MÚLTIPL ESCOLH NOTÇÕES C : conjunto dos números compleos. Q : conjunto dos números rcionis. R : conjunto dos números reis. Z : conjunto dos números inteiros. N {0,,,,...}. N* {,,,...}. : conjunto vzio. \ B { ; B}. [, b] { R, b}. ], b[ { R, < < b}. i : unidde imginári ; i. z + iy,, y R. z : conjugdo do número compleo z C. z : módulo do número compleo z C. B : segmento de ret unindo os pontos e B. m (B) : medid (comprimento) de B.. Considere os conjuntos S {0,,, 6}, T {,, } e U {0, } e s firmções: I. {0} S e S U. II. {} S \ U e S T U {0, }. III. Eiste um função f: S T injetiv. IV. Nenhum função g: T S é sobrejetiv. Então, é(são) verddeir(s): ) pens I. b) pens IV. c) pens I e IV. d) pens II e III. e) pens III e IV. I. Fls, pois {0} S e não {0} S. II. Fls, pois {} S \ U, porém S T U III. Fls, pois como n(s) > n(t) não é possível fzer f( ) f( ), S IV. Verddeir, pois como n(t) < n(s) sempre hverá um elemento de S sem correspondente em T, ou sej, o contr-domínio é diferente d imgem.. Em um mes de um lnchonete, o consumo de snduíches, 7 ícrs de cfé e pedço de tort totlizou R$,0. Em outr mes, o consumo de snduíches, 0 ícrs de cfé e pedço de tort totlizou R$,00. Então, o consumo de snduíche, ícr de cfé e pedço de tort totliz o vlor de ) R$ 7,0. b) R$ 6,0. c) R$,0. d) R$ 0,0. e) R$ 9,0. Sejm s o preço do snduíche, o d ícr de cfé, t o do pedço de tort. Então: Pr mes, temos: s + 7 + t,0 (I) Pr mes, temos: s + 0 + t,00 (II) Fzendo I II temos: s + + t 0,0. Um circunferênci pss pelos pontos (0, ), B (0, 8) e C (8, 8). Então, o centro d circunferênci e o vlor de seu rio, respectivmente, são ) (0, ) e 6. b) (, ) e. c) (, 8) e,. d) (, ) e. e) (, 6) e. Como (0, ) e B (0, 8) têm mesm bsciss, e sbemos que meditriz de B ( ret y ) pss pelo centro d circunferênci D, temos que y D. Como B (0, 8) e C (8, 8) têm mesm ordend, e sbemos que meditriz de BC ( ret ) pss pelo centro d circunferênci D, temos que D. ssim, o centro d circunferênci é D (, ). Pr o rio temos: r ( ) + ( y y ) r ( 0 ) + ( ) D D r (9) -0 O ELITE RESOLVE IT 00 MTEMÁTIC. Sobre o número 7 + é correto firmr que: ) ]0, [. b) é rcionl. c) é irrcionl. d) é irrcionl. e) ], [. Como 7 ( ) ( ) + tem-se: + Logo, é rcionl.. Considere o triângulo de vértices, B e C, sendo D um ponto do ldo B e E um ponto do ldo C. Se m (B) 8 cm, m (C) 0 cm, m (D) cm e m (E) 6 cm, rzão ds áres dos triângulos DE e BC é: ). b). c). d). e). 8 0 prtir dos ddos d questão temos seguinte figur geométric: Logo, temos rzão entre s áres: D E senâ S DE 6 S BC 8 0 0 B C senâ 6. Em um triângulo retângulo, medid d medin reltiv à hipotenus é médi geométric ds medids dos ctetos. Então, o vlor do cosseno de um dos ângulos do triângulo é igul ). + b). c) +. d) +. e) +. Como o triângulo é retângulo, medid d medin reltiv à hipotenus é igul à metde d medid d hipotenus, isso pode ser observdo pel figur: b Pels condições do problem: b Por Pitágors: + b + b b α b + b b ± 6b b 0 b( ± ) Considerndo > b, vem: b(+ )
