súa simétrica respecto do eixe X. Vexamos un exemplo disto: y = f(x a) a partir de y = f(x) Se a é un número real, a gráfica de y = f(x a) é igual que a gráfica de y = f(x) desprazada a unidades cara á dereita uo cara á esquerda, dependendo de se a é positivo ou negativo respectivamente. Por exemplo: y = f( x) a partir de y = f(x) A gráfica de y = f( x) é simétrica á de y = f(x) respecto ao eixe Y. 9

93 5.5. COMPOSICIÓN DE FUNCIÓNS 5.5. Composición de funcións Dadas as funcións f : R R e g : R R, definimos a composición de estas funcións, e indicámola con g f, de xeito que (g f)(x) = g(f(x)) A expresión g f lese f composta con g. Noméase en primeiro lugar a función da dereita porque é a primeira en actuar sobre x. Esta nova función existe para os x R tales que f(x) Dom g, ou o que é o mesmo, para todos os x R tales que Im f Dom g. Por tanto o dominio da composición g f é: Dom (g f) = Dom f {x : f(x) / Dom g} Tratemos de ver como funciona a composición de funcións: En xeral, a función (g f)(x) = g[f(x)] é distinta de (f g)(x) = g[f(x)], polo que a composición de funcións non é conmutativa. Vexámolo nun exemplo. Exemplo 5.5 Dadas as funcións f(x) = x e g(x) = x + 1 obteñamos g f e f g. Obtemos primeiro g f, polo que teremos que (g f)(x) = g[f(x)] = g(x ) = x + 1 Agora obtemos f g, chegando así que (f g)(x) = f[g(x)] = f(x + 1) = (x + 1) = x + x + 1 Polo que, efectivamente, non se verifica a propiedade conmutativa. 93

94 5.5. COMPOSICIÓN DE FUNCIÓNS Aclarando as túas ideas Composición de funcións Se temos as funcións f(x) = x + 1 e g(x) = 1 x + 3. Podemos substituír x por, obtendo as seguintes expresións: f( ) = + 1 e g( ) = Se substituímos esta vez por g(x), en f( ), teremos a expresión de (f g)(x) = f[g(x)]. (f g)(x) = f[g(x)] = g(x) + 1 = ( ) = x + 6x + 10 x + 3 x + 6x + 9 Se substituímos esta vez por f(x), en g( ), teremos a expresión de (g f)(x) = g[f(x)]. (g f)(x) = g[f(x)] = 1 f(x) + 3 = 1 x = 1 x + 4 Función inversa Se f(x) é unha función inxectiva, existe unha función inversa, que se representa por f 1 (x). É a única función que, por un lado, verifica que f f 1 (x) = x para x Im f, e, por outra banda, f 1 f(x) para x Dom f. En resumo, f f 1 e f 1 f son a función identidade. As gráficas de dúas funcións inversas son simétricas respecto da recta y = x. Exemplo 5.6 Temos as funcións f(x) = (x ) 3 e g(x) = 3 x + +. Vexamos que g é a inversa de f e viceversa. Calculemos f g e g f. Ambas funcións son inxectivas, polo que non temos problema á hora de ver se son inversas. Calculemos primeiro f g, para o que temos que f[g(x)] = f( 3 x + + ) = ( 3 x + + ) 3 = x Agora fagamos g f, obtendoo do seguinte xeito g[f(x)] = g((x ) 3 ) = 3 (x ) = x En ambos casos obtivemos a identidade, polo que temos que g = f 1. Ademais se as representamos vemos que as súas gráficas son simétricas respecto a recta y = x. Para calcular a función inversa funha función f(x) escribímola como y e continuación despexamos a variable x. Unha vez que temos a expresión, intercambiamos as variables escribidno de novo unha expresión de y. Esta expresión é a función inversa da función dada. 94

95 5.6. FUNCIÓNS DE OFERTA E DEMANDA Exemplo 5.7 Calculamos a función inversa de f(x) = x x. O primeiro paso é expresar a función do seguinte xeito y = x. Os dous pasos seguintes x pódense facer na orde que se queira. Neles temos que despexar a outra variable e intercambiar as mesmas. No noso caso vamos a realizar o intercambio de variables ao principio, obtendo así x = y y. Temos que despexar agora a variable y. x = y x (y ) = y xy x = y xy y = x y (x 1) = x y = x y x 1 Chegamos así a que f 1 (x) = x x 1. Tal como se comentou antes, para que unha función teña inversa ten que ser inxectiva, é dicir, cada valor de y ten que corresponder a un único valor de x. Se isto non sucede, debe descompoñerse en tramos en que sexa inxectiva, cada un dos cales terá a súa función inversa. Por exemplo, como y = x non é inxectiva, para calcular a súa inversa procedemos así: { y = f(x) = x y = f1 (x) = x = x 0 f1 1 (x) = x y = f (x) = x x < 0 f 1 (x) = x 5.6. Funcións de oferta e demanda Estas funcións úsanse en Matemáticas financieiras e relacionan o prezo dun determinado produto coa venta estimada polos consumidores (función demanda) e coa produción óptima para a empresa (función oferta), dependendo do precio do produto. Normalmente trátase de funcións lineares; a función oferta con pendente positiva, xa que, se o prezo é maior, interesa producir máis cantidade, e a función demanda con pendente negativa, xa que se o prezo aumenta, diminúen as vendas. Función demanda: f d (x) = mx+n, con m < 0, onde x é o prezo do produto e f d (x) o número de unidades de produto que o consumidor estaría disposto a mercar. É unha función decrecente xa que ao aumentar o prezo do produto hai menos demanda do mesmo. Nela vemos reflectido o comportamento dos consumidores. Función oferta: f o (x) = mx + n, con m > 0, onde x é o prezo do produto e f o (x) o número de unidades de produto que a empresa estaría disposta a producir. É unha función crecente xa que ao aumentar o prezo do produto o vendedor aumenta a produción do mesmo e ofrece unha maior cantidade do mesmo. Nela vemos reflectido o comportamento dos vendedores. Chámase prezo de equilibrio ao valor de x (precio) para o que as funcións oferta e demanda coinciden. É o resultado da ecuación f o(x) = f d (x) e o punto onde se cortan as dúas rectas. Para chegar a ese punto debemos ter en conta o seguinte. A demanda e a oferta determinan o prezo e a cantidade de equilibrio, xa que, como vimos, nese punto iguálanse as cantidades ofertadas e demandadas. 95

96 5.7. EXERCICIOS Se o prezo é maior, a cantidade ofertada excede a cantidade demandada, e ao haber mercancía non vendida, a competencia entre vendedores fará que o prezo baixe ata o punto de equilibrio. Hai un excedente. Se o prezo é menor, a cantidade demandada é maior que a ofertada, polo que os compradores queren máis produto, e eso eleva o prezo ata o punto de equilibrio. Hai un déficit. Esta situación ilustra conceptos utilizados en Teoría económica. É un modelo ideal que ten sentido nun mercado con competencia perfecta, con moitos compradores e moitos vendedores, nos que a demanda e a oferta determinan o prezo. Exemplo 5.8 Calcula as expresións das funcións e o prezo de equilibrio. Cal é o prezo mínimo para que a empresa oferte o produto? Cal é o precio máximo para que o produto non teña consumidores? A función oferta pasa por (5, 0) e (15, 500), polo que a súa expresión é: f o (x) = 50x 50 A función demanda pasa por (0, 3500) e (35, 0), polo que a súa expresión é: f d (x) = 100x Para buscar o prezo de equilibrio igualamos ambas expresións e resolvemos a ecuación resultante f o (x) = f d (x) 50x 50 = 100x+3500 x = Exercicios 1. Indica o dominio de definición destas funcións: a) f(x) = 3x + x 3 5x 5 b) f(x) = x x 1 c) f(x) = x + x + 1 x 5 d) f(x) = 5x 3 Sol: a) R, b) (, 1) (1, + ), c)r { 5 }, d) [ 3 5, + ). Indica o dominio de definición destas funcións: 4 a) f(x) = x + x b) f(x) = x 1 x 1 c) f(x) = 1 x + 1 d) f(x) = x 3 + x + x Sol: a) R {, 0}, b) R { 1, 1}, c)r, d) R {0} 3. Indica o dominio de definición destas funcións: a) f(x) = 3 x b) f(x) = x 9 c) f(x) = x 4x 5 1 d) f(x) = x 3x Sol: a) (, 3], b) (, 3] [3, + ), c)(, 1] [5, + ), d) (, 0) (3, + ) 96

97 5.7. EXERCICIOS 4. Dun cadrado de 10 cm de lado, córtanse nas esquinas triángulos rectángulos isósceles cuxos lados iguais miden x. a) Escribe a área do octógonos que resulta en función de x. b) Cal é o dominio desa función? E o seu percorrido? Sol: a) A(x) = 100 x, b) Dom A = (0, 5), Im A = (50, 100) 5. Representa as seguintes parábolas logo de determinar a orientación, o vértice, os puntos de corte cos eixes e máis algún punto próximo ao vértice: a) y = x + 4x + 3 b) y = 4x 4x Realiza as operacións indicadas coas seguintes funcións: p(x) = 5x + 3 q(x) = x x + 7 r(x) = x s(x) = 3x x f(x) = x 4 x + 3 g(x) = 3 x h(x) = x + x j(x) = x x 4 a) (p + q)(x) b) (q + r)(x) c) (q + r s)(x) d) (s q)(x) e) (q r)(x) f) (r p)(x) g) (f + g)(x) h) (f g)(x) i) (h j)(x) Sol: a) x 6x + 10, b) x 3 + x x + 13, c) x 3 x + 13, d) x 7, e) x 3 + x x + 1, f) x 3 + 5x + 3, g) x 7x 9 6x + 1, h) x + 3x x + 3x, 1 i), Dom (h j) = R {, 0, } x 7. Considera as funcións f(x) = x 1 e g(x) = x e calcula as funcións compostas: f f, g f, f g e g g. Sol: x 4 x, 3 x, x 4x + 3 e x 8. Considera as funcións f(x) = 1 x g(x) = x e calcula as funcións compostas: 3 f f, g f, f g e g g. Sol: x x 5, 3x 6, 3 x 6 e 4x 9 9. Representa y = x, y = x e comproba que son inversas. 10. Comproba que hai que descompoñer y = x 1 en dúas ramas para determinar as súas inversas respecto da recta y = x. Indica cales son. 11. Determina as funcións inversas das seguintes funcións: a) f(x) = x + 4 b) g(x) = x c) h(x) = x d) l(x) = 3x 3 x e) m(x) = x 5 x + 1 f) n(x) = x3 1 5 Sol: a) f 1 (x) = x 4, b) g 1 (x) = 7x 3, c) h(x) 1 = + y, d) l 1 (x) = 3x y 3 + x, e) m 1 (x) = 5 + x 1 x, f) n 1 (x) = 3 5x Nunha determinada zona marítima, o número de peixes dunha especie en función do zooplancton (en gramos) vén dado pola expresión f(x) = x 3x, e a cantidade de zooplancton en función do plancton ven dada pola expresións g(x) = 3x + 5. Escribe a función que represente o número de peixes desa especie en función do plancton. Sol: h(x) = 9x + 1x Determina a función inversa de y = x+1. e 97

98 5.7. EXERCICIOS Sol: y = 1 + log x e) Identifica o dominio e a imaxe de h(t) 14. Lanzamos un obxecto verticalmente cara arriba de xeito que a altura h (en metros) á que se atopa en cada momento t (en segundos) vén dada pola expresión h(t) = 5t + 40t. a) En que instante se acada a altura máxima? Cal é esa altura? b) Representa graficamente a función h(t). c) En que momento da súa caída o obxecto se atopa a 60 metros de altura? d) En que instante chega ao chan? Sol: a) t = 4 s, h = 80 m, c) t = 6 s, d) t = 8 s, e) Dom h = [0, 8], Im h = [0, 80] 15. Unha cunca de café acabado de facer está a 75 C. Despos de 3 minutos nun cuarto a 1 C, a temperatura do café descendeu a 64 C. Se a temperatura, T, do café en cada instante t vén dada pola expresión T = A e kt + 1, calcula A e k e representa a función. Canto teremos que esperar para que a temperatura do café sexa 45 C? Sol: A = 54, k 0,076, 11 minutos 98

