SMA333 8a Lista - séries de Taylor 7/6/213 Definição Para qualquer n = 1, 2, 3,, se uma função f tiver todas as derivadas até ordem n em algum intervalo contendo a como ponto interior, então o polinômio de Taylor de ordem n gerado por f em a é o polinômio P n () = f(a) + f (1) (a)( a) + f (2) (a) 2! onde f (j)(a) denota a derivada de ordem j no ponto a ( a) 2 + + f (n) (a) ( a) n, n! Eemplo 1 Encontrando os polinômios de Taylor para f() = e em = Solução Como temos f() = e, f () = e,, f (k) () = e,, f() = e = 1, f () = e = 1,, f (k) () = e = 1,, o polinômio de Taylor de ordem n em é P n () = 1 + + 2 + 3 3! + + n n! Veja na figura a seguir o gráfico de f() = e e seus polinômios de Taylor de ordem 1, 2 e 3 Note a proimidade dos gráficos perto do ponto =
4 ep() P_3 3 P_2 2 P_1 1 1 5 5 1 15 Eemplo 2 Encontrando os polinômios de Taylor para f() = cos em = Solução Como f() = cos, f () = sin, f () = cos, f (3) () = sin f (4) () = cos, f (5) () = sin f (2n) () = ( 1) n cos, f (2n+1) () = ( 1) n+1 sin Em =, os cossenos são 1 e os senos são, assim f (2n) () = ( 1) n, f (2n+1) () =, n N Como f (2n+1) () =, os polinômios de Taylor de ordem 2n e 2n + 1 são iguais: P 2n () = P 2n+1 () = 1 2 2 + 4 4! 5 2n + + ( 1)n 5! (2n)! Veja na figura a seguir o gráfico de f() = cos e seus polinômios de Taylor de ordem 2, 4, 6, 8 e 1
2 P_4 P_8 y 1 cosseno 1 2 3 4 5 6 7 1 2 P_2 P_6 P_1 A figura acima sugere que os polinômios de Taylor P 2n () = n convergem para cos quando n Resto de um Polinômio de Taylor k= ( 1)k 2k (2k)! Precisamos de uma medida de precisão na aproimação de uma função f() por seu polinômio de Taylor P n () Podemos usar a idéia de um resto R n () definido por f() = P n () + R n () O valor absoluto R n () = f() P n () é chamado de erro associado à aproimação O teorema a seguir fornece uma maneira de estimar o resto associado com o polinômio de Taylor Teorema (Fórmula de Taylor com Resto) Se f for derivável até ordem n + 1 em algum intervalo aberto I contendo a como ponto interior, então para cada em I eiste um número c entre e a tal que f() = f(a) + f (a) 1! onde ( a) + f (a) 2! ( a) 2 + + f (n) (a) ( a) n + R n (), n! R n () = f (n+1) (c) (n + 1)! ( a)n+1
Eercício 1 Siga os passos para obter uma demonstração da Fórmula de Taylor com Resto 1 Para cada em I dado, considere a função G : [, ] R definida por [ ] G(t) = f() f(t) + f (t) ( t) + + f (n) (t) ( t) n ( t)n+1 + R n () 1! n! ( a) n+1 onde onde R n () = f() P n () 2 Calcule G(a) e G() 3 Verifique que G é contínua no intervalo fechado [a, ] e derivável no intervalo aberto ]a, [ 4 Use o Teorema de Rolle para garantir a eistência de um número c ]a, [, tal que G (c) = 5 Verifique que G (c) = acarreta R n () = f (n+1) (c) (n+1)! ( a) n+1 Eemplo 1 Vamos estimar cos 61 usando um polinômio de ordem 2 de cos, em a = π/3 Sendo f() = cos, temos o polinômio P 2 em a = π/3 é f( π 3 ) = 1 2, f ( π 3 ) = 3 2, f ( π 3 ) = 1 2, P 2 () = 1 3 2 2 ( π 3 ) (1/2) ( π 2! 3 )2 Fazendo = π/3 + π/18, que corresponde a 61, obtemos a estimativa cos 61 1 2 3 2 ( π 18 ) 1 4 ( π 18 )2, 484481 Além disso, observando que f () = sin, o resto de R 2 (61 ) pode ser estimado segundo o teorema da seguinte forma: R 2 () = sin c ( π 3! 3 )3
