10 Relatividade de Galileu a Einstein

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1 10 Relatividade de Galileu a Einstein 1. Uma massa m está suspensa do teto de uma arruagem de omboio por um fio. Um passageiro na mesma arruagem regista que, quando o omboio arrana da estação, o fio que suspende a massa faz um ângulo α om a vertial (i.e, om a normal ao teto da arruagem). (a) Determine as forças que atuam na massa m do ponto de vista de um observador que está a analisar as imagens da massa m a partir de uma âmara video loalizada no interior da arruagem. O observador está fora do omboio. Relaione a resposta om o ângulo α. Do ponto de vista desse observador, qual o estado de repouso ou movimento de m? (b) Determine as forças que atuam na massa m do ponto de vista de uma pessoa que permanee na plataforma da estação e vê o omboio arranar. O que poderá dizer relativamente à aeleração do omboio? 2. Um passageiro num elevador deixa air uma moeda. Nesse instante o elevador enontrava-se em movimento desendente om veloidade v elevador = 0,5 m /s. (a) Se no instante em que a moeda adquire uma veloidade de 1 m /s em relação ao passageiro, se partirem os abos do elevador, qual o movimento posterior da moeda em relação ao passageiro. Resolução: A aeleração da moeda no referenial do passageiro, a relaiona-se om a aeleração no referenial laboratório, a por a = a a R onde a R é a aeleração relativa do elevador em relação ao referenial laboratório. Como a = a R = g, a aeleração da moeda vista pelo passageiro do elevador é a = 0 e o passageiro verá a moeda a desloar-se om veloidade uniforme v = 1 m /s. (b) No instante em que se partiram os abos a moeda estava a 20 m do hão do elevador. A moeda atingirá o hão do elevador? Resolução: Uma vez que a moeda se desloa om veloidade uniforme, aabará por atingir o hão, ao fim de t = x/v = 0,2 s. () Qual o movimento da moeda antes de se partirem os abos e após se terem partido os abos do elevador, do ponto de vista do funionário da empresa que tinha preisamente aabado de arranjar o elevador e estava no patamar do último piso? 1

2 Resolução: Do ponto de vista do funionário a moeda terá sempre um movimento uniformemente aelerado om aeleração de módulo g. 3. Num simulador de vôo de um Boeing 737 pretende-se simular uma travagem do avião após uma aterragem. O omandante tem 1000 m de pista para parar e toou a pista a 180 km /h. A sensação de travagem é onseguida inlinando o módulo do simulador. Qual o ângulo a que se deve inlinar o módulo do simulador para simular esta travagem e para que o piloto sinta a mesma desaeleração? Resolução: 180km/h = 50m/s. A aeleração relativa à travagem do avião na pista de 1000m é dada por: x = v2 f v2 i 2a a = = 1.25m/s2. A força resultante de inlinar o simulador por um dado ângulo θ é dada por mg sin θ = ma sin θ = a/g θ = arsin(a/g) 7.3 o Quais as forças qua atuam no piloto durante a travagem real e no simulador? Para pensar: quais as onlusões desta experiênia no que diz respeito à omparação entre a massa gravitaional e a massa inerial? 4. (*) Uma pessoa (A) enontra-se no entro de um simulador (arroel om a parte lateral e superior ompletamente fehada) e pretende atirar uma bola para uma outra pessoa (B) loalizada a uma distânia d = 6 m do entro. O arroel é posto a girar om uma veloidade angular onstante ω = 2 rad /s. No hão do arroel enontam-se desenhadas linhas radiais. As paredes do arroel têm um vidro que permite ver de fora para dentro mas não permitem ver de dentro para fora. (a) Suponha que A atira a bola para B de modo que esta desliza pelo hão pratiamente sem atrito. A veloidade da bola do ponto de vista de A é v. A veloidade iniial da bola tem a mesma direção de uma linha radial representada no hão do arroel. Qual a trajetoria da bola do ponto de vista de A? Indique que forças atuam na bola. (b) Na situação da alínea anterior, qual a trajetória da bola do ponto de vista de um observador C, situado fora do arroel? Qual a veloidade da bola? () Suponha que agora é B que atira uma bola para A. A veloidade iniial da bola, do ponto de vista de B ( v ) é radial e na direção de A. Qual a trajetória da bola do ponto de vists de A? Indique que forças atuam na bola. (d) E do ponto de vista de C? 2

