43 3 Formulação do Problema da Dinâmica de Risers Empregando-se o Méodo dos Elemenos Finios 3.1. Fenomenologia do Comporameno Esruural de Risers O comporameno não linear de esruuras pode ser de origem geomérica, física ou de condição de vinculação. A não-linearidade física resula do comporameno do maerial da esruura que, quando submeido a ensões crescenes passa a plasificar, adquirindo dessa forma ensões residuais após descarregado. Pela sua geomeria esbela risers êm o seu comporameno esruural similar ao de vigas de seção ubular cujos deslocamenos ulrapassam em várias magniudes o diâmero da seção rea. Considerando-se o movimeno de risers cuja deformação mais significaiva longiudinal é ainda pequena, resria ao comporameno linear do maerial, ese resula em grandes deslocamenos. Nese caso a não-linearidade geomérica é resulado da ineração axial-ransversal, a qual é inroduzida na eoria da elasicidade aravés das equações de equilíbrio, especificamene pelos ermos de mais ala ordem segunda ou acima das relações de compaibilidade geomérica [15]. Eses efeios são mais pronunciados em sisemas esruurais do ipo linha de ancoragem e risers, fazendo-se necessário considerar a imposição das condições de equilíbrio na configuração deformada. Um segundo efeio imporane de não-linearidade geomérica é o da insabilidade por compressão (flambagem elásica). A análise de esruuras maríimas esá invariavelmene associada a considerações dos efeios de ondas que induzem na esruura cargas variáveis no empo, de caráer periódico. A resposa de uma esruura a um dado carregameno periódico depende de suas caracerísicas inrínsecas, que podem ser raduzidas por seus modos e frequências naurais de vibração (desde que a resposa linear seja considerada). Um sisema esruural apresena resposa dinâmica significaiva quando o carregameno se dá a uma frequência ou componene harmônico
44 próximo a uma de suas frequências naurais e em uma disribuição espacial não orogonal ao modo naural correspondene. No caso específico de linhas maríimas, devido ao comporameno não-linear, os modos e as frequências naurais do sisema esruural são modificados, à medida que ese responde ao carregameno (modulados no empo e no espaço). Os carregamenos ípicos aos quais esá submeido um riser esão mosrados na Fig. 3.1, responsáveis pelo comporameno não-linear. Eses carregamenos são classificados em dois ipos: i) cargas esáicas, devidas a peso próprio, ao empuxo, à correneza e ao movimeno imposo correspondene ao offse esáico da plaaforma e, ii) cargas dinâmicas, devidas à onda, movimeno imposo no opo devido ao efeio da onda no fluuane e forças induzidas por desprendimeno de vórices (não consideradas nese rabalho). Os efeios da ação direa das ondas, junamene com o movimeno do fluuane, auam mais próximos da exremidade superior da linha, podendo-se propagar aé a exremidade inferior [56]. No presene rabalho as forças hidrodinâmicas devido às ondas e correneza são avaliadas usando a forma modificada da equação de Morison [54]. Finalmene, o efeio da pressão do fluido esáico inerno e exerno é incluído usando os conceios de ração efeiva e peso. Figura 3.1 Carregamenos sobre um riser.
