Plno de uls Mtemátic Módulo 8 Geometi pln
Resolução dos eecícios popostos Retomd dos conceitos 1 PÍTULO 1 1 h 100 cm O esquem epesent escd, e h é ltu d escd. h 0 cm h 0 cm d d d d cm e codo com o teoem de Tles, temos: d 0 3d 0 h 0 0 h 70 8 cm 1, 3 e b, h 100 cm. 3 1 cm e b 3 cm Logo, o peímeto do etângulo meno, semelhnte o etângulo ddo, coesponde 8 cm (3 1 3 1 1 1 1). 3 8 cm Os tiângulos e MN são semelhntes. Po isso: N NM 9? 16 NM 18 d d 8 cm Logo, o peímeto do MN é de 8 cm (9 1 8 1 11). ltu eltiv o ldo do mede 8 cm. R G S F 1 cm (h,8) cm,8 cm h omo tu//tu, os tiângulos e são semelhntes. Logo: R S,8 1 h, 8 h,8? h 1? h 7,6 7,? h 7,6 h 8 s medids d fente de cd lote coespondem: m, b 1 m, c 18 m, d 1 m e e 1 m. e codo com o teoem de Tles, temos: 16 1 1 10 8 16 m 90 16 1 1 10 8 b c d e b 1 m, c 18 m, d 1 m e e 1 m 6 ) omo s us se cuzm pependiculmente, o teeno tem fom de um tiângulo etângulo. Neste esquem, epesent medid ltel d hot. 36 P S R Q Os tiângulos PQ e QR são semelhntes, um vez que têm um p de ângulos coespondentes espectivmente conguentes: PQ QR e QP QR. Potnto, os ldos coespondentes desses tiângulos são popocionis: P QR PQ R 36 (36 )( ) 1.9 90 0 1,6 O peímeto d egião PQRS coesponde? 1,6 86,.
b) áe d egião qudd que coesponde PQRS é 1,6? 1,6 66,6. Potnto, hot ocup 66,6 m, cuj áe coesponde? 36 97. ompds áe do teeno com d hot obtemos: 66,6 0,8. 97 7 ) Repesent ltu eltiv o ldo tu. b) Os tiângulos e são semelhntes, um vez que (são etos), (ângulo comum) e, consequentemente,. Os tiângulos e são semelhntes, um vez que (são etos), (ângulo comum), e, consequentemente,. Logo o é semelhnte o, e seus ldos coespondentes são popocionis: ()? () ()? () () ()? () 8 ) ispondo k 1 p zão de semelhnç ente os tiângulos e 99, temos: k 1 ' 1 8 3 hmndo um ltu do de h 1 e ltu coespondente do 99 de h, temos: ' h1 1 3 h h h ' 8 1 h h 1 k b) ispondo k p zão de semelhnç ente os tiângulos e 00, temos: k 1 0 3 hmndo ltu do tiângulo 00 de h 3, temos: 0 h 1 1 h 1 h3 h3 0 3 h 1 h3 1 k c) omo já foi visto no item, temos: h1 3 h h 13? h 6 3 3 cm omo já foi visto no item b, temos: h1 3 h 3 13 h3 3 cm Os tiângulos e são semelhntes. O ângulo é comum e o ângulo é conguente o ângulo, pois tfu é plelo tu. ssim, os ldos coespondentes são popocionis. Sendo l medid do ldo do losngo, temos: 8 1 8? l 1? ( 8 l) I,8 8 l l 10 b? ()? (F) F 3? () e F? () FG F? ( ) FG 11 e 0 0, 08 0, 08 100? 100 10. 000 0? 10. 000. 000. 000 0, 08 1 d Os pes de tiângulos F e G, F e G são semelhntes. Logo: F G F G e F G F G F F 1 7 8 8? 1 F 6 1, PÍTULO 1 onsidee o seguinte esquem d situção (medids em metos). 9 m 7 m y 0 m z 13
