# Cubo # Paralelepípedo a Diagonal d a Diagonal Área Total Volume d a d a b c A 6 a Área Total A (a b a c b c) a a V Volume V a b c a d b c # Volume Capacidade: 1dm 1litro 1m 1.000l 1cm 1ml # Prisma / Elementos # Prisma Reto Vértice Base Base Aresta Lateral Face Lateral Altura Altura Aresta Lateral Aresta da Base Área da Base Área Lateral Área do Polígono da Base. Soma das Áreas das Faces Laterais (Paralelogramos). Obs.1: no prisma reto as faces laterais são retângulos. Obs.: Cubo e Paralelepípedo são prismas. Área Total Base Diagonal Área Lateral + Áreas das Bases. Volume = (Área da Base) (Altura do Prisma).. Aresta Lateral Perpendicular à Base Aresta Lateral Base PRISMA REGULAR Prisma Reto onde as Bases são Polígonos Regulares 1
Parte A 1) Dado um cubo cuja aresta mede m. Calcule: a) a área total. b) a diagonal. c) o volume. d) a capacidade em litros. ) Dado um paralelepípedo retângulo cujas dimensões são cm, cm e 4cm. Calcule: a) a área total. b) a diagonal. c) o volume. d) a capacidade em litros. ) Uma piscina tem o formato de um paralelepípedo reto retângulo com dimensões 5m, 8m e m sendo m a medida da profundidade da piscina. a) Estando a piscina vazia é ligada uma torneira para enchê-la a uma vazão de 00 litros d água por minuto. Qual o tempo mínimo necessário para que a torneira encha completamente a piscina. b) Se a piscina foi revestida com azulejos quadrados de dimensões 40cm 40cm, quantos azulejos foram necessários? 4) A área total de um cubo é igual a 54 m. Determine: a) a medida de sua diagonal. b) seu volume. c) Sua capacidade em litros. 5) Calcular as dimensões de um paralelepípedo retângulo, sabendo que elas são proporcionais aos números, e 6 e que a diagonal mede 5 cm. 6) Calcule o volume do prisma prisma triangular reto cujas principais medidas, em metros, estão indicadas a seguir. 7) Considere a piscina de dimensões conforme a figura a seguir. A piscina estava totalmente cheia quando era metros a profundidade da parte mais funda e metros a profundidade da parte mais rasa, porém, um vazamento diminuiu o nível da água ficando a parte mais rasa com 1metro, conforme indicado. a) Calcule qual o volume d água que vazou. b) Calcule qual o volume d água que restou na piscina.
8) Dado um prisma triangular regular onde a aresta da base mede m e a aresta lateral mede 10m. Calcule: a) a área da base b) a área lateral c) a área total d) o volume e) a capacidade em litros. 9) Dado um prisma hexagonal regular onde aresta da base mede 4m e aresta lateral mede 5m. Calcule: a) a área da base b) a área lateral c) a área total d) o volume e) a capacidade em litros. PARTES B, C, D e E Exercícios de Cubos e Paralelepípedos PARTE B 10) Para cada cubo a seguir calcule as medidas da diagonal, da área total, do volume e a capacidade em litros: a) Cubo cuja aresta mede m. b) Cubo cuja aresta mede 10m. c) Cubo cuja aresta mede dm. d) Cubo cuja aresta mede 50cm. 11) Para cada paralelepípedo reto-retângulo, cujas dimensões são dadas a seguir, calcule as medidas da diagonal, da área total, do volume e a capacidade em litros: a) Dimensões m, m e 4m. b) Dimensões 1dm, dm e dm. c) Dimensões 40cm, 50cm e 60cm. 1) Calcular a medida da diagonal e a área total de um cubo, cuja soma das medidas das arestas vale 0cm. 1) As dimensões de uma piscina são 0 50 m. a) Quantos azulejos de medida 0 0 cm são necessários para azulejar tal piscina? b) Qual a capacidade em litros desta piscina? 14) Um paralelepípedo reto-retângulo de chumbo com dimensões 4 8cm é derretido e moldado no formato de um cubo. Qual a medida da aresta do cubo? PARTE C 15) A área total de um cubo mede 54m. Determine: a) A medida de sua diagonal; b) Seu volume; c) Sua capacidade em litros. 16) Calcular as dimensões de um paralelepípedo retângulo, sabendo que elas são proporcionais aos números, e 6 e que a diagonal mede 5 cm. 17) As dimensões de um paralelepípedo reto retângulo são expressas por três números inteiros e consecutivos e sua diagonal mede 14 cm. Calcule a área total desse paralelepípedo. 18) Um cubo de metal é mergulhado em um tanque de água, retangular, cuja base mede 15cm por 0cm. O nível de água se eleva 0,09cm. Qual é a área total do cubo?