45 3.. Análise Incremenal Não-Linear Em uma análise não-linear o problema básico é deerminar a configuração de equilíbrio de um corpo, resulane do carregameno aplicado. Na configuração de equilíbrio de uma esruura, obém-se um sisema de equações algébricas a ser represenado na forma seguine: R F = (3.1) onde o veor dos esforços exernos R deve ser equilibrado pelo veor dos esforços inernos da esruura F. O índice superior na eq.(3.1) indica o insane de empo em que a condição de equilíbrio é verificada, no caso de análise dinâmica, ou o passo de carregameno, no caso de análise esáica independene do empo. A análise incremenal passo-a-passo consise em ober-se a solução correspondene ao equilíbrio no insane +Δ a parir da solução conhecida no insane, na eq.(3.1). Assim: R F= (3.) +Δ +Δ e, conhecida a solução no insane pode-se escrever, combinando-se as duas equações acima, Δ R =Δ F (3.3) onde ΔR é o veor incremeno das forças exernas ocorrido enre os insanes e +Δ e ΔF é o veor incremeno das forças inernas como reação ao incremeno nas forças exernas ΔR. O veor ΔF pode ser aproximado uilizando-se a mariz de rigidez angene K correspondene às condições geoméricas e do maerial da esruura no insane ; para um veor incremeno U, em-se ou ΔF KU F F KU (3.4) +Δ Subsiuindo-se o resulado obido em (3.) na eq.(3.4) obém-se: KU R F (3.5) +Δ que é a forma aproximada da condição de equilíbrio no insane +Δ expressa em (3.). A solução da eq.(3.5) fornece o veor incremeno U e o veor deslocameno oal enre os insanes e +Δ pode ser, enão, avaliado na forma incremenal
46 U U+ U (3.6) +Δ onde o índice inferior indica a configuração indeformada, de referência do veor deslocameno considerado. O veor U é uma aproximação do incremeno de deslocameno correspondene ao veor incremeno do carregameno +Δ R F. Devido à dependência da mariz angene K em relação ao veor deslocameno +Δ U para a obenção dese veor faz-se necessária a uilização de um processo ieraivo de solução de forma que a equação de equilíbrio em (3.5) seja represenada na ieração (i-1) para a obenção do incremeno dos deslocamenos em uma ieração (i) ( i 1) ( i) ( i 1) K U R F i = 1,,..,n (3.7) +Δ +Δ conforme esá mosrado na Fig. 3., para o problema reduzido com apenas um grau-de-liberdade, Figura 3. Procedimeno incremenal ieraivo para um grau de liberdade. Para a primeira ieração (i = 1) considera-se que o veor de esforços inernos no insane +Δ é o mesmo veor que no insane : ( ) +Δ F = F (3.8) e esa mesma consideração é feia quano a aproximação da mariz de rigidez no insane +Δ, iso é, K ( ) +Δ = K (3.9) O veor incremeno do deslocameno U ( i), obido da equação (3.7), é acumulado a cada ieração para ober-se, em aproximações sucessivas, o veor
47 deslocameno incremenal oal, correspondene ao inervalo compreendido enre os insanes e +Δ, i.e., n i= 1 () i U= U onde n é o número de ierações necessárias para convergência. A écnica ieraiva descria pelas equações (3.7) a (3.9) corresponde ao méodo de Newon-Raphson padrão. 3.3. Considerações Básicas da Formulação Lagrangeana Co-roacionada Na descrição linear do movimeno de vigas, considera-se que os deslocamenos são pequenos relaivamene ao comprimeno e que o maerial é linearmene elásico. Além disso, as equações de equilíbrio são obidas usando-se a posição indeformada como configuração de referência devido ao fao que a geomeria da viga não muda com o carregameno. No enano, na análise nãolinear geomérica de esruuras, as mudanças geoméricas são significaivas e a geomeria da viga deve ser aualizada durane o processo de deformação. Conseqüenemene, orna-se necessária a disinção enre as medidas de ensão e deformação e a descrição do movimeno. Na descrição Lagrangeana, o movimeno do corpo é referido à configuração inicial indeformada (formulação Lagrangeana Toal) ou à úlima configuração conhecida (formulação Lagrangena Aualizada). Por ouro lado, na formulação Lagrangeana co-roacionada, o movimeno espacial do elemeno é decomposo em movimeno de corpo rígido e movimeno de corpo deformável (o qual efeivamene causa as deformações). Esa úlima aproximação proporciona uma visão não-linear na qual as medidas lineares de deformação e ensão podem ser aplicadas localmene (deformações linearizadas e ensões de Cauchy), assim simplificando as equações Lagrangeanas governanes do problema, sem perda significaiva da precisão. A formulação Lagrangeana co-roacionada é essencialmene idênica à formulação Lagrangeana oal, removidos os movimenos de corpo rígido, porque ambém emprega a configuração indeformada como referência [55]. Algumas simplificações na formulação Lagrangeana aualizada são uilizadas, já que o sisema de referência indeformado co-roacional move-se espacialmene com o corpo deformável. São as seguines caracerísicas que a disingue das formulações Lagrangeanas radicionais:
48 a) As ensões e deformações acumuladas, referidas ao sisema de eixos coroacionados, não necessiam ser obidas em incremenos e conabilizadas ao longo da análise, mas sim inegralmene calculadas a cada passo de empo. b) Para cada elemeno na configuração final deformada, referida à configuração indeformada co-roacionada, a adoção do ensor de deformação de Cauchy se faz de forma consisene e independene do amanho do incremeno de deslocameno porque as deformações admiidas são infiniesimais e o movimeno de corpo rígido removido [55]. Esas caracerísicas ornam a formulação incremenal co-roacionada menos susceível ao amanho do incremeno de deslocamenos nodais da esruura, o que possibilia que sejam empregados inervalos de empos maiores na análise dinâmica [55]. 3.4. Sisemas de Referência na Formulação do Elemeno de Pórico Coroacionado Na formulação Lagrangeana co-roacionada as grandezas esáicas e cinemáicas (forças, deslocamenos, velocidades e acelerações) do corpo considerado são referidas a uma configuração co-roacionada C C, obida de ransformações de movimeno de corpo rígido (associadas à ranslação e roação da configuração indeformada C ), próxima da configuração deformada C D, como é mosrada na Fig. 3.3. Nesa figura pode-se disinguir rês configurações do elemeno: Configuração inicial C : é represenada pelo elemeno em sua posição inicial, indeformada; Configuração co-roacionada C C : é represenada por uma configuração virual, correspondene a do elemeno livre de deformações e submeido aos movimenos de corpo rígido, relaivamene à configuração inicial C ; Configuração deformada C D : é represenada pelo elemeno em sua configuração aual, sob carregameno exerno.
49 Figura 3.3 Descrição do movimeno de um elemeno de viga usando-se um Sisema de Coordenadas Co-roacionado. Os sisemas de coordenadas empregados na formulação do elemeno de pórico e represenados na Fig. 3.3 esão descrios a seguir: Sisema global: Definido pela ríade de veores oronormais e i, i=1,,3 e corresponde a um sisema de coordenadas espaciais em relação ao qual a esruura considerada é referida. Maném-se imóvel durane oda a análise. Em uma abordagem Lagrangeana oal, é nese sisema que as equações de equilíbrio da esruura são escrias; Sisema local fixo: Definido pela ríade de veores oronormais e i, i=1,,3, esá associado ao elemeno em sua configuração inicial C. Nesa configuração, a linha cenral do elemeno de viga, segundo a formulação descria nese rabalho, apresena-se como um segmeno de rea. Nese sisema a origem das coordenadas esá em uma de suas exremidades. O veor uniário e 1 coincide com o eixo longiudinal e os demais são paralelos às direções principais de inércia (de área) da seção ransversal; Sisema local móvel: Definido pela ríade de veores oronormais r i, i=1,,3, esá associado à configuração co-roacionada C C. Na configuração indeformada
5 ese sisema coordenado coincide com o sisema local fixo. O sisema local móvel acompanha os movimenos de corpo rígido do elemeno de viga, em que as deformações não afeam a orienação do sisema. O veor uniário r 1 é definido pela direção obida unindo-se as exremidades da viga. É sobre ese sisema que oda a formulação do elemeno é escria; Sisema convecivo: Definido pela ríade de veores oronormais a i, i=1,,3, esá associado à configuração deformada C D. Ese sisema acompanha a linha cenral na configuração deformada e esá vinculado ao cenro da mesma. O veor uniário a 1 define a orienação da seção ransversal e os veores a e a 3 são escolhidos nas direções principais da seção ransversal. Um caso paricular do sisema convecivo são as ríades de veores oronormais 1 i e i, i=1,,3, com origem em cada um dos nós do elemeno de pórico, respecivamene. Anes do carregameno da esruura, ambos são paralelos ao sisema local fixo. Eses sisemas são solidários ao elemeno, manendo-se unidos aos nós aos quais esão associados e acompanhando seus deslocamenos (ranslações e roações).
