Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Estatística

Universidade Federal de Minas Gerais Insiuo de Ciências Exaas Deparameno de Esaísica Modelo Exponencial por Pares via Modelo Parição Produo Aluno: Fábio Nogueira Demarqui Orienadora: Profa. Rosângela Helena Loschi Co-orienador: Prof. Enrico Anônio Colosimo Belo Horizone, Março de 2006

Agradecimenos A minha família por odo apoio e incenivo. Sei que esive muias vezes ausene, mas acho que foi por uma boa causa... Sem vocês nada disso seria possível! Aos amigos de oda a vida que fiz nos empos de graduação, Davi, Hamilon, Marcos, Pedro e Thiago, pela amizade, incenivo, por sempre erem acrediado em mim e, principalmene, por odos os bons momenos que passamos junos. Vocês são a minha segunda família! Ao professor Sérgio Minoru Oikawa, meu orienador na graduação, pela grande conribuição a minha formação como esaísico. A Rosângela e ao Enrico, pela oporunidade, confiança e orienação que ornaram possível a realização dese rabalho. A odos os professores e funcionários do deparameno, em especial à Rogéria e aos professores Gregorio e Luiz Duczmal. A odos os colegas do mesrado que pariciparam juno comigo desa caminhada, comparilhando os bons e maus momenos, em especial ao André, Alexandre Polezzi, Fernando, Juliana, Pollyanna e Taynãna. Aos amigos que fiz em Minas (nem odos eles mineiros!) e que vou levar comigo para o reso da vida, Alexandre Loureiros, Alexandre Meirelles, Anderson, Carlio, Erik, Geraldo, Luciano e Ricardo. Vocês fizeram a saudade e a disância de casa diminuírem consideravelmene! A odos aqueles que, direa ou indireamene, colaboraram para a realização dese rabalho.

Resumo Uma das maiores dificuldades relacionadas com o uso do modelo exponencial por pares é enconrar a parição do eixo do empo necessária para sua definição. Em geral, o número de inervalos associado a al parição, bem como a posição de cada inervalo, são deerminados de maneira arbirária. Nese rabalho é inroduzida uma abordagem bayesiana para o modelo exponencial por pares em que a parição que divide o eixo do empo, assim como o número de inervalos, são considerados aleaórios. A função axa de falha é esimada uilizando-se o procedimeno proposo e os resulados são comparados com as esimaivas fornecidas pelo modelo proposo por Kim e Proschan (1991). Uma análise de sensibilidade do modelo proposo considerando-se diferenes escolhas de coesões a priori e diferenes disribuições a priori para a axa de falha é realizada. A meodologia proposa é uilizada para se analisar dois conjunos de dados reais.

Absrac One of he greaes difficuly relaed o he use of he piecewise exponenial model is o find he grid of ime-poins needed in is definiion. In general, he number of inervals in such grid and he posiion of heir endpoins are ad-hoc choices. We inroduce a full Bayesian approach for he piecewise exponenial disribuion in which he endpoins and he number of inervals are random variables. We esimae he failure rae using he proposed procedure and compare he resuls wih he piecewise exponenial esimaes. A sensiiviy analysis for he proposed model is provided considering differen prior cohesions and differen prior disribuions for he failure rae. We apply he mehodology o analyse wo real daa se.

Sumário Lisa de Figuras Lisa de Tabelas vi viii 1 Inrodução 1 2 Modelo Parição Produo 3 2.1 Inrodução................................. 3 2.2 Consrução do Modelo Parição Produo................ 3 3 Modelo Exponencial por Pares via Modelo Parição Produo 9 3.1 Inrodução................................. 9 3.2 Modelo Exponencial por Pares (MEP)................. 10 3.3 Modelo Proposo por Kim e Proschan................. 12 3.4 Consrução do Modelo Exponencial por Pares via Modelo Parição Produo.................................. 13 3.5 Méodos Inferenciais........................... 16 3.6 Méodos Compuacionais......................... 16 3.6.1 Algorimo de Barry & Harigan................. 18 3.6.2 Algorimo proposo por Ponel.................. 19 4 Resulados e Discussão 20 4.1 Inrodução................................. 20 4.2 Função Taxa de Falha Crescene..................... 22 4.3 Função Taxa de Falha Decrescene................... 29 4.4 Conclusões................................. 36 ii

5 Aplicações 38 5.1 Inrodução................................. 38 5.2 Aplicação 1................................ 39 5.3 Aplicação 2................................ 42 5.4 Conclusões................................. 46 6 Conclusões 47 Referências Bibliográficas 63 iii

Lisa de Figuras 4.1 Esimaivas produo para a função axa de falha para diferenes coesões a priori - caso crescene.......................... 23 4.2 Esimaivas produo para a função axa de falha para diferenes disribuições a priori para a axa de falha - caso crescene......... 24 4.3 Esimaivas produo e de Kim-Proschan para a função axa de falha crescene - casos 2 e 4........................... 26 4.4 Esimaivas produo para a função axa de falha para diferenes coesões a priori - caso decrescene......................... 30 4.5 Esimaivas produo para a função axa de falha para diferenes disribuições a priori para a axa de falha - caso decrescene....... 31 4.6 Esimaivas produo e de Kim-Proschan para a função axa de falha decrescene - casos 2 e 4.......................... 33 5.1 Esimaivas para a função axa de falha segundo diferenes escolhas de coesões a priori - aplicação 1....................... 40 5.2 Esimaivas para a função axa de falha segundo diferenes escolhas de coesões a priori - aplicação 2....................... 44 6.1 Esimaivas produo e de Kim-Proschan para a função axa de falha crescene - casos 1 e 3........................... 49 6.2 Disribuição a poseriori do número de blocos para diferenes escolhas de coesões a priori, caso 1 - função axa de falha crescene....... 50 6.3 Disribuição a poseriori do número de blocos para diferenes escolhas de coesões a priori, caso 2 - função axa de falha crescene....... 50 iv

6.4 Disribuição a poseriori do número de blocos para diferenes escolhas de coesões a priori, caso 3 - função axa de falha crescene....... 51 6.5 Disribuição a poseriori do número de blocos para diferenes escolhas de coesões a priori, caso 4 - função axa de falha crescene....... 51 6.6 Ponos de mudança associados às parições mais prováveis, referenes ao caso 1 - função axa de falha crescene................ 52 6.7 Ponos de mudança associados às parições mais prováveis, referenes ao caso 2 - função axa de falha crescene................ 52 6.8 Ponos de mudança associados às parições mais prováveis, referenes ao caso 3 - função axa de falha crescene................ 53 6.9 Ponos de mudança associados às parições mais prováveis, referenes ao caso 4 - função axa de falha crescene................ 53 6.10 Esimaivas produo e de Kim-Proschan para a função axa de falha decrescene - casos 1 e 3.......................... 55 6.11 Disribuição a poseriori do número de blocos para diferenes escolhas de coesões a priori, caso 2 - função axa de falha decrescene...... 55 6.12 Disribuição a poseriori do número de blocos para diferenes escolhas de coesões a priori, caso 3 - função axa de falha decrescene...... 56 6.13 Disribuição a poseriori do número de blocos para diferenes escolhas de coesões a priori, caso 4 - função axa de falha decrescene...... 56 6.14 Ponos de mudança associados às parições mais prováveis, referenes ao caso 1 - função axa de falha decrescene............... 57 6.15 Ponos de mudança associados às parições mais prováveis, referenes ao caso 2 - função axa de falha decrescene............... 57 6.16 Ponos de mudança associados às parições mais prováveis, referenes ao caso 3 - função axa de falha decrescene............... 58 6.17 Ponos de mudança associados às parições mais prováveis, referenes ao caso 4 - função axa de falha decrescene............... 58 6.18 Ponos de mudança associados às parições mais prováveis referenes à aplicação 1 - caso 1............................. 61 6.19 Ponos de mudança associados às parições mais prováveis referenes à aplicação 1 - caso 2............................. 61 v

