Mtemátic plicd Computção utor: Prof Me Luiz Herique Moris d Silv - Defiição e eemplos - Operções com Mtrizes MTRIZES DETERMINNTES Defiição, Proprieddes de plicção - Resolução de determites de ordem (Teorem de Lplce) EQUÇÕES LINERES FUNÇÕES - Defiição; Tipos de fuções, proprieddes; plicções DERIVD Defiição, iterpretção geométric, proprieddes; T de vrição isttâe, plicções de derivds, 6 INTEGRL - Sistems de equções lieres defiição; - Resolução de sistems de equções lieres; Esclometo de sistems lieres Cetro Uiversitário d Fudção Educciol de Brretos UNIFEB- Fevereiro 6 6 Itegrl idefiid (Primitiv ou ti derivd de um fução), Itegrl de um fução poliomil, técics de itegrção; 6 Itegrl defiid, Teorem fudmetl do cálculo;
UNIFEB Sistems de Iformção postil de Mtemátic plicd Computção SUMÁRIO ESTUDO DS MTRIZES MTRIZ RETNGULR REPRESENTÇÕES DE UM MTRIZ FORM INDEXD FORM MTRICIL TIVIDDE : DIGONL DE UM MTRIZ QUDRD TRÇO DE UM MTRIZ QUDRD MTRIZ TRNSPOST (TRNSPOST DE UM MTRIZ) 6 TIVIDDE : 6 6 MTRIZES COM REPRESENTÇÕES ESPECIIS 7 7 OPERÇÕES COM MTRIZES 9 TIVIDDE : TIVIDDE : 8 INVERS DE UM MTRIZ MTRIZ INVERS TIVIDDE : 9 LEITUR COMPLEMENTR MTRIZES COM REPRESENTÇÕES ESPECIIS (SEGUND PRTE) 6 TIVIDDE COMPLEMENTR: 7 ESTUDO DOS DETERMINNTES 7 TERMO PRINCIPL 7 TERMO SECUNDÁRIO 7 DETERMINNTE DE UM MTRIZ QUDRD 8 NOTÇÃO DE UM DETERMINNTE 8 CÁLCULO DE UM DETERMINNTE DE ORDEM 9 CÁLCULO DE UM DETERMINNTE DE ORDEM TIVIDDE 6: CÁLCULO DE UM DETERMINNTE DE ORDEM N ( ) MTRIZ COMPLEMENTR 6 TEOREM DE LPLCE TIVIDDE 7 7 LEITUR COMPLEMENTR PROPRIEDDES DOS DETERMINNTES Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção postil de Mtemátic plicd Computção 8 REGR PRÁTIC DE CHIÒ 6 9 CÁLCULO DE DETERMINNTE PELS OPERÇÕES ELEMENTRES 7 TIVIDDE COMPLEMENTR 7 RELÇÃO ENTRE MTRIZ INVERS E OS DETERMINNTES 8 TIVIDDE 8: SISTEMS DE EQUÇÕES LINERES EQUÇÃO LINER SISTEM DE EQUÇÕES LINERES FORM MTRICIL DE UM SISTEM DE EQUÇÕES LINERES (MTRIZES SSOCIDS UM SISTEM LINER) CLSSIFICÇÃO DE UM SISTEM LINER QUNTO O CONJUNTO VERDDE SISTEMS LINERES EQUIVLENTES 6 SISTEMS LINER HOMOGÊNEO 7 MÉTODO DE ESCLONMENTO DE UM SISTEM LINER 6 TIVIDDE 9: 6 TIVIDDE COMPLEMENTR: 7 RESPOSTS: INTRODUÇÃO O CONCEITO DE FUNÇÃO FUNÇÃO DE EM B (PLICÇÃO DE EM B) TIVIDDE NOTÇÃO LGÉBRIC DE UM FUNÇÃO GRFICOS TIVIDDE TIVIDDE CONTINUIDDE DE UM FUNÇÃO CRESCIMENTO DE UM FUNÇÃO PRIDDE DE UM FUNÇÃO 6 FUNÇÕES PERIÓDICS 7 FUNÇÃO SOBREJETOR, INJETOR E BIJETOR 8 FUNÇÃO INVERS 9 FUNÇÃO COMPOST COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES 6 TIVIDDE 6 FUNÇÃO POLINOMIL 7 Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção postil de Mtemátic plicd Computção FUNÇÕES POLINOMIIS BÁSICS 7 FUNÇÃO RCIONL 7 TIVIDDE 8 DERIVD 9 - INTRODUÇÃO O ESTUDO D DERIVD: INTRODUÇÃO HISTÓRIC 9 DERIVD DEFINIÇÃO 9 INTERPRETÇÃO GEOMÉTRIC D DERIVD 9 TIVIDDE TX DE VRIÇÃO INSTNTÂNE: DERIVD DERIVD D FUNÇÃO COMPOST REGR D CDEI TIVIDDE 6 6 INTEGRL 6 INTEGRL INDEFINID (PRIMITIV OU NTI- DERIVD) TIVIDDE 7 TIVIDDE 8 6 6 INTEGRL E REGR D CDEI MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO OU MUDNÇ DE VRIÁVEL PR INTEGRÇÃO 7 TIVIDDE 9 9 6 INTEGRL DEFINID 9 6 INTERPRETÇÃO GEOMÉTRIC D INTEGRL 6 TIVIDDE 6 BIBLIOGRFIS 6 Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção postil de Mtemátic plicd Computção ESTUDO DS MTRIZES Mtriz retgulr Defiição : Defiição forml Sejm I = {,,,,, m} e j = {,,,,, } com m, IN*, dois cojutos com m e elemetos respectivmete Defie-se fução M : I J, com como sedo um mtriz retgulr m sobre Not : Se m =, temos um mtriz qudrd de ordem Not : Ituitivmete, um mtriz é um tbel (ou qudro) com elemetos (úmeros, poliômios, fuções,) dispostos em m lihs por colus Represetções de um mtriz Form Ided Um mtriz compost por m lihs e colus form ided é represetd por: Form mtricil Um mtriz compost por m lihs e colus form mtricil é represetd por: m m tividde : m Ecotr form mtricil ds mtrizes bio, represetds form ided = (ij) tl que : ij = i - j b B = (bij) tl que: bij = i j, se i i j, se i j j m Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção postil de Mtemátic plicd Computção Digol de um mtriz qudrd Digol Pricipl Defiição : Digol pricipl ou simplesmete digol de um mtriz qudrd (mij) M() é fmíli ( m Ou ii ) i j em outrs plvrs, um mtriz qudrd = [ij], de ordem, digol pricipl é costituíd pelos elemetos ij, ode i = j Eemplo: elemetos ( 9) Digol Secudári Defiição : Su digol pricipl é formd pelo fmíli (mij) com i + j = + é digol secudári d mtriz (mij) M() Ou em outrs plvrs, um mtriz qudrd = [ij], de ordem, digol secudári é costituíd pelos elemetos ij, ode i + j = + Eemplo: elemetos ( 7) Su digol secudári é formd pelos Trço de um mtriz qudrd Defiição : ordem, Defie-se Trço de um mtriz qudrd = (ij), de como som dos elemetos d digol pricipl, e deot-se pot tr() Eemplo: tr() = + + 9 = Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção 6 postil de Mtemátic plicd Computção Mtriz Trspost (trspost de um mtriz) Defiição : mtriz de ordem m obtid de um mtriz, m, muddo-se s lihs pels colus, é chmd trspost de e deot-se por T Ou em outrs plvrs, se = (ij)m, etão T = (bij)m, ode bij = ji 6 T Eemplo: 7 6 7 8 8 Proprieddes: P ( T ) T = P Sejm e B mtrizes comptíveis pr se relizr dição ( + B), etão: ( + B ) T = T + B T P(k) T = k T, ode K C PSedo e B mtrizes qudrds de mesm ordem, etão (B) T = B T T PSe é um mtriz que dmite ivers, etão ( - ) T = ( T ) - tividde : Ecotr trspost ds mtrizes bio: ) 6 7 8 9 b) B = (bij), ode bij = i j +i j (dic : B T = (ij), ode ij = j i +j i) Clcule o trço d mtriz do item ) do eercício terior Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção 7 postil de Mtemátic plicd Computção 6 Mtrizes com represetções especiis Mtriz Nul (mtriz zero) Defiição 6: Dd um mtriz = (ij)m, mtriz ul é mtriz ode ij =, pr todo i e todo j Ou sej, é um mtriz que possui todos seus elemetos ulos Mtriz Lih Defiição 7: Eemplo: Defie-se um mtriz B = (bij) como um mtriz lih Ou sej, mtriz lih é tod mtriz do tipo B Eemplo: Not : mtriz - lih é deomid vetor - lih Mtriz Colu Defiição 8: Defie-se um mtriz C = (cij)m como um mtriz colu Ou sej, mtriz colu é tod mtriz do tipo m Eemplo: C 6 Not : mtriz colu é deomid vetor - colu Mtriz Digol Defiição 9: mtiz digol é um mtriz qudrd de ordem (D = [dij]), qul se Mtriz Esclr Defiição : Eemplo: i j, etão dij = D X mtriz digol que possui os elemetos dij