ANÁLISE DE REDES DE TUBULAÇÃO: DESENVOLVIMENTO DE INSTALAÇÃO EXPERIMENTAL E MODELAGEM MATEMÁTICA

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1 ANÁLISE DE REDES DE TUBULAÇÃO: DESENVOLVIMENTO DE INSTALAÇÃO EXPERIMENTAL E MODELAGEM MATEMÁTICA / ANALYSIS OF PIPELINE NETWORKS: DEVELOPMENT OF EXPERIMENT AND MATHEMATICAL MODELING JORGE ANDREY WILHELMS GUT, TAH WUN SONG & JOSÉ MAURÍCIO PINTO Departamento de Engenhara Químca, Escola Poltécnca - USP CEP São Paulo, SP Brasl - E-mal: jompnto@usp.br Abstract An experment on Flud Mechancs for educatonal purposes regardng ppelne flows and pump assocaton s desgned. Also, a mathematcal model for steady-state, sothermal flow of an ncompressble flud s developed. The model s especally sutable for extensve ppelne networks. The soluton method for the system comprsed of non-lnear algebrac equatons s based on the quas-lnearzaton technque. Smulaton results are dscussed. Keywords flud mechancs, ppelne networks, educatonal experment, ppelne modelng, quas-lnearzaton / mecânca dos fludos, redes de tubulação, expermento ddátco, modelagem de redes de tubos, quas-lnearzação 1. INTRODUÇÃO Inegavelmente, a Mecânca dos Fludos consttu uma das cêncas báscas para quase todas as modaldades de engenhara num curso de graduação. Por outro lado, a apresentação de certos tópcos, restrtos a aulas expostvas, em geral com carga horára exígua, compromete uma consoldação segura dos concetos envolvdos. Dentre estes tópcos, cta-se o estudo de um sstema de rede de tubulação e da operação de bombas em sére ou paralelo. A dsponbldade de uma boa nfra-estrutura de laboratóro, então, consttu um efcaz suporte ddátco complementar. A prmera proposta do presente trabalho consste no projeto e montagem de uma nstalação, concebda para experêncas sobre escoamento de água em rede de tubos e assocação de bombas, em sére ou paralelo. Além dsso, de acordo com o posconamento das válvulas de bloqueo do sstema, pode-se realzar varantes desses ensaos. Assm, a cada grupo de alunos nas aulas de laboratóro, pode-se solctar um estudo lgeramente dferencado. Essa experênca proposta será ncluída no curso de graduação em engenhara químca da Escola Poltécnca da USP. Um outro aspecto ddátco relevante refere-se à comparação e dscussão dos resultados obtdos expermentalmente com os calculados a partr de nformações e correlações generalzadas, dsponíves na lteratura. Város métodos de solução de redes de tubos já foram desenvolvdos. O prmero a ser largamente utlzado é o método de Hardy Cross (Ingels e Powers, 1964; Danel, 1966), restrto à solução de crcutos fechados de tubulação, uma vez que dspensa dados de pressão.

2 Casos smples, como o escoamento newtonano ncompressível em sstemas de tubulação horzontas, sem bombas, foram abordados por Carnahan et al. (1969), Coker (1991) e Cochran (1995). Em geral, as equações resultantes compõem um sstema algébrco não lnear. Para a sua solução, pode-se aplcar métodos genércos (Kahaner et al., 1989) ou, em alguns casos, algortmos específcos tem sdo propostos (Shacham e Mah, 1978; Mah, 1989). Recentemente, Houache et al. (1996) estudaram o escoamento de fludos compressíves, cuja solução fo obtda através de algortmos da teora de grafos. Mas, para os cálculos nos casos de sstemas de tubulação mas complexos ou extensos, torna-se quase mprescndível o uso de recursos computaconas mas robustos. Atualmente, dspõem-se de dversos programas computaconas específcos para a smulação de redes de tubulação, como Ppe-Flo, Ppe-Pro, Ppecalc, Ppelne Multphase Flow wth Total Energy Balance ( CEP Annual Software Drectory, 1997). Entretanto, apesar dessa dsponbldade, é mportante na formação do engenhero a capacdade de representar e resolver matematcamente processos físcos e químcos de nteresse. É fundamental que o engenhero não se torne apenas um mero usuáro dos programas computaconas dsponíves, mas que conheça sua estrutura e metodologa de modelagem matemátca. A segunda proposta deste trabalho é desenvolver um modelo matemátco para a smulação de redes de tubos com fludo newtonano ncompressível, utlzando exclusvamente as equações de Mecânca dos Fludos apresentadas nas aulas do curso de graduação. A segur será descrto o expermento, com detalhes da nstalação físca e serão apresentados o desenvolvmento do modelo, o algortmo de solução e resultados de um exemplo de smulação. 2. DESCRIÇÃO DO EXPERIMENTO A nstalação consttu-se de tanque de almentação, bombas para recrculação da água pela rede de tubulação, tanque de recebmento, meddores de vazão, pressão e corrente elétrca. O esquema da nstalação e as especfcações dos equpamentos e dos componentes do sstema estão mostrados na Fgura 1. Para os comprmentos das tubulações, pode-se consultar a escala representada na própra fgura, válda para os trechos a jusante da válvula FV-11. Os dâmetros das tubulações estão compatíves com os das válvulas, mostrados na Fgura 1. A nstalação fo concebda para experêncas sobre assocação de bombas, em sére ou paralelo, e escoamento de água em rede de tubos. Além dsso, de acordo com o posconamento das válvulas de bloqueo do sstema, pode-se realzar varantes desses ensaos. Assm, a cada grupo de alunos nas aulas de laboratóro, pode-se solctar um estudo lgeramente dferencado. Ao todo, o sstema permte 52 confgurações dstntas, todas com pelo menos duas saídas externas. Para as bombas centrífugas usadas, é feto prevamente o levantamento expermental das curvas característcas (altura manométrca, potênca consumda e rendmento em função da vazão). O nível de água no tanque de almentação deve ser mantdo constante. Estabelecdo o regme permanente, medem-se, através dos respectvos rotâmetros, a vazão de escoamento na saída das bombas e as vazões em cada saída. Mede-se também a pressão antes da ramfcação. O valor poderá ser usado como um dado de entrada para a smulação matemátca a ser feta posterormente. Os resultados meddos no laboratóro serão comparados com os calculados através desta smulação matemátca. 2

