UM NOVO ESQUEMA DO MÉTODO DE EXPANSÃO EM MUTIPOOS PARA A INTERAÇÃO ENTRE PARTÍCUAS NA PRESENÇA DE UM CIINDRO CIRCUAR Angelo A. Mustto mustto@serv.com.ufr.br Gustavo C.R. Bodsten gustavo@serv.com.ufr.br Unversdade Federal do Ro de Janero, Departamento de Engenhara Mecânca Cx. P. 68503-945-970 - Ro de Janero, RJ, BRASI Resumo. Neste trabalho o Método de Expansão em Multpolos baseado no esquema Partcle- Box (PB) é usado para o cálculo da nteração entre partículas e comparado ao algortmo que utlza o esquema de nteração dreta Vórtce-Vórtce (VV) regdo pela le de Bot-Savart. Em um sstema de N partículas, o esquema VV requer N operações, enquanto que o esquema PB requer apenas NlogN. Assm, o esquema PB pode substtur o VV no Método de Vórtces para calcular a convecção dos vórtces dscretos que modelam a vortcdade de escoamentos bdmensonas, ncompressíves e não-permanentes em torno de corpos. Dos domínos são estudados: no prmero, os vórtces são posconados aleatoramente no nteror de uma regão quadrada, mas exterores a um clndro crcular stuado no centro; no segundo, os vórtces se encontram numa estera formada a usante de um clndro crcular. A presença do clndro crcular gera vórtces magens no seu nteror. A nfluênca dos parâmetros numércos ntrínsecos ao esquema PB, tas como número de vórtces, o número de caxas e o número de vórtces por caxa no domíno, é estudada; o erro numérco e o ganho de velocdade obtdos no cálculo das velocdades nduzdas também são determnados. Palavras-chave: Vórtces, Expansão em Multpolos, e de Bot-Savart, Teorema do círculo. INTRODUÇÃO Interação entre partículas ocorre em sstemas físcos das mas varadas áreas de aplcação e, em partcular, na área de Dnâmca dos Fludos (Sarpaya, 989). Dversos métodos numércos utlzam algortmos específcos que obetvam aumentar a efcênca computaconal do cálculo da nteração dreta entre as partículas. A le de Bot-Savart, que rege a nteração dreta entre vórtces pontuas (esquema VV), requer um número de operações da ordem de N, para um sstema de N partículas, enquanto que esquemas mas efcentes como o Partcle-Box (esquema PB), do Método de Expansão em Multpolos, requerem um número de operações da ordem de NlogN (Barnes & Hut, 989). Este últmo método consste em dvdr o domíno em caxas onde se agrupam as partículas. Enquanto o esquema VV calcula a velocdade que cada vórtce nduz sobre os outros, o esquema PB calcula a velocdade nduzda por um conunto de vórtces stuados em uma caxa sobre cada um dos demas, o que reduz consderavelmente
o tempo de computação. Neste sentdo, também podemos menconar esquemas anda mas complexos de serem mplementados, tas como o esquema Box-Box (Greengard & Rohln, 987; Carrer et al., 988), onde as nterações se dão entre caxas e o número de operações se reduz à ordem de N. Guedes et al. (999a) utlzaram uma versão smples do esquema PB, como parte do método de vórtces de Mustto et al. (998), para smular o escoamento em torno de um círculo. Este esquema fo, posterormente, nvestgado em maores detalhes para um conunto de vórtces posconados em um domíno quadrado segundo uma dstrbução estatstcamente unforme (Guedes et al., 999b). O presente trabalho se basea no esquema Partcle-Box de Guedes et al. (999b) e o modfca para a sua utlzação no cálculo das velocdades nduzdas sobre um conunto de vórtces que se encontram nas vznhanças de um clndro crcular. Especfcamente, o esquema aqu proposto leva em conta as magens que surgem da