Revsta Iberoamercana de Ingenería Mecánca. Vol. 19, N.º 1 pp. 3-15, 15 ECOAMENTO LAMINAR EM DUTO DE ETOR DE ANEL CIRCULAR THIAGO ANTONINI ALVE 1, RICARDO ALAN VERDÚ RAMO, CAIO ROBERTO MACEDO MAIA 1 Unversdade Tecnológca Federal do Paraná - UTFPR/Campus Ponta Grossa Departamento Acadêmco de Mecânca (DAMEC) Av. Montero Lobato, s/nº, km 4, CEP 84.16-1, Ponta Grossa/PR, Brasl Departamento de Engenhara Mecânca (DEM) Faculdade de Engenhara, Unesp/Ilha oltera Caxa Postal 31, CEP 15.385-, Ilha oltera/p, Brasl (Recbdo 6 de dcembre de 13, para publcacón 8 de marzo de 14) Resumo Neste trabalho fo realzada a solução híbrda analítco-numérca do problema fludodnâmco de escoamento lamnar completamente desenvolvdo de fludos Newtonanos no nteror de dutos de seção transversal com formato de setor de anel crcular utlzando a Técnca da Transformada Integral Generalzada TTIG. Para facltar o tratamento analítco e a aplcação das condções de contorno uma Transformação Conforme fo utlzada vsando transformar o domíno para um sstema de coordenadas mas aproprado. Feto sso, a TTIG fo aplcada na equação do momentum para determnação do campo de velocdade. Os resultados numércos foram obtdos para parâmetros fludodnâmcos de nteresse, tas como: velocdades méda e máxma, fator de a- trto de Fannng, número de Poseulle, fator de Hagenbach e comprmento de entrada fludodnâmco. Estes resultados foram comparados, quando possível, com aqueles dsponíves na lteratura e apresentaram uma ótma concordânca. Palavras-chave Transformada ntegral, transformação conforme, escoamento lamnar, setor de anel crcular. 1. INTRODUÇÃO O escoamento nterno de fludos em dutos representa uma classe de problemas de natureza dfusva elíptca de grande nteresse na Engenhara Mecânca devdo ao fato de estar presente em equpamentos de grande aplcação resdencal, comercal e ndustral. Dante deste cenáro, os dutos de seção crcular são amplamente utlzados pela sua smplcdade construtva e pela facldade de sua aplcação durante a concepção de um projeto de um determnado equpamento. Desta forma, números trabalhos e nvestgações relaconados a esta classe de problemas já foram realzados e uma vasta documentação é encontrada na lteratura [1-3]. Por sua vez, o escoamento de fludos em dutos que apresentam seção transversal de geometra não-convenconal encontra aplcações mas restrtas, porém, do ponto de vsta analítco-numérco, estes problemas sempre despertam grande atenção, devdo a sua maor complexdade, a busca de soluções fomenta o desenvolvmento de novas metodologas e a construção de novas ferramentas computaconas. Neste contexto, o presente trabalho trata do problema fludodnâmco relaconado ao escoamento lamnar completamente desenvolvdo de fludos Newtonanos no nteror de dutos de seção transversal com formato de um setor de anel crcular. Geralmente, problemas com essa geometra são resolvdos através da utlzação do sstema de coordenadas clíndrcas. Entretanto, para facltar o tratamento analítco, decdu-se pelo uso de uma Transformação Conforme convenente com o objetvo de transformar o domíno orgnal em um retângulo no novo sstema de coordenadas. Além de facltar a aplcação das condções de contorno, esta transformação permte escrever a equação dferencal do momentum de forma mas smples. Para a obtenção do perfl de velocdade do fludo optou-se pela aplcação da Técnca da Transformada Integral Generalzada TTIG [4], pos, para este caso, a equação dferencal parcal que descreve a conservação do momentum é transformada em um sstema de equações algébrcas de fácl solução. Este