3 5. Os abos de elevador suportam, sem partir, uma força máxima de 1000 Kgf. Qual o maior peso de passageiros que o elevador pode suportar se arranar e travar om uma aeleração 10 vezes inferior à da gravidade (9,8 m /s 2 ). Resolução: Como 1 Kgf = gn, T max = 1000 Kgf = 1000 g N, onde g = 9.8 é o valor da aeleração da gravidade à superfíie da Terra. Consideremos agora o movimento de subida do elevador num referenial orientado de baixo para ima. As equações de Newton são dadas por: T max mg = ma 1000g mg = m0.1g m = 909.1kg. 6. (*) Um/a futuro/a engenheiro/a de testes oloa uma roda inerial num suporte dentro de uma box (aixa) que por sua vez será oloada no interior de um satélite. Numa abordagem simplifiada onsidere que a roda inerial é um diso om momento de inéria I = 5 kg /m 2 relativamente ao eixo de rotação que passa pelo seu entro e é perpendiular ao plano do diso. Quando o sistema é fixo na estrutura verifia-se que gira a 5000 rpm. O satélite é ilíndrio, tem massa M = 20 kg, densidade uniforme (inluindo já a roda inerial), altura h = 2 m e raio r = 1 m. A roda inerial é oloada no entro do satélite, fiando om o momento angular paralelo ao maior eixo do ilindro. A/O Engenheira/o está preoupada/o porque não sabe se há algum atrito, assoiado ao peso da roda inerial, no ontato entre o suporte e a roda inerial que possa estar a diminuir a veloidade de rotação da roda. Temese que, em situação de imponderabilidade no espaço, esse atrito desapareça dando origem a que a roda passe a girar até 5050 rpm. O que aonteerá ao satélite se, de fato, a roda inerial no espaço passar a girar a 5050 rpm? Se fosse responsável pelos testes à roda inerial, sugeriria testá-la em vôo parabólio? Porquê? O Engenheiro, que está oloado em ima de uma plataforma rotativa deide inverter o aparelho. Considere que o aparelho e o engenheiro têm um momento de inéria em relação ao eixo de rotação de 1 kg /m 2 e 35 kg /m 2, respetivamente. O que aontee ao engenheiro? 7. Um avião, que se desloa om uma veloidade v = 900 km /h a uma altitude h = m, tem que fazer uma urva de raio R = 5000 m. A massa do avião om o piloto é kg. (a) Represente esquematiamente quais as forças que atuam no avião, do ponto de vista do piloto (referenial não inerial S ) e do ponto de vista de um ontrolador aéreo situado numa torre de ontrolo de um aeroporto (referenial inerial S). Qual a expressão para a aeleração do avião relativamente a ada um dos refereniais? 3

4 Solução: No referenial fixo S (o do ontrolador aéreo) identifiamos omo forças o peso ( P ) e a força de sutentação ( F s ), tal omo sugerido na figura. Como o avião faz uma urva, movimento possível devido à inlinação α que o mesmo realiza om a horizontal, temos: F s os α = P F s sin α = F = ma. Do ponto de vista do piloto, no referenial S, o somatório das forças é zero, a aeleração é também zero. De fato no piloto, para além das forças P e F s atuam ainda uma força entrífuga. Esta força é uma força fitíia que aponta para fora e é sentida pelo piloto. O valor é dado por F I = ma R onde a R tem o signifiado da aeleração do avião, ou seja do referenial S em relação a S, e que neste aso é a aeleração do avião em relaão ao ontrolador aéreo, ou seja a R = a. Assim, no referenial S o somatório das forças é zero. (b) Seja α o ângulo que as asas do avião fazem om o horizonte durante a manobra. Qual o valor de α para que durante a manobra o módulo da veloidade do avião se mantenha igual á veloidade em ruzeiro v = 900 km /h? Solução: Da alínea anterior, temos tan α = F P = mv2 RP, onde R é o raio da trajetória. O módulo do peso para uma altitude de h = 12000m é dado por P = GM T m r 2 = N = mg, onde r = R Terra + h. Assim, ( ) mv α = tan , 2 o P R () Qual a relação entre a força de sustentação do avião durante a manobra e anteriormente à manobra indiada? 4

