. Aula Resto e Teorema de Taylor revisitado. Seja f : D R uma fução e p,a (x) o seu poliómio de Taylor de grau. O resto de ordem foi defiido ateriormete como sedo a fução: R,a (x) := f(x) p,a (x). O resultado seguite forece uma outra expressão para o resto (otem que já tíhamos visto ateriormete a fórmula do resto de Lagrage), que facilita a determiação de estimativas para o seu valor. Teorema. (Teorema de Taylor). Seja f : [b, c] R uma fução tal que a sua derivada de ordem + existe e é uma fução itegrável. Seja a [b, c]. Etão: f(x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a)! ode o resto é dado pela fórmula: R,a (x) = x Demostração. Para cada t [b, c], temos que f(x) = f(t) + f (t)(x t) + f (t)! a (x a) + + f () (a) (x a) + R,a (x),! f (+) (t) (x t) dt, x [b, c].! (x t) + + f () (t) (x t) + R,t (x) = p,t (x) + R,t (x).! Vamos assumir que x é fixo e que t varia. Para isso é coveiete escrever S(t) := R,t (x), de forma que: f(x) = f(t) + f (t)(x t) + f (t)! (x t) + + f () (t) (x t) + S(t).! Derivado ambos os lado em relação a t, obtemos: [ f 0 = f (t) + [f (t)(x t) f ] (t) (t)] + (x t) f (t)(x t) + +! [ f (+) (t) + (x t) f () ] (t) (x t) + S (t)! ( )! Notem que todos os termos se cacelam dois a dois com excepção dos seguites dois termos: Segue-se que: S(x) S(a) = f (+) (t) (x t) + S (t) = 0.! x Como S(x) = 0 e S(a) = R,a (x), obtemos: a x S (t) dt = a f (+) (t) (x t) dt.! R,a (x) = S(a) S(x) = x a f (+) (t) (x t) dt.! Exemplo.. A expasão de Taylor com resto do seo, em x = 0, é dada por: se x = x x3 3! + x5 5! x7 x+ + + ( ) 7! ( + )! + Atededo a que se (+) (t), t, x 0 se (+) (t) (x t) + dt. ( + )!
podemos estimar facilmete o resto: x se (+) (t) (x t) + dt 0 ( + )! x ( + )! (x t) + dt 0 (x t) + t=x ( + )! + = x + ( + )!. Se, por exemplo, queremos calcular o valor de se com um erro iferior a 0.000 = 0 4, etão devemos escolher o atural de forma que: + ( + )! < 0 4. Experimetado =,,..., vemos que = 5 fucioa. Assim, se 3 3! + 5 5! 7 7! + 9 9! = 0, 9099! com um erro iferior a 0, 000. O úmero e é irracioal. Uma outra aplicação curiosa da fórmula do resto é a seguite: Teorema.3. O úmero e é irracioal. Demostração. Como (e x ) = e x a expasão de Taylor com resto da expoecial em x = 0 é: e x = + x + x! + x3 3! + x4 4! + + x! + x 0 t=0 e t! (x t) dt. Se t x etão e t e x, logo podemos estimar o resto, para x > 0, da seguite forma: x 0 e t! (x t) dt ex! Como sabemos que e = e 3, cocluímos que: x 0 (x t) dt = ex x + ( + )!. e = + +! + 3! + 4! + +! + R. ode o resto satisfaz 0 < R < 3/( + )!. Supohamos etão, por absurdo, que e era um úmero racioal a/b e escolha-se um atural > b e maior do que 3. Etão, obtemos:!a b =! +! +!! +! 3! +! 4! + +!! +!R. Como todos os termos, com excepção possivelmete de!r, são úmeros aturais, cocluímos que!r também tem de ser um úmero atural. Este úmero atural deverá satisfazer a desigualdade: 0 <!R <!3 ( + )! = 3 + < 3 4 <. Isto é uma cotradição, pois é claro que ão há ehum úmero atural etre 0 e.. Aula Sucessões Reais. Uma sucessão real ão é mais do que uma sequêcia ifiita de úmeros reais, como por exemplo,, 300, 3,, 5,... Usa-se ormalmete o cojuto N dos úmeros aturais para idexar os termos dessa sequêcia: Temos assim a seguite: u() =, u() =, u(3) = 300, u(4) = 3, u(5) =, u(6) = 5,...