51 3.5. Deformações no Elemeno de Viga Considerado 3.5.1. Mariz de ransformação do sisema global para o sisema local fixo A ransformação de coordenadas do sisema global para o sisema local fixo, mosrada na Fig. 3.3, faz-se com a mariz de roação R aravés da seguine ransformação linear e= R e (3.1) i Na eq.(3.1), e i e e i são os veores uniários escrios nos sisemas global e local fixo, respecivamene. Gere e Weaver Jr. [9] demonsram a obenção da mariz R como i l m n m l R = (3.11) l + m l + m ln mn l + m l + m l + m Na equação acima, l, m, n são os co-senos direores do eixo do elemeno de pórico, em sua configuração inicial C. Considerando-se G X 1 e G X, os veores posição dos nós do elemeno nesa configuração, expressos no sisema global, em-se l m X = n - X L G G 1 onde L é o comprimeno do elemeno na configuração indeformada. (3.1)
5 3.5.. Aualização do sisema de coordenadas convecivo associado aos nós A aualização do sisema convecivo dos nós do elemeno de viga na Fig. 3.3 é obida ao érmino de cada passo de carregameno da esruura, a parir da combinação dos efeios de cada roação incremenal. Esa operação é feia aravés do produo das respecivas marizes de roação. Considerando-se Δθ o veor de roações incremenais correspondene ao nó i do elemeno, no sisema coordenado global em-se Δθx Δ θ = Δθy. (3.13) Δθ z A mariz de roação incremenal R para cada nó é calculada considerando a sequência dos ângulos de Euler [56] (Fig.3.4), ou seja, calculada considerando-se que as roações que compõem o veor Δθ de roações incremenais, Δθ x, Δθ y e Δθ z ocorrem nesa sequência. Figura 3.4 Ângulos de Euler Da sequência de roações indicada na figura de acima, a mariz de roação R pode ser obida do produo das marizes roação obidas individualmene para cada componene do veor de roações incremenais Δθ. Desa forma em-se: e) A ransformação Roação R x em orno do eixo x: 1 R cos x sen x = Δθ Δθx (3.14) senδθx cos Δθ x
53 f) A ransformação Roação R y em orno do eixo y: cos Δθy senδθ y R y = 1 (3.15) senδθy cos Δθ y g) A ransformação Roação R z em orno do eixo z: e cos Δθz senδθz R sen z cos z z i = Δθ Δθ (3.16) 1 R = Rz Ry R x (3.17) Como as roações incremenais são expressas em um sisema de coordenadas fixo, mas represenam a evolução de um sisema móvel, Argyris [11] demonsra que a operação de acumular as roações é feia pós-muliplicando a mariz resulane do passo anerior pela mariz de roação incremenal do passo correne. Assim, para configurações sucessivas do sisema nodal móvel (Fig. 3.5), a ransformação de coordenas pode ser feia na forma ' i = Ri = RR1ei = RTe i (3.18) Figura 3.5 Roações do sisema de coordenadas convecivo associado aos nós. A sequência de ransformação a parir dos ângulos de Euler é largamene uilizada e fornece resulados confiáveis denro de análises onde as roações incremenais são pequenas e, porano as diferenças de segunda ordem se ornam desprezíveis [56]. No enano esa consideração pode não ser válida em uma
54 análise de longa duração, assim na versão aual do programa Anflex é usada na aualização do sisema de coordenadas convecivo associado aos nós a fórmula de Rodrigues, descria mais adiane pela eq.(3.3). 