Prismas, Cubos e Paralelepípedos - 2

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1 Prismas, Cubos e Paralelepípedos - 1. (Fgv 01) A figura mostra a maquete do depósito a ser construído. A escala é 1: 500, ou seja, 1cm, na representação, corresponde a 500 cm na realidade. Qual será a capacidade, em metros cúbicos, do depósito?. (Ufpr 01) Um tanque possui a forma de um prisma reto, com as dimensões indicadas pela figura. Com base nisso, faça o que se pede: a) Quando estiver completamente cheio, quantos litros esse tanque comportará? b) Obtenha uma função que expresse o volume V de água no tanque como função da altura x.. (Uem 01) Considere dois prismas retos de mesma altura, h 6cm, e com bases sendo hexágonos regulares, de modo que um seja inscrito no outro. Os vértices do prisma inscrito são Página 1 de 0

2 os pontos médios das arestas das bases do outro prisma, e as arestas da base do prisma inscrito medem cm. Com relação a esses prismas, assinale o que for correto. 01) As arestas das bases do prisma maior medem 4 cm. 0) A área lateral do prisma maior mede 48 cm. 04) O volume do prisma menor é 6 cm. 08) A diferença entre os volumes dos prismas é de 1 cm. 16) O quociente entre os volumes do prisma maior e do menor é (Fgvrj 01) Uma caixa sem tampa é construída a partir de uma chapa retangular de metal, com 8 dm de largura por 10 dm de comprimento, cortando-se, de cada canto da chapa, um quadrado de lado x decímetros e, a seguir, dobrando-se para cima as partes retangulares, conforme sugere a figura a seguir: O volume, em a) 80x 6x 4x dm, da caixa assim obtida é b) 80x 6x 4x c) 80x 18x x d) 80x 18x x e) 0x 9x x 5. (Uepb 01) Um reservatório em forma de cubo, cuja diagonal mede m, tem capacidade igual a: a) litros b) litros c) litros d).000 litros e) litros 6. (Unicamp 01) Numa piscina em formato de paralelepípedo, as medidas das arestas estão em progressão geométrica de razão q > 1. a) Determine o quociente entre o perímetro da face de maior área e o perímetro da face de menor área. b) Calcule o volume dessa piscina, considerando q = e a área total do paralelepípedo igual a 5 m. 7. (Pucrj 01) De uma folha de papelão de lados de medidas e 14 foram retirados, dos quatro cantos, quadrados de lado de medida para construir uma caixa (sem tampa) dobrando o papelão nas linhas pontilhadas. Página de 0

3 a) Determine o perímetro da folha de papelão após a retirada dos quatro cantos. b) Determine a área da folha de papelão após a retirada dos quatro cantos. c) Determine o volume da caixa formada. 8. (Pucrs 01) Uma piscina na forma retangular tem 1 metros de comprimento, 6 metros de largura e metros de profundidade. Bombeia-se água para a piscina até atingir 75% de sua altura. A quantidade de água para encher esta piscina até a altura indicada é de litros. a) 54 b) 108 c) d) e) (G1 - ifsp 01) ABCDEFG é um cubo de aresta 4 cm. Unindo-se os pontos médios das arestas AD, AE, EF, FG, CG e CD, obtém-se um polígono cujo perímetro, em centímetros, é igual a a) 6. b) 9. c) 1. d) 15. e) (Ufsm 01) Os produtos de plástico são muito úteis na nossa vida, porém causam muitos danos ao meio ambiente. Algumas empresas começaram a investir em alternativas para evitar a poluição causada pelo plástico. Uma dessas alternativas é a utilização do bioplástico na fabricação de embalagens, garrafas, componentes de celulares e autopeças. Uma embalagem produzida com bioplástico tem a forma de um prisma hexagonal regular com 10 cm de aresta da base e 6 cm de altura. Qual é o volume, em cm, dessa embalagem? a) 150. b) c) 900. d) e) (Upe 01) Para pintar completamente o cubo representado abaixo, são necessários 00 mililitros de tinta. Página de 0