3 Defiição.. Uma sucessão real é uma fução u : N R u(). Para cada N, desigaremos u() por termo geral ou termo de ordem da sucessão u, represetado-o ormalmete por u. Para o exemplo acima, escrevemos: u =, u =, u 3 = 300, u 4 = 3, u 5 =, u 6 = 5,... Usaremos qualquer dos símbolos u, (u ) N ou (u ) para represetar uma mesma sucessão real. Existem várias maeiras de explicitar exemplos particulares de sucessões reais, como se ilustra de seguida. Exemplo.. Uma sucessão real pode ser defiida através de uma fórmula explícita para o seu termo geral. Por exemplo: u = 3 (3, 3, 3,...) ; u = + 3 (5, 8,,...) ; u = 3 (6,, 4,...). Há duas classes muito importates de sucessões reais, cuja defiição pode ser feita usado uma fórmula explícita para o seu termo geral. Exemplo.3. Progressões Aritméticas sucessões caracterizadas pelo facto de u + u = costate, para todo o N. O seu termo geral é da forma u = a + ( )r, ode a, r R são respectivamete o primeiro termo e razão da progressão aritmética (u ) (otem que a difereça u + u = r é de facto costate). A sucessão u = +3 do Exemplo., é uma progressão aritmética, com primeiro termo a = 5 e razão r = 3. Exemplo.4. Progressões Geométricas sucessões caracterizadas pelo facto de u + /u = costate, para todo o N. O seu termo geral é da forma u = a r, ode a, r R são respectivamete o primeiro termo e razão da progressão geométrica (u ) (otem que o quociete u + /u = r é de facto costate). A sucessão u = 3 do Exemplo., é uma progressão geométrica, com primeiro termo a = 6 e razão r =. Exemplo.5. O termo geral de uma sucessão real pode também ser defiido por recorrêcia. Um exemplo famoso é dado pela sucessão de Fiboacci: cuja lista de termos é pois: u = u =, u + = u + + u, N. (,,, 3, 5, 8, 3,, 34,... ) Exercício.6. Defia por recorrêcia progressões aritméticas e geométricas, com primeiro termo a R e razão r R. Exemplo.7. Sucessões reais podem também ser defiidas por uma regra clara que permita idetificar, um a um, todos os seus termos. Um exemplo é a sucessão de todos os úmeros aturais primos, i.e. a sucessão (u ) cuja lista de termos é (,, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 3, 9,...). Não se cohece uma fórmula em termos de fuções elemetares que foreça o termo geral desta sucessão.
4 Limite de uma Sucessão. Ituitivamete, dizemos que uma sucessão (u ) tem por limite o úmero real a R se evetualmete todos os termos da sucessão (u ) se aproximam de a R. De uma forma matematicamete mais precisa, temos a seguite Defiição.8. A sucessão real (u ) diz-se covergete para o úmero real a R, ou que possui limite a, se ε > 0 N N : ( > N u a < ε). Neste caso escrevemos: lim u = a ou lim u = a ou aida u a. Exemplo.9. Vamos provar que u = 0. Supohamos dado um ε > 0 arbitrário. Existe um atural N N tal que 0 < N < ε. É imediato verificar que ( > N 0 < ε), provado-se assim que de facto () lim = 0. Nota.0. Observem que se pesarmos uma sucessão (u ) como uma fução u : N R, etão a defiição de limite de sucessões coicide precisamete com a oção de limite de fuções que estudámos ateriormete, i.e., temos que lim u = lim u(). + Exercício.. Mostre que o recíproco também é verdadeira: Se f : R R é uma fução e lim f(x) = l, x + etão a sucessão u := f() é covergete e lim u = l. Isto reduz muitas vezes o cálculo de limites de sucessões ao cálculo de limite de fuções como o seguite exemplo: Exemplo.. Seja 0 < a <. Para mostrar que: observamos que: pois log a < 0. lim a = 0, lim x + ax = lim x + ex log a = 0, Exercício.3. Completem este exemplo mostrado que: ão existe, se a, 0, se a <, lim a =, se a =, +, se a >. A correspodêcia etre limites de sucessões e limites de fuções, leva a que muitas das propriedades dos limites de fuções se estedam imediatamete a propriedades de limites de sucessões. Por exemplo, o limite de uma sucessão quado existe é úico. Listamos de seguida outras propriedades básicas, que vocês devem também verificar. Teorema.4 (Limites e Propriedades Algébricas). Se u a, v b, w c com c 0 e w 0, N, e se α R é uma costate, etão: (i) (u ± v ) a ± b (limite da soma = soma dos limites); (ii) (u v ) a b (limite do produto = produto dos limites); (iii) (u /w ) a/c (limite do quociete = quociete dos limites);
5 (iv) (α u ) α a. Exemplo.5. Usado as propriedades algébricas do limite, especificadas o Teorema.4: ode usámos e o facto de que lim = 0. lim 3 + + = lim (3 + ) ( + ) = lim 3 + + = 3 + 0 + 0 = 3, Teorema.6 (Limites e Relação de Ordem). Sejam (u ) e (v ) duas sucessões covergetes tais que u v para > N, etão. Exemplo.7. Para as sucessões lim u lim v. u := se(/) e v := se(/) + / temos que u v. Logo os seus limites, caso existam, satisfazem lim u lim v. Na verdade, estas sucessões covergem e podemos calcular facilmete estes limites: ( ) ( ) lim se = 0, pois lim se = se(0) = 0, x + x [ ( ) lim se + ] [ ( ) = 0, pois lim se + x ] x + x = se(0) + 0 = 0. Notem que apesar de u < v temos lim u = lim v = 0. Teorema.8 (Pricípio do Ecaixe ou da Sucessão Equadrada). Sejam (u ), (v ) e (w ) sucessões reais para as quais existe N N tal que > N u v w. Se (u ) e (w ) são covergetes com lim u = a = lim w, etão (v ) também é covergete e lim v = a. Exemplo.9. Para determiar lim ( ), observemos que para qualquer N tem-se ( ). Como lim = 0 = lim, cocluímos pelo Pricípio do Ecaixe que () lim ( ) = 0. Última Aula. 3. Aula lim u = a def ε > 0 N N : ( > N u a < ε). Vimos que esta oção de limite de uma sucessão (u ) correspode ao limite da fução u : N R: lim u = lim u(). + Limites de sucessões e de fuções. O resultado seguite estabelece a relação precisa etre limites de sucessões e de fuções: Teorema 3.. Seja f : D R R uma fução. (i) Se lim x a f(x) = l, etão para qualquer sucessão real (u ) D tal que u a, temos que a sucessão v := f(u ) é covergete e: lim f(u ) = l.