6.20 Ponos de mudança associados às parições mais prováveis referenes à aplicação 2 - caso 1............................. 62 6.21 Ponos de mudança associados às parições mais prováveis referenes à aplicação 2 - caso 2............................. 62 vi

Lisa de Tabelas 2.1 Relação enre as possíveis parições ρ e o número observado de blocos... 4 4.1 Coesões a priori uilizadas.......................... 20 4.2 Esaísicas descriivas associadas à função axa de falha real - caso crescene. 22 4.3 Disribuição a priori para as axas de falha - caso crescene......... 23 4.4 Erro quadráico associado às esimaivas da função axa de falha - caso crescene.................................... 25 4.5 Modas a poseriori associadas ao número de blocos - caso crescene..... 27 4.6 Parições mais prováveis a poseriori - função axa de falha crescene.... 28 4.7 Esaísicas descriivas associadas à função axa de falha real - caso decrescene. 29 4.8 Disribuição a priori para as axas de falha - caso decrescene........ 29 4.9 Erro quadráico associado às esimaivas para função axa de falha - caso decrescene................................. 32 4.10 Modas a poseriori associadas ao número de blocos - caso decrescene.... 34 4.11 Parições mais prováveis a poseriori - função axa de falha decrescene... 36 5.1 Esaísicas descriivas associadas à função axa de falha esimada via MMV - aplicação 1................................. 39 5.2 Disribuição a priori para a função axa de falha - aplicação 1....... 40 5.3 Parições mais prováveis a poseriori - aplicação 1............. 41 5.4 Número de ciclos aé a falha de mecanismos de acionameno manual de vidro de auomóveis................................ 43 5.5 Esaísicas descriivas associadas à função axa de falha esimada via MMV - aplicação 2................................. 43 5.6 Disribuição a priori para a função axa de falha - aplicação 2....... 43 vii

5.7 Parições mais prováveis a poseriori - aplicação 2............. 45 6.1 Esaísicas descriivas referenes à disribuição a poseriori do número de blocos - função axa de falha crescene.................... 54 6.2 Esaísicas descriivas referenes à disribuição a poseriori do número de blocos - função axa de falha decrescene................... 59 6.3 Tempos de vida dos sisemas de elecomunicação observados no período de 20 de maio à 31 de ouubro de 1985 - Aplicação 1.............. 60 viii

Capíulo 1 Inrodução O Modelo Exponencial por Pares (MEP) é um dos modelos mais populares uilizados em análise de sobrevivência. Segundo Ibrahim (2001), grande pare desa popularidade se deve ao fao dese modelo ser capaz de acomodar funções axa de falha com diversas formas, ornando o modelo basane flexível. Oura vanagem do MEP é a possibilidade de se rabalhar com ese modelo ano na versão paramérica quano na versão não-paramérica. O MEP é caracerizado pela aproximação da função axa de falha por segmenos de reas cujos comprimenos são deerminados por uma parição do eixo do empo em inervalos, denro dos quais a função axa de falha é considerada consane. A versão não-paramérica do MEP pode ser obida omando-se uma parição do eixo do empo com anos inervalos quano for o número de falhas. Em conraparida, a versão paramérica do MEP é obida considerando-se um número de inervalos inferior ao número de falhas, permiindo desa forma que haja mais de uma falha por inervalo. Segundo Kim e Proschan (1991), o MEP em sua versão não-paramérica, possui algumas vanagens em relação ao esimador padrão da função de sobrevivência (EKM), proposo por Kaplan-Meyer (1958). Por exemplo, ese modelo apresena uma função de sobrevivência conínua, que pode ser de grande ineresse práico, ao conrário do EKM, cuja função de sobrevivência é uma função escada com salos deerminados pelos empos de falha. Além disso, o MEP considera a posição exaa em que os dados censurados são observados, o que não ocorre com o EKM, que só considera o número de observações censuradas enre sucessivos empos de falhas. É 1

imporane salienar ambém que, embora o MEP não-paramérico, por apresenar um número maior de inervalos, forneça uma melhor aproximação para a função axa de falha, exise a inconveniência de se perder a eficiência dos esimadores (clássicos) dos parâmeros associados a cada inervalo, uma vez que as esimaivas são baseadas em um único empo de falha, independenemene do amanho da amosra. Desa forma, surge a necessidade de se buscar uma parição do eixo do empo que possibilie uma boa aproximação para a função axa de falha, sem que se perca a eficiência dos esimadores. Ese é o radicional impasse enre vício e eficiência de esimadores em esaísica clássica. Aumenando-se o número de inervalos, reduz-se o vício dos esimadores. Por ouro lado, reduzindo-se o número de inervalos, ganha-se em eficiência. Uma dificuldade em se uilizar o MEP é jusamene se deerminar uma parição adequada para o eixo do empo. Exise uma vasa lieraura relacionada com o MEP. Ver, por exemplo, Kim e Proschan (1991), Gamerman (1994), Barbosa e. al. (1996), e Ibrahim e. al. (2001). Independenemene da abordagem uilizada, seja ela clássica ou bayesiana, em odos eses rabalhos, a parição do eixo do empo é deerminada de maneira arbirária. Nese rabalho é apresenada uma nova abordagem para o MEP, em que a parição que divide o eixo do empo é considerada aleaória, ornando-se desa maneira um parâmero a ser esimado. A esruura do modelo parição produo (MPP), proposo por Harigan (1990), é uilizada para se esimar a função axa de falha, bem como para se ober a disribuição a poseriori da parição que divide o eixo do empo. Ese rabalho esá organizado da seguine forma: No Capíulo 2 é realizada uma breve revisão sobre o MPP. No Capíulo 3 o modelo proposo é apresenado dealhadamene. Esudos envolvendo dois conjunos de dados simulados são apresenados no Capíulo 4. O Capíulo 5 apresena a análise de dois conjunos de dados reais uilizando-se a meodologia proposa. Finalmene, no Capíulo 6, são apresenadas as considerações finais sobre o rabalho. 2

Capíulo 2 Modelo Parição Produo 2.1 Inrodução Nesa seção é apresenada uma breve revisão sobre o Modelo Parição Produo (MPP), proposo por Harigan (1990), para idenificar ponos de mudança em uma sequência de observações com ponos consecuivos no empo. Uma discussão mais dealhada do MPP e algumas de suas exensões pode ser enconrada em Barry e Harigan (1992), e Loschi e Cruz (2005), e Quinana e Iglesias (2003). 2.2 Consrução do Modelo Parição Produo Seja X 1,X 2,...,X n uma seqüência de observações e considere o conjuno de índices I = {1, 2,...,n}. Considere a parição aleaória ρ = {i 0,i 1,...,i b } do conjuno I, al que 0 = i 0 < i 1 <... < i b = n, e a variável aleaória B, que denoa o número de blocos em ρ. Considere que cada parição divida o conjuno de dados em B = b subsequências coníguas, denoadas por X ij 1 i j = (X ij 1 +1,...,X ij ), para j = 1,...,b. Com a finalidade faciliar o enendimeno e ilusrar a noação que será uilizada nese exo, considere uma amosra consiuída de rês observações obidas seqüencialmene, denoa por X 1,X 2,X 3. Observe que, nese caso, exisem 2 3 1 possíveis maneiras de se dividir a seqüência de observações em blocos coníguos, iso é, há quaro parições possíveis. Na abela abaixo é apresenada a relação enre as possíveis parições e o número observado de blocos associado a cada parição. 3