99 Unidade 6 LÍMITES E CONTINUIDADE 6.1. Visión intuitiva da continuidade. Tipos de descontinuidades A idea de función continua é a de que pode debuxarse sen erguer o lapis do papel. Vexamos algúns criterios mediaenta os que podemos saber se unha función, dada pola súa expresión analítica, é ou non continua. Descontinuidades Comzamos observando graficamente as razóns polas que unha curva pode non ser continua nun punto. 1. Ten ramas infinitas nese punto. Xa no tema anterior vimos algunha función que presentaba unha asíntota vertical, x = a. Nese caso, canto máis nos achegamos ao valor da abscisa, a función diríxese ou cara arriba ou cara abaixo. As funcións y = P (x) poden ter unha asíntota vertical nos valores de x nos que se anula o Q(x) denominador. Vexámolo mellor cun exemplo. Exemplo A función y = ten unha asíntota vertical (x 1) en x = 1 na que as súas ramas van cara arriba. O denominador anúlase cando x = 1. As ramas van cara arriba, pois tanto o numerador coma o denominador son sempre positivos, sexa cal sexa o valor de x, sempre que o collamos do dominio.. Presenta un salto nese punto A función neste caso dá un salto ao chegar á abscisa a. Entre as funcións elementais que nós manexamos, tal comportamento só se atopa nas funcións definidas a anacos. 99

100 6.1. VISIÓN INTUITIVA DA CONTINUIDADE. TIPOS DE DESCONTINUIDADES Exemplo 6. A seguinte función x + 3 se x < y = x 6x + 9 se x é descontinua en x = pois dá un salto. 3. Fáltalle ese punto Neste caso a función non está definida na abscisa a, pero non ten ramas infinitas nin presenta salto algún. Esta descotinuidade chámase evitable porque abondaría engadir ese punto para que a función fose continua. Exemplo 6.3 A función y = x x non está definida en x =, x porque o denominador anúlase nese caso. En cambio, para valores distintos de podemos simplificar x(x ) a expresión: y = = x, se x. x É dicir, a gráfica desta función é coma a de y = x, salvo que lle falta o punto de abscisa. 4. Ten ese punto desprazado Este caso é coma o anterior, pero a función si está definida en x = a, aínda que o punto o ten desprazado. Tamén este tipo de descontinuididade se chama evitable. Ao igual que o tipo, este tipo de comportamento só pode conseguirse mediante funcións definidas a anacos. Exemplo 6.4 A seguinte función x se x y = 1 se x = presenta unha descontinuidade evitable en x =. 100

101 6.. LÍMITE DUNHA FUNCIÓN NUN PUNTO Continuidade Dedúcese dun xeito claro que, unha función é continua nun punto se non presenta ningún tipo de descontinuidade nel. Ao analizar os tipos de descontinuidades anteriores vemos que só os tipos 1 e 3 se definiron dun xeito natural (sen utilizar a definición a anacos ). Ademais esas funcións non están definidas no punto no que son descontinuas, polo que obtemos o seguinte criterio que nos poderá axudar a identificar descontinuidades. As funcións definidas por expresións analíticas elementais son continuas en todos os puntos nos que están definidas (só son descontinuas nos puntos onde non están definidas.) Vexamos a utilidade deste criterio. Exemplo 6.5 f(x) = x 4 5x + 4 está definida en todo R e é continua en todos os puntos de R. g(x) = x + está definida para todo R salvo en x = 1 polo que é continua nos mesmos x 1 puntos. h(x) = x está definida en (, ], polo que é continua tamén no mesmo intervalo. 6.. Límite dunha función nun punto O estudo da continuidade nun punto e das asíntotas verticais realízase con máis precisión se se coñece o concepto de límite. Debemos ententer o que significa que x se achegue a certo valor numérico. x c (x tende a c pola esquerda) significa que a x se lle dan valores cada vez máis próximos a c, pero menores que c. Por exemplo, se collemos valores da sucesión 1,5; 1,9; 1,95; 1,99; 1,999;..., que é crecente e se achega cada vez máis a, escribimos: x. x c + (x tende a c pola dereita) significa que a x se lle dan valores cada vez máis próximos a c, pero maiores que c. Por exemplo, se a x se lle dan os valores,5;,1;,05;,01;,001;..., que é crecente e se achega cada vez máis a, escribimos: x +. x c indica que a x se lle dan valores cada vez máis próximos a c. Lese x tende a c. Por exemplo, os valores,5; 1,9;,05; 1,99;,001;..., é unha secuencia de números cada vez máis próximos a, escribimos: x. Límites laterais Significado de lím f(x) cando x c Se x c, daquela a x dámoslle valores variables, cada vez máis próximos a c, pero menores que c. Como consecuencia, f(x) tamén toma valores variables. O comportamento de f(x) cando x c, exprésase así: lím f(x) x c Dita expresión lese límite de f(x) cando x tenda a c pola esquerda. Vexamos cun exemplo dunha función representada o que significa 101

102 6.. LÍMITE DUNHA FUNCIÓN NUN PUNTO Nesta gráfica podemos ver que cando x se achega a 4 a través de valores máis pequenos a función achégase a 3, e isto expresámolo lím x 4 f(x) = 3 Se queremos analizar o límite pola esquerda da función mediante a súa expresión analítica temos as seguintes posibilidades: ˆ Se cando x c, f(x) toma valores cada vez máis grandes, superando cada valor temos que lím f(x) = +. Por exemplo, analicemos a función f(x) = 1 x c (x 1) cando x 1 : Así temos que lím x 1 1 (x 1) = + x 0,5 0,9 0,99... f(x) ˆ Se cando x c, f(x) toma valores cada vez máis pequenos (máis negativos), temos que 1 lím f(x) =. Por exemplo, analicemos a función f(x) = x c x 1 cando x 1 : x 0,5 0,9 0,99... f(x) Así temos que lím x 1 x 1 = ˆ Se cando x c, f(x) toma valores cada vez máis próximos a un valor l, temos que lím f(x) = l. Por exemplo, analicemos a función f(x) = x c x + cando x 1 : x 0,5 0,9 0,99... f(x),5,81, Así temos que lím x 1 (x + ) = 3 Significado de lím f(x) cando x c + Procedendo dun xeito análogo ao anterior, se temos x c +, a x dámoslle valores variables, cada vez máis próximos a c, pero maiores que c. Como consecuencia, f(x) tamén toma valores variables. O comportamento de f(x) cando x c +, exprésase así: lím f(x) x c + Dita expresión lese límite de f(x) cando x tenda a c pola dereita. Vexamos cun exemplo dunha función representada o que significa 10

103 6.. LÍMITE DUNHA FUNCIÓN NUN PUNTO Nesta gráfica podemos ver que cando x se achega a 4 a través de valores máis grandes a función achégase a 3, e isto expresámolo lím x 4 + f(x) = 3 Se analizasemos dun xeto similar ao anterior temos que os límites pola dereita poden ser: ˆ ˆ ˆ lím f(x) = + x c + lím f(x) = x c + lím f(x) = l x c + Exemplo 6.6 ˆ ˆ ˆ 1 lím x 1 + x 1 = + 1 lím x 1 + (x 1) = lím + 3) = 4 x 1 +(x Límite inmediato Significado de lím f(x) cando x c Se analizamos o comportamento da función cando x se achega a c tanto pola dereita coma pola esqueda, podemos obter o lím x c f(x). Para que exista dito límite, os dous límites laterais deben coincidir. Se os dous límites laterais non valen o mesmo, dicimos que non existe o lím x c f(x) Vexamos co exemplo anterior dunha función representada o que significa: Anteriormente xa poidemos comprobar que valores coinciden, obtemos así que lím f(x) = 3 e que lím x 4 f(x) = 3. Como ambos x 4 + lím f(x) = 3 x 4 103

104 6.. LÍMITE DUNHA FUNCIÓN NUN PUNTO Cálculo sistemático de límites de funcións polinómicas e racionais nun punto x 0 Non sempre resulta práctico construír as táboas de valores ou debuxar gráficas para calcular os límites. Podemos calcular sistematicamente os mesmo a partir da expresión analítica da función. Podemos analizar por separado o cálculo en funcións polinómicas e en funcións racionais: Función polinómica Como xa comentamos, as funcións polinómicas son funcións continuas en todo o seu dominio. Por tanto, se queremos calcular o límite da mesma cando x x 0 basta con calcular o valor da función no punto e temos que lím x x 0 f(x) = f(x 0 ) Exemplo 6.7 Se temos que f(x) = x x + 1 e queremos calcular o seu límite cando x 3 basta con calcular f(3). lím x 3 (x x + 1) = 4 Función racional As funcións racionais, da forma f(x) = P (x) tamén son continuas no seu dominio, polo que Q(x) debemos ter en conta onde se anula o denominador (Q(x)). Debido a isto temos que poden darse tres casos diferentes : ˆ Se ao substituir o denominador é distinto de 0, (Q(x 0 ) 0), temos que x 0 Dom f, polo que a función é continua nese punto e por tanto basta con calcular o valor da función no punto, tendo así que lím f(x) = P (x 0) x x 0 Q(x 0 ) Exemplo 6.8 x + 4x + 3 lím x 1 x + 1 Se substituimos x por 1 no denominador obtemos un número distinto de 0 polo que podemos calcular inmediatamente o límite. x + 4x + 3 lím = P (1) x 1 x + 1 Q(1) = 8 = 4 ˆ Se ao substituir o denominador é igual a 0, (Q(x 0 ) = 0), pero non o é o denominador, (P (x 0 ) 0) temos que o límite é infinito. Basta analizar o signo de numerador e do denominador para saber o signo do infinito. Xeralmente, deberemos analizar o que sucede en cada un dos límites laterais. 104

105 6.. LÍMITE DUNHA FUNCIÓN NUN PUNTO Exemplo 6.9 x + 4x + 3 lím x 1 x 1 Se substituimos x por 1 no denominador obtemos 0, en cambio no numerador obtemos 8. O límite neste caso é infinito. Para analizar o que sucede apoiaremonos nos límites laterais para estudar o signo. x + 4x + 3 lím = + x 1 x 1 = x + 4x + 3 lím = + x 1 + x 1 + = + Polo que, ao ser diferentes os límites laterais non existe o límite. ˆ Se ao substituir o denominador é igual a 0, (Q(x 0 ) = 0)e tamén o é o numerador, (P (x 0 ) = 0), estariamos nun caso de indeterminación. Para resolver esta indeterminación temos que ter en conta que x 0 é raíz, tanto do numerador como do denominador, polo que poderemos dividir os mesmo entre x x 0 e calcular o límite da expresión simplificada. Exemplo 6.10 x 4x + 4 lím x x 4 Se substituimos x por obtemos 0 tanto no numerador coma no denominador polo que temos que descompoñer ambos e simplificar a expresión dividindo numerador e denominador entre x. Para obter o cociente podemos recurrir á regra de Ruffini ou ás identidades notables, entre outros procesos de factorización que coñecemos. Unha vez simplificada a expresión facemos o límite de novo, vendo se estamos no primeiro ou no segundo caso dos vistos anteriores. x 4x + 4 (x ) lím = lím x x 4 x (x )(x + ) = lím x x x + = 0 4 = 0 Cálculo sistemático de límites de funcións definidas a anacos nun punto x 0 Tal como vimos na visión intuitiva de continuidade debemos tamén prestar especial atención ás funcións definidas a anacos. Se queremos calcular o límite en calquera punto dunha función definida a anacos debemos ter en conta o seguinte. Se o punto x 0 non é un punto de rutura, basta con analizar o límite na parte correspondente da función. Exemplo 6.11 Sexa a función f(x) = { x + 1 x 0 x + 1 x > 0 e queremos calcular lím x 1 f(x) Como x = 1 non é un punto de rutura (nin definido inicialmente, nin a consecuencia do dominio) temos que para calcular o límite cando x 1 basta con tomar a función que lle corresponde, neste caso f (x) = x + 1 lím f(x) = lím x 1 x 1 x + 1 = 105