19) Considere o cubo da figura, cuja aresta mede 1cm: A B D E M. C F a) Calcule o seno, o cosseno e a tangente do ângulo E ĜA. b) Calcule a distância do ponto A até M, ponto médio de EG. c) Calcule o cosseno do ângulo A Mˆ G. H G PARTE D 0) Um tablete de doce de leite medindo 1 cm por 9 cm por 6 cm, está coberto com papel alumínio. Esse tablete é dividido em cubos de 1 cm de aresta, veja a figura. a) Quantos desses cubos não possuem nenhuma face coberta com papel alumínio? b) Quantos desses cubos possuem apenas uma face coberta com o papel alumínio? c) Quantos desses cubos possuem exatamente duas faces cobertas com papel alumínio? d) Quantos desses cubos possuem três faces cobertas com papel alumínio? 1) Determine a capacidade, em litros, de um reservatório cúbico sabendo que a maior vara de pesca que nele cabe inteiramente, sem envergar, tem m de comprimento. ) Se a medida x de cada uma das arestas de um cubo aumentar 0%: a) Qual a medida da nova aresta? b) Calcule a medida da área total antes e depois do aumento. c) De quanto aumenta percentualmente a área total depois do aumento? d) Calcule a medida do volume antes e depois do aumento. e) De quanto aumenta percentualmente o volume depois do aumento? ) Determine as dimensões de um paralelepípedo reto-retângulo, sendo a soma de suas dimensões igual a 45cm, a diagonal da base igual a 5cm e a área total igual a 100cm. PARTE E 4) Considere um cubo de chumbo com aresta medindo 1cm, outro cubo de chumbo com aresta medindo a metade da aresta do cubo anterior, outro cubo de chumbo com aresta medindo a metade da 4
aresta do cubo anterior e, assim sucessivamente... Se derretêssemos todos esses cubos e com o chumbo moldássemos um único e novo cubo, quanto mediria a diagonal desse novo cubo? 5) Um copo de base quadrada, no formato de um paralelepípedo reto-retângulo está com 80% de sua capacidade com água. Tal copo é inclinado considerando como eixo de rotação uma das arestas. Sabendo que a aresta da base mede 4cm e que a aresta lateral mede 10cm, qual o maior ângulo possível que esse copo pode ser inclinado, sem que a água se derrame? 6) As dimensões de um paralelepípedo reto-retângulo são proporcionais aos números log e t, loge t e log t e e a área total é 79cm. Sabendo-se que a soma das dimensões vale 1 vezes a razão de proporcionalidade, quais são os valores destas dimensões? PARTE F Exercícios de Prismas diferentes de Cubos e Paralelepípedos 7) A altura de um prisma reto mede 15 cm e a base é um triângulo cujos lados medem 0 cm, 0 cm e 40 cm. Calcular a área lateral do sólido. 8) Um prisma pentagonal regular tem 8cm de altura sendo 7 cm a medida da aresta da base. Calcular a área lateral desse prisma. 9) Determinar a área lateral de um prisma reto de 5 cm de altura, cuja a base é um hexágono regular de apótema 4 cm. 0) Num prisma triangular reto as arestas da base medem 5 cm, 6 cm e 7 cm, e uma aresta lateral mede 10 cm. Calcule a área total desse prisma. 1) (ENEM 014) Na alimentação de gado de corte, o processo de cortar a forragem, colocá-la no solo, compactá-la e protegê-la com uma vedação denomina-se silagem. Os silos mais comuns são os horizontais, cuja forma é a de um prisma reto trapezoidal, conforme mostrado na figura. Considere um silo de m de altura, 6m de largura de topo e 0m de comprimento. Para cada metro de altura do silo, a largura do topo tem 0,5m a mais do que a largura do fundo. Após a silagem, 1 tonelada de forragem ocupa m desse tipo de silo. EMBRAPA. Gado de corte. Disponível em: www.cnpgc.embrapa.br. Acesso em: 1 ago. 01 (adaptado). Após a silagem, a quantidade máxima de forragem que cabe no silo, em toneladas, é a) 110. b) 15. c) 10. d) 0. e) 60. 5
) (UEL 011) Uma metalúrgica produz uma peça cujas medidas são especificadas na figura a seguir. A peça é um prisma reto com uma cavidade central e com base compreendida entre dois hexágonos regulares, conforme a figura. Considerando que os eixos da peça e da cavidade coincidem, qual o volume da peça? a) 640 cm b) 180 cm c) 560 cm d) 0 cm e) 190 cm ) (UFG 014) O projeto Icedream é uma iniciativa que tem como meta levar um iceberg das regiões geladas para abastecer a sede de países áridos. A ideia do projeto é amarrar a um iceberg tabular uma cinta e rebocá-lo com um navio. A figura a seguir representa a forma que o iceberg tem no momento em que é amarrada à cinta para rebocá-lo. Considerando que o iceberg é formado somente por água potável e que, após o deslocamento, 10% do volume do bloco foi perdido, determine qual a quantidade de água obtida transportando-se um iceberg com as dimensões, em metros, indicadas na figura apresentada. 4) (ESPM 014) No sólido representado abaixo, sabe-se que as faces ABCD e BCFE são retângulos de áreas 6cm e 10cm, respectivamente. O volume desse sólido é de: a) 8 cm b) 10 cm c) 1 cm d) 16 cm e) 4 cm 5) (FGV 01) A figura mostra a maquete do depósito a ser construído. A escala é 1: 500, ou seja, 1cm, na representação, corresponde a 500 cm na realidade. 6