iguis etre si pr i = j, é chmd de mtriz esclr Eemplo: E X Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção postil de Mtemátic plicd Computção Prof Me Luiz Herique Moris d Silv 8 Mtriz Idetidde (uidde) Defiição : mtriz Esclr que possui os elemetos dij iguis etre si pr i = j e uitários dij =, é chmd de mtriz Idetidde Eemplos: I ; I Mtriz Simétric Defiição : Um mtriz qudrd = (ij) de ordem é simétric se, e somete se T = Eemplos: 7 7 T Not : Se = (ij) é um mtriz simétric, os elemetos dispostos simetricmete em relção digol pricipl são iguis, ou sej, ij = ji Not 6: O produto de um mtriz qudrd pel su trspost T é um mtriz simétric Mtriz tissimétric Defiição : Um mtriz qudrd = (ij) de ordem é tissimétric se, e somete se T =- Eemplos: T T 7 7 7 7 Not 7: Se = (ij) é um mtriz tissimétric, os elemetos dispostos simetricmete em relção digol pricipl são opostos (iguis em módulo, ou sej diferem pes o sil) e os elemetos d digol pricipl são ulos Mtriz Ortogol Defiição : Um mtriz qudrd = (ij) de ordem é ortogol se, e somete se ivers de um mtriz coicide com su trspost - = T Eemplos: T
UNIFEB Sistems de Iformção postil de Mtemátic plicd Computção Prof Me Luiz Herique Moris d Silv 9 Mtriz Trigulr Superior Defiição : Defie-se como um mtriz trigulr superior mtriz qudrd = [ij], de ordem, o qul os elemetos ij = pr i > j, pr todo i e j Eemplo: 9 8 7 6 Mtriz Trigulr Iferior Defiição 6: Defie-se como um mtriz trigulr iferior mtriz qudrd = [ij], de ordem, o qul os elemetos ij = pr i < j, pr todo i e j Eemplo: 9 8 7 6 7 Operções com mtrizes Igulddes de mtrizes: Defiição 7: Ddos dus mtrizes de mesm ordem (m,) = (ij) e B = (bij), dizemos que = B se, e somete se, ij = bij, pr todo i e j Eemplo: B dições de mtrizes: Defiição 8: Ddos dus mtrizes de mesm ordem (m,) = (ij) e B = (bij), dizemos que mtriz S =(sij) é mtriz que represet som S = + B, tl que sij = ij + bij Eemplo: B e 9 9 S B S
UNIFEB Sistems de Iformção postil de Mtemátic plicd Computção Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Proprieddes: P ssocitiv: ( + B ) + C = + (B + C) = + B + C P Comuttiv: + B = B + P Elemeto eutro: + O = O + = P Lei do corte: + (-) = (-) + = O Mtrizes Opost e subtrção de mtrizes: Defiição 9: Ddos dus mtrizes de mesm ordem (m,) = (ij) e B = (bij), defie-se mtriz opost de como sedo mtriz = (-ij) Dizemos etão, que mtriz D =(dij) é mtriz que represet difereç D = B + (- ) = B - tl que: dij = bij + (-ij) =bij ij Eemplo: B e D B D Multiplicção de um esclr por um mtriz: Defiição : Sej IR, um esclr, e = [ij]m um mtriz de ordem (m,), mtriz P = (pij)m é mtriz que represet o produto P =, tl que: pij = ij Eemplo: e 8 6 P P Proprieddes: P = P ) ( = ) ( P ) ( P B B ) (
UNIFEB Sistems de Iformção postil de Mtemátic plicd Computção tividde : Quis os vlores de e y reis que stisfzem: y, sedo U = IR Determie, y e z reis, sbedo que mtriz seguir é tissimétric: Sedo y z 6 e B 9, obteh: 7 + B b B 6 Sedo e B, resolv equção 7 8 mtricil: X = B Cosidere s mtrizes = (ij) e B = (bij) dds por: ij =i j + e bij = i j - Obteh: ) mtriz C tl que eu C = + B b) mtriz D tl que D = B Multiplicção de mtrizes Defiição : ª Prte: Defie-se o produto B de dus mtrizes e B est ordem, se, e somete se, é do tipo tipo m e B é do p ; ou sej, multiplicção de dus mtrizes eiste, se, e somete se o úmero de colus d primeir mtriz (o cso mtriz ) é igul o úmero de lihs d segud mtriz (o cso mtriz B) ( B) ª Prte: mtriz P = (pij)mp é mtriz que represet o produto B (P = B) cso eist, ou sej, o produto de B, defiido est ordem, terá m lihs (úmero de lihs d ª mtriz, ) por p colus (úmero de colus d º mtriz, B) ij e B b ij m p ( B) P B P( p ) ij e B b ij m p ij m p Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção postil de Mtemátic plicd Computção ª Prte: Pr clculr o elemetos pij d mtriz produto P = (pij)mp, ode P =B, tommos lih i d mtriz e P p p p p colu j d mtriz B e fzemos ibj + ibj + bj + + ibj, ou sej, tommos o º elemeto d lih i e multiplicmos pelo º elemeto d colu j, tommos o º elemeto d lih i e multiplicmos pelo º elemeto d colu j, tommos o º elemeto d lih i e multiplicmos pelo º elemeto d colu j, e ssim sucessivmete, sommos etão ests prcels e obtemos pij Eemplo: 6 7 e B 9 8 ª prte: Como o úmero de colus d primeir mtriz é igul o úmero de lihs d segud mtriz, multiplicção B é possível ª prte mtriz P, que represet B, é um mtriz, ou sej, o úmero de lih d ª mtriz pelo úmero de colus d segud mtriz ª prte: Clculo de P = (pij), sedo P = B: 7 B 9 6 8 p = ( 7) + ( 9) + ( ) = 7 + 8 + = 7 B 9 6 8 p = ( 8) + ( ) + ( ) = 8 + + = 8 7 B 9 6 8 p = ( 7) + ( 9) + (6 ) = 8 + + = 7 7 B 9 6 8 p = ( 8) + ( ) + (6 ) = + + = Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção postil de Mtemátic plicd Computção Proprieddes: P 7 8 P ssocitiv: Se, B e C são mtrizes comptíveis pr multiplicção, etão: BC = (B)C = (BC) P Distributiv: Se e B + C, são mtrizes comptíveis pr multiplicção, etão: (B + C) = B + C P Se é um mtriz do tipo m, etão: I = Im =, ode I é mtriz idetidde de ordem, Im é um mtriz idetidde de ordem m Not 8: N mior prte ds vezes propriedde comutv ão é válid, ou sej: B B Potêci de mtrizes qudrds Epoetes ão egtivos Defiição : defiimos: Se é um mtriz qudrd de ordem m, I m, se, se Potêci de mtrizes qudrds Epoetes ão egtivos Defiição : defiimos: Se é um mtriz qudrd de ordem m, e < ( ), ode - é mtriz ivers de tividde : Clcule o produto ds mtrizes seguir: 7 8 9 b) 6 ) Determie o vlor de, sbedo que o produto ds mtrizes e é um mtriz simétric Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção postil de Mtemátic plicd Computção Determie os vlores de e y equção mtricil: y 7 Sedo, clcule: ) b) c) d) Um costrutor recebe ecomed do govero pr fzer o rcbouço de três tipos de edifícios: escols, hospitis e tetros s mtéris prims serem utilizds são: ferro, cimeto, mdeir, rei mis mão de obr mtriz seguir represet qutidde de cd um dests mtéris prims que serão utilizds em cd tipo de obr Perceb que cd lih idic mtéri prim de que se ecessit em cd tipo de obr e cd colu d mtriz idic s qutiddes de cd mtéri - prim que prticipm costrução de cd tipo de edifício Supohmos gor que ecomed teh sido feit pr 7 escols, hospitis e tetros, form de mtriz temos = (7 ) Clcule o quto costrutor vi gstr em mteril (Dic: o gsto d costrutor será produto P = B) Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção postil de Mtemátic plicd Computção Prof Me Luiz Herique Moris d Silv 8 Ivers de um mtriz Mtriz Ivers Defiição : Se e B são mtrizes qudrds de mesm ordem tis que B = B = I, dizemos que é ivers de B e B é ivers de Deot-se = B - e B = - Proprieddes: Se e B são mtrizes que dmitem ivers, etão: P ( - ) - = P ( - B) - = B - - P ) det( ; ) det( ) ( dj Eemplo: I Fremos etão uso de operções elemetres pr o cálculo d ivers d mtriz º multiplicdo ª lih por - e somdo com ª lih, temos um ov ª lih l l l º Multiplicdo ov segud lih por -/ l º Multiplicdo ª lih por - e somdo ª lih, temos: l l l tividde : Obter ivers ds mtrizes: ) b) 8 6 B
