Físic III - 4323203 Escol Politécnic - 2017 GABARITO DA P1 20 de ril de 2017 Questão 1 O cmpo elétrico sore o eixo de simetri (eixo z) de um nel de rio r e crg totl Q > 0 é ddo por z E nel = 1 Qz k. (r 2 + z 2 ) 3/2 z L r c d figur 1 figur 2 () (15 ponto) Clcule forç elétric ue o nel exerce sore um fio retilíneo de comprimento L e densidde liner de crg λ > 0 posiciondo sore o eixo z conforme figur 1. () (10 ponto) Clcule o cmpo elétrico sore o eixo de simetri (eixo z) de um disco vzdo com rio interno c e rio externo d crregdo com um densidde superficil de crg uniforme σ > 0 conforme figur 2.
olução d uestão 1 () A forç d F ue o nel exerce sore um elemento de crg d = λdz do stão é dd por df = E nel d = 1 Qzλdz k. (r 2 + z 2 ) 3/2 A forç totl sore o stão é som ds forçs sore todos os elementos de crg do stão: F = df = Qλ L zdz (r 2 + z 2 ) k = Qλ [ ] L 1 3/2 r2 + z 2 0 0 k = Qλ [ 1 r 1 r2 + L 2 ] k. () Podemos considerr o disco vzdo como um superposição de néis concêntricos. Cd nel tem rio r (c < r < d) e lrgur dr onde r é distânci té o eixo do disco. A crg de um destes néis é d nel = σ2πrdr su contriuição pr o cmpo no eixo do disco é d E nel = 1 O cmpo sore o eixo do disco é z d nel (r 2 + z 2 ) k = σz 3/2 2 rdr k (r 2 + z 2 ) 3/2 E disco = de nel = σz d 2 c rdr (r 2 + z 2 ) k = σz 3/2 2 [ ] 1 z2 + c 1 k. 2 z2 + d 2
Questão 2 Considere um csc esféric isolnte de rio interno e rio externo conforme figur. N região < r < csc esféric tem um densidde volumétric de crg ρ(r) = cr onde c > 0 e r é distânci té o centro d csc esféric. Coloc-se no centro d csc esféric um crg. () (15 ponto) Clcule o vetor cmpo elétrico n região < r <. () (05 ponto) Clcule o vetor cmpo elétrico for d csc (região onde r > ). (c) (05 ponto) uponh gor ue csc esféric é condutor o invés de isolnte com crg totl Q. Mntendo crg no centro d csc uis serim os vlores ds crgs n superfície intern (r = ) e n superfície extern (r = )?
olução d uestão 2 () Cmpo elétrico n região < r <. in = + r r r ρ(r)4πr 2 dr = + πc Por simetri em todo o espço E = E(r) r. Usndo um superfície esféric de rio r concêntric com cmd podemos escrever E da = E(r)dA = E(r)4πr 2 = in onde in é crg no interior d superfície. 4r 3 dr = πcr 4 r = + cπ(r 4 4 ). E(r)4πr 2 = + cπ(r4 4 ) = E(r) = + cπ(r4 4 ) r 2 = E(r) = + cπ(r4 4 ) r 2 r. () Cmpo elétrico n região r >. Qundo r > superfície d figur contém tod csc esféric e crg. Neste cso in = + cπ( 4 4 ) = E(r) = + cπ(4 4 ) r 2 r. (c) Csc esféric condutor. e csc esféric for condutor su crg Q vi se distriuir ns superfícies intern (r = ) e extern (r = ) de modo cncelr o cmpo elétrico no interior d csc condutor. Novmente por simetri E = E(r) r e E da = E(r)dA = E(r)4πr 2 = in Tomndo novmente superfície d figur com < r < vemos ue E(r) = 0 in = 0 e portnto crg n superfície intern (r = ) =. Como crg totl n csc é Q (r = ) = Q +.
Questão 3 Considere um fio retilíneo de comprimento L com densiddde liner de crg λ posiciondo conforme mostr figur. Y P 0 L x X () (10 ponto) Clcule o potencil elétrico em um ponto P sore prte positiv do eixo X de coordends (x 0 0) com x > L. Assum o potencil nulo no infinito. () (10 ponto) Clcule componente E x do cmpo elétrico no ponto P. () (05 ponto) Qul é o trlho de um forç extern pr trzer um crg de prov Q do infinito té o ponto P?
olução d uestão 3 () Potencil no ponto P. Y d 0 L V (x) = x x x λ L 0 dx x x = P x X O potencil em P devido o elemento de crg d mostrdo n figur é dv = 1 d = 1 λdx x x x x. O potencil devido o stão é otido somndo-se sore s contriuições dos d: λ log(x x ) L 0 = λ log ( ) x L. x () Componente E x no ponto P. E x = V x = λ ( 1 x L 1 ) = λ x L x(x L). (c) Trlho pr trzer crg Q. O trlho W é igul à energi potencil d crg no ponto P. W = QV (x) = Qλ ( ) x L log. x
Questão 4 Um cpcitor é constituído de cilindro com rio e crg > 0 coxil com um csc cilíndric fin de rio e crg. O cilindro e csc cilíndric têm mos ltur L conforme figur 1. + r L figur 1 figur 2 () (10 ponto) Clcule o vetor cmpo elétrico dentro do cpcitor n região < r <. Despreze efeitos de ord. () (10 ponto) Clcule cpcitânci do cpcitor. (c) (05 ponto) Clcule energi contid no interior de um cilindro de rio r ( < r < ) e ltur L coxil com o cpcitor conforme figur 2.
olução d uestão 4 () Cmpo no cpcitor cilíndrico. + r h L Por simetri o cmpo é rdil e só depende d distânci r té o eixo do cilindro E = E(r) r. Usmos lei de Guss com superfície cilíndric concêntric com o cpcitor. Ns tmps do cilindro E r ssim pens superfície lterl do cilindro contriui E d A = sup. lt. E(r)dA = E(r)2πrh = in Definindo crg por unidde de comprimento λ = /L então in = λh = h/l. Assim E(r)2πrh = h L = E = 2π Lr r. () Cpcitânci C do cpcitor cilíndrico. O módulo V d ddp entre s plcs do cpcitor é V = 2π Lr dr = ( ) 2π L log = C = V = 2πL log(/). (c) Energi dentro do cilindro de rio r. A densidde de energi no cmpo elétrico é u e = E 2 /2. Como dentro do cilindro de rio o cmpo é nulo (condutor) energi contid no cilindro de rio r coxil com o cpcitor é igul à energi n csc cilíndric de rios interno e externo r. U(r) = u e dv = 2 r = 2 L r 1 r dr = E 2 (r )(2πr Ldr ) = 2πL 2 ( 2 r ) L log. r ( ) 2 r dr 2π Lr
Formulário F = ( r r ) r r F = E ( r r ) E = 3 r r 1 E = 3 p = d τ = p E U = p E Φ E = V = r r B V B V A = U = V V = 1 i A E d A E d l V = 1 d r i U = 1 r i i<j i j r ij d r 2 ˆr E d A = int E = V C = Q/V U = Q2 2C = CV 2 = QV 2 2 u = 2 E2 u = du dv simetri esféric dv = 4πr 2 dr simetri cilíndric dv = 2πrh dr xdx (x 2 + 2 ) = 1 3/2 x2 + dx 2 x + = 1 log(x + ).