aplcação do teorema do círculo, o qual garante que a condção de mpenetrabldade sea satsfeta na superfíce do clndro. Dos domínos foram estudados: um quadrado e outro retangular; ambos contém um círculo no seu nteror. O esquema PB é comparado ao esquema VV, tanto do ponto de vsta de erros numércos quanto de desempenho (tempo de CPU); estas comparações são efetuadas em função dos parâmetros numércos ntrínsecos ao algortmo, tas como o número de vórtces, o número de caxas, e o número de vórtces por caxa. Os resultados sugerem o algortmo mas ndcado para a realzação de smulações mas rápdas do escoamento bdmensonal em torno de clndros crculares va o Método de Vórtces.. INTERAÇÃO VÓRTICE VÓRTICE Escoamentos bdmensonas, ncompressíves, não permanentes e de alto número de Reynolds em torno de corpos, rombudos ou aerodnâmcos, apresentam regões de vortcdade concentrada próxmas ao corpo e na regão da estera que se estende a usante do corpo. A vortcdade pode ser representada como uma nuvem de vórtces pontuas, e sua evolução temporal é modelada pela equação de transporte de vortcdade D Dt w º + u Ñw = n Ñ t w w ; () o movmento destes vórtces por convecção e dfusão resultante da nteração entre eles própros e com o corpo, de acordo com a Eq. (), dá orgem ao Método de Vórtces Dscretos, um tpo de método numérco lagrangano que pertence à classe dos Métodos de Partículas. Para uma nuvem de N v vórtces, cada um com ntensdade G e localzado no ponto z, o potencal complexo f(z) em um ponto z = x + y do escoamento pode ser escrto como N v f ( z) å G = ln( z - z ). () A presença do clndro mpõe a condção de mpenetrabldade ao escoamento, que pode ser satsfeta utlzando o teorema do círculo (Mlne-Thomson, 955). Assm o potencal complexo se torna Nv N v f ( z) å G ln( z - z ) + å G = = ln( z - z m ), (3) onde z m = / z, é a magem nversa de z, e z denota seu conugado complexo. A velocdade complexa Q é obtda dervando-se a Eq. (3) em relação a z, o que produz
Q = U - V N v N v + å = z - z = z - zm å G G. (4) A Eq. (4) fornece as velocdades nduzdas num ponto z tanto pelos vórtces localzados em z como pelas suas magens nversas localzadas no nteror do círculo, nos pontos z m, e expressa a le de Bot-Savart para uma nuvem de vórtces. 3. MÉTODO DE EXPANSÃO EM MUTIPOOS O método de Expansão em Multpolos consste em dvdr o domíno ocupado pelos vórtces em caxas quadradas ou retangulares, de forma a que se compute a nfluênca das caxas sobre os demas vórtces usando-se uma expansão bnomal. Consderando que o domíno é composto pelos vórtces e suas magens, o total de vórtces presentes na smulação, no tempo t, é gual a N v. Podemos, então, escrever a Eq. (4) de forma smplfcada como Q = U - V N v G å = z - z. (5) Consderemos a Eq. (5) para o cálculo da velocdade complexa nduzda no ponto z por vórtces localzados em uma caxa com centro em z c no plano z (Fg. ). Para um sstema de coordenadas centrado em z c, cuas dstâncas são denotadas por z, a velocdade complexa nduzda em z por um únco vórtce de ntensdade G localzado em z pode ser expressa utlzando a expansão bnomal, sto é, U - V G ( z '-z ') z G '(- z ' z ') G z é æ ê ç z + ' ê ë è z ' ö æ + ç z ' ø è z ' ö ' ø ù +... ú. (6) ú û y y' V G z ' U z z ' x' z c z Fgura - Velocdade nduzda em z devdo a uma caxa na orgem do plano x y. A Eq. (6) converge para çz ç< ç z ç. Somando-se a contrbução dos vórtces dscretos contdos na caxa para a determnação da velocdade total nduzda em, a Eq. (6) se torna x U - V v å æ ç å G G ç = ç + '-z ' z ' z ç è é ê ê ' ê ê ë å å N = = = z z ' ( z G z ' + G ( z ') ') ùö ú +... ú ú. (7) ú ûø