3.5.3. Aualização do sisema de coordenadas local móvel Na Formulação co-roacionada decompõe-se o movimeno do elemeno a parir da configuração inicial C aé a configuração deformada C D em componenes de corpo rígido e de deformação. A componene de corpo rígido resula da ranslação e da roação da linha cenral do elemeno, medidas no sisema local fixo. Da Fig. 3.3, a origem do sisema local fixo é omada no nó 1 e, porano, a ranslação de corpo rígido u G 1 é a ranslação do nó 1, onde o índice superior direio indica que a quanidade é expressa no sisema global. A roação de corpo rígido é al que a orienação do sisema local móvel é definida pela mariz de roação orogonal R r, dada por R r = [r 1 r r 3 ] (3.19) O primeiro eixo coordenado do sisema local móvel é definido pela linha que coneca os nós 1 e do elemeno. Conseqüenemene, r 1 é dado por onde 1 L n ( ) G G G G X + u X1 + u1 r = (3.) G X α, α = 1, são os veores de posição nodais na configuração inicial C e L n é o comprimeno aual do elemeno de viga (ver Fig. 3.3), assim L n ( ) = X + u X + u (3.1) G G G G 1 1 A orienação dos dois eixos remanescenes são deerminados com ajuda do veor auxiliar q. Na configuração inicial C, o veor q em a mesma direção que o eixo local fixo e, enquano que, na configuração deformada C D sua orienação é obida como onde G R 1 e q= 1 ( q + ) = G [ 1 ] T α = 1, 1 q qα RαR (3.) G R são as marizes de roação orogonais usadas para especificar a orienação das ríades nodais 1 i e i, i =1,,3, respecivamene, e a mariz de roação R especifica a orienação do sisema de coordenadas na configuração
55 inicial C (ver seção 3.5.1). Os veores uniários r e r 3 são calculados pelos produos veoriais r1 q r = r = r r r q 3 3 1 1 e, assim, a mariz orogonal R r em (3.19) fica compleamene definida. (3.3) 3.5.4. Cálculo das Deformações Angulares O movimeno de corpo rígido descrio na seção anerior é acompanhado de uma parcela de deslocamenos deformacional (que efeivamene causa as deformações). Nese conexo, as deformações angulares são dadas pelas diferenças enre os sisemas convecivos associados aos nós 1 i e i e o sisema local móvel r i, i=1,,3, para os nós 1 e, respecivamene. Da Fig. 3.3, a relação enre eses sisemas é dada pela mariz de roação orogonal R α, α=1, referida ao sisema local móvel. Conseqüenemene, a orienação das ríades nodais 1 i e pode ser obida por meio do produo RR r α. Por ouro lado, esa orienação pode G ambém ser obida aravés do produo Rα R, conforme mosrado na Fig. 3.3. Assim que resula em onde a mariz RR R R (3.4) = G r α α = ( ) T G α r α R R R R, α = 1, (3.5) R α é obida de um pseudo-veor represenam as deformações angulares, i.e., ( ) i ϑ α [61], cujas componenes ϑ α = log e Rα, α = 1, (3.6) Na seção 3.7, esas expressões serão uilizadas e expliciadas na definição das quanidades referenes à cinemáica de deformação do elemeno de viga coroacionado, ema do presene esudo.
56 3.6. Hipóeses Básicas da Formulação Na derivação das equações de movimeno represenaivos do comporameno do elemeno de pórico co-roacionado, as seguines hipóeses são uilizadas: As deformações do elemeno correspondem à condição do comporameno do maerial no regime elásico linear, onde a relação consiuiva disribui-se na geomeria da seção rea represenando um comporameno com gradação funcional. Em consonância com a hipóese anerior ocorrem na viga apenas pequenas deformações, mas grandes deslocamenos são permiidos. Da condição anerior, a não-linearidade geomérica do modelo numérico resula de: a) Grandes deslocamenos em que a rigidez da esruura é dependene da configuração geomérica espacial a cada insane da análise; b) Acoplameno enre os mecanismos de deformação à ração e à flexão. Em risers como em linhas de ancoragem, o aumeno de ração corresponde a um enrijecimeno do sisema. As seções ransversais do elemeno de viga, inicialmene planas, permanecem planas e perpendiculares à linha cenral após a deformação (hipóese de Euler- Bernoulli). As variações de área e de volume devido às deformações presenes são desprezíveis em relação às demais deformações. Na presença de orção da seção rea esa permanece plana, não havendo o empenameno.