Tabela 2.1: Relação enre as possíveis parições ρ e o número observado de blocos. Blocos N o de blocos ρ [X 1 ][X 2 ][X 3 ] 3 {0, 1, 2, 3} [X 1, X 2 ][X 3 ] 2 {0, 2, 3} [X 1 ][X 2, X 3 ] 2 {0, 1, 3} [X 1, X 2, X 3 ] 1 {0, 3} Defina por c ij 1 i j, a coesão a priori associada ao bloco [i j 1 i j ] = {i j 1 + 1,...,i j }, para i j 1, i j I {0}, e i j > i j 1. Segundo Barry e Harigan (1992), c ij 1 i j represena o grau de similaridade enre as observações em X ij 1 i j, e pode ser inerpreada como uma probabilidade de ransição da cadeia de Markov definida pelos ponos de mudança quando os dados são sequencialmene observados. Seja p ij i j 1 a probabilidade de ransição do esado i j 1 para i j da cadeia de Markov associada aos ponos de mudança deerminados pela parição aleaória ρ = {i 0,i 1,...,i b }, iso é, p ij i j 1 denoa a probabilidade de haver uma mudança no insane i j, dado que ocorreu uma mudança no insane i j 1. Enão, o conjuno de probabilidades de ransição é um conjuno de coesões e a disribuição de ρ assume a seguine forma produo: b P(ρ = {i 0,i 1,...,i b }) = p ij 1 i j. Segundo Barry e Harigan (1992), qualquer disribuição conjuna das observações e das parições que saisfaça a condição produo para as parições e a condição de independência enre blocos de observações, condicional em ρ, é chamada de modelo parição produo. Em ouras palavras, diz-se que a quanidade aleaória (X 1,...,X n ;ρ), segue o modelo parição produo (MPP), denoado por (X 1,...,X n ;ρ) MPP, se 1. A probabilidade a priori de ρ = {i 0,i 1,...,i b } assume a forma produo, iso é: b P(ρ = {i 0,i 1,...,i b }) = K c ij 1 i j, (2.1) em que c ij 1 i j denoa a coesão associada ao bloco i j 1 i j, e a consane K é escolhida al que a soma sobre odas as parições seja um. Aqui, as coesões assumem valor zero para odos os conjunos que não são formados por ponos coníguos no empo. 4 i=1 i=1

2. Condicional em ρ = {i 0,i 1,...,i b }, a sequência X 1,...,X n em densidade conjuna dada por b f(x 1,...,X n ρ = {i 0,i 1,...,i b }) = f ij 1 i j (X ij 1 i j ). (2.2) Dadas as observações, a parição ρ = {i 0,i 1,...,i b } ambém em disribuição parição produo, com coesões a poseriori dadas por c i j 1 i j = f ij 1 i j (X ij 1 i j )c ij 1 i j. No caso paramérico, considere que a sequência de parâmeros θ 1,...,θ n, definidos sobre um espaço paramérico Θ, assume-se que, condicional em θ 1,...,θ n, as observações X 1,...,X n são independenes, com densidade conjuna dada por f(x i θ i ). A disribuição a priori para θ 1,...,θ n é consruida como segue: 1. Dado ρ = {i 0,i 1,...,i b }, assume-se que a sequência de parâmeros θ 1,...,θ n, é paricionada em b blocos coníguos, nos quais os valores de θ i são comuns, ou seja, θ i = θ ij 1 i j, i j 1 < i i j ; j=1 2. Condicional ρ = {i 0,i 1,...,i b }, assume-se que os parâmeros comuns θ i0 i 1,...,θ ib 1 i b são independenes, e que θ ij 1 i j em densidade a priori dada por π ij 1 i j (θ ij 1 i j ). Consequenemene, a disribuição conjuna das parições e dos parâmeros é um modelo parição produo. Nese caso, a densidade conjuna das observações e dos parâmeros, dado ρ = {i 0,i 1,...,i b }, é dada pelo produo de densidades sobre os diferenes blocos em ρ, iso é, b f(x 1,...,X n ;θ 1,...,θ n ρ = {i 0,i 1,...,i b }) = f ij 1 i j (X ij 1 i j ;θ ij 1 i j ), em que f ij 1 i j (X ij 1 i j ;θ ij 1 i j ) é a densidade associada ao bloco [i j 1 i j ], e é dada por f ij 1 i j (X ij 1 i j ;θ ij 1 i j ) = i j k=i j 1 +1 j=1 f(x k θ ij 1 i j )π ij 1 i j (θ ij 1 i j ). Desa forma, a disribuição conjuna da parição, dos parâmeros e das observações forma um modelo parição produo, e a disribuição conjuna das observações, dado ρ, em a forma produo dada na expressão (2.2), cujo faor dados é dado por i j f ij 1 i j (X ij 1 i j ) = f (X k θ ij 1 i j ) π ij 1 i j (θ ij 1 i j )dθ ij 1 i j, (2.3) Θ k=i j 1 +1 5

com k = 1,...,n, e i j 1,i j I, i j 1 < i j, e que, como pode ser observado, corresponde à disribuição prediiva associada ao bloco [i j 1 i j ]. Para se fazer inferência sobre a parição desconhecida ρ, sobre o número de blocos B, bem como sobre os parâmeros θ 1,...,θ n, é necessário definir-se o ipo de coesão a ser adoada. Nese rabalho serão consideradas quaro escolhas disinas de coesões a priori. Para a coesão 1 será assumido que c ij 1 i j = 1, j = 1, 2,...,b. Noe que, definindose a coesão 1 desa maneira, conseqüenemene, assume-se uma disribuição a priori uniforme para ρ. A coesão 2 será definida como sendo c ij 1 i j = 1 n j, j = 1, 2,...,b, em que n j denoa o número de observações associado ao j-ésimo bloco. A coesão 2, assim definida, esimula a formação de parições com um número maior de blocos, viso que são aribuídas probabilidades maiores àquelas parições cujos blocos coném poucas observações. A coesão 3 será definida omando-se c ij 1 i j = n j, j = 1, 2,...,b. Observe que, ao se definir a coesão 3 desa forma, esá sendo esimulada a formação de parições com um número menor de blocos, uma vez que é dado peso maior àquelas parições cujos blocos são consiuídos por um número maior de observações. É ineressane observar que, as coesões 1, 2 e 3, como definidas acima, são coesões não-paraméricas. Neses casos, as disribuições a priori de ρ e B são, respecivamene, dadas por: b i=1 c i j 1i j P(ρ = {i 0,i 1,...,i b }) = C b i=1 c i j 1i j, (2.4) e P(B = b) = C b i=1 c i j 1 i j C b i=1 c i j 1i j, (2.5) em que C denoa o conjuno de odas as possíveis parições do conjuno I em b blocos coníguos, com ponos finais {i 0,i 1,...,i b } saisfazendo 0 = i 0 < i 1 <... < i b = n, b I, e C, represena o conjuno de odas as parições do conjuno I em exaamene b blocos. Consequenemene, as disribuições a poseriori de ρ e B são, respecivamene, dadas por: 6