Portnto: cos b b ( + ) α cos α b b b cos α + b b LTERNTIV C 7. circunferênci inscrit num triângulo equilátero com ldos de 6 cm de comprimento é interseção de um esfer de rio igul cm com o plno do triângulo. Então, distânci do centro d esfer os vértices do triângulo é (em cm) ). b) 6. c). d). e). (9) -0 O ELITE RESOLVE IT 00 MTEMÁTIC Sendo n o número de ldos d bse do prism, fzemos som dos ângulos ds fces lteris mis som dos ângulos ds bses, logo: 60 o n + [80 o (n )] 700 o 70 o + 70 o n 700 o n Como o prism é composto por dus bses de ldos, então seu número totl de vértices é. LTERNTIV E 0. Em relção um sistem de eios crtesino ortogonl no plno, três vértices de um tetredro regulr são ddos por (0, 0), B (, ) e C (,+ ). O volume do tetredro é 8 ). b). c). Desenhndo figur dd, temos: y C + d). e) 8. B Considere o triângulo eqüilátero BC, O o centro d circunferênci e O' o centro d esfer. Sendo l o ldo do triângulo: l l OH e O Sendo O'H o rio d esfer, então: O H OH + OO ( ) + OO' OO ' Utilizndo o teorem de Pitágors em O O: O O O + O O + Logo, O. LTERNTIV C 8. Um esfer de rio r é secciond por n plnos meridinos. Os volumes ds respectivs cunhs esférics contids em um semiesfer formm um progressão ritmétic de rzão. Se o volume d menor cunh for igul 8, então n é igul ). b). c) 6. d). e) 7. N P.. dd tem-se π r π r, R e Sn π r 8 plicndo fórmul d som d P.., tem-se: + + ( n ) n ( ) n 8 8 + n Sn + + ( n ) n 8 8 π r ssim, simplificndo equção cim, temos: n +.n 9 Multiplicndo mbos os membros d equção por, vem: ( + n )n 60 (n + ) n 60 Como equção cim dmite 6 e 0 como rízes, chegmos conclusão que esfer é intersectd por 6 plnos meridionis. LTERNTIV C 9. Considere um prism regulr em que som dos ângulos internos de tods s fces é 700º. O número de vértices deste prism é igul ). b). c) 0. d) 0. e). Cálculo do ldo do tetredro: B l Cálculo do volume do tetredro com bse BC: V M h.. H. B plicndo Pitágors no triângulo VMB: VB MB + VM ( ) ( ) + h h 6 plicndo Pitágors no triângulo VMG: VM MG + VG h h + H H G l V B H V Logo o volume d pirâmide é 8/. C 8 V LTERNTIV. No desenvolvimento de ( b + c + ) obtém-se um polinômio p() cujos coeficientes somm. Se 0 e são rízes de p(), então som + b + c é igul ). b). c). d). e). Sej p() ( b + c + ) e considerndo, b e c reis, temos que som dos coeficientes é dd por p() ( b + c + ) Então: b + c + b + c (I) Como 0 e são rízes, então: p(0) c + 0 c (II) p( ) + b + c + 0 + b + c (III)
De (I), (II) e (III), temos: b + c c b + b + c + b + c c OBSERVÇÃO: Cso os coeficientes, b e c fossem compleos não reis, então n etrção d riz quint d equção ( b + c + ), obterímos diferentes vlores pr som + b + c. LTERNTIV. O menor inteiro positivo n pr o qul diferenç n n fic menor que 0,0 é ) 99. b) 0. c) 00. d) 600. e) 900. Dd inequção: n n 0, 0 Podemos reescreve-l como: n (n ) n + n 00 n + n 00 n + n 00 Como sbemos que 00 0, pr desiguldde ser verddeir devemos ter n 0.. Sej D R \ {} e f : D D um função dd por + f(). Considere s firmções: I. f é injetiv e sobrejetiv. II. f é injetiv, ms não sobrejetiv. III. f () + f 0, pr todo D, 0. IV. f() f( ), pr todo D. Então, são verddeirs ) pens I e III. b) pens I e IV. c) pens II e III. d) pens I, III