Modelos para Dados de Contagem com Estrutura Temporal

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1 Modelos para Dados de Conagem com Esruura Temporal João Baisa de Morais Pereira Universidade Federal do Rio de Janeiro Insiuo de Maemáica Deparameno de Méodos Esaísicos 2010

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3 P436 Pereira, João Baisa de Morais Modelos para dados de conagem com esruura emporal / João Baisa de Morais Pereira. -- Rio de Janeiro : IM/UFRJ, xix,162f. : il. ;30 cm. Orienador: Alexandra Mello Schmid e Helio dos Sanos Migon. Disseração (mesrado) UFRJ/IM. Programa de pós-graduação em Esaísica, Referências: f Teoria da decisão esaísica bayesiana -Tese. 2.processos de markov - Tese. Schmid, Alexandra Mello. II. Migon, Helio dos Sanos. III.Universidade Federal do Rio de Janeiro. Insiuo de Maemáica. CDD 20 a : iii

4 Aos meus pais, pela educação, exemplo e incenivo que sempre me deram. iv

5 A esrada em frene vai seguindo Deixando a pora onde começa. Agora longe já vai indo, Devo seguir, nada me impeça; Por seus percalços vão meus pés, Aé a junção com a grande esrada, De muias sendas aravés. Que vem depois? Não sei mais nada. (Trecho de O Senhor dos Anéis - J. R. R. Tolkien) v

6 Agradecimenos Em primeiro lugar, agradeço a Deus pelo Seu amor, misericórdia e providência (muias vezes disfarçada de aleaoriedade) na minha vida. Por esar comigo em odos os momenos, mesmo naqueles em que eu não soube reconhecer Sua presença, renovando minha esperança e me moivando a coninuar. Agradeço pelas oporunidades únicas que fez surgir na minha vida e pelas pessoas maravilhosas que colocou no meu caminho. À Nossa Senhora, agradeço pela sua inercessão consane e pelas graças que sempre derramou e coninua derramando na minha vida. Agradeço à minha irmã Josiane e minha sobrinha Kassiane, a quem muias vezes deixei na mão na hora das brincadeiras, por esar ocupado esudando. De forma muio especial, agradeço aos meus pais, Laurinda e Fruuozo, que são os responsáveis por eu er chegado aé aqui aravés do apoio e incenivo que sempre me deram, da educação que sempre me proporcionaram, do amor que sempre me dispensaram e dos sacrifícios que sempre fizeram e ainda fazem por mim. Agradeço pelos momenos de preocupação e por comparilharem comigo minhas conquisas como se fossem deles próprios. Obrigado por odos os ensinamenos, exorações e carinho! Agradeço aos meus grandes amigos Felipe, Anderson, Diego, Adenilson, Carla, Cibele, Anderson Rods e Graziele, que fazem pare da minha vida há anos anos e que Deus escolheu para serem minha companhia para o desino. Agradeço às minhas amigas queridas Kelly e Larissa, que me acompanharam durane eses dois anos de mesrado. Dividimos experiências, preocupações e noies em claro, mas ambém dividimos alegrias, risadas e bons momenos. Vocês fazem pare da minha vida! À querida Camila, que me acompanhou de maneira ão especial durane ese úlimo ano, agradeço pelo amor, carinho, companhia, exemplo, conselhos, apoio e incenivo, sempre! Aos meus amigos e companheiros de deparameno, em especial Targino, Nassif, Thiago, Vinícius, Alexandre, vi

7 Sheila, Josi, Parícia, Mari e Val. Obrigado pelas experiências rocadas e momenos comparilhados! Enfim, agradeço a odos os amigos que Deus colocou no meu caminho. Amigos que, de maneira direa ou indirea, ambém são responsáveis por eu er chegado aé aqui! À minha orienadora Alexandra M. Schmid, agradeço por odo apoio e incenivo que sempre recebi, pela preocupação que sempre demonsrou com o meu fuuro e por sempre acrediar no meu poencial. Agradeço pelas oporunidades que me mosrou, pelas experiências que me ransmiiu e pela dedicação que sempre me dispensou durane anos anos em que rabalhamos junos. Ao meu co-orienador Helio S. Migon, agradeço pela oporunidade de rabalhar com ão excelene profissional que me ransmiiu, e ainda me ransmie, anas experiências e conhecimeno. Agradeço aos professores do programa de pós-graduação em Esaísica da UFRJ que, de uma forma ou de oura, conribuíram para a minha formação. Agradeço à CAPES e à FAPERJ pelo financiameno dos meus esudos, os quais seriam praicamene impossíveis sem ese apoio financeiro. Por fim, agradeço aos professores Dani Gamerman e Cibele Q. da-silva por aceiarem fazer pare da minha banca. vii

8 Resumo Nese esudo, discuimos a aplicação de modelos da classe dos modelos lineares dinâmicos generalizados (MLDG) e o modelo Poisson auoregressivo (PAR) na modelagem de séries emporais de conagens. Enre os modelos discuidos, consideramos modelos de sobredispersão, modelos com esruura sazonal e modelos de misura para dados de conagem inflacionados de zeros. Nosso ineresse é verificar as vanagens e desvanagens enre as diferenes modelagens e que informações cada uma desas pode revelar a respeio do processo sob esudo. Todo o procedimeno de inferência é feio sob o enfoque bayesiano, iso é, aribuímos uma disribuição a priori para os parâmeros de ineresse de cada modelo a fim de ober a disribuição a poseriori, que, em nosso caso, não é conhecida. Méodos de Mone Carlo via cadeias de Markov (MCMC na sigla em inglês) são uilizados para ober amosras desa disribuição. Em modelos dinâmicos, ober amosras da disribuição a poseriori dos parâmeros de ineresse exige cera cauela. Há diferenes proposas na lieraura sugerindo diferenes maneiras de se ober amosras deses parâmeros. Enre as mais recenes esá o CUBS (do inglês Conjugae Updaing Backward Sampling), proposo por Ravines e al. (2007). Nese rabalho, ambém emos ineresse em discuir esa meodologia aplicada na esimação de parâmeros de modelos dinâmicos para séries emporais de conagens e invesigar o seu desempenho. Palavras-Chaves: dados de conagem, modelos dinâmicos, modelo Poisson auoregressivo, sobredispersão, modelos de misura, inferência bayesiana, Mone Carlo via cadeias de Markov. viii