O prmero somatóro do termo entre parêntess da Eq. (7) é gual à ntensdade total G 0 de todos os vórtces contdos na caxa, sto é, 0 º å G = G. (8) O segundo somatóro representa o momento de segunda ordem dos vórtces dscretos no nteror da caxa, enquanto os demas somatóros representam os momentos de ordem superor. Por convenênca estes momentos serão denotados por Z m, m =,.., M, para cada caxa, e defndos como Z ( z ') å G ( z ') M å G z ' å G = = = º, Z º,..., Z M º, (9) G0 G0 G0 onde M é o número de termos da sére. Substtundo as Eqs. (8) e (9) em (7), obtemos U G é 0 Z Z Z M - V ê + + +... + M z ' êë z ' ( z ') ( z ') ù ú. (0) úû A Equação (0) expressa a sére da Eq. (7) truncada após M termos, e representa a velocdade complexa nduzda em um ponto escrta em termos da dstânca entre o centro da caxa e o ponto (ews, 990). 3. Algortmo e mplementação numérca O presente algortmo se basea no desenvolvdo por Guedes et al. (999b) e contém as modfcações necessáras devdas, prncpalmente, à presença das magens no nteror do círculo. Consderando-se o domíno quadrado com um círculo centrado no seu nteror, o algortmo consste na execução dos seguntes passos: cração dos vórtces posconados externamente ao clndro; cração das magens para cada um dos vórtces; dvsão do domíno em caxas quadradas; classfcação das caxas segundo a dstânca entre elas; cálculo dos momentos Z 0, Z,..., Z M ; cálculo das velocdades nduzdas sobre os N v vórtces. O segundo caso estudado (domíno retangular) não requer a etapa de cração dos vórtces, pos á possuem suas posções na estera pré-determnadas. A mplementação numérca se nca com a cração dos vórtces externos ao clndro, cada um com coordenadas (x, y ) e ntensdades G. A segur, são cradas as magens nversas de cada vórtce cada uma com ntensdade contrára a do vórtce orgnal. Isto produz o total de N v vórtces presentes no domíno. Desta forma, dvde-se a regão em caxas quadradas, sendo que algumas delas são ocupadas por vórtces e magens. Na etapa segunte, dentfcamos os vórtces que se encontram posconados em cada caxa com coordenadas (, ), que são dadas por = INT æ ç è y-y Dy 0 ö + ø æ x-x0 ö e = INT ç +. () è Dx ø
Na Eq. (), temos: x 0 = y 0 5 (o centro do clndro tem coordenadas (0,0)); Dx = Dy = 0/n; e n = (N c ) /, sendo N c o número de caxas. A função INT trunca a parte ntera do argumento. A segur se determnam as dstâncas entre as caxas, agrupando-as em lstas. Desea-se com sso utlzar um certo número M de termos da expansão em sére para cada lsta, sendo que lstas próxmas necesstam de mas termos que as lstas mas dstantes. Assm, para manter a acuráca nos resultados, a quantdade de termos da sére usadas em cada lsta fo: (a) caxas adacentes (pertencentes à sta ) utlzam a le de Bot-Savart; (b) caxas pertencentes à sta utlzam 0 termos da expansão; (c) caxas pertencentes à sta 3 utlzam 9 termos da expansão; (d) caxas pertencentes à sta 4 utlzam 8 termos da expansão; (e) caxas pertencentes à sta 5 utlzam 7 termos da expansão; (f) caxas pertencentes à sta 6 utlzam 6 termos da expansão. Estas regras são ndependentes do tamanho das caxas. Entretanto, a escolha de um valor muto alto de N c mplca em um baxo número de vórtces por caxa, stuação que se assemelha ao caso de nteração dreta Vórtce-Vórtce segundo a le de Bot-Savart, enquanto que um número muto baxo de N c aumenta o uso das regras (a)-(f). Para estes casos extremos o ganho no tempo de CPU é pequeno (caso haa um ganho). 