INE 7001 Aálise de Séries Temporais 1 4 - ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS Série Temporal é um cojuo de observações sobre uma variável, ordeado o empo, e regisrado em períodos regulares. Podemos eumerar os seguies exemplos de séries emporais: emperauras máximas e míimas diárias em uma cidade, vedas mesais de uma empresa, valores mesais do IPC-A, valores de fechameo diários do IBOVESPA, resulado de um eleroecefalograma, gráfico de corole de um processo produivo. A suposição básica que oreia a aálise de séries emporais é que há um sisema causal mais ou meos cosae, relacioado com o empo, que exerceu ifluêcia sobre os dados o passado e pode coiuar a fazê-lo o fuuro. Ese sisema causal cosuma auar criado padrões ão aleaórios que podem ser deecados em um gráfico da série emporal, ou mediae algum ouro processo esaísico. O objeivo da aálise de séries emporais é ideificar padrões ão aleaórios a série emporal de uma variável de ieresse, e a observação dese comporameo passado pode permiir fazer previsões sobre o fuuro, orieado a omada de decisões. Vamos ver algus gráficos de séries emporais. 700 Compahia aérea 700 600 600 Número de passageiros 500 400 300 200 500 400 300 200 100 100 0 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 Meses Figura 1 - Número de passageiros rasporados Que padrões ão aleaórios podemos ideificar a Figura 1? - observe que há uma edêcia crescee o úmero de passageiros rasporados (ou pelo meos havia aes de 11 de seembro de 2001...). - há uma sucessão regular de "picos e vales" o úmero de passageiros rasporados, isso deve ser causado pelas oscilações devido a feriados, períodos de férias escolares, ec., que esão geralmee relacioados às esações do ao, e que se repeem odo ao (com maior ou meor iesidade). Em ouras palavras, ideificamos dois padrões que podem orar a ocorrer o fuuro: crescimeo o úmero de passageiros rasporados, fluuações sazoais. Tais padrões poderiam ser icorporados a um modelo esaísico, possibiliado fazer previsões que auxiliarão a omada de decisões.
ja/1997 jul/1997 ja/1998 jul/1998 ja/1999 jul/1999 ja/2000 jul/2000 ja/2001 jul/2001 ja/2002 jul/2002 ja/2003 jul/2003 ja/2004 jul/2004 ja/2005 jul/2005 ja/2006 jul/2006 ja/2007 jul/2007 ja/2008 jul/2008 ja/2009 jul/2009 ja/2010 jul/2010 ja/2011 jul/2011 ja/2012 jul/2012 ja/2013 jul/2013 ja/2014 jul/2014 Veículos produzidos INE 7001 Aálise de Séries Temporais 2 Vamos observar mais um cojuo de dados, a produção mesal de veículos o Brasil ere jaeiro de 1997 e dezembro de 2014. 400000 Produção mesal de veículos auomoores o Brasil 350000 300000 250000 200000 150000 100000 50000 0 Mês Figura 2 - Série mesal da produção de veículos auomoores o Brasil de jaeiro de 1997 a dezembro de 2014 Foe: adapado pelo auor de Microsof a parir de dados da ANFAVEA Associação Nacioal dos Fabricaes de Veículos Auomoores, dispoíveis em hp://www.afavea.com.br/abelas.hml, acessados em 13/11/2015 Quais padrões podem ser ideificados a Figura 2? - observe que há uma edêcia crescee o úmero de veículos produzidos (começado em cerca de 125000 em jaeiro de 1997 e ermiado em 200000 em dezembro de 2014); - as fluuações (picos e vales) ão são ão regulares quao as ideificadas a Figura 1; - observa-se uma queda a produção o mês de jaeiro de 2009, em fis de 2008 a produção mesal esava em oro de 300000 veículos, e caiu para meos de 100000 aquele mês (provavelmee por causa da crise mudial o úlimo rimesre de 2008). Gráf ico de Corole p - amosras com 300 elemeos.040157.017467 1 5 10 15 20 25 Amosras 0.00000 Figura 3 - Gráfico de corole: fração de defeiuosos Na Figura 3 emos uma série emporal paricular, raa-se de um gráfico de corole de fração de defeiuosos, basae uilizado em Corole Esaísico da Qualidade para avaliar se um processo
ja/87 mar/87 mai/87 jul/87 se/87 ov/87 ja/88 mar/88 mai/88 jul/88 se/88 ov/88 ja/89 mar/89 mai/89 jul/89 se/89 ov/89 ja/90 mar/90 mai/90 jul/90 se/90 ov/90 ja/91 mar/91 mai/91 jul/91 se/91 ov/91 INE 7001 Aálise de Séries Temporais 3 produivo esá esável, e, porao, previsível. Nese caso, ão queremos que haja padrões ão aleaórios, se eles exisirem o processo esá fora de corole esaísico, isável e imprevisível, e ão podemos garair a qualidade dos produos resulaes: precisamos auar sobre o processo e fazer as correções ecessárias. Ouro exemplo: 14000 13000 12000 11000 10000 9000 8000 Miério de ferro Meses Figura 4 - Produção mesal de miério de ferro o Brasil No caso da Figura 4 a série aparea comporar-se de forma erráica. Em vermelho pode-se ver uma liha 1 que possibilia ideificar o ível da produção de miério de ferro, uma edêcia, que se siua ere 10000 e 12000 milhares de oeladas: ese caso ão há edêcia crescee ou decrescee, mas é possível ideificar o comporameo de logo prazo da série. Apareemee ão há variações regulares, como o caso da Figura 1, que cofigurem sazoalidade. O problema fudameal é uilizar um modelo que permia icluir os vários ipos de padrões, possibiliado realizar previsões. O poo de parida é realizar a decomposição da série em padrões. 4.1 - Modelo Clássico das Séries Temporais Segudo o modelo clássico odas as séries emporais são composas de quaro padrões: - edêcia (T), que é o comporameo de logo prazo da série, que pode ser causada pelo crescimeo demográfico, ou mudaça gradual de hábios de cosumo, ou qualquer ouro aspeco que afee a variável de ieresse o logo prazo; - variações cíclicas ou ciclos (C), fluuações os valores da variável com duração superior a um ao, e que se repeem com cera periodicidade 2, que podem ser resulado de variações da ecoomia como períodos de crescimeo ou recessão, ou feômeos climáicos como o El Niño (que se repee com periodicidade superior a um ao); 1 Veremos poseriormee que se raa de uma média móvel. 2 Algus auores ão icluem as variações cíclicas o modelo clássico da série emporal.
