Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 o Semestre 26/27 22 de abril de 27, às 9: Teste versão A. Considere a função definida em R 2 por em que a e b são constantes reais. MEFT, MEC, MEBiom, LEGM, LMAC, MEAer, MEMec, LEAN, LEMat u(x, y) = ax 2 + by( y), (a) Determine para que valores de a e b a função u é harmónica em R 2. A função u é de classe C 2 e é harmónica se e só se 2 u x 2 (x, y) + 2 u (x, y) =. y2 Assim temos 2 u x 2 = 2a, e portanto u é harmónica se e só se 2 u y 2 = 2b 2a 2b = a = b. (b) Para a = b = 3, determine a função inteira f : C C que verifica Re f = u e f () = 3i. Se u e v são funções de classe C em R 2, então para que f = u + iv seja inteira é necessário e suficiente que sejam satisfeitas as equações de Cauchy- Riemann, v y = ( 3x 2 3y( y) ) = 6x x v x = ( 3x 2 3y( y) ) = 3 6y y donde { v(x, y) = 6xy + C(x) 6y + C (x) = 3 6y Da segunda equação conclui-se que C (x) = 3 pelo que C(x) = 3x + C onde C é uma constante real. Como f () = 3i, tem-se v(, ) = 3 C = 3 e, portanto, f (x + iy) = 3( x 2 y( y) + i( 2xy + x + )).
(c) Calcule o integral: j z =27 f (z) (z i) 2 dz, onde a curva é percorrida uma vez no sentido inverso. Sendo f inteira e i < 27, a fórmula integral de Cauchy garante que Como resulta j z =27 f (x + iy) = u x + i v x f (z) (z i) 2 dz = 2πi f (i). f (i) = 3i, e concluimos que o valor do integral é 6π. = 6x + i( 6y + 3), 2. (a) Utilize o teorema Fundamental do Cálculo para calcular ˆ z dz, γ onde γ é uma parametrização do segmento de recta com ponto inicial z = i e ponto final z = 2. Justifique cuidadosamente a sua resposta. A função é holomorfa na região simplesmente conexa C\{x }, logo primitivável nessa região, pelo Teorema de Cauchy. Uma primitiva será log(z ) para o argumento principal do logaritmo, cujo domínio de holomorfia é precisamente C\{x }. Como o caminho de integração está contido em U, pelo tfc, o integral será log() log(i ) = log( 2) i 3π 4. [,5 val] (b) Justifique que z =2 z dz = 2πi, onde a curva é percorrida uma vez no sentido direto. 2
Imediato por aplicação da primeira fórmula integral de Cauchy à função g(z). [,5 val] (c) A função f (z) = z {z C : z = 2}? é primitivável num aberto U que contenha a curva Não. Se fosse, pelo tfc, o valor do integral da alínea anterior seria zero. 3. Considere a função f (z) = z 2 + z 2. (a) Determine e classifique as singularidades de f. As singularidades são dadas z 2 + z 2 = z = ou z = 2, e tratam-se de pólos simples: por exemplo, lim(z ) f (z) = lim z z z z 2 + z 2 = lim z 2z + = 3 =. (b) Determine os desenvolvimentos de f em série de Laurent em torno de z =, indicando os domínios onde estes desenvolvimentos são válidos. Para < z < 3 temos f (z) = = = (z )(z + 2) = (z ) (z + 3) = (z ) + + 3 (z ) n (z )n n=( ) 3 n = n (z )n n=( ) 3 n+ + k+ (z )k ( ) k= 3 k+2. ( 3 + z 3 ) = 3