e IV. e) pens II, III e IV. nlisndo s firmções: I. Verddeir. Pr sber se f é injetiv e sobrejetiv, bst verificr se é bijetiv, então f deve possuir invers: + f (y) + f() y f (y) Pr f - - (y) : y f + (y) y Encontrmos então invers, que é igul função originl, e um vez que eiste invers, função é bijetiv. II. Fls. Ficou provdo em (I) que f é bijetiv logo tmbém é sobrejetiv. III. Verddeiro. Clculndo o resultdo d som tem-se: + / + + ( + ) / f() + f(/) + + / ( ) / + + f() + f(/) 0 IV. Fls. Clculndo o vlor de f(-) em - tem-se: f(-) f(-(-)) f() Porém, f() não eiste, um vez que não está no domínio de f. Logo, não eiste o produto P f() f(-) pr, invlidndo firmção pois o produto não eiste pr todo D. LTERNTIV. O número compleo + i é riz do polinômio f() + + p + + q, com p, q R. Então, lterntiv que mis se proim d som ds rízes reis de f é ). b). c) 6. d). e). (9) -0 O ELITE RESOLVE IT 00 MTEMÁTIC Sejm,, e s rízes do polinômio, então: + i e i Pels relções de Girrd: b + + + + i + i + + + LTERNTIV E. Considere equção em + / b, onde e b são números reis positivos, tis que ln b ln > 0. som ds soluções d equção é ) 0. b). c). d) ln. e). Dd equção: + b plicndo ln dos dois ldos, temos: ( + ) ln lnb Como, ddo do enuncido, ln b ln > 0, podemos fzer: ( + ) ln lnb ( + ) ln ln ( + ) + 0 Logo, som ds rízes d equção é: S S 6. O intervlo I R que contém tods s soluções d inequção + π rctn + rctn 6 é ) [, ]. b) [, ]. c) [, ]. d) [0, ]. e) [, 6]. Sbe-se que: tn() + tn(b) tn( + b) tn() tn(b) plicndo função tngente mbos os membros d inequção dd, temos: + + π tn + 6 ( ) + figur bio present o conjunto solução dess inequção: Dos intervlos presentdos, o único que contém o intervlo solução é [-;]. LTERNTIV C
7. Sej z C com z. Então, epressão vlor: ) mior que, pr todo w com w >. b) menor que, pr todo w com w <. c) mior que, pr todo w com w z. d) igul, independente de w com w z.. e) crescente pr w crescente, com w < z. zw z w Sbe-se que z z z. Como z, então z z. Substituindo o resultdo cim n epressão dd temos: z w z z z w z(z w) z z z w z w (z w) z w Logo,, w C / w z. z w ssume 8. O sistem liner b + y by + z + bz não dmite solução se e somente se o número rel b for igul ). b) 0. c). d). e). condição necessári pr que o sistem liner não dmit solução é det 0: b 0 0 b 0 b + 0 b 0 b Pr b : + y y + z z Somndo-se s três equções, obtemos 0, que é um bsurdo, portnto verificndo que o sistem não dmite solução. LTERNTIV 9. Retirm-se bols de um urn que contém bols verdes, bols zuis e 7 bols brncs. Se P é probbilidde de não sir bol zul e P é probbilidde de tods s bols sírem com mesm cor, então lterntiv que mis se proim de P +P é ) 0,. b) 0,. c) 0,8. d) 0,. e) 0,0. Clculo de P : Temos inicilmente 6 bols n urn, sendo não-zuis, tirndo s bols sem reposição, probbilidde P é dd por: 0 9 P 6 Clculo de P : P V + + B Onde: V Probbilidde de serem tods verdes Probbilidde de serem tods zuis B Probbilidde de serem tods brncs Temos: 7 6 V ; ; B 6 6 6 0 9 + + + 7 6 P + P P + V + + B 6 8 P + P 0,8 60 (9) -0 O ELITE RESOLVE IT 00 MTEMÁTIC Ds lterntivs dds, o vlor que mis de proim