6 (ii) Reciprocamete, se existe l tal que para toda a sucessão (u ) D com u a temos lim f(u ) = l, etão f(x) tem limite quado x a e temos: lim f(x) = l. x a Demostração. Para mostrarmos (i), observamos que a sucessão v = f(u ) pode ser vista como uma fução composta v() = f(u()). Pelo resultado sobre limites de fuções compostas (Teorema??), como lim + u() = a e lim x a f(x) = l, obtemos: lim f(u ) = lim f(u()) = l. + Para mostrarmos (ii), supohamos por absurdo, que lim f(u ) = l, para toda a sucessão (x ) D com u a, mas que l ão é o limite de f(x) quado x a. Etão, existe um ε > 0 tal que para todo o δ > 0 existe um x D tal que: 0 < x a < δ e f(x) l > ε. Tomado δ =, obtemos para cada N um úmero x tal que 0 < x a < e f(x ) l > ε. Notem que a primeira codição garate que x a e a seguda codição garate que l ão é limite de f(x ), o que cotradiz a ossa hipótese. Exemplo 3.. Supohamos que queríamos calcular o limite: Recorremos ao Teorema 3. (i), observado que: lim (e ). lim (e ) = lim e e x = lim =. x 0 x Exemplo 3.3. Cosideremos a fução f(x) = se( x ). Se tomarmos a sucessão u = π temos que lim u = 0, e lim f(u ) = lim se(π) = lim 0 = 0. Por outro lado, para a sucessão v = π+π/ também temos que lim v = 0, mas lim f(v ) = lim se(π + π ) = lim se(π ) = lim =. Pelo Teorema 3. (ii), cocluímos que lim x 0 f(x) ão existe. Sucessões Moótoas e Limitadas. Os resultados que vimos ateriormete permitem calcular os limites de muitas sucessões a partir de maipulações o seu termo geral. No etato, por vezes, estamos iteressados em saber se uma dada sucessão é ou ão covergete, sem etrar uma aálise detalhada do seu termo geral. Vamos agora estudar critérios gerais que permitem decidir se uma sucessão é covergete. As seguites defiições são iteiramete aálogas ao que se passa com fuções (recordem-se que uma sucessão real u = (u ) ão é mais que uma fução u : N R). Defiição 3.4. Seja (u ) uma sucessão real. Etão: (i) (u ) diz-se crescete (resp. estritamete crescete) se u u + (resp. u < u + ) para todo o N. (ii) (u ) diz-se decrescete (resp. estritamete decrescete) se u u + (resp. u > u + ) para todo o N. (iii) (u ) diz-se majorada se existir M R tal que u M para todo o N. (iv) (u ) diz-se miorada se existir m R tal que u m para todo o N. Uma sucessão diz-se moótoa (resp. estritamete moótoa) se for crescete ou decrescete (resp. estritamete crescete ou decrescete). Uma sucessão diz-se limitada se for majorada e miorada. Exercício 3.5. Mostre que se uma sucessão é (u ) covergete, etão é limitada.
7 Notem que uma sucessão limitada pode ão ser covergete: a sucessão u = ( ) é claramete limitada, mas ão é covergete. No etato, temos o seguite resultado: Teorema 3.6. Seja (u ) uma sucessão real. (i) Se (u ) é crescete e majorada etão é covergete e: lim u = sup {u : N}. (ii) Se (u ) é decrescete e miorada etão é covergete e: lim u = if {u : N}. Em particular, toda a sucessão moótoa e limitada é covergete. Demostração. Faremos o caso em que (u ) é crescete e majorada (o caso em que (u ) é decrescete e miorada é completamete aálogo). Como a sucessão (u ) é majorada, temos que existe Queremos portato provar que a = sup {u : N} R. u a ε > 0 N N : ( > N u a < ε). Seja etão dado um ε > 0 arbitrário. Pela propriedade do supremo, existe algum u N tal que a ε < u N a. Como (u ) é crescete, vemos que para todo o > N: Temos etão que como se pretedia mostrar. u N u a a ε < u a. u a < ε para todo o > N, Nota 3.7. Decidir se uma uma dada sucessão moótoa é ou ão limitada pode ser uma problema difícil. Por exemplo, tetem decidir se a seguite sucessão crescete é ou ão majorada:, +, + + 3, + + 3 + 4, + + 3 + 4 + 5,... Veremos qual é a resposta uma das próximas aulas. É claro que, em geral, uma sucessão (u ) ão é moótoa. No etato, podemos sempre ecotrar detro dela sucessões moótoas. Mais precisamete, vamos defiir uma subsucessão da sucessão (u ) como sedo uma sucessão da forma: ode os úmeros aturais j satisfazem: u, u, u 3, u 4,... < < 3 < 4 < Lema 3.8. Toda a sucessão (u ) possui uma subsucessão moótoa. Demostração. Para efeitos da demostração, vamos chamar a um iteiro N um pico da sucessão (u ) se u < u N para todos os > N. Temos etão dois casos: Caso : A sucessão tem um úmero ifiito de picos. Neste caso, se N < N < N 3 <... são os picos, etão u N > u N > u N3 >, de forma que (u Nk ) é uma subsucessão decrescete. Caso : A sucessão tem um úmero fiito de picos. Neste caso, seja N o iteiro maior que todos esses picos. Como N ão é um pico, existe N N tal que u N u N. Como N ão é um pico, existe N 3 N tal que u N3 u N3. Cotiuado desta forma, obtemos uma subsucessão (u Nk ) crescete. Corolário 3.9 (Teorema de Bolzao-Weierstrass). Qualquer sucessão limitada tem subsucessões covergetes.
