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SEMELHANÇA DE FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS Um conceito muito utilizado em Geometria é a ideia de figuras semelhantes. Ele vem sendo utilizado desde a Antiguidade. Uma ampliação, uma redução e até uma congruência são exemplos claros de semelhança. Para que duas ou mais figuras sejam semelhantes, duas condições são necessárias: Os ângulos correspondentes devem ser iguais. Os comprimentos correspondentes devem ser proporcionais. Entre as figuras geométricas planas que são sempre semelhantes, temos todos os círculos e todos os quadrados. E entre as que nem sempre são semelhantes temos os retângulos, os triângulos e os demais polígonos. SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Veremos agora um dos assuntos mais importantes da geometria, a semelhança de triângulos (que também está relacionado à polígonos semelhantes). Página
Observe os triângulos abaixo: A 80 R 80 B 60 40 C S 60 40 T Vamos formalizar para os triângulos: I) Aˆ R ˆ 80 Os ângulos correspondentes são Bˆ S ˆ 60 congruentes (mesma medida). Cˆ T ˆ 40 II) AB RS AC RT BC ST As medidas dos ângulos correspondentes são proporcionais Para verificar se dois ou mais triângulos são semelhantes, não é necessário verificar as duas condições acima, pois, se as medidas dos ângulos correspondentes forem congruentes, as medidas dos lados correspondentes (homólogos) serão proporcionais e vice-versa. TEOREMA FUNDAMENTAL DE SEMELHANÇA Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois lados em pontos distintos, então o triângulo determinado pela reta é semelhante ao primeiro. Página 3
A D E r B C r // B C ABC ~ AED Pelo Teorema de Tales, na figura acima, temos: AB AD AC AE BC DE SAIBA MAIS...De onde vimos e para onde vamos... Desde os tempos mais remotos, o homem sempre se preocupou com esta questão. Os astrónomos gregos calcularam a distância da Terra à Lua através de funções chamadas trigonométricas. Estas funções também eram utilizadas para determinar a localização dos navios e para representar matematicamente sons musicais. Tales de Mileto aprendeu com os egípcios a determinar a altura de uma árvore sem ter de subir ao seu topo, evitando assim sofrer uma perigosa queda. Para isso bastava medir a sombra da árvore. Página 4
H h s s S S Observe que a situação foi redesenhada na forma de triângulos Um método muito comum para se medir distâncias grandes, a pontos inacessíveis, é a triangulação. Na figura abaixo está esquematizado, como exemplo, a maneira de medir a distância de uma árvore localizada do outro lado de um rio, sem atravessá-lo: Tomando a árvore como um dos vértices, construímos os triângulos semelhantes ABC e DEC. BC é a linha de base do triângulo grande, AB e AC são os lados, que são as direções do objeto (a árvore) vistas de cada extremidade da linha base. Logo Como posso medir BC, DE e EC, posso calcular o lado AB e então, conhecer a distância da árvore. Página 5
Dica EQUAÇÃO CERTA: BASE MÉDIA DE UM TRIÂNGULO Quando um segmento une os pontos médios de dois lados de um triângulo, então ele é paralelo ao terceiro lado e mede a metade do terceiro lado! EXERCÍCIO RESOLVIDO (ENEM) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de, metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3, metros e alcançou uma altura de 0,8 metro. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é A) 1,16 metros. B) 3,0 metros. C) 5,4 metros. D) 5,6 metros. E) 7,04 metros RESOLUÇÃO Página 6
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS Área é uma função que associa a cada figura um número positivo que representa a Medida de sua superfície. Mais importante do que saber as fórmulas de área é entender o que represente a área de uma região plana. Admitindo a superfície de um quadrado de lado unitário como uma unidade quadrada, a área de uma região plana é o número que expressa a relação entre sua superfície e a superfície desse quadrado. Seja u a unidade de área: Fácil compreender, portanto, ainda que indutivamente, que a área do retângulo seja o produto de suas duas dimensões. I Principais áreas: Página 7