é 0,0. LTERNTIV E 0. distânci focl e ecentricidde d elipse com centro n origem e que pss pelos pontos (, 0) e (0, ) são, respectivmente, ) e. b) e. c) e. d) e. e) e. Supondo que os eios d elipse são prlelos os eios crtesinos: c b - Equção d elipse: y + b Onde é o semi-eio mior e b é o semi-eio menor. Como (, 0) e (0, ) pertencem elipse; temos: 0 + b ( ) 0 b + b Pels relções geométrics, temos: b + c b c Onde c é metde d distânci focl. Sendo e ecentricidde d elipse e d f distânci focl, podemos escrever: c e e df c df OBSERVÇÃO: Cso os eios d elipse não forem prlelos os eios crtesinos, então est questão teri infinits soluções, pois infinits elipses stisfrim o enuncido. LTERNTIV E DISSERTTIVS s questões disserttivs, numerds de 0, devem ser resolvids e respondids no cderno de soluções.. Sej,,... um progressão ritmétic infinit tl que n k n + πn, pr n N* k Determine o primeiro termo e rzão d progressão. Pr K : + π + 6 + π Temos tmbém que: 6 + π + π 6 + r 6 + r + π r π/
Temos: r + π (π/) π/. Sej C circunferênci de centro n origem, pssndo pelo ponto P (, ). Se t é ret tngente C por P, determine circunferênci C de menor rio, com centro sobre o eio e tngente simultnemente à ret t e à circunferênci C. Considere figur: Equlção d ret OP : y k Substituindo no ponto P: k ( OP ) y Equção d ret t (perperndiculr OP ): y + b Substituindo no ponto P: + b b ssim: 0, Pr y0 (ponto B): B, 0. Pr determinrmos o rio d circunferênci mior: R + R R Observndo semelhnç dos triângulos OBP e O'P'B: OP BO 0 r r 8 r 0 r O'P' BO' r r o R + r o ' e y o 0 ssim, result circunferênci C': + y 6. Sejm e B mtrizes tis que B B e que stisfzem à equção mtricil + B B 0. Se B é inversível, mostre que () B B e que (b) é inversível. ) Se B é inversivel então eiste B -, tl que B B - Sendo B B temos: B B - B B - B - B B - B - B - B - B - B - b) Resolvendo equção: + B B 0 B + B B ( + B) (9) -0 O ELITE RESOLVE IT 00 MTEMÁTIC Tomndo o determinnte: det B det [ ( + B)] det det ( + B) 0 Pois B é inversivel. Se det det ( + B) 0, então det 0 e portnto é inversivel.. Sej n o número de ldos de um polígono conveo. Se som de n ângulos (internos) do polígono é 00º, determine o número n de ldos do polígono. som dos ângulos internos de um polígono de n ldos é: S i (n ) 80º Pelo enuncido, temos: S i S + 00º + Onde S é som de (n ) ângulos internos do polígono e é medid de um desses ângulos. Então: 80º (n ) 00º + 80º (n ) 00º Ms, como se trt de um polígono conveo: 0 < < 80º 0 < 80º (n ) 00º < 80º 0 < (n ), <, < n <, Portnto, n, pois n N.. () Mostre que o número rel α + + é riz d equção + 0. (b) Conclu de () que α é um número rcionl. ) Fzemos: α + α + ( + α + + y + y ) ( y ) + ( + + y α + Substituindo n equção: + 0 α + α 0 Result: + + + )( ) 0 + + + + 0 0 0 Logo, como iguldde é verddeir, podemos verificr que α é riz d equção dd. 6. Considere equção em R + m + m, sendo m um prâmetro rel. () Resolv equção em função do prâmetro m. (b) Determine todos os vlores de m pr os quis equção dmite solução não nul. ) + m + m + m m Elevndo os dois membros o qudrdo, temos: + m ( + m)( m) + m m m Elevndo novmente o qudrdo, temos: ( m ) ( ) m + + m 0 ( + m ) 0 0 ou S 0, m, m ± m
