5. Ondas Estacionárias

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1 5. Ondas Estacionárias 1 O que são ondas estacionárias? Comecemos por pensar numa onda progressiva, y 1 = A sin(kx ωt), (1) que se propaga num dado meio e que encontra uma parede, sendo reectida. A onda reectida, y 2, vai na direcção oposta, e por isso escreve-se y 2 = A sin(kx + ωt). (2) Note-se que ao passar de uma equação para outra o que se fez foi trocar o sinal de ω, que passou a ω, pois a velocidade é v = ω/k e tem sentidos opostos nos dois casos. Estas duas ondas vão coexistir no mesmo meio e portanto vão sobrepôr-se. Pelo princípio da sobreposição sabemos que a onda total é y = y 1 + y 2 = A sin(kx ωt) + A sin(kx + ωt). (3) Se usarmos o facto de que sin(a ± b) = sin a cos b ± sin b cos a, temos y = A(sin kx cos ωt sin ωt cos kx) + + A(sin kx cos ωt + sin ωt cos kx) = = 2A sin kx cos ωt (4) O que quer dizer esta expressão? Deixou de ser uma onda progressiva, porque o factor conjunto kx ωt desapareceu. Uma forma de tentar perceber a expressão é fazermos um gráco história ou fotograa. É isso que está feito na gura 1. A gura 1 apresenta várias fotograas sobrepostas (tiradas nos instantes t=0, t=t/12, t=t/6, t=t/4, t=t/3, t=5t/12 e t=t/2). Vericamos que para qualquer destes instantes a sobreposição das duas ondas (incidente e reectida) dá origem a um padrão estacionário. Em particular, reconhecemos a existência de pontos para os quais não há vibração - são os nodos. Por outro lado existem pontos onde se dá a amplitude máxima de vibração - são os antinodos. A gura 2 ilustra este ponto. 1

2 Figura 1: Uma onda estacionária. Figura 2: Nodos e antinodos. 2

3 É muito fácil prever a posição dos nodos e antinodos. Uma vez que y = 2A sin kx cos ωt, os antinodos são dados pela condição de que o seno seja máximo. Temos então kx = π 2, 3π 2, 5π 2,... (5) Como k = 2π/λ, temos que as posições dos antinodos são dadas por x = λ 4, 3λ 4, 5λ 4,..., (6) ou seja, de uma forma geral a posição dos antinodos é dada por x = nλ, n = 1, 3, 5, (7) 4 Quanto às posições dos nodos, são dadas pela condição de que o seno seja nulo. Temos então kx = 0, π, 2π, 3π,... (8) De novo, como k = 2π/λ, temos que as posições dos nodos são dadas por x = λ 2, λ, 3λ 2, 2λ,..., (9) ou seja, de uma forma geral a posição dos nodos é dada por x = nλ, n = 0, 1, 2, 3, (10) 2 A distância entre dois antinodos sucessivos é λ/2, ou seja, metade do comprimento de onda. A distância entre dois nodos sucessivos também é λ/2, ou seja, metade do comprimento de onda. A distância entre um nodo e um antinodos adjacentes é λ/4, ou seja, um quarto do comprimento de onda. 2 Outra forma de ver as ondas estacionárias Vamos agora tentar perceber a formação de ondas estacionárias sem recorrer a matemática, mas relembrando o que já aprendemos sobre reexão de ondas. A gura 3 mostra o que acontece quando uma onda chega a uma parede e é reectida. Quando a onda é reectida, ela é (neste caso) também invertida. O que quer isto dizer? Consideremos a linha tracejada como o nível de referência da onda. 3

4 Figura 3: Outra vez uma onda estacionária (retirado do site de Hyperphysics. Ver em ). Se a onda continuasse a sua evolução natural depois da reexão ela continuaria para os valores negativos (já que antes da reexão está nos positivos, acima da linha de referência). No entanto, como se dá a inversão de fase, a onda volta para trás, de novo pelos valores positivos. As duas ondas agora vão sobrepor-se e interferir construtivamente, dando origem à onda estacionária. Note-se, a este propósito que a amplitude máxima da onda estacionária é 2A [ver (4)], precisamente o dobro da amplitude das ondas incidente e reectida. Isto tem precisamente a ver com o facto de que as ondas interferem construtivamente e a amplitude resultante é maior do que as amplitudes individuais. 3 Ondas estacionárias em cordas xas nas duas extremidades Consideremos uma corda xa nas duas extremidades. Podemos aplicar à vibração da corda o que já aprendemos sobre ondas estacionárias: se uma onda incidir inicialmente numa das extremidades, ela será reectida e a sobreposição das duas ondas forma um padrão estacionário, com nodos e antinodos. No caso de uma corda com as duas extremidades xas, no entanto, sabemos de antemão que as duas extremidades vão ser nodos, pois por estarem xas não podem vibrar. Assim, as possibilidaes para o padrão estacionário de vibração são os que se apresentam a seguir, na gura 4. Da gura vemos que a vibração mais simples tem apenas um antinodo. Se for 4