Qual será a capacidade, em metros cúbicos, do depósito? PARTE G Exercícios de VESTIBULARES Temas: VARIADOS 6) (UEPG 014) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são proporcionais aos números 1, e e sua área total é igual a 198cm. Sobre esse paralelepípedo, assinale o que for correto. 01) Seu volume vale 16cm. 0) As suas dimensões formam uma progressão aritmética. 04) A soma das medidas de todas as suas arestas é 7cm. 08) Sua diagonal é maior que 11cm. 7) (FGV 014) Uma piscina vazia, com formato de paralelepípedo reto retângulo, tem comprimento de 10m, largura igual a 5m e altura de m. Ela é preenchida com água a uma vazão de 5.000 litros por hora. Após três horas e meia do início do preenchimento, a altura da água na piscina atingiu: a) 5cm b) 7,5cm c) 0 cm d),5 cm e) 5 cm 8) (ACAFE 014) Num reservatório com a forma de um paralelepípedo reto retângulo, de 1 metro de comprimento, metros de largura e 5 metros de altura, solta-se um bloco de concreto. O nível da água que estava com 60% da altura do reservatório eleva-se até 4 da altura. O volume de água deslocado (em litros) foi de: a) 4500. b) 1500. c) 5500. d) 6000. 9) (ESPECEX - AMAN 014) Considere um prisma regular reto de base hexagonal tal que a razão entre a aresta da base e a aresta lateral é. Aumentando-se a aresta da base em cm e mantendose a aresta lateral, o volume do prisma ficará aumentado de 108 cm. O volume do prisma original é a) 18 cm. b) 6 cm. c) 18 cm. d) 6 cm. e) 40 cm. 40) (UFRGS 014) Na figura abaixo, encontra-se representada a planificação de um sólido de base quadrada cujas medidas estão indicadas. 7
O volume desse sólido é a) 144. b) 180. c) 16. d) 88. e) 60. 41) (UCS 014) O volume de um prisma reto, cuja base é um retângulo com lados de medidas 4 m e 6 m, é igual a 10 m. Qual será o volume, em m, do prisma reto que tem como base o polígono com vértices nos pontos médios da base do prisma anterior e que tem o triplo da altura do prisma anterior? a) 0 b) 60 c) 10 d) 180 e) 00 4) (UDESC 014) Um bloco sólido de pedra com forma de paralelepípedo retângulo de 1 metros de altura, 10 de largura e 4 metros de profundidade é demarcado de forma a ser dividido em 0 paralelepípedos iguais e numerados, conforme mostra a figura. Se forem extraídos os paralelepípedos de número 7, 9, 1 e 0, então a nova área superficial do bloco será de: a) 480 m b) 104 m c) 76 m d) 488 m e) 416 m 4) (ENEM 014) Um carpinteiro fabrica portas retangulares maciças, feitas de um mesmo material. Por ter recebido de seus clientes pedidos de portas mais altas, aumentou sua altura em 1, 8 preservando suas espessuras. A fim de manter o custo com o material de cada porta, precisou reduzir a largura. A razão entre a largura da nova porta e a largura da porta anterior é a) 1 8 b) 7 8 c) 8 7 d) 8 9 e) 9 8 44) (ENEM 014) Conforme regulamento da Agência Nacional de Aviação Civil (Anac), o passageiro que embarcar em voo doméstico poderá transportar bagagem de mão, contudo a soma das dimensões da bagagem (altura + comprimento + largura) não pode ser superior a 115cm. 8
A figura mostra a planificação de uma caixa que tem a forma de um paralelepípedo retângulo. O maior valor possível para x, em centímetros, para que a caixa permaneça dentro dos padrões permitidos pela Anac é a) 5. b). c) 4. d) 45. e) 49. 45) (IFSP 014) A figura a seguir representa uma piscina em forma de bloco retangular. De acordo com as dimensões indicadas, podemos afirmar corretamente que o volume dessa piscina é, em m, igual a a) 5 10. b) 6 10. c) 6 15. d) 5 0. e) 6 0. 47) (ENEM 014) O condomínio de um edifício permite que cada proprietário de apartamento construa um armário em sua vaga de garagem. O projeto da garagem, na escala 1: 100, foi disponibilizado aos interessados já com as especificações das dimensões do armário, que deveria ter o formato de um paralelepípedo retângulo reto, com dimensões, no projeto, iguais a cm, 1cm e cm. O volume real do armário, em centímetros cúbicos, será a) 6. b) 600. c) 6.000. d) 60.000. e) 6.000.000. 48) (UEPB 014) Uma cisterna de formato cúbico cuja área lateral mede 00m tem por volume, aproximadamente: a) 50 m b) 5 m c) 500 m d) 5 m e) 15 m 49) (UEPA 014) A natureza é uma fonte inesgotável de comunicação de saberes necessários à sobrevivência da espécie humana, por exemplo, estudos de apicultores americanos comprovam que as abelhas constituem uma sociedade organizada e que elas sabem qual o formato do alvéolo que comporta a maior quantidade de mel. Texto Adaptado: Contador, Paulo Roberto Martins. A Matemática na arte e na vida ª Ed. rev. São Paulo: Editora Livraria da Física, 011. 9
