CURSO A DISTÂNCIA DE GEOESTATÍSTICA Aula 6: Estaconardade e Semvarânca: Estaconardade de a. ordem, Hpótese ntríseca, Hpótese de krgagem unversal, Crtéros para escolha, Verfcação, Representatvdade espacal, Defnção de semvarânca, Defnção de covarânca, Autocorrelação, Relações pertnentes. Introdução: Todos os concetos teórcos de geoestatístca têm suas bases em funções e varáves aleatóras, as quas, por convenção, recebem símbolos maúsculos. Os valores meddos recebem símbolos mnúsculos. É precso também entender que uma realzação em partcular de uma função é um valor numérco assumdo por esta função dentro de uma dada condção fa. Por eemplo, Cos(0) = 1, então 1 é uma realzação da função coseno para o ângulo 0 (zero) graus. Para o estabelecmento do problema, consdere-se um campo de área S, para o qual se tem um conjunto de valores meddos {z( ), =1, n}, onde dentfca uma posção no espaço ou no tempo, e representa pares de coordenadas (, y ). Esse procedmento é usado para smplcdade de representação na dedução das equações. O ponto de referênca para o sstema de coordenadas é arbtráro e fado a crtéro do nteressado. Para uma dada posção fa k, cada valor meddo da varável em estudo, z( k ), pode ser consderado como uma realzação de uma certa varável aleatóra, Z( k ). A varável regonalzada Z( k ), para qualquer dentro da área S, por sua vez pode ser consderada uma realzação do conjunto de varáves aleatóras {Z( ), para qualquer dentro de S}. Esse conjunto de varáves aleatóras é chamado uma função aleatóra e é smbolzado por Z( ). O eposto acma se faz necessáro porque, pelo fato de uma função aleatóra ser contínua, pode ser submetda a uma grande gama de hpóteses, sem as quas a dedução de equações é mpossível. O que se deve esperar é que com pontos dscretos de amostragem, se possa satsfazer as hpóteses às quas as funções aleatóras estão sujetas. Com uma únca amostragem, tudo o que se sabe de uma função aleatóra Z(k ) é uma únca realzação. Então, para se estmar valores para os locas não amostrados, ter-se-á que ntroduzr a restrção de que a varável regonalzada seja, necessaramente, estaconára estatstcamente. Formalmente, uma varável regonalzada é estaconára se os momentos estatístcos da varável aleatóra Z( +h) forem os mesmos para qualquer vetor h. De acordo com o número k de momentos estatístcos que são constantes, a varável é chamada de estaconára de ordem k. Estaconaredade de ordem é tudo que é requerdo em geoestatístca. Supondo-se que a função aleatóra Z( ) tenha valores esperados E{Z( )} = m( ) e E{Z( +h)} = m( +h) e varâncas VAR {Z( )} e VAR {Z( +h)}, respectvamente, para os locas e +h, e qualquer vetor h, então, a covarânca C(, +h) entre Z( ) e Z( +h) é defnda por C(, + h)= E {Z( ) Z( + h)} - m( ) m( + h) (1) e o varograma γ(, +h) é defndo por
γ (, +h) = E {Z( ) - Z( +h)} () A varânca de Z( ) é VAR {Z( )} = E {Z( ) Z( +0) - m( ) m( +0)}= (3) = E {Z ( )-m ( )} = C(, ) e a varânca de Z( +h) é VAR {Z( +h)} = E {Z ( +h) - m ( +h)} = C ( +h, +h) (4) Assm, estem três hpóteses de estaconardade de uma função aleatóra Z( ), e pelo menos uma delas deve ser satsfeta antes de se fazer qualquer aplcação de geoestatístca. Estaconardade de ordem Uma função aleatóra Z( ) é estaconára de ordem se: a) O valor esperado E{Z( )} estr e não depender da posção, ou seja para qualquer dentro da área S. E {Z( )} = m b) Para cada