3 Fgura 1: Esquema da nstalação expermental. 3

4 3. MODELAGEM MATEMÁTICA O modelo matemátco a ser desenvolvdo representa o escoamento sotérmco, em regme permanente, de um fludo newtonano ncompressível, em uma rede de tubulação de um únco materal de construção. Os dados geras são a densdade ρ, a vscosdade µ do fludo e a rugosdade do materal da tubulação ε. Uma rede de tubulação pode ser representada por um conjunto de nós e arcos. Os nós podem ser as unões de três ou mas tubos, as reduções ou expansões e as entradas e saídas de fludo da rede. Os nós são numerados de 1 até N NOS, e cada nó j é representado por um conjunto de arcos (tubos) Ij a ele conectados, uma cota Z j e pela pressão do fludo P j. E anda, se o nó for uma entrada ou saída, ele também será representado por uma vazão externa F j. Os arcos são lgações entre os nós e são formados por um tubo de dâmetro nterno constante com as respectvas sngulardades. Os tubos são numerados de 1 até N TUB, e cada tubo é representado pelo par de nós termnas (j, k ), dâmetro nterno D, comprmento do trecho reto L, comprmento equvalente das sngulardades Leq e vazão de fludo Q. Serão aplcados o balanço de massa em cada nó e o balanço de energa mecânca (equação de Bernoull) em cada arco. Anda serão usadas especfcações de pressões em alguns nós P J, e de vazões externas F J, conforme será dscutdo a segur. Como o sentdo da vazão nos tubos é desconhecdo, será adotado o sentdo postvo de vazão no tubo como aquele que leva o fludo do nó de menor índce para o de maor índce. Quanto às vazões externas, seu sentdo é dado como postvo se o fludo estver entrando na rede. As equações de balanço de massa são defndas para cada nó j e envolvem a somatóra de vazões Q dos tubos a ele conectados (defnda pelo conjunto I j ) e eventuas vazões externas F j, dadas por: Q + F = 0 j = 1,... N (1) I j j NOS É mportante observar que, para os nós nternos, o termo F j não aparece em (1). A equação de Bernoull de balanço de energa mecânca aplcada ao escoamento de um fludo ncompressível, num tubo de dâmetro constante, é dada por: ρ. g. z+ P+ ρ. lwf = 0 (2) Para smplfcar a representação, defne-se como pressão total P T j em um nó j como sendo a soma da pressão estátca do fludo P j com o termo ρ. g. Z j. P j T = P j+ ρ. g.z j j = 1,...N NOS (3) Portanto a equação de Bernoull para um trecho reto que lga os nós j e k é dada por: T j T k P - P + ρ. lwf = 0 = 1...N (4) O termo lwf para um tubo genérco é dado por : TUB 4