57 3.7. Cinemáica de Deformação do Elemeno de Viga Considerado Nesa seção será apresenado o procedimeno empregado para a obenção das relações de compaibilidade geomérica do modelo de pórico ridimensional, usadas na formulação de elemenos finios do presene esudo. Considerando-se o elemeno de viga mosrado na Fig. 3.6, represenaivo do comporameno cinemáico do movimeno de risers, as posições espaciais de um pono P da seção ransversal ubular em dois insanes sucessivos em que X P denoa o veor de posição do pono P na configuração co-roacionada C C no insane e represena o veor de posição dese mesmo pono P na configuração deformada C D no insane +Δ. Eses dois veores são expressos nas coordenadas x i referidas ao sisema coordenado local móvel (co-roacionado) r i (com r 1 dirigido ao longo da linha do cenróide e r e r 3 nas direções principais da seção rea) como X P X = X + x r + x r P G P G 3 3 X = X + x a + x a 3 3 (3.7) X G e X G denoam os veores de posição do baricenro G da seção rea nas configurações co-roacionada e deformada, respecivamene, a e a 3 são os veores uniários nas direções principais da seção ransversal na configuração deformada. As coordenadas locais x e x 3 consideradas para a seção ubular de risers de raios inerno r i e exerno r o devem saisfazer a condição, ( ) 1 r x + x r (3.8) i 3 o
58 Figura 3.6 Cinemáica do modelo de pórico co-roacionado. por A relação enre as ríades de veores oronormais a i e r i, i = 1,,3, é expressa a = Rr ( i = 1,,3 ) (3.9) i i onde R é uma mariz de roação a ser definida a seguir, nesa seção. Na análise não-linear geomérica de elemeno de viga 3D uma de suas imporanes considerações é o raameno apropriado das roações. Quando infiniesimais esas podem ser consideradas grandezas veoriais, saisfazendo as operações clássicas da álgebra linear. No enano, quando as roações assumem valores finios não podem mais ser consideradas como enidades veoriais, não aendendo, inclusive, à propriedade comuaiva dos veores [5]. Desa forma fazse necessária a inrodução do conceio de pseudo-veor roacional, definido por v1 Ψ = v1r1 + vr+ v 3r3= v = e ψ (3.3) v 3 onde v i, (i=1,,3) são os incremenos das roações em orno dos veores uniários r i.
