3.3 A egunda lei de Newton num referenial geral. Agora vamo upor que R eja um referenial inerial no qual formulamo a egunda e a tereira lei de Newton. A grandeza mai importante neta lei é a aeleração. Então vamo agora analiar a fórmula de aeleração (3.1.10) mai detalhadamente: 1 1 d R d d 1 Μ Μ a + Μ a + v + r Da mema maneira omo limo a fórmula da veloidade (3.1.9) no referenial vamo ler a fórmula da aeleração nete referenial: 1 1 d R dμ d Μ Μ a a t v t r t RR Μ + + + t RR Μ t RR Μ t (3.3.1) ( ) ( ) ( ) O termo que leva o fator pode er erito om a ajuda da veloidade angular: 1 d R d Μ Μ a a t t v t r t RR Μ + + Ω + t RR Μ t (3.3.) ( ) ( ) ( ) ( ) Agora tentaremo exprear também o termo da egunda derivada temporal do invero do martyrion em termo da veloidade angular. Temo 1 1 1 d Μ d dμ RR dμ t RR dμ t Μ RR t Μ 1 dω dμ d RR Μ t 1 Μ RR Μ t RR t (3.3.3) 1 1 dω dμ d RR Μ t + Μ RR Μ t dω + ΩΩ No penúltimo pao uamo 0 1 d1 d Μ RR Μ t (3.3.4) Podemo inerir o reultado (3.3.3) na fórmula (3.3.): d R dω Μ a + a + Ω v + r + ΩΩ r RR Μ t RR (3.3.5) t Neta fórmula omitimo de novo o ( t ) para obter uma fórmula mai ompata. Sabemo dede já que todo depende do tempo. A egunda lei de Newton para um itema de N maa puntiforme era m a F l l Apliando Μ RR neta equação e uando (3.3.5) obtemo: t d R dω m Μ + m a + m Ω v + m r + m ΩΩ r F Μ l (3.3.7) l R (3.3.6) 17
O obervador ituado no referenial R vai quere interpretar eta equação de novo omo uma egunda lei de Newton maa veze aeleração força. Então ele ereve todo o termo do lado equerdo que diferem do termo m a para o lado direito e interpreta ete termo omo força: m a m m v m r m r F d R dω Μ RR t Ω ΩΩ + Μ l l (3.3.8) Eta interpretação modifia o oneito e força. A força verdadeira F l, ou lida do referenial novo F Μ l, derevem a interação entre partíula. A partíula l exere a força F d R l na partíula. A força mμ RR, m t Ωv, dω m r e mωω r, que ão hamada de força ineriai, não ão exerida por nada, ele não derevem uma interação. Ele ão um artefato gerado pela eolha de referenial. O termo m ΩΩ r repreenta a famoa força entrífuga e o termo m Ωv a força de Corioli 1. Veremo un exemplo imple: Imagine um foguete que etá no epaço inter-etalar bem longe de todo o objeto que poderiam perturbar eu omportamento. Dentro dele há um atronauta omo indiado na figura 3.3.1. Agora o atronauta aiona o motore do foguete de tal forma que ete e mova om aeleração para frente. Nete momento o atronauta ente uma preão na ota. O aento exere uma força (de natureza eletromagnétia) na moléula da uperfíie do eu orpo. Ma, do ponto de vita do atronauta ele etá entado quieto no referenial do foguete e na opinião dele eu orpo não tem aeleração. Então, om o onheimento da egunda lei de Newton, ele onlui que a oma da força que atuam obre eu orpo deve er nula. Conequentemente ele imagina uma força que aponta para trá e que ompena a força que o aento exere na ota. Eta força orreponde ao termo a d R mμ RR da equação (3.3.8). t Fig. 3.3.1 Foguete aelerado om atronauta. Agora o atronauta olta um pequeno objeto da mão. Ele etá aotumado que o objeto que ele larga em veloidade iniial fiam pairando no memo lugar onde ele a largou. Ma agora om o motore do foguete ligado, ele oberva que o objeto e deloa para trá aeleradamente. O atronauta vá atribuir ete omportamento a uma força que novamente orreponde ao d R termo mμ RR. t Como egundo exemplo onideramo um dio rígido em rotação om veloidade angular ω ontante. Uma adeira etá montada perto da beirada do dio e uma 1 Gapard-Gutave de Corioli ou Gutave Corioli (Frane: [ɡapaʁ ɡytav də ɔʁjɔli]; 1 Maio 179 19 Setembro 1843) 18