) e codo com o teoem de Pitágos, temos: 9 1 7 y y 130 y 11, Os tiângulos etângulos dess figu são semelhntes, um vez que mbos têm dois ângulos intenos conguentes. Logo: y 3,6 0 7 Potnto, cod deve te poimdmente m de compimento (11, 1 3,6). b) Não, poque em vez de 30 m cod devei te m. 3 cm, cm e cm som dos quddos ds medids dos ctetos do tiângulo etângulo é cm, logo, hipotenus mede cm. Se epesentmos po e b s medids dos ctetos, teemos: 1 b 1 1 b 7 (I) 1 b (II) Se substituimos o vlo de b po 7 n equção (II), teemos: 1 (7 ) 1 9 1 1 1 1 0 3 ou Logo, s medids dos ldos desse tiângulo são 3 cm, cm e cm. onsidee est figu com s medids dds em centímetos. 3 8 6 omo tu//tu, os tiângulos e têm dois ângulos intenos conguentes (como indicdo n figu), o que compov que esses tiângulos são conguentes. Po isso temos: 8 6 3 8? 6 8 3 80 3.07 38, Logo, distânci pocud é de 38, cm. N 1,1? 3 3, cm 1 cm 16 16 cm M N 1 M e codo com o teoem de Pitágos, temos: () 1 1 16 0 M M 10 cm Os tiângulos etângulos e M são semelhntes, um vez que M (são etos), M (ângulos comuns) e, consequentemente, M. Se epesentmos po medid de tu, e po 16 medid de tu, teemos: M 0 16 16 10 0? 10 16 3, 16 Logo, medid de tu é 3, cm. Sejm e. e codo com o teoem de Pitágos, temos: () () 1 () () 1 16 () 0 Os tiângulos MN e são semelhntes, um vez que //tu. Po isso: N M N N Se N é mio que, zão N é dd po: N 1, 1 ou 11% Logo, tnu é poimdmente 1% mio que tu.
6 c hipotenus do F pode se clculd pel elção de Pitágos: F 1 1 F 169 F 13 omo são dois ldos, espectivmente plelos, os tiângulos e F são semelhntes. ssim, pode-se clcul po meio de um popoção: 13 7? 13 78 7 1 1 7 b e codo com o teoem de Pitágos, no temos cm. Pel semelhnç dos tiângulos e, temos: 8 8 10 Potnto, 1 cm. 8 b O ângulo é comum os tiângulos, logo, os tiângulos e são semelhntes. Po isso: 1 8? 8 10 3,3 1 3 Se o é isósceles, temos. Logo, os tiângulos PS e QR tmbém são isósceles, o que nos lev conclui que PS P Q QR. 3 ess fom, medid d hipotenus 6 3?. 3 3 No etângulo e isósceles com, temos: [ ]??? 10 d Sej R e R (11 ). RS RS RQ ( 11 ) ( 11 ) RQ ( 11 ) O peímeto do qudiláteo PQRS é som ds quto hipotenuss: ( 11 ) ( 11 ) 11 figu e equção segui estão de codo com os ddos do enuncido: 300 300 300 00 300 00 P 300 1 300 1 00 300 1 00 1 00 Logo o poste está 00 m do ponto, ou sej, 300 m do ponto. 1 b pós s nh pecoeu 80 cm, potnto el está 10 cm do poste. nqunto isso, fomig subiu 0 cm do poste. hipotenus tfu é solução do poblem: F P F 10 1 0 F 1.00 1.00 F 16.900 F 130 13 e e codo com figu obtém-se que medid d digonl são uniddes mis que medid do ldo, que é. digonl do quddo é, logo: 1 [ ] 1 GH 1 Sej medid do ldo do quddo. Po isso, temos: F 3 G hipotenus do GH tem medid igul. Potnto, GH H. 1