par de varáves aleatóras, {Z( ), Z( +h)}, a função covarânca, C(h), estr e for função de h: C(h) = E {Z( ) Z( +h)} - m para qualquer dentro da área S. A hpótese de estaconardade de ordem mplca a estênca de uma varânca fnta dos valores meddos, VAR {Z()} = C(0). Esta hpótese pode não ser satsfeta para alguns fenômenos físcos que têm uma capacdade nfnta de dspersão. Eemplos ncluem a concentração de ouro em jazdas de ouro, o movmento brownano de moléculas e algumas cadeas de Markov. Hpótese ntrínseca Uma hpótese menos restrtva, a hpótese ntrínseca, pode ser aplcável em mutas stuações para as quas é dfícl satsfazer a estaconardade de ordem. Essa hpótese requer apenas a estênca e estaconardade do varograma, sem nenhuma restrção quanto à estênca de varânca fnta. Uma função aleatóra é ntrínseca quando, além de satsfazer a condção da estaconardade do prmero momento estatístco: E {Z( )} = m (5) (6) (7)
também satsfzer a egênca de que o ncremento {Z( ) - Z( +h)} tenha varânca fnta, e não dependa de para qualquer vetor h.. Matematcamente, sso pode ser escrto: VAR {[Z( ) - Z( + h )]} = E[Z( ) - Z( + h) ] para qualquer dentro da área S. A hpótese ntrínseca é, na verdade, a mas freqüentemente usada em geoestatístca, prncpalmente por ser a menos restrtva. ((8) Hpótese de tendênca - krgagem unversal Nesta hpótese, a função aleatóra Z( ), para qualquer posção,, consste de dos componentes: Z( ) = m( )+ e( ) onde m( ) é o "drft" (tendênca prncpal) e e( ) é o erro resdual. Portanto, para se trabalhar sob esta hpótese é precso, para cada posção, determnar o "drft", m( ), e ter uma epressão para o semvarograma dos resíduos. Devdo à arbtraredade envolvda na epressão do "drft" e do semvarograma dos resíduos, não será apresentado aqu nenhum desenvolvmento teórco para krgagem unversal. (9) Crtéros para escolha Se uma função aleatóra é estaconára de ordem k (k>0), ela também será estaconára de todas as ordens menores que k. Consequentemente, se uma função aleatóra Z( ) é estaconára de ordem, ela será também ntrínseca. Entretanto, o contráro não é necessaramente verdade. Não este um método fácl para testar em qual tpo de estaconardade os dados se enquadram. O eame do semvarograma, como será vsto a segur, e um teste conhecdo como "jack-knfng", são as prncpas ferramentas utlzadas para se conhecer ndretamente a estaconardade dos dados. O prncpal crtéro para a escolha é a smplcdade. Por sto, neste curso, todo esforço será feto para se enquadrar a função na hpótese ntrínseca. Uma manera smplsta de se avalar se a estaconardade da méda (equação 7) este é estabelecer um rao de dmensão magnára e eamnar o sera o valor da méda da varável em análse dentro deste rao. Em seguda move-se magnaramente este rao pela área calculando-se valores médos. Se este valores médos forem de alguma manera organzados no espaço então a estaconardade da méda não este uma vez que este processo mostrou que a méda depende da posção espacal. O melhor ndíco desta condção é o patamar do semvarograma, uma vez que, se ele estr, sto é um ndcatvo de que a equação 8 é fnta. Estas duas condções (méda ndependente da posção espacal e presença de patamar no semvarogramas) dentfcam um varável ntrínseca. Verfcação:
0 15 30 45 60 Topografa (cm) Wang A fgura acma mostra o mapa topográfco de uma área de 1ha a qual não se se enquadra na hpótese ntrínseca. Para esta superfíce o teste da estacordade da méda não será aprovado, uma vez que uma méda regonal tem uma tendênca de aumentar dagonalmente a partr da coordenada X=0 até o meo do campo e decrescendo novamente até Y=100. c Semvarân 140 10 100 80 60 40 0 0 Topografa Wang Ottawa, Canada Cotas_Orgnal Estmado Cotas_Resíduos 0 0 40 60 80 Dstânca, m O semvarograma correspondente está mostrado na fgura acma, onde se pode ver que não este um patamar para as semvarâncas dos dados orgnas. Isto sgnfca que o campo amostrado não fo sufcente para epressar toda a varabldade dos dados. Os
trângulos verdes dentfcam o semvarograma da varável resdual construída pela dferença entre a superfíce parabólca ajustada e os dados orgnas. Uma superfíce parabólca fo ajustada à fgura acma, e construu-se uma nova varável consttuída da dferença entre a superfíce ajustada e os dados orgnas. A superfíce resultante fcou assm: Topografa (Resíduos) Wang, Ottawa -40-30 -0-10 0 10 0
a Semvarânca 50 45 40 35 30 5 0 15 10 Cotas_Resíduos Sph(1,39,16) 5 0 a 0 0 40 60 80 Dstance, meters O semvarograma para a varável resdual está na fgura acma. Para esta nova varável, a hpótese ntrínseca poderá ser satsfeta, eamnando-se a estênca de patamar no semvarograma. Defnção de semvarânca A equação () é, por defnção, o varograma: γ (h) = E[Z( ) - Z( +h)] ( 10) A função γ (h) é o semvarograma. A razão para o prefo "sem" é que a equação (10) pode ser escrta na forma: γ (h) = 1 / E[Z( ) - Z( +h)] ((11) Defnção de covarânca Supondo-se que a função aleatóra Z( ) tenha valores esperados E{Z( )} = m( ) e E{Z( +h)} = m( +h) e varâncas VAR {Z( )} e VAR {Z( +h)}, respectvamente, para os locas e +h, e qualquer vetor h, então, a covarânca C(, +h) entre Z( ) e Z( +h) é defnda por C(, + h)= E {Z( ) Z( + h)} - m( ) m( + h) Relações pertnentes O fator fo ntroduzdo na defnção do varograma, γ(h), para cancelamento e smplfcação e a quantdade mas freqüentemente usada é γ(h) e não γ(h). ((1)
A equação (6), estaconardade da covarânca, mplca na estaconardade da varânca e do varograma. Assm, usando a lneardade do operador valor esperado, E, na equação (3), obtém-se: VAR {Z( )} = E {Z( +0)} - E {m ( )} e aplcando as condções de estaconardade (5) e (6) obtém-se: VAR {Z( )} = E {Z ( )} - m = C(0) ((13) (14) O varograma na equação () pode ser desenvolvdo em: γ (, + h)= γ (h)= E { Z ( ) - Z( )Z( + h)+ Z ( +h)} (15) Somando e subtrando m : γ (h) = E {Z ( )-m -Z( ) Z( +h)+ m + Z ( +h)-m } Usando a lneardade do operador E, e reconhecendo que o valor esperado de uma constante é a própra constante tem-se: γ (h) = E {Z ( )} - m - (E {Z( )Z( +h)}-m )+ E {Z ( +h)}-m Substtundo as equações (6) e (8) na equação (14), tem-se: ou smplfcando, Isolando C(h), tem-se: (17) ((16) γ (h) = C(0)- C(h)+ C(0) = C(0) - C(h) ((18) γ (h) = C(0) - C(h) ((19) C(h) = C(0) - γ (h) ((0) Dvdndo ambos os lados por C(0) e reconhecendo que o correlograma ρ(h) = C(h)/C(0): ρ(h) = C(h) C(0) = C(0) C(0) - γ (h) ρ(h) = 1- C(0) γ (h) C(0) Portanto, se a hpótese de estaconardade de ordem puder ser satsfeta, a covarânca C(h) e o varograma γ(h) são ferramentas equvalentes para caracterzar a dependênca espacal. A estênca de estaconardade dá a oportundade de repetr um epermento mesmo que as amostras devam ser coletadas em pontos dferentes, porque todas são consderadas pertencentes a populações com os mesmos momentos estatístcos. (1