INE 7001 Aálise de Séries Temporais 4 - variações sazoais ou sazoalidade (S), fluuações os valores da variável com duração iferior a um ao, e que se repeem odos os aos, geralmee em fução das esações do ao (ou em fução de feriados ou fesas populares, ou por exigêcias legais, como o período para erega da declaração de Imposo de Reda); se os dados forem regisrados aualmee NÃO haverá ifluêcia da sazoalidade a série 3 ; - variações irregulares (I), que são as fluuações iexplicáveis, resulado de faos foruios e iesperados como caásrofes aurais, aeados errorisas como o de 11 de seembro de 2001, decisões iempesivas de goveros, ec. Aqui é imporae saliear que em sempre uma série emporal, mesmo que o modelo clássico seja cosiderado apropriado para aalisá-la, irá apresear odos os compoees ciados acima: - a série pode apresear apeas variações irregulares: ão se percebe comporameo crescee ou decrescee de logo prazo (edêcia), ou fluuações sazoais ou cíclicas (como as séries da Figura 3 e da Figura 4). - a série pode apresear apeas edêcia e variações irregulares 4 : ão são ideificadas fluuações sazoais ou cíclicas, apeas o comporameo crescee/decrescee de logo prazo e as variações aleaórias. - a série pode apresea apeas variações sazoais e irregulares: o comporameo de logo prazo da série é aproximadamee cosae, mas observam-se fluuações dero dos períodos de um ao, que se repeem odos os aos. - quaisquer ouras combiações possíveis. A decomposição da série permiirá ideificar quais compoees esão auado aquele cojuo em paricular, além de possibiliar ober ídices e/ou equações para realizar previsões para períodos fuuros da série. A quesão crucial do modelo clássico é decidir como será a equação que relacioa as compoees com a variável. Há duas opções: o modelo adiivo ou o modelo muliplicaivo: - No modelo adiivo o valor da série (Y) será o resulado da soma dos valores das compoees (que apreseam a mesma uidade da variável): Y = T + C + S + I ou Y = T + C + I (se os dados forem regisrados aualmee) Nas previsões ão emos como icluir a compoee irregular o modelo, pois ela é resulado de faos foruios, eoricamee imprevisíveis. Todas as compoees êm a mesma uidade da série: se esa for em milhões de reais odas ambém erão al uidade. - Pode ser usado ambém o modelo muliplicaivo, o qual o produo das compoees resulará a variável da série: Y = T C S I ou Y = T C I (se os dados forem regisrados aualmee) Novamee, ão icluímos a compoee irregular. Há, porém, uma difereça crucial: apeas a edêcia em a mesma uidade da variável. As demais compoees êm valores que modificam a edêcia: assumem valores em oro de 1 (se maiores do que 1 aumeam a edêcia, se meores dimiuem a edêcia, se exaamee iguais a 1 ão causam efeio). Na Figura 6 observe a escala verical do gráfico das compoees cíclicas, sazoais e irregulares: são valores próximos de 1, equao a escala da Figura 5 em a mesma escala para o valor origial da série e a edêcia (em milhões de dólares). Isso ocorreu porque decompusemos a série emporal usado um modelo muliplicaivo. Chamado a variável de ieresse de Y, a equação de sua série emporal seria: Y = f(t,c,s,i) Podemos observar as compoees a Figura 5 e a Figura 6. 3 Pois ão será possível observar se as fluuações se repeem sisemaicamee dero dos aos. 4 Não há como se livrar das variações irregulares...
INE 7001 Aálise de Séries Temporais 5 Vedas e edêcia liear 1400 1200 1000 800 600 Vedas Tedêcia 400 200 0 jaeiro-65 jaeiro-70 jaeiro-75 jaeiro-80 jaeiro-85 jaeiro-90 jaeiro-95 jaeiro-00 Figura 5 - Série origial e edêcia liear Na Figura 5 podemos observar uma série emporal de vedas (em milhões de dólares), e a edêcia, o caso uma rea (edêcia liear), que mosra um crescimeo o logo prazo. Na Figura 6 podemos observar as rês ouras compoees. Observe que a cada 5 ou 6 aos ocorre um ciclo, uma mudaça os valores da variável (a liha azul). Há ambém variações sazoais, que se repeem odos os aos, devido provavelmee às esações (a liha vermelha). Por fim, há variações erráicas, que ão apreseam regularidade, mas que alvez se relacioem com eveos iesperados ocorridos o período, as variações irregulares (liha verde). Variações cíclicas, sazoais e irregulares 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1 Ciclos Sazoais Irregulares 0.9 0.8 0.7 0.6 jaeiro-65 jaeiro-70 jaeiro-75 jaeiro-80 jaeiro-85 jaeiro-90 jaeiro-95 jaeiro-00 Figura 6 - Compoees cíclicas, sazoais e irregulares. Qual é o melhor modelo? Depederá dos dados da própria série, das caracerísicas irísecas do problema. Apresearemos poseriormee medidas que possibiliam avaliar a adequação das previsões feias por um modelo.
INE 7001 Aálise de Séries Temporais 6 4.2 - Obeção da Tedêcia A edêcia descreve o comporameo da variável reraada a série emporal o logo prazo. Há rês objeivos básicos a sua ideificação: avaliar o seu comporameo para uilizá-lo em previsões, removê-la da série para faciliar a visualização das ouras compoees, ou aida ideificar o ível da série (o valor ou faixa ípica de valores que a variável pode assumir, se ão for observado comporameo crescee ou decrescee o logo prazo). A obeção da edêcia pode ser feia de rês formas: aravés de um modelo de regressão (como o modelo liear - rea), aravés de médias móveis, ou aravés de ajuse expoecial (que ão deixa de ser uma média móvel). 4.2.1 - Obeção de edêcia por míimos quadrados O procedimeo é semelhae ao usado a regressão liear simples (ver seção 3.2.4), mas agora a variável idepedee será sempre o empo. Para uma série regisrada aualmee, por exemplo, de 2005 a 2014, a variável idepedee assumiria os valores dos aos. Para uma série regisrada mesalmee, por exemplo, com 60 meses, a variável idepedee poderia assumir os valores de 1 a 60. As equações podem ser as mesmas usadas aeriormee (a esimaiva do valor da série, Y, é deoada como Y ), e que ambém podem er seus coeficiees obidos por aplicaivos compuacioais: - liear (rea) - T b a ; 2 - poliômio de segudo grau - T c b a - logarímico - T b L( ) a ; a - poêcia - T b ; - expoecial - T b e a Ode T é o valor da edêcia, é o valor do empo, o caso liear b é o coeficiee agular da rea (se posiivo idica edêcia crescee, se egaivo a edêcia é decrescee) e a é o coeficiee liear da rea. As equações dos coeficiees esão expressas a seguir. b i1 Y i i1 i 2 i i1 i i1 i i1 2 Y i a Y b i i1 i1 i Ode Y i é um valor qualquer da variável regisrada a série emporal, i é o período associado a Y i, e é o úmero de períodos da série. Para ecorar os coeficiees basa calcular os somaórios (al como em aálise de regressão liear simples). Exemplo 4.1 - Os dados a seguir apreseam o parimôio líquido (em bilhões de reais) de um baco de 2005 a 2015. Supodo que o modelo liear seja apropriado para descrever a edêcia da série, ecore os coeficiees da rea de míimos quadrados. Faça a previsão de edêcia para os aos de 2016 e 2017.
INE 7001 Aálise de Séries Temporais 7 Ao Parimôio (R$1.000.000) 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 30 32 32 35 37 38 42 41 44 46 47 A variável depedee é o saldo de vedas: será o Y. Há 11 períodos: = 11. O próximo passo é ecorar os somaórios ecessários para ober os coeficiees. Mas ao ivés de usarmos os aos, o que poderia complicar ossos cálculos, vamos rabalhar com períodos, sedo 2005 o período 1, 2006 o 2 e assim por diae. A abela ficaria eão (já icluido as coluas y e 2 ): Ao Parimôio (Y) (R$1.000.000) Tempo ().Y 2 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 30 32 32 35 37 38 42 41 44 46 47 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 30 64 96 140 185 228 294 328 396 460 517 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 Soma 424 66 2768 506 Subsiuido os valores as equações: i yi i y y i i b i i1 i1 i1 11 2768 66 424 i1 i1 424 (1,76 66) b 1,76 a 27, 96 2 2 11 506 (66) 2 11 i i i1 i1 Eão a equação de edêcia é: T = 27,96 + 1,76 O ao de 2016 correspoderá ao período 12, e 2017 ao período 13 da série emporal. Subsiuido eses valores a equação acima: T 2016 = 27,96 + (1,76 12) = 49,08 T 2017 = 27,96 + (1,76 13) = 50,84 Podemos eão apresear um gráfico (feio o Microsof Excel) da série origial, a rea de edêcia e a projeção para os aos de 2016 e 2017 (Figura 7).