5 Solução: A força de sustentação é superior durante a manobra uma vez que F s os α = P e omo P é onstante, F s é mínima para α = 0 a aumenta om α. (d) Qual seria o raio de urvatura da trajétoria se a veloidade do avião fosse 1480 km /h e o piloto sentisse uma aeleração entrífuga a = 6 g durante uma urva? Solução: 1480km/h = 411m/s. No referenial do avião (S ) a aeleração é nula sendo dada pela expressão: a = a a R = 0, onde a é a aeleração medida no referenial fixo e a R é a aeleração do referenial S em relação ao referenial fixo S. Assim, a = a R v2 R = a I r = v2 a I = g = 2874m. 8. (a) Compare o valor da força gravítia que atua num astronauta à superfíie da Terra om o valor da força gravítia que atua nesse astronauta quando se enontra numa nave numa órbita irular om 6900 km de raio em torno da Terra. Considere que o astronauta tem massa M = 75 kg. Solução: e F g.superfiie = mg = 75 9, 8 = 735N F g,r=6900km = G M T m r 2 = 627, 5N. (b) Represente esquematiamente (e alule) as forças que atuam num astronauta numa estação orbital a 500 km de altitude (órbita irular om R=6900 km de raio) do ponto de vista de: um astronauta na estação orbital, se o astronauta estiver sentado aos omandos da nave; Solução: Atua a força gravítia e a orça entrifuga, a soma das duas é zero. de um Engenheiro na sala de ontrolo de vôo. Solução: Atua a força gravítia, que é a força entrípeta, responsável pela trajetória da estação espaial e da sua órbita em torno da Terra. 5

6 () Calule as forças que atuam nesse mesmo astronauta durante um vôo parabólio do ponto de vista de um passageiro no interior do avião e para o ontrolador aéreo. Considere que o avião sobe até m. (d) Qual a diferença fundamental entre as duas situações, i.e, omo explia a imponderabilidade nestes dois asos: estação orbital e vôo parabólio? Solução: Na estação orbital a força gravítia e a força entrífuga anulam-se. No vôo parabólio, referenial ligado ao avião, soma da força da gravidade e a força de inéria (que é igual a F I = ma R, sendo a R = g) é zero. (e) Por que motivo não sentimos semelhante gravidade zero num avião em vôo ruzeiro a 900 km /h e a uma altitude onstante? Solução: A força de inéria num avião em vôo ruzeiro à volta da Terra a uma altitude onstante é F I = ma R, e a R = v 2 /R, onde R a distânia ao entro da Terra. Esta força teria que anular F = mg. Porém a veloidade v = 900 km/ não é sufiiente para anular a força gravítia. 9. Um feixe de muões, µ, em raios ósmios, move-se à veloidade v = 0,992. Qual a fração que sobrevive após um perurso de 1920 metros? (T 1/2 = 1, s, no referenial próprio S, isto é no referenial em que o muão está parado). Solução: Comeemos por determinar o tempo de vida do muão no ref. do laboratório, isto é no referenial S em relação ao qual o muão se desloa: T 1/2lab = T 1/2 r.proprio = 12, s. Da Lei do deaimento radioativo sabemos que, N(t) = N 0 e λt, λ = ln 2 ln 2 = T 1/2 12, = 57190, 5 s 1. Resta determinar qual o tempo (t) que os muões demoram a perorrer o perurso de 1920m om a veloidade onstante v = 0,992, o que pode ser feito do seguinte modo: t = = 6, s. Assim, a fração de núleos que sobrevive no instante t = 6, s é dada por: N(t) N 0 = e λt = exp ( 57190, 5 6, ) 60%. 6