Um professor de matemática, durante uma aula de geometria, apresentou aos alunos pedaços de cartolina, cada um medindo 6 cm de largura e 1 cm de comprimento, divididos em partes iguais, conforme figuras abaixo: Dobrando os pedaços de cartolina nas posições indicadas, obtemos representações de prismas retos com as mesmas áreas laterais e base triangular, quadrangular e hexagonal. Sendo V o volume do prisma de base triangular, V 4 o volume do prisma de base quadrangular e V 6 o volume do prisma de base hexagonal, é correto afirmar que: Adote: 1,7. a) 6 4 V V V. b) 4 6 V V V. c) 4 6 V V V. d) 6 4 V V V. e) 6 4 V V V. 50) (UFRGS 014) No cubo de aresta 10, da figura abaixo, encontra-se representado um sólido sombreado com as alturas indicadas no desenho. O volume do sólido sombreado é a) 00. b) 50. c) 500. d) 600. e) 700. 51) (UPE 014) Como atividade recreativa, o professor Leocádio propôs que seu aluno Klécio montasse novas peças a partir da representada abaixo, mudando a posição de, apenas, um cubo. Dentre as peças representadas abaixo, assinale a que não pode ter sido confeccionada por Klécio. a) b) c) d) e) 10
5) (UNEB 014) A pele é o maior órgão de seu corpo, com uma superfície de até metros quadrados. Ela tem duas camadas principais: a epiderme, externa, e a derme, interna. (BREWER. 01, p. 7). De acordo com o texto, a superfície máxima coberta pela pele humana é equivalente a de um cubo cuja diagonal, em m, é igual a a) 1 b) c) d) 1 e) 5) (ENEM 014) Uma lata de tinta, com a forma de um paralelepípedo retangular reto, tem as dimensões, em centímetros, mostradas na figura. Será produzida uma nova lata, com os mesmos formato e volume, de tal modo que as dimensões de sua base sejam 5% maiores que as da lata atual. Para obter a altura da nova lata, a altura da lata atual deve ser reduzida em a) 14,4% b) 0% c),0% d) 6,0% e) 64,0% 54) (ENEM 014) Um fazendeiro tem um depósito para armazenar leite formado por duas partes cúbicas que se comunicam, como indicado na figura. A aresta da parte cúbica de baixo tem medida igual ao dobro da medida da aresta da parte cúbica de cima. A torneira utilizada para encher o depósito tem vazão constante e levou 8 minutos para encher metade da parte de baixo. Quantos minutos essa torneira levará para encher completamente o restante do depósito? a) 8. b) 10. c) 16. d) 18. e) 4. 55) (UFPR 01) Um tanque possui a forma de um prisma reto, com as dimensões indicadas pela figura. Com base nisso, faça o que se pede: a) Quando estiver completamente cheio, quantos litros esse tanque comportará? b) Obtenha uma função que expresse o volume V de água no tanque como função da altura x. 11
56) (MACKENZIE 01) Se no cubo da figura, FI 4 6, então a razão entre o volume e a área total desse cubo é a) 10 b) 8 c) 6 d) 4 e) 57) (IFSP - 01) ABCDEFG é um cubo de aresta 4 cm. Unindo-se os pontos médios das arestas AD, AE, EF, FG, CG e CD, obtém-se um polígono cujo perímetro, em centímetros, é igual a a) 6. b) 9. c) 1. d) 15. e) 18. 58) (UFPE 01) A ilustração a seguir é de um cubo com aresta medindo 6 cm. A, B, C e D são os vértices indicados do cubo, E é o centro da face contendo C e D, e F é o pé da perpendicular a BD traçada a partir de E. Com base nas informações acima, analise as proposições a seguir. ( ) A distância entre A e B mede 6 cm. ( ) A distância entre B e D mede 6 cm. ( ) Os triângulos CDB e FDE são semelhantes. ( ) O seno do ângulo FDE é. ( ) A distância entre E e F mede 6 cm. 1
59) (UFRGS 01) Considere as seguintes proposições de modelos de planificação de um cubo. Entre essas proposições de modelos de planificação, quais podem resultar em um cubo? a) I, II e V. b) III, IV e V. c) II, III e IV. d) II, IV e V. e) I, III e V. 60) (UFPA 01) Uma indústria de cerâmica localizada no município de São Miguel do Guamá no estado do Pará fabrica tijolos de argila (barro) destinados à construção civil. Os tijolos de 6 furos possuem medidas externas: 9 14 19 centímetros e espessura uniforme de 8 milímetros, conforme a figura abaixo. Utilizando 1 metro cúbico de argila, o número de tijolos inteiros que podem ser fabricados é, aproximadamente: a) 740 b) 960 c) 100 d) 1090 e) 180 61) (UEPB 01) Um reservatório em forma de cubo, cuja diagonal mede m, tem capacidade igual a: a) 4.000 litros b) 6.000 litros c) 8.000 litros d).000 litros e) 1.000 litros 6) (PUCRS 01) Uma piscina na forma retangular tem 1 metros de comprimento, 6 metros de largura e metros de profundidade. Bombeia-se água para a piscina até atingir 75% de sua altura. A quantidade de água para encher esta piscina até a altura indicada é de litros. a) 54 b) 108 c) 54000 d) 108000 e) 19000 6) (UNICAMP 01) Numa piscina em formato de paralelepípedo, as medidas das arestas estão em progressão geométrica de razão q > 1. a) Determine o quociente entre o perímetro da face de maior área e o perímetro da face de menor área. b) Calcule o volume dessa piscina, considerando q = e a área total do paralelepípedo igual a 5 m. 1