peoa de maa m etá entada neta areira olhando para o entro do dio pelo qual paa o eixo de rotação omo motra a figura 3.3.. Fig. 3.3. Carroel om obervador em rotação. ρ Sabemo que o aento deve exerer a força entrípeta ρ mρ ω no orpo da peoa para manter-lo na trajetória irular. Neta expreão ρ é a ditânia do ρ orpo do eixo de rotação e ρ é um vetor unitário apontando para fora. Coneqüentemente a peoa perebe uma força na ota que é exerida pelo aento. Do ponto de vita deta peoa ela etá entada quieta no aento e ela julga não ter aeleração nenhuma. Ela aplia a egunda lei de Newton e onlui que a força reultante que atua obre o orpo é nula. Então ela onlui que deve exitir uma força que anula a força exerida pelo aento. Eta força imaginada é a força entrífuga. Vamo alular ete termo: Uaremo oordenada ilíndria no referenial do dio om o eixo z oinidindo om o eixo de rotação. A oordenada ilíndria ρ, ϕ, z do epaço do referenial do dio e relaionam om oordenada Carteiana x, y, z do memo epaço da eguinte forma: ( ) y ( ) x ρ o ϕ, ρ en ϕ (3.3.9) e o vetore báio aoiado ão r r r ρ, ϕ ρ ϕ, z z def. def. def. r r r ρ ϕ z ( ) ( ) ( ) ( ) ρ x o ϕ + y en ϕ, ϕ x en ϕ + y o ϕ z z Temo (3.3.10) ω ωẑ e a força entrífuga que atua obre uma maa no plano z 0 é m Ω Ω r m ω ω ρρ m ω z ϕ ρ + ρ m ω ρ (3.3.11) ( ) Agora vamo imaginar que há uma mea em atrito montada enima do dio giratório (daquela que tem furinho na tampa por onde ai ar omprimido) e a peoa entada na borda do dio lança um diquinho neta mea empurrando-o na direção ao entro do dio om veloidade v v o ρ. Vamo upor que o diquinho foi lançado no exato momento quando a peoa etava paando enima do eixo x de oordenada no epaço do referenial fixo. Nete referenial o diquinho faria implemente um movimento retilíneo uniforme: x t ρ v t, y t ρ ωt (3.3.1) ( ) ( ) 0 0 0 ou, em termo do vetor poição om a origem no entro da mea: 19
r t x ρ v t + y ρ ωt (3.3.13) ( ) { } 0 0 0 Na próxima eão motraremo que no epaço do referenial em rotação o movimento do diquinho é derito pela função r t x ( ρ v t)o ω t + ρ ωt en ω t + y ρ ωt o ωt ( ρ v t)en ωt { 0 0 0 } { 0 ( ) 0 0 ( )} ( ) ( ) ( ) (3.3.14) A figura 3.3.3 motra um exemplo de uma trajetória no referenial do dio giratório. Nete exemplo eolhemo v 0 0 ρ ω. O obervador que etá entado no dio vai expliar eta trajetória urvada om a força de Corioli e om a força entrífuga. Fig. 3.3.3 Trajetória no epaço de um referenial em rotação de um diquinho que foi lançado numa mea em atrito e om veloidade iniial na direção ao eixo de rotação. Um fato hama a atenção na força ineriai. Ele ão proporionai à maa da partíula. Ete detalhe ρ ele têm em omum om a força de atração ρ gravitaional. Uma maa M ituada na poição r o M atrai uma maa m ituada na poição r om a força G M ( r rm ) F m (3.3.15) 3 r r M Numa região epaial muito pequena em omparação om a ditânia r r entre a maa um obervador que por alguma razão não pode ver ou pereber a maa M pode ahar que a força que atua obre a maa m é omente uma força inerial. Loalmente ele pode adotar um referenial diferente no qual a força obre a maa m implemente deaparee. Ete referenial é ontruído a parti de orpo que e enontrem em queda livre. É ito que aontee na ápula epaiai. Frequentemente podemo ver imagen na televião om atronauta brinando om pequeno objeto olto que implemente flutuam ou andam om veloidade ontante em air omo a gravitação não exitie. Na verdade a atração gravitaional no loal do atélite é ainda batante forte. Ma toda a ápula epaial etá aindo livremente na direção à Terra, em hegar na Terra, e nete referenial em queda livre a força inerial ompena a força gravitaional. Ma, ete anelamento é loal. Se invetigáemo uma região epaial um pouo mai extena notaremo que o anelamento não é perfeito. Ele não pode er perfeito numa região extena porque a força gravitaional depende da poição d R e a força inerial do primeiro termo Μ não depende da poição. A pequena diferença do não anelamento de força gravitaional e força inerial é hamada de força de maré. A poibilidade de anelar uma força gravitaional pela eolha loal de referenial é a eênia do prinípio de equivalênia, que é um ingrediente importante na ontrução da teoria da relatividade geral. Se podemo loalmente anelar uma força gravitaional om uma força inerial podemo também fazer o invero: fazer de onta que uma força inerial é uma força gravitaional. Ito não é orreto, poi a força gravitaional é uma força exerida por um orpo enquanto a força inerial não é exerida por nada e não poui o par de reação. Ma, para fin prátio eta ubtituição pode ervir. O exemplo láio é a aeleração M 0
