Sinais e Sistemas - Lista 1. Gabarito

UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA, FACULDADE GAMA Sinais e Sistemas - Lista 1 Gabarito 4 de outubro de 015 1. Considere o sinal x(t) mostrado na figura abaixo. O sinal é zero fora do intervalo < t <. a) O gráfico a seguir representa o sinal y 1 (t). Determine uma expressão para y 1 (t) em função de x(t). 1

y 1 (t) = x(t + ) b) O gráfico a seguir representa o sinal y (t). Determine uma expressão para y (t) em função de x. y (t) = x(1 t) c) Considere y 3 (t) = x(t + 3). Determine todos os valores de t para os quais y 3 (t) = 1. x(t) = 1 no intervalo 0 t <. Portanto, y 3 (t) = 1 se 0 t + 3 <, logo: 3 t < 1 d) Considere que x(t) possa ser escrita como a soma de um sinal par, x p (t), e um sinal ímpar, x i (t). Encontre os valores de t para os quais x p (t) = 0. x(t) = x p (t) + x i (t) x( t) = x p ( t) + x i ( t) Pela definição de funções pares e ímpares: x( t) = x p ( t) + x i ( t) x( t) = x p (t) x i (t) Isolando o termo x p (t) em ambas as equações: Essa função pode ser plotada como: x p (t) = 1 (x(t) + x( t))

Pelo gráfico é fácil ver que x p (t) = 0 se t > ou t = 1. Pela definição, x(t) = 0 para t = ±. Logo, t ou t = 1.. Avalie os sistemas abaixo com relação a linearidade e causalidade: a) y(t) = x(t ) + x( t) * Linearidade: é linear. x 1 (t) y 1 (t) = x 1 (t ) + x 1 ( t) x (t) y (t) = x (t ) + x ( t) x 3 (t) = αx 1 (t) + βx (t) y 3 (t) = x 3 (t ) + x 3 ( t) y 3 (t) = αx 1 (t ) + βx (t ) + αx 1 ( t) + βx ( t) y 3 (t) = α(x 1 (t ) + x 1 ( t)) + β(x (t ) + x ( t)) = αy 1 (t) + βy (t) * Causalidade: não é causal. Para t = 0, y(0) = x( ) + x(). Ou seja, ele utiliza amostras futuras. Portanto, não é causal. b) y(t) = [cos(3t)]x (t) * Linearidade: não é linear x 1 (t) y 1 (t) = [cos(3t)]x 1 (t) x (t) y (t) = [cos(3t)]x (t) x 3 (t) = αx 1 (t) + βx (t) y 3 (t) = [cos(3t)]x 3 (t) y 3 (t) = [cos(3t)](αx 1 (t) + βx (t)) ) y 3 (t) = [cos(3t)][(αx 1 (t)) + αβx 1 (t)x (t) + (βx (t)) ] y 3 (t) = α y 1 (t) + β y (t) + [cos(3t)]αβx 1 (t)x (t) * Causalidade: é causal. c) y(t) = t x(τ)dτ 3

* Linearidade: x 1 (t) y 1 (t) = t x 1(τ)dτ x (t) y (t) = t x (τ)dτ x 3 (t) = αx 1 (t) + βx (t) y 3 (t) = t x 3(τ)dτ y 3 (t) = t αx 1(τ) + βx (τ)dτ y 3 (t) = α t x 1(τ)dτ + β t x (τ)dτ y 3 (t) = αy 1 (t) + βy (t) * Causalidade: Para t = 1, y( 1 ) = 1 x(τ)dτ. Ou seja, ele utiliza amostras futuras. Portanto, não é causal. { 0, t < 0 d) y(t) = x(t) + x(t ), t 0 * Linearidade: é linear. Primeira parte: y(t) = 0 é linear Segunda parte: y(t) = x(t) + x(t ) x 1 (t) y 1 (t) = x 1 (t) + x 1 (t ) x (t) y (t) = x (t) + x (t ) x 3 (t) = αx 1 (t) + βx (t) y 3 (t) = x 3 (t) + x 3 (t ) y 3 (t) = αx 1 (t) + βx (t) + αx 1 (t ) + βx (t ) y 3 (t) = α(x 1 (t) + x 1 (t )) + β(x (t) + x (t )) = αy 1 (t) + βy (t) * Causalidade: é causal. e) y[n] = x[ n] * Linearidade: x 1 [n] y 1 [n] = x 1 [ n] x [n] y [n] = x [ n] x 3 [n] = αx 1 [n] + βx [n] y 3 [n] = x 3 [ n] y 3 [n] = αx 1 [ n] + βx [ n] = αy 1 [n] + βy [n] * Causalidade: não é causal. Para n = 1, y[ 1] = x[1]. Ou seja, ele utiliza amostras futuras. Portanto, não é causal. f) y[n] = x[n ] x[n 8] 4