64) (UFSM 01) Os produtos de plástico são muito úteis na nossa vida, porém causam muitos danos ao meio ambiente. Algumas empresas começaram a investir em alternativas para evitar a poluição causada pelo plástico. Uma dessas alternativas é a utilização do bioplástico na fabricação de embalagens, garrafas, componentes de celulares e autopeças. Uma embalagem produzida com bioplástico tem a forma de um prisma hexagonal regular com 10 cm de aresta da base e 6 cm de altura. Qual é o volume, em cm, dessa embalagem? a) 150. b) 1.500. c) 900. d) 1.800. e) 1.800. 65) (ESCOLA NAVAL 01) Num prisma hexagonal regular a área lateral é 75% da área total. A razão entre a aresta lateral e a aresta da base é a) 5 b) c) 5 d) 5 e) 5 66) (FGVRJ 01) Uma caixa sem tampa é construída a partir de uma chapa retangular de metal, com 8 dm de largura por 10 dm de comprimento, cortando-se, de cada canto da chapa, um quadrado de lado x decímetros e, a seguir, dobrando-se para cima as partes retangulares, conforme sugere a figura a seguir: O volume, em dm, da caixa assim obtida é a) 80x 6x 4x b) 80x 6x 4x c) 80x 18x x d) 80x 18x x e) 0x 9x x 68) (FATEC 01) O sólido da figura é formado por cubos de aresta 1 cm os quais foram sobrepostos e/ou colocados lado a lado. Para se completar esse sólido, formando um paralelepípedo retorretângulo com dimensões cm cm 4 cm, são necessários N cubos de aresta 1 cm. O valor mínimo de N é a) 1 b) 18 c) 19 d) 5 e) 7 69) (PUCRJ 01) De uma folha de papelão de lados de medidas e 14 foram retirados, dos quatro cantos, quadrados de lado de medida para construir uma caixa (sem tampa) dobrando o papelão nas linhas pontilhadas. 14
a) Determine o perímetro da folha de papelão após a retirada dos quatro cantos. b) Determine a área da folha de papelão após a retirada dos quatro cantos. c) Determine o volume da caixa formada. 70) (UFRGS 01) Um sólido geométrico foi construído dentro de um cubo de aresta 8, de maneira que dois de seus vértices, P e Q, sejam os pontos médios respectivamente das arestas AD e BC, e os vértices da face superior desse sólido coincidam com os vértices da face superior do cubo, como indicado na figura abaixo. O volume desse sólido é a) 64. b) 18. c) 56. d) 51. e) 104. 71) (FGV 01) Um prisma reto de base triangular tem área de uma face lateral igual a 0 cm. Se o plano que contém essa face dista 6 cm da aresta oposta a ela, o volume desse prisma, em cm, é igual a: a) 18. b) 6. c) 48. d) 54. e) 60. 7) (UPE 01) Para pintar completamente o cubo representado abaixo, são necessários 00 mililitros de tinta. Mantendo o mesmo rendimento de pintura, quantos litros seriam necessários para pintar completamente a peça representada abaixo, formada por 1 desses cubos, sabendo-se que não há cubos escondidos? a) 0,7 litro b) 1,9 litros c),1 litros d),0 litros e) 4, litros 7) (IFSP 01) Em uma gráfica, há uma pilha de papel no formato A4 com 1 m. O papel A4 tem a forma retangular com 1 cm de largura por 0 cm de comprimento. Assim sendo, o volume ocupado pela pilha de papel é de a) 60 cm. b) 51 cm. c) 151 cm. d) 51 000 cm. e) 6 000 cm. 15
74) (UERN 01) Uma livraria recebeu caixas cúbicas contendo duas pilhas de livros cada, que preenchem totalmente o espaço no seu interior. Se o total de caixas é igual a 45 e cada livro possui 1 cm de largura e cm de espessura, então o total de livros recebidos é a) 540. b) 450. c) 810. d) 70. 75) (IFPE 01) Lúcia pediu a seu pai, o Sr. Paulo, para montar um aquário em seu quarto. Os dois foram a uma loja especializada e compraram os equipamentos necessários. As dimensões do aquário eram: 1, metros de largura, 0,6 metros de comprimento e 0,65 metros de altura. Depois que o aquário estava com água, o Sr. Paulo percebeu que tinha se esquecido de colocar um castelo de pedra para enfeite. Com cuidado, ele colocou o castelo dentro do aquário e percebeu que o nível da água subiu 15 cm. Lembrando-se de suas aulas de matemática, ele resolveu calcular o volume do castelo. Depois de efetuados os cálculos, ele percebeu que o volume do castelo era, em dm,: a) 1,08 b) 10,8 c) 108 d) 1.080 e) 10.800 76) (UCS 01) Uma caixa aberta é confeccionada a partir de um pedaço de cartolina em forma de um retângulo, do qual se retiraram pequenos quadrados nos vértices, conforme a figura abaixo. Conhecido o valor de x, a expressão que permite calcular o volume da caixa, levando em consideração os dados da figura, é a) 4x 108x 70 x. b) 4x 70 x. c) 4x 70 x. d) x 54x 70 x. e) x 54x 70 x. 77) (UERJ 01) Para transportar areia, uma loja dispõe de um caminhão cuja caçamba tem 1 m de altura e a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada. A maior distância entre dois pontos desse paralelepípedo é igual a m. Determine a capacidade máxima, em metros cúbicos, dessa caçamba. 78) (UERJ 01) As figuras a seguir mostram dois pacotes de café em pó que têm a forma de paralelepípedos retângulos semelhantes. 16
Se o volume do pacote maior é o dobro do volume do menor, a razão entre a medida da área total do maior pacote e a do menor é igual a: a) b) 4 c) 6 d) 8 79) (UFTM 01) A altura, em centímetros, do nível da água armazenada em um reservatório com a forma de um prisma reto de base retangular é igual a x, conforme mostra a figura. Usando todo esse volume de água armazenado, pode-se encher completamente uma quantidade exata de recipientes com capacidade de 0 litros cada, ou uma quantidade exata de recipientes com h capacidade de 50 litros cada. Se x, onde h é a altura do reservatório, então a menor capacidade, em litros, desse reservatório cheio é a) 00. b) 00. c) 400. d) 500. e) 600. 