b i=1 f i j 1i j (X ij 1i j )c ij 1i j P(ρ = {i 0,i 1,...,i b } X 1,X 2,...,X n ) = b C i=1 f, (2.6) i j 1i j (X ij 1i j )c ij 1i j e, P(B = b X 1,X 2,...,X n ) = C b i=1 f i j 1 i j (X ij 1 i j )c ij 1 i j C b i=1 f i j 1i j (X ij 1i j )c ij 1i j. (2.7) Finalmene, será chamada de coesão 4 a coesão proposa por Yao (1984), definida a seguir. Seja p a probabilidade de que ocorra uma mudança em qualquer insane da sequência de observações. Enão a coesão a priori associada ao bloco [i j 1 i j ] é dada por: p(1 p) i j i j 1 1, se i j < n c [ij 1 i j ] = (1 p) i j i j 1 1, se i j = n (2.8) para j = 1,...,b, i j 1,i j I, com i j 1 < i j, e que corresponde a probabilidade de que uma nova mudança ocorra após i j i j 1 insanes, dado que ocorreu uma mudança no insane i j 1. Enão, condicional em p, as disribuições a priori de ρ e B são, respecivamene, dadas por: P(ρ = {i 0,i 1,...,i b } p) = p b 1 (1 p) n b,b I, (2.9) para oda parição {i 0,i 1,...,i b } saisfazendo 0 = i 0 < i 1 <... < i b = n, e em que C n 1 b 1 P(B = b p) = C n 1 b 1 pb 1 (1 p) n b,b I, (2.10) denoa o número de parições disinas do conjuno I em b blocos coníguos. Consequenemene, se uma disribuição a priori π(p) é assumida para p, enão as disribuições a poseriori de ρ e B são, respecivamene, dadas por: e, P(ρ = {i 0,i 1,...,i b } X 1,X 2,...,X n ) = P(B = b X 1,X 2,...,X n ) = C n 1 b 1 b f ij 1 i j (X ij 1 i j ) j=1 b f ij 1 i j (X ij 1 i j ) j=1 7 1 0 1 0 p b 1 (1 p) n b π(p)dp, (2.11) p b 1 (1 p) n b π(p)dp. (2.12)

Para se fazer inferência sobre os parâmeros θ 1,...,θ n obém-se, inicialmene, a disribuição a poseriori por bloco dos parâmeros, com base nas observações em cada bloco, iso é, π(θ ij 1 i j X ij 1 i j ) f ij 1 i j (θ ij 1 i j X ij 1 i j )π(θ ij 1 i j ). (2.13) Finalmene, em-se que, condicional em X, a disribuição a poseriori de θ k, k = 1,..., n, é uma misura de densidades a poseriori associadas aos diferenes blocos que incluem θ k, ponderadas pelas relevâncias a poseriori, ou seja, π(θ k X) = i j 1 <k i j π(θ k X ij 1 i j )r([i j 1 i j ] X), (2.14) em que r([i j 1 i j ] X) denoa a probabilidade a poseriori do bloco [i j 1 i j ] aparecer na parição ρ = {i 0,i 1,...,i b }, e é obida da seguine forma: com λ ij 1 i j r([i j 1 i j ] X) = λ i 0 i j 1 c i j 1 i j λ ij i b λ i0 i b, (2.15) = b k=1 c i k 1 i k, em que a soma é feia sobre odas as parições de {i j 1 +1,...,i j } em b blocos, com ponos finais i 1,...,i b saisfazendo a condição i j 1 = i 0 < i 1 <... < i b = i j. A esimaiva produo de θ k, k = 1,...,n, é, enão, definida como o valor esperado da disribuição a poseriori de θ k, e é dada por: θ k = E(θ k X 1,...,X n ) = i j 1 <k i j r([i j 1 i j ] X)E(θ k X ij 1 i j ). (2.16) Observação: O cálculo direo de r([i j 1 i j ] X) requer grande esforço compuacional. Yao (1984) propõe um algorimo recursivo para o cálculo exao das relevâncias a poseriori. Na Seção 3.6 serão apresenados dois algorimos para a obenção das esimaivas produo que dispensam o cálculo direo da relevância e que serão adoados nese rabalho. 8

Capíulo 3 Modelo Exponencial por Pares via Modelo Parição Produo 3.1 Inrodução Nese capíulo será inroduzido o Modelo Exponencial por Pares (MEP) via Modelo Parição Produo. Exise uma exensa lisa de rabalhos envolvendo o MEP na lieraura. Por exemplo, Kim e Proschan (1991) apresenam o MEP em sua versão não-paramérica, e uilizam o méodo da máxima verossimilhança para esimar a função axa de falha em cada inervalo definido pelos empos de falha observados. Gamerman (1994) apre-sena uma abordagem bayesiana do MEP não-paramérico em que é assuminda uma relação esocásica enre sucessivos inervalos. Barbosa, Colosimo e Louzada- Neo (1996) consideram, aravés da abordagem de modelos lineares generalizados (frequenisa), um modelo de regressão para analisar dados de eses de vida acelerados considerando o MEP paramérico. Em Ibrahim e. al. (2001) é apresenada, em uma abordagem bayesiana, o MEP (parámero), com a presença de covariáveis no modelo. No enano, em odos eses rabalhos, independenemene da abordagem uilizada, seja ela freqüenisa ou bayesiana, a parição que divide o eixo do empo é definida arbirariamene, lembrando-se que o MEP não-paramérico pode ser obido como o caso paricular do MEP paramérico em que se em um único empo de falha associado 9

a cada inervalo. Com o objeivo de se resolver ese problema, nese capíulo será apresenada, em uma abordagem bayesiana, uma nova versão do MEP, em que se considera a parição que divide o eixo do empo como um parâmero a ser esimado. Na Seção 3.2 será apresenado o MEP na versão paramérica. Na Seção 3.3 será realizada uma revisão sobre Modelo proposo por Kim e Proschan (1991), que será uilizado nos Capíulos 4 e 5 na comparação dos resulados fornecidos pelo modelo proposo. Na Seção 3.4 será mosrado como o MEP pode ser nauralmene escrio na forma produo a parir da meodologia apresenada na Seção 2.2. Méodos inferenciais serão discuidos na Seção 3.5. Finalmene, na Seção 3.6 serão apresenados méodos compuacionais para a obenção das esimaivas produo associadas aos parâmeros de ineresse. 3.2 Modelo Exponencial por Pares (MEP) Seja T uma variável aleaória não-negaiva represenando o empo aé a ocorrência de um eveno de ineresse, aqui denominado empo de falha. Considere uma parição finia e arbirária {s 1,...,s k } de R +, al que 0 = s 0 < s 1 < s 2 <... < s k <, com s k >, para algum observado, com > 0, e admia que al parição divida o eixo do empo R + em k inervalos disjunos, denoados por I 1 = (s 0,s 1 ],I 2 = (s 1,s 2 ],...,I k = (s k 1,s k ]. O MEP é caracerizado pela aproximação da função axa de falha, h(), aravés de segmenos de reas definidos pelos inervalos deerminados pela parição {s 1,...,s k }, iso é, assume-se que, em cada inervalo I j = (s j 1,s j ], j = 1,...,k, a função axa de falha é consane, e denoada por h() = θ j, θ j > 0, I j. Consequenemene, a função axa de falha acumulada, H(), associada ao j-ésimo inervalo, I j = (s j 1,s j ], é dada pela soma das áreas dos reângulos, cujas bases são deerminadas pelos inervalos definidos pela parição {s 1,...,s k }, e com aluras dadas pela função axa de falha, h(), ou seja, H() = j 1 r=1 θ r(s r s r 1 ) + θ j ( s j 1 ), para I j. Logo, a função de 10