1 cm No esquem, h epesent medid d ltu do tiângulo eltiv o ldo tu (medids em centímetos). omo tu//tu, os tiângulos e são semelhntes. Potnto: h 9 h 0 3 0 h 3 h 88 1 h 88 h Logo, medid d ltu do tiângulo eltiv o ldo tu é cm. 16 F 1,9 0 F 80 80 No esquem, s medids indicds estão em centímetos. Os tiângulos e F são semelhntes, um vez que têm dois ângulos intenos conguentes (um ângulo eto e um ângulo comum). Po isso, temos: 80 80 80 1 0 80 (I) Os tiângulos e F são semelhntes, um vez que têm dois ângulos intenos conguentes. Po isso: 80 0 9 (II) 36 36 17, cm e 9,6 cm e codo com o teoem de Pitágos, temos: 9 1 1 1 e codo com s elções métics no tiângulo etângulo, temos: b 81 n? b n n = n, 1 m? c m c 1 m m 9, 6 1 Logo, s pojeções dos ctetos sobe hipotenus medem, cm e 9,6 cm. 18 h 6 6 cm 13 e codo com s elções métics no tiângulo etângulo, temos: h? b? c h? 6? 3 1 1 6 h h h 6 6 6 6 13 Logo, ltu eltiv à hipotenus desse tiângulo mede 6 6 cm. 13 19 ) PI 8 cm e codo com o teoem de Pitágos, temos: (I) (P) 1 (PI) 17 1 1 (PI) (PI) 6 PI 8 Logo, PI 8 cm. b) h 7,1 e codo com s elções métics no tiângulo etângulo, temos: h? 17 8? 1 h 7,1 Logo, medid h dess ltu é poimdmente 7,1 cm. 16 Substituindo I em II, temos: 0 9? (80 ) 6 70 7 0 1, 9 6 Logo, medid de tfu é de poimdmente 1,9 cm. c) e codo com s elções métics no tiângulo etângulo, temos: 8 17? m m 3,8 1 17? n n 13, Logo, s medids poimds de m e n (pojeções dos ctetos sobe hipotenus) são, espectivmente, 3,8 cm e 13, cm.
0 1 3 cm omo o está inscito em um cicunfeênci, temos: O O O, do qul é o io d cicunfeênci. Po isso, de codo com o teoem de Pitágos, podemos clcul o tiângulo etângulo OH. e codo com s elções métics no etângulo, temos: h? 9 h 36 h 6 Se plicmos o teoem de Pitágos os tiângulos e, teemos: y h 1 9 y 177 y 3 13 h 1 13 Logo, s medids dos ldos do etângulo são 13 cm e 3 13 cm. 18 cm 1 O 18 3 3 3 3 1 3 Logo, o io dess cicunfeênci mede 1 3 cm. e Se epesentmos po e s medids dos ctetos desse tiângulo etângulo, hipotenus y mediá: y 1 y Po isso: H 1 Logo, s zões espectivs são 13 cm e 3 13 cm Repesentndo situção, temos: h cm 9 cm y e. PÍTULO 3 1 10 peçs cozinh 300? 00 cozinh 60.000 cm ceâmic 0 ceâmic 00 cm n: númeo de peçs de ceâmic cozinh 60.000 n 10 00 ceâmic Logo, seão necessáis 10 peçs de ceâmic. poimdmente R$ 30,63. Pizz com 0 cm de diâmeto Áe: 00π cm Peço: R$ 0,00 Pizz com 3 cm de diâmeto Áe: 306,π cm Peço: 306, 0 π 00π 30,6 O peço d pizz com 3 cm de diâmeto deve se poimdmente R$ 30,63. 3 losngo 16 cm (, ) 6, 8 M? PM O M é semelhnte o PMQ, po isso: PQ M 8? PM PQ PM PQ PM losngo? d MN? PQ 8? 3 losngo 16 cm 17
18 totl 6[ 6 ] 6 m quddo 36 m p 6 7 p 9 e codo com fómul de Heon, temos: tiângulo 9(9 )(9 6)(9 7) 3? 6 6 6 m totl tiângulo 36 6 6 6[ 6 ] 6 m c Obseve est figu: O F totl Se é medid do ldo do heágono F, o io d cicunfeênci tmbém mede. Obseve ind que, no tiângulo destcdo, temos:, 3 3, 3 ssim, s áes H e K são tis que: H K 3 3 3 6? 3 3 3 6?? 3 3 3 3 H K 3 6 ) áe d pede é de 17.000 cm (30? 00). áe dos zulejos coesponde 00 cm (0? 0). Po isso, o númeo de zulejos necessáios seá 17.000 37,. 