8 Sem mais hipóteses sobre uma sucessão (u ) ão podemos dizer mais ada. É possível dar exemplos de sucessões que tem subsucessões (pode até acotecer que em úmero ifiito!) covergido para limites diferetes. Exercício 3.0. Mostrem que uma sucessão (u ) é covergete para l sse todas as suas subsucessões covergem para l. Há o etato uma codição muito simples sobre os termos de uma sucessão que forece uma codição ecessária e suficiete de covergêcia. Iformalmete, essa codição é a de que os termos da sucessão se aproximam todos us dos outros. De forma precisa: Defiição 3.. Uma sucessão real (u ) diz-se uma sucessão de Cauchy se: ε > 0, N N : (, m > N u u m < ε). Notem que esta codição sigifica simplesmete que lim,m u u m = 0. Teorema 3.. Toda a sucessão de Cauchy é covergete. covergete é uma sucessão de Cauchy. Demostração. Vejam o Spivak. Reciprocamete, toda a sucessão 4. Aula Séries Numéricas. O tema que agora vamos iiciar é motivado pelo seguite problema: dada uma sucessão real (u k ), determiar quado é que é possível atribuir sigificado preciso à soma de todos os elemetos da sucessão (u k ): u + u + u 3 + Não defiimos aida uma soma com um úmero ifiito de parcelas. Podemos o etato defiir as somas parciais: s = u, s = u + u, s 3 = u + u + u 3,. s = u + u + u 3 + + u. e defiir a soma de todos os termos da sucessão como o lim s. É claro que este limite pode ou ão existir. Defiição 4.. Uma sucessão (u k ) diz-se somável se a sucessão (s ) das somas parciais: é covergete. Usaremos a otação s := u + + u = u k, u k u + u + u 3 + + u + a que chamamos série. Quado a sucessão (u k ) é somável dizemos que a série é covergete e que a sua soma é lim s. Caso cotrário dizemos que a série é divergete.
Operações algébricas sobre séries. É um exercício muito simples mostrar, a partir da defiição, as seguites operações algébricas sobre séries covergetes: Proposição 4.. Sejam a k e b k séries covergetes e c R, etão as seguites séries são covergetes: (a k + b k ) = a k + b k, Exemplos de Séries. Exemplo 4.3. Cosideremos a série: c a k = c a k. + + 4 + 8 + 6 + = Será que esta série diverge ou coverge? Para isso cosideramos a sucessão das somas parciais: s 0 =, s = + = 3, s = + + 4 = 7 4, s 3 = + + 4 + 8 = 5 8,. s = + + 4 + + = +. Podem verificar esta última fórmula por idução. Como temos: ( lim s = lim + = lim ) =, cocluímos que a série é covergete e a sua soma é igual a. Exemplo 4.4. Cosideremos a série: + + + = k=0 k ( ) k. Esta série diverge, pois a sucessão das somas parciais é dada por: que é uma sucessão divergete. Exemplo 4.5. Cosideremos a série: s =, s = = 0, s 3 = + =, s 4 = + = 0,. + + 3 + 4 + 5 + = k=0 k 9
0 Esta série é cohecida como série harmóica. Será que esta série diverge ou coverge? Para isso observamos que se agruparmos os termos da seguite forma: + + 3 + + }{{ 4 } 5 + 6 + 7 + + }{{ 8 } 9 + 0 + + + }{{ 6 } 4 + 4 = 8 + 8 + 8 + 8 = 6 + + 6 = + + + + as somas parciais tedem para +. Assim, a série harmóica é divergete. Exemplo 4.6. Supohamos que (u k ) é uma progressão geométrica com primeiro termo igual a e razão r R, i.e., u k := r k, (k N 0 ). A série correspodete é: + r + r + r 3 + = r k, e a sucessão das somas parciais é dada por (vejam o Exemplo??): s = u k = r k = r+, N 0 e r R \ {}. r k=0 Logo, se r <, temos que lim s r + = lim = r r. Portato a série é covergete quado r <, e a sua soma é: (3) r k =, ( r < ). r k=0 k=0 O Exemplo 4.3 correspode ao caso r = /. Nota 4.7. Notem que, se r <, também temos: (4) r k = r r k = r r k = r r k = r r. Exemplo 4.8 (Séries Geométricas). Mais geralmete, séries cujas parcelas são os termos de uma progressão geométrica desigam-se por séries geométricas. Um exemplo é dado pela série: 3 Tedo em cota que = 3 = = = k=0 3 3 = 6 = k=0 ( ), 3 vemos que a série é geométrica com razão r = /3. Cocluímos assim que se trata de uma série covergete, pois r = /3 <, e podemos usar a fórmula (4) para calcular a sua soma: = 3 = 6 3 = 6 3 3 3 = 6 = 3. Codição ecessária para covergêcia. Em geral, dada uma série, é difícil calcular a sucessão da somas parciais e verificar se coverge ou ão. Precisamos pois de testes que permitam decidir facilmete se uma série coverge ou diverge. Teorema 4.9 (Codição ecessária para covergêcia). u k covergete lim u = 0.