9 Absrac In his sudy, we discuss he implemenaion of models in he class of dynamic generalized linear models (MLDG) and he Poisson auoregressive model (PAR) in he modelling of ime series coun daa. Among he discussed models, we consider overdispersion models, models wih seasonal paerns and zero-inflaed coun daa models. Our ineres is o verify he advanages and disadvanages among he differen modelling approaches and wha informaion each of hese approaches may reveal abou he process under sudy. All he inference procedure is made under he Bayesian approach, ha is, we aribue a prior disribuion for he parameers of ineres of each model in order o obain he poserior disribuion, which in our case, is no known. Markov chain Mone Carlo mehods (MCMC) are used o obain samples of his disribuion. In dynamic models, o obain samples from he poserior disribuion of he parameers of ineres requires some cauion. There are differen proposals in he lieraure suggesing differen ways o obain samples of hese parameers. Among he mos recen is he CUBS (Conjugae Updaing Backward Sampling), proposed by Ravines e al. (2007). In his work, we are also ineresed in discussing his mehodology in he esimaion of parameers of dynamic models for ime series coun daa and o invesigae is performance. Keywords: coun daa, dynamic models, Poisson auoregressive model, overdispersion, mixure models, Bayesian inference, Markov chain Mone Carlo. ix

10 Sumário 1 Inrodução 1 2 Modelos Dinâmicos e Méodos de Esimação Inferência Bayesiana Esimação Ponual Esimação por Inervalo Previsão Méodos de Mone Carlo via Cadeias de Markov Amosrador de Gibbs Algorimo de Meropolis-Hasings Modelos Dinâmicos Modelos Lineares Dinâmicos (MLD) Modelos Lineares Dinâmicos Generalizados (MLDG) Esquemas de Amosragem em Modelos Dinâmicos Esquema de Amosragem proposo por Gamerman (1998) CUBS Modelos de Sobredispersão para Dados de Conagem Modelos Dinâmicos para Dados de Conagem Modelo Poisson Dinâmico Modelo Binomial Negaivo Dinâmico Modelo Poisson-Lognormal Dinâmico Modelo Dinâmico com Esruura Sazonal x

11 3.2 Modelo Poisson Auoregressivo (PAR) Modelo PAR com Esruura Sazonal Criérios de Comparação e Diagnósico de Modelos Verossimilhança Prediiva Resíduos Recursivos Aplicação Procedimeno de Inferência Resulados Comparação enre os Modelos Ajusados Modelos para Dados de Conagem Inflacionados de Zeros Modelos para Dados Inflacionados de Zeros Aplicação Procedimeno de Inferência Invesigando o Desempenho do CUBS Resulados Comparação enre os Modelos Ajusados Conclusões 125 A Disribuições Condicionais Compleas dos Parâmeros dos Modelos Ajusados 129 A.1 Modelos Dinâmicos A.1.1 Modelo Poisson Dinâmico A.1.2 Modelo Binomial Negaivo Dinâmico A.1.3 Modelo Poisson-Lognormal Dinâmico A.2 Modelos Dinâmicos Sazonais A.2.1 Modelo Poisson Dinâmico com Esruura Sazonal A.2.2 Modelo Binomial Negaivo Dinâmico com Esruura Sazonal A.2.3 Modelo Poisson-Lognormal Dinâmico com Esruura Sazonal A.3 Modelo PAR xi

12 A.3.1 Modelo PAR com Esruura Sazonal A.3.2 Modelo PAR sem Esruura Sazonal A.4 Modelos para Dados Inflacionados de Zeros A.4.1 Modelo ZIP Dinâmico A.4.2 Modelo ZINB Dinâmico A.4.3 Modelo ZIP-LN Dinâmico B Cálculos das Disribuições Proposas para os Parâmeros de Esado dos Modelos Ajusados 146 B.1 Disribuição Proposa Calculada pelo CUBS B.2 Disribuição Proposa Calculada pelo Algorimo Proposo por Gamerman (1998) C Traços das Cadeias dos Parâmeros de Esado dos Modelos Dinâmicos Ajusados 152 C.1 Aplicação C.2 Aplicação xii

13 Lisa de Tabelas 3.1 Esaísicas descriivas da série emporal do número de requerenes do benefício por perda salarial causada por acidenes de rabalho Taxas de aceiação dos valores proposos pelo CUBS para o veor paramérico de esados para cada um dos modelos dinâmicos ajusados Esimaivas a poseriori dos parâmeros esáicos dos modelos ajusados com respecivos inervalos de 95% de credibilidade a poseriori Esimaivas a poseriori dos parâmeros esáicos dos modelos ajusados com respecivos inervalos de 95% de credibilidade a poseriori Esimaivas a poseriori dos parâmeros esáicos dos modelos ajusados com respecivos inervalos de 95% de credibilidade a poseriori Esimaivas a poseriori dos parâmeros do modelo Poisson auoregressivo com respecivos inervalos de 95% de credibilidade a poseriori Verossimilhança prediiva dos modelos ajusados Esaísicas descriivas da série emporal do número de casos de dengue noificados no bairro da Mangueira no município do Rio de Janeiro Taxas de aceiação média dos valores proposos pelo algorimo proposo por Gamerman (1998) para os elemenos do veor paramérico de esados para cada um dos modelos dinâmicos ajusados Esimaivas a poseriori dos parâmeros esáicos dos modelos ajusados com respecivos inervalos de 95% de credibilidade a poseriori Esimaivas a poseriori dos parâmeros esáicos dos modelos ajusados com respecivos inervalos de 95% de credibilidade a poseriori xiii

14 4.5 Esimaivas a poseriori dos parâmeros do modelo Poisson auoregressivo com respecivos inervalos de 95% de credibilidade a poseriori Verossimilhança prediiva dos modelos ajusados xiv

15 Lisa de Figuras 3.1 Série de valores simulados λ, para = 1,..., Sobredispersão λ 2 /ε = λ 2 (exp(v ) 1), para = 1,..., 100, para alguns valores de ε e V Série emporal do número de requerenes do benefício por perda salarial causada por acidenes de rabalho Auocorrelação enre os valores do número de requerenes do benefício por perda salarial causada por acidenes de rabalho Média a poseriori do nível µ, para = 1,..., 120, com respecivos inervalos de 95% de credibilidade a poseriori Média a poseriori do nível θ 1, para = 1,..., 120, com respecivos inervalos de 95% de credibilidade a poseriori Média a poseriori do efeio sazonal θ 2, para = 1,..., 120, com respecivos inervalos de 95% de credibilidade a poseriori Média a poseriori do efeio sazonal θ 3, para = 1,..., 120, com respecivos inervalos de 95% de credibilidade a poseriori Média a poseriori do parâmero λ, para = 1,..., 120, com respecivos inervalos de 95% de credibilidade a poseriori para os modelos dinâmicos sem esruura sazonal Média a poseriori do parâmero λ, para = 1,..., 120, com respecivos inervalos de 95% de credibilidade a poseriori para os modelos dinâmicos com esruura sazonal Média a poseriori do parâmero de sobredispersão δ, para = 1,..., 120, com respecivos inervalos de 95% de credibilidade a poseriori xv