4 Mantendo o mesmo rendimento de pintura, quantos litros seriam necessários para pintar completamente a peça representada abaixo, formada por 1 desses cubos, sabendo-se que não há cubos escondidos? a) 0,7 litro b) 1,9 litros c),1 litros d),0 litros e) 4, litros 1. (Ufrgs 01) Considere as seguintes proposições de modelos de planificação de um cubo. Entre essas proposições de modelos de planificação, quais podem resultar em um cubo? a) I, II e V. b) III, IV e V. c) II, III e IV. d) II, IV e V. e) I, III e V. 1. (Ufpa 01) Uma indústria de cerâmica localizada no município de São Miguel do Guamá no estado do Pará fabrica tijolos de argila (barro) destinados à construção civil. Os tijolos de 6 Página 4 de 0

5 furos possuem medidas externas: centímetros e espessura uniforme de 8 milímetros, conforme a figura abaixo. Utilizando 1 metro cúbico de argila, o número de tijolos inteiros que podem ser fabricados é, aproximadamente: a) 740 b) 960 c) 100 d) 1090 e) (Uern 01) Uma livraria recebeu caixas cúbicas contendo duas pilhas de livros cada, que preenchem totalmente o espaço no seu interior. Se o total de caixas é igual a 45 e cada livro possui 1 cm de largura e cm de espessura, então o total de livros recebidos é a) 540. b) 450. c) 810. d) (Unicamp 01) Um queijo tem o formato de paralelepípedo, com dimensões 0 cm x 8 cm x 5 cm. Sem descascar o queijo, uma pessoa o divide em cubos com 1 cm de aresta, de modo que alguns cubos ficam totalmente sem casca, outros permanecem com casca em apenas uma face, alguns com casca em duas faces e os restantes com casca em três faces. Nesse caso, o número de cubos que possuem casca em apenas uma face é igual a a) 60. b) 44. c) 4. d) (Enem PPL 01) Em um terreno, deseja-se instalar uma piscina com formato de um bloco retangular de altura 1 m e base de dimensões 0m 10m. Nas faces laterais e no fundo desta Página 5 de 0

6 piscina será aplicado um líquido para a impermeabilização. Esse líquido deve ser aplicado na razão de 1 L para cada 1 m de área a ser impermeabilizada. O fornecedor A vende cada lata de impermeabilizante de 10 L por R$ 100,00, e o B vende cada lata de 15 L por R$ 145,00. Determine a quantidade de latas de impermeabilizante que deve ser comprada e o fornecedor a ser escolhido, de modo a se obter o menor custo. a) Fabricante A, 6 latas. b) Fabricante A, 46 latas. c) Fabricante B, 17 latas. d) Fabricante B, 18 latas. e) Fabricante B, 1 latas. 17. (G1 - ifsp 01) Fernando pretende abrir um aquário para visitação pública. Para tanto, pretende construí-lo com a forma de um bloco retangular com m de comprimento, 1,5 m de largura e m de altura. Assim sendo, o volume desse aquário será de a) 6,5 m. b) 7,0 m. c) 8,5 m. d) 9,0 m. e) 10 m. 18. (G1 - ifsp 01) Em uma gráfica, há uma pilha de papel no formato A4 com 1 m. O papel A4 tem a forma retangular com 1 cm de largura por 0 cm de comprimento. Assim sendo, o volume ocupado pela pilha de papel é de a) 60 cm. b) 51 cm. c) 151 cm. d) cm. e) cm. 19. (G1 - ifpe 01) Lúcia pediu a seu pai, o Sr. Paulo, para montar um aquário em seu quarto. Os dois foram a uma loja especializada e compraram os equipamentos necessários. As dimensões do aquário eram: 1, metros de largura, 0,6 metros de comprimento e 0,65 metros de altura. Depois que o aquário estava com água, o Sr. Paulo percebeu que tinha se esquecido de colocar um castelo de pedra para enfeite. Com cuidado, ele colocou o castelo dentro do aquário e percebeu que o nível da água subiu 15 cm. Lembrando-se de suas aulas de matemática, ele resolveu calcular o volume do castelo. Depois de efetuados os cálculos, ele percebeu que o volume do castelo era, em dm,: a) 1,08 b) 10,8 c) 108 d) e) (Enem 01) Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por um processo de resfriamento. Para que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento, como mostrado na figura. Página 6 de 0