4 T.A. Alves et al. / Revsta Iberoamercana de Ingenería Mecánca 19(1), 3-15 (15) y r r e Fg. 1. Geometra orgnal do problema. procedmento vem permtndo a solução analítca de forma smples e elegante de problemas dfusvos e dfusvo-convectvos que apresentam geometras relatvamente complexas [5-6].. PROCEDIMENTO HÍBRIDO ANALÍTICO-NUMÉRICO Consdera-se para o presente problema o escoamento lamnar de fludos no nteror de dutos clíndrcos de seção transversal com formato de um setor de anel crcular (Fg. 1). Desta forma, para fludos Newtonanos com propredades constantes, a equação do momentum pode ser escrta como Dv x,y,z px,y,z v x,y,z, x,y, z, (1) Dt x,y,z x,y, z, () v, sendo que, ρ representa a massa específca do fludo, μ a vscosdade dnâmca do fludo, p o campo de pressão, v o campo vetoral de velocdades, Γ o contorno e Ω o domíno da geometra analsada. Para escoamento completamente desenvolvdo e em regme permanente, a equação do momentum, (1), se reduz a sendo que, v x,y pz, 1 vx,y, v x,y wx,y k ; pz x,y, z, (3) x,y, z, (4) dp z k. dz.1. Admensonalzação Reescrevendo a equação do momentum, (3), na forma admensonal, tem-se que W, W, 1 W,,,,,, (7), (8)
T.A. Alves et al. / Revsta Iberoamercana de Ingenería Mecánca 19(1), 3-15 (15) 5 v v R R e u u Fg.. Transformação do domíno de setor anular no plano (,) para o plano (u,v). com, x ; D h W, y ; D h D h 4 A, (9,1,11) Per w, D dp z h dz, (1) sendo, D h o dâmetro hdráulco, A a área da seção transversal, Per o perímetro do contorno, w a velocdade do fludo e W a velocdade admensonal. Desta manera, a equação do momentum, (7), se apresenta na forma da equação de Posson para o potencal W(,)... Transformação de Coordenadas Para facltar o tratamento analítco do problema proposto consdere a Transformação Conforme da forma como segue Z Re e, (13) sendo, R e = r e /D h, R = r /D h, Z = + e ω = u + v. Esta relação permte transformar o domíno do setor de anel crcular no plano (,) em um domíno retangular no plano (u,v) conforme lustrado na Fg.. As relações de transformação de coordenadas são dadas por v Re e cosu v Re e sen u, (14). (15) A transformação dada pela (13) satsfaz as condções de Cauchy-Remann. Portanto, os coefcentes métrcos h u, h v e o Jacobano J(u,v) da transformação são expressos por v huu,vhvu,v Ree u u, (16) J u,v, u,v R e v e. (17)
6 T.A. Alves et al. / Revsta Iberoamercana de Ingenería Mecánca 19(1), 3-15 (15) Como pode ser observado, o arco externo do setor de anel é dado pela reta v = no novo sstema de coordenadas e o arco nterno pela reta v = v, com v = ln (r e /r ). A coordenada u corresponde com a mesma defnção dada para o ângulo do sstema de coordenadas clíndrcas. Com estas novas varáves defndas, a equação do momentum, transforma-se em Wu,v Wu,v H u,v, u,v, (18) u v Wu,v, u,v.3. Aplcação da Técnca da Transformada Integral Generalzada TTIG, (19) Para a obtenção da solução da equação do momentum no novo sstema de coordenadas aplca-se a TTIG sobre a (18). Para este fm, escreve-se o potencal W(u,v) em termos de uma expansão em autofunções normalzadas obtdas de problemas auxlares de autovalor para cada coordenada espacal. Neste sentdo, consdere, ncalmente, o segunte problema auxlar de autovalor, com, d du u u, ; u u u, () (1,) Os autovalores e as autofunções normalzadas assocados a este problema são dados, respectvamente, por u sen u u, (3), 1,, 3 (4) As autofunções