16 3.12 Média a poseriori da sobredispersão λ 2 /ε (modelo binomial negaivo e binomial negaivo sazonal) e λ 2 exp(2ξ + V )(exp(v ) 1) (modelo Poissonlognormal e Poisson-lognormal sazonal), para = 1,..., 120, com respecivos inervalos de 95% de credibilidade a poseriori Hisograma e média a poseriori da variância da evolução do nível W Hisograma e média a poseriori da variância da evolução do nível W Hisograma e média a poseriori da variância da evolução dos efeios sazonais W Hisograma e média a poseriori do parâmero ε (modelo binomial negaivo e binomial negaivo sazonal) e do parâmero V (modelo Poisson-lognormal e Poisson-lognormal sazonal) Média a poseriori do parâmero λ, para = 1,..., 120, com respecivos inervalos de 95% de credibilidade a poseriori e hisogramas dos parâmeros β 0, β 1, β 2 e α com respecivas médias a poseriori Mediana a poseriori dos valores replicados Y rep,, para = 1,..., 120, com respecivos inervalos de 95% de credibilidade a poseriori (área hachurada) para os modelos dinâmicos sem esruura sazonal Mediana a poseriori dos valores replicados Y rep,, para = 1,..., 120, com respecivos inervalos de 95% de credibilidade a poseriori (área hachurada) para os modelos dinâmicos com esruura sazonal e modelo PAR sazonal Gráficos da análise de resíduos do modelo Poisson dinâmico e modelo binomial negaivo dinâmico Gráficos da análise de resíduos do modelo Poisson-lognormal dinâmico com ξ = V/2 e com ξ = Gráficos da análise de resíduos do modelo Poisson dinâmico sazonal e modelo binomial negaivo sazonal Gráficos da análise de resíduos do modelo Poisson-lognormal dinâmico sazonal com ξ = V/2 e com ξ = Gráficos da análise de resíduos do modelo PAR com esruura sazonal.. 79 xvi

17 4.1 Série emporal do número de casos de dengue noificados no bairro da Mangueira no município do Rio de Janeiro Gráfico da proporção dos valores observados do número de casos de dengue noificados no bairro da Mangueira no município do Rio de Janeiro Auocorrelação enre os valores do número de casos de dengue noificados no bairro da Mangueira no município do Rio de Janeiro Comparação enre as aproximações de Taylor e valores aproximados por Newon-Raphson dos momenos a priori α e β do predior linear ϕ = log(λ ), para = 1,..., Comparação enre os méodos de esimação para os parâmeros de esado µ, para = 1,..., 77, para a série emporal do número de casos de dengue noificados no bairro da Mangueira no município do Rio de Janeiro Comparação enre os méodos de esimação para os parâmeros de esado µ, para = 1,..., 77, para a série emporal arificial gerada a parir da série emporal do número de casos de dengue noificados no bairro da Mangueira no município do Rio de Janeiro Média a poseriori do nível µ, para = 1,..., 77, com respecivos inervalos de 95% de credibilidade a poseriori para o modelo Poisson, binomial negaivo e Poisson-lognormal Média a poseriori do nível µ, para = 1,..., 77, com respecivos inervalos de 95% de credibilidade a poseriori para os modelos para dados inflacionados de zeros Média a poseriori do parâmero λ, para = 1,..., 77, com respecivos inervalos de 95% de credibilidade a poseriori para o modelo Poisson, binomial negaivo e Poisson-lognormal Média a poseriori do parâmero λ, para = 1,..., 77, com respecivos inervalos de 95% de credibilidade a poseriori para os modelos para dados inflacionados de zeros Média a poseriori do parâmero de sobredispersão δ, para = 1,..., 77, com respecivos inervalos de 95% de credibilidade a poseriori xvii

18 4.12 Média a poseriori da sobredispersão λ 2 /ε (modelo binomial negaivo e ZINB) e λ 2 exp(2ξ+v )(exp(v ) 1) (modelo Poisson-lognormal e ZIP-LN), para = 1,..., 77, com respecivos inervalos de 95% de credibilidade a poseriori Hisograma e média a poseriori da variância da evolução do nível W para o modelo Poisson, binomial negaivo e Poisson-lognormal Hisograma e média a poseriori da variância da evolução do nível W para os modelos para dados inflacionados de zeros Hisograma e média a poseriori do parâmero ε (modelo binomial negaivo e ZINB) e do parâmero V (modelo Poisson-lognormal e ZIP-lognormal) Hisograma e média a poseriori da probabilidade ζ Média a poseriori da probabilidade p = P (X = 1 Y = 0), para = 1,..., 77, com respecivos inervalos de 95% de credibilidade a poseriori Hisogramas dos parâmeros λ 1, λ e α com respecivas médias a poseriori Mediana a poseriori dos valores replicados Y rep,, para = 1,..., 77, com respecivos inervalos de 95% de credibilidade a poseriori (área hachurada) para o modelo Poisson, binomial negaivo e Poisson-lognormal Mediana a poseriori dos valores replicados Y rep,, para = 1,..., 77, com respecivos inervalos de 95% de credibilidade a poseriori (área hachurada) para os modelos para dados inflacionados de zeros e modelo PAR sazonal Gráficos da análise de resíduos do modelo Poisson dinâmico e modelo binomial negaivo dinâmico Gráficos da análise de resíduos do modelo Poisson-lognormal dinâmico com ξ = V/2 e com ξ = Gráficos da análise de resíduos do modelo ZIP dinâmico e modelo ZINB dinâmico Gráficos da análise de resíduos do modelo ZIP-lognormal dinâmico com ξ = V/2 e com ξ = Gráficos da análise de resíduos do modelo PAR xviii