5 lwf = 32 f.l.q. Q 2 π D 5 T = 1,... N (5) TUB onde L T é a soma do comprmento do trecho reto L com o comprmento equvalente Leq de suas sngulardades. Substtundo (5) na equação (4), tem-se: P j T - P 32 f. L. Q + ρ Q = 0 = 1,...NTUB (6) π 2 D 5 T T k É mportante notar que a representação da vazão Q na equação (6) permte compatblzar o sentdo do escoamento com a varação das pressões nos nós (Bendng e Hutchson, 1973). O fator de atrto de Fannng f é função da vazão (varável) e da rugosdade, densdade, vscosdade e dâmetro (parâmetros). Este fator pode ser calculado pela equação de correlação de Churchll (1977): f 12 = Re ( A + B ) (7a) onde os termos da correlação são dados por: A 16 09, = 2, 457.ln ( 7 Re ) + 0, 27ε D B = Re (7b) E o número de Reynolds Re, para um tubo crcular, é defndo por: Re ρ. D. vb 4. ρ. Q = = µ πµ.. D (7c) Tabela 1: Varáves e equações envolvdas no problema. Varáves Número total Equações Número total F j N F Balanço de massa (1) N NOS P j Q N NOS N TUB Bernoull (6) N TUB f N TUB Correlação (7) N TUB N VAR = N F + N NOS + 2 N TUB N EQ = N NOS + 2 N TUB A Tabela 1 mostra as varáves e as equações do sstema. Há portanto N VAR - N EQ = N F especfcações a serem defndas. Assm, para que o sstema seja determnado, é necessáro que o número de especfcações seja gual ao número de entradas e saídas do sstema (vazões externas F j ). Além dsso, é mportante verfcar que, como a equação de Bernoull (6) envolve varações de pressões, pelo menos um valor de pressão deve ser conhecdo, para a obtenção dos demas. Se nenhum dado de pressão for dsponível, deve ser atrbuído um valor de 5

6 referênca a um dos nós, de modo que se possa calcular as varações de pressões. Neste caso, evdentemente, não serão obtdas as pressões absolutas nos nós. As equações de balanço de massa (1) são lneares, envolvendo somatóras de vazões nternas e externas. As equações (6) e (7) são não-lneares. O método adotado para a solução do sstema de equações não lneares é o quas-lnear. Este procedmento teratvo envolve a lnearzação do sstema a cada teração (k) e posteror solução de um sstema lnear. O balanço de energa mecânca (equação (6)) é lnearzado na teração (k) da segunte forma: T ( k) T ( k) ( j k k ) ( k ) TUB P - P + β 1 Q = 0 = 1,...N (8) onde β (k-1) é determnado a partr das vazões na teração (k-1): ( 1) ( 1) ρ β k f (Q k ). L T. Q k ( 1) 32. = 2. π D 5 = 1,... N (9) TUB A cada teração, o sstema lnearzado, composto pelas equações (1) e (8) e pelas especfcações, será resolvdo pelo método da elmnação de Gauss com condensação pvotal, obtendo-se Q c, P (k) j e F (k) j. É mportante notar que o procedmento proposto reduz a dmensão do sstema de equações a ser resolvdo, prncpalmente quando o número de tubos que compõem a rede é elevado, pos o fator de Fannng f(q ( k 1 ) ) é determnado pela equação (7), à parte do sstema lnearzado. Os valores ncas de vazão são estmados pela equação de dâmetro econômco, dada em undades em S.I. (Snnott, 1996): Q ( 0 ) D,,,. 189 = ρ 0302 = 1,... NTUB (10) Adota-se, no algortmo, um fator α de amortecmento das varações de vazão, em terações subseqüentes. Portanto ao fm da teração (k), onde se determnou Q c, calcula-se: ( ) Q ( ) = Q ( ) + Q Q ( ) k k- 1 α c k- 1 =1,... NTUB (11) Ao fnal de cada teração, todas as vazões são comparadas com os valores da teração anteror para verfcar a convergênca, através de uma tolerânca relatva dada. O algortmo de solução da rede de tubos é dado por: 1) Ler os dados de entrada: N NOS, Z j, N TUB, j, k, L, Leq, D, N F, nós externos, F j, ρ, µ, ε, pressões e vazões especfcadas nos nós; 2) Ler fator de amortecmento α e erro relatvo Tol para as vazões; 3) Calcular os comprmentos totas L T e pressões totas P T j; 4) k = 0. Gerar a estmatva ncal de vazões Q (0) pela equação (10); 5) Fazer k k +1. Montar a matrz lnear de equações e o vetor de constantes; 6) Resolver o sstema por elmnação de Gauss com condensação pvotal, obtendo P j, Q c, F j ( ) ( ) 7) Se Q c - Q k-1 k-1 Q Tol = 1,... NTUB então {PARE} Senão {calcular Q (k) pela equação (11) e voltar para 5}. 6