80) (UFF 01) O sistema de tratamento da rede de esgoto do bairro de lcaraí, em Niterói, tem a capacidade de processar 985 litros de esgoto por segundo, ou seja, 0,985 metros cúbicos de esgoto por segundo. Sendo T o tempo necessário para que esse sistema de tratamento processe o volume de esgoto correspondente ao volume de uma piscina olímpica de 50 metros de comprimento, 5 metros de largura e metros de profundidade, é correto afirmar que o valor de T está mais próximo de a) segundos. b) 4 minutos. c) 1 hora. d) 40 minutos. e) 1 dia. 81) (ENEM PPL 01) Em uma aula de matemática, a professora propôs que os alunos construíssem um cubo a partir da planificação em uma folha de papel, representada na figura a seguir. Após a construção do cubo, apoiou-se sobre a mesa a face com a letra M. As faces paralelas deste cubo são representadas pelos pares de letras a) E-N, E-M e B-R. b) B-N, E-E e M-R. c) E-M, B-N e E-R. d) B-E, E-R e M-N. e) E-N, B-M e E-R. 17
8) (IFSP 01) Em uma empresa, uma sala foi construída em forma de bloco retangular com as seguintes medidas: 6 metros de comprimento, 5 metros de largura e metros de altura. Qual é o volume ocupado por essa sala? a) 14 m. b) 0 m. c) 50 m. d) 64 m. e) 90 m. 8) (EPCAR CPACAR - 01) Um reservatório d água na forma de um paralelepípedo reto de base quadrada e cuja altura é metade do lado da base, está com 80% de sua capacidade máxima ocupada. Se fosse preciso acabar de encher este reservatório seriam necessários 500 baldes iguais cheios d água com capacidade de 1800 ml cada. Com base nesses dados, é correto afirmar que a altura da água que há neste reservatório a) é exatamente 15 dm b) é exatamente 1600 mm c) NÃO passa de 145 cm d) está a 0,5 m de atingir seu máximo. 84) (MACKENZIE 01) O número mínimo de cubos de mesmo volume e dimensões inteiras, que preenchem completamente o paralelepípedo retângulo da figura, é a) 64 b) 90 c) 48 d) 15 e) 100 RESPOSTAS PARTES B, C, D, E, F e G 10) a) Diagonal = m, Área = 4m, Volume = 8m, Capacidade = 8.000litros. b) Diagonal = 10 m, Área = 600m, Volume = 1.000m, Capacidade = 1.000.000litros. c) Diagonal = dm, Área = 54dm, Volume = 7dm, Capacidade = 7litros. d) Diagonal = 50 cm, Área = 15.000cm, Volume = 15.000cm, Capacidade = 15litros. 11) a) Diagonal = 9 m, Área = 5m, Volume = 4m, Capacidade = 4.000litros. b) Diagonal = 14 dm, Área = dm, Volume = 6dm, Capacidade = 6litros. c) Diagonal = 10 77cm, Área = 14.800cm, Volume = 10.000cm, Capacidade = 10litros. 5 1) Diagonal: cm, Área Total:7,5 cm 1) a).000azulejos b).000.000 litros 14) 4 cm 15) a) cm b) 7m c) 7.000litros. 16) 10 cm, 15 cm, 0 cm 17) cm 18) 54cm 18
19) a) Sendo EĜA α temos 6 b) cm AM c) cos AMˆ G 6 sen α, cos α, tg α. 0) a) 80 cubos b) 76 cubos c) 84cubos d) 8cubos Observação: Questão 0 - Essa questão refere-se ao treinamento da OMU. 8.000 1) l 9 ) a) 1,x b) Área total antes: c) 44% d) Volume antes: 6x, Área total depois: x, Volume depois: 8,64x 1,78 x e) 7,8% 6 6487 ) 0cm, 15cm, 10cm 4) Diagonal = cm 5) 45 o 6) 6; 1 e 18. 7 Observação: Questão 5 Ufla-MG (Adaptada). Observação: Questão 6 ITA (Adaptada pois na versão original era teste). 7) 150 cm 8) 80 cm 9) 100 cm 0) 1(15+ 6 )cm 1) Alternativa A. Solução: Como h m, segue-se que b 6 0,5 5 m. Logo, segue que o volume total do silo é igual a 6 5 0 0 m. Em consequência, sabendo que 1 tonelada de forragem ocupa m, podemos concluir que o resultado pedido é 0 110 toneladas. ) Alternativa E V V V Solução: maior menor V = 6.1.10 6.4..10 190 4 4 ) Solução: Obtém-se 90% do volume multiplicando-se o volume inicial por 0,9. A quantidade de água obtida é dada por 56 16 0,9 1 18 56 (5 18) 1 4.105,6 m. Como 1m equivale a 1.000 Litros temos o total de 4.105.600 Litros de água. 4) Alternativa C Solução: Temos e (ABCD) AB BC AB 6 AB cm 19
(BCFE) BC BE BE 10 BE 5cm. Logo, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABE, obtemos AE 4cm. Assim, o resultado pedido é AB AE 4 BC 1cm. 5) Solução: O depósito pode ser dividido em um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 0,9cm cm 7,cm; e um prisma triangular reto de altura 7, cm, com uma das arestas da base medindo cm e altura relativa 0,6cm. Logo, a capacidade do depósito da maquete é dada por 0,6 0,9 7, 7, 5,9cm. 6 Portanto, como a escala adotada é 1: 500 e 1cm 10 m, segue que a medida real da capacidade do depósito é 5,9 500 6 10 40 m. 6) Resposta: 01 + 0 + 04 + 08 = 15. Solução: Sejam a, b e c as dimensões do paralelepípedo retângulo. Tem-se que com k sendo um número real positivo. Desde que a área total é igual a 198cm, vem a k a b c k b k, 1 c k (ab ac bc) 198 k k k k k k 99 k 9 k. Assim, encontramos a cm, b 6cm e c 9cm. O que leva a: [01] Correto. O volume do paralelepípedo vale a b c 6 9 16cm. [0] Correto. As dimensões formam uma progressão aritmética com primeiro termo igual a e razão igual a. [04] Correto. A soma das medidas de todas as arestas é igual a 4(a b c) 4( 6 9) [08] Correto. A diagonal do paralelepípedo mede Portanto, temos 16 cm 11cm 11cm. 7cm. a b c 6 9 16 cm. 7) Alternativa E. O volume de água despejado na piscina após três horas e meia é igual a,5 5000 17.500 litros. Portanto, a altura h atingida pela água é tal que 10 5 h 17,5 h 0,5 m 5cm. 0