b) Pr que equção dmit solução não nul é necessário primeirmente que: m > 0 < m < (I) Testndo s soluções, temos: + m m m + m m m m Elevndo o qudrdo: m + m m m ( m ) + m m m m + m condição de eistênci d equção cim é: m 0 m ou m (II) lém disso, devemos fzer seguinte considerção: + m m Se > 0 é solução, temos + m > m, logo m > 0. Se < 0 é solução, temos + m < m, logo m > 0. m > 0 (III) De (I), (II) e (III) temos: m <. 7. Um dos ctetos de um triângulo retângulo mede cm. O volume do sólido gerdo pel rotção deste triângulo em torno d hipotenus é π cm. Determine os ângulos deste triângulo. (9) -0 O ELITE RESOLVE IT 00 MTEMÁTIC Sej P, função probbilidde definid no espço de eventos do problem. Sejm, tmbém, definidos os seguintes eventos: V : fce visível do crtão seleciondo é vermelh; V: fce ocult do crtão seleciondo é vermelh; : crtão de dus fces vermelhs é seleciondo; probbilidde de o crtão escolhido ter vermelho como cor d outr fce P(V) pode ser clculd d seguinte mneir: P(V) P(V V ), onde: P(V V ) é probbilidde de outr fce ser vermelh, ddo que primeir fce seleciond foi vermelh. Podemos clculr então: P(V V ) P() P(V) P(V V ) P(V ) P(V ) 9. Obtenh todos os pres (, y), com, y [0, π], tis que sen( + y) + sen( y) / sen + cos y Desenvolvendo primeir equção temos: sen cosy + seny cos sen cosy seny cos / sen cosy / sen cosy / Temos então o novo sistem de equções: sen + coy sen cos y / ssim, sen e cosy são s rízes de um equção de segundo gru cuj som é e o produto é /. w w + ¼ 0 w / sen ½ 0 ou 0 cosy ½ y 60 ou 00 ssim os possíveis pres (, y) pertencem o conjunto: {(0, 60 ), (0, 00 ), (0, 60 ), (0, 00 )} 0. Determine todos os vlores reis de pr os quis equção ( ) dmit etmente três soluções distints. Grficmente, temos: O volume V do sólido gerdo pel rotção complet do tringulo BC. retângulo em B, e, conforme figur, tl que: V / πh m + / πh n / πh (m + n) V / πh π h (I) No tringulo BC, tem-se: cos α (II) cosα No tringulo HB tem-se: h sen α h sen α (III) Substituindo (II) e (III) em (I): h ( sen α) cosα sen α ( cos α) cos α cos α cos α + cos α - 0 cos α / α 60º, pois 0º < α < 90º. Os ângulos do tringulo BC são, portnto, B ÂC α 60 o ; B Ĉ 90 o α 0º ; Bˆ C 90º 8. São ddos dois crtões, sendo que um deles tem mbos os ldos n cor vermelh, enqunto o outro tem um ldo n cor vermelh e o outro ldo n cor zul. Um dos crtões é escolhido o cso e colocdo sobre um mes. Se cor epost é vermelh, clcule probbilidde de o crtão escolhido ter outr cor tmbém vermelh. 6 Pr que equção ( ) I I dmit etmente três soluções distints, é necessário que o gráfico de I I intercepte prábol y ( ) em três pontos diferentes. s situções em que isso ocorre são: Nos csos e, tngenci prábol em um ponto e cruz em outros dois pontos. ) No ponto de tngênci pr <, temos: ( ) I I + + 0 Pr que ocorr tngênci, 0 / ) No ponto de tngênci pr >, temos: ( ) I I + + + 0 Novmente, 0 / Podemos observr no gráfico do cso, qundo, temos intersecção ds curvs em três pontos. Logo, os vlores procurdos de são /, e /.