7 10. Um motoilista desloa-se om veloidade v = 0,8 em relação à Terra e dispara uma bola om veloidade vbola = 0,7 relativamente a ele e no sentido de v. Qual a veloidade da bola em relação à Terra? Solução: v bola = v bola + v 1 + v v 2 bola (0, 7 + 0, 8) = 1 + 0,8 0, 7 = 0, Três lâmpadas A 1 vermelha, A 2 amarela e A 3 verde aendem simultaneamente no referenial de uma nave S que se desloa em relação a outra nave S om uma veloidade v na direção X. As lâmpadas aendem no instante t = 0 s, nos pontos om oordenadas x 1 = 0, x 2 = l e x 3 = 2l, respetivamente. Determine as oordenadas das lâmpadas relativamente a S e indique qual a ordem pela qual o astronauta da nave S vê as lâmpadas a aeder. Resolução: O astronauta em S não verá o aendimento das três lâmpadas nem na mesma posição nem no mesmo instante e tempo que no referenial próprio S. A transformação de Lorentz para o espaço é x = x + vt 1 ( v Assim ele verá as lâmpadas nas posições ) 2 x 1 = 0 x 2 = l 1 ( v x 3 = 2l 1 ( v Por sua vez a transformação de Lorentz para o tempo é t = t + v x 2 1 ( v Logo ele verá ada um dos aonteimentos nos instantes ) 2 ) 2 ) 2 t 1 = 0 t 2 = v/ 2 1 ( ) l v 2 t 3 = v/ 2 1 ( ) 2l v 2 7

8 Ele verá as lâmpadas a aender na sequênia vermelho, amarelo e verde. 12. Numa base espaial enontra-se estaionada a nave Pegaso om 20 m de omprimento. A nave parte para uma viagem e quando atinge a veloidade de ruzeiro o seu omprimento, medido a partir da base, é de l = 10 m. (a) Qual a veloidade da nave Pegaso em relação à base? Solução: l = l 1 (v/) 2 v = 1 ( ) 2 l l = (b) Qual o omprimento da nave para os seus tripulantes? Solução: O omprimento da nave para os seus tripulantes é l = 20m. () As partíulas de alta energia são detetadas no laboratório pela impressão que deixam nas hapas fotográfias dos detetores. Uma partíula movendo-se à veloidade de 0,995 produz um rasto de 1,25 mm. Qual o tempo de vida da partíula no referenial próprio? Resolução: Podemos alular o tempo de vida no referenial laboratório a partir do omprimento do rasto, x, e da veloidade, v: t = x v = 1, , = 4, s Por sua vez, no referenial próprio da partíula o seu tempo é ( v ) 2 t t = 1 = 0, 0999 t = 0, s 13. Duas lâmpadas (1 e 2) são aesas simultaneamente para um observador que se enontra em repouso em relação a estas; o mesmo observador mede a distânia entre as lâmpadas e obtém 10 m. (a) As duas lâmpadas aendem simultaneamente para um observador que se desloque num avião a 600 m /s? Qual o intervalo de tempo deorrido entre o aender das lâmpadas? 8

9 Resolução: Seja x 1 = 0 e x 2 = 10, tal que x 2 x 1 = l = 10m, a posição da lâmpada 1 e 2, respetivamente. Se o observador no avião se desloar no sentido positivo do eixo dos xx irá ver a lâmpada 2 a aender primeiro. Para determinar o tempo até a lâmpada 1 aender para este observador, omeemos por determinar a lei da ontração do espaço no referenial do observador no avião (ref. S ): x = γ(x + vt ) x = x γ vt, já o tempo, é dado de aordo om ) t = γ (t + vx 2 = γ (t + v ( )) xγ 2 vt Assim, Então, t 1 = γ ( t = γ t vx ) 2. ( t 1 vx ) ( 1 2 = 0; t 2 = γ t 2 vx ) 2 2 = γ vl 2 t = t 1 t 2 = 0 + γ vl 2 6, s. (b) Qual a distânia espaial entre os dois aonteimentos (aender das lâmpadas) para o observador no avião da alínea a)? Resolução: x = x 2 x 1 = x 2 γ vt 2 x 1 γ + vt 1 = l γ + γ v2 l = 10, 012m Um eletrão e um positrão animados om veloidades 0,99 e 0,99, respetivamente, olidem frontalmente. (a) Pode obter-se omo produto desta reação um par protão antiprotão? Resolução: Para poder obter um par protão anti-protão é neessário que a energia libertada pela aniquilação do par eletrão positrão seja maior ou igual à energia equivalente à massa do par protão antiprotão. Consultamos a tabela de onstantes para obter os valores das massas das partíulas e podemos alular a energia libertada na aniquilação através de: m e E = 2 1 ( ) 2 14, 18 m e 2 2 m p 2 v 2 Logo, verifiamos que a energia libertada é insufiiente para a produção de um par protão anti-protão. 9