sobrevivência é dada por: exp { θ 1 },se I 1 ; { [ S( θ 1,...,θ k ) = j 1 ]} exp θ r (s r s r 1 ) + θ j ( s j 1 ), se I j, j > 1, com θ j > 0, j = 1,...,k. r=1 (3.1) Consequenemene, a função densidade de probabilidade da disribuição exponencial por pares é dada por: θ 1 exp { θ 1 ()},se I 1 ; { [ f( θ 1,...,θ k ) = j 1 ]} θ j exp θ r (s r s r 1 ) + θ j ( s j 1 ), se I j, j > 1, com θ j > 0, j = 1,...,k. r=1 (3.2) Considere agora o veor de observações com a presença de censura, T = [X,X ], em que X = [X 1,...,X n ] denoa o veor associado aos empos de falha, aqui assumidos odos disinos, e X = [X 1,...,X m] represena o veor de empos de censura, provenienes de um mecanismo de censura à direia. Assuma que os empos de falha não dependam do mecanismo de censura e que as observações são independenes. Considere uma parição arbirária do empo, {s 1,...,s k }, que divida o empo em k inervalos, de al forma que haja pelo menos um empo de falha em cada inervalo. Denoe por n j o número de observações (falhas e censuras) associadas ao j-ésimo inervalo e assuma que a disribuição dos empos de falha pode ser aproximada pela disribuição exponencial por pares definida pela parição {s 1,...,s k }. Enão, a função de verossimilhança associada ao j-ésimo inervalo, I j, é dada por: n j l=1 n j L(θ 1,...,θ k,i j ;T) = h( θ j ) δ l S( θ 1,...,θ k ) = θ δ l j { exp [ j 1 l=1 ]} θ r (s r s r 1 ) + θ j ( l s j 1 ). r=1 Logo, a função de verossimilhança associada ao veor de observações T, é dada pelo produo de verossimilhanças sobre os diferenes inervalos deerminados pela parição {s 1,...,s k }, iso é, L(θ 1,...,θ k ;T) = n k j { } i 1 θ δ l i exp θ r (s r s r 1 ) θ i ( l s j 1 ). (3.3) j=1 l=1 r=1 11

Noe que, definida a parição {s 1,...,s k }, uma esruura produo surge nauralmene na função de verossimilhança associada ao veor de observações T. Na Seção 3.4, essa caracerísica do MEP será explorada, a fim de que a meodologia apresenada na Seção 2.2 possa ser uilizada na consrução do MEP. 3.3 Modelo Proposo por Kim e Proschan Kim e Proschan (1991) propuseram uma abordagem (freqüenisa) para se esimar a função de sobrevivência uilizando-se o MEP não-paramérico. Nesa seção será realizada uma brevemene revisão sobre o modelo proposo por Kim e Proschan (MKP). O MKP será uilizado nos Capíulos 4 e 5 para se esimar a função axa de falha e comparar as esimaivas obidas com as esimaivas fornecidas pelo modelo proposo. Maiores dealhes sobre esa abordagem podem ser enconrados em Kim e Proschan (1991). Considere novamene o veor de observações (ordenadas) T = [X,X ], em que X = [X 1,...,X n ] denoa o veor associado aos empos de falha e X = [X1,...,X m] represena o veor de empos de censura, como definido na Seção 3.2. Considere ambém que a parição formada pelo conjuno de inervalos disjunos do eixo do empo seja al que cada inervalo conenha exaamene um único empo de falha, iso é: I 1 = (0,X 1 ],I 2 = (X 1,X 2 ],...,I n = (X n 1,X max ], em que X max = max{x n,xm}, com X n e Xm denoando o maior empo de falha e de censura, respecivamene. Enão, a função axa de falha é obida esimando-se separadamene a axa de falha em cada inervalo deerminado pelos sucessivos empos de falhas. A axa de falha associada ao k-ésimo inervalo, k = 1,...,n, é esimada omando-se a razão enre o número de falhas observadas no k-ésimo inervalo e o empo oal sobre ese observado durane k-ésimo inervalo, e corresponde à esimaiva de máxima verossimilhança para θ k. Para se ilusrar o méodo, considere o veor de observações ordenadas T = [X 1,X2,X 3,X 4,X5,X 6,X 7 ], em que denoa observação censurada. Nese caso, 12

em-se que a parição do eixo do empo é deerminada pelos seguines inervalos: I 1 = (0,X 1 ],I 2 = (X 1,X 4 ],I 3 = (X 4,X 6 ],I 4 = (X 6,X 7 ], e as respecivas esimaivas para a axa de falha associadas a cada inervalo são dadas por: θ 2 = θ 1 = 1 7(X 1 0), 1 6(X 2 X 1 ) + 5(X 3 X 2) + 4(X 4 X 3), θ 3 = 1 3(X 5 X 4 ) + 2(X 6 X 5), θ 4 = 1 1(X 7 X 6 ). 3.4 Consrução do Modelo Exponencial por Pares via Modelo Parição Produo Uma das dificuldades em se uilizar o MEP esá em se definir a parição {s 1,...,s k } a ser uilizada. Em geral, a parição é escolhida de maneira arbirária. Nesa seção será considerado que a parição que divide o eixo do empo é aleaória e, porano, um parâmero a ser esimado. Como foi viso na Seção 3.2, uma vez definida a parição do eixo do empo, a função das verossimilhança é nauralmene faorada como o produo de verossimilhanças sobre os diferenes inervalos associados à parição {s 1,...,s k }. Para se garanir que haja pelo menos um empo de falha em cada inervalo, considere apenas os empos de falha ordenados, X 1,...,X n, aqui assumidos odos disinos, e o conjuno de inervalos disjunos do eixo do empo, deerminados pelos empos de falha, al que cada empo de falha origine um inervalo, como definido a seguir: I 1 = (0,X 1 ],I 2 = (X 1,X 2 ],...,I n = (X n 1,X max ], em que X max = max{x n,xm}, com X n e Xm denoando o maior empo de falha e de censura, respecivamene. Assuma que, em cada inervalo I j = (X j 1,X j ], j = 1,...,n, a função axa de falha é consane, e denoada por h() = θ j, θ j > 0, I j. Assuma ambém que a 13