4. RESUTADOS O algortmo fo programado em lnguagem FORTRAN 77 e os expermentos numércos foram realzados com precsão dupla em uma estação de trabalho SUN UTRA. Os resultados obtdos para os dos casos estudados são apresentados e dscutdos abaxo. 4. Domíno Quadrado O prmero teste realzado teve como obetvo prncpal gerar um conunto de resultados que pudessem ser utlzados como base para o desenvolvmento de um algortmo aproprado para smulações de escoamentos em torno de um clndro crcular utlzando o método de vórtces e o teorema do círculo. Assm, de forma semelhante a Guedes et al. (999b), N v vórtces foram posconados numa regão quadrada de lado 0 segundo uma dstrbução estatstcamente unforme (Fg. a), cuas coordenadas (x, y ) e ntensdades G foram obtdas utlzando-se a função ran de Press et al. (989) para a geração de números randômcos, onde 5 < x < 5, -5 <y <5 e 0 - < G <0 -, respectvamente. Estes vórtces são, smultaneamente, exterores a um clndro crcular de rao gual a e centrado no nteror da regão quadrada. Devdo à presença do clndro, N v vórtces magens foram crados no seu nteror (nas posções nversas). Na análse que se segue, o número total de vórtces presentes no domíno nclundo as magens no nteror do clndro, N v, varou de 000 até 80000, ao passo que o número de caxas utlzadas no teste fo de 00 (0x0), 96 (4x4), 44 (x), 784 (8x8) e 56 (34x34). Os resultados para o tempo de CPU, em segundos, meddos em função do número total de vórtces na regão quadrada (nternos e externos ao clndro), tendo o número de caxas como parâmetro, estão mostrados na Fg. b. As meddas de tempo foram tomadas utlzandose o comando tme do UNIX. Deste gráfco pode-se fazer as seguntes observações: () a curva para a nteração dreta Vórtce-Vórtce (VV) possu um contador de operações da ordem de N v, como esperado; por outro lado, as curvas para o esquema PB com N c = 44
ou maor são paralelas à curva NlogN, enquanto que os casos Nc = 00 e Nc = 96 são ntermedáros (embora mas próxmos de NlogN do que Nv); () para qualquer valor de Nc dentre os casos testados e baxos valores de Nv, tal como Nv = 000, os resultados são sempre pores que aqueles obtdos para o caso VV, pos exgem um tempo de CPU maor; entretanto, à medda que Nv aumenta, o desempenho do esquema PB se torna melhor que o do esquema VV; além dsso, quando Nc aumenta, o valor de Nv a partr do qual o desempenho do esquema PB supera o do esquema VV também aumenta. E+4 No. de Caxas vórtce-vórtce 0 x 0 E+3 Nv log Nv 4 x 4 x 8 x 8 CPU (s) 34 x 34 E+ E+ E+0 (a) E+3 (b) E+4 Nv E+5 Fgura - (a) Dstrbução estatstcamente unforme de 0000 vórtces nternos ao quadrado e externos ao clndro, e suas respectvas magens nversas; (b) CPU(s) x Nv, Nc = constante. Para a análse mas detalhada da Fg. b, um parâmetro admensonal denomnado SpeedUp, que quantfca o ganho de velocdade do esquema PB em relação ao esquema VV, pode ser defndo como se segue Speed-Up º (tempo de CPU do esquema VV)/( tempo de CPU do esquema PB). () Este parâmetro é análogo ao que é utlzado para medção de desempenho em computação parelela (El-Rewn e ews, 998). O Speed-Up assume valores maores que um; no nosso contexto ele fornece o número de vezes que o esquema PB fo mas rápdo que o esquema VV. Os resultados para este parâmetro, expressos em função de Nv e do número de vórtces por