UNEMAT Uiversidade do Estado de Mato Grosso Campus Uiversitário de Siop Faculdade de Ciêcias Eatas e Tecológicas Curso de Egeharia Civil Disciplia: Cálculo Diferecial e Itegral I Lista de Eercícios Método de Newto Supoha que a reta y = é tagete à curva y = f ( quado =. Se for usado o método de Newto para localizar uma raiz da equação f ( = 0 com a aproimação iicial =, ecotre a seguda aproimação. A fução y = é tagete a f ( em =. Etão o zero da liha tagete é a ª aproimação de f (. Assim sedo, = 0 = 0,8. Use o método de Newto com o valor iicial especificado para ecotrar, a terceira aproimação da raiz da equação dada. (Dê sua resposta com quatro casas decimais. a = 0, = f ( = = f ( f ( = + f ( + = ª aproimação ( : ( ( ( ( = = = ( =,0000 =,0000 ª aproimação ( : ( ( ( ( = = = =,60 8 =,60 Págia de
UNEMAT Uiversidade do Estado de Mato Grosso Campus Uiversitário de Siop Faculdade de Ciêcias Eatas e Tecológicas Curso de Egeharia Civil Disciplia: Cálculo Diferecial e Itegral I b + = 0, = f ( = + f ( = f ( = + f ( + + = ª aproimação ( : ( + ( + 6 = = = = =,000 =,000 ª aproimação ( : ( + (, +, 0,88 = =, =, + =,9 0,68 Use o método de Newto para aproimar 7 000 correto até a oitava casa decimal. Ecotrar o valor da epressão 7 000 equivale a determiar a 7 raiz da equação 000 = 0. Dessa forma, tomamos f 7 ( = 000 f 7 ( = 000 f ( = 7 6 f ( = + f ( 7 + = 6 7 000 Págia de
UNEMAT Uiversidade do Estado de Mato Grosso Campus Uiversitário de Siop Faculdade de Ciêcias Eatas e Tecológicas Curso de Egeharia Civil Disciplia: Cálculo Diferecial e Itegral I 7 7 7 Como < 000 <, podemos adotar como primeira aproimação = ou =. Adotaremos, para este eercício, as duas cosiderações para a ª aproimação, com a fialidade de verificar a rapidez da covergêcia. ª aproimação: = e = = = + +,00000000,9687,00000000,76797,9687,069,76797,690087,069,00,690087,6876,00,777766,6876,686980,777766,698698,686980,686980,698698,6878860 - -,6878860,686980 - -,686980,686980 - - OBS: Dados obtidos em plailha eletrôica. Para =, 8 9 =,686980 e para =, 6 =,686980. Portato: 7 000 =,686980 está correta até a oitava casa decimal. Podemos também traçar um gráfico para verificarmos o itervalo em que a raiz se ecotra. Pelo gráfico abaio, ota-se que a raiz (úica ecotra-se o itervalo (,. 00 900 700 00 00 f( = 7-000 00 -,00 -,00 -,00-000,00,00,00,00,00-00 -00-700 -900-00 Págia de
UNEMAT Uiversidade do Estado de Mato Grosso Campus Uiversitário de Siop Faculdade de Ciêcias Eatas e Tecológicas Curso de Egeharia Civil Disciplia: Cálculo Diferecial e Itegral I Aplicado um zoom o itervalo (,, verificamos que a raiz ecotra-se o itervalo (,60;,70 coforme a figura a seguir. 00 900 700 00 f( = 7-000 00 00-00,00,0,0,0,0,0,60,70,80,90,00-00 -00-700 -900-00 Aplicado um zoom o itervalo (,60;,70, verificamos que a raiz ecotra-se o itervalo (,68;,69 coforme a figura a seguir. 00 900 700 00 00 00-00,60,6,6,6,6,6,66,67,68,69,70-00 -00 f( = 7-000 -700-900 -00 Coclui-se que a aplicação de zooms facilita a idetificação da raiz. Porém, sua precisão fica limitada a poucas casas decimais e se tora trabalhosa. Dessa forma justifica-se o uso do método de Newto para melhores precisões. Págia de