19 C.1 Traços das cadeias dos parâmeros de esado µ 10, µ 40, µ 70 e µ 100 com respecivas médias a poseriori C.2 Traços das cadeias dos parâmeros de esado θ 10,1, θ 40,1, θ 70,1 e θ 100,1 com respecivas médias a poseriori C.3 Traços das cadeias dos parâmeros de esado θ 10,2, θ 40,2, θ 70,2 e θ 100,2 com respecivas médias a poseriori C.4 Traços das cadeias dos parâmeros de esado θ 10,3, θ 40,3, θ 70,3 e θ 100,3 com respecivas médias a poseriori C.5 Traços das cadeias dos parâmeros de esado µ 10, µ 30, µ 50 e µ 70 com respecivas médias a poseriori C.6 Traços das cadeias dos parâmeros de esado µ 10, µ 30, µ 50 e µ 70 com respecivas médias a poseriori xix

20 Capíulo 1 Inrodução Modelos para dados de conagem são amplamene empregados nas mais diversas áreas de esudo para a modelagem de diversos fenômenos. Em Conrole de Qualidade, por exemplo, usualmene uiliza-se uma disribuição binomial na modelagem do número de peças defeiuosas de uma linha de produção. Em Epidemiologia, é comum uilizar-se uma disribuição de Poisson para modelar o número de indíviduos que sofrem de uma deerminada doença. Fenômenos dese ipo são, geralmene, caracerizados por uma evolução emporal. Ainda no conexo de Epidemiologia, podemos, por exemplo, esar ineressados em modelar o número de indíviduos que sofrem de uma deerminada doença aravés do empo. Para ese ipo de dado, a esruura emporal deve ser levada em cona na modelagem. Uma classe de modelos que vem sendo cada vez mais explorada para a modelagem de dados não-normais com esruura emporal é a classe dos modelos dinâmicos bayesianos generalizados, que foram inroduzidos por Wes e al. (1985) e são amplamene discuidos em Wes e Harrison (1997). Paricularmene, para a modelagem de dados de conagem com esruura emporal, um dos modelos dinâmicos comumene uilizados é o modelo Poisson dinâmico em que assumimos que média e variância do processo sob observação são iguais e evoluem no empo aravés de uma esruura dinâmica. Enreano, o que ocorre geralmene em dados de conagem é que a variância do processo sob observação é maior que a média, fenômeno ese que chamamos de sobredispersão. De forma paricular, a esruura dinâmica imposa à média da disribuição de Poisson no modelo Poisson 1

21 dinâmico é capaz de capurar algum efeio de sobredispersão, porém pode não ser suficiene para explicar oda a variação do processo sob observação. Para capurar a variação exra, pode-se, enão, considerar modelos de misura ais como o modelo Poisson-gama dinâmico ou Poisson-lognormal dinâmico. Esas misuras são equivalenes à inclusão de efeios aleaórios na média da disribuição de Poisson e já foram discuidas por Scollnik (1995) e por Kim e al. (2002). Em muias siuações, a variação exra nos dados pode ser provocada por excesso de valores 0 (zero) nas observações. Nese caso, modelos para dados de conagem inflacionados de zeros como, por exemplo, o modelo ZIP (do inglês Zero Inflaed Poisson) podem ser considerados. Para dados de conagem com esruura emporal, como é o caso, o modelo ZIP dinâmico pode ser considerado. Traa-se especificamene de uma misura enre uma disribuição de Poisson e uma disribuição de Bernoulli com o objeivo de inflacionar a probabilidade da ocorrência de um valor 0 (zero) aravés da inclusão de uma variável aleaória laene, que represena presença ou ausência do processo sob observação. Uma segunda classe de modelos para dados de conagem com esruura emporal é a classe dos modelos Poisson auoregressivos, que foi inroduzida por Al-Osh e Alzaid (1987) e McKenzie (1988). O modelo Poisson auoregressivo não se raa de um modelo dinâmico e ambém não é um modelo de sobredispersão. Enreando, apesar de originalmene ese modelo não possuir nenhuma desas duas caracerísicas, é considerado apropriado para modelagem de séries emporais ao assumir uma dependência de curo alcance nas observações. Esa dependência é considerada no modelo aravés de uma esruura formada por duas componenes laenes: um processo de nascimeno e um processo de more. Nese esudo, nosso ineresse é discuir a aplicação de modelos dinâmicos e o modelo Poisson auoregressivo na modelagem de séries emporais de conagens. Queremos verificar as vanagens e desvanagens enre as diferenes modelagens e que informações cada uma desas pode revelar a respeio do processo sob esudo. Serão discuidos modelos de sobredispersão, modelos com esruura sazonal e modelos de misura para dados de conagem inflacionados de zeros. Todo o procedimeno de inferência será feio sob o enfoque bayesiano, iso é, aribuiremos uma disribuição a priori para os parâmeros de ineresse 2

22 de cada modelo a fim de ober a disribuição a poseriori e a parir dela realizar odo o processo de esimação. Oberemos amosras desa disribuição a poseriori por meio de méodos de simulação esocásica, paricularmene uilizaremos os méodos de Mone Carlo via cadeias de Markov (MCMC na sigla em inglês). A esimação dos parâmeros de um modelo dinâmico é um grande desafio. Devido ao fao do próprio modelo induzir uma correlação enre eses parâmeros, orna-se difícil a obenção de amosras independenes deses. Há diferenes proposas na lieraura sugerindo diferenes maneiras de se ober amosras da disribuição a poseriori dos parâmeros de modelos dinâmicos. Enre as mais recenes esá o CUBS (do inglês Conjugae Updaing Backward Sampling), proposo por Ravines e al. (2007). Nese esudo, é nosso ineresse ambém discuir a meodologia desenvolvida por Ravines e al. (2007) aplicada na esimação de parâmeros de modelos dinâmicos para séries emporais de conagens e invesigar seu desempenho, em especial para os modelos dinâmicos de misura. Organização da Disseração No Capíulo 2, faremos uma breve revisão sobre esimação e sobre procedimeno de inferência sob o enfoque bayesiano. Discuiremos ambém méodos de simulação esocásica, paricularmene méodos MCMC. Em seguida faremos uma breve revisão sobre modelos dinâmicos e dealharemos os esquemas de amosragem uilizados nese esudo para esimação de parâmeros de modelos dinâmicos, em especial o CUBS. Já no Capíulo 3, apresenaremos os modelos de ineresse para dados de conagem com esruura emporal, descreveremos algumas ferramenas de comparação e diagnósico de modelos e faremos uma aplicação a dados reais. Freeland e McCabe (2002) ajusaram para o conjuno de dados em quesão um modelo Poisson auoregressivo com esruura sazonal e consideraram o procedimeno sob o enfoque clássico. Nese capíulo, ajusaremos ese mesmo modelo para ese mesmo conjuno de dados reais considerando o procedimeno de inferência sob o enfoque bayesiano. Em seguida, no Capíulo 4, começaremos discuindo modelos dinâmicos para dados de conagem inflacionados de zeros e logo após faremos uma aplicação a dados reais 3