acma permtem o desenvolvmento do segunte par transformada-nversa sendo que, com u W v K u W u,v du, transformada, (5) W u,v K u W v, nversa, (6) 1 W v é o potencal transformado em u e K K u u são as autofunções normalzadas, dadas por u 1/ N u N u du, (7) u. (8) sendo que, N são as ntegras de normalzação das autofunções ψ (u). Efetuando-se o produto nterno das autofunções normalzadas K (u) com a equação do momentum e fazendo uso das condções de contorno e das equações que defnem o problema auxlar de autovalor, obtém-se a prmera transformação da equação dferencal,
T.A. Alves et al. / Revsta Iberoamercana de Ingenería Mecánca 19(1), 3-15 (15) 7 W v Av Wv v, (9) u A v K u H u,v du. (3) Para proceder a transformação ntegral relatvo à coordenada v, consdera-se agora o segunte problema de autovalor, com d dv v v, ; v v, (31) v. (3,33) Os autovalores e as autofunções normalzadas para este novo problema são dadas por j j v, (34) j v sen j v, j = 1,, 3 (35) As autofunções acma permtem o desenvolvmento do segunte par transformada-nversa vo uo W K u Z v W u,v du dv j j, transformada, (36) W u,v K u Z v W j1 j j, nversa, (37) sendo que, Z j (v) são as autofunções normalzadas e são expressas por j v Z j v 1/ M j, (38) v v M j j v dv. (39) sendo que, M j são as ntegras de normalzação das autofunções j (v). Efetuando-se o produto nterno das autofunções normalzadas Z j (v) com a equação dferencal transformada em u e fazendo uso das condções de contorno e das relações de ortogonaldade relatvas ao segundo problema de autovalor, obtém-se a transformação ntegral da equação do momentum, Bj j W j (4) vo vo uo Bj Z j v A v d v K u Z j v H u,v du dv, (41) Observa-se que os parâmetros B j são ntegráves e que o sstema dado pela (4) é algébrco, lnear e desacoplado. Portanto, o potencal transformado pode ser obtdo de forma dreta,
8 T.A. Alves et al. / Revsta Iberoamercana de Ingenería Mecánca 19(1), 3-15 (15) Bj W j j, (4) permtndo, assm, a obtenção da solução analítca do potencal velocdade admensonal, B W u,v K u Z v W K u Z v j j j j 1 j1 1 j1 j Para fns computaconas, o potencal transformado pode ser determnado numercamente quando a expansão é truncada em uma dada ordem = M e j = N. Portanto, utlzando-se da fórmula de nversão, determna-se o potencal velocdade admensonal é expresso por M N N M Bj Wu,v KuZ jvw j K uz jv 1 j1 1 j1 j. (44) Obvamente, quanto maor M e N maor será a precsão dos resultados. Da defnção da velocdade W(u,v), (1), determna-se, então, o campo de velocdade para o escoamento lamnar completamente desenvolvdo em dutos clíndrcos de seção transversal de formato de um setor de anel crcular..4. Parâmetros Físcos de Interesse.4.1. Velocdade Admensonal O valor médo da velocdade admensonal é expresso por v u 1 4 Wméd W, da W u,vj u,vdu dv A A A sendo que, A A Dh é a área da seção do duto admensonalzada. Dessa forma, a velocdade admensonal W * (u,v) defnda em termos da velocdade méda, pode ser determnada por * wu,v Wu,v W u,v wmd é Wmd é (46) Consequentemente, a velocdade admensonal máxma é dada por W máx md é W máx wmáx Wmáx w, W, md é (43) (45) defnda em termos da velocdade méda,, (47) sendo que w máx e W máx são os valores máxmos da velocdade e da velocdade admensonal, respectvamente..4.. Fator de Atrto de Fannng O fator de atrto de Fannng, f, também conhecdo como coefcente de atrto, é defndo por: p,m éd wméd dp A f p,méd ; dz Per, (48,49) sendo que τ p, méd é a tensão de csalhamento méda na parede.