UNEMAT Uiversidade do Estado de Mato Grosso Campus Uiversitário de Siop Faculdade de Ciêcias Eatas e Tecológicas Curso de Egeharia Civil Disciplia: Cálculo Diferecial e Itegral I Também é possível verificar por que a covergêcia para = é mais rápida do que para =. Isso se deve ao fato da reta tagete que determia a ª aproimação para = ecotrar-se mais próima da raiz do que a ª aproimação para =. Trace as retas tagetes e verifique esse fato. Use o método de Newto para aproimar a raiz idicada da equação, correta até a seta casa decimal. a A raiz de + = 0 o itervalo [, ] f ( = + f = + ( f ( = + f ( + = + + ª aproimação: =, =, +,00000,76,76,86,86,878,878,878,878,878 OBS: Dados obtidos em plailha eletrôica. de Como 6 =,878, o valor de 6 =,878 é a raiz + = 0 correta até a seta casa decimal. b A raiz positiva de cos = Comecemos com os gráficos de cos e mesmo sistema de eios ortogoais. colocados em um Págia de
UNEMAT Uiversidade do Estado de Mato Grosso Campus Uiversitário de Siop Faculdade de Ciêcias Eatas e Tecológicas Curso de Egeharia Civil Disciplia: Cálculo Diferecial e Itegral I 0 - - - - 0 - - - Pelo gráfico, verificamos que a solução positiva de cos = 0,;,, está próima de. Aplicado um zoom o itervalo de ( podemos observar com maior detalhe essa proimidade, sugerido que serão ecessárias poucas iterações para se chegar à raiz da equação. 0 0, 0,7 0,9,,, - - - Se cos =, etão cos = 0 Portato: f ( = cos f ( = se Págia 6 de
UNEMAT Uiversidade do Estado de Mato Grosso Campus Uiversitário de Siop Faculdade de Ciêcias Eatas e Tecológicas Curso de Egeharia Civil Disciplia: Cálculo Diferecial e Itegral I f ( = + f ( + se cos = cos = + se + + ª aproimação: = = +,000000,08,08,098,098,098 OBS: Dados obtidos em plailha eletrôica. de Como =,098, o valor de =,098 é a raiz cos 0 = correta até a seta casa decimal. Use o método de Newto para ecotrar todas as raízes da equação corretas até a seta casa decimal. a e = Comecemos com os gráficos de mesmo sistema de eios ortogoais. e e colocados em um 0 - - - - 0 - - Págia 7 de
UNEMAT Uiversidade do Estado de Mato Grosso Campus Uiversitário de Siop Faculdade de Ciêcias Eatas e Tecológicas Curso de Egeharia Civil Disciplia: Cálculo Diferecial e Itegral I Pelo gráfico, verificamos que a solução positiva de e = 0,. Aplicado um zoom esse itervalo, observamos está o itervalo ( que a solução ecotra-se próima de 0,6. 0 0,0 0, 0, 0,6 0,8,0 Se e =, etão e + = 0 Portato: f ( = e + f ( = e + f ( = + f ( e = + + e + ª aproimação: = 0,6 = 0,6 + 0,600000 0,9 0,9 0,90 0,90 0,90 OBS: Dados obtidos em plailha eletrôica. Como = 0,90, o valor de = 0,90 é a raiz de e + = 0 correta até a seta casa decimal. Págia 8 de