106 6.3. CONTINUIDADE DE FUNCIÓNS Se o punto x 0 coincide cun punto de rutura teremos en conta dúas posibilidades: ˆ Se as imaxes de todos os valores de x próximos a x 0 obedecen a mesma expresión analítica, faremos exactamente igual que no caso dunha única expresión analítica. Exemplo 6.1 Sexa a función f(x) = { 0 x = 1 x + 1 x 1 e queremos calcular lím x 1 f(x) Neste caso temos que x = 1 é un punto de rutura, e para os valores próximos, as imaxes veñen determinadas pola mesma expresión. Neste caso, a expresión só é distinta para o valor x = 1. Por tanto non precisaremos calcular os límites laterais, podendo facelo xa dun xeito inmediato lím f(x) = lím x 1 x 1 (x + 1) = ˆ Se as imaxes dos valores próximos a x 0 pero menores se calculan mediante unha expresión analítica diferente das imaxes dos valores próximos a x 0 pero maiores, calcularemos os límites por separado. Se ambos límites coinciden, existirá tamén o límite da función en x 0 e coincidirá co valor dos límites laterais. Se non coinciden, ou algún dos límites laterais non existe, temos que tampouco existe o límite da función en x 0. Exemplo 6.13 Sexa a función f(x) = { x + 1 x 1 x + 1 x > 1 e queremos calcular lím x 1 f(x) Neste caso temos que x = 1 é un punto de rutura, e para os valores próximos, as imaxes veñen determinadas por expresións diferentes. Debido a isto, para tratar de conseguir o límite analizaremos os límites laterais: lím f(x) x 1 lím f(x) x 1 + = lím + 1) = x 1 (x = lím + 1) = x 1 +(x lím x 1 f(x) = Neste caso vemos que os límites laterais coinciden, polo que obtemos así o límite da función no punto x = Continuidade de funcións Despois de obter unha visión intuitiva do concepto de continuidade, formalizaremos a mesma relacionándoa cos límites: Unha función f(x) é continua nun punto x 0 se se cumpren as seguintes condicións: 1. Existe f(x 0 ). Existe lím x x 0 f(x) e é finito. 3. lím x f(x) = f(x 0) 106

107 6.4. LÍMITE DUNHA FUNCIÓN NO INFINITO Xa vimos ao principio do tema algunhas das diferentes razóns polas que unha función non é continua. Relacionaremos agora esas mesmas coa causa da súa discontinuidade. Seguiremos a mesma orde á hora de analizar. 1. Salto infinito. Está relacionada coas ramas infinitas nese punto. Neste caso existen os límites laterais, pero polo menos un deles é infinito. Non se cumpriría así a condición. Exemplo 6.14 f(x) = 1 (x 1) O denominador anúlase cando x = 1, polo que a función é continua en R {1} Calculamos entón lím x 1 f(x). Ao substituír x por 1 obtemos 0 no denominador e en cambio 1 no numerador. Xa temos neste caso que o límite (no caso de existir) non é finito.. Salto finito. Este tipo de descontinuidade só pode orixinarse en funcións definidas a anacos. Neste caso existen os límites laterais e son finitos, pero os seus valores non coinciden. Non se cumpriría así a condición. FALTA EXEMPLO 3. Evitable. Está relacionada con dous dos tipos anteriores: a) No caso de que lle falte o punto, existe o límite, pero o que non existe é f(x 0 ). Non se cumpriría a condición 1. FALTA EXEMPLO b) No caso de que teña o punto desprazado, existe o límite e é finito, e tamén f(x 0 ), pero estes dous valores non coinciden. Non se cumpriría a condición 3. FALTA EXEMPLO 6.4. Límite dunha función no infinito Se queremos calcular o valor ao que se aproxima a función a medida que x toma valores cada vez máis grandes, o que queremos atopar é lím f(x) x + Se en cambio, o que queremos calcular é o valor ao que se aproxima a función a medida que toma valores cada vez máis pequenos (máis negativos), o que queremos é atopar lím f(x). x PÓDESE COMPLETAR MÁIS 6.5. Ramas infinitas. Asíntotas Ás veces a gráfica dunha función e a dunha recta aproxímanse cada vez máis a medida que a variable independente se achega a un valor determinado ou crece(decrece) indefinidamente. Estas rectas chámanse asíntotas da función. A continuación, estudaremos as asíntotas ou ramas infinitas máis sinxelas que pode presentar unha función. 107

108 6.5. RAMAS INFINITAS. ASÍNTOTAS 1. Asíntotas verticais A recta de ecuación x = a é unha asíntota vertical da función f se algún dos límites laterais (ou os dous) cando x a é infinito (± ) e non existe a función no punto. Isto significa que, a medida que x se achega ao punto a, polo menos por un dos laterais, os valores da función fanse infinitamente grandes, ou infinitamente pequenos (grandes en valor absoluto, pero negativos). Hai asíntota vertical, por tanto, cando hai unha descontinuidade de salto infinito. Exemplo 6.15 Aproveitaremos un exemplo anterior: f(x) = 1 (x 1) O único punto que non pertence ao dominio é x = 1, polo que estudaremos os límites laterais nese punto. 1 lím x 1 (x 1) = + 1 lím x 1 + (x 1) = + Como un dos límites laterais é infinito (neste caso os dous) temos que en x = 1 hai unha asíntota vertical. Asíntotas horizontais A recta de ecuación y = k é unha asíntota horizontal da función f se algún dos límites no infinito son finitos, ou o que é o mesmo: lím f(x) = k ou lím f(x) = k, con k R x x + Isto significa que, a medida que x se fai infinitamente máis grande, xa sexa en positivo ou en negativo, a función achégase á asíntota. Pode haber dúas asíntotas horizontais, unha para e outra para +, que poden ser a mesma recta, pode existir asíntota só para un destes valores ou pode non existir ningunha asíntota horizontal. Se temos en conta o que xa vimos nos límites dunha función no infinito temos que ter en conta as seguintes pautas: As funcións polinómicas non teñen límite finito no infinito, polo que por tanto non terán asíntota horizontal. As funcións racionais f(x) = P (x) Q(x) só teñen límite finito se grao de P (x) grao de Q(x). P (x) No caso de que grao de P (x) < grao de Q(x) temos que: lím = 0, polo que a recta x + Q(x) y = 0 é asíntota horizontal. O mesmo sucede se estudamos o límite cando x No P (x) caso de que grao de P (x) = grao de Q(x) temos que: lím = l, polo que a recta x + Q(x) y = l é asíntota horizontal. O mesmo sucede se estudamos o límite cando x 108

109 6.5. RAMAS INFINITAS. ASÍNTOTAS Para as outras funcións que non son racionais tamén temos que facer os límites no infinito e ver se é finito l ou non e no caso teríamos que y = l tamén é asíntota horizontal Para indicar a posición da curva respecto da asíntota, estudamos o signo da diferenza f(x) l para un valor grande (± ) de x. Se o signo desta operación é positivo indica que f(x) > l polo que a función achégase á asíntota por arriba, en cambio se o signo é negativo indica que f(x) < l polo que a función achégase á asíntota por abaixo. Exemplo 6.16 Estudemos as posibles asíntotas horizontais de f(x) = Calculamos os límites no infinito por ambos lados e obtemos o seguinte: lím x x x + 1 = 1 e lím x + x x + 1 = 1 Como é o mesmo valor para ambos límites temos que y = 1 é a única asíntota horizontal. Para estudar a posición da función respecto á recta facemos a resta: f(x) 1 = x x = x x 1 x = 1 x Neste caso o signo é sempre negativo polo que a función achégase á recta por abaixo en ambos lados da función. x x + 1 Exemplo 6.17 Estudemos as posibles asíntotas horizontais de f(x) = x x + 1 Calculamos os límites no infinito por ambos lados e obtemos o seguinte: lím x lím x + x x + 1 = x x + 1 = lím x lím x + x = x x = x lím x lím x + x x = 1 x x = 1 Neste caso temos dous límites diferentes nos infinitos polo que temos dúas asíntotas horizontais, y = 1 e y = 1 3. Asíntotas oblicuas Dise que a recta y = mx + n é unha asíntota oblicua da función f se se cumpre que: lím f(x) = ± e lím f(x) y = 0 x + x + 109

110 6.5. RAMAS INFINITAS. ASÍNTOTAS Ao igual que sucede coas horizontais, pode haber dúas asíntotas oblicuas, unha para e outra para +, que poden ser a mesma recta ou existir só para un destes valores ou pode non existir ningunha asíntota oblicua. Do mesmo xeito que fixemos coas horizontais, podemos seguir as seguintes pautas: As únicas funcións polinómicas que non se alonxan dunha recta son as que teñen grao 1, que son propiamente a mesma recta, polo que as funcións polinómicas non teñen asíntotas oblicuas. As funcións racionais só se achegan a unha recta oblicua se grao de P (x) grao de Q(x) = 1 Para ver a asíntota oblicua basta con efectuar a divisón dos polinomios e quedarnos co cociente. P (x) R(x) = mx + n + Q(x) Q(x) A asíntota oblícua é a recta y = mx + n, xa que para valores moi grandes de x a última fracción tende a cero, por ter maior grao o denominador. Ademais, a posición da función respecto da asíntota determínase estudando o signo de R(x)/Q(x) para valores grandes de x (± ). Para as outras funcións que non son racionais podemos facer os seguinte límite, Só existirá asíntota oblicua se dito límite é finito e distinto de cero e ademais m = f(x) lím x + x Para obter a ordenada na orixe obtense co límite n = lím (f(x) mx) x + Esta maneira de obter a asíntota oblicua tamén é válida para as funcións racionais. f(x) lím x + x. Inda que non nos pararemos moito no estudo da posición da función respecto da asíntota neste último caso, podemos xeralizar, o método de obtela, para que quede reflectido. Neste caso teremos que estudar o signo da diferenza entre f(x) (mx + n) para un valor grande de x, e proceder analogamente ao que facíamos nas horizontais. 110

111 6.5. RAMAS INFINITAS. ASÍNTOTAS Exemplo 6.18 Estudemos as posibles asíntotas oblicuas de f(x) = x3 x x + 1 Como vemos que grao de P (x) grao de Q(x) = 1 podemos afirmar que ten asíntota oblicua. Neste caso efectuamos a división polinomial e obtemos o seguinte: x 3 x x + 1 = x + x + x + 1 Co que xa temos que y = x é asíntota oblicua para os valores grandes de x (± ), basta estudar agora a posición da función respecto da curva. Para eso estudaremos o signo de x + x + 1 x + lím x x + 1 = 0+, co que temos a función achégase a curva por arriba en. x + lím x + x + 1 = 0, co que temos a función achégase a curva por abaixo en +. Exemplo 6.19 Estudemos as posibles asíntotas oblicuas de f(x) = x3 x x + 1 Este é o mesmo exemplo de antes, pero agora farémolo polo método xenérico. Como vemos que grao de P (x) grao de Q(x) = 1 podemos afirmar que ten asíntota oblicua. Calculemos m e n. n = m = lím (f(x) mx) = lím x + f(x) lím x + x = lím x + ( ) x 3 x x + x + 1 x x 3 3x x 3 + x = 1 x 3 x x 3 x = lím = x + x + 1 Facendo os cálculos para x obtemos o mesmo, polo que y = x é a única asíntota oblicua. Para estudar o achegamento da función á asíntota vemos a resta f(x) (mx + n), neste caso x 3 x x + 1 (x ) = x3 x x + 1 x3 x + x = x + x + 1 x + 1 Agora estudaremos o signo de x + cando x ± x + 1 x + lím x x + 1 = 0+, co que temos a función achégase a curva por arriba en. x + lím x + x + 1 = 0, co que temos a función achégase a curva por abaixo en

