MAT456 - Cálculo Diferecial e Itegral para Egeharia IV o Semestre de - a Lista de eercícios: Séries de Potêcias e Séries de Fourier Usado derivação e itegração termo a termo, calcular as somas das séries + + + + + b + + + c + + 5 + + + d 5 + 5 + 5 + e + + + + + + f + + + + + g + + 5 + + + h + 4 4 5 45 + i + 4 + 9 + 6 + j + + + 4 4 + k 4 + 5 + 6 + 7 4 + l 4 + 8 8 + + Mediate o uso das somas das séries obtidas o eercício, calcule: b c 5 Determie as epasões em séries de potêcias em toro de = das seguites fuções e os valores de para os quais essas epasões são válidas: + b + c Mostre que + + + = 6 4 Verifique que + + l = +, < 4 b arctg = +, + 5 Determie as epasões em séries de potêcias em toro de = das seguites fuções e os valores de para os quais essas epasões são válidas: + b + c + 4 d l + e l + f + 6 Verifique que e =!, R b se = + +!, R c cos = +!, R d l = + +, < e arctg = +, + 7 Utilizado as séries desevolvidas o eercício aterior, obteha um valor aproimado de e, com erro iferior a 5 c l e l, com erro iferior a 5 e /4, com erro iferior a 5 b se, com erro iferior a 5 e a 7 d arctg/ e arctg/, com erro iferior a 5 Para e, use 4 = arctg + arctg tg+tgy, que segue imediatamete de tg + y = tg tgy 8 Utilizado série de Taylor calcule d arctg d e d arctg d 9 Pode-se também tratar de séries de úmeros compleos de modo aálogo ao caso real E etão, para todo z C, defie-se e z = z! Mostre que ei = cos + i se, para todo R
Desevolva em série de potêcias de as seguites fuções, idicado os itervalos de covergêcia e b cos c se d cos Desevolva em série de potêcias de as seguites fuções, idicado os itervalos de covergêcia, e calcule f com erro iferior a 6 : f = se t t dt b f = Estimar com êrro ε < Justifique b 7/ e t dt c f = l + t t dt d f = set dt Utilizado a epasão em série de potêcias das fuções evolvidas, calcule os seguites limites se cos se lim b lim c lim cos + 4 4! se! + 5 5! d lim e lim + + α Séries de Fourier 4 Ache a série de Fourier das fuções abaio, determie sua soma e faça os gráficos: { { a, < a, < f = b f = b, < b, < c f =, < d f = e a, <, a e f = sea, <, a / Z f f = a + b, < g f = cos, < 5 Ache a série de Fourier de seos e de cosseos das fuções abaio, determie sua soma e faça os gráficos: f = a, b f =, c f = a + b, d f = se, e f = cos, 6 Mostre que = 4 se + se + 5 se 5 +, < < ; b = se + se + se +, < < ; c = d = 6 e = 8 cos cos + 4 cos + +, < < cos + cos 4 se + se + cos 6 + +, < < se 5 +, < < 5 7 Verifique as seguites igualdades, usado o eercício aterior 4 = + 5 7 c = e 4 = + + 5 8 Calcule a soma das séries + + + + + b 7 b d 8 α 6 = + + + + + = + + + 5 7 9 + 9 + 5 + 9 Determie c, c, c de modo que as itegrais abaio assumam o meor valor possível: [ c se c se c se ] d b [ c ] d c [ cos c c se c cos ] d
Ache a série de Fourier da fução f periódica de período e que satisfaz f = se < Qual a soma de série quado = 999/? E quado = 999? Ache a série de Fourier da fução ímpar f, periódica de período 4, e que satisfaz f = se e f = f se < b Ecotre b, b, b, tais que b se = se < < f = f; < < c Ecotre c, c, c, tais que c se = se < < f = f; < < d Quato vale a soma de série do item c quado =? E quado =? Ache costates a e b tais que a série de seos de f = + a em [, ] seja da forma Usado a fórmula de Parseval prove que 4 9 = 4 b si b 6 945 = 6 4 Calcule 4 b 4 5 Questão de prov Dê fórmulas para as costates a,, b,, tais que a + a cos + b si = e, < < b Determie a soma da série para = e para = 6 Questão de prov Ecotre costates a, a,, a que miimizem a epressão [ a + a k cos k] d k= Respostas l b l + c l g + d arctg e f + h + l+ i j + 4 + 4 k 4 l 4 l 4 l ; 8 ; 6 5 l 6 5 5 +, < < b + +, < <
5 +, < < b ++, < < c 4+, < < d e 8 e!, +!, R b c f 4+ +!, R d + + ++!, R c, < k b k!, b d!, < + +!, R, R 4+ 4++!, R, < < b c 6 d 6!, se α = 6;, se α < 6 ;, se α > 6 4 5 e 7!, se α = 7;, se α < 7 ;, se α > 7 b c d e f a+b + b si soma: a, se k < < k; b, se k < < k + ; a+b, se = k, k Z b a 4 + a b a + b si cos soma: a, se k < k; b, se k < k + ; b a, se = k +, k Z 4 cos soma:, se e sua etesão periódica para R sih a + sih a cos si +a soma: e a, se < < ; cosh se = ±, e a sua etesão periódica para R si si a soma: sia, para < < ; para = ± e a sua etesão periódica para R b + a si soma: a + b, para < < ; b, para = ±, e sua etesão periódica, para R g + cos b 4 soma : cos, para R a si soma : a, para < < ; para = ±, e sua etesão periódica para R a 4a cos, soma : a, para e sua etesão periódica para R si 8 si soma : para < ;, para ; para = ± e sua etesão periódica para R + 4 cos soma :, para e sua etesão periódica para R
c b a + b si soma : a b, para < ; a + b, para < <,, para = ±, e sua etesão periódica para R a + b 4a cos soma : a + b, para e sua etesão periódica de a + b para R d si, soma : si, para R; e cos 4, soma : si para R e si + = + si, soma : cos para e cos para, k e para = k, k Z + cos 4, soma : cos, para R 7 usar em = / b usar c em = c usar e em = / d usar e em = /4 e usar b em = /4 8 8 b 9 c =, c =, = c c = 4, c =, c = b c = + cos 4 si S999 = e S999/ = / 8 k= k k+ si k+ b b = 8 para c c = 4 + 8, para d S = S = ; S = S = Q =, b = Use f = b Use eercício 4 4 96 b 6