II Polígono Regular O Polígono regular de gênero n pode ser dividido, a partir do centro, em n triângulos isósceles congruentes. Página 8
Embora a área do polígono regular possa ser encontrada pelo produto do semi-perímetro pelo apótema, acaba sendo mais prático usar a estratégia que usamos para chegar a essa conclusão, ou seja, o polígono pode ser dividido em triângulos congruentes. III Círculo Consideremos os polígonos regulares inscritos no círculo, quanto maior é o número de lados do polígono, mais a sua área se aproxima da área do círculo. Ou seja, aumentando o número de lados do polígono inscrito num círculo, a área do polígono tende ser a área do círculo. Nesse processo, o perímetro do polígono tende a πr (comprimento da circunferência) e, o apótema, tende a ser o raio r. A área do círculo então, pode ser determinada como sendo a área do polígono cujo semi-perímetro é πr e apótema igual a r. Isto é: Vale ainda ressaltar: 1) Seja ABC um triângulo do qual se conhecem dois lados o ângulo formado por eles. Página 9
) Radical de Heron. A área do triângulo pode ser obtida em função de seus lados. 3) A área de um triângulo equilátero de lado l pode então ser determinada por: EXERCÍCIO RESOLVIDO Um fazendeiro doa, como incentivo, uma área retangular de sua fazenda para seu filho, que está indicada na figura como 100% cultivada. De acordo com as leis, deve-se ter uma reserva legal de 0% de sua área total. Assim, o pai resolve doar mais uma parte para compor a reserva para o filho, conforme a figura. Página 10
De acordo com a figura anterior, o novo terreno do filho cumpre a lei, após acrescentar uma faixa de largura x metros contornando o terreno cultivado, que se destinará à reserva legal (filho). O dobro da largura x da faixa é: A) 10% (a + b) B) 10% (a. b) C) a + b (a + b) D) (a + b) + ab (a + b) E) (a + b) + ab + (a + b) RESOLUÇÃO EXERCÍCIOS O PROFESSOR RESOLVE Página 11
01. (Enem) A sombra de uma pessoa que tem 1, 80m de altura mede 60cm. No mesmo momento, ao seu lado, a sombra projetada de um poste mede,00m. Se, mais tarde, a sombra do poste diminuiu 50cm, a sombra da pessoa passou a medir A) 30cm. B) 45cm. C) 50cm. D) 80cm. E) 90cm. 0. Um faraó solicitou ao sábio grego Tales de Mileto, em sua visita ao Egito, que calculasse a altura de uma pirâmide. Esse fato ocorreu em torno do ano 600 a.c., quando esse feito ainda não havia sido registrado por ninguém. Tales, próximo da pirâmide em questão, enterrou parcial e verticalmente um bastão no chão. Observando a posição da sombra, colocou o bastão deitado no chão, a partir do ponto em que foi enterrado, e marcou na areia o tamanho do seu comprimento. Feito isso, tornou a colocar o bastão na posição vertical. Quando a sombra do bastão ficou do seu comprimento, Tales mediu a sombra da pirâmide e acrescentou ao resultado a metade da medida do lado da base da pirâmide. Explicou, então, aos matemáticos que o acompanhavam que essa soma era a medida da altura da pirâmide. O principal fato matemático que pode explicar o raciocínio feito por Tales é dado por A) propriedades de ângulos retos. B) propriedades de triângulos. C) semelhança de triângulos. D) simetria entre os objetos e suas sombras. E) selações trigonométricas nos triângulos. Página 1
03. Marcelo mora em um edifício que tem a forma de um bloco retangular e, no topo desse edifício, está instalada uma antena de 0 metros. Após uma aula de matemática, cujo tema era semelhança de triângulos, Marcelo resolveu aplicar o que aprendeu com o professor Chaguinha para calcular a altura do prédio onde mora. Para isso, tomou algumas medidas e construiu o seguinte esquema: Página 13
A) 45. B) 50. C) 60. D) 65. E) 70. 04. No terreno ABC da figura, uma pessoa pretende construir uma residência, preservando a área verde da região assinalada. Se BC = 80m, AC = 10m e MN = 40m, a área livre para a construção, em metros quadrados, é de A) 1400. B) 1600. C) 1800. D) 000. E) 00. 05. A prefeitura vai reformar uma praça quadrada de 16 metros de lado e foi aprovado o seguinte projeto: Página 14