disribuição dos empos de falha pode ser aproximada pela disribuição exponencial por pares, cuja densidade é dada por (3.2). Para se inroduzir a esruura de agrupameno, considere a parição aleaória ρ = {i 0,i 1,...,i b } do conjuno de índices I = {1, 2,...,n} que indexa os inervalos deerminados pelos empos de falha, I 1,...,I n, al que 0 = i 0 < i 1 <... < i b = n, e a variável aleaória B, que denoa o número de blocos em ρ. Enão, dado ρ = {i 0,i 1,...,i b }, os inervalos I 1,...,I n são agrupados em b blocos coníguos, iso é, I i0 i 1 = (X i0,x i1 ],...,I ij 1 i j = (X ij 1,X ij ],...,I ib 1 i b = (X ib 1,X ib ], em que X ij,j = 1,..., b, denoa o úlimo empo de falha observado em cada inervalo, com X i0 = 0 e X ib = X max. Observe que, definindo-se a esruura de agrupameno desa maneira, os blocos passam a represenar inervalos disjunos do empo, possibiliando, desa forma, a inclusão de observações censuradas. Seja T ij 1 i j inervalo, I ij 1 i j o veor de observações (falhas e censuras) perencenes ao j-ésimo = (X ij 1,X ij ], e n j o número de observações em I ij 1 i j. Assuma que observações perencenes a diferenes inervalos sejam independenes, e que, em cada inervalo, as observações sejam independenes e idenicamene disribuídas, com função axa de falha associada ao j-ésimo inervalo dada por h() = θ ij 1 i j, i j 1 < i < i j, i = 1,...,n, e h() mudando após os ponos i j, j = 1,..., b - 1. Desa forma, a função de verossimilhança associada às observações (falhas e censuras), dado ρ = {i 0,i 1,...,i b }, é dada pelo produo de verossimilhanças sobre os diferenes inervalos associados a ρ, ou seja, em que θ i j 1i j L(θ 1,...,θ n,ρ;t) = b L(θ i j 1i j ;T ij 1 i j ), (3.4) j=1 = (θ i0 i 1,θ i1 i 2,...,θ ij 1 i j ) denoa o veor de parâmeros associado ao j-ésimo inervalo, cuja função de verossimilhança dada por: n j = k=1 θ δ k i j 1 i j exp nj L(θ i j 1i j ;T ij 1 i j ) = h( k θ ij 1 i j )S( k θ i j 1i j ) k=1 { } j 1 θ ir 1 i r (X ir X ir 1 ) θ ij 1 i j ( k X ij 1 ). (3.5) r=1 14

Definida a função de verossimilhança do modelo desa maneira, para que a esruura de MPP possa ser uilizada, basa assumir-se uma disribuição produo para a parição aleaória ρ, e definir-se a disribuição dos parâmeros comuns θ ij 1 i j, j = 1,...,b. Assim, com ese objeivo, assume-se que: 1. A probabilidade a priori de ρ = {i 0,i 1,...,i b } é dada por b π(ρ = {i 0,i 1,...,i b }) = K c ij 1 i j, em que c ij 1 i j denoa coesão a priori associada ao j-ésimo inervalo, como definido na Seção (2.2); 2. Dado ρ = {i 0,i 1,...,i b } os parâmeros θ i0 i 1,θ i1 i 2,...,θ ib 1 i b, são independenes, e será assumido que a disribuição a priori de θ ij 1 i j, j = 1,...,b, é a disribuição Gama com parâmeros α ij 1 i j e β ij 1 i j, cuja densidade é dada por: j=1 π ij 1 i j (θ ij 1 i j ) = com α ij 1 i j > 0, β ij 1 i j > 0 e θ ij 1 i j > 0. βαij 1ij i j 1 i j Γ ( )θ αij 1ij 1 i α j 1 i j exp { } β ij 1 i j θ ij 1 i j, (3.6) ij 1 i j Segundo Ibrahim e. al. (2001), a disribuição Gama é uma escolha comum para a disribuição a priori da função axa de falha h() = θ ij 1 i j, para I ij 1 i j, j = 1,...,b. Tal escolha se jusifica pelo fao desa disribuição ser a disribuição conjugada naural da disribuição exponencial, que corresponde a disribuição em cada inervalo I ij 1 i j, simplificando sobremaneira os cálculos. Desa forma, o faor dados associado ao bloco [i j 1 i j ], uilizado nos cálculos da disribuição a poseriori de ρ, é dado por: f ij 1 i j (X ij 1 i j ) = = βαij 1ij i j 1 i j Γ ( α ij 1 i j ) 0... [ nj 0 ] L( k θ i j 1i j ) π ij 1 i j (θ i j 1i j )dθ i j 1i j k=1 Γ ( n j k=1 δ ) k + α ij 1 i j [ βij 1ij + n j k=1 ( k X ij 1 ) ]Pnj j 1 β α i r 1 ir i r 1 i r [nj ] (X ir X ir 1) + β. αir 1 ir ir 1i r r=1 k=1 δ k+α ij 1 i j 15

3.5 Méodos Inferenciais Para se fazer inferência sobre as axas de falha θ 1,...,θ n, deve-se ober, inicialmene, a disribuição a poseriori associada a cada inervalo I ij 1 i j, j = 1,...,b. Das expressões (3.5) e (3.6), segue que a disribuição a poseriori associada ao j-ésimo inervalo, I ij 1 i j, é dada por: Pn j θ π ij 1 i j (θ ij 1 i j T ij 1 i j ) L(T ij 1 i j θ i j 1i j )π ij 1 i j (θ i j 1i j ) k=1 δ k+α ij 1 i j 1 i j 1 i j { [ n j ] } exp β ij 1 i j + ( k X ij 1 ) θ ij 1ij, (3.7) que corresponde ao núcleo da disribuição Gama com parâmeros n j k=1 δ k + α ij 1 i j e β ij 1 i j + n j k=1 ( k X ij 1 ). Enão, a disribuição a poseriori de θ k, k = 1,...,n, é obida subsiuindo-se a expressão (3.7) em (2.14). Conseqüenemene, as esimaivas produo de θ k, k = 1,...,n, são obidas de (2.16) e (3.7) da seguine forma: θ k = E(θ k T ij 1 i j ) = nj k=1 r([i j 1 i j ] X) δ k + α ij 1 i j β i j 1 <k i ij 1 i j + n j j k=1 ( k X ij 1 ). (3.8) 3.6 Méodos Compuacionais Nesa Seção serão apresenados os algorimos baseados no amosrador de Gibbs proposos por Barry e Harigan (1993) e Ponel (2005), para a obenção das disribuições a poseriori de ρ e θ k, k = 1,...,n, bem como das esimaivas produo, uilizando-se Gibbs Sampling. Barry e Harigan (1993) propuseram um méodo alernaivo ao méodo proposo por Yao (1984) para a obenção das esimaivas produo em que não é necessário o cálculo direo das relevâncias a poseriori, como definido em (2.15). Embora o méodo proposo por Barry e Harigan simplifique o compo das relevâncias a poseriori e, consequenemene, a obenção das esimaivas produo, a única informação a poseriori disponível uilizando-se ese méodo é a esimaiva produo, ou seja, uma esimaiva ponual. É imporane observar ainda que, em siuações em que a disribuição a poseriori é assimérica, ou bimodal, por exemplo, a média a poseriori pode não fornecer esimaivas adequadas. Visando conornar ese problema, Ponel (2005) 16 k=1

