Caro aluo, Com o objetivo de esclarecer as dúvidas sobre a raiz quadrada, apresetamos este material a defiição de radiciação, o cálculo da raiz quadrada e algumas propriedades de radiciação. Além disso, temos a proposta de algus exercícios e a idicação de algus materiais. Radiciação A radiciação é defiida como a operação em que dado um úmero a e um úmero, determia-se um ovo úmero b, de maeira que as relações etre eles se estabeleçam da seguite forma: a b a = b Vejamos algus exemplos que os permitem observar essas relações. 2 16 = 4 4² = 16 3 ( -2)³ = - 8 8 = - 2 Em uma radiciação temos os seguites elemetos: ídice a b raiz radical radicado Para resolver uma radiciação, basicamete, procuramos um úmero que elevado ao ídice resulta o radicado. Esse úmero é a raiz. Quado o ídice é represetado pelo úmero 2, é comum ão idetificá-lo, para os demais casos, o ídice deve ser idetificado. Vejamos algus exemplos em que podemos fazer essas observações: 4 9 2 3 12 4 16 3 27
Calculado a raiz Para a expressão, por exemplo, devemos procurar um úmero que elevado ao quadrado resultou em. A determiação do úmero que elevado ao quadrado resultou em, pode ser feita com o auxílio da calculadora. Veja como realizar. Digite a calculadora o úmero e, logo em seguida, aperte a tecla que tem o radical. Aparecerá o visor o úmero 10. Ou seja, a raiz quadrada de é igual a 10. Figura 1 Calculadora Fote: Fudação Bradesco Obs.: Calculadoras simples, como a que está a imagem, ão possibilitam o cálculo de raízes que apresetam ídice maior que 2. Para a expressão 3 12, devemos procurar um úmero que elevado ao cubo resultou em 12. Neste caso, vamos fazer o cálculo sem o auxílio da calculadora. Faremos decomposição do radicado em fatores primos. 12 2 1 ³ Portato, ao decompor o úmero 12, observa-se que ele pode ser represetado como ³. Isto é, o úmero que elevado ao cubo resultou em 12 é o úmero.logo, temos: 3 12 =
Dica: Se o radicado for um úmero real positivo e o ídice um úmero atural par, diferete de zero, a raiz será um úmero real positivo. Se o radicado for um úmero real egativo e o ídice um úmero atural par, diferete de zero, a raiz ão é defiida o cojuto dos úmeros reais. Propriedades dos radicais Sejam a e b úmeros reais positivos e um úmero atural ão ulo, são válidas as seguites propriedades: 1ª propriedade - a. b. a b a a 2ª propriedade -,com b 0 b b m 3ª propriedade a a,comm Z m 4ª propriedade - m a.m a,comm 0 e IN p m mp ª propriedade - a a,comm Z e p IN ãoulo Vejamos a aplicação dessas propriedades, o cálculo de algumas expressões: 1ª: 4. 9 4.9 = 6 2ª: 2 3ª: 2 10 2 2 = 2 4ª: ª: 4 26 = 8 26 = 2 2.3 2. 3 6 6 10 10 = 10 Agora que cohecemos as propriedades, faremos uso delas para calcular a expressão, sem o utilizar da calculadora.
O primeiro passo é decompor o úmero em fatores primos. 2 0 2 2 1 = 2².² Se = 2².² = 2².² 2².² 2². ² = 2. =10 Temos: = 10 Veja mais 2 exemplos: Vamos determiar a o valor da raiz de 144 2 72 2 36 2 18 2 9 3 3 3 1 144 = 2².2².3² Se 144 144 = 2 2.2².3². 2 ².2².3 =2.2.3 144 = ² Temos: 144 = 12 Nos exemplos utilizados até agora, trabalhamos com expressões que possuem raízes exatas. Veremos um caso em que a raiz ão é exata. Com a utilização da decomposição em fatores primos, vamos determiar o valor da expressão 20. Se 20 2 10 2 1 20 = 2². 20 = 2². 20 = 2 ². 2². 2². 2. Temos: 20 = 2.