112 6.5. RAMAS INFINITAS. ASÍNTOTAS Exemplo 6.0 Estudemos as posibles asíntotas oblicuas de f(x) = x 1 x + 1 O feito da raíz fai que podamos considerar como grao do denominador 1, polo que se cumpriía que grao de P (x) grao de Q(x) = 1 e por tanto podemos afirmar que ten asíntota oblicua. Como non é polinómico farémolo polo método xenérico. m = lím x + f(x) x = lím x + x 1 x x + 1 = lím x + x x 4 = 1 n = lím x + (f(x) mx) = lím x + ( x 1 x + 1 x ) = x 1 x x = lím + 1 = 0 x + x + 1 Temos así que y = x é asíntota para x +. Facendo os cálculos para x obtemos y = x, polo que a función ten dúas asíntotas oblicuas. Neste caso non estudaremos o achegamento da función á asíntota. 4. Ramas parabólicas En moitas ocasións non hai asíntotas horizontais nin oblicuas. Esto sucede por exemplo nas funcións polinómicas de grao maior ou igual a. Ademais nas funcións racionais temos que hai ramas parabólicas se grao de P (x) grao de Q(x), e van cara arriba ou cara abaixo segundo que lím x + P (x) Q(x) Exemplo 6.1 sexa + ou. Estudemos as ramas parabólicas de f(x) = x4 x + 1 x + 1 Como temos que grao de P (x) grao de Q(x) = podemos concluir que non hai asíntotas horizontais nin oblicuas, habendo neste caso ramas parabólicas. x 4 x + 1 lím x + x = x 4 x + 1 lím x x = Polo que temos, por ambos lados as ramas parabólicas van cara arriba. 11

113 6.6. EXERCICIOS 6.6. Exercicios 1. Calcula o valor dos seguintes límites: a) lím x b) lím(cos x 1) x 0 x 0 3 c) lím x x 3x + 6 d) lím x 0,1 log 10 x Sol: a) 3, b) 0, c), d) 1. Calcula o valor dos seguintes límites: a) lím x 1 x 7x b) lím x 4 x c) lím x 5 x 5 x 5 d) lím x 1 x 3 + x 7x + 4 x 3 + 4x 14x Dada a función: f(x) = Calcula: a) lím f(x) x 0 b) lím f(x) x c) lím f(x) x + d) lím f(x) x Sol: a) 4, b) 1 4, c) 10, d) 1 { x 3x 10 se x x + 4 se x > Sol: a) 10, b) 1, c) 8, d) lím x f(x) 4. Cada unha das seguintes funcións ten un ou máis puntos onde non é continua. Indica cales son eses puntos e o tipo de descontinuidade que presenta: a) f(x) = x + 3 x 3 b) f(x) = x 3x x c) f(x) = x 3 { x 3 se x d) f(x) = 0 se x = Sol: a) x = 3, ramas inf., b) x = 0, evit., c) x = 0, ramas inf., d) x =, evit. 5. Calcula o valor dos seguintes límites: x + 1 a) lím x x x 3 b) lím x 1 (x 1) x + 10x 4 c) lím x x + 3x 10 x 3 5x + 6x d) lím x 3 x 3 7x + 16x 1 Sol: a) lím x f(x), b) +, c), d) 3 6. Calcula os límites das funcións seguintes nos puntos que se indican. Onde conveña, especifica o valor do límite á esquerda e á dereita do punto. a) f(x) = x3 x en, 0 e 4 4x 1 b) f(x) = en 0, e 3 (x ) c) f(x) = x x + 1 x en 3 e 1 + x 3 x 4 d) f(x) = x 3 en 3 e 0 + 3x Sol: a) e +, 0, e + b) 3,, 0, 7. Calcula os seguintes límites: 6x a) lím x + x b) lím x + c) lím x + c) + e, 0, d) e +, 0 6x x x x

114 6.6. EXERCICIOS 6x d) lím x x x e) lím x x x f) lím x x Sol: a) 0, b) +, c), d) 3, e) +, f) ( 8. Sabendo que lím x = e calcula: x + x) ( a) lím ) x+5 x + x b) lím x + c) lím x + d) lím x + ( ) 3x x ( 1 + ) x x ( ) x + 3 x+3 x 1 9. Calcula os seguintes límites: ( ) x + 7 a) lím x + x 3 x + 5 4x 3 ( x + b) lím x x + 1 x 7 ) x 3 Sol: a) e, b) e 3, c) e, d) e 4 Sol: a) 1, b) Calcula o valor de a para que se cumpra: ( x ) + a lím x + x a x a = 6 x + a Sol: a = Determina o valor de a e de b para que se cumpra x + ax + b lím x x = 4 Sol: a = 4, b = 1 1. Calcula o valor de n para que a seguinte función sexa continua en todo R. f(x) = { x 5x + 1 se x 4 x + n se x > 4 Sol: n = Calcula o valor de k para que a seguinte función sexa continua en todo R. f(x) = { x 3 x + k se x 3 7 se x = 3 Sol: k = Determina para que valores de a e b é continua a función: x b se x 0 f(x) = ax + b se 0 < x < x + b se x Sol: a =, b = Estuda a continuidade das seguintes funcións: a) f(x) = 1 x + 3 b) f(x) = x 5 x 5x c) f(x) = x + 6 x 1 x 1 d) f(x) = x + x 3 Sol: a) R { 3}; x = 3 (ramas inf.), b) R {0, 5}; x = 0 (ramas inf.), x = 5 (evit.), c) R { 1, 1}; x = ±1 (ramas inf.), d) R { 3, 1}; x = 3 (ramas inf.), x = 1 (evit.) 16. Estuda a continuidade das seguintes funcións: x + 1 se x < a) f(x) = 3 se x < 5 3x + 1 se x 5 x 4x 5 se x 5 b) f(x) = x 5 6 se x = 5 114

115 6.6. EXERCICIOS { c) f(x) = x se x 0 5 se x = x se x < 4 x 1 d) f(x) = 6 se x = 4 x 1 se x > 4 3 Sol: a) R {5}; x = 5 (salto finito), b) R, c) R {0}; x = 0 (ramas inf.), d) R {1, 4}; x = 1 (ramas inf.), x = 4 (evit.) 17. Determina as asíntotas verticais, se é que as hai, e sitúa a curva respecto a elas: a) f(x) = x + 3x + 10 x + 1 b) f(x) = x 5x + 7 x c) f(x) = x 4 x x d) f(x) = x + 8x + 6 x + 1 Sol: a) x = 1, b) x =, c) x = 0, d) Non hai 18. Determina as asíntotas verticais, se é que as hai, e sitúa a curva respecto a elas: a) f(x) = 4x + x x 1 x + 1 b) f(x) = x 5x + 6 x c) f(x) = x 5x + 6 d) f(x) = x 4 x + x 6 Sol: a) Non hai, b) x = e x = 3, c) x = 3, d) x = Determina as asíntotas horizontais ou oblicuas, se é que as hai, e sitúa a curva respecto a elas: a) f(x) = 1x5 + x 1 x b) f(x) = x + 8 x c) f(x) = 3x + 5 x d) f(x) = 3x4 + 3x 1 x + 9 Sol: a) Hor. y = 6, b) Hor. y = 0, c) Hor. y = 3, d) Non hai 0. Determina as ramas infinitas, x +, destas funcións. Sitúa a curva respecto da asíntota: a) f(x) = x 1 + x b) f(x) = x3 1 + x c) f(x) = x x + 3 x d) f(x) = x 1 x Sol: a) Hor. y = 0, b) Obl. y = x, c) Obl. y = x 1, d) Hor. y = 115

116 6.6. EXERCICIOS 116

117 Unidade 7 DERIVADAS 7.1. Taxa de variación media dunha función TVM[a, b] = f(b) f(a) b a Interpretación xeométrica A taxa de variación media dunha función f no intervalo [a, b] coincide coa pendente da recta secante á gráfica da función polos puntos (a, f(a)) e (b, f(b)). 7.. Derivada dunha función nun punto Chamamos derivada da función f no punto de abscisa x = a ao límite, se existe: f(b) f(a) lím b a b a Se existe este límite, representámolo por f d (a) (ou tamén por f(a)) e dicimos que a función dx é derivable no punto a. Podemos observar que se facemos h = b a, temos que b = a + h, e ademais, se b tende a a, a diferenza h = b a tende a cero, polo que tamén podemos escribir o seguinte: Interpretación xeométrica f (a) = lím h 0 f(a + h) f(a) h A derivada da función f no punto de abscisa x = a é a pendente da recta tanxente á gráfica da función no punto (a, f(a)) Función derivada Ata o de agora vimos a derivada dunha función f no punto de abscisa x = a, obtendo como resultado en cada caso un número real. Podemos, por tanto, considerar unha nova función, f, na que a cada punto de abscisa x asignámoslle o valor da derivada nese punto. 117

118 7.3. FUNCIÓN DERIVADA f (x) = lím h 0 f(x + h) f(x) h Esta función recibe o nome de función derivada Exemplo 7.1 Calcula a función derivada de f(x) = x Segundo a definición de derivada temos que: f f(x + h) f(x) (x + h) x x + xh + h x (x) = lím = lím = lím = h 0 h h 0 h h 0 h x + xh + h x h(x + h) = lím = lím = lím (x + h) = x h 0 h h 0 h h 0 O feito de calcular a función derivada facilita moito o cálculo da función derivada de f en diferentes puntos. Así, neste caso para calcular f (0), f (1) ou f (), basta con substituir os valores na función derivada. Exemplo 7. Calcula f (0), f (1) e f () Como xa temos polo exemplo anterior que f (x) = x obtemos doadamente que: f (0) = 0 = 0 f (1) = 1 = f () = = 4 Debemos observar que o dominio desta función está formado por todos os puntos x 0 do dominio de f para os que existe f (x 0 ), ou o que é o mesmo, os puntos nos que f é derivable. Derivabilidade e continuidade Cómpre ter en conta que parar poder calcular a derivada dunha función f nun punto a é preciso que exista f(a), pois no caso contrario non poderíamos calcular o numerador da definición de derivada. Pero, ademais, a función deberá ser continua en a, xa que as rectas secantes non se aproximan a unha recta común e, polo tanto, non existe recta tanxente en a, nin f (a) que é a sua pendente. Podemos establecer entón que para que unha función f sexa derivable en a é necesario que f sexa continua en a. Porén, non basta coa continuidade en a, xa que pode ocorrer que f sexa continua en a e non derivable. Por exemplo a función f(x) = x é unha función continua en x = 0, mais non existe f (0), xa que as rectas secantes pola dereita e pola esquerda non se aproximan a unha recta común. Derivadas laterais En casos coma no anterior f(x) = x 118