* Linearidade: é linear. x 1 [n] y 1 [n] = x 1 [n ] x 1 [n 8] x [n] y [n] = x [n ] x [n 8] x 3 [n] = αx 1 [n] + βx [n] y 3 [n] = x 3 [n ] x 3 [n 8] y 3 [n] = αx 1 [n ] + βx [n ] αx 1 [n 8] βx [n 8] y 3 [n] = α(x 1 [n ] x 1 [n 8]) + β(x [n ] x [n 8]) = αy 1 [n] + βy [n] * Causalidade: é causal. g) y[n] = n x[n] * Linearidade: é linear. x 1 [n] y 1 [n] = n x 1 [n] x [n] y [n] = n x [n] x 3 [n] = αx 1 [n] + βx [n] y 3 [n] = n x 3 [n] y 3 [n] = n (αx 1 [n] + βx [n]) y 3 [n] = αn x 1 [n] + βn x [n] = αy 1 [n] + βy [n] * Causalidade:é causal. x[n], n 1 h) y[n] = 0, n = 0 x[n + 1], n 1 * Linearidade: é linear. Primeira parte: y[n] = x[n]. x 1 [n] y 1 [n] = x 1 [n] x [n] y [n] = x [n] x 3 [n] = αx 1 [n] + βx [n] y 3 [n] = x 3 [n] y 3 [n] = αx 1 [n] + βx [n] = αy 1 [n] + βy [n] Segunda parte: y[n] = 0 é linear. Terceira parte: y[n] = x[n + 1]. x 1 [n] y 1 [n] = x 1 [n + 1] x [n] y [n] = x [n + 1] x 3 [n] = αx 1 [n] + βx [n] y 3 [n] = x 3 [n + 1] y 3 [n] = αx 1 [n + 1] + βx [n + 1] = αy 1 [n] + βy [n] * Causalidade: não é causal. Para n = 1, y[ 1] = x[0]. Ou seja, ele utiliza amostras futuras. Portanto, não é causal. 5

i) y(t) = x(t/3) * Linearidade: é linear. x 1 (t) y 1 (t) = x 1 (t/3) x (t) y (t) = x (t/3) x 3 (t) = αx 1 (t) + βx (t) y 3 (t) = x 3 (t/3) y 3 (t) = αx 1 (t/3) + βx (t/3) = αy 1 (t) + βy (t) * Causalidade: Para t = 1, y( 1) = x( 1 3 ). Ou seja, ele utiliza amostras futuras. Portanto, não é causal. j) y[n] = x[4n + 1] + n * Linearidade: não é linear. x 1 [n] y 1 [n] = x 1 [4n + 1] + n x [n] y [n] = x [4n + 1] + n x 3 [n] = αx 1 [n] + βx [n] y 3 [n] = x 3 [4n + 1] + n y 3 [n] = αx 1 [4n + 1] + βx [4n + 1] + n = αx 1 [4n + 1] + y [n] * Causalidade: não é causal. 3. Considere um sistema LIT cuja resposta ao sinal de entrada x 1 (t) seja o sinal y 1 (t), mostrados na figura. Determine e esboce a resposta do sistema às entradas: a) x (t) Escrever x (t) em função de x 1 (t) e usar a propriedade de linearidade para encontrar a saída: x (t) = x 1 (t) x 1 (t ) Portanto, y (t) = y 1 (t) y 1 (t ) 6