Parimôio líquido (R$ bilhões( INE 7001 Aálise de Séries Temporais 8 55 50 45 40 35 30 25 Parimôio líquido 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 Aos Parimôio líquido Liear (Parimôio líquido) Figura 7 - Parimôio líquido de um baco: série aual, edêcia liear e projeção 4.2.1.1 Medidas de acuracidade Foe: Hipoéica Coforme mecioado ese Capíulo (e o Capíulo 3) vários aplicaivos compuacioais podem ober os coeficiees de modelos de regressão/edêcia pelo méodo dos míimos quadrados. Mas como escolher qual é o melhor? Uma abordagem seria usar o coeficiee de deermiação (r 2 ): o melhor modelo de edêcia por míimos quadrados seria aquele com o maior r 2, como os aplicaivos compuacioais permiem a obeção rápida dese coeficiee o processo de comparação seria simplificado. Embora simples esa opção ão será adoada aqui por moivos que serão explicados a seguir. Oura possibilidade seria o uso da aálise de resíduos do modelo, mas esa apresea um icoveiee: a ão ser que seja uilizado um sofware esaísico específico (que pode ser muio caro ou complicado de usar), a obeção dos resíduos e a cosrução dos diagramas de dispersão dos resíduos em plailha elerôica pode levar algum empo 5. A lieraura de Aálise de Séries Temporais recomeda o uso de medidas de acuracidade, que são esaísicas que permiem avaliar o ajuse de uma previsão aos dados origiais, por meio do cálculo de médias das difereças (erros) ere os dados origiais e as previsões em cada período da série emporal 6. Embora as medidas exijam o cálculo dos erros (resíduos) para odos os modelos sob aálise, ão demada a cosrução de diagramas, e suas coclusões geralmee coicidem com as da avaliação do r 2. E podem depois ser adapadas para comparar os resulados da recomposição pelos modelos adiivo e muliplicaivo. Dere as várias dispoíveis desacam-se rês, usadas iclusive por sofwares esaísicos como o Miiab : Erro Absoluo Médio (EAM), Erro Quadráico Médio (EQM) e Erro Perceual Absoluo Médio (EPAM). Todas se baseiam os cálculos dos erros: as difereças ere os valores da série e os valores predios pelas equações de edêcia para cada período da série. Erro absoluo médio (EAM): 1 EAM 1 e 5 Esa abordagem foi usada o Capíulo 3 por ser a práica esabelecida em Aálise de Regressão, especialmee a Aálise de Regressão Múlipla (com várias variáveis idepedees), que é a mais usada a práica. 6 MAKRIDAKIS, S., WHEELWRIGHT, S.C., HYNDMAN, R.J. Forecasig: mehods ad applicaios. 3rd ed.- New York: Wiley, 1998.
1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96 101 106 111 116 121 126 131 136 141 146 151 156 161 166 171 176 181 186 191 196 201 206 211 216 Veículos produzidos INE 7001 Aálise de Séries Temporais 9 Erro quadráico médio (EQM): Erro perceual absoluo médio (EPAM): 1 EQM 1 EPAM 2 e 1 1 e Y 100 Ode: e Y Tˆ e é o erro (difereça ere o valor da série, Y, e o valor previso por um modelo de edêcia em um período geérico ). As duas primeiras medidas depedem da escala dos valores da série, o que dificula a comparação com ouras séries, ou mesmo ere diferees iervalos de empo a mesma série. A úlima, EPAM, por ser relaiva, ão apresea aqueles problemas 7. Não obsae, por apresear divisão pelos valores da série, pode ser iapropriada quado a série iver valores iguais ou próximos a zero. A seguda medida, EQM, semelhae ao desvio padrão, dá maior êfase a grades erros do que EAM 8. Pode-se usar odas, o que é fácil de implemear em uma plailha elerôica, ou já faz pare dos programas esaísicos. O melhor modelo será o que apresear os valores mais próximos de zero. Exemplo 4.2 Seja a produção mesal de veículos o Brasil ere jaeiro de 1997 e dezembro de 2014, mosrada a Figura 2. Após o ajuse dos cico modelos de edêcia (liear, poliômio de segudo grau, logarímico, poêcia e expoecial é possível observar as curvas e a série origial a 400000 Produção mesal de veículos auomoores o Brasil (1997-2014) Tˆ 350000 300000 250000 y = 988,24x + 96844 y = 51593l(x) - 22526 y = 0,9929x 2 + 772,79x + 104672 y = 58386x 0,27 y = 110007e 0,0051x 200000 150000 100000 50000 0-50000 Mês Veículos produzidos Liear (Veículos produzidos) Logarimo (Veículos produzidos) Poliômio (Veículos produzidos) Poêcia (Veículos produzidos) Expoecial (Veículos produzidos) Figura 8 - Série mesal da produção de veículos auomoores o Brasil de jaeiro de 1997 a dezembro de 2014 com cico modelos de edêcia obidos por míimos quadrados Foe: adapado pelo auor de Microsof a parir de dados da ANFAVEA Associação Nacioal dos Fabricaes de Veículos Auomoores, dispoíveis em hp://www.afavea.com.br/abelas.hml, acessados em 13/11/2015 A abela a seguir apresea a produção mesal de veículos o Brasil para os meses de Jaeiro a Dezembro de 1997 (correspodem aos valores de, período, de 1 e 12, respecivamee), exraídos 7 MAKRIDAKIS, S., WHEELWRIGHT, S.C., HYNDMAN, R.J. Forecasig: mehods ad applicaios. Joh Wiley & Sos, 3 rd ediio, 1998, págias 42-44. 8 CAMM, J. D., EVANS, J. R. Maageme Sciece ad decisio echology. Souh-Weser College Publishig, 2000, págia 103.
INE 7001 Aálise de Séries Temporais 10 dos dados usados a Figura 2 e a Figura 8, e as previsões feias para os mesmos meses pelas equações de edêcia mosradas a Figura 8. Prod. (Y ) Tˆ veículos 0,9929 2 + 772,79 + 988,24 + 96844 104672 51593 l() - 22526 58386 0,27 110007 e 0,0051 1 124889 97832,24 105445,7829-22526 105445,8 58386 2 136323 98820,48 106221,5516 13235,54 106219,6 70402,3 3 153164 99808,72 106999,3061 34154,7 106993,3 78547,34 4 172391 100796,96 107779,0464 48997,08 107767,1 84891,64 5 162310 101785,2 108560,7725 60509,73 108540,9 90163,47 6 170685 102773,44 109344,4844 69916,25 109314,7 94712,99 7 160400 103761,68 110130,1821 77869,34 110088,5 98738,2 8 173863 104749,92 110917,8656 84758,63 110862,3 102363 9 182952 105738,16 111707,5349 90835,41 111636 105670,6 10 192829 106726,4 112499,19 96271,27 112409,8 108719,8 11 130140 107714,64 113292,8309 101188,6 113183,6 111553,9 12 101255 108702,88 114088,4576 105677,8 113957,4 114205,7 Subsiuido o valor de as equações mosradas o Quadro 24 é possível calcular as edêcias por míimos quadrados para odos os períodos da série. Para o período 2, por exemplo, as edêcias são: - liear: Tˆ 988,24 2 + 96844 = 98820,48; - poliômio de segudo grau: Tˆ 0,9929 2 2 + 772,79 2 + 104672 = 106219,6; - logarímico: Tˆ 51593 l(2) 22526 = 13235,54; - poêcia: Tˆ 58386 2 0,27 = 106219,6; - expoecial: Tˆ 110007 e 0,0051 2 = 70402,3. Na abela a seguir mosra-se como realizar o cálculo dos erros para a edêcia liear para os primeiros doze meses da série da Figura 2 (Jaeiro a Dezembro de 1997). Equação da Módulo do Erro Erro quadráico Erro perceual edêcia erro Prod. (Y ) veículos Tˆ 988,24x + e Y Tˆ e e ( e / ) 100 96844 1 124889 97832,24 27056,76 27056,76 732068261,7 21,66 2 136323 98820,48 37502,52 37502,52 1406439006 27,51 3 153164 99808,72 53355,28 53355,28 2846785904 34,84 4 172391 100796,96 71594,04 71594,04 5125706564 41,53 5 162310 101785,2 60524,8 60524,8 3663251415 37,29 6 170685 102773,44 67911,56 67911,56 4611979982 39,79 7 160400 103761,68 56638,32 56638,32 3207899292 35,31 8 173863 104749,92 69113,08 69113,08 4776617827 39,75 9 182952 105738,16 77213,84 77213,84 5961977088 42,20 10 192829 106726,4 86102,6 86102,6 7413657727 44,65 11 130140 107714,64 22425,36 22425,36 502896771,1 17,23 12 101255 108702,88-7447,88 7447,88 55470916,49 7,36 Realizado o mesmo procedimeo para as ouras equações de edêcia, para odos os períodos da série mosrada a Figura 2, podem-se ober as medidas de acuracidade de cada modelo, coforme a abela a seguir: 2 Y