7 O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo volume fosse de 400 cm? a) O nível subiria 0, cm, fazendo a água ficar com 0, cm de altura. b) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 1 cm de altura. c) O nível subiria cm, fazendo a água ficar com cm de altura. d) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar. e) O nível subiria 0 cm, fazendo a água transbordar. 1. (Ufjf 01) Uma empresa de sorvete utiliza como embalagem um prisma reto, cuja altura mede 10 cm e cuja base é dada conforme descrição a seguir: de um retângulo de dimensões 0 cm por 10 cm, extrai-se em cada um dos quatro vértices um triângulo retângulo isósceles de catetos de medida 1cm. a) Calcule o volume da embalagem. b) Sabendo que o volume ocupado por esse sorvete aumenta em 1 5 (um quinto) quando passa do estado líquido para o estado sólido, qual deve ser o volume máximo ocupado por esse sorvete no estado líquido, nessa embalagem, para que, ao congelar, o sorvete não transborde? TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de Engenharia, visitou a PUCRS para colher informações. Uma das constatações que fez foi a de que existe grande proximidade entre Engenharia e Matemática. Página 7 de 0

8 . (Pucrs 01) A quantidade de materiais para executar uma obra é essencial para prever o custo da construção. Quer-se construir um telhado cujas dimensões e formato são indicados na figura abaixo. A quantidade de telhas de tamanho 15 cm por 0 cm necessárias para fazer esse telhado é 4 a) 10 5 b) 10 c) d) e) (Ueg 011) Considere um cubo com cm de aresta, subdividido em cubos menores, cada um com 1cm de aresta. Dele foram retirados cubos menores dos centros de cada face e um cubo menor do seu centro. A figura I mostra o que restou do cubo maior, enquanto a figura II mostra o que foi retirado do cubo. a) Calcule o volume da figura I. b) Calcule a área da superfície da figura II. 4. (Unicamp simulado 011) Uma caixa d'água cúbica, de volume máximo, deve ser colocada entre o telhado e a laje de uma casa, conforme mostra a figura abaixo. Página 8 de 0

9 Supondo que AB = 6m e AC = 1,5m, podem ser armazenados na caixa a) 178 litros de água. b) 1440 litros de água. c) 1000 litros de água. d) 57 litros de água. 5. (Uel 011) Uma metalúrgica produz uma peça cujas medidas são especificadas na figura a seguir. A peça é um prisma reto com uma cavidade central e com base compreendida entre dois hexágonos regulares, conforme a figura. Considerando que os eixos da peça e da cavidade coincidem, qual o volume da peça? a) 640 cm b) 180 cm c) d) e) 560 cm 0 cm 190 cm 6. (G1 - ccampos 011) A figura abaixo mostra como Vicente envolveu, com fitas, três caixas de 10 cm de comprimento, 4cm de largura e cm de altura. Sabendo que Vicente gastou o mínimo de fita nessa tarefa, em qual das três caixas (A, B ou C) Vicente gastou menos fita? Justifique sua resposta. 7. (Pucpr 010) A figura mostrada a seguir representa uma embalagem de papelão em perspectiva, construída pelo processo de corte, vinco e cola. Página 9 de 0

10 Determine a quantidade de material para fabricar 500 embalagens, sabendo que a aresta da base mede 10 cm, a altura mede 0 cm e que serão necessários 0% a mais de papelão em virtude dos vincos. 1,7 a) 18,6 m b) 1,0 m c) 115,5 m d) m e) 1.86 m 8. (G1 - cftsc 010) Uma indústria precisa fabricar caixas com as medidas da figura abaixo. Desprezando as abas, aproximadamente, quantos m de papelão serão necessários para a confecção das caixas? a) 0,8 m b) 110 m c) 11 m d) 80 m e) 1640 m 9. (Ufpb 010) O reservatório de água de certo edifício tem a forma de um paralelepípedo reto retangular com base de dimensões internas m 4m, conforme a figura a seguir. Página 10 de 0