Demostração. Sedo a série covergete, sabemos etão que a sucessão de somas parciais s = é covergete: lim s = l. Temos etão que 0 = l l = lim s lim s = lim (s s ) = lim u k ( ) u k u k = lim u. Nota 4.0. A implicação cotrária à especificada o Teorema 4.9 ão é verdadeira. Por exemplo a sucessão u = coverge para 0, mas a série correspodete é a série harmóica que, como vimos acima, é divergete. Nota 4.. O Teorema 4.9 pode ser usado como critério de divergêcia para séries uméricas, pois o seu resultado é logicamete equivalete ao seguite: u 0 k u k divergete. Por exemplo, o caso das séries geométricas, tedo em cota que r 0 quado r e que séries geométricas são covergete quado r <, permite-os cocluir que covergete, se r < ; (5) r k é divergete, se r. 5. Aula Última Aula. Diz-se que uma série u k coverge (resp. diverge) se a sucessão das somas parciais s = u k coverge (resp. diverge). Se u 0 a série u k diverge. A série geométrica rk coverge se r < e diverge se r. Séries de Termos Não-Negativos (STNN). Séries de termos ão-egativos (STNN) são séries da forma a k, com a k 0, k N. Proposição 5.. Uma STNN k a k é covergete se e só se a sua sucessão de somas parciais (s ) for majorada. Demostração. Por defiição, a série é covergete se e só se a sucessão das somas parciais s = a k for covergete. Como s + s = a + 0, vemos que a sucessão (s ) é moótoa crescete. Logo, segue dos Teoremas 3.5 e 3.6 que (s ) é covergete se e só se for majorada. Este resultado ão é muito útil a prática, pois pode ser difícil verificar se a sucessão de somas parciais é ou ão majorada. Por exemplo, o caso da série harmóica (Exemplo 4.5) tivemos que agrupar os termos de forma astuciosa para verificar que esta sucessão ão é majorada.
Teorema 5. (Critério Geral de Comparação para STNN). Sejam (a k ) e (b k ) duas sucessões reais tais que 0 a k b k, k N. Etão: b k coverge a k coverge; a k diverge b k diverge. Demostração. Sejam (s ) e (t ) as sucessões de somas parciais das séries dadas, i.e. s = a k e t = b k. Temos aturalmete que 0 a k b k, k N 0 s t, N. Usado a Proposição 5., podemos etão cocluir que: k b k coverge (t ) majorada (s ) majorada k a k coverge. k a k diverge (s ) ão-majorada (t ) ão-majorada k b k diverge. Nota 5.3. Nas codições do Teorema 5., ou seja assumido que 0 a k b k para todo o k N, as implicações cotrárias às especificadas ão são verdadeiras, i.e. a k coverge b k coverge e b k diverge a k diverge. Exemplo 5.4. O critério de comparação para STNN permite, por vezes, mostrar a covergêcia de uma série cujo termo geral é muito complicado, como o seguite exemplo: + se 3 ( + ) 3 +. Como temos: = 0 + se3 ( + ) 3 + 3, e já sabemos que = 3 coverge (vejam o Exemplo 4.8), cocluímos que a série origial coverge. Pesem o que é que podemos dizer sobre a soma desta série. Teorema 5.5 (Outro Critério de Comparação para STNN). Sejam (a ) e (b ) duas sucessões reais de termos positivos, tais que lim a b = L com 0 < L < +. Etão, as séries = a e = b são da mesma atureza, i.e., ou ambas covergem ou ambas divergem. Demostração. A hipótese lim a = L com 0 < L < +, b garate que existe N N tal que > N L < a b < L L b < a < L b.
3 Basta agora aplicar o Critério Geral de Comparação do Teorema 5. a estas desigualdades. Exercício 5.6. O que é que se pode dizer quado L = 0 ou L = +? Exemplo 5.7. Queremos determiar a atureza da série ( + ). Tedo em cota a ordem de gradeza do termo geral desta série, é atural compará-la com a série harmóica /. De facto, como + lim = lim = e 0 < < +, (+) sabemos pelo Teorema 5.5 que as séries são da mesma atureza. Como a série harmóica diverge, (Exemplo 4.5), cocluímos que a série também diverge. (+) Teorema 5.8 (Critério da Razão para STNN). Seja a uma série umérica, com a > 0 e tal que Etão: (a) se r < a série a coverge. (b) se r > a série a diverge. lim a + a = r R. Demostração. Supohamos que r <. Se escolhermos r < s <, existe um N N tal que: a + a < s, N. Logo: a N+k sa N+k s a N+k s k a N. Como s < a série geométrica k a Ns k = a N k sk coverge. Pelo Critério Geral de Comparação para STNN, cocluímos que a série k a k também coverge. Supohamos agora que r >. Neste caso, se escolhermos < s < r, existe um N N tal que: a + > s, N. a Isto mostra que: a N+k sa N+k s a N+k s k a N a N, dode lim a k 0 e a série k a k diverge. Exemplo 5.9. Seja r > 0 e supoha-se que queremos determiar a atureza da série r!. Fazedo a = r /!, temos etão que lim a + a = lim = r + (+)! r! = r + = 0 <. Cocluímos pelo Critério da Razão (Teorema 5.8) que a série dada é covergete. Notem que o critério da razão ada diz quado r =. Por exemplo, para a série harmóica = e para a série = a temos, em ambos os casos, lim + a =. A série harmóica diverge, mas, como veremos de seguida, a série = coverge.