T.A. Alves et al. / Revsta Iberoamercana de Ingenería Mecánca 19(1), 3-15 (15) 9.4.3. Número de Poseulle Para escoamento lamnar completamente desenvolvdo no nteror de dutos o fator f Re é gual a uma constaste. Das relações de admensonalzação, obtém-se que fre 1 W md é, (5) sendo que, Re é o número de Reynolds defndo em termos do dâmetro hdráulco. Esse fator f Re é também conhecdo como número de Poseulle..4.4. Fator de Hagenbach O número do ncremento na queda de pressão ou fator de Hagenbach, K( ), de acordo com Lundgren et al. [7], é defndo como ou, wu,v 3 wu,v K da A A w méd wméd. (51) K Ke Kd, (5) sendo que, K e ( ) e K d ( ), são respectvamente, o fator de correção de energa cnétca e o fator de correção no fluxo do momentum, expressos por.4.5. Comprmento de Entrada Fludodnâmco K K e d 3 1 wu,v A w A méd 1 wu,v A w A méd da da, (53). (54) O comprmento de entrada hdrodnâmco, L hy, é defndo, com sendo a posção em que a velocdade máxma atnge 99% da velocdade correspondente à regão fludodnamcamente desenvolvda quando o escoamento de entrada é unforme [8]. O comprmento de entrada fludodnâmco admensonal, L hy, de acordo com McComas [9] pode ser expresso por L hy Lhy DRe h Wmáx 1K 4 fre. (55) 3. REULTADO E DICUÃO Para a obtenção dos resultados numércos, o Método de Quadratura de Gauss fo utlzado para o cálculo das ntegras envolvdas nos coefcentes B j e demas parâmetros físcos de nteresse. Desta forma, fo necessára, também, a determnação das autofunções e do Jacobano nos pontos de quadratura. Feto sso, o sstema de equações algébrco, lnear e desacoplado fo resolvdo para a determnação dos coefcentes do potencal transformado fazendo uso da rotna DIVPAG da bbloteca IML Fortran [1] e do truncamento da expansão dada pela (44) para dversas ordens M e N.
1 T.A. Alves et al. / Revsta Iberoamercana de Ingenería Mecánca 19(1), 3-15 (15).5 (a) perfl de velocdade.5. 1.8 1.6 1.4 1..8.6.4..75.5.5.5.5.75 (b) mapa de sovelocdades Fg. 3. Escoamento lamnar em dutos de setor de anel crcular com r* =,3 e = 3..5. 1.8 1.6 1.4 1..8.6.4..75.5.5 -.5 -.5 - -.5.5 (a) perfl de velocdade (b) mapa de sovelocdades Fg. 4. Escoamento lamnar em dutos de setor de anel crcular com r* =,5 e = 18. Fo verfcado através de uma análse de convergênca que com a utlzação de até 1 termos na expansão da sére em cada coordenada fo possível à obtenção de três casas decmas de precsão na regão de convergênca mas lenta (5 Θ 9 e/ou,1 r*,), enquanto que nas demas regões obtémse a mesma precsão com uma ordem N = M = 75 de truncamento na sére, ou menos. O tempo de processamento gasto no cômputo dos parâmetros fludodnâmcos de nteresse é pequeno, cerca de 5 a 1 segundos em um computador pessoal comum (Intel Core TM 7 3,6GHz e com 16GB de memóra RAM). Nas Fgs. 3, 4 e 5 são lustrados os perfs de velocdade e os mapas de sovelocdades do escoamento consderando confgurações geométrcas dos dutos de setor de anel crcular guas a r * =,3 e Θ = 3, r * =,5 e Θ = 18, r * =,7 e Θ = 35, respectvamente. Nas Tabelas 1,, 3 e 4 são apresentados os resultados obtdos, respectvamente, para a velocdade admensonal máxma, o número de Poseulle, o fator de Hagenbach e o comprmento de entrada fludodnâmco consderando dversas confgurações geométrcas dos dutos de setor de anel crcular.