59 O significado geomérico desa definição esá ilusrado na Fig. 3.7 e expressa-se por [61]: qualquer roação finia pode ser represenada por uma roação única com um ângulo ψ ao redor de um eixo L definido pelo veor uniário e. A magniude desa roação, i.e. do veor Ψ, é dada por ψ = v + v + v (3.31) 1 3 Figura 3.7 Veor roação. Esa mariz de roação R, expressa em ermos do veor Ψ, admie a seguine represenação [61] ( ψ ) senψ 1 sen R = I+ S( Ψ) + S Ψ S Ψ ψ ψ ( ) ( ) (3.3) onde I é a mariz idenidade (3a. ordem) e S( Ψ ) é uma mariz ani-simérica obida com as componenes do veor roação e é expressa por ( ) S Ψ v3 v = 3 v v1 v v1 (3.33) Expandindo-se em serie de Taylor as funções rigonoméricas na eq. (3.3), R pode ser ainda re-escria na forma [61] 1 R = I+ S( Ψ) + S( Ψ) S( Ψ) + K = exp( S( Ψ )) (3.34) Com auxílio da eq.(3.34) uma aproximação, aé segunda ordem, para R pode ser consruída como 1 R = I+ S( Ψ) + S( Ψ) S( Ψ ) (3.35) que, subsiuindo-se a expressão da eq.(3.33) em (3.35), resula em
6 v + v3 vv 1 vv 1 3 1 v3 + v + vv 1 v1 + v3 vv3 R = v3 + 1 v1+ (3.36) vv 1 3 vv 3 v1 + v v + v1+ 1 Uilizando-se o resulado acima em (3.9) e subsiuindo-se em (3.7), uma aproximação de segunda ordem para o veor incremeno dos deslocamenos T P = up u 1 P u P = 3 P P u X X é avaliado na forma, 1 1 up = u 1 1 xv 3+ xv 3 + xvv 1 + xvv 3 1 3 1 1 up = u x v x ( v + v ) + x v v 1 1 u = u + xv + xvv x v + v P3 3 1 1 3 3 3 ( ) 3 1 3 3 1 144443 linear 144 444443 não-linear (3.37) onde u1, u, u 3 são os deslocamenos do cenróide G do elemeno, correspondenes às componenes do veor Fig. 3.6. u = X X, como apresenado na G G G Em relação ao sisema local móvel r i, as componenes de deformação de Green-Lagrange [16], que conribuem para a energia de deformação na aplicação do Princípio dos Trabalhos Viruais, são expressas em relação aos deslocamenos de um pono P da viga na forma 1 13 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ε11 = u + u + u + u γ = u + u + u u + u u + u u γ P1,1 P1,1 P,1 P3,1 P1, P,1 P1,1 P1, P,1 P, P3,1 P3, = u + u + u u + u u + u u P1,3 P3,1 P1,1 P1,3 P,1 P,3 P3,1 P3,3 (3.38) Na eq.(3.38) a vírgula seguida de um índice indica diferenciação da componene do incremeno de deslocameno em relação à coordenada correspondene. Em (3.37) as medidas dos incremenos de deslocamenos esão expressas por ermos compleos aé a aproximação de segunda ordem. Nauralmene, o procedimeno numérico incremenal assim descrio permie acompanhar-se a solução exaa das equações de movimeno desde que os incremenos considerados na análise (represenados pelos passos emporais da análise) sejam suficienemene pequenos.
61 Subsiuindo-se os resulados de (3.37) em (3.38) e eliminando-se os ermos algébricos de ordem superior à segunda ordem, as medidas dos incremenos de deformação, expressas em função dos incremenos de deslocamenos da seção ransversal, do modelo de viga resulam nas equações seguines 1 1 ε11 = u1,1 xv3,1+ x3v,1+ ( u,1+ u3,1) + x ( 1,1 1,1) 3,1 1,1 v v + vv + u v 1 1 + x ( v v + vv ) u v ( ) + x + x v 1 + ( xv 3,1 + xv 3,1 ) ( xx 3 ) v3,1v,1 1 1 γ1 = u,1 v3 x3v1,1 + vv 1 + u3,1v1 x3 ( v,1v3 vv3,1 ) 1 1 γ 13= u3,1+ v+ xv1,1 + vv 1 3 u,1v1+ x( v,1v3 vv3,1) 14 44443 linear ( e 144444444444444443 ij ) não-linear ( ηij ) 3 1,1 3 1 3,1,1 1,1 3 1,1 (3.39) que caracerizam a compaibilidade geomérica da cinemáica de deformação relevanes, definida a parir das hipóeses expliciados na seção 3.6, e dos campos de deslocamenos espaciais do modelo numérico, definidos ao longo da linha cenral do elemeno. Uma dedução mais dealhada da eq.(3.39) é deixada para o Apêndice A, para eviar-se que exensas ransformações algébricas sejam incluídas no corpo principal do exo dese rabalho.