7 4. EXEMPLOS DE SIMULAÇÃO O modelo e o algortmo de solução foram mplementados em lnguagem C. O modelo fo utlzado para smular a nstalação expermental completa, cuja representação esquemátca é mostrada na Fgura 2. O sstema consta de 17 nós, 19 arcos, 4 vazões externas e três crcutos. O fludo adotado é água a 20 o C e o materal de construção é PVC (rugosdade adotada ε = mm). As dmensões da rede são as mesmas da Fgura 1. As especfcações são a vazão na entrada da rede F 1 (ver Tabela 2) e as pressões nos nós externos 10, 11 e 12, guas a 1 atm. Fgura 2: Esquema da rede de tubos para a confguração smulada. Como exemplo, dos casos com dferentes vazões F 1 são lustrados; os resultados para os nós externos são mostrados na Tabela 2. Pode-se observar que uma menor pressão na entrada da rede (Caso II) é nsufcente para superar a perda de carga no sstema (F 10 postvo). Este comportamento não ocorre no Caso I. Tabela 2: Resultados dos exemplos smulados. Caso F 1 (m 3 /h) F 10 (m 3 /h) F 11 (m 3 /h) F 12 (m 3 /h) P 1 (atm) I + 3,000-0,786-1,046-1,168 1,184 II + 1, ,116-0,018-1,097 1, CONCLUSÕES A experênca proposta, sobre escoamento em redes de tubos e assocação de bombas, serve como um mportante suporte ddátco em Mecânca dos Fludos. Os resultados expermentas podem ser comparados com os calculados a partr do modelo matemátco desenvolvdo. O método de solução proposto basea-se na técnca de quas-lnearzação, reduzndo a dmensão do sstema de equações não-lneares, o que é sobremodo convenente para redes extensas e complexas. 6. NOTAÇÃO Índces índce de nós j índce de tubos j, k índce do nó j, k termnal do arco Parâmetros (cont.) Parâmetros D dâmetro nterno do tubo g aceleração da gravdade I j conjunto de tubos conectados ao nó j L comprmento do trecho reto Varáves 7

8 L T comprmento total do tubo Leq comprmento equvalente das sngulardades do tubo N EQ número de equações N F número de vazões externas N NOS número de nós N TUB número de tubos N VAR número de varáves Z j cota do nó j ρ densdade do fludo µ vscosdade do fludo ε rugosdade do materal de construção. f F j fator de atrto de Fannng no tubo vazão externa no nó j lwf perda por atrto no tubo P j pressão no nó j P T j pressão total no nó j Q vazão no tubo Re número de Reynolds no tubo vb velocdade méda no tubo α fator de amortecmento β coefcente de lnearzação da equação (8) AGRADECIMENTOS - Os autores agradecem o apoo fnancero da Fapesp (processo 96/ ) e do Padct- Capes (Projeto 1310/95-QEQ, 1995). 7. BIBLIOGRAFIA BENDING, M.J. & HUTCHISON, H.P. The calculaton of steady state ncompressble flow n large networks of ppes. Chemcal Engneerng Scence, vol.28, no.10, pp , CARNAHAN, B.; LUTHER, H.A. & WILKES, J.O. Appled numercal methods. John Wley & Sons, New York, CEP ANNUAL SOFTWARE DIRECTORY. Supplement to Chemcal Engneerng Progress, vol.93, no.1, CHURCHILL, S.W. Frcton-factor equaton spans all flud-flow regmes. Chemcal Engneerng, vol.84, no.24, pp.91-92, COCHRAN, T.W. Smplfyng ppng network analyss. Chemcal Engneerng, vol.102, no.4, pp , COKER, A.K. Program evaluates pressure drop for sngle phase fluds. Hydrocarbon Processng, vol.70, no.2, pp.53-56, DANIEL, P.T. The analyss of compressble and ncompressble flud networks. Trans. Instn. Chem. Engrs., vol.44, pp.t77-t84, HOUACHE, O.; KHEZZAR, L. & BENHAMZA, M.H. Matrx methods for ppe network analyss: Observatons on parttonng and cut methods. Chem. Engng. Research & Desgn, vol.74a, pp , INGELS, D.M. & POWERS, J.E. Analyss of ppelne networks. Chemcal Engneerng Progress, vol.60, no.2, pp.65-70, KAHANER, D.; MOLER, C. & NASH, S. Numercal methods and software. Prentce Hall, Englewood Clffs, MAH, R.S.H. Chemcal process structures and nformaton flows. Buttleworth Publshers, Stoneham (MA), SHACHAM, M. & MAH, R.S.H. A Newton type lnearzaton method for soluton of nonlnear equatons. Comput. Chem. Engng., vol.2, pp.64-66, SINNOTT, R.K. Coulson & Rchardson s Chemcal Engneerng. vol.6, Butterworth Henemann, Oxford,