5 Figura 4: Harmónicas da vibração de uma corda. L o comprimento da corda, vemos que L é metade do comprimento de onda da vibração: L = λ 2. (11) No caso do segundo modo de vibração vemos que L corresponde exactamente a um comprimento de onda: L = λ. (12) No terceiro modo de vibração temos que em L cabe um comprimento de onda e ainda sobra outro meio comprimento de onda: É fácil de perceber que a generalização deste resultado é L = 3 λ. (13) 2 L = n λ, n = 1, 2, 3, 4... (14) 2 Este resultado quer dizer que apenas alguns modos de vibração estacionária são permitidos numa corda com as extremidades xas. Esses modos de vibração têm necessariamente comprimentos de onda da forma λ n = 2L n, n = 1, 2, 3, 4... (15) isto é, submúltiplos de 2L. Dito de outra forma, uma corda com as exttremidades xas pode vibrar apenas com vibrações que tenham comprimento de onda submúltiplo de 2L. 5

6 Podemos ainda traduzir este resultado em termos de frequência. Lembrando que f = v/λ e que a velocidade de propagação da onda não depende da frequência, temos que f n = n v (16) 2L é a frequência do n-ésimo modo de vibração. A f 1 = v/2l chamamos a frequência fundamental. Às outras frequências chamamos harmónicas, Por exemplo, f 2 = 2f 1 = v/l é a segunda harmónica. O conjunto das harmónicas e da frequência fundamental constitui uma série harmónica. 4 Ondas estacionárias em colunas de ar Podem criar-se ondas estacionárias em colunas de ar exactamente da mesma forma que nas cordas. O princípio é o mesmo: a onda incidente é reectida, a onda reectida interfere construtivamente com a onda incidente e forma-se o padrão da onda estacionária. No caso da corda temos a oscilação da própria corda. No caso das colunas de ar temos o movimento oscilatório das partículas, a que correspondem ondas de deslocamento e pressão, como vimos no último capítulo. Podemos partir da analogia com as cordas para perceber o que se passa com as colunas de ar. No caso das cordas concluímos que as extremidades têm de ser nodos porque estão xas. No caso das colunas de ar temos dois casos distintos, ilustrados na gura seguinte: as colunas de ar abertas nas duas extremidades e as colunas de ar fechadas numa das extremidades. Figura 5: Colunas de ar abertas e fechadas. Vejamos então o que podemos dizer sobre as duas extremidades diferentes: extremidade fechada Se pensarmos em termos das ondas de deslocamento das partículas compreendemos que a extremidade fechada tem de ser um nodo. Porquê? 6

7 Porque as moléculas junto à parede não podem oscilar (batem na parede, não é?). Portanto o deslocamento das moléculas encostadas à parede é mesmo zero. Temos de ter então um nodo junto à parede. A extremidade fechada comporta-se portanto como a extremidade xa de uma corda. extremidade aberta Neste caso é melhor começar por pensar em termos de ondas de pressão. A extremidade aberta deve ser um nodo para as ondas de pressão. Porquê? Porque a extremidade da coluna está à pressão atmosférica, e a pressão atmosférica é constante, não se altera. Portanto a amplitude de variação da onda de pressão na extremidade da coluna deve ser nula temos um nodo na onda de pressão 1. Lembremo-nos agora que as ondas de deslocamento e pressão estas desfazadas de 90 o (ver gura 7 do capítulo anterior), o que quer dizer que quando a onda de pressão está np máximo a onda de deslocamento está em zero, e vice-versa. Isto quer dizer que um nodo da onda de pressão (amplitude de oscilação nula) quer dizer um antinodo da onda de deslocamento (amplitude de oscilação máxima). Portanto, enquanto uma extremidade fechada origina um nodo (da onda de deslocamento), uma extremidade aberta origina um antinodo (da onda de deslocamento). O resumo desta análise está feito gracamente na gura 6 Figura 6: Nodos e antinodos da onda de deslocamento em colunas de ar. Vejamos então quais as ondas que se podem formar nas colunas de ar. 1 Na realidada não é exactamente assim. A pressão não se reduz à pressão atmosférica imediatamente à saída da coluna, mas um pouco depois. Isto quer dizer que podemos descrever a coluna através de um comprimento efectivo, maior do que o real. No entanto o essencial da física das ondas estacionárias em colunas de ar consegue-se perceber através da descrição mais simples que vamos seguir, que assume que o nodo da onda de pressão se situa exactamente na extremidade aberta 7

8 4.1 Colunas fechadas numa das extremidades Comecemos pelas colunas fechadas numa das extremidades. A onda estacionária mais simples tem um nodo na extermidade fechada e um antinodo na extremidade aberta, tal como ilustrado na gura 7 Figura 7: Modo fundamental numa coluna com uma extremidade fechada. Neste caso todo o comprimento da coluna é atravessado por apenas quarto de onda, pois de um mínimo a um máximo vai apenas um quarto de onda. Então, pare o modo fundamental temos Quanto à frequência, ela vale L = λ 1 4 λ 1 = 4L. (17) f 1 = v λ 1 = v 4L. (18) O segundo modo está ilustrado na gura seguinte. Tem mais um nodo e um antinodo no meio. Figura 8: Segundo modo numa coluna com uma extremidade fechada (3 a harmónica). Neste caso todo o comprimento da coluna é atravessado por três quartos de onda, pois mínimo máximo mínimo máximo é o percurso correspondente a três quartos de um ciclo. Então, para o segundo modo temos Quanto à frequência, ela vale L = 3λ 3 4 λ 3 = 4 L. (19) 3 f 3 = v λ 3 = 3v 4L = 3f 1. (20) 8