Neste caso, dizemos que a raiz ão é exata. Ao calcular a expressão úmero irracioal. Utilize uma calculadora e verifique. obtemos um Digite a sua calculadora o úmero. Em seguia, aperte a tecla que tem o radical. Aparecerá o visor o seguite úmero: 2.233606797749 Figura 2 Calculadora Fote: Fudação Bradesco O úmero que aparecerá é um irracioal e, portato, dizemos que o valor da raiz ão é exato. A expressão 20 pode, aida, ter o valor aproximado de sua raiz apresetado a forma decimal. Para tato, vamos cosiderar o valor de 2,23 para a raiz de. Temos: 20 = 2. 2,23 20 2.2,23 20 4,46 Atividades 1. Detre os úmeros apresetados a seguir, com a utilização da calculadora, idetifique aqueles que apresetam raízes exatas. a) 49 b) 169 c) 289 d) 320 e) 1. 000 2.Utilizado a decomposição em fatores primos, determie as seguites raízes: a) 36 b) 81 c) 2 d) 40 e) 140 f) 18
3. Cosiderado a defiição de radiciação, respoda os ites a, b e c. a) Um úmero x iteiro e positivo, elevado ao quadrado, resultou em 64, que úmero é esse? b) Um úmero z iteiro e positivo, elevado ao quadrado, resultou em 144, que úmero é esse? 4.Aplique as propriedades dos radicais e determie o valor das expressões: a) 1 4 b) 0, 2 c) 4 2 d) 0, 36.(ENEM 2010) Embora o Ídice de Massa Corporal (IMC) seja amplamete utilizado, existem aida iúmeras restrições teóricas ao uso e às faixas de ormalidade precoizadas. O Recíproco do Ídice Poderal (RIP), de acordo com o modelo alométrico, possui uma melhor fudametação matemática, já que a massa é uma variável de dimesões cúbicas e a altura, uma variável de dimesões lieares. As fórmulas que determiam esses ídices são: Se uma meia, com 64 kg de massa, apreseta IMC igual a 2 kg/m², etão ela possui RIP igual a a) 0,4 cm/kg 1/3. b) 2, cm/kg 1/3. c) 8 cm/kg 1/3. d) 20 cm/kg 1/3. e) 40 cm/kg 1/3.
INDICAÇÕES Para saber mais sobre a radiciação, cosulte os materiais idicados a seguir. https://www.youtube.com/watch?v=cesyfgrwtm https://pt.khaacademy.org/math/algebra/ratioal-expoets-ad-radicals/alg1- radicals/v/uderstadig-square-roots Livro: A Coquista da Matemática 9º ao Uidade 3 Autores: GIOVANNI, José; GIOVANNI, Jr.; CASTRUCCI, Beedicto. Editora: FTD. GABARITO 1. a) raiz exata b) raiz exata c) raiz exata d) ão apreseta raiz exata e) ão apreseta raiz exata 2. a) 36 2 18 2 9 3 3 3 1 36 = 2².3² 2 ².3 36 = ² 2 ².3² = 2 ². 3² = 2.3 = 6 36 = 6 b) 81 3 27 3 9 3 3 3 1 81 = 3².3² 3 ².3 81 = ² 3 ².3² = 3 ². 3² = 3.3 = 9 81 = 9
c) 2 1 2 = ² 2 = 2 = ² d) 140 2 140 = 2 ².. 7 70 2 2 ²..7 = 3 7 7 1 140 = 2²..7 140 = 2. 2². 3.7 e) 40 2 20 2 10 2 1 40 = 2².2. 40 = 2 ².2. 2 ².2. = 2 ². 2. 40 = 2. 10 f) 18 2 9 3 3 3 1 18 = 2.3² 2.3 18 = ² 2.3² = 3 ². 2 18 = 3. 2
3. Para descobrir o valor da icógita, em cada uma das situações apresetadas, é preciso lembrar a seguite defiição: a b a = b Assim, temos: a) x² = 64 x = 64 x = 8 b) z² = 144 z = 144 z = 12 4. a) 1 1 4 2 b) 2 c) 10 4 2 = 4 d) 36 6 10. Alterativa E. Para determiar o RIP, primeiro é ecessário idetificar a altura da meia. Neste caso, é possível calcular a altura utilizado a fórmula do IMC. Com o objetivo de facilitar o mauseio dos dados, vamos idetificar a altura como x. IMC = massa (Kg) (altura)² 2 = 64 (x)² 2.x² = 64 x² = 64 2 x = 64 8 8 1,6 m 2 160 160 1,6 m = 160 cm RIP = 40 3 64 4