INE 7001 Aálise de Séries Temporais 11 Medida Modelo Liear Poliômio de 2º grau Logarímico Poêcia Expoecial EAM 27928,64 27752,31 42944,76 39481,05 28195,36 EQM 1247075874 1235156012 2618630743 2222579666 1306864744 EPAM 15,83 15,63 25,37 22,01 15,35 Os meores valores das medidas de acuracidade são mosrados em egrio. A edêcia por poliômio de segudo grau em os meores valores de EAM e EQM, mas a edêcia por expoecial em o meor EPAM. Por maioria, escolhe-se o poliômio de segudo grau como o melhor modelo para represear a edêcia da série por míimos quadrados. Podemos usar ese modelo para fazer a previsão da edêcia da série os doze meses de 2015, que seriam os períodos 217 a 228 da série. Mês Período () Previsão edêcia (poliômio de 2º grau) (veículos) Jaeiro 2015 217 Tˆ 0,9929 217 2 + 772,79 217 + 104672 = 319122,0981 Fevereiro 2015 218 Tˆ 0,9929 218 2 + 772,79 218 + 104672 = 320326,7996 Março 2015 219 Tˆ 0,9929 219 2 + 772,79 219 + 104672 = 321533,4869 Abril 2015 220 Tˆ 0,9929 220 2 + 772,79 220 + 104672 = 322742,16 Maio 2015 221 Tˆ 0,9929 221 2 + 772,79 221 + 104672 = 323952,8189 Juho 2015 222 Tˆ 0,9929 222 2 + 772,79 222 + 104672 = 325165,4636 Julho 2015 223 Tˆ 0,9929 223 2 + 772,79 223 + 104672 = 326380,0941 Agoso 2015 224 Tˆ 0,9929 224 2 + 772,79 224 + 104672 = 327596,7104 Seembro 2015 225 Tˆ 0,9929 225 2 + 772,79 225 + 104672 = 328815,3125 Ouubro 2015 226 Tˆ 0,9929 226 2 + 772,79 226 + 104672 = 330035,9004 Novembro 2015 227 Tˆ 0,9929 227 2 + 772,79 227 + 104672 = 331258,4741 Dezembro 2015 228 Tˆ 0,9929 228 2 + 772,79 228 + 104672 = 332483,0336 4.2.2 - Obeção de edêcia por médias móveis As médias móveis são uma forma aleraiva de obeção da edêcia ou ível de uma série emporal. Calcula-se a média dos primeiros períodos da série, colocado o resulado o período exaamee o cero deles. Progressivamee, vamos acresceado um período seguie e desprezado o primeiro da média imediaamee aerior, e calculado ovas médias, que vão se movedo aé o fim da série. O úmero de períodos () é chamado de ordem da série. Exemplo 4.3 - Os dados a seguir, que represeam as vedas auais das fábricas (em milhões de uidades), em odo o mudo, de carros, camihões e ôibus fabricados pela Geeral Moors Corporaio de 1970 a 1992. Obeha a edêcia da série por médias móveis de 3, 5 e 7 períodos, e ploe-as em um gráfico juo com os dados origiais 9. 9 Adapado de LEVINE, D. M., BERENSON, M. L. e STEPHAN, D. Esaísica: Teoria e Aplicações usado o Excel. Rio de Jaeiro: LTC, 2000.
Vedas (milhões de uidades) INE 7001 Aálise de Séries Temporais 12 Ao Vedas Ao Vedas Ao Vedas 1970 5,3 1978 9,5 1986 8,6 1971 7,8 1979 9,0 1987 7,8 1972 7,8 1980 7,1 1988 8,1 1973 8,7 1981 6,8 1989 7,9 1974 6,7 1982 6,2 1990 7,5 1975 6,6 1983 7,8 1991 7,0 1976 8,6 1984 8,3 1992 7,2 1977 9,1 1985 9,3 Primeiramee vamos apresear um gráfico da série origial, para observar se ão seria possível ajusar uma rea como edêcia da série. Veja a Figura 9. 10 9 8 7 6 5 4 1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 Aos Figura 9 - Vedas da GM (milhões de uidades) Não parece haver um comporameo crescee, ou decrescee, o logo prazo. Poderia se afirmar que a série ão em edêcia, e que ão seria apropriado ajusar uma equação de rea aos dados. Não obsae, há ieresse em ober o ível da série, em que paamar esão as vedas da GM. Vamos aplicar médias móveis de 3, 5 e 7 períodos e observar os resulados. Médias Móveis de 3 períodos Devemos juar os períodos de 3 em 3, sempre acresceado o próximo e desprezado o primeiro do grupo aerior, colocado o resulado o período ceral (2 o período): 1970-1971 - 1972 com resulado em 1971; 1971-1972 - 1973 com resulado em 1972; 1972-1973 - 1974 com resulado em 1973; 1973-1974 - 1975 com resulado em 1974; 1974-1975 - 1976 com resulado em 1975; 1975-1976 - 1977 com resulado em 1976; 1976-1977 - 1978 com resulado em 1977; e assim por diae, aé chegar a 1990-1991 - 1992 com resulado em 1991. A abela com os resulados:
INE 7001 Aálise de Séries Temporais 13 Ao Vedas (Y) - em Toal Móvel 3 períodos Média Móvel 3 períodos milhões 1970 5,3 - - 1971 7,8 20,9 6,97 1972 7,8 24,3 8,10 1973 8,7 23,2 7,73 1974 6,7 22 7,33 1975 6,6 21,9 7,30 1976 8,6 24,3 8,10 1977 9,1 27,2 9,07 1978 9,5 27,6 9,20 1979 9 25,6 8,53 1980 7,1 22,9 7,63 1981 6,8 20,1 6,70 1982 6,2 20,8 6,93 1983 7,8 22,3 7,43 1984 8,3 25,4 8,47 1985 9,3 26,2 8,73 1986 8,6 25,7 8,57 1987 7,8 24,5 8,17 1988 8,1 23,8 7,93 1989 7,9 23,5 7,83 1990 7,5 22,4 7,47 1991 7 21,7 7,23 1992 7,2 - - Observe que ao calcularmos médias móveis algus períodos ficam sem edêcia, porque os resulados das médias são posos o cero dos períodos. Média móvel de 5 períodos Devemos juar os períodos de 5 em 5, sempre acresceado o próximo e desprezado o primeiro do grupo aerior, colocado o resulado o período ceral (3 o período): 1970-1971 - 1972-1973 - 1974 com resulado em 1972; 1971-1972 - 1973-1974 - 1975 com resulado em 1973; 1972-1973 - 1974-1975 - 1976 com resulado em 1974; 1973 1974 1975 1976 1977 com resulado em 1975; 1974 1975 1976 1977 1978 com resulado em 1976; e assim por diae, aé chegar a 1988-1989 - 1990-1991 - 1992 com resulado em 1990. A abela com os resulados:
INE 7001 Aálise de Séries Temporais 14 Ao Vedas (Y) - em Toal Móvel 5 períodos Média Móvel 5 períodos milhões 1970 5,3 - - 1971 7,8 - - 1972 7,8 36,3 7,26 1973 8,7 37,6 7,52 1974 6,7 38,4 7,68 1975 6,6 39,7 7,94 1976 8,6 40,5 8,1 1977 9,1 42,8 8,56 1978 9,5 43,3 8,66 1979 9 41,5 8,3 1980 7,1 38,6 7,72 1981 6,8 36,9 7,38 1982 6,2 36,2 7,24 1983 7,8 38,4 7,68 1984 8,3 40,2 8,04 1985 9,3 41,8 8,36 1986 8,6 42,1 8,42 1987 7,8 41,7 8,34 1988 8,1 39,9 7,98 1989 7,9 38,3 7,66 1990 7,5 37,7 7,54 1991 7 - - 1992 7,2 - - Novamee, algus períodos ficam sem edêcia, porque os resulados das médias são posos o cero dos períodos. Aqui, como as médias agrupam 5 períodos, dois ficam sem edêcia o iício e dois ao fial da série. Média móvel de 7 períodos Devemos juar os períodos de 7 em 7, sempre acresceado o próximo e desprezado o primeiro do grupo aerior, colocado o resulado o período ceral (5 o período): 1970-1971 - 1972-1973 - 1974-1975 - 1976 com resulado em 1973; 1971-1972 - 1973-1974 - 1975-1976 - 1977 com resulado em 1974; 1972-1973 - 1974-1975 - 1976-1977 - 1978 com resulado em 1975; 1973-1974 - 1975-1976 - 1977-1978 - 1979 com resulado em 1976; 1974-1975 - 1976-1977 - 1978-1979 - 1980 com resulado em 1977; 1975-1976 - 1977-1978 - 1979-1980 - 1981 com resulado em 1978; e assim por diae, aé chegar a 1986-1987 - 1988-1989 - 1990-1991 - 1992 com resulado em 1989. A abela com os resulados:
1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 Vedas (milhões de uidades) INE 7001 Aálise de Séries Temporais 15 Ao Vedas (Y) - em milhões Toal Móvel 7 períodos Média Móvel 7 períodos 1970 5,3 - - 1971 7,8 - - 1972 7,8 - - 1973 8,7 51,5 7,36 1974 6,7 55,3 7,90 1975 6,6 57 8,14 1976 8,6 58,2 8,31 1977 9,1 56,6 8,09 1978 9,5 56,7 8,10 1979 9 56,3 8,04 1980 7,1 55,5 7,93 1981 6,8 54,7 7,81 1982 6,2 54,5 7,79 1983 7,8 54,1 7,73 1984 8,3 54,8 7,83 1985 9,3 56,1 8,01 1986 8,6 57,8 8,26 1987 7,8 57,5 8,21 1988 8,1 56,2 8,03 1989 7,9 54,1 7,73 1990 7,5 - - 1991 7 - - 1992 7,2 - - Aqui, como as médias agrupam 7 períodos, rês ficam sem edêcia o iício e rês ao fial da série. Cosruido o gráfico da série origial com as médias móveis: 10 9 8 7 6 5 4 Vedas Médias Móveis de 5 períodos Médias móveis de 3 períodos Médias Móveis de 7 períodos Figura 10 - Vedas da GM e médias móveis de 3, 5 e 7 períodos Quao maior o úmero de períodos da série agrupados pela média móvel mais "alisada" fica a liha de edêcia (média móvel de 7 períodos): esa represea melhor o comporameo de logo prazo, idicado uma ligeira oscilação em oro de 8 milhões de uidades vedidas (ese é o ível da série). E quao meor o úmero de períodos mais a edêcia acompahará os dados origiais (média móvel de 3 períodos). Por ese moivo, quado uma série apresea muias irregularidades é comum "alisá-la" aravés de médias móveis.
INE 7001 Aálise de Séries Temporais 16 Mas o que acoeceria se o úmero de períodos fosse par? Se possível, devemos escolher um úmero ímpar de períodos, para que o resulado seja colocado em um período ceral que em correspodee a série emporal. Coudo, se a série emporal for regisrada rimesralmee, e queremos ober a sua edêcia por médias móveis, devemos uilizar médias móveis de 4 períodos (porque há 4 rimesres o ao), para que possamos ober a edêcia sem ifluêcia da sazoalidade. Se a série for regisrada mesalmee, devemos uilizar médias móveis de 12 períodos. Neses dois casos os períodos "cerais" (que começariam em 2,5 o e 6,5 o respecivamee) ão êm correspodee a série origial, o que orará impossível remover a edêcia da série para observar ouras compoees. As médias móveis precisam ser ceralizadas: calculam-se ovas médias móveis, a parir das calculadas com 4 ou 12 períodos, mas agora de 2 períodos, colocado seus resulados em períodos que êm correspodees a série. Exemplo 4.4 - Uma correora de seguros esá avaliado os coraos obidos ao logo de vários aos. A série foi regisrada rimesralmee. Obeha a edêcia da série uilizado médias móveis. Trimesre Ao I II III IV 2013 2014 2015 24 20 15 21 20 14 2016 13 12 4 5 Como a série é regisrada rimesralmee, e a edêcia deve ser obida por médias móveis, é preciso calcular médias móveis de 4 períodos, pois há 4 rimesres o ao. Coudo, como ese úmero de períodos é par, médias móveis de 2 períodos, calculadas a parir daquelas de 4 períodos, precisam ser obidas para ober resulados cerados. Trim. Co. Toal móvel 4 per. Toal móvel 2 per. (cerado) Média Móvel 2 per. (cerada) 2013 I 24 2013 II 21 65 2013 III 11 126 15,75 61 2013 IV 9 121 15,125 60 2014 I 20 116 14,5 56 2014 II 20 109 13,625 53 2014 III 7 101 12,625 48 2014 IV 6 90 11,25 42 2015 I 15 82 10,25 40 2015 II 14 80 10 40 2015 III 5 78 9,75 38 2015 IV 6 74 9,25 36 2016 I 13 71 8,875 35 2016 II 12 69 8,625 34 2016 III 4 2016 IV 5 11 7 5 9 6 6
Número de coraos INE 7001 Aálise de Séries Temporais 17 As lihas mais escuras a abela acima idicam os períodos "cerais" das médias móveis de ordem 4, que ão êm correspodee a série origial. Para faciliar o osso rabalho calculamos apeas os oais móveis de 4 períodos, acompahe: - os primeiros 4 períodos são os 4 rimesres de 2013: 2013 I, 2013 II, 2013 III, 2013 IV; o oal móvel deles (igual a 65) deve ficar o cero deses períodos, ou seja ere 2013 II e 2013 III, que é um período iexisee a série origial; - em seguida desprezamos 2013 I e icluímos 2014 I: 2013 II, 2013 III, 2013 IV, 2014 I; o oal móvel (igual a 61) deve ficar ere 2013 III e 2013 IV, ovamee iexisee a série origial; - prosseguimos aé os 4 úlimos períodos: 2016 I, 2016 II, 2016 III, 2016 IV; o oal móvel (igual a 34) deve ficar ere 2016 II e 2016 III. Agora precisamos ober as médias móveis ceradas. Primeiramee calculamos os oais móveis de 2 períodos, juado 2 oais móveis de 4 períodos calculados aeriormee: - o oal móvel de 4 períodos que esá ere 2013 II e 2013 III, com o que esá ere 2013 III e 2013 IV, cujo resulado (126) deverá ficar em 2013 III (passado a er correspodee a série origial); - o oal móvel de 4 períodos que esá ere 2013 III e 2013 IV, com o que esá ere 2013 IV e 2014 I, cujo resulado (121) deverá ficar em 2013 IV (passado a er correspodee a série origial); - prosseguimos aé os úlimos 2 oais móveis de 4 períodos: ere 2016 I e 2016 II, e ere 2016 II e 2016 III, cujo resulado (69) deverá ficar em 2016 II. Dividimos os oais móveis de 2 períodos por oio (porque agrupamos dois cojuos de 4 períodos), e obemos as médias móveis ceradas. Repare que falam médias móveis para exaamee 2 períodos o iício da série e para exaamee 2 o fial, porque as médias móveis iiciais evolvem 4 períodos (porque há 4 rimesres o ao). Se a série fosse mesal falariam 6 períodos o iício e 6 o fial. Vamos ver como ficam a série origial e a edêcia em um gráfico: 30 25 20 15 10 5 0 2013 I 2013 II 2013 III 2013 IV 2014 I 2014 II 2014 III 2014 IV 2015 I 2015 II 2015 III 2015 IV 2016 I 2016 II 2016 III 2016 IV Trimesres Série origial Médias móveis ceradas Figura 11 - Número de coraos: série origial e médias móveis de 4 períodos (ceradas) É ieressae observar que a edêcia do úmero de coraos é decrescee. Supodo que fossem dados auais e desejássemos fazer previsões para o fuuro, raa-se de um iquieae sial para a correora de seguros. Se o mercado ecora-se reraído o mau desempeho seria explicável, mas mesmo assim é preocupae que o logo prazo o úmero de coraos esá caido, a ão ser que o valor idividual dos coraos compese esa redução.