Para z > 3 temos f (z) = = (z ) (z + 3) = (z ) 2 ( + 3 (z ) 2 + n= ( 3) n (z ) n = + n= ( 3) n z ) = (z ) n+2 = + k=2 ( 3) k 2 (z ) k. [2, val] 4. Utilzando o teorema dos resíduos, calcule ˆ cos x (x 2 + 4) 2 dx. Considere a função f (z) = e iz /(z 2 + 4) 2 que tem dois polos duplos nos pontos ±i2. Para R > 2 o teorema dos resíduos diz que ˆ 2πi Res f (z) = f (z) dz, () z=i2 γ R onde γ R é o segmento de reta com ponto inicial R e ponto final R e a semicircunferência com ponto inicial R e ponto final R e parte imaginária positiva. O integral no segmento real é R f (x) dx = R ˆ cos x R (x 2 + 4) 2 dx + i sen x R (x 2 dx. (2) + 4) 2 Como cos x/(x 2 + 4) 2 é uma função par e sen x/(x 2 + 4) 2 é uma função ímpar obtém-se que o integral em (2) é cos x 2 (x 2 dx. (3) + 4) 2 Na semicircunferência σ(θ) = Re iθ, θ π e R > 2, tem-se ˆ σ ˆ π f (z) dz e R sen θ (R 2 4) 2 R dθ < π R (R 2 4) 2. 4
Segue-se que σ f (z) dz quando R, e portanto ˆ cos x (x 2 + 4) 2 dx = lim = iπ R [ Res z=i2 = 3 32 π e 2. cos x (x 2 + 4) 2 dx e iz ] (z 2 + 4) 2 = iπ [ d dz e iz ] (z + i2) 2 z=i2 5. Seja f uma função holomorfa na região < z z < R, para algum R >. Mostre que se f é limitada nessa região (ou seja, se existe um M > tal que f (z) M para todos os pontos z nessa região) então z é uma singularidade removível de f. Pelo teorema de Laurent, a função f admite um desenvolvimento em série de forma f (z) = a n (z z ) n para < z z < R, (4) n= onde a n = f (z) dz, 2πi z z =ɛ (z z ) n+ para qualquer que seja < ɛ < R. Sendo M o máximo de f (z) na região < z z < R, obtemos a n M 2π ɛ n+ 2πɛ = Mɛ n. Para n < tem-se lim ɛ Mɛ n =, concluímos que a n =, para cada n <. Logo a parte principal da série (4) é nula, e portanto a singularidade no ponto z é removível. 5
Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 o Semestre 26/27 22 de abril de 27, às 9: Teste versão B. Considere a função definida em R 2 em que a e b são constantes reais. MEFT, MEC, MEBiom, LEGM, LMAC, MEAer, MEMec, LEAN, LEMat v(x, y) = ay 2 + b( x + x 2 ), (a) Determine para que valores de a e b a função v é harmónica em R 2. (b) Para a = b = 5, determine a função inteira f : C C que verifica Im f = v e f () = 5i. (c) Calcule o integral: j z =27 f (z) (z ) 2 dz, onde a curva é percorrida uma vez no sentido inverso. 2. (a) Utilize o teorema Fundamental do Cálculo para calcular ˆ z + dz, γ onde γ é uma parametrização do segmento de recta com ponto inicial z = e ponto final z = + i. Justifique cuidadosamente a sua resposta. [,5 val] (b) Justifique que z+ =2 z + dz = 2πi, onde a curva é percorrida uma vez no sentido direto. [,5 val] (c) A função f (z) = z+ é primitivável num aberto U que contenha a curva {z C : z + = 2}? [2, val] 3. Considere a função f (z) = z 2 z 2. (a) Determine e classifique as singularidades de f. (b) Determine os desenvolvimentos de f em série de Laurent em torno de z = 2, indicando os domínios onde estes desenvolvimentos são válidos. 4. Utilzando o teorema dos resíduos, calcule ˆ x sen x (x 2 + )(x 2 + 4) dx. 6
Considere a função f (z) = ze iz /(z 2 + )(z 2 + 4) que tem quatro polos simples nos pontos ±i2 e ±i. Para R > 2 o teorema dos resíduos diz que [ ] ˆ 2πi Res f (z) + Res f (z) = f (z) dz, (5) z=i2 z=i γ R onde γ R é o segmento de reta com ponto inicial R e ponto final R e a semicircunferência com ponto inicial R e ponto final R e parte imaginária positiva. O integral no segmento real é R f (x) dx = R ˆ x cos x R (x 2 + )(x 2 + 4) dx + i x sen x R (x 2 + )(x 2 dx. (6) + 4) Como x sen x/(x 2 + )(x 2 + 4) é uma função par e x cos x/(x 2 + )(x 2 + 4) é uma função ímpar obtém-se que o integral em (6) é x sen x 2i (x 2 + )(x 2 dx. (7) + 4) Na semicircunferência σ(θ) = Re iθ, θ π e R > 2, tem-se ˆ σ ˆ π f (z) dz Re R sen θ (R 2 )(R 2 4) R dθ < π R 2 (R 2 )(R 2 4). Segue-se que σ f (z) dz quando R, e portanto ˆ x sen x (x 2 + )(x 2 dx = lim + 4) R [ = π Res = π = e e 2 z=i2 x sen x (x 2 + )(x 2 + 4) dx ze iz (z 2 + )(z 2 + 4) + Res z=i ] [ i2e 2 i2 + ie i6 π 6. ze iz ] (z 2 + )(z 2 + 4) 5. Seja f uma função holomorfa na região < z z < R, para algum R >. Mostre que se f é limitada nessa região (ou seja, se existe um M > tal que f (z) M para todos os pontos z nessa região) então z é uma singularidade 7
removível de f. Pelo teorema de Laurent, a função f admite um desenvolvimento em série de forma f (z) = a n (z z ) n para < z z < R, (8) n= onde a n = f (z) dz, 2πi z z =ɛ (z z ) n+ para qualquer que seja < ɛ < R. Sendo M o máximo de f (z) na região < z z < R, obtemos a n M 2π ɛ n+ 2πɛ = Mɛ n. Para n < tem-se lim ɛ Mɛ n =, concluímos que a n =, para cada n <. Logo a parte principal da série (8) é nula, e portanto a singularidade no ponto z é removível. 8
Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 o Semestre 26/27 22 de abril de 27, às :3 Teste versão C MEAmbi, MEBiol, MEEC, MEQ, LEIC. Sejam α e β duas constantes reais e u uma função dada em R 2 por u(x, y) = αy 3 βx 2 y. (a) Identifique o conjunto de valores de α e β para os quais u é uma função harmónica. A função u é harmónica sse Assim temos 2 u x 2 (x, y) + 2 u (x, y) =. y2 2 u x 2 = 2βy, 2 u y 2 = 6αy e portanto u é harmónica sse, para todo real y, o que é equivalente a β = 3α. ( 2β + 6α)y =, (b) Considere α = e β = 3. Determine uma função inteira f tal que u(x, y) = Re f (x + iy) e f (i) =. Se u e v são de classe C em R 2, então para que f = u + iv seja inteira é necessário e suficiente que sejam satisfeitas as equações de Cauchy-Riemann { v ( y 3 3x 2 y ) = 6xy donde y = x v x = y ( y 3 3x 2 y ) = 3y 2 + 3x 2, { v(x, y) = 3xy 2 + C(x) 3y 2 + C (x) = 3y 2 + 3x 2. Da segunda equação conclui-se que C (x) = 3x 2 pelo que C(x) = x 3 + C onde C é uma constante real. Logo, v(x, y) = 3xy 2 + x 3 + C. Como f (i) =, tem-se v(, ) = C = e, portanto, f (x + iy) = y 3 3x 2 y + i( 3xy 2 + x 3 ). 9
(c) Indique, justificando, o valor do integral j z =3 f (z) (z ) 2 dz, onde a circunferência é percorrida uma vez no sentido horário. Sendo f inteira e < 3, a fórmula integral de Cauchy garante que Como j z =3 f (z) (z ) 2 dz = 2πi f (). f (x + iy) = f x = u x i u y = 6xy i(3y2 3x 2 ), e, logo, f () = 3i. O valor do integral será então 6π. 2. (a) Determine o domínio de holomorfia da função f (z) = log(z 2 ), onde se considera o argumento principal do logaritmo. O domínio de holomorfia será C\{x + iy : (x 2 y 2 ) 2xy = } = C\ ({z = + iy, y R} {z = x + i, x R : x }). (b) Atendendo à alínea anterior, indique, justificando o valor de: z 2 = 2 log(z 2 ) dz, e z 2 = 2 log(z 2 ) (z 2) 2 dz, onde a curva é percorrida uma vez no sentido direto. O primeiro integral é zero, pelo TFC, uma vez que o caminho de integração está contido numa região simplesmente conexa onde a função é holomorfa. d O segundo integral é dado por 2πi dz log(z2 ) = 8πi z=2 3.