O construtor que ganhou a licitação faz apenas a parte da calçada e seu orçamento foi de R$ 53,00 o metro quadrado. O jardim será feito por funcionários da própria prefeitura, e esse custo para a Secretaria de Parques e Jardins será de R$ 5,00 o metro quadrado. Usando π = 3,1, podemos concluir que o valor total da obra será de A) R$ 6.400,00. B) R$ 8.310,40. C) R$ 10.790,40. D) R$ 11.480, 00 E) R$ 13.568,00. 06. O salão de festas de um prédio residencial tem 18 metros de largura, 9 metros de comprimento e um pé-direito de 4 metros. Possui, ainda, duas janelas de metros por 1,5 metro. Para pintar somente as paredes desse salão, uma empresa cobra R$ 30,00 por metro quadrado, incluindo material e mão de obra. O preço total da pintura é A) R$ 3.600,00. B) R$ 3.950,00. C) R$ 4.10,00. D) R$ 5.840,00. E) R$ 6.300,00. 07. Observe os números em relação aos vestibulares de engenharia em julho de 008: Página 15
O gráfico acima foi elaborado de maneira que a área de cada círculo fosse proporcional ao número que representa. Considerando que o círculo que indica o total de inscritos nos vestibulares tem 4,4 centímetros de raio, se quiséssemos representar com um círculo as vagas em engenharia elétrica, ele deveria ter uma área aproximadamente de Obs: utilize π= 3,14 A) 1,0 cm. B),6 cm. C) 5,4 cm. D) 6,0 cm. E) 8,1 cm. 08. Carla está projetando uma pequena barragem (B) no rio que passa pela sua propriedade rural. O estudo do projeto requer que seja determinada a vazão de cheia da bacia hidrográfica da qual o rio faz parte. A fórmula que faz esse cálculo, precisa, entre outros dados, da medida da área de drenagem da bacia do rio em estudo. A linha tracejada da figura define a área de drenagem da bacia do rio. Pode-se afirmar que toda a água precipitada nessa área, que não evaporar ou não se infiltrar mais profundamente, escoará através da seção B. (Adaptado de: Guia Prático Para Projetos de Pequenas Obras Hidráulicas - DAEE/SP) Para calcular a medida da área de drenagem, Carla copiou o mapa da bacia hidrográfica em um papel quadriculado e em seguida estimou quantos quadradinhos estão contidos nela: além dos quadradinhos inteiros do interior da região, considerou, em torno da borda, quadradinhos formados por meio de compensações. Página 16
Se na figura a área de cada quadradinho equivale a 0,05 km, a medida da área de drenagem é, em quilômetros quadrados, aproximadamente A) 0,5. B) 1,0. C) 1,5. D),0. E),5. 09. Um terreno com o formato mostrado na figura foi herdado por quatro irmãos e deverá ser dividido em quatro lotes de mesma área. Um dos irmãos fez algumas propostas de divisão para que fossem analisadas pelos demais herdeiros. Dos esquemas abaixo, onde lados de mesma medida têm símbolos iguais, o único em que os quatro lotes não possuem, necessariamente, a mesma área é Página 17
10. Na abertura da Olimpíada de Atenas, um Ulisses menino acenava de um barquinho nada épico, que parecia de papel. Suponhamos que sua construção tenha sido inspirada no barquinho mostrado na figura 1, que foi feito a partir de dobraduras de uma folha de papel retangular. Considere que, desmontado o barquinho, a folha de papel ficará com as marcas das dobras, conforme indica o tracejado na figura. Nessas condições, se o lado de cada quadrado sombreado mede 4 cm, a área da superfície da folha de papel, em centímetros quadrados, é A) 64. B) 80. C) 160. D) 19. E) 384. Página 18
SOLUÇÕES SOLUÇÃO 1ª QUESTÃO SOLUÇÃO ª QUESTÃO LETRA C SOLUÇÃO 3ª QUESTÃO Considerando x a altura, temos: Δ ABF ~ Δ ACE 0 1 x 60 m 0 x 1 36 SOLUÇÃO 4ª QUESTÃO Área Verde: A 60.40. sen30º 600 m Página 19
Área Total: 10.80. sen30º A 400 m Construção: A = 400 600 = 1800 SOLUÇÃO 5ª QUESTÃO 16 m A A A A C1 J C.8 3 99, m.16.8 3 99, m 4.16 16 57,6 4 99, 57,6 156,8 m Custo 156,8 53 8310,4 A calçada jar dim 16 m 99, Custo 156,8 53 8310,4 Total 10.790,4 SOLUÇÃO 6ª QUESTÃO paredes janelas Área.(18.4 9.4)..1,5 10 m Pr eço 10.30 6300 Página 0
SOLUÇÃO 7ª QUESTÃO 373449 16000 A 0,8 A,6 19,36 A SOLUÇÃO 8ª QUESTÃO Na figura identificamos três tipos de polígonos: 4 quadrados 6 triângulos =3 quadrados 4 trapézios = 3 quadrados A = 4 + 3 + 3= 30 = 30.0,05 = 1,5km SOLUÇÃO 9ª QUESTÃO Com as informações da figura (E) só é possível estabelecer igualdade entre as áreas 1 e e entre as áreas 3 e 4. SOLUÇÃO 10ª QUESTÃO A = 16. 4 = 384 Página 1