UNIFEB Sistems de Iformção postil de Mtemátic plicd Computção Prof Me Luiz Herique Moris d Silv 6 9 Leitur complemetr Mtrizes com represetções especiis (Segud prte) Mtriz Periódic Defiição : Sej um mtriz qudrd, diz-se que é um mtriz periódic se, e somete se, =, pr Not 9: Se é o meor iteiro pr o qul =, etão o período d mtriz é Eemplo: mtriz idetidde de ordem é periódic I Mtriz Idempotete Defiição 6: Dd um mtriz periódic, tl que =, diz-se que é um mtriz idempotete Not : O período de um mtriz idempotete é - = Eemplo: B B Obs: se =, etão = = = = = Mtriz Nihilpotete Defiição 7: Dd um mtriz qudrd, se eistir um úmero IN m, tl que m =, diz se que é um mtriz ihilpotete Not : Se m é o meor iteiro positivo tl que m =, diz-se que mtriz é ihilpotete de ídice m Eemplo: C C mtriz C é ihilpotete de ídice Obs: se =, etão = = = = =
UNIFEB Sistems de Iformção postil de Mtemátic plicd Computção Prof Me Luiz Herique Moris d Silv 7 Eemplo : 6 D 9 D D D D mtriz C é ihilpotete de ídice Obs: se =, etão = = 6 = = = tividde complemetr: Com os devidos cálculos, utilizdo multiplicção de mtrizes, prove o eemplo d mtriz idempotete e os dois eemplos d mtriz ihilpotete ESTUDO DOS DETERMINNTES Termo Pricipl Defiição 7: Dd um mtriz qudrd, de ordem, o produto dos elemetos d digol pricipl é chmdo termo pricipl m m Eemplo: 8 9 8 7 6 Termo Secudário Defiição 8: Dd um mtriz qudrd B, de ordem, o produto dos elemetos d digol secudári é chmdo termo secudário
UNIFEB Sistems de Iformção 8 postil de Mtemátic plicd Computção B m B m Eemplo: 6 ( ) Determite de um mtriz qudrd Defiição 9: Em outrs plvrs, o determite de um mtriz qudrd é som lgébric dos produtos que se obtém efetudo tods s permutções dos segudos ídices do termo pricipl, fidos os primeiros ídices, e fzedo-se preceder os produtos dos siis + ou, coforme s permutções dos segudos ídices sej de clsse pr ou ímpr Not : ordem de um determite é mesm ordem d mtriz qudrd correspodete Sej um mtriz qudrd,, sobre C Defiimos o determite de e idicmos por det ou, o elemeto C: det ( ) i j j j Ode i é o úmero de iversões d permutção (j, j, j,, j) em relção à permutção (,,,, ) escolhid como fudmetl e idic que som é sobre s! j Notção de um determite otção usd pr represetr um determite de um mtriz qudrd será: det permutções de {,,,, } Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção 9 postil de Mtemátic plicd Computção Cálculo de um determite de Ordem Dd um mtriz qudrd de ordem, fremos, det, pr clculr o determite dest mtriz,, e de cordo com defiição de um determite de um mtriz qudrd, temos: º psso: Escrever os elemetos que compõem o termo d digol pricipl, um pós o outro, somete com os primeiros ídices, tts vezes quts forem s permutções dos úmeros e ( o cso, dus vezes: e ou! = = ) º Psso: Colocr como segudo ídice (s dus epressões obtids teriormete), s permutções e º Psso: Fzer preceder cd um dos dois produtos ssim formdos dos siis + ou -, coforme permutção dos segudos ídices serem de clsse pr ou ímpr Permutçã o pricipl Permutçõe s Número de Clsse d permutçã Si l iversõe s o pr Ímpr + + - º Psso: Efetur som lgébric dos produtos ssim obtidos det = + + (- ) = + - Not : Por comodidde e simplicidde costum-se dizer que o determite de um mtriz qudrd de Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção postil de Mtemátic plicd Computção ordem é igul: o produto dos elemetos d digol pricipl meos o produtos dos elemetos d digol secudári det Eemplo: ( ) ( ) ( ) 8 Not : De cordo com defiição de determite pr um mtriz qudrd de ordem, como ão temos permutções serem relizds, etão covecio-se que o determite dest mtriz é o úmero que form mtriz det = = Eemplo: - = - Obs : Há um cuiddo especil em ão cofudir simbologi de um determite de ordem, com módulo (vlor bsoluto) de um úmero rel, pois escrit simbologi é muito semelhte! Cálculo de um determite de Ordem Dd um mtriz qudrd de ordem, mtriz, fremos,, pr clculr o determite dest det, e de cordo com defiição de um determite de um mtriz qudrd, temos: º psso: Escrever os elemetos que compõem o termo d digol pricipl, um pós o outro, somete com os primeiros ídices, tts vezes quts forem s permutções dos úmeros, e (o cso, seis vezes,! = = 6) Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção postil de Mtemátic plicd Computção º Psso: Colocr como segudo ídice (s seis epressões obtids teriormete), s permutções,,,, e º Psso: Fzer preceder cd um dos dois produtos ssim formdos dos siis + ou -, coforme permutção dos segudos ídices serem de clsse pr ou ímpr Permutção Permutções Número Clsse d Sil pricipl de iversões permutção pr ímpr pr + - + + - + - + - º Psso: Efetur som lgébric dos produtos ssim obtidos det=+ +(- )+ +(- )+ +(- ) det=+++-- - Not : Por comodidde e simplicidde costum-se fzer uso de um regr prátic (Regr de Srrus) pr determite de um mtriz qudrd de ordem, est regr é dd pelo seguite dispositivo prático: Repetir s dus primeirs lihs ou colus (Gerlmete por fcilidde, repete-se s lihs) ímpr - pr + ímpr - Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção postil de Mtemátic plicd Computção tividde 6: Clcule o vlor dos determites seguir: ) b) 7 8 6 9 det = ++ (++) Resolv equção: Eemplo: Cálculo de um determite de ordem ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( ) ( )] Mtriz Complemetr = + - [- 9 - + ] = - + = 9 Defiição : Dd um mtriz qudrd, mtriz qudrd que se obtém de suprimido-se lih de ídice i e colu de ídice j é deomid mtriz complemetr de reltiv o elemeto de posição (i,j) e deot-se Mij Eemplos: Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção postil de Mtemátic plicd Computção E ssim, podemos clcul outrs mtrizes complemetres como M, M, M,, M Coftor ou complemeto