UNEMAT Uiversidade do Estado de Mato Grosso Campus Uiversitário de Siop Faculdade de Ciêcias Eatas e Tecológicas Curso de Egeharia Civil Disciplia: Cálculo Diferecial e Itegral I b + = Comecemos com os gráficos de + e mesmo sistema de eios ortogoais. colocados em um 8 7 6 0 - - - 0 - Pelo gráfico, otamos a eistêcia de duas raízes: uma egativa, situada o itervalo (, e outra positiva, situada o itervalo (,. Para defiirmos a aproimação iicial, aplicamos um zoom esses itervalos. 0 -,0 -,8 -,6 -, -, -,0 - Págia 9 de
UNEMAT Uiversidade do Estado de Mato Grosso Campus Uiversitário de Siop Faculdade de Ciêcias Eatas e Tecológicas Curso de Egeharia Civil Disciplia: Cálculo Diferecial e Itegral I 6 0,0,,,6,8,0 Pelos gráficos acima dispostos, verificamos a eistêcia de raízes próimas a =, e =,, respectivamete. Se + =, etão + = 0 Portato: f ( = + f ( = + f ( = + f ( + + = + ª aproimação: =, e =, = -, =, + + -,00000 -,6879,00000,90 -,6879 -,6606,90,976 -,6606 -,60,976,9 -,60 -,60,9,60 -,60 -,606,60,67 -,606 -,60,67,67 -,60 -,60 - - OBS: Dados obtidos em plailha eletrôica. Págia 0 de
UNEMAT Uiversidade do Estado de Mato Grosso Campus Uiversitário de Siop Faculdade de Ciêcias Eatas e Tecológicas Curso de Egeharia Civil Disciplia: Cálculo Diferecial e Itegral I Como 7 8 =,60, o valor de 7 8 =,60 é a raiz egativa de positiva de + = 0 correta até a seta casa decimal. Como 6 7 =,67, o valor de 6 7 =,67 é a raiz + = 0 correta até a seta casa decimal. 6 (a Aplique o método de Newto à equação a = 0 para deduzir o seguite algoritmo para a raiz quadrada (usado pelos atigos babilôios para computar a. + a = + f ( = a f ( = f ( = + f ( + a = a = + + a = + + a = + + + a = + (b Use a parte (a para computar decimal. 000 correta até a seta casa Usaremos = 0, pois 0 = 900 e está próimo de 000. Págia de
UNEMAT Uiversidade do Estado de Mato Grosso Campus Uiversitário de Siop Faculdade de Ciêcias Eatas e Tecológicas Curso de Egeharia Civil Disciplia: Cálculo Diferecial e Itegral I = 0 + 0,000000,666667,666667,6807,6807,6777,6777,6777 OBS: Dados obtidos em plailha eletrôica. Como =,6777, o valor de =,6777 é a 000 correta até a seta casa decimal. 7 (a Use o método de Newto com = para ecotrar a raiz da equação = correta até a seta casa decimal. Se =, etão = 0 Portato: f ( = f = ( f ( = + f ( + = ª aproimação: = = +,000000,00000,00000,786,786,00,00,78,78,78 OBS: Dados obtidos em plailha eletrôica. de Como 6 =,78, o valor de 6 =,78 é a raiz = 0 correta até a seta casa decimal. Págia de
UNEMAT Uiversidade do Estado de Mato Grosso Campus Uiversitário de Siop Faculdade de Ciêcias Eatas e Tecológicas Curso de Egeharia Civil Disciplia: Cálculo Diferecial e Itegral I (b Resolva a equação da parte (a usado como aproimação iicial = 0,6. raiz de ª aproimação: = 0,6 = 0,6 + 0,600000 7,900000 7,900000,9680,9680 7,980 7,980,6909,6909,6996,6996,089,089,809,809,60,60,9,9,9,9,78,78,78 OBS: Dados obtidos em plailha eletrôica. Como =,78, o valor de =,78 é a = 0 correta até a seta casa decimal. (c Resolva a equação da parte (a utilizado = 0,7. ª aproimação: = 0,7 = 0,7 + 0,70000 -,6 -,6-6,9-6,9 -,0809 -,0809-6,0687-6,0687-0,78-0,78-7,6-7,6 -,8070 -,8070 -, -, -,967 -,967 -,96867 -,96867-0,9976-0,9976-0,960-0,960 -,896 -,896 -,96796 -,96796 -, Págia de