119 7.4. REGRAS DE DERIVACIÓN 7.4. Regras de derivación Previamente calculamos a derivada dalgunhas funcións aplicando a definición de derivada, pero, ás veces o proceso é longo e pesado. Con todo, existes unhas sinxelas regras prácticas coas que se pode determinar, dun deixo moito máis doado, a derivada de calquera función elemental. Todas as regras que imos ver a continuación pódense demostar, pero, polo de agora limitarémonos a dar as regar e a entender como se poñen en práctica. Derivadas fundamentais Derivada dunha función constante Sexa f(x) = k, con k R, a súa derivada é f (x) = 0, pois a pendente é cero en todos os seus puntos. Derivada da función identidade Sexa f(x) = x, a súa derivada é f (x) = 1, pois a recta y = x ten pendente 1 en todos os seus puntos. Derivada dunha función potencia, x n Sexa f(x) = x n, a súa derivada é f (x) = nx n 1 onde n é un número calquera. Entendendo a raíz cadrada como unha función potencia temos que se f(x) = x, a súa derivada é f (x) = 1 x. Derivada das funcións trigonométricas Sexa f(x) = sen x, a súa derivada é f (x) = cos x. Sexa f(x) = cos x, a súa derivada é f (x) = sen x Sexa f(x) = tg x, a súa derivada é f (x) = 1 + tg x = 1 cos x Derivada das funcións arco Sexa f(x) = arcsen x, a súa derivada é f (x) = Sexa f(x) = arccos x, a súa derivada é f (x) = 1 1 x. 1 1 x Sexa f(x) = arctg x, a súa derivada é f (x) = x Derivada das funcións exponenciais Sexa f(x) = e x, a súa derivada é f (x) = e x. Sexa f(x) = a x, a súa derivada é f (x) = a x ln a 119

120 7.4. REGRAS DE DERIVACIÓN Derivada das funcións logarítmicas Sexa f(x) = ln x, a súa derivada é f (x) = 1 x. Sexa f(x) = log a x, a súa derivada é f (x) = 1 x Resumo (táboa das principais derivadas) 1 ln a Función Derivada f(x) = k f (x) = 0 f(x) = x n f (x) = nx n 1 f(x) = x f (x) = 1 x f(x) = sen x f (x) = cos x f(x) = cos x f (x) = sen x f(x) = tg x f (x) = 1 + tg x = 1 cos x f(x) = e x f (x) = e x f(x) = a x f (x) = a x ln a f(x) = ln x f (x) = 1 x f(x) = log a x f (x) = 1 x 1 ln a 10

121 7.4. REGRAS DE DERIVACIÓN Exemplo 7.3 Calcula as seguintes funcións derivadas: Función Derivada f(x) = 5 f (x) = 0 f(x) = x 7 f (x) = 7x 6 f(x) = 5 x f (x) = 5 x ln 5 f(x) = log 5 x f (x) = 1 x 1 ln 5 Derivadas e operacións Derivada da suma de funcións, f(x) + g(x) é Sexa h(x) = f(x) + g(x), unha función definida como suma de dúas funcións, entón a súa derivada h (x) = f (x) + g (x) Derivada do produto dun número por unha función, k f(x) Sexa h(x) = k f(x), unha función definida como o produto dun número por unha función., entón a súa derivada é h (x) = k f (x) Derivada do produto de dúas funcións, f(x) g(x) Sexa h(x) = f(x) g(x), unha función definida como o produto de dúas funcións, entón a súa derivada é h (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) Derivada do cociente de dúas funcións, f(x) g(x) Sexa h(x) = f(x), unha función definida como o cociente de dúas funcións, entón a súa derivada é g(x) h (x) = f (x) g(x) f(x) g (x) (g(x)) 11

122 7.5. REGRA DA CADEA Resumo Derivada da suma de funcións Derivada do produto dun número por unha función h(x) = f(x) + g(x) h (x) = f (x) + g (x) h(x) = k f(x) h (x) = k f (x) Derivada do producto de funcións Derivada do cociente de funcións h(x) = f(x) g(x) h (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) h(x) = f(x) g(x) h (x) = f (x) g(x) f(x) g (x) (g(x)) 7.5. Regra da cadea Para calcular derivadas, a definicion non é o máis apropiado xa que require o cálculo de límites, por iso é mellor utilizar propiedades como a derivada da suma, do produto ou do cociente de funcións que teñen unha derivada coñecida. A regra da cadea permite calcular derivadas de funcións máis complicadas. Por iso, se queremos derivar unha composición de dúas ou máis funcións debemos utilizar a regra da cadea: Sexa h(x) = (g f)(x) = g[f(x)], entón a súa derivada vén dada por h (x) = g [f(x)] f (x) Para poder aplicar esta regra temos que ter que f(x) é derivable no punto x 0 que estamos a estudar e g(x) é derivable en f(x 0 ) Exemplo 7.4 Calcula a derivada de h(x) = (x 3 + x) 4 Para calcular temos que identificar as funcións que forman a composición de h(x). Neste caso f(x) = x 3 + x e g(x) = x 4. Por tanto a súa derivada é: h (x) = 4 (x 3 + x) 3 (3x + ) 1

123 7.6. DERIVACIÓN DA FUNCIÓN LOGARITMO E DERIVACIÓN LOGARÍTMICA 7.6. Derivación da función logaritmo e derivación logarítmica Derivada do logaritmo neperiano Derivación logarítmica 7.7. Aplicacións da derivada Crecemento e decrecemento Mínimo e máximos Convexidade e concavidade Representación de funcións Problemas de optimización 7.8. Exercicios 1. Indicar a TVM da función f(x) = 4x x nos intervalos [1, ], [1, 3] e [1, 4]. Sol: 1, 0 e 1. Indicar a TVM da función f(x) = 4x x no intervalos con orixe no 1 e con lonxitude variable, h. É dicir, no intervalo [1, 1 + h]. Comproba, dándolle a h os valores axeitados, que se obteñen os resultados do exercicio anterior. Sol: h 3. Utilizando a definición de derivada nun punto, determina a derivada de f(x) = 4x x nos puntos de abscisas 1 e 4. Sol: e 4 4. Utilizando a definición de derivada nun punto, determina a derivada de f(x) = 1 x nos puntos de abscisas 1 e. Sol: 1 e Utilizando a definición de función derivada, determina a mesma de f(x) = 4x x, e comproba que, a partir dela, se poden obter os valores concretos determinados no exercicio 3. Sol: f (x) = 4 x 6. Utilizando a definición de función derivada, determina a mesma de f(x) = 1 x, e comproba que, a partir dela, se poden obter os valores concretos determinados no exercicio 4. Sol: f (x) = 1 x 7. Utilizando a definición de función derivada, determina a mesma de f(x) = x 3 + x. Sol: f (x) = 3x + x 8. Utilizando as regras de derivación indica a función derivada das seguintes funcións: a) f(x) = 3x 6x + 5 b) f(x) = x + 3 x c) f(x) = x + 3 5x d) f(x) = 1 x x e) f(x) = sen x cos x f ) f(x) = tg x (Utiliza tg x = sen x cos x ) Sol: a) f (x) = 6x 6, b) f (x) = 1 x x, 3 5 c) f (x) = x x, d)f (x) = 3 x x, e) f (x) = sen x + cos x,f) f (x) = 1 cos x 13

124 7.8. EXERCICIOS 9. Utilizando as regras de derivación indica a función derivada das seguintes funcións: a) f(x) = xe x b) f(x) = x x c) f(x) = (x + 1) log x d) f(x) = x + 1 x 1 e) f(x) = x3 + 3x 5x + 3 x f ) f(x) = log x x Sol: a) f (x) = (x + 1)e x, b) f (x) = x (1 + x ln ), c) f (x) = x log x + x + 1 x ln, d)f (x) = 4x (x 1), e) f (x) = x3 + 3x 3,f) x f (x) = log x 1 + x x ln Indica a función derivada da función f(x) = sen(x 5x + 7) Sol: f (x) = (x 5) cos(x 5x + 7) 11. Indica a función derivada da función f(x) = 3 (5x + 3) Sol: f (x) = 1. Indica a función derivada da función f(x) = sen(3x + 1) cos(3x + 1) Sol: f (x) = 3 + 3tg (3x + 1) = 13. Indica a función derivada da función f(x) = log x x x cos (3x + 1) Sol: f (x) = log x x ln x 14. Indica a función derivada da función f(x) = cos(3x π) Sol: f (x) = 3 sen 3x 15. Indica a función derivada da función f(x) = 1 + x Sol: f (x) = 16. Indica a función derivada da función f(x) = xe x x Sol: f (x) = (x + 1)e x Indica a función derivada da función f(x) = sen(x + 1) x Sol: f (x) = cos(x + 1) sen(x + 1) x 18. Indica os puntos de tanxente horizontal da seguinte función e clasifícaos: f(x) = x x 8x + 16 Sol: (, 8 3 ) mínimo; (4, 3 3 ) máximo 19. Escribe a ecuación da recta tanxente á curva y = x + x 3 no punto de abscisa. Sol: y = 5x Escribe a ecuación da recta tanxente á curva y = x 5x + 6 no punto de abscisa 3. Sol: y = x 3 14

125 7.8. EXERCICIOS 1. Escribe a ecuación da recta tanxente á curva y = x + 1 no punto de abscisa 0. Sol: x y + = 0. Escribe a ecuación da recta tanxente á gráfica de f(x) = x x no punto de abscisa En qué punto a tanxente é paralela ao eixe de abscisas? Sol: y = x, (0, 0) 3. Determina os coeficientes a, b e c da función f(x) = ax + bx + c se sabes que pasa por (0, 5) e que ten un punto de tanxente horizontal en (, 3) Sol: a =, b = 8 e c = 5 4. Determina os coeficientes a, b e c da función f(x) = x 3 + ax + bx + c se sabes que pasa por (0, 4) e súa recta tanxente en (, ) é paralela a recta y = x. Sol: a =, b = 3 e c = 4 5. Determina os coeficientes a, b e c da función { x se x < 0 f(x) = ax + bx + c se x 0 para que sexa derivable en R e pase por (, ). Sol: a = 1, b = 1 e c = 0 6. Determina os coeficientes a, b e c da función { x se x 1 f(x) = ax + bx + c se x > 1 para que sexa derivable en R e pase por (3, 1). Sol: a = 1, b = 4 e c = 7. Determina os intervalos de crecemento e decrecemento da función: f(x) = x 3 3x e clasifica os puntos que determinan eses intervalos. Sol: Crece en (, 0) (, + ), decrece en (0, ). Máximos relativo en (0, 0) e mínimo relativo en (, 4) 8. Determina os intervalos de crecemento e decrecemento da función f(x) = x 3 + 3x e clasifica os puntos que determinan eses intervalos. Sol: Crece en R 9. Calcula os máximos e os mínimos relativos e absolutos da función f(x) = x 3 + 6x + 9x no intervalo [ 4, ] e no intervalo [0, 5]. Sol: a) ( 3, 0) máx. rel, ( 1, 4) mín. rel. e abs., ( 4, 4) mín. abs. e (, 50) máx. abs.; b) (5, 30) máx. abs. e (0, 0) mín. abs. 30. Desexamos fabricar envases con forma de prisma recto de base cadrada de xeito que o volume sexa dun litro e a superficie empregada sexa mínima. Expresa a área en función do lado da base e calcula as dimensións do prisma. Sol: A(x) = x + 4, cubo de 1 dm de arista x 31. Recortando convenientemente en cada esquina dunha lámina de cartón de dimensións 80 cm x 50 cm un cadrado de lado x e dobrando contruimos unha caixa (sen tapa). Calcular a lonxitude do lado do cadrado x que se recorta en cada esquina para que o volume da caixa sexa máximo. Cal é ese volume? Sol: 10 cm, cm 3 15