23 com excesso de valores 0 (zero). Nese capíulo, discuiremos mais dealhadamene o desempenho do CUBS na esimação dos parâmeros dos modelos dinâmicos considerados na modelagem do conjuno de dados reais. Por fim, no Capíulo 5, apresenaremos as conlusões e possíveis exensões dese esudo. 4

24 Capíulo 2 Modelos Dinâmicos e Méodos de Esimação Modelos dinâmicos bayesianos são cada vez mais uilizados na lieraura para descrever os mais variados fenômenos. A maior classe deses modelos é a classe dos modelos lineares dinâmicos generalizados na família exponencial. Nese capíulo, serão discuidos alguns méodos de esimação para os parâmeros dos modelos que perencem a esa classe especial de modelos. Começaremos com uma breve revisão sobre os principais conceios envolvidos no procedimeno de inferência sob o enfoque bayesiano, apresenaremos alguns aspecos sobre méodos de simulação esocásica, em paricular os méodos MCMC, e por fim, discuiremos com dealhes dois esquemas de amosragem exisenes na lieraura para esimação em modelos lineares dinâmicos generalizados: o algorimo proposo por Gamerman (1998) e o mais recene CUBS (do inglês Conjugae Updaing Backward Sampling) proposo por Ravines e al. (2007). 2.1 Inferência Bayesiana Nesa seção, faremos uma breve revisão sobre os principais conceios do procedimeno de inferência sob o enfoque Bayesiano. Considere Y, uma variável aleaória ou veor aleaório com função de probabilidade ou função de densidade de probabilidade p(y θ) em que θ é um parâmero ou veor paramérico que caraceriza a disribuição de 5

25 probabilidade de Y. O valor de θ é desconhecido e queremos esimá-lo. Sob o pono de visa da inferência bayesiana, podemos incorporar nossa própria incereza na esimação de θ, assumindo uma disribuição de probabilidade para ese parâmero, p(θ), a disribuição a priori. Esa disribuição é aribuída anes da observação dos dados e mede a nossa incereza a priori a respeio de θ. Uma vez que os dados são observados, os quais denoaremos por y, podemos enconrar a disribuição a poseriori de θ, p(θ y), obida a parir da combinação da função de verossimilhança p(y θ) com a disribuição a priori de θ, p(θ), via eorema de Bayes, da forma p(θ y) = p(y θ)p(θ), (2.1) p(y) com p(y) = p(y, θ)dθ = Θ p(y θ)p(θ)dθ, Θ (2.2) em que Θ é o espaço paramérico de θ. Noe que p(y) não depende de θ, logo o denominador da equação acima pode ser considerado consane com relação a θ. Assim, podemos reescrever (2.1) como p(θ y) p(y θ)p(θ). (2.3) O procedimeno de inferência bayesiano é baseado fundamenalmene na disribuição a poseriori de θ. Esa disribuição coném oda informação probabilísica a respeio do parâmero de ineresse. No enano, em algumas siuações orna-se necessário resumir a informação conida na disribuição a poseriori. O caso mais simples é a esimação ponual, descria na subseção a seguir Esimação Ponual Na esimação ponual, nosso objeivo é a minimização de uma função perda L(δ(Y), θ) para algum esimador δ(y) de θ. Noe que o valor de θ é esimado a parir de elemenos da amosra. Para cada valor de θ e cada possível esimaiva d penencene ao espaço 6

26 paramérico Θ, associamos uma perda L(d, θ). Nese caso, podemos calcular a perda esperada a poseriori ou risco a poseriori, da forma r(d y) = E[L(d, θ) y] = L(d, θ)p(θ y)dθ. (2.4) Θ A regra de Bayes consise em escolher o valor de d óimo, ou seja, o valor de d que minimiza a perda esperada E[L(d, θ) y]. Os esimadores d(y) obidos minimizando esa perda esperada são chamados esimadores de Bayes. As funções perda mais uilizadas são: função perda quadráica: L(d(Y), θ) = (θ d(y)) (θ d(y)); função perda absolua: L(d(Y), θ) = θ d(y) ; k, se θ d(y) ɛ função perda zero-um: L(d(Y), θ) = 0, se θ d(y) < ɛ arbirário e k consane, em geral uniária., para ɛ > 0 Os esimadores obidos com a minimização desas funções são, respecivamene: média a poseriori: θ = E(θ y); mediana a poseriori: θ al que θ p(θ y)dθ = 0, 5; moda a poseriori: θ al que p( θ y) = sup p(θ y). θ Θ Esimação por Inervalo Quando esimamos um parâmero ponualmene, esamos resumindo oda a informação presene na disribuição a poseriori em um único valor, o que pode não ser apropriado. É imporane ambém obermos informações sobre o quão precisa é a especificação dese valor. Podemos, enão, aravés da disribuição a poseriori, enconrar um inervalo para θ onde esá concenrada a maior massa de probabilidade. Tal inervalo é chamado inervalo de credibilidade. Considere novamene Θ, o espaço paramérico onde esão definidos os possíveis valores de θ. C Θ é um inervalo de credibilidade de 100(1 α)% para θ, se P (θ C y) 1 α. (2.5) 7

27 O amanho do inervalo raz informações sobre a dispersão de θ. Assim, quano menor o inervalo, mais concenrada esá a disribuição dese parâmero, quano maior, menos concenrada esá a disribuição. Podemos, por exemplo, querer ober um inervalo de 95% de credibilidade para θ, para isso basa calcularmos direamene os quanis a = 2, 5% e b = 97, 5% da disribuição a poseriori p(θ y), ou seja, e a b p(θ y)dθ = 0, 025 (2.6) p(θ y)dθ = 0, 975. (2.7) Uma caracerísica imporane dos inervalos de credibilidade é que são invarianes a ransformações biunívocas. Seja C = [a, b] o inervalo de 100(1 α)% de credibilidade para θ e φ(θ) uma ransformação biunívoca de θ, enão, um inervalo de 100(1 α)% de credibilidade para φ(θ) seria da forma C = [φ(a), φ(b)] Previsão Previsões de fuuras observações são possíveis aravés da disribuição prediiva. Suponha que queremos prever Y pred cuja função de probabilidade ou densidade de probabilidade é da forma p(y pred θ). A função de disribuição prediiva de Y pred é obida da forma p(y pred y) = Θ p(y pred, θ y)dθ (2.8a) = Θ p(y pred θ, y)p(θ y)dθ (2.8b) = Θ p(y pred θ)p(θ y)dθ. (2.8c) = E θ y [p(y pred θ)]. (2.8d) Uma vez que conhecemos θ, Y pred e y são independenes e a passagem da equação (2.8b) para a equação (2.8c) fica explicada. 8