4 Teorema 5.0 (Critério Itegral para STNN). Seja f : [, [ R uma fução positiva decrescete. Etão a série = f() coverge se e só se existe o limite: f(x) dx = lim b b f(x) dx. Demostração. Primeiro observamos que o limite b f(x) dx = lim b f(x) dx existe se, e só se, a série: f(x) dx + 3 f(x) dx + 4 3 f(x) dx + coverge. Deixamos como exercício simples verificar que, como f é positiva e decrescete, temos: f( + ) < + f(x) dx < f(). O resultado segue-se do Critério Geral de Comparação para STNN. Exemplo 5. (Série de Dirichlet). Pretedemos estudar a covergêcia da chamada série de Dirichlet: p, com p R +. = Pelo Critério Itegral para STNN a covergêcia desta série é equivalete à existêcia do itegral: Observado que: b x p dx = p x p dx. ( b p ), se p, log b, se p =, vemos que o itegral existe se, e só se, p >. Portato, a série de Dirichlet coverge se, e só se, p >. 6. Aula Última Aula. Estudámos as séries de termos ão-egativos (STNN), i.e., as séries a ode a 0. Vamos agora estudar séries em que o termo geral a pode assumir valores positivos e/ou egativos. Covergêcia Simples e Absoluta. Se = a é uma série em que a assume valores positivos e egativos, etão podemos cosiderar a série dos módulos = a, que é uma STNN. O resultado seguite mostra que este procedimeto é útil: Teorema 6.. Se a coverge, etão a também coverge e a a. = Demostração. Para a demostração, itroduzimos a seguite otação. Se a R é um úmero real, etão É imediato verificar que = a + = max{a, 0} = parte positiva de a; a = mi{a, 0} = parte egativa de a. a = a + a a = a + + a, a + = a + a Em particular, temos a desigualdade: 0 a +, a a. e a = a a.
5 Esta desigualdade, aplicada à sucessão (a ), em cojuto com o critério geral de comparação, mostra que se a é covergete etão a+ e a também são séries covergetes. Como a = ( a + a ) = a + a, podemos cocluir que a coverge. Relativamete à sua soma, temos que ( ) ( ) a = a + a b + + b (pela desig. triagular) = ( b + + b ) = b, (porque b +, b 0). Exemplo 6.. Cosideremos a série: = ( ). A série de módulos correspodete é a série de Dirichlet = que coverge. Pelo Teorema 6., cocluímos que a série origial coverge. Defiição 6.3. Uma série b diz-se (i) absolutamete covergete se a correspodete série de módulos b é covergete. (ii) simplesmete covergete se é covergete, mas a correspodete série de módulos b é divergete. O Teorema 6. mostra que uma série absolutamete covergete é covergete. O recíproco ão é verdadeiro. Para costruirmos um exemplo vamos recorrer ao seguite critério de covergêcia para séries alteradas, i.e., séries em que termos cosecutivos trocam de sial. Teorema 6.4 (Critério de Leibiz). Supoha-se que: e que: a a a 3 0, lim a = 0 (de forma abreviada, escrevemos a 0). Etão a série alterada ( ) + a = a a + a 3 a 4 + coverge. = Demostração. Vejam o Spivak. Exemplo 6.5. Como a = 0, cocluímos pelo Critério de Leibiz que a série harmóica alterada ( ) + = + 3 4 + = é covergete. A série dos módulos correspodete é a série harmóica que diverge. Portato, a série harmóica alterada é simplesmete covergete.