INE 7001 Aálise de Séries Temporais 18 4.2.3 - Ajuse Expoecial O ajuse expoecial é uma oura forma de ober a edêcia de uma série emporal. Apresea algumas vaages em relação às médias móveis: - permie realizar previsões de curo prazo (para o período seguie da série), o que ão é possível por médias móveis. - leva em coa odos os valores previamee observados ao período sob aálise, e ão somee os "mais próximos" dele, como ocorre as médias móveis. Na realidade o ajuse expoecial forece uma média móvel expoecialmee poderada ao logo da série emporal: ou seja, cada previsão ou valor ajusado depede de odos os valores prévios. Os pesos desigados para os valores observados decrescem ao logo do empo, ou seja, o valor observado mais receemee recebe o maior peso, o valor aerior o segudo maior e o valor observado iicialmee recebe o meor peso: isso é bom seso, imagia-se que os dados mais recees devam er mais ifluêcia as previsões do que os mais aigos. O ajuse expoecial é uma das ferrameas dispoíveis o suplemeo Aálise de Dados do Microsof Excel. Para realizar o ajuse expoecial basa aplicar a seguie fórmula para um período de empo i qualquer: E i WYi ( 1 W) Ei 1 Ode: i - um período de empo qualquer; Y i - valor da série origial o período i; E i - valor da série expoecialmee ajusada o período i; E i-1 - valor da série expoecialmee ajusada o período i - 1 (período aerior); W - cosae de regularização ou coeficiee de ajuse (0 < W < 1); Cosidera-se que o primeiro valor da série origial será igual ao primeiro valor ajusado, iso sigifica que o ajuse realmee começa a parir do segudo período da série. Como cada valor ajusado leva em coa o valor ajusado imediaamee aerior (muliplicado pela cosae de regularização) eoricamee odos os valores prévios da série coribuem para o valor ajusado. A escolha da cosae de regularização W é crucial para o ajuse expoecial, mas é um processo subjeivo. Não obsae, é possível esabelecer uma regra de escolha: - se o ieresse é simplesmee ober a edêcia, elimiado o efeio das ouras compoees, o valor de W deverá ser próximo de zero; - se houver ieresse, porém, em realizar previsão com a série é recomedável que o valor de W seja mais próximo de 1, de maeira a refleir melhor o comporameo da série o curo prazo. Exemplo 4.5 - Faça o ajuse expoecial da série de vedas do Exemplo 4.2 (usado W = 0,25; W = 0,5; W = 0,75 e W = 0,10). Cosrua um gráfico cojuo da série origial com os quaro ajuses. Ao Vedas (Y) Ao Vedas (Y) Ao Vedas (Y) 1970 5,3 1978 9,5 1986 8,6 1971 7,8 1979 9,0 1987 7,8 1972 7,8 1980 7,1 1988 8,1 1973 8,7 1981 6,8 1989 7,9 1974 6,7 1982 6,2 1990 7,5 1975 6,6 1983 7,8 1991 7,0 1976 8,6 1984 8,3 1992 7,2 1977 9,1 1985 9,3 Vamos demosrar os cálculos para W = 0,25.
Vedas (milhões de uidades) INE 7001 Aálise de Séries Temporais 19 Vamos cosiderar que o primeiro valor da série, Y 1970, será igual ao primeiro valor ajusado, E 1970. Podemos eão realizar o ajuse para o ao de 1971: E 1971 WY1971 ( 1 W) E1970 (0,25 7,8) (1 0,25) (5,3) 5,93 milhões Para o ao de 1972: E 1972 W Y1972 ( 1 W) E1971 (0,25 7,8) (1 0,25) (5,93) 6,39 milhões O processo segue aé o fial da série. De maeira aáloga podemos ober o ajuse para W = 0,5 e W = 0,75. Os valores ajusados esão a abela a seguir: Ao Vedas (Y) - em milhões W = 0,25 W = 0,50 W = 0,75 W = 0,10 1970 5,3 5,3 5,3 5,3 5,3 1971 7,8 5,93 6,55 7,18 5,55 1972 7,8 6,39 7,18 7,64 5,78 1973 8,7 6,97 7,94 8,44 6,07 1974 6,7 6,90 7,32 7,13 6,13 1975 6,6 6,83 6,96 6,73 6,18 1976 8,6 7,27 7,78 8,13 6,42 1977 9,1 7,73 8,44 8,86 6,69 1978 9,5 8,17 8,97 9,34 6,97 1979 9 8,38 8,98 9,08 7,17 1980 7,1 8,06 8,04 7,60 7,16 1981 6,8 7,74 7,42 7,00 7,13 1982 6,2 7,36 6,81 6,40 7,04 1983 7,8 7,47 7,31 7,45 7,11 1984 8,3 7,68 7,80 8,09 7,23 1985 9,3 8,08 8,55 9,00 7,44 1986 8,6 8,21 8,58 8,70 7,55 1987 7,8 8,11 8,19 8,02 7,58 1988 8,1 8,11 8,14 8,08 7,63 1989 7,9 8,05 8,02 7,95 7,66 1990 7,5 7,92 7,76 7,61 7,64 1991 7 7,69 7,38 7,15 7,58 1992 7,2 7,57 7,29 7,19 7,54 E o gráfico é mosrado a Figura 12: 10 9 8 7 6 5 4 1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 Aos Vedas W = 0,25 W = 0,50 W = 0,75 W = 0,10 Figura 12 - Ajuse expoecial com vários valores de W
INE 7001 Aálise de Séries Temporais 20 Quao meor o valor de W mais "alisada" é a série, com as variações de curo prazo sedo amorizadas, possibiliado visualizar o comporameo de logo prazo da série, seja ele crescee/decrescee ou esacioário: para W = 0,1 é fácil perceber uma edêcia crescee as vedas, mas que parece esar se esabilizado. À medida que o valor de W aproxima-se de 1 o ajuse expoecial ora-se mais próximo da série origial, o que pode ser úil a previsão para o ao de 1993. Por exemplo, se quiséssemos realizar a previsão para o ao de 1993, o valor previso seria aquele ajusado para o ao imediaamee aerior (1992): para W = 0,25 Vedas 1993 = 7,57 milhões; para W = 0,50 Vedas 1993 = 7,29 milhões; para W = 0,75 Vedas 1993 = 7,19 milhões; para W = 0,10 Vedas 1993 = 7,59 milhões. Qual desas previsões é a mais apropriada? Como se raa de uma previsão de curo prazo é recomedável escolher as previsões feias para valores mais alos de W, 0,5 ou 0,75, que mosram melhor as fluuações. Sedo assim, espera-se que as vedas em 1993 esejam ere em 7,29 e 7,19 milhões de uidades. Assim que os dados de 1993 esivessem dispoíveis poderíamos fazer a previsão sobre 1994, e assim por diae. Compare a curva para W = 0,10 da Figura 12, que idica uma edêcia crescee de vedas, com a média móvel de 7 períodos da Figura 10, que idica esabilização em oro de 8 milhões. Em qual das duas cofiar? Lembre-se de que o ajuse expoecial leva em coa odos os valores aeriores ao período, e que a média móvel apeas aqueles defiidos o seu período (3, 5, 7), e que maior peso é dado aos valores dos períodos mais próximos, o que pode represear maior acuracidade, pois são mais recees. 4.2.4 - Remoção da Tedêcia Uma vez ideificada a edêcia, seja por equações ou por médias móveis, ela pode ser removida da série, para faciliar a visualização das ouras compoees: Y T CS I para um modelo adiivo Y CSI para um modelo muliplicaivo T Vejamos como ficaria a série mosrada a Figura 5 com a remoção da edêcia, pelos modelos adiivo e muliplicaivo (ambas supodo uma edêcia liear): Vedas sem edêcia - modelo adiivo 600 500 400 300 200 100 0-100 ja/65 ja/70 ja/75 ja/80 ja/85 ja/90 ja/95 ja/00-200 -300 Figura 13- Série emporal de vedas (Figura 5) com edêcia removida modelo adiivo