caxa, Nv / Nc, encontram-se nas Fgs. 3a e 3b. A partr destas fguras novas observações podem, então, ser fetas: () o ganho de velocdade do esquema PB em relação ao esquema VV se torna efetvo para os seguntes valores de Nv e Nc: Nv @ 4000 para Nc = 00; Nv @ 5400 para Nc = 96; Nv @ 0000 para Nc = 4; Nv @ 0000 para Nc = 784 e Nv @ 4000 para Nc = 56. (v) à medda que Nc aumenta as curvas do Speed-Up em função do número de vórtces por caxa tendem a colapsar numa únca curva; além dsso, o ganho em velocdade se torna maor que a undade para um valor mínmo do número de vórtces por caxa aproxmadamente gual a (Nv)/Nc @ ;
(v) à medda que o número de vórtces por caxa aumenta, o Speed-Up também aumenta, embora a curva para N c mostre que o Speed-Up tende a saturar em um valor máxmo para valores de (N v )/N c muto altos, resultados também obtdo por Guedes et al. (999b). E+ E+ No. de Caxas No. de Caxas 0x0 4x4 x 8x8 34x34 0 x 0 4 x 4 x 8 x 8 34 x 34 Speed-Up E+0 Speed-Up E+0 E- E- E+3 E+4 E+5 Nv (a) (b) Fgura 3 Representação gráfca do ganho de velocdade do esquema PB com respeto ao esquema VV; (a) Speed-Up N v, e N c constante; (b) Speed-Up (N v / N c ), e N c constante. A acuráca do algortmo PB fo examnada através do cálculo do erro numérco, E, cometdo ao se utlzar a expansão em multpolos em substtução à le de Bot-Savart. Neste trabalho o erro é defndo segundo Carrer et al. (988), sto é, / Nv Nv ö å ( qpb - q ) VV q VV = = ø æ E º ç å, (3) è onde q PB e q VV são os módulos do vetor velocdade calculados no vórtce através dos esquemas PB e VV, respectvamente. Para todos os casos testados e mostrados nas Fgs. 3a e 3b, o erro máxmo obtdo fo menor que 0-5. 4. Domíno Retangular: Estera a Jusante do Clndro E+0 E+ E+ E+3 Com o obetvo de avalar o desempenho do algortmo descrto na seção anteror quando aplcado a escoamentos em torno de clndros crculares, uma smulação completa utlzando o Método de Vórtces com o esquema VV de Mustto et al. (998) fo realzada. Os resultados forneceram dversas esteras reas obtdas durante a smulação em nstantes de tempo específcos. As Fgs. 4 e 5 são exemplos do tpo de estera obtda, mostrando a posção dos vórtces em um determnado nstante de tempo, com ntensdades calculadas na própra smulação. Assm, esteras com N v = 07, 06, 490, 7905, 007, e 3903 foram geradas, onde novamente N v é o número de vórtces externos ao clndro, e N v é o total de vórtces no escoamento, nclundo-se os vórtces magens. Conforme se vê nas Fgs. 4 e 5, a regão ocupada pelos vórtces em torno do clndro e a usante dele á não é mas quadrada, e se torna cada vez mas retangular à medda que N v cresce. Para cada estera, a extensão do domíno é calculada através dos comprmentos horzontal (CH) e vertcal (CV), defndos pelas Nv/ Nc
coordenadas máxma e mínma dos vórtces nas dreções x e y, respectvamente (Fg. 4). Estes comprmentos determnam a razão de aspecto do domíno, RA, defnda por RA º CH / CV. (4) CV CH Fgura 4 Domíno formado por um clndro e a estera a usante dele (N v = 7905). (a) (b) Fgura 5 Dos exemplos de esteras utlzadas para a smulação; (a) estera composta por 06 vórtces, (b) estera composta por 007 vórtces. O crtéro para a escolha do número de caxas na dreção vertcal, N cv, se baseou nos valores utlzados nas smulações para a regão quadrada (seção 4.), sto é, N cv = 0, 4,, 8 e 34. Assm, podemos utlzar os resultados da seção anteror para comparação. Por outro lado, de modo a produzr caxas aproxmadamente