lgébrico Defiição : Sedo ij um elemeto qulquer de um mtriz qudrd, de ordem, chm-se coftor ou complemeto lgébrico de ij o úmero ij, dd por: i j ij ( ) M ij 6 6 M M 6, ode Mij é o determite d mtriz complemetr Mij Eemplo: 6 M E ssim, podemos clculr os coftores,,,, 6 Teorem de Lplce Defiição : De um modo gerl, dd um mtriz qudrd, de odem ( ), temos: I Se o determite for desevolvido tomdo como bse um lih de ídice i d mtriz : det i i i i i i ik k II Se o determite for desevolvido tomdo como bse um colu de ídice j d mtriz : det j j j j j j kj k Not : prtir d defiição gerl, podemos clculr um determite de um mtriz qudrd, de ordem ( ) pelos seguites pssos: ik kj = (-) + M = (-) = (-) = - Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção postil de Mtemátic plicd Computção I Escolhe-se em um fil qulquer (lih ou colu), preferecilmete quel que possuir se eistir mior qutidde de elemetos ij = II Clcul-se o coftor ij d respectiv fil escolhid III Efetu-se o produto de cd elemeto d fil escolhid pelo seu respectivo coftor IV Som-se todos estes produtos teriores Eemplo: I Escolhedo º colu: =, = e = tes que fçmos os coftores, escolh pel primeir colu pelo fto =, trz um mior fcilidde de cálculos, pois o coftor ão precis ser clculdo, pois = II Cálculo dos coftores d primeir colu ( ) ( ) ( ) ( ) ( 6) 6 ( ) ( ) ( ) (6 ) ( 6) 6 III Cálculo do determite, pelo teorem de Lplce Det = + + Det = (-6) + + (-6) = - 6 + = -8 tividde 7 plicdo o Teorem de Lplce clcule o vlor dos determites seguir: ) b) 6 c) 7 8 9 Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção postil de Mtemátic plicd Computção 7 Leitur complemetr Proprieddes dos determites Sej um mtriz qudrd de ordem, temos s seguites proprieddes: P det () = det ( t ) P Se todos os elemetos de um fil (lih ou colu) de forem ulos, det() = Not 6: Ess propriedde é um corolário, pois é um cosequêci imedit do teorem de Lplce P Se multiplicrmos um fil (lih ou colu) de por um esclr por k IR, etão o determite fic multiplicdo P Se M (C), etão det (k) = k det P Se permutrmos (trocrmos) dus fils prlels (lihs ou colus), o determite troc de sil P6 Se dus fils prlels (lihs ou colus) forem iguis, o determite d mtriz é ulo P7 Se dus fils prlels (lihs ou colus) forem proporciois, o determite d mtriz é ulo P8 O determite de um mtriz ão se lter se somrmos um lih (colu) um múltiplo de outr lih (colu) P9 O determite de um mtriz ão se lter se somrmos um lih (colu) um combição lier de outrs lihs (colus) P Um mtriz que possui um lih (colu) que é combição lier ds outrs dus lihs (colus) tem determite ulo P Se e B são mtrizes qudrds de mesm ordem, etão: det ( B) = det () det (B) P det (B) = det () det (B) P det ( ) = [det()] P det( ) det( ) P Determite de Vdermode Cosideremos os seguite determite: Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção 6 postil de Mtemátic plicd Computção D Eemplo: 9 6 i j ( ), ode i, i j j ( ) ( ) ( ) 8 Regr prátic de Chiò Pr o cálculo de um determite de um mtriz qudrd qulquer de ordem, podemos usr um regr prátic, cohecid como regr prátic de Chiò, que cosiste em: I Escolher um elemeto ij = o determite de, cso eist II Se ão eistir ij = em det (), escolher, multiplicr det () por ij e dividir lih ou colu por ', pois ssim teremos ij ij ij III Suprimir lih ou colu que cruzm sobre o ' elemeto ij = ou ij IV gor iremos fzer um redução d ordem de det(), ou sej, pr obtermos os elemetos do determite de ordem, vmos subtrir de cd um dos elemetos ão suprimidos o produto dqueles elemetos que se ecotrm os pés ds perpediculres bids de cd um deles sobre lih e colu suprimid V teceder o determite meor obtido o sil (-) i+j Pr fcilitr, é iteresste escolher =, pois (-) + = Eemplos: 8 6 6 6 7 8 6 6 Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção 7 postil de Mtemátic plicd Computção 9 Cálculo de determite pels operções elemetres Pr o cálculo de um determite de um mtriz qudrd qulquer de ordem, podemos usr operções 7 8 7 l l l 6 8 l l l l l l 7 7 7 6 8 6 7 7 6 8 6 9 7 elemetres e chegr um mtriz trigulr superior ou iferir e procedemos d seguite meir pr se II gor bst multiplicrmos os elemetos d digol obter o det(): pricipl do último determite (que represet um I trvés de operções elemetres, devemos obter um mtriz trigulr superior ou iferior o determite d mtriz mtriz trigulr) det 7 ( ) 9 7 7 II pós obtid mtriz trigulr (iferior ou superior), multiplic-se os elemetos d digol pricipl, e ssim, temos o vlor de det () tividde complemetr Eemplo: I trvés de operções elemetres, temos: 7 8 6 d g Se b e h, utilizdo s proprieddes do c f determites, clcule: ) b c d e f g h i i b) b c d e f g h i c) d g b e h c f i Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção 8 postil de Mtemátic plicd Computção No determite de Vdermode bio, resolv equção: 9 8 7 Clcule o termite bio pel regr prátic de Chiò, pelo teorem de Lplce e utilizdo operções elemetres Relção etre Mtriz ivers e os determites Mtriz Co-ftor Defiição : Se é um mtriz qudrd de ordem, deomimos mtriz co-ftor de (idicmos por cof ) mtriz obtid de, substituido cd um de seus elemetos pelo respectivo coftor Eemplo: = (-) + = = (-) + = - = (-) + = = (-) + = Cof () Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção 9 postil de Mtemátic plicd Computção Mtriz djut Defiição : Se é um mtriz qudrd de ordem, deomimos mtriz djut de (idicmos por dj ) mtriz trspost d mtriz co-ftor de Eemplo: Cof ( ) Mtriz Ivers dj ( ) [ Cof ( )] dj( ) [ Cof ( )] T T Como visto teriormete, um mtriz qudrd, de ordem, é dit iversível (ou ão sigulr) se eiste um mtriz qudrd B, tmbém de ordem, tl que: B = B = I prtir dí fremos uso d seguite propriedde: dj( ) P ; det( ) ; det( ) tmbém vist teriormete Cof ( ) dj( ) [ Cof ( )] det( ) Como, etão temos: dj( ) det( ) T Mtriz Sigulr Defiição : Um mtriz qudrd, de ordem, cujo determite é ulo é um mtriz sigulr Ou sej, um mtriz qudrd, de ordem, é sigulr se e somete se ão dmite ivers - Eemplo: 6 det( ) é um mtriz sigulr 8 Eemplo: Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção postil de Mtemátic plicd Computção Mtriz Não - Sigulr Defiição 6: Um mtriz qudrd, de ordem, cujo determite é ão ulo (diferete de zero) é um mtriz ão sigulr ou regulr Ou sej, um mtriz qudrd, de ordem, é ão sigulr (ou regulr) se e somete se dmite ivers - Eemplo: det( ) é um mtriz ão- sigulr(ou regulr) tividde 