11 De acordo com as condições do edifício, por medida de segurança, recomenda-se que, no reservatório, deve ficar retida uma quantidade de água correspondente a 18m, para combater incêndio. Para atender essa recomendação, o ponto de saída da água, destinada ao consumo diário dos moradores e do condomínio, deve ficar a uma determinada altura ( h ) do fundo do reservatório, de modo que a água acumulada no reservatório até essa altura seja destinada para combate a incêndio. Nessas condições, a altura ( h ) da saída da água para consumo diário deve ser, pelo menos, de: a) 1m b) 1,5m c) m d),5m e) m 0. (Enem 010) Um porta-lápis de madeira foi construído no formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado a seguir. O cubo de dentro e vazio. A aresta do cubo maior mede 1 cm e a do cubo menor, que e interno, mede 8 cm. O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de a) 1 cm. b) 64 cm. c) 96 cm. d) 1 16 cm. e) 1 78 cm. Página 11 de 0

12 Gabarito: Resposta da questão 1: O depósito pode ser dividido em um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 0,9cm cm 7,cm; e um prisma triangular reto de altura 7,cm, com uma das arestas da base medindo cm e altura relativa 0,6cm. Logo, a capacidade do depósito da maquete é dada por 0,6 0,9 7, 7, 5,9cm. 6 Portanto, como a escala adotada é 1: 500 e 1cm 10 m, segue que a medida real da capacidade do depósito é 5, m. Resposta da questão : 5.. a) V 15m. x y 5x b) ΔADE ~ ΔABC y. 5 Calculando agora o volume V L do líquido, temos: 5x x.. x.y. 15x VL 0 x. 4 Página 1 de 0

13 Resposta da questão : = 11. [01] Correto. Seja a medida do lado do hexágono maior. Sabendo que os ângulos internos de um hexágono regular medem 10, pela Lei dos Cossenos, vem 1 cos cm. [0] Correto. A área lateral do prisma maior mede 4 6 h cm. [04] Incorreto. O volume do prisma menor é dado por cm cm. [08] Correto. O volume do prisma maior é igual a cm. Portanto, a diferença entre os volumes dos prismas é cm. [16] Incorreto. De [04] e [08], vem Resposta da questão 4: [A] O volume da caixa é dado por x (8 x) (10 x) x (80 16x 0x 4x ) Resposta da questão 5: [C] Seja a a aresta do cubo. 80x 6x 4x. Sabendo que a diagonal do cubo é igual a a, temos a. Portanto, como o volume do cubo é igual a 8 m, segue que a sua capacidade é de litros. Página 1 de 0

14 Resposta da questão 6: a) Perímetro do quadrado de maior área: P 1 Perímetro do quadrado de menor área: P P1 x.q.x.q x.q(q 1) q P x.x.q x(1 q) b) Se q =, as dimensões do paralelepípedo são: x, x e 4x, e sua área total será dada por:. x.x x.4x x.4x 5 8x 5 x 9 x Portanto, as dimensões do paralelepípedo são, 6 e 1, e seu volume V será dado por: V =.6.1 = 156 m. Resposta da questão 7: a) O perímetro da folha após a retirada dos quatro cantos é [( 6) (14 6)] 8 74 u.c. Note que o perímetro da folha antes da retirada dos quatro cantos também mede 74 u.c. b) A área da folha de papelão após a retirada dos quatro cantos é dada por u.a. c) A caixa formada tem dimensões Portanto, seu volume é igual a u.v. Página 14 de 0

15 Resposta da questão 8: [D] O volume da piscina é igual a m. Logo, a quantidade de água a ser bombeada, em litros, para que o nível da piscina atinja 75% de sua altura, é Resposta da questão 9: [C] O polígono formado é um hexágono regular de lado a. a a 8 a Portanto o perímetro do hexágono regular é: P 6. P 1 Resposta da questão 10: [C] O volume da embalagem é dado por cm. Resposta da questão 11: [C] Considerando que a peça é formada por 14 cubos (nove no 1º nível, quatro no º e um no º), segue que o número de faces a serem pintadas, após a peça estar montada, é º nível º nível º nível Página 15 de 0