28 2.2 Méodos de Mone Carlo via Cadeias de Markov Como discuido na Seção 2.1, odo o procedimeno de inferência bayesiana esá fundamenado na disribuição a poseriori de θ, porém o que emos geralmene na práica, é que esa disribuição não é conhecida ou não possui forma analíica fechada. Podemos, enreano, de forma aproximada, ober amosras da disribuição a poseriori aravés de méodos de simulação esocásica. Enre eses, esão os méodos de MCMC. Eses méodos serão uilizados na esimação dos parâmeros dos modelos de ineresse, que serão discuidos nos Capíulos 3 e 4. Paricularmene, denro dos méodos MCMC, esaremos uilizando o amosrador de Gibbs e o algorimo de Meropolis-Hasings que serão discuidos mais adiane nas Subseção e Considere que queremos simular de uma disribuição de probabilidade cuja função de probabilidade ou função de densidade de probabilidade é dada por p( ). Como pode ser viso em Gamerman e Lopes (2006), o méodo MCMC é qualquer méodo que produza uma cadeia de Markov homogênea, ergódica e irreduível cuja disribuição esacionária seja p( ). Uma cadeia de Markov é: homogênea: quando a probabilidade de ransição de esados é consane; ergódica: se é aperiódica e recorrene posiiva; aperiódica: se nenhum dos seus esados é visiado após d passos com probabilidade 1, para qualquer d > 0 ineiro; recorrene posiiva: quando o número médio de passos para que uma cadeia reorne a qualquer esado é finio; irreduível: se com probabilidade posiiva, ela se move de um pono a ouro, qualquer, em um número finio de ierações. Se a cadeia de Markov segue odas esas caracerísicas, exise a disribuição esacionária e os esados da cadeia são aproximadamene realizações desa disribuição. Enre 9

29 os algorimos de MCMC mais uilizados esão o amosrador de Gibbs e o algorimo de Meropolis-Hasings, que serão descrios a seguir Amosrador de Gibbs O amosrador de Gibbs é um esquema ieraivo de amosragem de uma cadeia de Markov cujo núcleo de ransição é formado pelas disribuições marginais condicionais das componenes θ i de um veor paramérico θ, a parir da função de probabilidade ou função de densidade de probabilidade conjuna p(θ 1,..., θ p ). condicionais compleas e são da forma p(θ i θ 1,..., θ i 1, θ i+1,..., θ p ). São as chamadas disribuições O amosrador de Gibbs foi originalmene inroduzido por Geman e Geman (1984), mas foram Gelfand e Smih (1990) que compararam ese amosrador com esquemas de simulação esocásica. Podemos descrever o algorimo da seguine maneira: (i) inicialize o conador j = 1 e arbire valores iniciais θ (0) = (θ (0) 1,..., θ (0) p ); (ii) obenha θ (j) a parir de θ (j 1) sucessivamene da forma θ (j) 1 p(θ 1 θ (j 1) 2,..., θ (j 1) p ) θ (j) 2 p(θ 2 θ (j) 1, θ (j 1) 3,..., θ (j 1) p ) θ (j) 3 p(θ 3 θ (j) 1, θ (j) 2, θ (j 1) 4,..., θ (j 1) p ). θ (j) p p(θ p θ (j) 1, θ (j) 2,..., θ (j 1) p 1 ). (iii) aualize o conador de j para j + 1 e reorne ao passo (ii) aé a convergência. A convergência da cadeia de Markov é admiida quando a série gerada pelos valores soreados das disribuições condicionais compleas alcança um esado de esacionariedade, significando que elas esão suficienemene próximas das disribuições marginais dos parâmeros. Na lieraura, vários procedimenos de avaliação de convergência são 10

30 proposos, alguns exemplos podem ser visos em Cowles e Karlin (1990) e Gamerman e Lopes (2006). Em nosso caso, avaliaremos a convergência dos parâmeros de ineresse aravés da inspeção visual dos raços das cadeias deses parâmeros após ermos descarado quanidade suficiene de valores do início da cadeia, o qual denominamos período de aquecimeno. Para diminuir a auocorrelação enre os valores soreados dos parâmeros, podemos ainda considerar um espaçameno k enre eses valores, iso é, iremos considerar em nossa amosra somene valores soreados a cada k ierações. Pode ser mosrado, sob ceras condições de regularidade, que θ (j) = (θ (j) 1,..., θ p (j) ) converge em disribuição para uma amosra da disribuição a poseriori quando j ende a infinio. Ese algorimo é exremamene úil quando conhecemos a forma das disribuições condicionais compleas, porém quando não conhecemos devemos lançar mão de ouros méodos. Enre eles, esá o algorimo de Meropolis-Hasings descrio a seguir Algorimo de Meropolis-Hasings O algorimo de Meropolis-Hasings foi inicialmene proposo por Meropolis e al. (1953) e foi poseriormene esendido por Hasings (1970). Ese méodo é geralmene uilizado quando as disribuições condicionais compleas não são idenificáveis e, assim como o amosrador de Gibbs, em a finalidade de gerar amosras de uma disribuição de probabilidade. Para isso, ele faz uso de uma disribuição auxiliar conhecida como disribuição proposa. Um valor proposo para o parâmero é gerado desa disribuição e ese valor é preferido ou não com relação ao valor correne da cadeia de Markov de acordo com uma probabilidade α. Considere p( ) como a função de probabilidade ou função de densidade de probabilidade da disribuição a qual queremos simular e q( ) como a função de probabilidade ou função de densidade de probabilidade proposa que, em geral, sabemos como simular. Podemos descrever o algorimo de Meropolis-Hasings da seguine maneira: (i) inicialize o conador j = 1 e arbire um valor inicial θ (0) ; (ii) soreie um valor proposo θ de q(θ θ (j 1) ); 11