propôs um méodo com o qual é possível se ober amosras das disribuições a poseriori θ k, k = 1,...,n, ornando possível a obenção de ouras medidas de ineresse da disribuição a poseriori, como por exemplo, mediana, moda, variância e inervalos de credibilidade. Dada a dificuldade em se amosrar direamene da disribuição condicional complea de ρ, para se conornar ese problema é considerada a variável aleaória auxiliar U i sugerida por Barry e Harigan (1993), que reflee se a i-ésima observação é um pono de mudança, ou seja, 1, se θ i = θ i+1 U i =, 0, se θ i θ i+1 para i = 1,...,n 1. Noe que a parição aleaória ρ = {i 0,i 1,...,i b } pode ser represenada pelo veor aleaório U = (U 1,...,U n 1 ). A geração do veor U s = (U s 1,...,U s n 1), s 1, pode ser feia uilizando-se Gibbs Sampling, como será apresenado a seguir. Inicie aribuindo valores iniciais para U 0 = (U 0 1,...,U 0 n 1). O r-ésimo elemeno de U s, denoado por U s r, é gerado a parir da disribuição condicional para r = 1,...,n 1. U s r U s 1,...,U s r 1,U s r+1,...,u s n 1;X 1,...,X n, Para se gerar amosras de U, uiliza-se a razão R s r = P(Us r = 1 A s ;X 1,...,X n ) P(U r = 0 A s ;X 1,...,X n ), em que r = 1,...,n 1, e A s = {U s 1 = u 1,...,U s r 1 = u r 1,U s 1 r+1 = u r+1,...,u s 1 n 1 = u n 1 }. Consequenemene, um criério para se escolher o valor de U s r, r = 1,...,n 1, é dado por: 1, se R Ur s r s w 1 w = 0, caso conrário para r = 1,...,n 1, e w é um valor gerado da disribuição U(0, 1). Quando as coesões não-paraméricas são uilizadas, cada valor de R s r pode ser gerado uilizando-se: R s r = f xy (X xy )c xy = c xy, f xr (X xr )f ry (X ry )c xr c ry c xrc ry 17

em que max{i : 0 < i < r}, se Ui s = 0, para algum i {i,...,r 1} x = 0, caso conrário, e, min{i : r < i < n}, se U s 1 i = 0, para algum i {r + 1,...,n 1} y = n, caso conrário Observação: Segundo Loschi e Cruz (2005), se a coesão paramérica proposa por Yao (1984) é adoada (coesão 4), e se uma disribuição a priori Bea(λ,γ), λ > 0 e γ > 0, é adoada para se descrever a incereza inicial sobre p, enão o valor de R s r orna-se: R s r = f xy(x xy )Γ(n + γ + b + 1)Γ(b + λ 2) f xr (X xr )f ry (X ry )Γ(b + λ 1)Γ(n + γ b). Nese caso, cada valor da disribuição a poseriori de p pode ser obido via Gibbs Sampling da seguine disribuição Bea: p s ρ,θ,x [0n] Bea(λ + b s 1,n + γ b s ), (3.9) para s 1, com b s denoando o número de blocos associado ao s-ésimo veor U. 3.6.1 Algorimo de Barry & Harigan As esimaivas produo podem ser obidas uilizando-se o algorimo de Barry e Harigan (1993) da seguine forma. Para cada elemeno gerado ρ s, com s = 1,...,T, em que T denoa o número de ierações da cadeia, o s-ésimo valor de θ k, é esimado pela média a poseriori associada ao j-ésimo inervalo, I ij 1 i j, iso é: nj θ k s k=1 = δ k + α ij 1 i j β ij 1 i j + n j k=1 ( k X ij 1 ), (3.10) para k = i = 1,...,j, i < j = 2,...,n. Enão, a esimaiva produo de θ k pode ser aproximada calculando-se a média ariméica das médias a poseriori de θ k, obidas em (3.10), ou seja, a esimaiva produo de θ k é esimada por: para k = 1,...,n. T s=1 θ k = θ k s, (3.11) T 18

3.6.2 Algorimo proposo por Ponel O algorimo proposo por Ponel (2005) é uma adapação do algorimo proposo por Barry e Harigan (1993). Considere uma amosra de amanho T da parição aleaória ρ. Para cada elemeno gerado ρ s, com s = 1,...,T, gera-se um valor da disribuição condicional complea de θ k definida em (3.7), iso é, θ k s π ij 1 i j (θ ij 1 i j T ij 1 i j ). (3.12) Desa forma, ao final de T ierações da cadeia, em-se uma amosra aleaória da disribuição a poseriori de θ k, com k = 1,...,n. Consequenemene, ao passo que o algorimo proposo por Barry & Harigan fornece apenas uma esimaiva ponual para os parâmeros de ineresse, ese algorimo permie a obenção de ouras medidas de ineresse além da média a poseriori, como por exemplo, a moda, a variância e a mediana e inervalos de credibilidade. Além disso, é possível fazer-se uma análise gráfica da disribuição a poseriori associada a cada parâmero θ k, k = 1,...,n, enriquecendo desa forma a análise. 19

Capíulo 4 Resulados e Discussão 4.1 Inrodução Nese capíulo serão apresenados e discuidos os resulados obidos uilizando-se a meodologia proposa para dois conjuno de dados gerados segundo a disribuição Weibull. Para o primeiro conjuno de dados analisado considerou-se uma função axa de falha crescene, e para o segundo foi considerada uma função axa de falha decrescene. Em ambos os casos, será realizada uma análise de sensibilidade do modelo considerando-se diferenes escolhas de disribuições a priori para a axa de falha e as quaro coesões a priori mencionadas na Seção 2.2, apresenadas na Tabela 4.1 a seguir. Uma comparação enre os resulados obidos uilizando-se o modelo proposo com os resulados associados ao modelo proposo por Kim e Proschan (MKP), ambém será realizada. Tabela 4.1: Coesões a priori uilizadas. c ij 1 i j Coesão 1 1 Coesão 2 1/n j Coesão 3 n j Coesão 4 coesão de Yao (1984) Ambos os conjunos de dados considerados coném 60 observações e foram gerados assumindo-se um percenual de censura em orno de 15%. Para a implemenação do 20

algorimo Gibbs Sampling foram geradas cadeias com 15 mil ierações, com um período de burn-in de 5 mil ierações, denro do qual foi possível verificar-se convergência. Para se eviar a correlação enre as observações foi uilizado lag 10, resulando em amosras finais de mil observações. Como mencionado na Seção 3.4, assumiu-se que a disribuição a priori para a axa de falha θ ij 1 i j j = 1,...,b, associada a cada inervalo de empo deerminado pela parição aleaória ρ, segue uma disribuição Gama(α ij 1 i j,β ij 1 i j ), j = 1,...,b. Para se deerminar os hiperparâmeros α ij 1 i j e β ij 1 i j, opou-se por se assumir a mesma disribuição a priori em cada inervalo, ou seja, θ ij 1 i j Gama(α,β), para j = 1,...,b. Os hiperparâmeros α e β foram eliciados omando-se a média da disribuição a priori das axas de falha como sendo aproximadamene a média da função axa de falha eórica, calculada com base nas observações geradas, e considerando-se diferenes escolhas de variâncias a priori para a axa de falha. Para a geração das amosras, bem como a implemenação do Gibbs Sampling, opou-se por se uilizar a linguagem Ox (Doornik, 1999). A análise dos resulados obidos aravés das simulações foi realizada uilizando-se o sofware R 2.1.1 (R Developmen Core Team, 2005). No compo das esimaivas produos opou-se por se uilizar o méodo proposo por Ponel (2005), pois ese méodo possibilia a obenção de várias medidas de ineresse associadas à disribuição a poseriori da função axa de falha, como discuido na Seção 3.6, e apresena, em geral, resulados basane similares aos resulados fornecidos pelo méodo proposo por Barry e Harigan (1993) para as esimaivas produo. Para se avaliar a qualidade das esimaivas da função axa de falha fornecidas pelo modelo proposo será uilizado o erro quadráico, obido calculando-se a soma do quadrado das disâncias enre cada esimaiva produo e o valor real da axa de falha. O erro quadráico ambém será uilizado na comparação das esimaivas para a função axa de falha fornecidas pelo modelo proposo e pelo MKP. Para os casos em que a coesão 4 (coesão paramérica) é uilizada, assumiu-se que a probabilidade p de mudança em qualquer insane em disribuição Bea(50, 50) a priori. Tal disribuição concenra sua massa em orno de p = 0.5. Iso significa que a priori espera-se que ocorram (n 1) α +1 ponos de mudança. Para maiores dealhes α+β sobre a escolha da disribuição a priori para p e seus efeios sobre as esimaivas 21