16 Portanto, como cada face consome 00 50mL de tinta, concluímos que o número de litros 6 necessários para pintar completamente a peça é igual a 4 50, Resposta da questão 1: [E] Na planificação [II] existem duas faces que ficarão sobrepostas e a planificação [IV] apresenta um vértice no qual concorrem quatro arestas. Resposta da questão 1: [B] Supondo que os furos sejam idênticos e que suas dimensões sejam a e b, temos que e a 0,8 9 a,cm b 4 0,8 14 b,6cm. A quantidade de argila, em cm, necessária para fabricar um tijolo é igual ao volume do paralelepípedo retângulo de dimensões 9cm 14cm 19cm subtraído do sêxtuplo do volume do paralelepípedo de dimensões,cm,6cm 19cm, ou seja, 19 (9 14 6,,6) 19 (16 71,8) 1040cm. Portanto, o número de tijolos que poderão ser fabricados com 1m cm de argila é, aproximadamente, igual a Resposta da questão 14: [D] Sabendo que cada livro possui 1 cm de largura, e que as caixas terão duas pilhas de livros, segue que as arestas das caixas medem 1 4cm. Logo, como a espessura de cada livro é cm, temos que cada pilha terá 4 8 livros e, portanto, cada caixa conterá 8 16 livros. Desse modo, o número de livros recebidos pela livraria é Página 16 de 0

17 Resposta da questão 15: [A] Total de cubos com casca em apenas uma face será dado por: (superior e inferior) (frente e fundo) +.6. (laterais) = 60. Resposta da questão 16: [A] Área a ser impermeabilizada: de impermeabilizante m onde serão usados 60 L A , Valor gasto com o fornecedor A: Número de ladas necessárias: 60 : 10 Valor das latas: reais. Valor gasto com o fornecedor B: 6 latas. Número de latas necessárias: 60 : 15 17,..., ou seja, serão necessárias 18 latas. Valor das 19 latas: reais. Resposta da questão 17: [D] V 1,5 9 m. Página 17 de 0

18 Resposta da questão 18: [E] V = = cm. Resposta da questão 19: [C] Na figura, aparece destacado apenas o volume de água deslocado depois que o castelo foi colocado no aquário. Portanto, o volume v do castelo é igual ao volume de água deslocado. V =1,. 0,6.0,15 = 0,108m = 108dm. Resposta da questão 0: [C] O nível da água subiria 400 cm, 40 0 fazendo a água ficar com 5 5 cm de altura. Resposta da questão 1: a) Área da base (área do retângulo menos 4 vezes a área do triângulo): Página 18 de 0

19 11 A A 198cm Portanto, seu volume será: V cm b) x = volume inicial do sorvete líquido Portanto, x x x 1980 x 1650cm 5 Resposta da questão : [A] Supondo que o telhado tem a forma de um prisma triangular reto, temos que a 5 m. Portanto, supondo que apenas as faces de dimensões 5 m 0 m serão cobertas por telhas, segue que o resultado pedido é dado por Resposta da questão : a) O volume de um cubo de aresta cm é igual a 7cm, e o volume de um cubo de aresta 1cm é 1 1cm. Logo, como foram retirados 7 cubos do cubo maior, o resultado pedido é 7 7 0cm. b) A área da superfície do sólido corresponde à área da face de um cubo de aresta 1cm multiplicada por 6 5 0, ou seja, 1 0 0cm. Resposta da questão 4: [A] CDE CAB 1,5 x x 1,5 x 9 6x 7,5x 9 x 1,m 1,5 6 Logo V = (1,) = 1,78m = 178L Página 19 de 0

20 Resposta da questão 5: [E] V V V maior menor V = Resposta da questão 6: Caixa A = = 4 cm; Caixa B = = 54 cm; Caixa C = = 40 cm. Vicente gastou menos fita na caixa C, pois 40 < 4 < 54. Resposta da questão 7: [A] Área total do prisma = A L +.A b = (considerando 1,7) 4 Área do prisma com acréscimo de 0% = 1,.10 = 77 Material para 500 embalagens = =186000cm = 18,6m Resposta da questão 8: [D] Área de uma caixa em cm ; A =.( ) = 80 cm Área de uma caixa em m ; A = 8 m Área total = 0, = 80 m Resposta da questão 9: [B].4.h = 18 h = 1,5m. Resposta da questão 0: [D] V = volume do cubo maior volume do cubo menor V = 1-8 V = V = Página 0 de 0