b) x 3 (t) Escrever x 3 (t) em função de x 1 (t) e usar a propriedade de linearidade para encontrar a saída: x 3 (t) = x 1 (t) + x 1 (t + 1) Portanto, y 3 (t) = y 1 (t) + y 1 (t + 1) 4. Um sinal de tempo contínuo x(t) é mostrado na figura abaixo. Esboce e coloque a escala para cada um dos seguintes sinais em função da resposta impulsional da figura dada. 7

a) x(t 1) b) x( t) c) x(t + 1) d) x(4 t/) e) [x(t) + x( t)]u(t) f) x(t)[δ(t + 3/) δ(t 3/)] 5. Um sistema linear de tempo contínuo S com entrada x(t) e saída y(t) possui os seguintes pares entrada-saída: x(t) = e j t y(t) = e j 3t x(t) = e j t j 3t y(t) = e a) Se x 1 (t) = cos(t), determine a saída correspondente a y 1 (t) para o sistema. b) Se x (t) = cos((t 1 )), determine a saída correspondente a y (t) para o sistema. Reposta: 8

a) Dado x(t) = e j t y(t) = e j 3t x(t) = e j t j 3t y(t) = e E o sistema sendo linear, x 1 (t) = 1 (e j t + e j t y 1 (t) = 1 (e j 3t + e j 3t ) e: x 1 (t) = cos(t) y 1 (t) = cos(3t) b) Sabendo que x (t) pode ser escrito como: x (t) = cos((t 1 )) = e j e j t + e j j t e Usando a propriedade da linearidade, podemos reescrever: x 1 (t) = 1 (e j e j t + e j e j t ) y 1 (t) = 1 (e j e j 3t + e j e j 3t ) = cos(3t 1) então: x 1 (t) = cos((t 1/)) y 1 (t) = cos(3t 1) 6. Considere o sistema com realimentação: 9

a) Esboce a saída quando x[n] = δ[n] (Função impulso unitário) b) Esboce a saída quando x[n] = u[n] (Função Degrau unitário) c) Esboce a saída quando x[n] = u[n] (Função Rampa) a) e[n] = x[n] y[n] e[n] = x[n] e[n 1] y[n + 1] = x[n] y[n] para n = 0, x[n] = 1 e n 0, x[n] = 0 tem-se: y[1] = x[0] y[0] = 1 0 = 1 y[] = x[1] y[1] = 0 1 = 1 y[3] = x[] y[] = 0 ( 1) = 1... b) e[n] = x[n] y[n] e[n] = x[n] e[n 1] y[n + 1] = x[n] y[n] para n > 0, x[n] = 1 tem-se: y[1] = x[0] y[0] = 1 0 = 1 y[] = x[1] y[1] = 1 1 = 0 y[3] = x[] y[] = 1 0 = 1... c) e[n] = x[n] y[n] e[n] = x[n] e[n 1] y[n + 1] = x[n] y[n] para n > 0, x[n] = n tem-se: y[1] = x[0] y[0] = 0 0 = 0 10

y[] = x[1] y[1] = 1 0 = 1 y[3] = x[] y[] = 1 = 1 y[4] = x[3] y[3] = 3 1 = y[5] = x[4] y[4] = 4 = y[6] = x[5] y[5] = 5 3 = 3... 7. Considere o sistema descrito pela seguinte equação de diferenças: y[n] = αx[n] + βx[n 1] y[n ] Considere que o sistema inicie em repouso, e que a entrada x[n] é o sinal degrau unitário u[n]: Encontre y[119]. { 1, n 0 x[n] = u[n] = 0, caso contrário Realiza-se a iteração para resolver a equação de diferenças: 11

n αx[n] + βx[n 1] y[n] 0 α α 1 α + β α + β α + β β 3 α + β 0 4 α α 5 α + β α + β 6 α + β β 7 α + β 0......... 4k α α 4k + 1 α + β α + β 4k + α + β β 4k + 3 α + β 0......... Portanto, y[119] = y[4 9 + 3] = 0 8. Dada as funções de tempo discreto descritas a seguir (gráfico das funções) calcule as convoluções abaixo: a) y[n] = u[n] u[n 3] b) y[n] = ( 1 ) n u[ n + ] u[n] c) y[n] = cos ( 1 πn) n u[ n + ] d) y[n] = x[n] z[n] e) y[n] = x[n] f [n] f) y[n] = w[n] g [n] g) y[n] = z[n] g [n] h) y[n] = f [n] g [n] 1