3. Considere a função f (z) = sen(z) z 4. (a) Determine e classifique as singularidades de f. A função f possui uma única singularidade em z =. Trata-se de um pólo de terceira ordem, já que sen(z) lim z z3 f (z) = lim z z = =. (b) Determine o desenvolvimento de f em série de Laurent em torno de z =, indicando o domínio onde este desenvolvimento é válido. Para z > temos f (z) = z 4 + n= ( ) n + (2n + )! z2n+ = n= ( ) n (2n + )! z2n 3 = + k= 2 ( ) k (2k + 5)! z2k+. [2, val] 4. Utilzando o teorema dos resíduos, calcule ˆ 2π Para z = e iθ, com θ 2π, tem-se cos θ 5 4 cos θ dθ. ˆ 2π cos θ 5 4 cos θ z = dθ = (z + z )/2 iz(5 2(z + z )) z = dz = (z 2 + ) 2iz(2z 2 5z + 2) dz [ (z = 2 + ) 2πi Res z= 2iz(2z 2 5z + 2) + Res (z 2 ] + ) z=/2 2iz(2z 2 5z + 2) [ = 2πi i4 + 5 ] i2 = π 3.
5. Seja f (z) uma função holomorfa em todo o plano complexo e suponha que existem M R e n N tais que f (z) M( + z n ) para cada z C. Mostre que f (z) é um polinómio de grau menor ou igual a n. Vamos mostrar que f (n+) (z) é a função nula. Pela fórmula de Cauchy tem-se se z < R, e portanto f (n+) (z) = f (w) dw (9) 2πi w =R (w z) n+2 f (n+) (z) M( + R n ) 2π (R z ) n+2 2πR = M R( + Rn ) (R z ) n+2. Como lim R M R(+Rn ) (R z ) n+2 =, segue-se que f (n+) (z) é a função nula. 2
Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 o Semestre 26/27 22 de abril de 27, às :3 Teste versão D MEAmbi, MEBiol, MEEC, MEQ, LEIC. Sejam α e β duas constantes reais e v uma função dada em R 2 por v(x, y) = αxy 2 βx 3. (a) Identifique o conjunto de valores de α e β para os quais v é uma função harmónica. (b) Considere α = 3 e β =. Determine uma função inteira f tal que v(x, y) = Im f (x + iy) e f (i) =. (c) Indique, justificando, o valor do integral z =3 f (z)) (z i) 2 dz, onde a circunferência é percorrida uma vez no sentido horário. [2, val] 2. (a) Determine o domínio de holomorfia da função f (z) = log(z 2 + ), onde se considera o argumento principal do logaritmo. (b) Atendendo à alínea anterior, indique, justificando o valor de: 3. Considere a função z = 2 log(z 2 + ) dz, e f (z) = ez z 4. z = 2 (a) Determine e classifique as singularidades de f. log(z 2 + ) z 2 (b) Determine o desenvolvimento de f em série de Laurent em torno de z =, indicando o domínio onde este desenvolvimento é válido. 4. Utilzando o teorema dos resíduos, calcule dz. ˆ 2π (5 + 4 cos θ) 2 dθ. 3
Para z = e iθ, com θ 2π, tem-se ˆ 2π (5 + 4 cos θ) z = 2 dθ = = z = [ = 2πi = π 2 [ d dz = 27 π. iz(5 + 2(z + z )) 2 dz z i4(z + 2) 2 (z + /2) 2 dz ] z Res i4(z + 2) 2 (z + /2) ] 2 z (z + 2) 2 z= /2 z= /2 5. Seja f (z) uma função holomorfa em todo o plano complexo e suponha que existem M R e n N tais que f (z) M( + z n ) para cada z C. Mostre que f (z) é um polinómio de grau menor ou igual a n. Vamos mostrar que f (n+) (z) é a função nula. Pela fórmula de Cauchy tem-se se z < R, e portanto f (n+) (z) = f (w) dw () 2πi w =R (w z) n+2 f (n+) (z) M( + R n ) 2π (R z ) n+2 2πR = M R( + Rn ) (R z ) n+2. Como lim R M R(+Rn ) (R z ) n+2 =, segue-se que f (n+) (z) é a função nula. 4