INE 7001 Aálise de Séries Temporais 21 Observe a escala do gráfico. Os valores oscilam em oro de zero: se maiores do que zero idicam compoees que aumeam a edêcia, se meores que dimiuem. A escala do gráfico é semelhae a da Figura 6 (milhões de dólares). Figura 14 - Série emporal de vedas (Figura 5) com edêcia removida modelo muliplicaivo Observe a escala do gráfico, com valores em oro de 1: a edêcia foi removida, resaram apeas as compoees cíclicas, sazoais e irregulares que modificam a edêcia em um modelo muliplicaivo. 4.3 - Obeção das variações sazoais Coforme viso a seção 4.1 as variações sazoais são oscilações de curo prazo, que ocorrem sempre dero do ao, e que se repeem sisemaicamee ao após ao. Obviamee uma série emporal regisrada aualmee (ou seja, os valores dos dias, meses, rimesres, são resumidos em um valor aual) ão em compoee sazoal. Nos modelos adiivo e muliplicaivo as variações sazoais são represeadas pelos ídices sazoais, ou faores sazoais, um para cada período em que o ao é dividido (se a série é regisrada mesalmee há 12 ídices, se rimesralmee há 4 ídices, ec.). Os ídices sazoais modificam a edêcia, ao serem somados (modelo adiivo) ou muliplicados por ela: - o modelo adiivo, se odos os ídices forem próximos ou exaamee iguais a zero eão as compoees sazoais parecem ão exercer grade efeio sobre a série; se os ídices forem subsacialmee diferees de zero, ao posiivos como egaivos, o valor da edêcia será modificado por eles, idicado ifluêcia das compoees sazoais a série. - o modelo muliplicaivo, se odos os ídices sazoais forem aproximadamee iguais a 1 eão as compoees sazoais parecem ão exercer grade efeio sobre a série; se os ídices forem subsacialmee diferees de 1, pelo meos 5% acima ou abaixo em algus dos meses ou rimesres, o valor da edêcia será modificado por eles, idicado que as compoees sazoais afeam a série. Quado se usa o modelo adiivo a soma de odos os ídices sazoais precisa ser igual, ou muio próxima, de zero. Quado se usa o modelo muliplicaivo a soma precisa ser igual ao período
INE 7001 Aálise de Séries Temporais 22 da sazoalidade: se a série é rimesral deve ser igual a 4 (4 rimesres o ao), se é mesal deve ser igual a 12, e assim por diae. Em algus casos é preciso fazer pequeas correções para garair al comporameo. Para ober as variações sazoais recomeda-se que a série emporal eha, o míimo, quaro aos compleos (16 rimesres, 48 meses, por exemplo). Caso corário, será mais difícil cofirmar a exisêcia da regularidade ieree às variações sazoais (algus programas esaísicos simplesmee ão apreseam os resulados para séries meores). Há vários méodos para a obeção dos ídices sazoais, ere eles o méodo da razão para a média móvel (ou méodo da média móvel perceual). Ele cosise em: 1) ober médias móveis de ordem igual ao úmero de períodos sazoais (4 se a série é rimesral, 12 se é mesal); 2) ober médias móveis de 2 períodos, ceradas, a parir das médias móveis calculadas o passo 1; 3) ober os ídices sazoais para cada período: - o modelo ADITIVO, subraido dos valores origiais da série as médias móveis ceradas calculadas o passo 2; - o modelo MULTIPLICATIVO, dividido os valores origiais da série pelas médias móveis ceradas calculadas o passo 2; 4) ober medidas de síese dos ídices calculados o passo 3, que represearão cada período sazoal (por exemplo, a mediaa dos ídices sazoais de odos os jaeiros exisees a série). - o modelo ADITIVO, calcular a média ariméica simples dos valores correspodees ao período sazoal (média dos ídices obidos em odos os jaeiros da série, por exemplo); - o modelo MULTIPLICATIVO, calcular a média ariméica simples dos valores correspodees ao período sazoal, sem icluir os valores máximo e míimo 10 (imagie que há os ídices 1,05; 1,054; 1,061; 1,07; 1,072; 1,08, a média seria calculada excluido os valores 1,05 e 1,08, míimo e máximo respecivamee); uma solução aleraiva seria calcular a mediaa dos ídices de cada período. 5) fazer as correções ecessárias para que a soma dos ídices seja coeree (igual a zero para o adiivo e igual à ordem da sazoalidade o muliplicaivo): - o modelo ADITIVO, somar odos os ídices calculados o passo 4 e dividir a soma pela ordem da sazoalidade (4 se rimesral, 12 se mesal, ec.); o resulado deverá ser subraído de cada um dos ídices, garaido que a soma deles seja igual a zero. - o modelo MULTIPLICATIVO, somar odos os ídices calculados o passo 4, subrair da soma a ordem da sazoalidade (4 se rimesral, 12 se mesal, ec.), e dividir a subração pela ordem da sazoalidade (ovamee, 4 se rimesral, 12 se mesal, ec.); subrair o resulado de 1; o resulado deverá ser muliplicado por cada um dos ídices, garaido que a soma deles seja igual à ordem da sazoalidade. Os passos 1 e 2 são virualmee idêicos ao procedimeo para obeção de edêcia por médias móveis viso a seção 4.2.2 (quado o úmero de períodos é par). Exemplo 4.6 - Obeha os ídices sazoais, ao pelo modelo adiivo quao pelo muliplicaivo, para a série de coraos de seguros apreseada o Exemplo 4.4. Ierpree os resulados ecorados. Há dados dispoíveis para quaro aos compleos, de 2013 a 2016. Veja os resulados a abela abaixo: 10 Também chamada de média iera, ou medial average (em iglês).