a) y[n] = u[n] u[n 3] u[n] = x 1 [n] e u[n 3] = x [n] y[n] = k= x 1 [k] x [n k] Para n 3 < 0 ou n < 3 y[n] = 0 n = 3 y[3] = 1(1) = 1 n = 4 y[4] = 1(1) + 1(1) =. n = p y[p] = (p ) y[n] = (n )u[n ] b) y[n] = ( 1 n ) u[ n + ] u[n] Para n < y[n] = 0 n y[n] = 1 ( 1 1 1 ) n+1 y[n] = 1 ( 1 ) n u[n ] ( 1 + 1 c) y[n] = cos ( 1 πn) n u[ n + ] x 1 [k] = cos( π k) x [k] = n k ) = 1 ( ) 1 n y[n] = cos( π k) n k k=n 1, se k =...,0,4,8,... cos( π k) = 1, se k =...,,6,10,... 0, caso contrário Considerando os termos válidos, tem-se: y[n] = k=n ( 1) k n k Substituindo e = k y[n] = n ( 1) e ( ) 1 e = n e= n y[n] = n ( 1 4 ) n 1+ 1 4 y[n] = 16 9 ( 1)n+1 d) y[n] = x[n] z[n] = e= n = n ( ) ( ) 4 9 ( 4) 1 n k= ( ) 1 e 4 x[k] z[n k] Para n + 4 < 0 ou n < 4 y[n] = 0 0 n + 4 < 3 ou 4 n < 1 y[n] = n + 5 n 1 e n < 1 ou 1 n < 1 y[n] = 3 + (n + ) = n + 7 n = 1 y[n] = (1) + 3() = 8 n = y[n] = 1(1) + 3() = 7 13

3 n < 6 y[n] = (6 n) n 6 y[n] = 0 e) y[n] = x[n] f [n] = k= x[k] f [n k] Para n + 4 < 4 ou n < 8 y[n] = 0 y[ 8] = 4; y[ 7] = 4 3 = 7; y[ 6] = 7 = 9 y[ 5] = 9 1 = 10; y[ 4] = 10 0 = 10 y[ 3] = 3 1 0 + 1 = 5; y[ ] = 1 0 + 1 + = 0 y[ 1] = 1 0 + 1 + + 3 = 5; y[0] = 0 + 1 + + 3 + 4 = 10 y[1] = 1 + + 3 + 4 + 0 = 10; y[] = + 3 + 4 = 9 y[3] = 3 + 4 = 7; y[4] = 4 Para n 4 > 0 ou n > 4 y[n] = 0 f) y[n] = w[n] g [n] = k= w[k] g [n k] Para n + 5 < ou n < 7 y[n] = 0 y[ 7] = 1; y[ 6] = 1 + = 3; y[ 5] = 1 + + 3 = 6 14

y[ 4] = 6 + = 8; y[ 3] = 8 + 1 = 9; y[ ] = 1 + + 3 + = 8 y[ 1] = 3 + + 1 = 6; y[0] = 1 + = 3; y[1] = 1 + 1 = y[] = + 1 = 3; y[3] = 3 + + 1 = 6; y[4] = 6 + = 8 y[5] = 1 + + 3 + + 1 = 9; y[6] = 6 + = 8 y[7] = 1 + + 3 = 6; y[8] = 1 + = 3; y[9] = 1 n > 9 y[n] = 0 g) y[n] = z[n] g [n] = k= z[k] g [n k] Para n + 5 < 0 ou n < 5 y[n] = 0 y[ 5] = 1; y[ 4] = ; y[ 3] = 3; y[ ] = 3 + = 5 y[ 1] = 3 + 4 = 7; y[0] = + (3) = 8; y[1] = 1 + (3) = 7 y[] = (3) = 6; y[3] = 1 + () = 5; y[4] = + (1) = 4 y[5] = 3(1) = 3; y[6] = + 3(1) = 5; y[7] = 3(1) + = 5 y[8] = 3() + = 8; y[9] = 3() + 1 = 7; y[10] = 3() = 6 y[11] = () = 4; y[1] = h) y[n] = f [n] g [n] = k= f [k] g [n k] Para n + 5 < 4 ou n < 9 y[n] = 0 y[ 9] = 4; y[ 8] = 4 3 = 7; y[ 7] = 7 = 9 y[ 6] = 9 1 = 10; y[ 5] = 10; y[ 4] = 3 1 + 1 = 5 y[ 3] = 0; y[ ] = 1 + 1 + + 3 = 5 y[ 1] = 4 + 1 + + 3 + 4 = 6; y[0] = 1 + + 3 + 4 3 4 = 3 y[1] = 0; y[] = 3 + 4 1 3 4 = 3; y[3] = 4 1 3 4 = 6 15