T.A. Alves et al. / Revsta Iberoamercana de Ingenería Mecánca 19(1), 3-15 (15) 11 -. 1.8 1.6 1.4 1..8.6.4..5 -.5 -.5.5 -.5 - (a) perfl de velocdade.5 - - -.5.5 (b) mapa de sovelocdades Fg. 5. Escoamento lamnar em dutos de setor de anel crcular com r* =,7 e = 35. Tabela 1. Velocdade admensonal máxma defnda em termos da velocdade méda, W * máx, em dutos de setor de anel crcular em função da razão r* e da abertura do ângulo. r* 5 15 3 6 9 18 7 35,1,684,415,193,149,13,61,486,341,1,6391,47,1734,1313,919,445 1,975 1,91,,5634,3353,1316,148,833 1,9888 1,877 1,89,3,4531,41,1,939,67 1,998 1,7885 1,739,4,313,1436,95,838,54 1,839 1,7159 1,6657,5,167,684,886,533 1,9534 1,7431 1,6587 1,618,6,33,473,5 1,9835 1,856 1,6739 1,6136 1,5875,7 1,9388,796 1,9631 1,871 1,748 1,6175 1,5775 1,561,8 1,9477,899 1,815 1,739 1,648 1,5716 1,548 1,5383,9,583 1,956 1,6388 1,6 1,5671 1,535 1,565 1,536 1, 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 W * máx.8.6.4. 5 15 3 6 9 18 7 35. 1.8 1.6 1.4.4.6.8 Fg. 6. Comportamento da velocdade admensonal máxma em dversos dutos de setor de anel crcular. r*
1 T.A. Alves et al. / Revsta Iberoamercana de Ingenería Mecánca 19(1), 3-15 (15) Tabela. Número de Poseulle, fator f Re, em dutos de setor de anel crcular em função da razão r* e da abertura do ângulo. r* 5 15 3 6 9 18 7 35,1 1,53 1,93 13,91 14,56 14,8 15,74 16,191 16,53,1 14,49 14,496 14,633 14,68 14,84 15,616 16,67 17,391, 16,99 15,773 14,83 14,641 14,687 16,95 17,449 18,39,3 17,759 16,461 14,635 14,467 14,81 16,863 18,338 19,14,4 18,71 16,55 14,39 14,486 15,36 17,776 19,31,43,5 19,11 16,13 14,39 14,873 16,19 18,764,14,818,6 18,918 15,337 14,85 15,711 17,47 19,793,949 1,54,7 18,58 14,59 15,96 17,34 18,619,841 1,763,1,8 16,44 14,317 17,741 18,847,13 1,9,549,86,9 14,336 16,35,398 1,169,31 3, 3,363 3,488 1, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, fre 4.. 5 15 3 6 9 18 7 35 18. 16. 14..4.6.8 Fg. 7. Comportamento do número de Poseulle, fator f Re, em dversos dutos de setor de anel crcular. Tabela 3. Fator de Hagenbach, K(), em dutos de setor de anel crcular em função da razão r* e da abertura do ângulo. r* 5 15 3 6 9 18 7 35,1,748,436 1,7497 1,658 1,578 1,4635 1,441 1,4184,1,5698,166 1,6935 1,638 1,543 1,4443 1,3418 1,551,,343 1,9755 1,599 1,5476 1,5146 1,3665 1,119 1,1169,3,96 1,7371 1,54 1,5356 1,4934 1,57 1,968 1,135,4 1,76 1,5341 1,547 1,56 1,497 1,145 1,13,934,5 1,419 1,4311 1,5346 1,4765 1,35 1,36,931,8711,6 1,3 1,4433 1,476 1,3686 1,1863,9433,8586,83,7 1,1764 1,5198 1,3388 1,69 1,4,8636,848,7784,8 1,94 1,544 1,176 1,193,97,7957,7598,744,9 1,5379 1,843,8937,847,7886,7387,7,719 1,,686,686,686,686,686,686,686,686 r*