8: Obter ivers ds mtrizes: ) b) B 6 8 Determie os vlores de K pr que mtriz C k : k ) sej sigulr b) dmit ivers (sej ão sigulr ou regulr) Dds s mtriz e B, clcule (B) - Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção postil de Mtemátic plicd Computção SISTEMS DE EQUÇÕES LINERES Equção lier Defiição 7: Um equção lier é um equção do tipo: + + + = b ou i i i b Not 7: Os vlores ds vriáveis que trsform um equção lier em idetidde, isto é, que stisfzem equção, costituem su solução Esses vlores são deomis rízes d equção Eemplo: + y 7z = - É um equção lier cujs rízes são =, y = e z = Eemplos: m m m m b b b b y z ; U IR y z 6 ; U y 6 y z y z t y y t z t ; U IR m IR Sistem de equções lieres Defiição 8: Defie-se um sistem de equções lieres como sedo um cojuto de equções lieres uids por um coectivo e () Form mtricil de um sistem de equções lieres (Mtrizes ssocids um sistem lier) Podemos ssocir um sistem de equções lieres com o uso de mtrizes ssocids este sistem lier, ssim dizemos que este está epresso form mtricil Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção postil de Mtemátic plicd Computção Prof Me Luiz Herique Moris d Silv m m m m m b b b b m m m m b b b Not 8: Ode mtriz m m m é chmd de mtriz icomplet do sistem de equções lieres e mtriz m m m b b b é mtriz complet do sistem de equções lieres Eemplos: 6 ; 6 y IR U y y Mtriz icomplet: Mtriz complet: 6 6 ; 6 z y IR U z y z y z y Mtriz icomplet: Mtriz complet: 6
UNIFEB Sistems de Iformção postil de Mtemátic plicd Computção Not 9: Os vlores ds vriáveis que trsformm simultemete s equções de um sistem lier em idetidde, isto é, que stisfzem tods s equções do sistem, costituem su solução Esses vlores são deomis rízes do sistem de equção lier Um sistem de equções lieres Comptível é dito Determido qudo dmite solução úic Eemplo: O sistem lier seguir é comptível e determido, pois dmite um úic solução, o pr Clssificção de um sistem lier quto o cojuto verdde Um sistem de equções lieres pode dmitir um ordedo (,) y y U IR V (, ) IR úic solução, ifiits soluções ou té mesmo ão dmitir solução, detro de um cojuto uiverso Sedo ssim, podemos clssificr um sistem de equções lieres e cordo com o tipo de solução (ou ão Iterpretção geométric: solução) que ele irá possuir Sistem Comptível (SC) Defiição : Um sistem de equções lieres é dito comptível qudo dmite solução, ou sej, qudo seu cojuto verdde ão for vzio Sistem Comptível e Determido (SCD) Defiição : Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção postil de Mtemátic plicd Computção Sistem Comptível e Idetermido (SCI) Defiição : Um sistem de equções lieres Comptível é dito idetermido qudo dmite mis de um solução ( verdde ifiits soluções) Eemplo: O sistem lier seguir é comptível e idetermido, pois dmite um ifiidde de soluções Sistem Icomptível (SI) Defiição : Um sistem de equções lieres é dito icomptível qudo ão dmite solução, ou sej, seu cojuto verdde é vzio Eemplo: O sistem lier seguir é icomptível, pois ão dmite soluções y U IR V, IR : IR 6y y U IR 9y V Iterpretção geométric: Iterpretção geométric: Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção postil de Mtemátic plicd Computção Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Sistems lieres Equivletes Defiição : Dois sistems de equções lieres são equivletes qudo dmitem mesm solução (ou o mesmo cojuto verdde), detro de um mesmo cojuto uiverso Eemplo: Os dois sistems seguir são equivletes, pois possuem o mesmo cojuto verdde IR y IR V IR U y y e y y, : (,) ) ( 6 Sistems Lier Homogêeo Defiição 6: Um sistem de equções lieres é dito homogêeo se os termos idepedetes são todos ulos m m m m Eemplos: ; 6 IR U y y ; IR U z y z y z y ; IR U t y z t y t z y Not : Um sistem homogêeo será sempre comptível, ou sej, sempre ir dmitir solução sedo: I Comptível e Determido, se dmitir pes solução chmd Trivil, U = IR, V = (,); U = IR,V = (,,), U = IR, V = (,,,); II Comptível e idetermido, se o sistem dmitir ifiits soluções
UNIFEB Sistems de Iformção 6 postil de Mtemátic plicd Computção Resolução de um sistem lier Eistem vários métodos de resolução pr um sistem lier, o qul iremos destcr dois: E ssim, sucessivmete, té que últim equção esclod teh pes um úic vriável, peúltim, dus vriáveis e ssim por dite I Método de Esclometo II Método de Guss Jord tividde 9: 7 Método de esclometo de um sistem lier O esclometo de um sistem lier cosiste em um método de elimição de vriáveis, tordo o sistem esclodo Pr resolução de um sistem de equções lieres por este método, devemos efetur os seguites pssos: º Psso: Escolher um equção lier do sistem pr ão ser esclod (ou sej se mter imutável); Resolver e clssificr os sistems lieres bio quto o seu cojuto verdde y z 7 ) y z 8 y 7z b ) 7y z y z c ) 6y z y z 9 y z y z 7 y z d ) y z y z º Psso: escolher primeir vriável ser elimid; º Psso: com s equções já esclods, escolher outr equção (for primeir já escolhid), pr ão mis ser esclod; º Escolher segud vriável (cso houver), pr ser elimid; Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção 7 postil de Mtemátic plicd Computção Discutir os sistems: ) m y my tividde Complemetr: m b ) Discutir e resolver o sistem: y y y z z z k k z y ky z z C, ) Clcule T C b) Clcule D + B D Dd mtriz = presete: ) digol pricipl 7 9 6 b ) digol secudári Dds s mtrizes: c ) tr () = (i) tl que ij i j B= (b ij ) tl que b = i ij i j j se se i i j j Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção 8 Prove que: Botões p postil de Mtemátic plicd Computção Botões G 6 O úmero de cmiss fbricds, de cd modelo, os meses de mio e juho, é ddo pel tbel: 6 Prove que mtriz é ortogol Cmis Mio Juho 7 N cofecção de três modelos de cmiss (, B e C) são usdos botões grdes (G) e pequeos (p) O úmero de botões por modelos é ddo pel tbel: Cmis Cmis B Cmis C Cmis B Cmis C Nests codições, obter tbel que dá o totl de botões usdos em mio e juho 8 (Fp SP) Um motdor produz três modelos de veículos,, B e C Neles podem ser istldos dois tipos Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção 9 postil de Mtemátic plicd Computção de ir bgs, D e E mtriz [ir bg modelo] mostr qutidde de uiddes de ir bgs istlds: S,S,S e S Esses dígitos são etão, trsformdos os dígitos M, M, M e M d seguite form: Num determid sem form produzids s seguites qutiddes de veículos, dds pel mtriz [modelo-qutidde]: ) b) c) d) e) 9 Um dispositivo eletrôico, usdo em segurç, modific seh escolhid por um usuário, de cordo com o procedimeto descrito bio seh escolhid SSSS deve coter qutro dígitos, represetdos por Se seh de um usuário, já modificd, isto é, M =, M =, M = e M =, podemos firmr que seh escolhid pelo usuário foi: ) b) c) d) e) (UEL PR) Um ds forms de se evir um mesgem secret é por meio de códigos mtemáticos, seguido os pssos: I Tto o destitário quto o remetete possuem um mtriz chve C; Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção postil de Mtemátic plicd Computção II O destitário recebe do remetete um mtriz P, tl que MC=P, ode M é mtriz mesgem ser decodificd; III Cd úmero d mtriz M correspode um letr do lfbeto: =, = b, = c,, = z; IV Cosideremos o lfbeto com letrs, ecluido s letrs, k, w e y V O úmero zero correspode o poto de eclmção VI mesgem é lid, ecotrdo mtriz M, fzedo correspodêci úmero/letr e ordedo s letrs por lihs d mtriz coforme segue: mmmmmmmmm Cosidere s mtrizes: Resposts: S C D m ) ) S C I m S I m S C D k k b) S C I k S I k ) S C I k 7 V,, tq IR ) ) ) (- - 9 6) b) ( 7 ) c) 7) 8) b) 9) c) ) c) Com bse os cohecimetos e s iformções descrits, ssile ltertiv que preset mesgem que foi evid por meio d mtriz M ) Bosorte! b) Boprov! c) Botrde! d) judeme! e) Socorro! Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção postil de Mtemátic plicd Computção INTRODUÇÃO O CONCEITO DE FUNÇÃO Fução de em B (plicção de em B) Defiição 7 : Sejm e B subcojutos de IR, um fução de em B ( f : B ) é um lei que ssoci todo elemeto de um úico elemeto em B O digrm bio represet situção descrit ssocidos os elemetos do domíio pel fução f, é chmdo de cojuto imgem de f tividde Verifique qul(is) ds relções bio é (são) fução (ões) O cojuto = {,,,, } é chmdo cojuto de prtid d fução f, ou domíio de f (D(f)) O cojuto B = {y, y, y, y, y, y6, y7} é chmdo cojuto de chegd d fução f, ou cotrdomíio de f (CD(f)) O cojuto Im(f) = {y, y, y, y, y}, que é o cojuto formdo pelos elemetos do cotrdomíio que estão Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção postil de Mtemátic plicd Computção Notção lgébric de um fução Grficos Defiição 8 : Sej f um fução O gráfico de f é o cojuto de todos os potos (, f()) do plo IR (Plo crtesio),ode: D( f ) e f ( ) Im( f ) tividde Verifique qul(is) ds relções bio é(são) fução(ões) tividde Verifique o domíio de vlidde ds fuções bio: ) f ( ) 8 ) ) h ( ) ) l ( ) g ( ) Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção postil de Mtemátic plicd Computção Cotiuidde de um fução Um fução f em um itervlo [b], pode ser cotíu ou descotíu este itervlo Crescimeto de um fução Defiição 9: Um fução f é crescete sobre um certo itervlo berto I, se : f ( f ou f ( ) f ) Im( ), D( f ) e f ( ), f f Defiição : Um fução f é decrescete sobre um certo itervlo berto I, se : f ( f ou f ( ) f ) Fução cotíu Im( ), D( f ) e f ( ), f f Defiição : Um fução f é costte sobre um certo itervlo berto I, se : f ( f ou f ( ) f ) Im( ), D( f ) e f ( ), f f Fução descotíu Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção postil de Mtemátic plicd Computção Eemplo f ( ) f ( ) ( ) f ( ) ], b [ - f é decrescete ] b, c [ - f é crescete ] c, d [ - f é costte Pridde de um fução Defiição : Dizemos que um fução f() é pr se, pr todo D( f ), temos: Eemplo f ( ) f ( ) Defiição : Dizemos que um fução f() é impr se, pr todo D( f ), temos: Eemplo f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) f ( ) Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção postil de Mtemátic plicd Computção 6 Fuções periódics Defiição :Dizemos que um fução f() é periódic se eiste um úmero rel T, tl que f ( T) f ( ) pr todo D( f ) Ode T é chmdo de período d fução f() O gráfico de um fução periódic se repete cd itervlo de comprimeto T Defiição 6: Um fução f : B é dit ijetor se, e somete se, dois elemetos distitos de têm imges distits em B, ou sej, ; f ( ) f ( ) Defiição 7 : Um fução f, : B é dit bijetor se, e somete se, é Sobrejetor e ijetor 8 Fução Ivers Defiição 8: Sej y f () um fução f : B Se, pr cd y B, eistir etmete um vlor tl que y f (), etão podemos defiir fução g : B tl que g(y) fução g defiid dest meir é chmd Período T = 7 Fução Sobrejetor, Ijetor e Bijetor Defiição : Um fução f : B é dit Sobrejetor se, e somete se, pr todo y B, eiste um elemeto, tl que y f (), ou sej, se, e somete se, fução ivers de f e deotd por f - Observção : Um fução f e somete se, est fução f é bijetor Eemplo fução f : IR IR dd por g : IR IR dd por g( ) : B dmite ivers se, f ( ) tem ivers Im( f ) B Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção 6 postil de Mtemátic plicd Computção Prov: f ( ) y y y De meir álog, defie-se: i) ( f o g)( ) f ( g( )) ii) ( f o f )( ) f ( f ( )) 9 Fução compost Composição de fuções Defiição 9: Dds dus fuções f e g, fução compost de g com f, deotd gof, é defiid por: ( g o f )( ) g( f ( )) O domíio de gof, é o cojuto de todos os potos o domíio de f tis que f() est o domíio de g Simbolicmete, temos: D( g o f ) D( f ) / f ( ) ( g) iii) ( g o g)( ) g( g( )) tividde Sejm s fuções: f :[, ) IR f ( ) e f : IR IR g ( ) ) Ecotre gof, fog, fof e gog ) Ecotre ivers d fução g() O digrm bio ilustr est situção Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção 7 postil de Mtemátic plicd Computção Fução poliomil Defiição 6: Um fução é represetd por,,,, ( coeficietes e f : IR IR é dit poliomil se f ( ), ode ), são úmeros reis chmdos de Z, determi o gru d fução Fuções poliomiis básics i) Fução Costte: É um fução poliomil de gru zero, ou sej, f ( ) k iii) Fução Poliomil do segudo gru (Fução Qudrátic): É um fução do tipo f ( ) b c ( ) Fução Rciol Defiição 6: É um fução defiid como o quociete de p( ) f, q( ) dus fuções poliomiis, isto é, ( ) ( q ) ode p() e q() são poliômios ii) Fução poliomil do primeiro gru: É um fução do tipo f ( ) b ( ) Observção : Um fução poliomil do primeiro gru do tipo f ( ) b ( ) é chmd de fução fim Um fução poliomil do primeiro gru do tipo f ( ) ( ) é chmd de fução lier Um fução poliomil do primeiro gru do tipo f ( ) ( ) é chmd de fução idetidde Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção 8 postil de Mtemátic plicd Computção tividde ) Dd fução É f ( ), obteh o vlor de 7 f ( ) f () f () 7 ) Um grupo de migos trblhm o período de féris vededo slgdihos s pris O