31 (iii) o novo valor θ (j) será θ com probabilidade α θ (j) = θ (j 1) com probabilidade 1 α, em que { } p(θ )q(θ (j 1) θ ) α = min 1, ; (2.9) p(θ (j 1) )q(θ θ (j 1) ) (iv) aualize o conador de j para j + 1 e reorne ao passo (iii) aé a convergência. Geralmene, na práica, p( ) é a função de probabilidade ou função de densidade de probabilidade da disribuição condicional complea do parâmero de ineresse, a qual não sabemos simular, pois não é conhecida ou não possui solução analíica fechada. Porano, quando esa siuação ocorre, o passo de soreio de um valor da disribuição condicional complea denro do amosrador de Gibbs é subsiuído pelo passo de soreio de um valor de uma disribuição proposa q( ). Ese valor proposo será aceio como novo valor correne da cadeia com probabilidade α calculada em (2.9). Para um esudo dealhado sobre méodos MCMC, ver Gamerman e Lopes (2006). 2.3 Modelos Dinâmicos Freqüenemene, esamos ineressados em modelar fenômenos caracerizados por uma evolução emporal. A grande moivação da uilização de modelos dinâmicos na modelagem de ais processos é a vanagem de podermos medir a incereza associada à passagem do empo. Como exemplo, considere um modelo em que uma variável resposa Y, em um insane paricular de empo, esá associada a uma variável X da forma Y = Xθ + ɛ, em que θ é um parâmero desconhecido e ɛ é um erro aleaório. Do pono de visa bayesiano, podemos expressar nossa incereza a priori a respeio de θ aravés de uma disribuição de probabilidade p(θ). Ese modelo é localmene apropriado para o paricular insane de empo, porém a própria naureza do processo requer que a incereza devida a 12

32 evolução emporal seja levada em consideração. Podemos incorporar esa caracerísica ao modelo se permiirmos que o parâmero θ evolua suavemene no empo aravés de uma esruura emporal imposa a ele. Quando nos referimos a modelo dinâmico, o ermo dinâmico esá relacionado jusamene às mudanças no processo sob observação devido a passagem do empo Modelos Lineares Dinâmicos (MLD) A classe de modelos dinâmicos é basane abrangene. Uma subclasse deses modelos basane conhecida e uilizada na lieraura é a subclasse dos modelos linerares dinâmicos normais (MLD), em que supomos normalidade da variável resposa e normalidade na evolução dos parâmeros dinâmicos aravés do empo. Nesa subseção, faremos uma breve revisão sobre MLD. Para um esudo mais dealhado, ver Wes e Harrison (1997). Considere uma série emporal Y 1, Y 2,... em que Y, para = 1, 2,..., é um veor observacional de dimensão (r 1). Um MLD pode ser caracerizado aravés de duas equações da forma Y = F θ + v, v N(0, V ) (2.10a) θ = G θ 1 + ω, ω N(0, W ), (2.10b) em que, para = 1, 2,..., emos que θ é um veor p-dimensional denominado parâmero de esado ou simplesmene esado do modelo dinâmico; F é uma mariz de regressão (p r) cujos elemenos são valores conhecidos; G é uma mariz p p conhecida que descreve a evolução emporal dos parâmeros de esado; V é uma mariz de covariância r r conhecida associada ao erro observacional v ; W é uma mariz de covariância p p conhecida associada ao erro de evolução dos parâmeros de esado ω. 13

33 A equação (2.10a) é denominada equação da observação e relaciona o veor de observações Y ao parâmero de esado θ, enquano que a equação (2.10b) é denominada equação do sisema e é responsável pela evolução dos parâmeros de esado aravés do empo. Esas duas equações podem ser reescrias, para = 1, 2,..., da forma Y θ N(F θ, V ) (2.11a) θ θ 1 N(G θ 1, W ). (2.11b) O modelo descrio em (2.10) é compleamene especificado aravés da quádrupla {F, G, V, W} e de uma disribuição a priori assumida para os parâmeros de esado. Devido à própria esruura markoviana do modelo, θ dado θ 1, para = 1, 2,..., em uma disribuição normal, conforme podemos ver nas equações (2.10b) e (2.11b), porém ainda precisamos especificar quem é θ 0. Denoamos por D = (D 0, y 1,..., y ) o conjuno de informações disponíveis aé o insane de empo, para = 1, 2,..., em que D 0 denoa o conjuno de informações no insane inicial = 0, ou seja, D 0 denoa o conjuno de informações a priori. Quanificamos esa informação a priori em ermos de média e variância de uma disribuição normal para θ 0, iso é, θ 0 D 0 N(m 0, C 0 ), (2.12) em que m 0 e C 0 são, respecivamene, a média e a variância da disribuição a priori normal para θ 0 que reflee nossa incereza a respeio do processo sob esudo no insane de origem = 0. Assim, aribuída a disribuição a priori para os parâmeros de esado, o modelo é compleamene especificado. Ainda, para o modelo descrio em (2.10), algumas suposições são feias: esamos assumindo que as observações Y são condicionalmene independenes dado θ, para = 1, 2,..., assim como, para odo s, os erros observacionais v e v s são independenes, os erros de evolução ω e ω s são independenes, e v e ω s são independenes. Quando os valores dos elemenos que compõem quádrupla {F, G, V, W} são conhecidos, o procedimeno inferência sobre os parâmeros de esado nesa subclasse de modelos pode ser feio aravés de algorimos seqüenciais, como o Filro de Kalman. Mais dealhes podem ser visos em Wes e Harrison (1997). 14

34 2.3.2 Modelos Lineares Dinâmicos Generalizados (MLDG) A classe dos modelos lineares dinâmicos generalizados (MLDG) foi inroduzida por Wes e al. (1985). Os modelos desa subclasse dos modelos dinâmicos são exensões dos modelos lineares dinâmicos (MLD) apresenados na Subseção 2.3.1, mas agora sem a suposição de normalidade da variável resposa e sem a suposição de normalidade na evolução dos parâmeros de esado. Considere uma série emporal Y 1, Y 2,... de observações univariadas. Assumimos agora que Y, para = 1, 2,..., segue uma disribuição na família exponencial: uma classe muia ampla de disribuições que inclui, enre ouras, a disribuição normal. Se uma variável aleaória Y conínua ou discrea segue uma disribuição na família exponencial, sua função de probabilidade ou função de densidade de probabilidade pode ser escria como p(y η, φ ) = exp{φ [Y η b(η )]}c(y, φ ), (2.13) em que b( ) e c(, ) são funções conhecidas, η é o parâmero naural da disribuição, saisfazendo a E(Y η, φ ) = ϑ = ḃ(η ), (2.14) e φ é um parâmero de escala conhecido, saisfazendo a V ar(y η, φ ) = b(η ) φ, (2.15) em que ḃ( ) e b( ) são, respecivamene, a primeira e a segunda derivadas da função b( ). Podemos, enão, caracerizar um MLDG de forma semelhane ao MLD como Y exp{φ [Y η b(η )]} (2.16a) g(η ) = F θ (2.16b) θ = G θ 1 + ω, ω (0, W ). (2.16c) Noe que a equação da observação, descria aneriormene em (2.10a) para um MLD, foi agora subsiuída pelo par de equações (2.16a) e (2.16b), em que g( ) é uma função de 15