126 7.8. EXERCICIOS 16

127 Parte III XEOMETRÍA 17

128

129 Unidade 8 RAZÓNS TRIGONOMÉTRICAS 8.1. Introdución 8.. Razóns trigonométricas dun ángulo agudo 8.3. Razóns trigonométricas dun ángulo calquera 8.4. Propiedades e relacións das razóns trigonométricas 8.5. Fórmulas trigonométricas Agora veremos dúas fórmulas trigonométricas, que permitirán calcular as razóns dun ángulo a partir da suma ou da diferenza doutros dous. Razóns trigonométricas da suma de dous ángulos Para deducir a fórmula do seno e do coseno da suma de dous ángulos consideramos a seguinte construcción xeométrica. 19

130 8.6. ECUACIÓNS TRIGONOMÉTRICAS sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β cos(α + β) = cos α cos β sen α sen β tg (α + β) = tg α + tg β 1 tg α tg β sen(α β) = sen α cos β cos α sen β cos(α β) = cos α cos β + sen α sen β tg (α β) = tg α tg β 1 + tg α tg β sen α = sen α cos α cos α = cos α sen α tg α = tg α 1 tg α sen α = ± 1 cos α cos α = ± 1 + cos α tg α = ± 1 cos α 1 + cos α sen A + sen B = sen A + B sen A sen B = cos A + B cos A + cos B = cos A + B cos A cos B = sen A + B cos A B sen A B cos A B sen A B 8.6. Ecuacións trigonométricas Unha ecuación trigonométrica é unha ecuación na que aparecen razóns trigonométricas, de modo que as incógnitas da ecuación son ángulos descoñecidos que debemos atopar. Estas ecuacións adoitan ter infinitas solucións, pois como xa vimos anteriormente existen distintos ángulos teñen as mesmas razóns trigonométricas. 130

131 8.7. EXERCICIOS Estas ecuacións adoitan ter infinitas solucións xa que, como vimos anteriormente, existen ángulos que sendo distintos teñen as mesmas razóns trigonométicas. Neste tipo de ecuacións precísase atopar todos os ángulos do primeiro xiro (0 a 360 ) que son solucións da ecuación e despois indicamos todos os ángulos equivalentes aos obtidos pero con varios xiros Exercicios 1. Pasa de graos a radiáns os seguintes ángulos: a)30 b) 10 c)80 d)60 e) 5 f)330 Sol: a) π 6 rad, b) π 3 rad, c) 4π 9 rad, d) π 3 rad, e) 5π 1π rad, f) rad 4 6. Pasa de radiáns a graos os seguintes ángulos: a) π 4 rad b) 3π 4 rad c)7π 6 d) 3π rad e) 10π 6 rad f)4π 3 rad Sol: a) 45, b) 135, c) 10, d) 70, e) 300, f) Canto suman (en radiáns) os ángulos dun triángulo? Canto mide un ángulo recto en radiáns? Sol: π rad, π rad 4. Percorremos 40 dunha circunferencia de radio m, canto espacio percorremos? E se tivera un radio de 0,5 m? Sol: 1,40 m, 0,35 m 5. Demostra a primeira relación fundamental, sen α + cos α = 1, utilizando o Teorema de Pitágoras. 6. Utilizando as definicións das razóns trigonométricas, demostra a segunda relación fundamental, tg α = sen α cos α. 7. Utilizando a definición das identidades e as relacións fundamentais demostra que 1 + tg α = sec α 8. Calcula cos α e tg α sabendo que sen α = e que α pertence ao segundo cadrante. 3 Sol: cos α = 1, tg α = 3 9. Calcula sen α e tg α sabendo que tg α = 3 4 e que α pertence ao terceiro cadrante. Sol: sen α = 3 5, cos α = Calcula as razóns trigonométricas de 55, 15, 145, 15, 35, 305 e 35 a partir das razóns trigonométricas de 35, completando unha táboa como a seguinte: α sen α cos α tg α 35 0,57 0,8 0, Partindo das razóns trigonométricas de 30 e de 45 calcula o valor do seno, do coseno e da tanxente de Sol: sen 75 = 0,966, 4 6 cos 75 = 0,59, 4 tg 75 = + 3 3,73 1. Partindo das razóns trigonométricas de 45 e de 60 calcula o valor do seno, do coseno e da tanxente de Sol: sen 105 = 0,966, 4 6 cos 105 = 0,59, 4 tg 105 = 3 3,73 131

132 8.7. EXERCICIOS 13. A partir da fórmula do coseno da suma, cos(α + β) = cos α cos β sen α sen β, demostra a fórmula do coseno da diferencia. 14. A partir da fórmula da tanxente da suma, tg α + tg β tg (α+β) =, demostra a fórmula da tanxente da 1 tg αtg β diferencia. 15. Demostra a seguinte igualdade: sen(α + β) + sen(α β) cos(α + β) + cos(α β) = tg α 16. Demostra as fórmulas do ángulo dobre a partir das fórmulas do ángulos suma facendo α = β. 17. Partindo das razóns trigonométricas de 30, calcula as razóns trigonométricas de Partindo das razóns trigonométricas de 45, calcula as razóns trigonométricas de Demostra a seguinte igualdade: cos(α + β) cos(α β) = cos α sen β 0. Demostra a seguinte igualdade: sen(3x) = 3 sen x cos x sen 3 x Sol: tg (3α) 3. Sen usar a calculadora, e utilizando as sumas e diferenzas de senos e cosenos, calcula: a) cos cos 75 b) cos(α + 30 ) cos(α 30 ) 4. Resolve as seguintes ecuacións: a) sen x + cos x = 0 b) cos x 1 + sen x = 0 c) sen x + 3 cos x = 0 Sol: a) 0, b) sen α x 1 = k = 3π Sol: a) 4 + πk x = k = 7π, k Z 4 + πk b) { x1 = k x = k, k Z x 1 = k = π + πk x = k = 3π c) + πk x 3 = k = 4π 3 + πk, k Z x 4 = k = 5π 3 + πk Nota: Fai sen(3x) = sen(x + x) e desenvolve utilizando a fórmula do seno do ángulo suma. 1. Sen usar a calculadora, e utilizando as sumas e diferenzas de senos e cosenos, calcula: a) sen 75 + sen 15 b) cos 75 sen 75 Nota: para o apartado b) ten en conta a relación entre razóns de ángulos complementarios. Sol: a) 6 1,5, b) 0,707. Expresa en forma de produto o númerador e ao denominador desta fracción e simplifica o resultado. sen(4α) + sen(α) cos(4α) + cos(α) 5. Resolve as seguintes ecuacións: a) sen x + cos x = 1 b) sen x = cos x c) sen x cos x cos(x) = 1 { x1 = k = πk Sol: a) x = k = π + πk, k Z x 1 = k = π b) + πk x = k = 3π + πk, k Z x 1 = k = π + πk x = k = π c) 3 + πk x 3 = k = 4π 3 + πk, k Z x 4 = k = 5π 3 + πk 13

133 8.7. EXERCICIOS 6. Resolve as seguintes ecuacións: a) cos 3x cos x = 0 b) sen(5x) + sen x = 0 x 1 = k = πk x = k = π a) + πk x 3 = k = π + πk x 4 = k = 3π + πk x 1 = k = πk x = k = π 3 + πk x 3 = k = π 3 + πk x 4 = k = π + πk x 5 = k = 4π 3 + πk b) x 6 = k = 5π 3 + πk x 7 = k = π 4 + πk Sol:, k Z, k Z 30. Expresa o conxunto de solucións do exercicio anterior cunha sóa expresión. Sol: x 1 = k = π 4 + π k, k Z 31. Resolve a seguinte ecuación: cos x + sen x = x 1 = k = πk x = k = π + πk x 3 = k = π 4 + πk Sol: x 4 = k = 3π 4 + πk, k Z x 5 = k = 5π 4 + πk x 6 = k = 7π 4 + πk x 8 = k = 3π 4 + πk x 9 = k = 5π 4 + πk x 10 = k = 7π 4 + πk 7. Resolve as seguintes ecuacións: a) 3 sen x cos x + cos x = 0 b) tg x = cos x Sol: a) x = k = π + πk x 1 = k = π b) 4 + πk x = k = 3π 4 + πk, k Z 8. Resolve a seguinte ecuación: Sol: cos x sen x 1 = 0 { x1 = k = πk x = k = π + πk, k Z 9. Resolve a seguinte ecuación: 3. Resolve o seguinte sistema: { sen(x y) = cos x cos y cotg x + cotg y = 0 (x 1 = k, y 1 = j) (x = k, y = j) Sol:, (x 3 = k, y 3 = j) (x 4 = k, y 4 = j) k, j Z 33. Resolve o seguinte sistema: { sen x + sen y = sen x + cos y = 1 (x 1 = π + πk, y1 = π + πj) Sol: (x = π + πk, y1 = 3π, k, j Z + πj) sen x = cos x x 1 = k = π 4 + πk 34. Resolve o seguinte sistema dando as solucións correspondentes ao primeiro xiro: Sol: x = k = 3π 4 + πk x 3 = k = 5π 4 + πk x 4 = k = 7π 4 + πk, k Z { sen x + sen y = 3 sen x sen y = 1 133

134 8.7. EXERCICIOS Sol: (x 1 = 30, y 1 = 90 ) (x = 150, y = 90 ) (x 3 = 90, y 3 = 30 ) (x 4 = 90, y 4 = 150 ) 36. Resolve o seguinte sistema dando as solucións correspondentes ao primeiro xiro: x + y = π + πk, k Z sen x cos y = Resolve o seguinte sistema dando as solucións correspondentes ao primeiro xiro: { x + y = 10 sen x sen y = 1 Sol: (x = 90, y = 30 ) Sol: (x 1 = π 6, y1 = π 3 ) (x = 5π 6, y = 5π 3 ) (x 3 = 7π 6, y3 = 4π 3 ) (x 4 = 11π 6, y4 = π 3 ) 134

135 Unidade 9 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 9.1. Introdución e propiedades Antes de comezar coa unidade cómpre recordar algunhas propiedades e algúns teoremas e expresións que relacionan os seus elementos entre si. Por ser moi habituais, moitas das propiedades son ben coñecidas. A suma dos tres ángulos dun triángulo é 180 : Â + B + Ĉ = 180 Calquera lado dun triángulo é menor cá suma dos outros dous e maior cá súa diferenza. Esta propiedade recibe o nome de desigualdade triangular a < b + c e a > b c b < a + c e b > a c c < a + b e c > a b A área dun triángulo é igual ao produto da base pola altura correspondente a dita base, dividido entre. Considerando, por exemplo, o debuxo anterior temos que: Triángulos rectángulos Área = a h a Dicimos que un triángulo é rectángulo se un dos seus ángulos mide 90. Neste caso chamamos hipotenusa ao lado oposto ao ángulo recto e catetos aos outros dous lados. Ademais das propiedades anteriores é importante recordar o teorema de Pitágoras e algunhas das súas consecuencias. 135

136 9.1. INTRODUCIÓN E PROPIEDADES O teorema de Pitágoras di que o cadrado da hipotenusa é igual á suma dos cadrados dos catetos. a = b + c Unha das xeralizacións do teorema de Pitágoras permítenos clasificar un triángulo segundo os seus ángulos. Se a, b, c son os lados dun triángulo, e a é o maior, temos: ˆ Se a = b + c, o triángulo é rectángulo. ˆ Se a > b + c, o triángulo é obtusángulo. ˆ Se a < b + c, o triángulo é acutángulo. Ademais do teorema de Pitágoras, temos dous teoremas importantes para a resolución de triángulos rectángulos, que vimos xa en cursos anteriores, como son o teorema da altura e o teorema do cateto. Teorema da altura. A altura sobre a hipotenusa ao cadrado é igual ao produto das proxeccións dos catetos sobre a hipotenusa. h = m n Teorema do cateto. Cada un dos catetos elevados ao cadrado é igual ao produto da hipotenusa pola proxección deste sobre ela. b = a m c = a n 136