luguel do triler e todos os equipmetos ecessários pr produção são lugdos pelo vlor de R$, por mês O custo do mteril de cd slgdiho é R$, ) Epressr o custo totl como um fução do úmero de slgdihos fbricdos b) Costruir um gráfico dest fução obtid o item terior, e fzer tod álise mtemátic dest fução c) Sbedo que cd slgdiho é vedido o vlor de R$,, epresse fução mtemátic que represet o lucro deste grupo de migos (L() = V() C()) d) Esboçr o gráfico que represet fução L(X) do item terior e) Qul qutidde míim de slgdos serem vedidos pr que os migos ão levem prejuízos? b) Qul será o lucro obtido em um ved mesl de slgdihos? ) Um idústri comerciliz um certo produto e tem um fução custo totl dd por C ( ) u u 7, se u o úmero de uiddes produzids fução receit totl é dd por Determie: ) fução lucro dest empres (L() = R() C()) b) O gráfico d fução L() obtid o eercício terior, fzer tod álise mtemátic d fução c) o lucro pr ved de uiddes d) Qul o lucro máimo dest empres? e) Quts uiddes u devem ser vedids pr que o lucro sej máimo? Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção 9 postil de Mtemátic plicd Computção DERIVD - Itrodução o estudo d Derivd: Itrodução históric O fil do século XVII viu o surgimeto de um coquist mtemátic formidável: O Cálculo Diferecil Descoberto idepedetemete pelos cotemporâeos Sir Isc Newto (6 77) e Gottfried Leibiz (6-76, torou-se bse pr o desevolvimeto de váris áres d Mtemátic, lém de possuir plicções em prticmete tods s áres do cohecimeto cietífico Derivd Defiição Defiição 6 - Derivd: derivd de um fução y f (), defiid em um itervlo berto I em um poto I é dd por f ( cso o limite eist f ( ) lim h h) h f ( ), Eistido o limite cim, fução f é dit derivável em Defiição 6 Fução derivd: Sej f um fução defiid em um itervlo berto I Se f é derivável pr todo poto de seu domíio, dizemos que fução f : I IR, que ssoci cd I o vlor f () é um fução derivd de f Notção: i) y f () (otção de Newto) ; ii) dy (otção de Leibiz); d mbs represetm derivd d fução f em relção Iterpretção geométric d Derivd Dd fução f, defiid em um itervlo berto I, sedo f derivável pr todo poto de seu domíio Ddo id um poto o e su imgem f ), se relizrmos um créscimo muito pequeo em ( I, por eemplo Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção postil de Mtemátic plicd Computção ( h) I, obtemos imgem f ( h), o gráfico bio ilustr est situção Proposição - Derivd d fução costte Sej f : IR IR, f ( ) k, um fução costte, su derivd f () é ul, ou sej, f ( ) Prov: Sej fução f ( ) k, etão pel defiição de Pel defiição de tgete, temos f ( h) f ( ) tg lim f ( o ) h h Eemplo: Utilizdo defiição de derivd, clcule derivd d fução f : IR Resolução: f ( ) lim lim h h IR, f ( ), o poto (,) f ( h) f ( ) ( h) f ( ) lim h h h h h h h( ) lim lim h h h h f ( ) f () 6 derivd, segue: f ( ) lim f ( h) f ( ) k k f ( ) lim h h h h lim lim h h h Proposição Derivd d fução fim Sej : IR IR, f ( ) b f um fução fim, etão f ( ) Prov: Sej fução f ( ) b, etão pel defiição de derivd, segue: f ( ) lim h f ( h) f ( ) [ ( h) b] ( b) f ( ) lim h h h h b b h lim lim lim h h ho h h Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção Proposição Derivd d fução potêci Sej f : IR IR, f ( ) ( IR), um fução potêci, etão f ( ) Prov: Sej fução derivd, segue: f ( ) lim h Epdido Sej ( f ( ) lim h h( lim h lim h f ( ), etão pel defiição de f ( h) f ( ) ( h) f ( ) lim h h h ( h),pelo biômio de Newto, temos: ( )! h h! h ( )!! h ( )!! h h h h Proposição Derivd d som h h h ) h ) Sejm f() e g() dus fuções deriváveis, e s() um fução defiid por s( ) f ( ) g( ) etão, derivd d fução s() é postil de Mtemátic plicd Computção s ( ) f ( ) g( ) Proposição Derivd do produto Sejm f() e g() dus fuções deriváveis, e p() um fução defiid por p( ) f ( ) g( ) etão, derivd d fução d P() é p ( ) f ( ) g( ) g( ) f ( ) Proposição 6 Derivd do quociete Sejm f() e g() dus fuções deriváveis, e q() um f ( ) fução defiid por q( ) etão, derivd d f ( ) fução d q() é f ( ) g( ) f ( ) g( ) q ( ) g( ) s provs ds proposições, e 6 form omitids, ms o livro cálculo (6ª Edição), s págis e 6, s mesms são presetds Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção postil de Mtemátic plicd Computção tividde Clcule s derivds ds seguites fuções: f ( ) f ( t) t t t f ( r) r y f ( u) ( )( u ) 6 f ( ) 7 9 f ( ) y 8 y f ( ) Eemplos Supohmos que um utomóvel populr custe R$, o fil de dezembro, gor, o fil de juho, está custdo vrição médi deste utomóvel? vlor( juho) vlor( dezembro) 8 TVM t ( juho) t ( dezembro) 6 Ou sej, TVM é de reis/mês R$ 8, Qul t de 6 ssim, fução C f ( t) t represete o custo mesl cd mês deste utomóvel T de vrição isttâe: derivd Defiição 6 T de vrição médi: sej f() um fução, t de vrição médi pr est fução é defiid por y TVM Defiição 6 T de vrição isttâe ( Derivd): Defie-se t de vrição isttâe como sedo o limite d TVM qudo, ou sej TVI lim y lim f ( ) f ( ) Eemplo: Cosideremos como eemplo fução y =, =,, e fremos pel sequêci,;,;,; ;;,; etc Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção postil de Mtemátic plicd Computção + f() =, = f ( ) ( ) y ( ) y,,,,,,,,,,,,,,,,,,6,6,,,,,,,,,,, Podemos otr que, medid que, rzão y icremetl, isto quer dizer que t de vrição isttâe (ou derivd) d fução y =, qudo = é Derivd d Fução Compost Regr d Cdei Cosideremos iicilmete dus fuções deriváveis f e g ode y = g(u) e u = f () Pr todo tl que f() est o domíio d g, podemos escrever y = g(u) = g[f()], isto é, podemos cosiderr fução compost (gof)() Teorem : Se y = g(u) e u = f() e s derivds dy/d e du/d eistm, etão fução compost y = g[f()] tem derivd que é dd por dy dy du ou y ( ) g( u) f ( ) d du d prov deste teorem pode ser ecotrd o livro Cálculo (6ªedição) pg9 Eemplo: Clculr derivd d fução t t 7 f ( t) ) Resolução: f ( t) [ t t ] (t t f ( t) 7 f 7 7 t t ] (t t ) t t 6 ( t) 7(6t t) Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção postil de Mtemátic plicd Computção tividde 6 ) Ecotre s derivs d fuções bio: f ( ) b) f ( t) t ) c) y ( ) d) f 8 ( ) 6 7 c) quts pessos serão tigids pel epidemi o º di? ) demd D de um certo produto está relciod com seu peço p pel relção D Determie p t isttâe, qul demd está vrido em relção o preço, qudo p = R$, ) Um cidde X é tigid por um epidemi Os setores de súde clculm que o úmero de pessos tigids pel epidemi depois de um tempo t (medido em dis prtir do primeiro di d epidemi) é proimdmete, ddo por: f ( t) 6t t ) Qul rzão d epsão d epidemi o tempo t =? b) Qul rzão d epsão d epidemi o tempo t = 8? Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção postil de Mtemátic plicd Computção 6 INTEGRL 6 Itegrl Idefiid (Primitiv ou ti-derivd) Itrodução: O processo cohecido como itegrção, pode ser etedido como operção ivers d derivção, ou sej o cálculo de um itegrl é um processo de ti-derivd Defiição 66 - (Primitiv de um fução): Sej f : I IR um fução cotíu, defiid o itervlo berto I, etão, eiste um fução, chmd de primitiv de f Isto é, eiste um fução derivável se I, F' ( ) f ( ) F : I IR tl que, Proposição 7: Sej F() um primitiv de f() Etão, se k é um costte qulquer, fução G(X) = F() + c tmbém tem primitiv f() Prov: Como F() é primitiv de f(), pel defiição temos que F () = f(), ssim: G ()=(F()+c) = F ()+c =F () + = F (), O que prov que G() é primitiv de f() Eemplos: ) primitiv de é, pois ' ) primitiv de é, pois: ' tividde 7 ) Ecotre um primitiv pr s fuções: ) f() = b) f()= c) f(t) = t Defiição 67 (Itegrl idefiid): Se F() é um primitiv de f(), epressão F() + c é chmd itegrl idefiid d fução f() e é deotd por f ( ) d F( ) c F'( ) f ( ) Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção 6 Not: O símbolo f ( ) d, represet um fmíli de postil de Mtemátic plicd Computção tividde 8 fuções, ou sej, fmíli de tods s primitivs d fução itegrdo Proposição 8: Sejm f etão: : I IR e k um costte rel, kf ( ) d k f ( ) d Proposição 9: Sejm f, g : I IR, etão: ( ) g( ) d f ( ) d f g( ) d s provs ds proposições 8 e 9 form omitids, ms o livro cálculo (6ª Edição), pági, s mesms são presetds Regrs Prátics: Itegrl idefiid d fução potêci: ) clcule s itegris idefiids seguir: ) d b) ( ) d c) (t 7t ) dt e) v vdv d) u du f) d ) Derivr s resposts ds itegris idefiids teriores pr coferir os resultdos u u du c( ) Itegrl de du: du u c Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção 7 postil de Mtemátic plicd Computção 6 Itegrl e regr d cdei Método de substituição ou mudç de vriável pr itegrção Defiição 68: Se f : I IR, defiid o itervlo berto I, é derivável, defiimos diferecil de f como df dy f '( ) d Observção : oção de diferecil é dequd pr o processo de itegrção Isto é, dd um diferecil dy f ( ) d, queremos ecotrr s fuções primitivs de y F() que relizm ess equção como diferecil dy F' ( ) d Teorem : Sejm u = g() um fução difereciável defiid em um itervlo berto J IR e f : I IR IR um fução cotíu tis que Im( g) Dom( f ) Etão: f ( g( )) g( ) d f ( u) du F( u) c F( g( )) c Ode F : I IR IR é um primitiv de f Demostrção: Bst clculr derivd de H() = F(g()) Relmete, H ( ) F( g( )) g( ) f ( g( )) g( ) Isto mostr que H () = F(g()) é um primitiv de f(g())g () Em outrs plvrs, sejm f() e F() dus fuções tis que F () = f() Supohmos um outr fução tmbém derivável g(), tl que imgem de g estej cotid o domíio d F Podemos cosiderr etão, fução compost Fog = F(g()); pel regr d cdei temos: F( g( )) F( g( )) g( ) f ( g( )) g( ) Isto é, F(g()) é um primitiv de f(g()) g (), di temos que f ( g( )) g( ) d F( g( )) c II Fzedo u = g(), du = g ()d e substituido em II, vem f ( g( )) g( ) d f ( u) du F( u) c Eemplos: Resolv s itegris: ) ( ) d ) d Resolução: I Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção 8 postil de Mtemátic plicd Computção du ) Fzedo u du d d Voltdo itegrl origil: Pel regr d Cdei, temos: I I ( ) d 6 6 u u u u du c c c 6 Voltdo em u ( ) I 6 c ) fzedo u u, di: du d du d Voltdo itegrl origil: I d ( u ) Portto: udu I ( u ) udu ( u ) u du ( u u ) du I u du Voltdo em I ( ) u u u u du c I u u ( ) c u c u c Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção 9 postil de Mtemátic plicd Computção tividde 9 ) Resolv s itegris bio plicdo o método de substituição ou mudç de vriável pr itegrção: t b) dt t ) 7 d d c) ( ) 8 6 Itegrl Defiid Defiição 69: Sej f: [, b] R um fução defiid o itervlo fechdo e limitdo [, b] e sej um prtição de [, b] Pr cd i =,,,, escolhemos um poto ci [i, i] Defiimos Som de Riem de f, reltiv à prtição P e à escolh dos potos ci por t d) dt e) t v v dv ) plicção d itegrl idefiid: DeWitt Compy descobriu que t de vrição de seu custo médio pr ' C ( ) um produto é, ode é o úmero de uiddes e o custo est em dólres O custo médio pr produzir uiddes é $, S( f, ) i f ( c i ) i ) Ecotre fução custo médio pr o produto b) Ecotre o custo médio de uiddes do produto Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção 6 postil de Mtemátic plicd Computção Defiição 7: itegrl defiid d fução f : [, b] R é o limite ds sus Soms de Riem qudo s orms ds prtições tedem à zero: b f ( ) d lim S( f, ) Defiição 7: Sej f: [, b] R um fução cotíu São válids s seguites firmções: i Sej c, b ii b Etão f ( ) d f ( ) d f ( ) d b c c Teorem : Se f é um fução cotíu sobre o itervlo fechdo, b, etão f é cotiu em, b Observção : demostrção deste teorem será ocultd, devido ão ecessidde o curso Proposição : Sej f: I R um fução cotíu defiid em itervlo I Se, b e c I, etão b f ( ) c d f ( ) d f ( ) Observção : prov dest proposição pode ser ecotrd o livro Cálculo (Div Mríli Flemmig), 6ª Edição pgi 6 Proposição : Sejm f,g: [, b] R fuções cotíus, k R e um costte Etão b b c b d i ( f g)( ) d f ( ) d g( ) d ii b k f ( ) d k f ( ) b Observção : prov dest proposição pode ser ecotrd o livro Cálculo (Div Mríli Flemmig), 6ª Edição pági 6 d b Prof Me Luiz Herique Moris d Silv
UNIFEB Sistems de Iformção 6 postil de Mtemátic plicd Computção 6 Iterpretção geométric d itegrl I Se f: [, b] R é um fução cotíu tl que f(), pr todo [, b], etão o limite f ( ) d é áre d região determid pelo gráfico de f, pelo eio O e pels rets verticis = e = b II De meir gerl, se f : [, b] R é um fução b cotíu, etão f ( ) d é som ds áres orietds b ds regiões determids pelo eio O e pelo gráfico de f, etre s rets verticis = e = b Isto é, s regiões que ficm bio do eio O cotribuem com os vlores egtivos de sus áres equto que s regiões que ficm cim do eio cotribuem com os vlores positivos de sus áres Vej um eemplo gráfico Teorem (Teorem Fudmetl do Cálculo):Sej f: I R é um fução cotíu defiid o itervlo berto I e sej F: I R um primitiv de f Etão, se [, b] I, b f ( ) d F( b) F( ) Observção : prov dest proposição pode ser ecotrd o livro Cálculo (Div Mríli Flemmig), 6ª Edição pgi 6 67 Prof Me Luiz Herique Moris d Silv