8) Alternativa B. Solução: Como 0,75, 4 segue-se que o resultado pedido é 1 5 (0,75 0,6) 1,5 m 1500 L. 9) (ESPECEX - AMAN 014) Alternativa B. Solução: Volume do prisma 1: 6 a h 4 Volume do prisma : Aumento do volume: V V1 6 (a 1) h 108 (I) Substituindo (II) em (I), temos: a h a (II) h 6 (a 1) a 108 18(a a) 108 a a 6 6 (a ) h 4 Resolvendo a equação do segundo grau, temos a = ( não convém) ou a =. a cm h cm, portanto, o volume do prisma 1 será dado por: 40) Alternativa A. Solução: 6 a h 6 V1 6cm 4 4 O sólido formado será um prisma de base triangular. Determinando o valor de x, temos: x 6 10 x 8. Portanto, o volume V do sólido será dado por: 8 6 V Ab h 6 144 41) Alternativa D. Solução: Seja h a altura do prisma retangular. Desde que 4 6 h 10, e sabendo que o polígono com vértices nos pontos médios dos lados do retângulo é um losango, concluímos que o resultado é igual 1
4 6 h 10 180 m. 4) Alternativa A. Solução: Sendo a 10 m, b 4 m e c 1 m as dimensões do bloco, tem-se que sua área total é At (a b a c b c) (10 4 10 1 4 1) 416 m. Cada um dos 0 paralelepípedos obtidos a partir do bloco tem dimensões iguais a 10 m, 5 4 m e 1 m, conforme a figura. 6 Chamando as áreas das faces de x e de y, segue-se que x 4 m e y 4 8 m. Portanto, extraindo-se os paralelepípedos 7, 9, 1 e 0, tem-se que a nova área superficial do bloco será igual a 416 1y (8x y) 416 1y 8x 416 1 8 8 4 480 m. 4) Alternativa D. Solução: Sejam x, y e z, respectivamente, a altura, a espessura e a largura da porta original. Logo, segue que o volume da porta original é igual a x y z. Aumentando-se em 1 8 a altura da porta e preservando a espessura, deve-se ter, a fim de manter o custo com o material, com z 1 sendo a largura da nova porta. Portanto, a razão pedida é z 1 8. z 9 9x 8z y z1 x y z z 1, 8 9 44) Alternativa E. Solução:De acordo com a figura, tem-se que a altura da caixa mede 4 cm. Além disso, a largura mede 90 4 4cm. Daí, o comprimento x, em centímetros, deve ser tal que 0 x 4 4 115 0 x 49. Portanto, o maior valor possível para x, em centímetros, é 49. 46) Alternativa E. Solução: v 5 6 0m.
47) Alternativa E. Solução: Seja V o volume real do armário. O volume do armário, no projeto, é 1 6cm. Logo, temos 48) Alternativa A. Solução: Considerando a a medida da aresta da cisterna: 6 1 V 6.000.000cm. V 100 4 a 00 a 50 a 5 m Calculando, agora, o volume V da cisterna, temos: V a 5 50 m 49) Alternativa B. Solução: Tem-se que e Portanto, conclui-se que V V4 V 6. 4 V 6 40,8cm, 4 V6 6 61,cm. 50) Alternativa C. Solução:O sólido sombreado é um prisma de base trapezoidal. Portanto, seu volume V será dado por: (7 ) 10 V Ab h 10 500 51) Alternativa D. Solução: A única peça que não pode ser obtida por meio do deslocamento de apenas um cubo é a da alternativa D. 5) Alternativa D. Solução:
Considerando a a medida da aresta do cubo e d a medida de sua diagonal, temos: 5) Alternativa D. 1 1 6 a a a 1 d a 1m. Solução: Se H é a altura da lata atual, então seu volume é igual a 4 Hcm. Agora, sabendo que as dimensões da nova lata são 5% maiores que as da lata atual, e sendo h a altura da nova lata, temos 5 16 4 h 4 H h H h 64% H, 4 5 100% 64% 6%. isto é, a altura da lata atual deve ser reduzida em 54) Alternativa B. Solução: Sendo l a medida da aresta da parte cúbica de cima, tem-se que a aresta da parte cúbica de baixo mede l. Assim, se a torneira levou 8 minutos para despejar ( l ) 4l l 8 10 4 minutos para encher completamente o restante do depósito. l 55) Solução: 4 l unidades de volume, então ela levará 5.. a) V 15m. x y 5x b) ΔADE ~ ΔABC y. 5 Calculando agora o volume V L do líquido, temos: 5x x.. x.y. 15x VL 0 x. 4 56) Alternativa E. Solução: Considerando a a medida da aresta do cubo, temos: AH a AF a O triângulo AHF é retângulo em F, e em todo triângulo retângulo o produto da hipotenusa pela altura é igual ao produto dos catetos, então: 4
a 4 6 a a a 0 (não convém) ou a 1. A razão entre o volume e a área total será dada por: 57) Alternativa C. Solução: 1. 6 1 O polígono formado é um hexágono regular de lado a. a a 8 a Portanto o perímetro do hexágono regular é: P 6. P 1 58) Resposta: V V V V F. Solução: Como AB é diagonal da face, e a aresta do cubo mede 6cm, segue que AB 6 cm. Como BD é diagonal do cubo, e a aresta do cubo mede 6cm, segue que BD 6 cm. Os triângulos CDB e FDE são retângulos e BDE µ FDE. µ Logo, CDB e FDE são semelhantes. Do triângulo CBD, vem Do triângulo DEF, obtemos µ sencdb BC 6 senfde. µ BD 6 µ EF senfde EF DE EF 6 cm 6 cm. 59) Alternativa E. Solução: Na planificação [II] existem duas faces que ficarão sobrepostas e a planificação [IV] apresenta um vértice no qual concorrem quatro arestas. 60) Alternativa B. Solução: Supondo que os furos sejam idênticos e que suas dimensões sejam a e b, temos que 5