y[4] = 1 + 0 1 3 = 5; y[5] = + 1 + 0 1 = 0; y[6] = 3 + + 1 1 = 5 y[7] = 4 + 3 + + 1 = 10; y[8] = 4 + 3 + + 1 = 10; y[9] = 4 + 3 + = 9 y[10] = 4 + 3 = 7; y[11] = 4 9. Dada as funções de tempo contínuo descritas a seguir (gráfico das funções) calcule as convoluções abaixo: a) y(t) = u(t + 1) u(t ) b) y(t) = e t u(t) u(t + ) c) y(t) = cos(πt)(u(t + 1) u(t 3)) u(t) d) y(t) = (t + t )(u(t + 1) u(t 1)) u(t + ) e) y(t) = x(t) z(t) f) y(t) = z(t) g (t) g) y(t) = z(t) f (t) 16

h) y(t) = f (t) g (t) x 1 (t) x (t) = x 1 (k)x (t k)dk a) y(t) = u(t + 1) u(t ) x 1 (t) = u(t + 1) e x (t) = u(t ) Para t < 1 ou t < 1 y(t) = 0 t Para t 1 y(t) = (1)(1)dk = t 1 1 y(t) = (t 1)u(t 1) x 1 (k)x (t k)dk b) y(t) = e t u(t) u(t + ) x 1 (t) = e t u(t) e x (t) = u(t + ) t+ Para t + 0 ou t y(t) = (1)e k dk = 1 (1 e (t+) ) Para t < y(t) = 0 y(t) = 1 (1 e (t+) )u(t + ) 0 c) y(t) = cos(πt)(u(t + 1) u(t 3)) u(t) x 1 (t) = cos(πt)(u(t + 1) u(t 3)) e x (t) = u(t) Para t < 1 y(t) = 0 Para 1 t < 3 y(t) = y(t) = 1 π sin(πt) u(t) t 1 = coskπdk = 1 π sinπt d) y(t) = (t + t )(u(t + 1) u(t 1)) u(t + ) x 1 (t) = (t + t )(u(t + 1) u(t 1)) e x (t) = u(t + ) Para t + < 1 ou t < 3 y(t) = 0 t+ 3 t < 1 y(t) = k + k dk 1 y(t) = (t + ) 1 + 4 3 ((t + )3 + 1) y(t) = 4 3 (t + )3 + (t + ) + 1 3 1 Para t 1 y(t) = k + k dk y(t) = 4 3 + 1 + 1 3 = 8 3 0, t < 3 4 y(t) = 3 (t + )3 + (t + ) + 1 3, 3 t < 1 8 3, t 1 e) y(t) = x(t) z(t) 1 17

Para t + < 1 ou t < 3 y(t) = 0 t+ Para 3 t < 1 y(t) = ( 1)dτ = (t + 3) Para 1 t < 1 y(t) = Para 1 t < 3 y(t) = Para t 3 y(t) = 0 0, t < 3 1 t 1 t 1 t 3, 3 t < 1 y(t) = t, 1 t < 1 3 t, 1 t < 3 0, t 3 f) y(t) = z(t) g (t) 1 (1)dτ + ( 1)dτ = t (1)dτ = 3 t t Para t + 1 < ou t < 3 y(t) = 0 t+1 Para 3 t < 1 y(t) = (τ t)dτ = 1 t t 3 Para 1 t < 1 y(t) = Para 1 t < 3 y(t) = Para t 3 y(t) = 0 0, t < 3 t 1 0 t 1 (τ t)dτ + 1 t t 3, 3 t < 1 y(t) = t 1, 1 t < 1 1 t + t 3, 1 t < 3 0, t 3 t+1 (t τ)dτ = 1 t + t 3 0 (t τ)dτ = t 1 18