00 quntidde de zulejos é um númeo inteio, logo seão necessáios 38 zulejos. b) É necessáio encont um medid que sej diviso tnto d ltu como do compimento d pede. Se 30?? 7 e 00? ³, temos: M (30, 00)? ² 0 Potnto, mio medid possível p o ldo do zulejo é 0 cm. 7 c Sej. ess fom, medid. omo difeenç ente s áes dos quddos é 6, temos: ( ) 6 8 16 6 9 bse do é 9, e ltu,, potnto, áe desse tiângulo é 9?,. 8 b N figu, os tiângulos e são semelhntes, um vez que seus ângulos são conguentes. Sbendo que o segmento tu mede 0 8 1, medinte um popoção clculmos o vlo de. 1 9 1 0 onhecids s medids ds bses tu e tu e d ltu tu do tpézio, clculmos su áe:? = 1 9? 8 96 ess fom, o ldo desse heágono mede 6 m. 6 3 6? 3 cm 8 10 7 figu, já complet, está montd sobe um mlh qudiculd de 16 quddos. o obsev figu, veific-se que peç não utilizd foi o plelogmo, que coesponde um áe de dois quddos d mlh. ess fom, zão d áe d figu p áe d figu coesponde 16 8 1 7.
PÍTULO 1 c áe de gvção do coesponde um coo cicul de ios (cículo inteno) e 6 (cículo eteno). Áe de gvção do comum: π(6 ) 3π Áe de gvção do novo : π(1 ) 18π álculo d cpcidde de gvção do novo : omo ess cpcidde é dietmente popocionl à áe de gvção, 80 80? 18 π 80? 30 3π 18π 3 π c sob de tecido coesponde à áe de um quddo com 0 cm de ldo menos áe do cículo com cm de io do tecido p confecção dos bonés. Potnto: 0 π?.00 3? 6 6 P cd boné cotdo, o fbicnte pede 6 cm de tecido. cd 3 m de tecido coespondem 6 bonés com ped de 3.70 cm (6? 6). Se áe de cd boné coesponde 1.87 cm (3? 6) de tecido, ped equivle bonés (3.70 : 1.87). 3 e pte cl é fomd po setoes de 90 que, juntos, equivlem um cículo completo de io. omo mbs s ptes devem se iguis, áe desse cículo de io é igul à metde d áe do quddo. Potnto: 100 100 100 π? π π 10, c ividid em quto ptes áe sombed centl, veific-se que els se encim pefeitmente nos espços junto os vétices do etângulo. m zão disso, áe sombed coesponde à som ds áes de dois etângulos cujs medids são po. e O segmento tu coesponde 0 cm, bem como o io d cicunfeênci digonl do etângulo, tmbém coesponde 0 cm ( tábus, ldo ldo). medid do segmento tu equivle dois ios, potnto, 80 cm. 10 cm ltu do etângulo coesponde um cteto do tiângulo etângulo. Potnto: 1 80 0 1 6.00 1.600.800 0 3 áe do etângulo é 1.600 3 cm ( 0 3? 0 ). 6 b áe do tiângulo cuvilíneo coesponde à difeenç ente áe do FG equiláteo obtido pti dos centos dos cículos e som ds áes dos tês setoes cicules de 60. Obseve figu: G Áe do FG ( )? 3 Áe do seto cicul de 60 60? π? π? 360 6 F? 3 tc π?? 3 3? 6 Áe sombed:?? 16 [? 3 π? 3 π]? 19