quadradas (analogamente à seção 4.), o número de caxas na dreção horzontal, N ch, é determnado por N ch = N cv RA. (5) Para cada caso, os esquemas VV e PB foram novamente estudados sob os pontos de vsta de desempenho e acuráca. Todos os valores de N cv foram testados, mas apenas os melhores resultados em termos de desempenho estão apresentados na Tabela, que mostra os tempos de CPU em segundos dos esquemas VV e PB, t VV e t PB, respectvamente, além do Speed-Up e do erro numérco. Com base na Tabela, podemos tecer as seguntes consderações: (v) o número de caxas na dreção vertcal que apresenta o melhor desempenho aumenta à medda que o número de vórtces no domíno também aumenta; este resultado é semelhante ao observado para o domíno quadrado (seção 4.);
(v) de forma análoga ao estudo realzado no domíno quadrado, não exste um ganho real de velocdade para baxos valores de N v ; especfcamente o Speed-Up se torna maor que a undade apenas para N v maor que 4000; (v) os erros obtdos são nferores a 0-5 em todos os casos estudados. Tabela Resultados comparatvos entre os esquemas PB e VV para a smulação com estera. N v N v RA N cv x N ch t VV (s) t PB (s) Speed-Up E 07 034,5 0 x,33,83 0,73,06x0-5 06 403,68 0 x 7 5,4 5,6 0,98,86x0-7 490 980 3,55 0 x 36 9,0 0,0,45 3,6x0-7 7905 580 3,64 4 x 5 75,0 4,0,79,60x0-7 007 04,93 x 63 5,0 75,0,67,84x0-7 3903 7806,89 x 6 35,0 46,0,6,05x0-6 De uma forma geral os resultados mostrados na Tabela corroboram aqueles obtdos para o domíno quadrado, embora as dstrbuções de vórtces externos ao clndro e, consequentemente, sua dstrbução de magens, seam dferentes nos dos casos. 5. CONCUSÕES Neste trabalho fo feta uma comparação entre os esquemas Partcle-Box do Método de Multpolos e o esquema de nteração dreta Vórtce-Vórtce da le de Bot-Savart para o cálculo das velocdades nduzdas sobre um conunto de vórtces. Dos tpos de dstrbuções de vórtces foram estudados: uma dstrbução estatstcamente unforme de vórtces nternos a um domíno quadrado e externos a um clndro crcular centrado nele; e uma dstrbução de vórtces nterores a um domíno retangular, posconados na estera de um clndro crcular obtda de uma smulação com o método de vórtces. Dos resultados obtdos, concluímos que: () o esquema VV requer um número de operações da ordem de N v, enquanto o algortmo do esquema PB desenvolvdo requer um número de operações da ordem de N v logn v ; () exste de um número mínmo de vórtces (N v @ 000) e um número mínmo de vórtces por caxa (N v /N c @ ) a partr dos quas o esquema PB obtém um ganho em velocdade em relação ao esquema VV; () as consderações (v) e (v) acma sugerem que um esquema progressvo de aumento de N cv em função de N v pode ser utlzado no decorrer de uma smulação contínua do escoamento em torno de um clndro crcular; os resultados sugerem a utlzação da segunte regra: para N v < 000, utlze o esquema VV; para 000 < N v < 5000, utlze esquema PB com N cv = 0 e N ch obtdo da Eq. (5); para 5000 < N v < 0000, utlze esquema PB com N cv = 4 e N ch obtdo da Eq. (5); para N v > 0000, utlze esquema PB com N cv = e N ch obtdo da Eq. (5); (v) os erros para todos os casos estudados foram sempre nferores a 0-5. Os procedmentos acma produzem um algortmo que opera próxmo ao ponto ótmo ao longo de toda a smulação. Agradecmentos Os autores gostaram de agradecer ao CNPq, proeto no. 560/94-9, e à FAPERJ, proeto no. E-6/7.84/99, pelo seu apoo fnancero durante a realzação deste trabalho.