produo, ver Loschi, Basos e Iglesias (2004). A fim de não sobrecarregar o exo com abelas e figuras e ornar a leiura mais agradável, nese capíulo serão apresenadas a comparação enre os resulados fornecidos pelo modelo proposo e o MKP para dois casos: no primeiro (caso 2) será considerado o caso em que se em uma disribuição a priori razoavelmene informaiva para a axa de falha; e no segundo (caso 4), será raado o caso em que se em uma disribuição a priori pouco informaiva (com variância grande) para a axa de falha. Ouras abelas e figuras referenes a eses e aos demais casos considerados podem ser enconradas no apêndice A. 4.2 Função Taxa de Falha Crescene Nesa seção são apresenados e discuidos os resulados obidos para um conjuno de 60 observações geradas de uma disribuição Weibull com função axa de falha crescene, com parâmero de escala 5 e de forma 8. Para a amosra gerada foram observados 52 empos de falha e 8 empos censurados, resulando num percenual de 13,33% de censura. Na Tabela 4.2 são apresenadas algumas esaísicas descriivas referenes a função axa de falha real, obidas com base na amosra gerada. Tabela 4.2: Esaísicas descriivas associadas à função axa de falha real - caso crescene. Mínimo 1 o Quaril Mediana Média 3 o Quaril Máximo Var 0,1493 2,0560 6,3260 7,6210 11,2000 26,390 39,45842 A Tabela 4.3 fornece as disribuições a priori para a função axa de falha que serão uilizadas nesa seção. As coesões a priori assumidas aqui são apresenadas na Tabela 4.1. As Figuras 4.1 e 4.2 fornecem as esimaivas produo da função axa de falha para as diferenes escolhas de coesões a priori apresenadas na Tabela 4.1, e para as diferenes disribuições a priori para a axa de falha fornecidas pela Tabela 4.3. Analisando-se as Figuras 4.1 e 4.2 verifica-se que o modelo proposo se mosra basane sensível à escolha da disribuição a priori para a axa de falha. Noa-se que, 22

Tabela 4.3: Disribuição a priori para as axas de falha - caso crescene. Caso α β E[θ] V ar[θ] 1 7,5 1 7,5 7,5 2 0,75 0,1 7,5 75 3 0,075 0,01 7,5 750 4 0,0075 0,001 7,5 7500 coesão 1 coesão 2 h() 0 10 20 30 40 caso 1 caso 2 caso 3 caso 4 h() h() 0 10 20 30 40 caso 1 caso 2 caso 3 caso 4 h() 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 coesão 3 coesão 4 h() 0 10 20 30 40 caso 1 caso 2 caso 3 caso 4 h() h() 0 10 20 30 40 caso 1 caso 2 caso 3 caso 4 h() 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Figura 4.1: Esimaivas produo para a função axa de falha para diferenes coesões a priori - caso crescene. para o caso 1, cuja disribuição a priori para a axa de falha é a mais informaiva denre odos os cenários considerados, iso é, apresena a menor variância a priori, as esimaivas produo para a função axa de falha permaneceram praicamene consane ao longo do empo. Para o caso 2, que apresena uma disribuição a priori razoavelmene informaiva (noe que a variância a priori assumida nese caso é a que mais se aproxima da variância observada para a função axa de falha real, fornecida 23

caso 1 caso 2 h() 0 10 20 30 40 coesão 1 coesão 2 coesão 3 coesão 4 h() h() 0 10 20 30 40 coesão 1 coesão 2 coesão 3 coesão 4 h() 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 caso 3 caso 4 h() 0 10 20 30 40 coesão 1 coesão 2 coesão 3 coesão 4 h() h() 0 10 20 30 40 coesão 1 coesão 2 coesão 3 coesão 4 h() 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Figura 4.2: Esimaivas produo para a função axa de falha para diferenes disribuições a priori para a axa de falha - caso crescene. na Tabela 4.2), o modelo proposo forneceu esimaivas para função axa de falha muio próximas da função axa de falha real. Para os casos 3 e 4, cujas disribuições a priori para a função axa de falha são pouco informaivas (no senido de apresenarem variâncias grandes a priori), observa-se que as esimaivas fornecidas pelo modelo proposo endem a se disanciar da função axa de falha real. Noe que, para odos os casos considerados acima, a esimaiva a priori para a axa de falha em cada inervalo é 7,5. No caso 1, cuja disribuição a priori para a axa de falha apresena a menor variância a priori, as esimaivas produo para a axa de falha, independenemene do ipo de coesão a priori adoado, apresenaram valores aproximadamene consanes e ligeiramene superiores (em orno de 8,5) à esimaiva a priori de 7,5 para axa de falha. Nos demais casos considerados, cujas disribuições a priori são mais flexíveis (no senido de apresenarem maiores variâncias a priori), as esimaivas produo apresenaram valores aproximadamene consanes e inferiores a 24

7,5 para os empos iniciais (em orno de 3,5), seguidos de um crescimeno praicamene conínuo na direção dos úlimos empos de falha observados, acompanhando a inclinação mais acenuada da função axa de falha eórica observada para os empos finais. No ocane ao ipo de coesão a priori adoado (ver Figura 4.2), os quaro ipos de coesões considerados apresenaram resulados basane similares para as esimaivas produo da função axa de falha, independenemene da disribuição a priori assumida para a função axa de falha. Na Tabela 4.4 são apresenados os erros quadráicos associados às esimaivas fornecidas pelo modelo proposo para a função axa de falha referenes a odas as siuações esudadas aqui. A Figura 4.3 apresena as esimaivas produo para a função axa de falha referenes aos casos 2 e 4, respecivamene, associadas às diferenes escolhas de coesões a priori, e as esimaivas fornecidas pelo MKP. Tabela 4.4: Erro quadráico associado às esimaivas da função axa de falha - caso crescene Coesões Caso 1 2 3 4 1 2008,019 2003,784 2023,373 2009,551 2 563,0546 952,2238 665,7358 685,9812 3 1376,851 1167,609 1775,802 1749,592 4 1266,601 1558,720 1127,525 1352,868 Noe que (ver Tabela 4.4) as esimaivas produo associadas ao caso 2, cuja disribuição a priori para a axa de falha é razoavelmene informaiva, apresenaram o menor erro quaráico denre os casos considerados na Tabela 4.3, independenemene do ipo de coesão a priori assumido. Tal resulado indica que um bom desempenho do modelo depende não só da qualidade da informação disponível a priori como ambém da quanidade de incereza (iso é, o amanho da variância) associada à disribuição a priori para axa de falha. O erro quadráico da esimaiva da função axa de falha associada ao MKP, nese caso, é EQ(MKP)=344823.1. Noe que a esimaiva da função axa de falha associada ao MKP apresenou erro quadráico superior às esimaivas fornecidas pelo modelo proposo em odos os cenários considerados na Tabela 4.3, independenemene da 25