da gravidade num laboratório. Se voê medir a aeleração da gravidade g dentro do laboratório voê mede na verdade a oma da aeleração auada pela atração da Terra e a aeleração devido a força entrífuga auada pela rotação da Terra. A Terra dá uma volta ompleta em aproximadamente 86164,1. Ito é a duração de um dia ideral. Um dia ideral orreponde a uma volta ompleta da Terra num referenial inerial. Por outro lado um dia olar ua a aparente poição do Sol omo ritério para dizer e a Terra ompletou uma volta. Como a Terra dá uma volta ao redor do Sol durante um ano o dia olare e dia iderai diferem um pouo. Mai tarde veremo que a veloidade angular do movimento orbital da Terra por volta do Sol não é ontante. Conequentemente a diferença entre dia olar e dia ideral muda também durante um ano. 4 h (que ão 86400 ) é a duração média do dia olar. Com o tempo de rotação 86164,1 obtemo uma veloidade angular 5 1 ωterra 7, 9 10 (3.3.16) e ete peudovetor aponta na direção do eixo da Terra om a orientação do Sul para o Norte. Numa poição no equador a força entrífuga eria F entrífug. m ρ ρ ω Terra (3.3.17) 5 1 m ρ 6378137,0 m 7, 9 10 m ρ 0, 0339 m ( ) Ito, om um g de aproximadamente 09,81 m, ignifia que a verdadeira aeleração da gravidade eria un 0,3% maior que o g medido no laboratório no equador. Para o fin prátio não interea o que é gravitação verdadeira e qual parela é força entrífuga. Na prátia vamo uar o g que ontém a dua parela. Uma diuão análoga pode er feita om a direção da aeleração da gravidade. Em lugare entre equador e pólo a direção do fio do prumo não aponta exatamente para o entro da Terra. A força entrífuga provoa um devio do prumo. É a direção do prumo que hamamo de vertial. Então a direção vertial não aponta para o entro da Terra em todo o ponto da Terra. Também a força entrífuga deforma o globo Terretre um pouo. A Terra não tem exatamente a forma de uma efera. A ditânia do entro ao pólo é aproximadamente 6356,8 m e a ditânia do entro ao equador é aproximadamente 6378,1 m, ou eja 1,3 m maior. Ito é um devio de aproximadamente 0,3%. A figura 3.3.4 motra eta ituação de forma exagerada. Na verdade o devio da forma eféria e o devio do prumo da direção ao entro ão tão pequeno que num deenho fiel ele eriam impereptívei ao olho. 1
plano horizontal vertial ω θ Ψ Φ gravitação g força entrífuga efera exáta equador entro da Terra Fig. 3.3.4 Repreentação exagerada do devio da forma eféria da Terra e do devio do prumo da direção entral devido à força entrífuga. A figura deixa evidente que e pode definir diferente ângulo de latitude para ervir omo oordenada para ponto na uperfíie da Terra. Por exemplo, pode-e uar o ângulo que a linha, que une a poição em quetão om o entro da Terra, faz om o plano equatorial. Ete ângulo etá indiado na figura 3.3.4 om o ímbolo Ψ. Ma, também e pode uar o ângulo que a direção vertial faz om o plano equatorial. Ete ângulo etá indiado omo a letra Φ. O itema GPS (Global Poitioning Sytem) ua algo pareido om o ângulo Φ, om a únia diferenia que no lugar da verdadeira direção vertial (direção do prumo) o GPS ua uma direção vertial nominal, que é definida omo normal ao plano tangente de um elipóide de rotação que aproxima a forma verdadeira da Terra batante bem. Apear do fato que a diferença entre o ângulo Ψ e Φ ão pequena ao olho humano a diferença de loalização entre diferente itema de latitude podem hegar a ditânia que ultrapaam 100 m. Então na hora de uar mapa junto om um aparelho de GPS tem que pretar atenção e o doi uam a mema definição de latitude. Poder-e-ia argumentar que toda eta diuão ompliada do refereniai não ineriai é upérflua. Um álulo num referenial inerial paree er mai imple. Ma, ito não é empre o ao. Frequentemente a eolha de um referenial não inerial implifia o álulo. Um ao famoo deta ituação é a análie do omportamento do O elipóide uado pelo itema GPS tem o emieixo maior (entro equador) de 6.378.137,0 m e o emieixo menor (entro pólo) de 6.356.75,314 m.