137 9.. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 9.. Resolución de triángulos rectángulos Resolver un triángulo é determinar un ou máis elementos descoñecidos a partir dos elementos (lados e ángulos) coñecidos. Para resolver un triángulo rectángulo precisamos coñecer dous lados do triángulo, ou un lado e un ángulo distinto do recto. Se coñecemos dous lados: neste caso, calcularemos o outro lado mediante o teorema de Pitágoras. Usando as razóns trigonométricas do seno, do coseno e da tanxente podemos obter un (ou os dous) dos ángulos agudos. No caso de que só calculemos un, despexaremos o outro ángulo tendo en conta que os tres suman 180. Se coñecemos un lado e un ángulo agudo: neste caso obtemos inmediatamente o outro ángulo agudo, pois son complementarios. Para calcular un (ou dous) dos lados descoñecidos usamos as razóns trigonométricas respectivas, en función do lado coñecido. No caso de que só calculemos un, calcularemos o outro lado a partires do teorema de Pitágoras. Exemplo 9.1 Nun triángulo rectángulo coñécense un cateto, b = 11 cm, e a hipotenusa, a = 0 cm. Indica os demais elementos. O outro cateto polo teorema de Pitágoras cumpre que: 0 = 11 + c polo que temos que c = 16,7 cm Para obter o ángulo B usamos o seno, tendo así que: sen B = 11 0 = 0,55, e facendo o arcsen B temos que B = 33 Analogamente, podemos calcular Ĉ usando o coseno, pero neste caso imos calcular o ángulo complementario a B obtendo así que: Ĉ = 90 B = Teorema do seno Consideremos o triángulo ABC da seguinte figura. Se trazamos a altura que pasa por C, e sobre o lado c, h c obtemos dous triángulos rectángulos ADC e CDB, rectos en D. No triángulo ADC temos que: sen  = h c b h c = b sen  137

138 9.4. TEOREMA DO COSENO Analogamente, no triángulo CDB cúmprese que: sen B = h c a h c = a sen B Por tanto, verifícase que b sen  = a sen B, de onde obtemos que: a sen  = b sen B Se facemos o mesmo coa altura que pasa por B e sobre o lado b, h b e razoando do mesmo xeito, temos que: a sen  = c sen Ĉ Por tanto obtemos que: a sen  = b sen B = c sen Ĉ Este resultado coñécese como teorema do seno. O razoamento que acabamos de facer tamén é válido cando o triángulo é obtusángulo. Por tanto, podemos enunciar: En todo triángulo, a lonxitude de cada lado é proporcional ao seno do ángulo oposto: a sen  = b sen B = c sen Ĉ 9.4. Teorema do coseno Consideremos o triángulo ABC da seguinte figura. Se trazamos a altura que pasa por C, e sobre o lado c, h obtemos dous triángulos rectángulos ADC e CDB, rectos en D. Aplicando o teorema de Pitágoras ao triángulo rectángulo ADC, obtemos que: b = h + m Analogamente, no triángulo rectángulo CDB cúmprese que: a = h + n 138

139 9.5. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS NON RECTÁNGULOS De onde obtemos que: h = a n Substituíndo na primeira igualdade obtemos que: b = a n + m Ademais temos que c = m + n m = c n m = (c n) = c + n cn Se substituímos este valor de m na ecuación anterior temos que: b = a n + c + n cn b = a + c cn Por outra banda, no triángulo rectángulo CDB verifícase: cos B = n a n = a cos B Se substituímos na ecuacion anterior obtemos que: b = a + c ac cos B Analogamente, se trazamos as alturas correspondentes aos vértices A e B e razoando do mesmo xeito chegamos a que: a = b + c bc cos  c = a + b ab cos Ĉ Este resultado coñécese como teorema do coseno e tamén é valido para triángulos obtusángulos e podémolo enunciar: En calquera triángulo, o cadrado dun lado é igual á suma dos cadrados dos outros dous lados menos o dobre do produto destes polo coseno do ángulo comprendido entre eles: a = b + c bc cos  b = a + c ac cos B c = a + b ab cos Ĉ 9.5. Resolución de triángulos non rectángulos Antes de analizar os diferentes casos temos que ter en conta que un ángulo que está entre 0 e 180 ten o seu coseno determinado claramente. Pero non ocorre o mesmo co seno, xa que hai dous ángulos entre 0 e 180 co mesmo seno. Só o temos identificado cando sen α = 1 xa que o ángulo é unicamente α = 90. Por iso, se utilizamos o teorema do seno para calcular ángulos, hai dúas solucións, a solución aguda e a solución obtusa. Nalgunhas ocasións isto está ben porque hai dous triángulos posibles pero noutras estamos simplemente introducindo solucións falsas. Como arreglar este problema? Temos varias maneiras: A primeira delas, e ademais a máis doada, consiste en non utilizar nunca o teorema do seno para calcular ángulos, senón só lados. Por tanto, utilizariamos o teorema do coseno para calcular ángulos. A segunda delas consiste en utilizar o teorema do seno para o cálculo de ángulos, pero asegurándonos de que o ángulo é agudo. Para saber iso basta co seguinte resultado: 139

140 9.5. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS NON RECTÁNGULOS Se un triángulo é obtusángulo, o ángulo obstuso é oposto ao lado máis longo. A terceira consiste en analizar o tipo de ángulo que é previamente, para o que poderemos valernos da xeralización do teorema de Pitágoras que vimos no punto 9.1. Dados tres lados Neste caso calculamos un dos ángulos mediante o teorema do coseno. Para os demais podemos proceder de novo co teorema do coseno para os ángulos que faltan. Tamén podemos traballar co teorema do seno, pero sempre tendo en conta o que comentamos previamente. Para evitar confusións podemos calcular primeiro o ángulo oposto ao lado máis longo, asegurándonos así de que os dous ángulos que faltan por calcular son agudos. E para o ángulo restante temos que ter en conta que  + B + Ĉ = 180. Exemplo 9. Nun triángulo coñécense os tres lados a = 3 cm, b = 5 cm e c = 7 e queremos calcular todos os ángulos. Para calcular un ángulo teremos que usar o teorema do coseno. Como podemos ter problemas cando o ángulo é obtuso, obtemos primeiro o ángulo oposto ao lado maior, polo que calculamos inicialmente Ĉ c = a +b ab cos Ĉ 7 = cos Ĉ 15 = 30 cos Ĉ cos Ĉ = 0,5 Ĉ = 10 Aplicamos o teorema do seno para calcular un dos ángulos descoñecidos Â: a sen  = c sen Ĉ 3 sen  = 7 3 sen 10 sen  = = 0,371 sen 10 7 Ĉ = Calculamos B tendo en conta que  + B + Ĉ = 180 : B = 180 ( + Ĉ) = Dados un lado e dous ángulos Neste caso calculamos o ángulo que falta tendo en conta que  + B + Ĉ = 180 e valéndonos do teorema do seno obtemos os dous lados que faltan. Exemplo 9.3 Nun triángulo coñécense un lado a = 10 cm e dous ángulos,  = 30 e B = 80 e queremos calcular os lados b, c e o ángulo Ĉ. Calculamos Ĉ tendo en conta que  + B + Ĉ = 180 : Ĉ = 180 ( + B) = 70 Aplicamos o teorema do seno para calcular os lados descoñecidos b e c: a sen  = a sen  = b sen 10 B sen 30 = b 10 sen 80 b = = 19,70 cm sen 80 sen 30 c sen Ĉ 10 sen 30 = c 10 sen 70 c = = 18,79 cm sen 70 sen

141 9.5. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS NON RECTÁNGULOS Dados dous lados e o ángulo oposto a un deles Neste caso temos que prestar moita atención, pois pode que exista unha solución, dúas ou ningunha, para o que precisamos comprobar co resto dos datos se a solución é a adecuada. Para resolver este triángulo podemos calcular o segundo ángulo co teorema do seno. Unha vez temos isto calculamos o terceiro ángulo valéndonos de que  + B + Ĉ = 180 e calculamos o terceiro lado tamén co teorema do seno. Aínda así, podemos resolver o triángulo valéndonos do teorema do coseno, pero obtendo neste caso inicialmente unha ecuación de segundo grao que nos determinará o número de solucións. Veremos os casos posibles cuns exemplos: Ningunha solución. Exemplo 9.4 Nun triángulo coñécense os lados a = cm, b = 5 cm e o ángulo  = 30 e queremos calcular o lado c e os ángulos B e Ĉ. Aplicamos o teorema do seno para calcular o ángulo B: a sen  = b sen B sen 30 = 5 sen B sen B 5 sen 30 = = 1,5 Como o sen B ten que estar entre 1 e 1, non existe o ángulo B e este problema non ten solución. Vexamos outra maneira de chegar á mesma conclusión. Exemplo 9.5 Nun triángulo coñécense os lados a = cm, b = 5 cm e o ángulo  = 30 e queremos calcular o lado c e os ángulos B e Ĉ. Aplicamos o teorema do coseno para calcular o lado c: a = b + c bc cos  = 5 + c 5 c cos 30 c 8,660c + 1 = 0 Como o b 4ac = ( 8,660) = 8,900 < 0 temos que non existe solución real da ecuación, polo que este problema non ten solución. 141

142 9.5. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS NON RECTÁNGULOS Unha solución. Exemplo 9.6 Nun triángulo coñécense os lados a = 6 cm, b = 5 cm e o ángulo  = 80 e queremos calcular o lado c e os ángulos B e Ĉ. Aplicamos o teorema do seno para calcular o ángulo B: a sen  = b sen B 6 sen 80 = 5 { sen B sen B 5 sen 80 = = 0, 81 6 B Obtemos dúas solucións, pois, como vimos no tema anterior, os ángulos suplementarios teñen o mesmo seno. Con todo, descartamos a solución obtusa B = , xa que con este valor a suma  + B supera os 180. Temos entón que só hai unha solución, coa que imos traballar a partir de aquí. Calculamos Ĉ tendo en conta que  + B + Ĉ = 180 : Ĉ = 180 ( + B) = Por último, calculamos o lado c aplicando de novo o teorema do seno: a sen  = c sen Ĉ 6 sen 80 = c sen c = 6 sen = 4,30 cm sen 80 Vexamos como resolver o mesmo triángulo doutra maneira. Exemplo 9.7 Nun triángulo coñécense os lados a = 6 cm, b = 5 cm e o ángulo  = 80. Calcula o lado c e os ángulos B e Ĉ. Aplicamos o teorema do coseno para calcular o lado c: a = b + c bc cos  6 = 5 + c 5 c cos 80 c 1,736c 11 = 0 Se resolvemos esta ecuación obtemos que c 1 = 4,30 e c =,56 Obtemos dúas solucións pero só nos vale a positiva c = 4,30 cm, coa que imos traballar de agora en adiante. Para non chegar a unha solución errónea temos que fixarnos un pouco neste punto, podendo proceder dende aquí de diversas formas. Se queremos usar o teorema de seno debemos ter a seguridade de se o ángulo que estamos a buscar é agudo ou obtuso. Para iso, ben aplicamos o teorema co lado máis pequeno dos que non coñecemos o ángulo oposto, tendo así a seguridade de que é agudo. Neste caso farémolo con a e c aínda que podiamos ter collido calquera, xa que no caso de que o triángulo tivese un ángulo obtuso este tería que ser  por ser o oposto ao lado máis longo. 14