9 A última igualdade permire compreender porque é que se usou o subscripto 3 e não 2: porque efectivamente a frequência do segundo modo é tripla do modo fundamental. Portanto podemos dizer que não há 2 a harmónica, há só 3 a harmónica. Exempliquemos ainda o terceiro modo, a que, como veremos, corresponde a quinta harmónica. O terceiro modo está ilustrado na gura seguinte: har- Figura 9: Terceio modo numa coluna com uma extremidade fechada (5 a mónica). Tem três nodos e três antinodos e corresponde a um período e ainda mais um quarto de período, ou seja, a 5/4 de período. Tem-se então, naturalmente L = 5 4 λ 5 λ 5 = 4 5 (21) e f 5 = v = 5v λ 5 4L = 5f 1, (22) o que mostra que realmemte se trata da quinta harmónica. Podemos agora fazer a generalização. A gura seguinte mostra globalmente os primeiros cinco modos de vibração de uma coluna com uma extremidade fechada. Figura 10: Os primeiros 5 modos numa coluna com uma extremidade fechada (Note-se que a notação da gura é diferente da notação do texto. No texto usou-se λ 1, λ 3, λ 5,..., a que na gura correspondem λ 1, λ 2, λ 3,...). 9

10 O comprimento de onda do n-ésimo modo é λ 2n 1 = e a frequência que lhe corresponde é f 2n 1 = v λ 2n 1 = 4L, n = 1, 2, 3, 4,... (23) 2n 1 (2n 1)v 4L = (2n 1)f 1, n = 1, 2, 3, (24) Os valores de 2n 1 correspondem aos ímpares. Assim, concluímos que numa coluna de ar com uma extremidade fechada são possíveis apenas modos de vibração correspondentes a harmónicas ímpares da frequência fundamental. 4.2 Colunas abertas nas duas extremidades Vejamos agora o que acontece com as colunas abertas nas duas extremidades. De acordo com o que vimos atrás temos de ter um antinodo em cada uma das extremidades. Assim, o modo mais simples é o que está ilustrado na gura seguinte: Figura 11: Modo fundamental numa coluna com as extremidades fechadas. Temos apenas um nodo no meio da coluna, o suciente para poder passar de um nodo a outro. Neste caso o comprimento da coluna corresponde a meio comprimento de onda, pois meio comprimento de onda é o que vai de um máximo a outro. Temos então L = λ 1 2 λ 1 = 2L (25) e f 1 = v λ 1 = v 2L. (26) Vejamos agora o segundo modo, que está ilustrado na gura seguinte. Figura 12: Segundo modo numa coluna com uma extremidade fechada (2 a harmónica). 10

11 Este modo tem dois nodos. Vemos que em geral o n-ésimo modo há-de ter n nodos. Neste caso o comprimento da coluna corresponde a um comprimento de onda, pois um comprimento de onda é o que vai entre dois máximos sucessivos. Temos então L = λ 2 λ 2 = L = 2L (27) 2 e f 2 = v = v λ 2 L = 2v 2L = 2f 1. (28) O segundo modo corresponde realmente à segunda harmónica. Podemos agora fazer uma generalização, como no caso da coluna com uma extremidade fechada. A gura seguinte mostra globalmente os primeiros cinco modos de vibração de uma coluna com as extremidades abertas. Figura 13: Os primeiros 5 modos numa coluna com as extremidades abertas. O comprimento de onda do n-ésimo modo é λ n = 2L n, n = 1, 2, 3, 4,... (29) e a frequência que lhe corresponde é f n = v λ n = nv 2L = nf 1, n = 1, 2, 3, (30) Assim, concluímos que numa coluna de ar com as duas extremidadea abertas são possíveis todos os modos de vibração correspondentes às harmónicas da frequência fundamental. 5 Resumo dos modos A tabela nal apresenta o resumo dos três modos estudados: em cordas e em colunas 11

12 Meio corda coluna de ar fechada numa extremidade coluna de ar aberta nas duas extremidades Tabela 1: Resumo dos três modos f n n v 2L (2n 1) v 4L n v 2L As expressões para uma corda e uma coluna aberta nas duas extremidades são iguais porque as condições aos extremos são, nos dois casos, do mesmo tipo. No caso da corda devemos ter nodos aos extremos; no caso da coluna aberta nas duas extremidades devemos ter dois antinodos. Mas copmo nodos e antinodos estão separados da mesma distância, a peridicidade que daí advém é igual. Por isso a expressão geral de f n é igual nos dois casos. 12