raiz de UNEMAT Uiversidade do Estado de Mato Grosso Campus Uiversitário de Siop Faculdade de Ciêcias Eatas e Tecológicas Curso de Egeharia Civil Disciplia: Cálculo Diferecial e Itegral I -, -0,87087-0,87087-0,999-0,999 -,99 -,99-0,79-0,79 0, 0, -,7 -,7 -,890 -,890-0,79-0,79 0,778 0,778 -,9787 -,9787 -,00 -,00-0,899-0,899-0,0099-0,0099 -,986 -,986-0,69-0,69,7009,7009,6000,6000,88,88,79,79,78,78,78 OBS: Dados obtidos em plailha eletrôica. Como 6 7 =,78, o valor de 6 7 =,78 é a = 0 correta até a seta casa decimal. (d Faça o gráfico de f ( = e suas retas tagetes em =, = 0,6 e = 0,7 para eplicar por que o método de Newto é tão sesível ao valor da aproimação iicial. ( = m = f ( = m = ( = f ( = f ( = Portato, a reta tagete passa pelo poto de coordeadas (, com icliação igual a. y y0 = m( 0 y + = ( y = y = ( = 0,6 m = f (0,6 = 0,6 m = 0,08 ( = 0,6 f (0,6 = 0,6 0,6 f (0,6 =,8 Págia de
UNEMAT Uiversidade do Estado de Mato Grosso Campus Uiversitário de Siop Faculdade de Ciêcias Eatas e Tecológicas Curso de Egeharia Civil Disciplia: Cálculo Diferecial e Itegral I Portato, a reta tagete passa pelo poto de coordeadas (0,6;,8 com icliação igual a 0,08. y y0 = m( 0 y +,8 = 0,08 ( 0,6 y = 0,08 0,08,8 y = 0,08, ( = 0,7 m = f (0,7 = 0,7 m = 0,0 ( = 0,7 f (0,7 = 0,7 0,7 f (0,7 =,8807 Portato, a reta tagete passa pelo poto de coordeadas (0,7;,8807 com icliação igual a 0,0. y y0 = m( 0 y +,8807 = 0,0 ( 0,7 y = 0,0 + 0,0,8807 y = 0,0,7086,0 0,0 -,0-0, 0,0 0,,0,,0 -,0 -,0 -,0 -,0 -,0 Págia de
UNEMAT Uiversidade do Estado de Mato Grosso Campus Uiversitário de Siop Faculdade de Ciêcias Eatas e Tecológicas Curso de Egeharia Civil Disciplia: Cálculo Diferecial e Itegral I,0 0, Curva = = 0,6 = 0,7 0,0 0, 0,6 0,7 0,8 0,9,0, -0, -,0 -, y = 0,08 -, y = -0,0 -,7086 -,0 y = - -, -,0 Pela figura, vemos que a tagete em = resulta em uma sequêcia de aproimações que covergem rapidamete ( 6. A tagete correspodete a = 0,6 está perto da horizotal. Cotudo, está loge da raiz. Porém, a sequêcia aida coverge, mas um pouco mais letamete (. Fialmete, a tagete correspodete a = 0,7 é muito próima da horizotal, sedo mais distate da raiz, e a sequêcia ecessita de mais iterações para covergir ( 6 7. 8 (a Use o método de Newto para ecotrar os úmeros críticos da fução f ( = 8 + 6 + corretos até a terceira casa decimal. Relembre que os úmeros críticos ocorrem ode a derivada primeira é igual a zero. Comecemos com o gráfico de um sistema de eios ortogoais. 8 + + disposto em Págia 6 de
UNEMAT Uiversidade do Estado de Mato Grosso Campus Uiversitário de Siop Faculdade de Ciêcias Eatas e Tecológicas Curso de Egeharia Civil Disciplia: Cálculo Diferecial e Itegral I 00 00 0 - - 0 6 7 8-00 -00-00 -00-00 -600 No gráfico acima, verificamos a eistêcia de raízes os seguites itervalos: (,0, (0, e (6,7. f ( = 8 + 6 + f = + + ( 8 f = + ( 6 68 Portato: g( = 8 + + e g = + ( 6 68 g( = + g ( 8 + + + = 6 68 + ª aproimação: = 0,, = 0, e = 6 X = -0, = 0, = 6 + + + -0,00-0,7 0,00 0,667 6,000 7,0-0,7-0, 0,667 0,66 7,0 6,8-0, -0, 0,66 0,6 6,8 6,80 - - 0,6 0,6 6,80 6,80 OBS: Dados obtidos em plailha eletrôica. Págia 7 de