143 9.5. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS NON RECTÁNGULOS Continuación exemplo a sen  = c sen Ĉ 6 sen 80 = 4,30 4,30 sen 80 sen Ĉ = sen Ĉ 6 = 0,706 Ĉ = Neste momento teriamos que ter dúas solucións, pero, como sabemos que o ángulo ten que ser agudo, quedámonos só coa anterior. Calculamos B tendo en conta que  + B + Ĉ = 180 : B = 180 ( + Ĉ) = Dúas solucións. Exemplo 9.8 Nun triángulo coñécense os lados a = cm, b = 3 cm e o ángulo  = 30. Calcula o lado c e os ángulos B e Ĉ. Aplicamos o teorema do seno para calcular o ángulo B: a sen  = b sen B sen 30 = 3 { sen B sen B 3 sen 30 = = 0, 75 B Obtemos dúas solucións como xa vimos. Ambas solucións son válidas, xa que non se superan os 180. Por iso, analizaremos cada solución por separado. ˆ B = Calculamos Ĉ tendo en conta que  + B + Ĉ = 180 : Ĉ = 180 ( + B) = Por último, calculamos o lado c aplicando de novo o teorema do seno: a sen  = ˆ B = c sen Ĉ sen 30 = Calculamos Ĉ tendo en conta que  + B + Ĉ = 180 : c sen c = sen = 3,9 cm sen 30 Ĉ = 180 ( + B) = Por último, calculamos o lado c aplicando de novo o teorema do seno: a sen  = c sen Ĉ sen 30 = c sen c = sen = 1,8 cm sen

144 9.5. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS NON RECTÁNGULOS Ao igual que fixemos cos outros exemplos, veremos outra maneira de chegar ás mesmas solucións. Exemplo 9.9 Nun triángulo coñécense os lados a = cm, b = 3 cm e o ángulo  = 30. Calcula o lado c e os ángulos B e Ĉ. Aplicamos o teorema do coseno para calcular o lado c: a = b + c bc cos  = + c 3 c cos 30 c 5,196c + 5 = 0 Se resolvemos esta ecuación obtemos que c 1 = 3,9 e c = 1,18. Ambas solucións son válidas, polo que analizaremos cada caso por separado. ˆ c = 3,9 cm Neste punto utilizaremos o teorema de seno pero tendo a seguridade de que o ángulo que estamos a buscar é agudo ou obtuso. Para iso, aplicamos o teorema co lado máis pequeno dos que non coñecemos o ángulo oposto, tendo así a seguridade de que é agudo. Neste caso farémolo con a e b. a sen  = b sen B sen 30 = 3 sen B sen B 3 sen 30 = = 0, 75 B = ˆ Calculamos Ĉ tendo en conta que  + B + Ĉ = 180 : Ĉ = 180 ( + B) = c = 1,8 cm Agora utilizaremos o teorema do seno con a e c, pois b é o maior neste caso. a sen  = c sen Ĉ sen 30 = 1,8 1,8 sen 30 sen Ĉ = sen Ĉ = 0, 319 Ĉ = Calculamos B tendo en conta que  + B + Ĉ = 180 : B = 180 ( + Ĉ) = Dados dous lados e o ángulo comprendido Neste caso temos que calcular o outro lado mediante o teorema do coseno. Despois calculamos un dos ángulos que faltan ben co teorema do seno, ben co teorema do coseno, pero sempre analizando a situación e por último o ángulo restante, valéndonos de que  + B + Ĉ =

145 9.5. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS NON RECTÁNGULOS Exemplo 9.10 Nun triángulo coñécense os lados a = 5 cm, b = 4 cm e o ángulo Ĉ = 30. Calcula o lado c e os ángulos  e B. Aplicamos o teorema do coseno para calcular o lado c: c = a + b ab cos Ĉ c = cos 30 c = 6,36 c =,5 cm Agora utilizaremos o teorema do seno con b e c, pois a é o maior neste caso. b sen B = c sen Ĉ 4,5 = sen B sen 30 sen B 4 sen 30 = = 0, 793,5 B = Calculamos Ĉ tendo en conta que  + B + Ĉ = 180 :  = 180 ( B + Ĉ) = Aclarando as túas ideas Na seguinte táboa recollemos os casos que poden darse á hora de resolver triángulos en función dos datos coñecidos, e tamén un dos procedementos posibles para esa resolución. I.Tres lados II.Un lado e dous ángulos Dous ángulos co teorema do coseno Terceiro ángulo con:  + B + Ĉ = 180 Terceiro ángulo con:  + B + Ĉ = 180 Os outros dous lados co teorema do seno Unha ou ningunha solución III.Dous lados e un ángulo oposto a un deles Solución única IV.Dous lados e o ángulo comprendido Segundo ángulo co teorema do seno Terceiro ángulo con:  + B + Ĉ = 180 Terceiro lado co teorema do seno Terceiro lado co teorema do coseno Segundo ángulo co teorema do seno Terceiro ángulo con:  + B + Ĉ = 180 Dúas, unha ou ningunha solución Solución única 145

146 9.6. APLICACIÓN DA RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 9.6. Aplicación da resolución de triángulos Cálculo da altura dun punto de pe inaccesible Cálculo da distancia entre dous puntos inaccesibles 9.7. Exercicios 1. Calcula a área dun triángulo equilátero que ten un perímetro de 36 cm. Sol: 6,35 cm. Calcula a área dun trapecio isóscele con bases de 4 cm e 8 cm, e un dos seus ángulos interiores é de 10 Sol: 1,70 cm 3. Calcula o radio da circunferencia circunscrita a un octógono regular de 48 cm de perímetro. Sol: 7,84 cm 4. A lonxitude do lado dun hexágono regular é 8 cm. Calcula o radio da circunferencia inscrita. Sol: 6,93 cm 5. Calcula os lados iguais e a área dun triángulo isóscele co lado desigual de 4 cm e o ángulo oposto á base de 40. Sol: 35,09 cm e 395,64 cm 6. O lado dun rombo mide 8 cm e o ángulo menor é de 3. Canto miden as súas diagonais? Sol: 15,4 cm e 4,4 cm 7. Resolvamos o triángulo no que un dos seus ángulos mide 30 e o cateto oposto mide 5 cm. 8. Que ángulo forman os raios solares coa horizontal se sabemos que a unha determinada hora, un castiñeiro de 10 m de altura proxecta unha sombra de 4 m? Sol: As diagonais dun rombo miden 30 cm e 16 cm. Calcula o seu perímetro, a súa área e os seus ángulos. Sol: P = 68 cm; A = 40 cm ; Ángulos: , O ángulo de elevación dun globo preso, observado dende un punto do chan situado a 350 m do seu amarre, é de 60. Calcula a altura á que se atopa o globo supoñendo que a observación se efectúa un día sen vento. Sol: 606, m 11. Dende a cúpula dun faro, situada a 15 m sobre o nivel do mar, obsérvase un barco baixo un ángulo de depresión de 65. Que distancia separa o barco da cúpula do faro? Sol: 137,9 m 1. Calcula a altura dun edificio se o ángulo de elevación do seu punto máis alto, observado dende un punto do chan situado a 0 m da súa base, é de 50. Sol: 3,84 m 13. Dous satélites atópanse a unha distancia de 470 km dun observatorio. Se o ángulo que forman as visuais dende o observatorio aos satélites é 39 54, que distancia separa os satélites? Sol: B = 60, a = 50 cm e c = 43,3 cm. Sol: 30,73 km 146

147 9.7. EXERCICIOS 14. Unha antena de 1,5 m de altura colocouse na terraza dunha casa. Dende un punto da rúa medimos os ángulos de elevación da base e do seu extremo superior, que son 46 e 50, respectivamente. Que altura ten a casa? Sol: 9,94 m 15. Un buceador descende ao fondo dun lago para recoller un obxecto seguindo unha traxectoria rectilínea de inclinación 30. Cumpre o seu obxectivo e regresa saíndo á superficia noutro punto do mesmo plano vertical seguindo outra traxectoria rectilínea de inclinación 35. Se a distancia na superficie entre o punto de entrada e o de saída é de 100 m, averigua a profundidade do lago. Sol: 31,64 m 16. Os radaristas de dous portaavións observan o voo dun helicóptero situado no mesmo plano vertical que os barcos, pero non situado entre eles. Se o barco máis alonxado do helicóptero o observa con 30 e o máis cercano cun ángulo de 50 e os barcos están separados por 350 m, a que altura voa o helicóptero? Sol: 391,96 m 17. Resolve o triángulo da figura sabendo que o lado maior é un diámetro da circunferencia circunscrita. 18. Unha antena de radio está suxeita ao chan con dous cables, que forman coa antena ángulos de 36 e 48. Os puntos de suxeición dos cables están aliñados co pé da antena e distan entre si 98 m. Calcula a altura da antena. 19. Resolve os seguintes triángulos: Sol: Ángulos: 53,3 m a) a = 1 cm; b = 16 cm; c = 10 cm b) b = cm; a = 7 cm; Ĉ = 40 c) a = 8 m; b = 7 m; c = 5 m d) b = 4 cm; c = 3 cm; Â = 105 e) a = 4 m; B = 45 ; Ĉ = 60 f) b = 5 cm; Â = 35 ; Ĉ = 35 Sol: a) Â = , B = , Ĉ = b) c = 17,4 cm, Â = , Ĉ = c) Â = , B = 60, Ĉ = d) a = 5,59 cm, B = , Ĉ = e) b =,93 m, c = 3,59 m, Ĉ = 75 f) a = 3,05 cm, c = 3,05 cm, B = As bases dun trapecio miden 17 cm e 10 cm, e un dos seus lados 7 cm. O ángulo que forman as rectas sobre as que se atopan os lados non paralelos é de 3. Calcula o que mide o outro lado e a área do trapecio. 1. Resolve os seguintes triángulos: Sol: 11,87 cm, 84,94 cm a) a = 3 cm; b = 8 cm; Â = 5 b) a = 1,6 cm; b = 6,4 cm; B = c) a = 8,6 cm; b = 115 cm; Â = 8 4 Sol: a) Non existe ese posible triángulo b) c = 17,1 cm, Â = , Ĉ = c) c = 163,9 cm, B = , Ĉ = c = 39,1 cm, B = , Ĉ = Sol: Ángulos: 40, 50 e 90 Lados 6,75 cm, 8,04 cm e 10,5 cm. Calcula a lonxitude do lado descoñecido e as diagonais do romboide da figura. Calcula a súa area. 147

148 9.7. EXERCICIOS 6. Calcula o perímetro e a a área do cuadrilátero ABCD inscrito na circunferencia de 6 cm de raio. Sol: AD = 8,97 cm, AC = 1,0 cm, BD = 7, 87 cm, Área = 39, cm 3. Unha estatua de,5 m está colocada sobre un pedestal. Dende un punto do chan vese o pedestal baixo un ángulo de 15 e a estatua baixo un ángulo de 40. Calcula a altura do pedestal. Sol: 0,58 m 4. Dous barcos parten dun porto con rumbos distintos que forman un ángulo de 17. O primeiro sae ás 10 h da mañá cunha velocidade de 17 nós, e o segundo sae ás 11 h 30 min, cunha velocidade de 6 nós. Se o alcance dos seus equipos de radio é de 150 km, poderán poñerse en contacto ás 3 da tarde? Nota:Nó = milla/hora; milla = 1850 m. Sol: 33,8 cm, 66,63 cm 7. Nun rectángulo ABCD de lados 8 e 1 cm, trázase desde N unha perpendicular á diagonal AC, e desde D outra perpendicular á mesma diagonal. Sexan M e N os puntos onde esas perpendiculares cortan a diagonal. Calcula a lonxitude do segmento MN. Sol: Non, pois estarán a 91,43 km 5. Calcula o radio da circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero de lado 15 cm. Sol: 5,6 cm Sol: 8,66 cm 8. Nunha cidade habitada por zombies, vemos, dende fóra da cidade, ao outro lado do río, a igrexa e un gran centro comercial. Na igrexa están os últimos seres humanos vivos na cidade e necesitan alimentos para sobreviviren. Un dos superviviventes que conseguiu saír vivo da cidade observa dende o outro lado do río e pregúntase a distancia que deben percorrer os seus amigos para chegar ao centro comercial, co gallo de facerse unha idea a cerca das posibilidades do grupo. 148