para algum c entre π/3 e π/3 + π/18 Sendo sin(c) 1, obtemos para = π/3 + π/18 = 61 que R 2 (61 ) 1 3! ( π ) 3 1 6 18 Portanto, cos 61, 484481, com precisão de cinco casas decimais Eemplo 2 Vamos estimar sin, em a = sin d usando os polinômios de Taylor de Observação: aqui é possível ver a utilidade dos polinômios de Taylor para a sin obtenção de estimativas, uma vez que é conhecido que a primitiva d não se epressa por meio de funções elementares Solução Como f() = sin, f () = cos, f () = sin, f (3) () = cos f (4) () = sin, f (5) () = cos f (2n) () = ( 1) n sin, f (2n+1) () = ( 1) n cos Em =, os cossenos são 1 e os senos são, assim f (2n) () =, f (2n+1) () = ( 1) n, n N Como f (2n) () =, os polinômios de Taylor de ordem 2n + 2 e 2n + 1 são iguais: P 2n+1 () = 3 3! + 5 5! 7 2n+1 + + ( 1)n 7! (2n + 1)! O Teorema de Taylor dá sin = P 2n+1 () + R 2n+1 (), onde R 2n+1 () = f (2n+2) (c) (2n + 2)! (2n+2), para algum c entre e 1 Assim, sin = P 2n+1() + R 2n+1(),
ou seja, sin = 1 2 3! + 4 5! 6 7! + + 2n ( 1)n (2n + 1)! + R 2n+1() Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, sin d = ( 3 33! + + ( 1)n 2n+1 (2n + 1)(2n + 1)! ) 1 + = 1 1 33! + + ( 1)n 1 (2n + 1)(2n + 1)! + R 2n+1 () R 2n+1 () Para estimar o resto, notamos que todas as derivadas de sin têm valores absolutos menores ou iguais a 1, assim R 2n+1 () f (2n+2) (c) d = (2n + 2)(2n + 2)! 1 (2n + 2)(2n + 2)! Como 1/(2n + 2)(2n + 2)! quando n, resulta que o erro cometido nessa aproimação da integral definida pela integral definida dos polinômios de Taylor é tão pequeno quanto se queira, desde que o grau do polinômio utilizado seja suficientemente grande Eercício 2 Encontre um polinômio que aproime F () = [, 1], com um erro menor do 1 3 Série de Taylor sin t 2 dt, com Eercício 3 Suponha que f tenha derivadas de todas as ordens no intervalo aberto ]a r, a + r[, onde r > Use a Fórmula de Taylor com Resto para mostrar que a sequência (P n ()) dos polinômios de Taylor de f em torno de a converge para f() Use isso para concluir que a Série de Taylor de f em torno de a converge para f() em cada ]a r, a + r[ Eercício 4 Use a Fórmula de Taylor com Resto para mostrar que a sequência (P n ()) dos polinômios de Taylor de f em torno de a converge para f(), ou seja, f() = n= f (n) (a) ( a) n, a < r n! d d
Eercício 5 (Estimativa do resto) Suponha que f tenha derivadas de todas as ordens no intervalo aberto ]a r, a + r[, onde r >, e suponha que eiste uma constante positiva M tal que f (n) () M para todo ]a r, a + r[ Prove que o resto R n () na fórmula de Taylor com resto satisfaz R n () M a n+1, a < r (n + 1)! Verifique que essa hipótese em f é uma condição suficiente para a convergência da Série de Taylor de f em torno de a para f() em cada ]a r, a+r[ Eercício 6 Encontre a série de Taylor em torno de (conhecida como série de Maclaurin) e estude a convergência 1 f() = e 2 2 f() = ln(1 + 2 ) 3 f() = sin 4 f() = sinh Eercício 7 Em estatística a função E() = 2 e t2 dt π leva o nome de Função Erro Encontre a série de Maclaurin da função E() Calcule a derivada E (17) () Eercício 8 Eplique como o Teorema do Valor Médio é um caso especial da Fórmula de Taylor com Resto Eercício 9 Suponha que f() = intervalo aberto ] r, r[ Mostre que a n n converge para todo em um n= 1 Se f é uma função par, então a 1 = a 3 = a 5 = =, isto é, a série de Taylor de f contém somente potências pares de 2 Se f é uma função ímpar, então a = a 2 = a 4 = =, isto é, a série de Taylor de f contém somente potências ímpares de
Série Binomial Eercício 1 Usando a série binomial para f() = 1 1, mostre que 2 arcsin = + n=1 135 (2n 1) n!(2n + 1)2 n 2n+1, < 1 Eercício 1 Usando a série binomial para f() = 3 1 +, calcule o valor 3 25 com três casas decimais e compare o calor com o resultado obtido em uma calculadora Eercício 11 Avalie a integral menor que 1 3,1 1 d com um erro de magnitude 1 + 4 Observação Veja mais sobre séries de Taylor e suas aplicações no livro G B Thomas, volume 2