INE 7001 Aálise de Séries Temporais 23 Pelo modelo adiivo. Trimesre No. de Coraos Toais Móveis 4 períodos 2013 I 24 Toais Móveis 2 períodos (cerados) Médias Móveis 2 períodos (ceradas) Ídices sazoais 2013 II 21 65 2013 III 11 126 15,75-4,750 61 2013 IV 9 121 15,125-6,125 60 2014 I 20 116 14,5 5,500 56 2014 II 20 109 13,625 6,375 53 2014 III 7 101 12,625-5,625 48 2014 IV 6 90 11,25-5,250 42 2015 I 15 82 10,25 4,750 40 2015 II 14 80 10 4,000 40 2015 III 5 78 9,75-4,75 38 2015 IV 6 74 9,25-3,25 36 2016 I 13 71 8,875 4,125 35 2016 II 12 69 8,625 3,375 34 2016 III 4 2016 IV 5 Temos que ecorar 4 ídices sazoais, já que há 4 rimesres o ao. Como a série é regisrada rimesralmee, e a edêcia deve ser obida por médias móveis, é preciso calcular médias móveis de 4 períodos, pois há 4 rimesres o ao. Coudo, como ese úmero de períodos é par, médias móveis de 2 períodos, calculadas a parir daquelas de 4 períodos, precisam ser obidas para ober resulados cerados. O procedimeo iicial é semelhae ao feio o Exemplo 4.3, aé a obeção das médias móveis de 2 períodos ceradas. Para ober os ídices sazoais devemos subrair dos valores origiais da série as médias móveis ceradas, a parir de 2013 III aé 2016 II, cujos resulados esão a úlima colua da abela acima. Os ídices para cada rimesre serão: Trimesre I => 5,500 4,750 4,000 Trimesre II => 6,375 4,000 3,375 Trimesre III=> -4,750-5,625-4,75 Trimesre IV=> -6,125-5,250-3,25 Os ídices somee foram calculados para os períodos em que havia médias móveis de 2 períodos ceradas. Como é um modelo adiivo precisamos calcular a média de cada rimesre. Eão os ídices sazoais serão: Trimesre I = 4,792 Trimesre II = 4,583 Trimesre III = -5,042 Trimesre IV = -4,875
INE 7001 Aálise de Séries Temporais 24 Observe que há uma difereça cosiderável ere os ídices. No primeiro rimesre do ao o úmero de coraos aumea em cerca de 5, o segudo aumea ouros 5, e o erceiro e quaro rimesres sofre uma queda de 5. Esas oscilações são grades demais para er ocorrido por acaso, há ifluêcia da sazoalidade a série de coraos. Somado os ídices vamos ober -0,5417, idicado que é preciso realizar uma correção. Como a sazoalidade em ordem 4, divide-se a soma por 4 obedo -0,135417. Subraido de cada ídice ese valor: Trimesre I = 4,792 (-0, 135417) = 4,9271 Trimesre II = 4,583 (-0, 135417) = 4,7188 Trimesre III = -5,042 (-0, 135417) = - 4,9063 Trimesre IV = -4,875 (-0, 135417) = -4,7396 E a soma dos quaro ídices é virualmee igual a zero. Pelo modelo muliplicaivo: Trimesre No. de Coraos Toais Móveis 4 períodos 2013 I 24 Toais Móveis 2 períodos (cerados) Médias Móveis 2 períodos (ceradas) Ídices sazoais 2013 II 21 65 2013 III 11 126 15,75 0,698 61 2013 IV 9 121 15,125 0,595 60 2014 I 20 116 14,5 1,379 56 2014 II 20 109 13,625 1,468 53 2014 III 7 101 12,625 0,554 48 2014 IV 6 90 11,25 0,533 42 2015 I 15 82 10,25 1,463 40 2015 II 14 80 10 1,400 40 2015 III 5 78 9,75 0,513 38 2015 IV 6 74 9,25 0,649 36 2016 I 13 71 8,875 1,465 35 2016 II 12 69 8,625 1,391 34 2016 III 4 2016 IV 5 Temos que ecorar 4 ídices sazoais, já que há 4 rimesres o ao. Como a série é regisrada rimesralmee, e a edêcia deve ser obida por médias móveis, é preciso calcular médias móveis de 4 períodos, pois há 4 rimesres o ao. Coudo, como ese úmero de períodos é par, médias móveis de 2 períodos, calculadas a parir daquelas de 4 períodos, precisam ser obidas para ober resulados cerados. O procedimeo iicial é semelhae ao feio o Exemplo 4.4, aé a obeção das médias móveis de 2 períodos ceradas. Para ober os ídices sazoais devemos dividir os valores origiais da série pelas médias móveis ceradas, a parir de 2013 III aé 2016 II, cujos resulados esão a úlima colua da abela acima. Os ídices para cada rimesre serão: Trimesre I => 1,379 1,463 1,465
Número de coraos Ídices sazoais INE 7001 Aálise de Séries Temporais 25 Trimesre II => 1,468 1,400 1,391 Trimesre III=> 0,698 0,554 0,513 Trimesre IV=> 0,595 0,533 0,649 Os ídices somee foram calculados para os períodos em que havia médias móveis de 2 períodos ceradas. Precisamos calcular a média de cada rimesre, excluido os valores máximo e míimo.. Nese caso, como há apeas 3 valores basa excluir os exremos. Eão os ídices sazoais serão: Trimesre I = 1,463 Trimesre II = 1,400 Trimesre III = 0,554 Trimesre IV = 0,595 Observe que há uma difereça cosiderável ere os ídices. No primeiro rimesre do ao o úmero de coraos aumea cerca de 46,3% ([1,463-1] 100), o segudo aumea 40%, o erceiro rimesre sofre uma queda de 44,6% ([0,554-1] 100), e o quaro a queda é de 40,5%. Esas oscilações são grades demais para er ocorrido por acaso, há ifluêcia da sazoalidade a série de coraos. Somado os ídices vamos ober 4,013, idicado que é preciso realizar uma correção. Como a sazoalidade em ordem 4, subrai-se a soma de 4 e divide-se o resulado por 4 obedo 0,0032. Subraido ese valor de 1, eremos 0,9968, muliplicado ese resulado pelos ídices obemos os ídices corrigidos: Trimesre I = 1,463 0,9968 = 1,459 Trimesre II = 1,400 0,9968 = 1,395 Trimesre III = 0,554 0,9968 = 0,553 Trimesre IV = 0,595 0,9968 = 0,593 E a soma dos quaro ídices é virualmee igual a 4. Podemos remover a sazoalidade da série, dividido os valores origiais de cada período por seu respecivo ídice sazoal, pelos modelos adiivo e muliplicaivo, e podemos ver o resulado em gráficos: Trimesre Y S (muliplicaivo) T C I = Y/ S S (adiivo) T + C + I = Y - S 2013 I 24 1,459 16,453 4,927 19,073 2013 II 21 1,395 15,049 4,719 16,281 2013 III 11 0,553 19,904-4,906 15,906 2013 IV 9 0,593 15,174-4,740 13,740 2014 I 20 1,459 13,711 4,927 15,073 2014 II 20 1,395 14,332 4,719 15,281 2014 III 7 0,553 12,666-4,906 11,906 2014 IV 6 0,593 10,116-4,740 10,740 2015 I 15 1,459 10,283 4,927 10,073 2015 II 14 1,395 10,032 4,719 9,281 2015 III 5 0,553 9,047-4,906 9,906 2015 IV 6 0,593 10,116-4,740 10,740 2016 I 13 1,459 8,912 4,927 8,073 2016 II 12 1,395 8,599 4,719 7,281 2016 III 4 0,553 7,238-4,906 8,906 2016 IV 5 0,593 8,430-4,740 9,740 30 Ídices sazoais adiivos 25 6,000 5,000 20 4,000 3,000 15 2,000 1,000 10 0,000-1,000 5-2,000-3,000 0 2013 I 2013 II 2013 III2013 IV 2014 I 2014 II 2014 III2014 IV 2015 I 2015 II 2015 III2015 IV 2016 I 2016 II 2016 III2016 IV Trimesres -4,000-5,000 Série origial Série sem Sazoalidade: Y - S = T + C + I -6,000 Trimesres Figura 15 - Série sem sazoalidade modelo adiivo Figura 16 - Ídices Sazoais rim. modelo adiivo