REFERÊNCIAS Barnes, J.E. & Hut, P., 986, A herarchcal O(N log N) force-calculaton algorthm, Nature, vol. 34, pp. 446-449. Carrer, J., Greengard,. & Rohln, V., 988, Multpole algorthm for partcle smulatons, SIAM Journal of Scentfc Statstcs and Computaton, Vol.9, No. 4, pp. 669-686. El-Rewn, H. & ews, T.G., 998, Dstrbuted and parallel computng, Mannng Publcatons Co., CT. Greengard,. & Rohln, V., 987, A fast algorthm for partcle smulatons, Journal of Computatonal Physcs 73, pp. 35-348. Guedes, V.G., Hrata, M. H. & Bodsten, G. C. R., 999a, Vortex method smulaton of the flow around a crcular cylnder usng the multpole expanson algorthm, Proceedngs of the Internatonal Conference on Computatonal Heat and Mass Transfer, Gazmagusa, TRNC, Turey, Aprl 6-9. Guedes, V.G., Hrata, M. H. & Bodsten, G. C. R., 999b, Esquema de expansão em multpolos aplcados ao cálculo de nterações entre partículas baseado na le de Bot- Savart, Anas do XV COBEM (em CD-ROM), Águas de ndóa, SP, -6 de novembro. ews, R.I., 99, Vortex element methods for flud dynamc analyss of engneerng systems, Cambrdge Unversty Press, Cambrdge. Mlne-Thomson,. M., 955, Theoretcal hydrodynamcs, MacMllan & Co., ondon. Mustto, A. A., Hrata, M. H. & Bodsten, G. C. R., 998, Dscrete vortex method smulaton of the flow around a crcular cylnder wth and wthout rotaton, AIAA Paper 98-409, 6 th. Appled Aerodynamcs Conference, Albuquerque, N. M., June 5-8. Press, W.H., Flannery, B.P., Teuolsy, S.A. & Vetterlng, W.T., 989, Numercal recpes - the art of scentfc computng (Fortran verson), Cambrdge Unversty Press. Sarpaya, T., 989, Computatonal methods wth vortces - The 988 freeman scholar lecture, Journal of Fluds Engneerng, Vol., pp. 5-5. A NEW SCHEME OF THE MUTIPOE EXPANSION METHOD FOR THE INTERACTION AMONG PARTICES IN THE PRESENCE OF A CIRCUAR CYINDER Abstract. In ths paper the Partcle-Box Multpole Expanson Algorthm (PB) s used to calculate partcle nteractons and the results are compared to the drect Vortex-Vortex Bot- Savart Algorthm (VV). In a system wth N partcles, the PB scheme requres N operatons, whereas the PB scheme requres only NlogN. The PB scheme may replace the VV scheme n the Vortex Method Algorthm to compute the convecton of dscrete vortces that model the vortcty n -D, ncompressble, unsteady flows around bodes. Two flud domans are studed: n the frst, the vortces are postoned randomly exteror to a crcle and nteror to a square regon; n the second, the vortces le n the wae regon of a crcular cylnder. The presence of the cylnder generates mage vortces n ts nteror. The nfluence of the numercal parameters ntrnsc to the PB scheme, such as the number of vortces, the number of boxes and the number of vortces per box, s studed for both domans; the numercal error and the speed-up obtaned to calculate the vortex nduced veloctes are also determned. Keywords: Vortces, Multpole expanson, Bot-Savart law, Crcle theorem