7 e ltu h é esultdo d som de dois ios iguis 0, m, cd um, mis ltu do fomdo pelos centos dos cilindos. h 0,, 0, lgu do cminhão foi ocupd po dois toncos, com 1 m de diâmeto cd um, d qul sobou 0, m, que é distânci ente os dois toncos. Potnto, 1, m. Os ldos tu e tu são fomdos po dois ios com 0, m cd um. ltu do divide o segmento tu o meio. o etângulo obtém-se o vlo de : 3 9 1 1 = 16 ltu h é 0, m 1 7 0, m 1 m 11 7 m. 8 O ponto médio do segmento tu não ecebe s tnsmissões d emisso. ) O ponto médio de tu pode se detemindo pelo cálculo d hipotenus do etângulo: 0 0 0 7 O ponto médio de tu dist 0 km d nten e d nten, potnto, ele não ecebe s tnsmissões d emisso. omo o é etângulo isósceles, o ângulo é de, ângulo esse do seto cicul que, dento do tpézio, nten ecebe s tnsmissões, cujo io tmbém é de 0 km. O lcnce d nten, dento do tpézio, estinge-se um seto cicul cujo io tem 0 km e cujo ângulo tem 13 (90 1 ). Os quto setoes cicules somm 360, que coespondem, potnto, à áe de um cículo completo cujo io tem 0 km. ess fom, áe não lcnçd pels tnsmissões coesponde à áe do qudiláteo, menos áe do cículo de io 0 km, ou sej, coesponde poimdmente 1.9 km² (3.00 0 π? ). 9 Sej i o io do cículo intemediáio. e codo com os ddos, áe d coo cicul é igul à áe do cículo meno, potnto: π? (13 ) π? 169π π π 1 10 c 8 e codo com figu, o segmento tu é conguente o segmento tu do etângulo. Pel elção de Pitágos, clcul-se medid do segmento tu, do qul e 1 (som dos ios). 1 18 8 0 b) 3.00 π? 0 O qudiláteo é um tpézio cuj áe é: 100 60 0 3.00? Nos limites do tpézio, o lcnce ds ntens e estinge-se um seto cicul com io de 0 km e ângulo de 90. 11 c O quddo de ldo 1 tem um unidde qudd de áe. ess áe, é possível subti áe do, que é equiláteo, um vez que o ponto é comum à intesecção dos cos conguentes ) e ). Su áe é: 1? 3 3 tiângulo
60 60 h 60 O ângulo é o complemento de 60, isto é, med() 30. nlogmente, med() 30. áe de cd um deles é: seto 30 1 seto π π 360 360 π 1 o subti d áe do quddo áe do e s áes dos dois setoes cicules ( e ), esult áe pocud: 3 π π 3 π 1 1 1 1 6 ecícios de integção 1 s medids dos ldos do tiângulo são 1 m, 0 m e m. Medids dos ldos: ( ), e ( 1 ). omo se tt de ldos de um tiângulo etângulo, espeitm elção de Pitágos. Logo: ( 1 ) ( ) 1 1 10 1 10 1 1 10 10 1 0 0 ( 0) 0 0 ou 0 solução 0 não diz espeito o poblem, potnto o vlo de é 0. 1 : 100 Nesse cso, escl é dividid po. 1 1 0? 1 100 escl seá 1 : 100. 3 c onsidee o seguinte esquem no qul é distânci se encontd. 0 km T 0 km 60 km O ponto é o ponto mis leste de e está 0 km note de T. e codo com o teoem de Pitágos no T etângulo, temos: 60 0 1 (0 1 ) 1 80 1.600 0 0 [ 1 ] distânci de é igul 0[ 1] km. d Sendo 0 fis, temos um sequênci de 1 segmentos de ets plels. O compimento do último é 10 e do pimeio 6. O compimento desses segmentos, em odem do meno p o mio, são cescidos de 0,1 m 10 m 6 m. 0 Segue sequênci de medids desses segmentos: 6; 6,1; 6,; 6,3;... ; 9,9; e 10 Segue sequênci ds medids ds áes dos 0 tpézios cinzs: 6,1 1 6, 0,1;? 6,3 1 6, 0,1;? 6, 1 6,6 0,1;?... ; e 9,9 1 10 0,1? Obseve que os temos dess sequênci configum um P de zão 0,0 e 0 temos, dos quis 0,61 é o pimeio. álculo d som dos 0 temos: 1 0 0,61 0,99 0?? 0 16,1 1