6 Os seguites dois resultados ilustram bem a difereça etre o comportameto das séries absolutamete covergetes e o das séries simplesmete covergetes. Teorema 6.6. Qualquer série obtida por reordeação dos termos de uma série absolutamete covergete é também absolutamete covergete, com soma igual à soma da série origial. Teorema 6.7. (Riema) Sejam b uma série simplesmete covergete e β R arbitrário. Etão, existem séries obtidas por reordeação de b com soma igual a β. Podem ecotrar as demostrações destes resultado o Spivak. Séries de potêcias. Em geral, ão existe ehuma forma de calcular a soma de uma série, mesmo que possamos estabelecer a sua covergêcia (já vimos muitos critérios de covergêcia). No etato, podemos obter algumas somas ifiitas recorredo ao Teorema de Taylor (Teorema.): se uma fução f é ifiitamete difereciável, etão para todo o atural, temos que: f(x) = f (k) (a) (x a) k + R,a (x), k! ode lim R,a (x) = 0. Isto é o mesmo que dizer que: f (k) (a) f(x) = lim (x a) k = k! Por exemplo, temos: se x = x x3 3! + x5 5! x7 7! + cos x = x! + x4 4! x6 6! + e x = + x + x! + x3 3! + x4 4! + Vamos agora estudar este tipo de séries. f (k) (a) (x a) k. k! Defiição 6.8. Chama-se série de potêcias cetrada em a R à série (6) a (x a) = a 0 + a (x a) + a (x a) +. =0 O seu domíio de covergêcia é o cojuto { } D = x R : a (x a) é covergete. =0 Por simplicidade, vamos cocetrar-os sobretudo em séries de potêcias cetradas em 0: a x. =0 Exemplo 6.9. Cosideremos a série de potêcias! x. =0 Quado 0 x R o termo geral desta série ão tede para zero, pelo que a série é divergete. Assim, este exemplo, o domíio de covergêcia é D = {0}. Exemplo 6.0. Cosideremos a série de potêcias! x. =0
7 Aalisado a série dos módulos pelo Critério da Razão (Teorema 5.8), e como lim x + ( + )! =0! x = lim x! x ( + ) = 0 <, x R, cocluímos que esta série de potêcias é absolutamete covergete para qualquer x R. Este é assim um exemplo em que o domíio de covergêcia é D = R. Este resultado também se segue da expasão de Taylor da expoecial, que é válida para qualquer x R. Exemplo 6.. Cosideremos série de potêcias (x ). =0 Esta série é de facto uma série geométrica de razão r = (x )/. Sabemos etão que a série é absolutamete covergete quado: x < x < x ], 3[, e também que a série é divergete quado: x x x ], ] [3, + [. Assim, este exemplo, o domíio de covergêcia é: D = ], 3[. Raio de Covergêcia. 7. Aula Teorema 7.. Dada uma série de potêcias a (x a), existe um úmero 0 R R, desigado por raio de covergêcia, tal que: (i) a série é absolutamete covergete quado x a < R, i.e., para x ]a R, a + R[; (ii) a série é divergete quado x a > R, i.e., para x ], a R[ ]a + R, + [; (iii) a série pode covergir ou divergir quado x = a + R e x = a R. O raio de covergêcia é dado por (7) R = lim desde que este limite exista em R. Nota 7.. Este resultado diz-os que o domíio de covergêcia de uma série de potêcias a (x a) é sempre um itervalo cetrado em a, também desigado por itervalo de covergêcia, da forma a a + ]a R, a + R[ ou [a R, a + R] ou ]a R, a + R] ou [a R, a + R[. Quado R = 0 o domíio de covergêcia da série de potêcias é D = {a}, como acotece o Exemplo 6.9. Quado R = + o domíio de covergêcia da série de potêcias é D = R, como acotece o Exemplo 6.0. No Exemplo 6. o raio de covergêcia é R = e o domíio de covergêcia é da forma D = ]a R, a + R[. A demostração do Teorema 7. será feita com base o seguite lema. Lema 7.3. Supohamos que existe um úmero real 0 y R tal que a série a y é covergete. Etão, a série de potêcias a x é absolutamete covergete para qualquer x R com x < y.,
8 Demostração do Lema 7.3. O Teorema 4.9 diz-os que a y covergete lim a y = 0, pelo que existe N N tal que Logo, para N temos que N a y <. a x = a y x y < x y Assumido que x < y, temos que a série geométrica de razão r = x/y < é covergete. Podemos etão cocluir, pelo critério de comparação, que a série a x é covergete, i.e., a série de potêcias a x é absolutamete covergete. Demostração do Teorema 7.. Substituido (x a) por x, podemos assumir que a = 0. Cosideremos etão o cojuto A R + defiido por { } A = Tem-se imediatamete que: r R + : r = x e a x é covergete se A = etão R = 0 satisfaz as codições especificadas o euciado do teorema; se A ão é majorado etão o Lema 7.3 garate que R = + satisfaz as codições especificadas o euciado do teorema. Supohamos agora que A é ão-vazio e majorado, e seja R = sup A R. Etão: R > 0 porque R r > 0 para qualquer r A; se x > R etão a série a x diverge, porque este caso r = x / A; se x < R etão a série a x coverge absolutamete, porque este caso existe r A com x < r < R e podemos etão usar o Lema 7.3. o Exemplo 7.4 abaixo, mostra que a série pode ser tato covergete como divergete quado x = R. Isto mostra que R R satisfaz as codições especificadas o euciado do teorema. Fialmete, supohamos que o limite (7) existe. Vamos aplicar o critério da razão à STNN b := a x. Para isso, calculamos e temos que: r = lim b + = lim a + x + b a x == lim a + x a (i) A série a x coverge se r <, i.e., se: x lim a + a < x < lim a. a + (ii) A série a x diverge se r >, i.e., se: x lim a + a > x > lim a a +. = x lim Cocluímos que o raio de covergêcia da série a x é dado por (7). Exemplo 7.4. Pretede-se determiar o cojuto dos potos x R ode a série de potêcias (x + 3) ( + ) = (x + 3) ( + ) é absolutamete covergete, simplesmete covergete e divergete. ; ; a + a