A quantidade de argila, em a 0,8 9 a, cm b 4 0,8 14 b,6 cm. cm, necessária para fabricar um tijolo é igual ao volume do paralelepípedo retângulo de dimensões 9cm 14cm 19cm subtraído do sêxtuplo do volume do paralelepípedo de dimensões,cm,6cm 19cm, ou seja, 19 (9 14 6,,6) 19 (16 71,8) 1040cm. Portanto, o número de tijolos que poderão ser fabricados com 1m 1000000 cm de argila é, aproximadamente, igual a 61) Alternativa C. Solução: Seja a a aresta do cubo. 1000000 961. 1040 Sabendo que a diagonal do cubo é igual a a, temos a. Portanto, como o volume do cubo é igual a 8 m, segue que a sua capacidade é de 8 1000 8.000 litros. 6) Alternativa D. Solução: O volume da piscina é igual a 1 6 144 m. Logo, a quantidade de água a ser bombeada, em litros, para que o nível da piscina atinja 75% de sua altura, é 75 144 1000 108.000. 100 6) Solução: a) Perímetro do quadrado de maior área: P 1 Perímetro do quadrado de menor área: P P1 x.q.x.q x.q(q 1) P x.x.q x(1 q) b) Se q =, as dimensões do paralelepípedo são: x, x e 4x, e sua área total será dada por:. x.x x.4x x.4x 5 8x 5 x 9 x Portanto, as dimensões do paralelepípedo são, 6 e 1, e seu volume V será dado por: V =.6.1 = 156 m. q 6
64) Alternativa C. Solução: O volume da embalagem é dado por 10 6 900 cm. 65) Alternativa B. Solução: Considerando x a medida da aresta da base, y a medida da aresta lateral, temos: A área lateral é 75% da área total: 6xy 75% A A área da base é 1,5% da área total: 67) Alternativa A. Solução: O volume da caixa é dado por T 6 x 1,5% AT 4 6xy 75% AT y x 1,5% A x 6 T 4 x (8 x) (10 x) x (80 16x 0x 4x ) 80x 6x 4x. 68) Alternativa D. Solução: O volume de cada cubo é dado por: 1.1.1 = 1cm Volume do paralelepípedo considerado:..4 = 6cm Volume do sólido dado: 11.1 = 11cm Sendo n o número de cubos pedidos, temos: n.1 + 11 = 6 n = 5 69) Solução: a) O perímetro da folha após a retirada dos quatro cantos é [( 6) (14 6)] 8 74 u.c. Note que o perímetro da folha antes da retirada dos quatro cantos também mede 74 u.c. b) A área da folha de papelão após a retirada dos quatro cantos é dada por 14 4 6 86 u.a. c) A caixa formada tem dimensões 17 8. Portanto, seu volume é igual a 17 8 408 u.v. 70) Alternativa C. Solução: O sólido indicado é um prisma reto triangular, cujo volume é igual a 8 8 8 56. 71) Alternativa E. Solução: Sejam h e l, respectivamente, uma aresta lateral e uma aresta da base, de tal modo que l h 0 cm, conforme o enunciado. Sabendo que a distância do plano que contém essa face até a aresta oposta é igual a 6cm, segue-se que essa distância corresponde à altura do triângulo que é base do prisma. Portanto, o resultado pedido é igual a 6 l h l h 0 60cm. 7
7) Alternativa C. Solução: Considerando que a peça é formada por 14 cubos (nove no 1º nível, quatro no º e um no º), segue que o número de faces a serem pintadas, após a peça estar montada, é x4 + x + x +1 = 6 (1º Nível) x + = 11 (º Nível) 5 (º Nível) Total = 6 + 11+ 5 = 4 faces Portanto, como cada face consome 00 50mL de tinta, concluímos que o número de litros necessários 6 para pintar completamente a peça é igual a 4 50,1. 1000 7) Alternativa E. Solução: V = 0 1 100 = 6 000 cm. 74) Alternativa D. Solução: Sabendo que cada livro possui 1 cm de largura, e que as caixas terão duas pilhas de livros, segue que as arestas das caixas medem 1 4cm. Logo, como a espessura de cada livro é cm, temos que cada pilha terá 4 8 livros e, portanto, cada caixa conterá 8 16 livros. Desse modo, o número de livros recebidos pela livraria é 45 16 70. 75) Alternativa C. Solução: Na figura, aparece destacado apenas o volume de água deslocado depois que o castelo foi colocado no aquário. Portanto, o volume v do castelo é igual ao volume de água deslocado. V =1,. 0,6.0,15 = 0,108m = 108dm. 76) Alternativa A. Solução: O volume da caixa é dado pela expressão (0 x)(4 x)x (4x 108x 70) x. 8
77) Solução:Seja a a aresta da base da caçamba. Sabendo que a altura da caçamba mede 1m, temos que a sua capacidade é dada por a 1 a. Desse modo, como a diagonal do paralelepípedo mede m e a diagonal da base mede a, vem 78) Alternativa B. (a ) 1 a 8 a 4 m. V' Solução: Sabendo-se que, se V e V, representam os volumes de figuras semelhantes temos K V e que, pelo enunciado o volume do pacote maior (V ) é o dobro do pacote menor (V), teremos: V K V K K V a razão de semelhança será: K A' A ' K 4 A A Como a razão entre as áreas é o quadrado da razão de semelhança teremos: 79) Alternativa B. Solução:O volume de água armazenado é dado por A h, em que A é a área da base do reservatório. Se é possível encher completamente recipientes de 0 e 50 litros cada, então o volume de água no reservatório deve é tal que mmc(0, 50) 100 litros. h Portanto, como a capacidade do reservatório é dada por A h, vem A 100 A h 00 L. 80) Alternativa D. Solução: Volume da piscina em m = 50.5.=500m, logo: 81) Alternativa C. Solução:Construindo o cubo temos: T = 500 58s 40min 0,985 ; ; Portanto, as faces paralelas desse cubo são E-M, B-N e E-R. 8) Alternativa E. Solução: V = 6 5 = 90m. 9
8) Alternativa B. Solução: De acordo com os dados do problema, podemos escrever que: 500 1800 x x x/ 0, 6 64 10 = x x 400 cm. Portanto, a altura da água será h = 80 400 160 cm 1600 mm. 100 84) Alternativa B. Solução:A medida da aresta dos cubos de mesmo volume que preenchem completamente o paralelepípedo retângulo da figura é dada por mdc(8, 6, 0) 4. Portanto, o resultado pedido é dado por 8 6 0 9 5 90. 4 4 4 0