UNEMAT Uiversidade do Estado de Mato Grosso Campus Uiversitário de Siop Faculdade de Ciêcias Eatas e Tecológicas Curso de Egeharia Civil Disciplia: Cálculo Diferecial e Itegral I Portato, = 0,; 0,6 e 6,80 são todos os úmeros críticos corretos até a terceira casa decimal. (b Ecotre o valor míimo absoluto correto até duas casas decimais da fução f ( = 8 + 6 + o itervalo de 7. Iicialmete, calculamos os etremos da fução dada, ou seja, f ( e f (7. Relembre a Aula : Etremos e o Teste da Derivada Primeira (slide 9. f (,00 Em seguida, calculamos f ( 0,, f (0,6 e f (6,80. f (7.99,00 f ( 0, 6,9 f (0,6 0,98 f (6,80.99,07 Portato, f (6,80.99,07 é o míimo absoluto correto para duas casas decimais. 9 Use o método de Newto para ecotrar o valor míimo absoluto da fução f ( = + se correto até a quarta casa decimal. Relembre que os úmeros críticos ocorrem ode a derivada primeira é igual a zero. Comecemos com o gráfico de + cos disposto em um sistema de eios ortogoais. Págia 8 de
UNEMAT Uiversidade do Estado de Mato Grosso Campus Uiversitário de Siop Faculdade de Ciêcias Eatas e Tecológicas Curso de Egeharia Civil Disciplia: Cálculo Diferecial e Itegral I 0 0-8 -6 - - 0 6 8 - -0 - No gráfico acima, verificamos a eistêcia de uma raiz o itervalo (,0. Aplicado um zoom o itervalo de (,0, verificamos que a raiz ecotra-se o itervalo ( 0,;0. -,0 -, -,0-0, 0,0 0,,0,,0 - - - f ( = + se f ( = + cos f ( = se Portato: g( = + cos e g ( = se Págia 9 de
UNEMAT Uiversidade do Estado de Mato Grosso Campus Uiversitário de Siop Faculdade de Ciêcias Eatas e Tecológicas Curso de Egeharia Civil Disciplia: Cálculo Diferecial e Itegral I g( = + g ( + + cos = se ª aproimação: = 0, = -0, + -0,000-0,06-0,06-0,0-0,0-0,0 OBS: Dados obtidos em plailha eletrôica. Como f ( = se > 0 (Relembre a Aula Cocavidade e o Teste da Derivada Seguda slide, para todo (lembre que se, f ( 0,0 0, é o míimo absoluto. 0 Use o método de Newto para ecotrar as coordeadas do poto cos de ifleão da curva y = e, 0 π, corretas até a seta casa decimal. y = e cos = cos y e se cos ( ( = + cos y e cos se e se cos y = e cos se cos y = e se cos Relembre que os potos de ifleão (PI ocorrem ode a derivada seguda é igual a zero. Comecemos com os gráficos de = ortogoais. cos y e se cos y cos = e e dispostos em um sistema de eios No itervalo de 0 π há somete um valor ode f ( = 0, situado o itervalo (0,. Págia 0 de
UNEMAT Uiversidade do Estado de Mato Grosso Campus Uiversitário de Siop Faculdade de Ciêcias Eatas e Tecológicas Curso de Egeharia Civil Disciplia: Cálculo Diferecial e Itegral I cos Como e 0, aplicaremos o Método de Newto com a fução g( = se cos. g( = se cos g ( = se cos + se,0,0 y = e cos,0 0,0-6,0 -,0 -,0 0,0,0,0 6,0 -,0 -,0 y" = e cos (se - cos -,0 g( = + g ( + se cos = se cos + se ª aproimação: =,0 = +,000000 0,907 0,907 0,907 0,907 0,907 OBS: Dados obtidos em plailha eletrôica. Para = 0,907, temos ( cos 0,907 f ( = e =,877. Portato, as coordeadas do PI, corretas até a seta casa decimal são ( 0,907;,877. Págia de