pêndulo de Fouault. Jean Bernard Léon Fouault 3 queria demontrar que a Terra gira e para eta demontração ele uou um giganteo pêndulo om uma maa de 8 g pendurada num fio de 67m de omprimento. Fig. 3.3.5 Pêndulo de Fouault no Panthéon, Pari. (Imagem tomada da Wiipedia) Se montáemo um pêndulo dete num laboratório ituado exatamente no pólo Sul da Terra, a análie do omportamento do pêndulo eria muito imple. Nete ao a eolha de um referenial inerial eria realmente a mai adequada. O pêndulo oila implemente de forma etaionária e a Terra gira por baixo dele. Neta ituação é evidente que um obervador fixo no referenial da Terra viria um pêndulo ujo plano de oilação gira om uma veloidade angular ω Terra. Ma para a experiênia feita em Pari a ituação é bem mai ompliada. Nete loal o ponto de upenão do pêndulo faz um trajeto irular no referenial inerial. Neta ituação é vantajoo adotar a Terra omo referenial. Como expliamo aima, podemo aborver a força entrífuga no g e na definição da direção vertial. Além dio, vamo fazer a aproximação uual de oniderar g um vetor ontante dentro do laboratório. Uma vez feito ito podemo agora deloar a origem do referenial para um ponto dentro do laboratório. A força de Corioli não ofre nenhuma alteração om eta mudança de origem 4. Vamo uar o ponto de upenão do pêndulo omo origem e vamo uar oordenada eféria. Ma, o eixo z não erá mai o eixo de rotação da Terra, omo na figura 3.3.4, ma uaremo a direção 3 Jean Bernard Léon Fouault (Franê : [ʒɑ bɛʁnaʁ leɔ fuo]) (18 etembro 1819 11 fevereiro 1868). Fouault deobriu orrente induzido em metai (orrente de Fouault) e ele pequiou giroópio. 4 A força entrífuga ofreria uma alteração, ma eta eria exatamente ompenada por uma alteração do termo m Μ d R /. 3
vertial omo direção do eixo z e om a orientação para baixo (no entido de g ). Como não etamo aotumado om itema de oordenada eféria om o eixo z apontando para baixo e nem om deenho da Terra om o pólo Sul enima vamo mudar a loalização da experiênia de Pari para algum lugar da Argentina par obter uma figura mai amigável. Naturalmente vamo exagerar o tamanho do pêndulo na figura para poder enxergar algo. A figura 3.3.6 motra a oordenada. O eixo z aponta vertialmente para baixo (na figura para ima) e o eixo x aponta para o pólo ul. Uamo o ~ para indiar que etamo no referenial não inerial. α ω entro da Terra Fig. 3.3.6 Definição de oordenada para o pêndulo de Fouault em algum lugar imaginado om latitude de aproximadamente 41 o S. equador vertial Pólo Sul z θ plano do hão do laboratório O x A vertial do laboratório faz um ângulo α 90 o Φ om o eixo de rotação da Terra. Temo ω z ω o α x ω en α (3.3.18). z ω x ω onde introduzimo a abreviação def. def. ω ω o α, ω ω en α (3.3.19). O vetore unitário aoiado à oordenada eféria ão (ompare o exeríio B): r x en θ o ϕ + y en θ en ϕ + z o θ θ x o θ o ϕ + y o θ en ϕ z en θ (3.3.0) ϕ x en ϕ + y o ϕ Deta fórmula obtemo o z r θ θ en θ x ϕ en ϕ + r en θ o ϕ + θ o θ o ϕ Então podemo exprear a veloidade angular na bae { r, θ, ϕ } : (3.3.1) 4