T.A. Alves et al. / Revsta Iberoamercana de Ingenería Mecánca 19(1), 3-15 (15) 13 K.8.6.4.. 1.8 5 15 3 6 9 18 7 35 1.6 1.4.8.6.4.6.8 Fg. 8. Comportamento do fator de Hagenbach, K( ), em dversos dutos de setor de anel crcular. Tabela 4. Comprmento de entrada fludodnâmco, L hy, em dutos de setor de anel crcular em função de r* e de. r* 5 15 3 6 9 18 7 35,1,6983,566,414,345,3111,84,711,6,1,588,4479,3774,331,317,779,344,4,,4955,398,3458,315,317,468,1879,1546,3,46,3478,33,3195,3,61,15,147,4,3535,3113,317,3134,73,1665,16,148,5,979,864,3175,94,315,1335,13,91,6,513,85,33,491,185,185,889,81,7,191,311,988,1899,1361,93,785,737,8,88,3191,73,196,11,77,76,681,9,96,177,14,857,757,671,651,641 1,,588,588,588,588,588,588,588,588 r* L + hy 8 7 6 5 5 15 3 6 9 18 7 35 4 3 1.4.6.8 Fg. 9. Comportamento do comprmento de entrada fludodnâmco, L hy, em dversos dutos de setor de anel crcular. r*
14 T.A. Alves et al. / Revsta Iberoamercana de Ingenería Mecánca 19(1), 3-15 (15) Nas Fgs. 6 a 9, os comportamentos destes parâmetros fludodnâmcos de nteresse são apresentados para ângulos de abertura guas a 5, 15, 3º, 6º, 9, 18, 7 e 35 em função da razão r * = r /r e. No caso lmte de r * a geometra para qualquer ângulo de abertura se aproxma da do setor crcular. Para o caso lmte de r * 1 e um ângulo qualquer de abertura, a geometra, bem como os resultados obtdos, aproxmam-se do caso da placa plana. Os resultados encontrados para o número de Poseulle quando comparados com os apresentados em parrow et al. [11] e hah & London [1] apresentaram uma excelente concordânca, gerando um erro nferor a,5%.destaca-se anda, que a velocdade admensonal méda apresenta o mesmo comportamento, pos ela é nversamente proporconal ao dobro do número de Poseulle. A comparação entre os resultados obtdos para o fator de Hagenbach e os apresentados em Nda [13] e Ln et al. [14], também fo realzada, onde uma boa concordânca entre eles fo constatada (aproxmadamente 5%). 4. CONCLUÕE No presente trabalho fo efetuada a solução híbrda analítco-numérca do problema fludodnâmco de escoamento lamnar completamente desenvolvdo de fludos Newtonanos em dutos de seção transversal com formato de setor de anel crcular utlzando a Técnca da Transformada Integral Generalzada TTIG. Para o desenvolvmento analítco fo utlzado um sstema de coordenadas obtdo através de uma Transformação Conforme aproprado, capaz de representar a geometra do duto em um domíno com contorno de formato retangular. Com este procedmento o novo sstema de coordenadas, além de facltar a aplcação das condções de contorno, permtu escrever a equação do momentum na forma de uma equação de Posson, a qual fo resolvda através da TTIG. Como consequênca, um sstema de equações algébrcas nfnto e desacoplado fo obtdo para os potencas transformados que fo resolvdo numercamente truncando-se a expansão do potencal velocdade em um número fnto de termos. Parâmetros fludodnâmcos de nteresse, tas como: velocdades méda e máxma, fator de atrto de Fannng, número de Poseulle, fator de Hagenbach e comprmento de entrada fludodnâmco foram calculados e comparados, quando possível com os resultados dsponíves na lteratura, para dutos de dversas confgurações geométrcas de setor anular. Fnalmente, observa-se que a TTIG está sendo aplcada com sucesso na obtenção de solução de problemas dfusvos e dfusvo-convectvos multdmensonas, ressaltando-se, aqu, o presente problema, o qual mutas vezes não admte solução pelas técncas analítcas clásscas. REFERÊNCIA [1] Whte, F., Vscous Flud