35 ligação conhecida que relaciona o parâmero naural da disribuição η ao parâmero de esado θ e g(η ) é denominado predior linear, o qual denoaremos por ϕ. Noe ambém que a equação de evolução dos esados (2.16c) permanece igual à equação de evolução dos esados de um MLD, descria em (2.10b), a não ser pelo fao de que agora os erros de evolução ω não seguem necessariamene uma disribuição normal. Como em um MLD, o modelo é compleado quando assumimos uma disribuição a priori para os parâmeros de esado. De forma semelhane, a disribuição do parâmero de esado θ dado θ 1, para = 1, 2,..., em disribuição imposa pela própria esruura markoviana do modelo. Resa-nos, enão, aribuir uma disribuição a priori para o parâmero θ 0. Novamene, quanificamos a informação a priori a respeio do processo sob esudo no insane inicial = 0, denoada por D 0, aravés do primeiro e segundo momenos de uma disribuição, que agora não é necessariamene normal, para θ 0, iso é, θ 0 D 0 (m 0, C 0 ), (2.17) em que m 0 e C 0 são, respecivamene, o primeiro e segundo momenos conhecidos da disribuição a priori para θ 0. Em muios casos, a forma desa disribuição não precisa ser conhecida oalmene, basa apenas que conheçamos os momenos m 0 e C 0. Para o MLDG descrio em (2.16), como em um MLD, algumas suposições são feias: as observações Y são condicionalmene independenes dado η, e além disso, dado η, são ambém independenes dos erros de evolução ω, para = 1, 2,..., e supomos ambém que, para odo s, os erros de evolução ω e ω s são independenes. O procedimeno de inferência sobre os parâmeros de esado nesa classe de modelos, devido a complexidade, pode somene ser feio de forma aproximada. Se odas as quanidades envolvidas no modelo, com exceção dos parâmeros de esado, são conhecidas, algorimos seqüenciais baseados em esimadores Linear Bayes (Harigan (1969)) podem ser uilizados na esimação deses parâmeros. Algorimos baseados neses esimadores foram uilizados por Wes e al. (1985). Ouras abordagens e méodos de esimação para os parâmeros de esado, inclusive méodos baseados nas idéias de Wes e al. (1985), serão discuidos na Seção

36 2.4 Esquemas de Amosragem em Modelos Dinâmicos O grande desafio da esimação em modelos dinâmicos é a esimação do veor de esados cujos elemenos são alamene correlacionados, o que orna difícil a obenção de amosras independenes. Há muias proposas na lieraura sugerindo diferenes maneiras de se ober amosras da disribuição a poseriori deses parâmeros. Shephard e Pi (1997), Gamerman (1998), Geweke e Tanizaki (2001) e Ravines e al. (2007) consideram abordagens baseadas no algorimo de Meropolis-Hasings descrio na Subseção denro do amosrador de Gibbs descrio na Subseção Paricularmene, sugerem disribuições proposas eficienes denro do algorimo de Meropolis-Hasings para sorear os parâmeros de esado de modelos dinâmicos na família exponencial. O algorimo proposo por Gamerman (1998) e o algorimo CUBS, proposo por Ravines e al. (2007) serão apresenados nas subseções a seguir Esquema de Amosragem proposo por Gamerman (1998) Gamerman (1998) sugere a uilização de um modelo linear dinâmico normal ajusado a fim de consruir uma densidade proposa eficiene para amosrar os parâmeros de esado no algorimo de Meropolis-Hasings. A amosragem deses parâmeros pode ser feia individualmene ou em blocos, ou individualmene aravés dos erros de evolução. Nese úlimo caso, o modelo dinâmico é reparamerizado e os esados são represenados em ermos dos erros de evolução. Gamerman (1998) concluiu que a amosragem individual é mais eficiene que a amosragem em blocos e que amosrar os erros de evolução é ambém mais eficiene, pois as cadeias geradas são menos auocorrelacionadas, o que pode acelerar a convergência. Enreano, o algorimo para amosrar os parâmeros de esado aravés dos erros de evolução é de difícil implemenação e gera um cuso compuacional basane significaivo. Por esa razão, uilizaremos o esquema de amosragem individual e sorearemos direamene os parâmeros de esado. Considere Y 1,..., Y T, uma série emporal de observações univariadas para as quais assumimos o MLDG descrio em (2.16) com a diferença de que a evolução dos parâmeros 17

37 de esado, descria pela equação (2.16c), é assumida normal, ou seja, θ = G θ 1 + ω, ω N(0, W ), (2.18) em que W é assumido conhecido. Consideramos agora uma série de observações ajusadas Ỹ, para = 1,..., T, da forma Ỹ = Ỹ(θ ) = g(ϑ ) + (Y ϑ )ġ(ϑ ) (2.19) com variâncias associadas V da forma V = V (θ ) = b(η ){ġ(ϑ )} 2, (2.20) em que ϑ é a esperança de Y da forma descria em (2.14) e η é o parâmero naural da família exponencial descria em (2.13). As observações ajusadas Ỹ = Ỹ(θ ) e variâncias associadas V = V (θ ) são funções do valor correne do parâmero de esado θ aravés da dependência funcional enre θ e a média ϑ. Podemos agora criar um modelo dinâmico normal ajusado cuja equação da observação, para = 1,..., T, é da forma Ỹ (θ ) = F θ + v, v N(0, V (θ )). (2.21) A disribuição proposa para a amosragem do parâmero de esado θ, para = 1,..., T 1, na ieração j do algorimo de Meropolis-Hasings é dada pela disribuição condicional complea ajusada de θ cuja função de densidade de probabilidade é da forma p(θ ) p(ỹ θ )p(θ θ 1 )p(θ +1 θ ) exp{ 1/2[V 1 (Ỹ F θ ) 2 + (θ G θ 1 ) W 1 (θ G θ 1 ) (2.22) +(θ +1 G +1 θ ) W 1 +1(θ +1 G +1 θ )]}, que é a função de densidade de probabilidade de uma disribuição normal com variância e média B = (F V 1 F + W 1 + G +1W+1G 1 +1 ) 1 (2.23) b = B (F V 1 Ỹ + W 1 G θ 1 + G +1W+1θ 1 +1 ), (2.24) 18