{ } { en o o } ω r ω oθ ω en θ o ϕ + + θ ω θ ω θ ϕ + + ϕω en ϕ (3.3.) Do exeríio B) abemo que a veloidade da maa do pêndulo é v r r + θ r θ + ϕ r en θϕ (3.3.3). Ma, no ao do pêndulo o fio de upenão tem um omprimento fixo de tal forma que a derivada temporal da oordenada r é zero: v θ r θ + ϕ r en θϕ (3.3.4). Com eta expreão vamo alular a força de Corioli: F mω v Corioli { ( ) } ( ) r m r θω en ϕ + ϕ ω en θ + ω en θ o θ o ϕ + { } + θ m r ϕ ω en θ o θ ω en θ o ϕ + { } + ϕ m r θ ω o θ + ω en θ o ϕ A força gravitaional junto om a entrífuga é (3.3.5). mg r mg o θ θ mg en θ (3.3.6). Do exeríio B) temo a expreão da aeleração na bae { r, θ, ϕ } : { } { r r r en o ( ) } { r r r } a r r r ( θ) r (en θ) ( ϕ ) + + θ θ + θ θ θ ϕ + + ϕ en θ ϕ + en θ ϕ + o θ θϕ (3.3.7) No ao do pêndulo podemo ignorar todo o termo que envolvem derivada de r. Etamo pronto para erever a egunda lei de Newton, que fornee trê equaçõe: r θ r en θo θ ( ϕ ) { ( ) } g en θ + r ϕ ω en θ o θ ω en θ o ϕ { } (3.3.8) r en θ ϕ + r o θ θϕ r θ ω o θ + ω en θ o ϕ (3.3.9), onde já eliminamo a maa. A tereira equação, que envolve ṙ, não foi erita. Nela aparee a força que o fio de upenão exere obre a maa e eta força toma onta do r 0. Eta equação não tem interee para a determinação do movimento da maa, ma ela pode er intereante para alular a força que o fio de upenão tem que agüentar. 5
Seguir em frente om a equaçõe (3.3.8) e (3.3.9) eria extremamente difíil. Ma, podemo implifiar eta equaçõe om uma aproximação, que e aplia bem na maioria da experiênia de pêndulo de Fouault. Vamo upor que a amplitude de oilação eja pequena de tal forma que θ << 1 e que termo quadrátio em θ poam er deprezado. g θ θ ( ϕ ) θ + ϕω θ (3.3.30) r θ ϕ + θϕ ω θ (3.3.31) Na equação (3.3.31) não aparee ϕ. Então é vantajoo uar a derivada primeira omo uma nova inógnita. De fato, podemo logo inluir o ω neta inógnita: η ϕ + ω (3.3.3) def. Com eta variável a equação (3.3.31) toma a forma imple θ η + θη 0 (3.3.33) Podemo epara variávei e obtemo Eta equação pode er integrada: η ln η e reulta uma relação para ϕ η η ( ) θ θ ( ) θ ln 0 θ 0 ( 0) θ ϕ ω + η0 θ (3.3.34) (3.3.35) (3.3.36) onde η 0 é uma ontante que depende da ondiçõe iniiai e que poderia er unida om a ontante ( θ ( 0 )). Ma mantivemo eta ontante eparada para exprear 0 laramente que ϕ é da ordem θ. Agora vamo ubtituir ete reultado na (3.3.30) g θ θ + θ ϕ { ω + ϕ } r g θ ( 0) θ ( 0) θ + θ ω + η 0 +ω + η 0 r θ θ 4 ( g + rω ) θ ( 0) 0 3 r θ + η θ (3.3.37) Ito ignifia que o únio efeito da força de Corioli no omportamento da variável θ pode er reumido numa ubtituição da ontante g pela ontante g + r ω. Temo ω ω e memo om um pêndulo gigante om ( ) 5 1 7 r 67 m a alteração é muito pequena: r ω 67 m 7, 9 10 3,56 10 m (3.38) 6
Com g na ordem de 10 m eta orreção é ompletamente inignifiante, outra aproximaçõe que fizemo auam erro maiore. Com eta informação que θ não ofre pratiamente nenhuma alteração pela preença da força de Corioli voltaremo ao reultado (3.3.36) da veloidade angular ϕ : a fórmula (3.3.36) informa que o únio efeito da força de Corioli é uma adição de um giro uniforme por volta da direção vertial om uma veloidade angular ωo α. O obervadore paiente notam eta rotação obervando o ponto de retorno do pêndulo durante alguma hora. A veloidade angular ωo α orreponde à projeção ortogonal do vetor ω na direção vertial do laboratório. 7