6 3.8. Formulação de Elemenos Finios Como apresenado nas expressões em (3.39) as componenes de deformação esão decomposas em ermos lineares ( e ij ) e não-lineares ( η ij ) a. ordem, indicadas nesa forma para aender a imposição do Principio dos Trabalhos Viruais, uilizando-se a formulação Lagrangeana co-roacionada. Esa condição é equivalene a deerminar-se a equação maricial corresponde à verificação do equilíbrio da esruura no insane +Δ endo como referência a configuração coroacionada da esruura no insane. Esa condição é expressa por +Δ Sij δ +Δ εij d V = +Δ R (3.4) V onde o índice inferior esquerdo indica o insane correspondene à configuração co-roacionada de referencia e os índices superiores indicam os insanes em que as variáveis esão sendo avaliadas. Desa forma a expressão do rabalho virual exerno considerando-se as forças de corpo e de superfície no insane +Δ resula em (3.41) R= f δu d A+ f δu d V +Δ +Δ S S +Δ B i i i i o A V onde δ uk é a variação virual nas componenes de deslocameno +Δ uk. Na equação (3.4) quando as configurações nos insanes e +Δ esão muio próximas, o segundo ensor de Piola-Kirchhoff, +Δ S ij pode ser descomposo na soma do ensor de Cauchy τ, avaliado no insane, com o ensor incremeno S ij [56]. Similarmene, a medida de deformação de Green- ij Lagrange +Δ εij é ambém descomposa na soma da deformação de Cauchy ε ij com o incremeno de deformação ε ij. Considerando-se a decomposição expressa na eq.(3.39) para o incremeno das deformações em-se ε = e + η (3.4) ij ij ij Das discussões acima, a eq.(3.4) pode ser expressa na forma ( τij ij ) δ ( εij ij ηij ) +Δ + S + e + d V = R (3.43) V
63 em que δ ε = e, considerando-se a aproximação linear elásica enre os ij incremenos de ensão e deformação S ij = C ijrs e rs chega-se a C e δ e d V + τ δ η d V = R τ δ e d V (3.44) +Δ ijrs rs ij ij ij ij ij V V V Na equação (3.44) se desprezando os ermos de ala ordem, os ermos à esquerda resulam na rigidez linear e geomérica do modelo, a primeira parcela à direia o veor carregameno e a segunda parcela o veor desbalanceameno conforme avaliação mosrada no capíulo 4. O princípio dos rabalhos viruais, empregado na dedução das equações de equilíbrio (eq. 3.4), esá relacionado ao problema esáico apenas. Na formulação de problemas dinâmicos, envolvendo a inércia da viga, é possível esender o principio empregando-se do principio de D Alember [5]. Desa forma, uilizando-se a segunda lei de Newon juno ao ermo correspondene às forças exernas de corpo nas equações (3.4) e (3.41), em-se S S B +Δ Sij δ +Δ εij d V = +Δ fi δui d A+ ( +Δ fi ρ +Δ u&& i) δui d V (3.45) o V A V Tomando-se a equação de equilíbrio em sua forma incremenal, equação (3.44), e acrescenando o ermo correspondene ao amorecimeno viscoso, obém-se a equação incremenal do equilíbrio dinâmico no insane +Δ, baseada na conjugação do principio dos rabalhos viruais e no principio de D Alember, ρ u&& δu dv+ k u& δu dv+ C e δ e dv+ τ δ η dv= +Δ +Δ i i i i ijrs rs ij ij ij o o V V V V f δu d A+ f δu d V τ δ e d V (3.46) +Δ S S +Δ B i i i i ij ij o A V V No próximo capíulo a equação de equilíbrio incremenal (3.46) será escria na sua forma maricial a parir da discreização da esruura e usando funções de inerpolação para relacionar os campos de deslocamenos incremenais num pono qualquer do elemeno com os deslocamenos nodais do modelo de elemeno de viga de dois nós e doze graus de liberdade.