10 (b) O eletrão e o positrão podem hoar dando origem a dois fotões (aniquilação). Qual a energia de ada um dos fotões, supondo que o par eletrão-positrão tem a energia da alínea a)? Resolução: Cada fotão terá uma energia de E/2. Isto é E γ = 7, 09 9, ( ) 2 = 5, J = 3, 6 MeV, onde 1 MeV = 10 9 ev ; 1 ev = 1, J. () Qual é a massa iniial e final dos intervenientes no hoque da alínea b)? (Note que o fotão é uma partíula sem massa). Há onservação da massa em Relatividade? Resolução: A massa em repouso iniial é de 2 m e. Após o hoque essa massa foi onvertida na energia transportada pelos fotões; isto é a massa final é zero. Obviamente a massa não se onserva mas onserva-se a energia total, tendo havido onversão de massa em energia. 15. A energia emitida pelo Sol resulta, numa abordagem simplifiada, da fusão de quatro núleos de Hidrogénio num núleo de Hélio. (a) Qual a energia libertada para a estrela na sequênia da produção de ada núleo de Hélio? Solução: A reação que dá origem ao Hélio é: 4 1 H 4 He + 2e + + 2ν e + Energia Assim, a diferença de massa entre 4 átomos de hidrogénio e a massa de 1 átomo de hélio é (reorrendo à tabela das onstantes) 4m H m He = = = = kg. Usando a fórmula de Einstein E = m 2, vem E = ( ) 2 = J. (b) Conheida a luminosidade solar (ver tabela), determine o número de reações nuleares que devem oorrer no Sol por segundo para expliar essa luminosidade. 10

11 Solução: O número de núleos de He produzidos por segundo orresponde ao número de reações de fusão que oorrem no Sol. Assim, W (J/rea.) = rea.s 1. Relembre que W = J/s. () A Terra demora em média 365 dias a umprir uma órbita em torno do Sol. Calule a massa solar e faça uma estimativa sobre a taxa a que o Sol perde massa (dm /dt) assoiada apenas à luminosidade. Compare o valor obtido om o valor da massa solar. Solução: Podemos estimar a massa solar a partir 3 a Lei de Kepler (nota: pode ir ver à tabela): T 2 = 4π 2 G(M + m T erra ) r3 M = T 2 onde T india o período da Terra em torno do Sol. 4π 2 Gr 3 m T erra kg, Por ada reação de fusão, a diferença de massa omo vimos na alínea (a) é de kg = kg, para uma massa original de Assim, a taxa de perda de massa por reação nulear é de = 0.7% Como oorrem rea.s 1, isto orresponde a uma perda de massa por segundo de: dm dt = = kgs 1. Assim, = (d) Para ser mais exato, onvém referir que no proesso de formação de um núleo de Hélio é neessário que dois dos protões se transformem em dois neutrões de que resulta a libertação dos dois positrões (antipartíulas do eletrão) e dois neutrinos. Faça uma estimativa do fluxo de neutrinos (o número de neutrinos por segundo e por unidade de área) que se pode esperar detetar na Terra vindos diretamente interior do Sol, e que são um teste ruial aos modelos solares, inluindo à taxa de reações nuleares. 11

12 Solução: Se por ada núleo de Hélio são libertados 2 neutrinos ν e, então usando o resultado da alínea (b), sabemos que são produzidos Φ T otal,νe = ν e.s 1. Para saber o número de neutrinos que hega à Terra por unidade de área, temos de dividir o fluxo obtido pela área total da superfíie esféria ujo raio orresponde à distânia da Terra ao Sol: Φ νe = π ( ) 2 = ν e.s 1 m 2. Constantes: Constante de Gravitação Universal, G: Veloidade da luz no váuo, : m H : m Hélio : m protão = m anti protão : m eletrão = m positrão : Distânia da Terra ao Sol, D: Luminosidade solar, L = de/dt: 6, Nm 2 Kg m/s 1,0081 u.m.a. 4,0039 u.m.a. 1, kg 9, kg 1, m 3, W 1 u.m.a = 1, kg 12