g) y(t) = z(t) f (t) Para t + 1 < y(t) = 0 Para t < 1 y(t) = Para 1 t < 0 y(t) = Para 0 t < 1 y(t) = Para 1 t < y(t) = Para t < 3 y(t) = Para t 3 y(t) = 0 0, t < 0 t 1 t t 1 t 1 t t t 1 e (t τ) dτ = e (t+) 1 e (t τ) dτ = e 1 1 e (t τ) dτ + e (t+) 1, t < 1 e 1 1, 1 t < 0 y(t) = 1 + e 1 e t, 0 t < 1 1 e 1, 1 t < e ( t) e 1, t < 3 0, t 3 h) y(t) = f (t) g (t) t e (t τ) dτ = 1 e 1 e (t τ) dτ = e ( t) e 1 0 e (t τ) dτ = 1 + e 1 e t Para t + 1 < 0 ou t < 1 y(t) = 0 t+1 Para 1 t < 0 y(t) = e τ (t τ)dτ = e (t+1) + t 1 0 1 Para 0 t < 1 y(t) = e τ (t τ)dτ = t(1 e 1 ) + e 1 1 0 19

Para 1 t < y(t) = Para t y(t) = 0 0, t < 1 1 t 1 e (t+1) + t 1, 1 t < 0 y(t) = t(1 e 1 ) + e 1 1, 0 t < 1 e 1 (t + ) te (t 1), 1 t < 0, t e τ (t τ)dτ = e 1 (t + ) te (t 1) 10. Para cada resposta ao impulso listada abaixo, determine se o sistema correspondente é causal e/ou estável. a) h(t) = e t u(t 1) b) h(t) = u(t + 1) u(t 1) c) h(t) = cos(πt)u(t) d) h[n] = n u[ n] e) h[n] = u[u] u[n 1] f) h[n] = sin ( 1 πn) a) h(t) = e t u(t 1) Causal e não estável b) h(t) = u(t + 1) u(t 1) Não causal e não estável c) h(t) = cos(πt)u(t) Causal e não estável d) h[n] = n u[ n] Não causal e estável e) h[n] = u[u] u[n 1] Causal e estável f) h[n] = sin ( 1 πn) Não causal e não estável 11. Considere um sistema de tempo discreto cuja entrada x[n] e a saída y[n] sejam relacionadas por: ( ) 1 y[n] = y[n 1] + x[n] a) Mostre que esse sistema satisfaz a condição de repouso inicial (isto é, se x[n] = 0 para n < n 0, então y[n] = 0 para n < n 0 ), então ele é linear e invariante no tempo. 0

b) Mostre que se esse sistema não satisfaz a condição inicial de repouso inicial, mas, em vez disso, obedece à condição auxiliar y[0] = 0, ele é não causal. a) Para uma entrada x 1 [n] em que x 1 [n] = 0 para n < n 1. A saída será: y 1 [n] = 1 y 1[n 1] + x 1 [n], y 1 [n] = 0 para n < n 1 (11.1) Então, considerando outra entrada x [n] em que x [n] = 0 para n < n. A saída será: y [n] = 1 y [n 1] + x [n], y [n] = 0 para n < n (11.) Multiplicando 11.1 por α e 11. por β e somando as duas equações tem-se: αy 1 [n] + βy [n] = α y 1[n 1] + β y [n 1] + αx 1 [n] + βx [n] Por inspeção, a saída é y 3 [n] = αy 1 [n] + βy [n] quando a entrada é x 3 [n] = αx 1 [n] + βx [n]. Além disso, y 3 (1) = 0 = y 1 (1) + y (1). Portanto, o sistema é linear. b) Consideramos duas entradas: x 1 [n] = 0, { para todo n 0, n < 1 x [n] = 1, n 1 Para o sistema ser linear, a resposta para x 1 [n] é y 1 [n] = 0 para todo n. A saída y [n], quando a entrada é x [n], desde que y [0] = 0, será: ) 0 + 0 = 0, y [] = ( 1 ) 0 + 0 = 0 y [1] = ( 1 Portanto, y [n] = 0 para n 0. Agora para n < 0, nota-se que: y [0] = ( 1 )y [ 1] + x[0]. Portanto, y [ 1] =, y [ ] = 4, y [ 3] = 8. Portanto, y [n] = ( ) 1 n u[n 1]. Desde que x 1 [n] = x [n] para todo n < 0, isto é verdade caso o sistema seja causal y 1 [n] = y [n] para n < 0. Os resultados obtidos anteriormente mostram que isso não é verdade. Portanto, o sistema é não causal. 1. Suponha que o sinal seja convoluído com o sinal x(t) = u(t + 0.5) u(t 0.5) h(t) = e j w 0t a) Determine o valor de w 0 que garante que y(0) = 0. Sendo que y(t) = x(t) h(t). b) A resposta do item anterior é única? y(t) = x(t) h(t) = Portanto, 0.5 0.5 e j w 0(t τ) dτ 1