Flow, McGraw-Hll, New ork (1991) [] Kakaç,., hah, R.K., Aung, W., Handbook of ngle-phase Convectve Heat Transfer, John Wley, New ork (1998) [3] Bejan, A., Kraus, A.D., Heat Transfer Handbook, John Wley & ons, Hoboken (3) [4] Cotta, R.M., The Integral Transform Method n Thermal and Fluds cence and Engneerng, Begell House Inc., New ork (1998) [5] Maa, C.R.M., olução de Problemas Dfusvos e Dfusvo-convectvos em Domíno de Geometra Elíptca e Bcôncava pela Técnca da Transformada Integral Generalzada, Tese de Doutorado em Engenhara Mecânca, Unversdade Estadual de Campnas, Campnas, Brasl (3) [6] Alves, T.A., Aplcação da Transformada Integral na olução de uma Classe de Problemas Dfusvos e Dfusvo-Convectvos em Domínos de Geometra Não-Convenconas, Dssertação de Mestrado em Engenhara Mecânca, Unversdade Estadual Paulsta Júlo de Mesquta Flho, Ilha oltera, Brasl (6) [7] Lundgren, T.., parrow, E.M., tarr, J.B., Pressure Drop due to the Entrance Regon n Ducts of Arbtrary Cross ecton, Journal of Basc Engneerng, 86, 6-66 (1964) [8] hah, R.K., London, A.L., Lamnar Flow Forced Convecton n Ducts. Advances n Heat Transfer, upplement 1, Academc Press Inc., New ork (1978)
T.A. Alves et al. / Revsta Iberoamercana de Ingenería Mecánca 19(1), 3-15 (15) 15 [9] McComas,.T., Hydrodynamc Entrance Lengths for Ducts of Arbtrary Cross ecton, Journal of Basc Engneerng, 89, 847-85 (1967) [1] IML Lbrary, Edton 7, GNB Buldng, 75 Ballare Blod, Houston, Texas 7736 (1994) [11] parrow, E.M., Chen, T.., Jonsson, V.K., Lamnar Flow and Pressure Drop n Internally Fnned Annular Ducts, Internatonal Journal of Heat and Mass Transfer, 7, 583-585 (1964) [1] hah, R.K., London, A.L., Lamnar Flow Forced Convecton Heat Transfer and Flow Frcton n traght and Curved Ducts A ummary of Analytcal olutons, Mechancal Engneerng Department, tanford Unversty, tanford, UA (1971) [13] Nda, T., Analytcal oluton for the Velocty Dstrbuton n Lamnar Flow and Pressure Drop n Internally Fnned Annular Ducts, Internatonal Chemcal Engneerng,, 56-65, (198) [14] Ln, M.J., Wang, Q.W., Tao, W.Q., Developng Lamnar Flow and Heat Transfer n Annular-ector Ducts, Heat Transfer Engneerng, 1, 53-61 () LAMINAR FLOW INIDE ANNULAR ECTOR DUCT Abstract In ths work was performed a hybrd analytcal-numercal soluton to hydrodynamc problem of fully developed Newtonan lamnar flow nsde annular sector ducts employng the Generalzed Integral Transform Technque (GITT). In order to facltate the analytcal treatment and the applcaton of the boundary condtons, a Conformal Transform was used to change the doman nto a more sutable coordnate system. Thereafter, the GITT was appled on the momentum equaton to obtan the velocty feld. Numercal results were obtaned for quanttes of practcal nterest, such as maxmum and mnmum velocty, Fannng frcton factor, Poseulle number, Hagenbach factor and hydrodynamc entry length. These results were compared, as much as possble, wth the parameter values avalable n the lterature and they presented a great agreement. Keywords Integral Transform, Conformal Transform, Forced Convecton, Lamnar Flow, Annular ector.