Obseve este tiângulo etângulo etído d figu, obseve os vétices. 7 b áe sombed pode se decompost em dus figus: um tiângulo etângulo isósceles e o segmento cicul. Obseve figu: O ( O) O O? O O O O Obseve tmbém este outo tiângulo etângulo: Áe? Áe segmento cicul : π h 180? 90? π?? 180 π Áe sombed 1 π π 1 ( O) O O? O O Potnto, O O O O O O O. O O nlogmente, tçndo os tiângulos etângulos, F, FG, FGH, HIJ e IJK, obsevmos que: O O O O OI O O OJ OJ OK 6 Um vez conguentes os ângulos, são semelhntes os tiângulos cujos ldos e ltus são popocionis. álculo ds ltus eltivs às bses tu e tu: 3 h, h h ltu h do tiângulo 1 é, cm, e do tiângulo é 1, cm. álculo d difeenç ente s áes:?, 3? 1, 1,, 1 Potnto, difeenç ente s áes é de cm. 8 ) O peímeto do heágono, em centímetos, é 6? 1, 9. O peímeto do tiângulo é igul o peímeto do heágono, logo: 3, 9, 3 cm tiângulo (, 3 ) 3 b) tiângulo heágono 6 (, 6 ) 3 heágono tiângulo tiângulo 13 3 0 9 3 13 3? 0 9 3 3 9 3 13 3 0 Sej, medid do ldo do. Podemos equcion: 3 3, 3, 6 Os tiângulos e F são semelhntes, gudndo ente si zão 1. Po isso, medid do ldo do tiângulo meno é igul 3 e su áe igul 9 3.
Gbito Retomd dos conceitos PÍTULO 1 1 h 100 cm. O peímeto do etângulo meno, semelhnte o etângulo ddo, coesponde 8 cm. 3 O peímeto do MN é de 8 cm. ltu eltiv o ldo do mede 8 cm. s medids d fente de cd lote coespondem m, b 1 m, c 18 m, d 1 m e e 1 m. 6 ) 86, m b) áe d egião qudd coesponde 66,6 e compd à áe do teeno com d hot obtemos 66,6 0,8. 97 7 ) Repesent ltu eltiv o ldo tu. b) st tblh com popoções nos tiângulos semelhntes d figu. 8 ) k 1 3 10 b 11 e 1 d b) k 9 1 3 c) h 6 3 cm e h 3 13 3 cm PÍTULO 1 ) cod deve te poimdmente m de compimento. b) Não, cod devei te m. s medids dos ldos desse tiângulo são 3 cm, cm e cm. 3 medid de tu é 3, cm. distânci pocud é de 38, cm. tnu é poimdmente 1% mio que tu. 6 c 7 b 8 b 10 d 11 1 b 13 e 1 GH 1 medid d ltu do tiângulo eltiv o ldo tu é cm. 16 medid de tfu é de poimdmente 1,9 cm. 17 s pojeções dos ctetos sobe hipotenus medem, cm e 9,6 cm. 18 h 6 6 13 cm 19 ) PI 8 cm b) h 7,1 c) m 3,8 e n 13, 0 O io dess cicunfeênci mede 1 3 cm. 1 s zões espectivs são e s medids dos ldos do etângulo são 13 cm e e 3 13 cm.. 3
PÍTULO 3 1 Seão necessáis 10 peçs de ceâmic. O peço d pizz com 3 cm de diâmeto deve se poimdmente R$ 30,63. 3 losngo 16 cm [ totl 6 6 ] 6 m c 6 ) pede de zulejos é intei, logo seão necessáios 38 zulejos. b) mio medid possível p o ldo do zulejo é 0 cm. 7 c 8 b 10 zão d áe d figu p áe d figu é 8 7. PÍTULO 1 c c 3 e c e 6 b 7 e 8 ) O ponto médio do segmento,- não ecebe s tnsmissões d emisso. 9 10 c 11 c b) (3.00 π? 0 ) ecícios de integção 1 s medids dos ldos do tiângulo são 1 m, 0 m e m. escl seá 1 : 100 3 c d st plic s elções métics os tiângulos etângulos d figu. 6 difeenç ente s áes é de cm. 7 b 8 ), tiângulo 3 cm b) heágono tiângulo 3 3