y(0) = 0.5 0.5 e j w 0(t τ) dτ = w 0 sin( w 0 ) a) Se w 0 = π,entãoy(0) = 0. b) Não é única. Qualquer w 0 = kπ, k 0 é suficiente. 13. (Computacional) Siga as instruções: j πn a) Dado um sinal W [n] = e N, com N = 8 e n = 0,1,,...,8, expresse o número complexo na forma cartesiana b) Plote a parte real pela parte imaginária no Matlab c) Calcule W k [n] para k = 0,1,,...,8 e represente em forma matricial { 1, n = 0,1 d) Dado um segundo sinal x[n] =. Plote x[n] ao longo das amostras 0, n 0,1 de intervalo n no Matlab. e) Escreva a função X [k] = W k [n]x T [n] em forma matricial f) Calcule a fase e magnitude de X [k] e plote os gráficos g) Repita o procedimento computacional presente de a) a f) para x[n] = cos ( ) πnm N com m = 10, N = 18 e n = 0,1,,...,18. Discute os resultados. 14. (Computacional) Siga as instruções a seguir: a) Realize a convolução dos sinais abaixo usando o comando padrão do MATLAB, y = conv(x,h), e plote o resultado usando stem. Tente o inverso (y = conv(h, x)). Há diferença? x = [3,11,7,0, 1,4,] h = [,3,0, 5,,1] b) O comando padrão não nos permite localizar os sinais no tempo. Crie a função abaixo, convol ut e: function [ y, ny ] = convolute ( x, h, nx, nh) nymin = nx (1)+nh ( 1 ) ; nymax = nx ( length ( x ) ) + nh( length (h ) ) ; ny = [nymin : nymax ] ; y = conv ( x, h ) ; Em seguida, teste o seguinte e plote o resultado: nx = [ 3: 3 ] ; nh = [ 1: 4 ] ; [ y, ny ] = convolute ( x, h, nx, nh ) ; Calcule agora essa convolução e compare com o obtido na simulação. c) Agora, crie o sinal:

nx = [ 0 : 1 0 0 ] ; x = sin (* pi *nx/50) + sin (0* pi *nx / 5 0 ) ; Veja o sinal x usando st em. Modifique h para ser: nh = [ 0 : 9 ] ; h=0.1* ones ( 1, 1 0 ) ; Realize a convolução entre x e h e plote o resultado. Descreva o que aconteceu. d) A melhor forma de analisar o que ocorre em c) é analisando o espectro de frequências do sinal. Analise primeiro o espectro de magnitude de x: f s = 56; freq = [ 1: 1/ f s : 1 1/ f s ] ; f x = f f t ( x, 5 1 ) ; f x = f f t s h i f t ( f x ) ; fxmag = abs ( f x ( 1 : 5 1 ) ) ; plot ( freq, fxmag ) ; Agora do sinal convoluído y: f s = 56; freq = [ 1: 1/ f s : 1 1/ f s ] ; fy= f f t ( y, 5 1 ) ; fy = f f t s h i f t ( fy ) ; fymag = abs ( fy ( 1 : 5 1 ) ) ; plot ( freq, fymag ) ; Qual o fenômeno que ocorre ao realizar essa convolução? 3