9 Trata-se de uma série de potêcias cetrada em x = 3 com coeficietes a = (+). Podemos calcular o seu raio de covergêcia pela fórmula (7): R = lim a a + = lim ( + )+ ( + ) Temos etão que a série de potêcias é absolutamete covergete para = lim + + =. x + 3 < < x + 3 < 5 < x < x ] 5, [, e é divergete para x + 3 > x ], 5[ ], + [. Falta ver o que se passa quado x = 5 e x =. Quado x = 5 temos que ( ) (x + 3) ( + ) = ( 5 + 3) ( + ) = ( ) ( + ) = ( ) +. x= 5 Trata-se de uma série alterada com a = + 0, pelo que o Critério de Leibiz (Teorema 6.4) garate a sua covergêcia. A correspodete série de módulos ( ) + = + é claramete da mesma atureza que a série harmóica /, logo divergete. Cocluímos assim que a série de potêcias é simplesmete covergete para x = 5. Quado x = temos que ( ) (x + 3) ( + ) = ( + 3) ( + ) = () ( + ) = +, x= que, como já vimos, é uma série divergete. Logo, a série de potêcias é divergete para x =. Resumido: o domíio de covergêcia é D = [ 5, [, a série coverge absolutamete em ] 5, [ e coverge simplesmete em x = 5. Séries de Taylor. Um série de potêcias =0 a (x a) determia uma fução f : D R, ode D é o domíio de covergêcia da série de potêcias: (8) f(x) := a 0 + a (x a) + a (x a) + = a (x a), (x D). Esta fução tem uma atureza muito especial, que se deve ao seguite resultado: Teorema 7.5. A fução f : D R defiida pela série de potêcias (8) é difereciável em qualquer poto do iterior de D. A sua derivada é dada por difereciação termo-a-termo: (9) f (x) = a + a (x a) + 3a 3 (x a) + = a (x a), (x it D). Demostração. A demostração deste resultado recorre ao coceito de covergêcia (uiforme) de sucessões de fuções. Por falta de tempo, ão poderemos discutir esta ocão. Podem ecotrar uma discussão detalhada o Capítulo 4 do Spivak. O raio de covergêcia da série (9) é igual ao raio de covergêcia da série origial (8). Podemos, etão, difereciar ovamete e cocluir que a fução f tem derivada de seguda ordem, em qualquer poto do iterior de D. A seguda derivada é dada pela série: f (x) = a + 3a 3 (x a) + 3 4(x a) = a ( )(x a) (x it D). = = =0 É claro que podemos cotiuar este procedimeto, cocluido que: Corolário 7.6. Se uma fução f é dada por uma série de potêcias etão possui derivadas de todas as ordes em qualquer poto do iterior do domíio de covergêcia D.
0 Notem que a derivada de ordem k é dada pela expressão: f (k) (x) = a ( ) ( k) (x a) k, =k Calculado ambos os lados em x = a, obtemos: e, portato, cocluímos que: f (k) (a) = a k k! a k = f (k) (a), k! (x it D). Corolário 7.7. Se uma fução f é dada por uma série de potêcias cetrada em x = a, etão essa série coicide com a sua série de Taylor em x = a: f () (a) f(x) = (x a), (x it D).! =0 Já vimos ateriormete as séries de Taylor das fuções e x, se x e cos x. O exemplo seguite mostra como se pode obter a série de Taylor da fução arcta x. Exemplo 7.8. Recorredo à fórmula da soma de uma série geométrica (3), temos que: (0) + x = ( x ) = x + x 4 x 6 + = ( ) x, desde que x <, ou seja x ], [. De facto, R = é o raio de covergêcia desta série de potêcias (verifiquem!). Cocluímos pois que a fução +x é represetada por uma série de potêcias para x <. Primitivado a série (0), obtemos a série: =0 x x3 3 + x5 5 x7 7 + = ( ) + x+ =: f(x), que também tem raio de covergêcia R = (verifiquem!). Assim, obtemos uma fução f(x), defiida e difereciável para x <, cuja derivada é +x. Como a fução arcta x também tem derivada +x, cocluímos que: arcta x = C + x x3 3 + x5 5 x7 + ( x < ), 7 ode C R é uma costate. Para determiar C, calculamos ambos os lados em x = 0 obtedo: =0 arcta 0 = C + 0 C = 0. Cocluímos que a fução arcta x admite uma expasão em série de potêcias, válida para x <, dada por: () arcta x = x x3 3 + x5 5 x7 7 + = ( ) + x+ ( x < ), Pelo Corolário 7.7, esta é a expasão em série de Taylor da fução arcta x em toro de x = 0. Notem que o cálculo directo da série de Taylor, através do cálculo das derivadas de arcta x em x = 0, é bastate mais trabalhoso (experimetem!). Nota 7.9. A mesma técica que utilizámos este exemplo mostra que uma série de potêcias pode ser itegrada termo-a-termo, resultado daí uma série de potêcias com o mesmo raio de covergêcia. Uma fução que pode ser represetada por uma série de potêcias chama-se uma fução aalítica. O estudo das fuções aalíticas é uma parte da Aálise Complexa, que vocês estudarão a cadeira de Cálculo Diferecial e Itegral III. Esse estudo explicará, por exemplo, porquê que o raio de covergêcia da fução (0) é R =, algo que ão é óbvio olhado para a expressão da fução (que é uma fução racioal defiida em todo o R). =0