. EXERCÍCIOS pg.. Encontrar a assa total e o centro de assa de ua barra de c de copriento, se a densidade linear da barra nu ponto P, que dista c da kg b ρ a etreidade esquerda, é ( ) c ( ) d ( ) d.. kg ( ) d ρ. Encontrar a assa total e o centro de assa de ua barra de copriento, se a densidade linear da barra nu ponto situado a do etreo esquerdo é ( ) kg ( ). ( ) kg d
b a ρ ( ) 9., d ( ) d ρ. Calcular a assa total e o centro de assa de ua barra de de copriento, sabendo que a densidade linear nu ponto é ua função do grau da distância total deste ponto ao etreo direito da barra. A densidade linear no etreo direito é kg e no eio da barra é kg ρ( ) k( ) k ρ( ) k (,),k k k, [, ( ) ] ( 6, ) (, ), kg d d d
(, ),, d. Ua barra horizontal esta localizada sobre o eio dos, coo ostra a figura.. Se a densidade lin ear nu ponto qualquer da barra é propo rcional à distância deste ponto até a o rige, deterinar o v alor da co nstante de proporcionalidade, de odo que a assa da barra seja b a u.. ρ ( ) k b a k d k k k b a k ( b a ) ( b a ) ( b a ) b a b a b a k b a b a. O copriento de ua barra é e a densidade linear no etreo direito é kg. A densidade linear nu ponto varia diretaente co a segunda potência da distância do ponto ao etreo esquerdo. Calcular a assa total e o centro de assa da barra. ρ ( ) k 6
ρ ( ) k. k kg d... d 6. Deterinar o oento de inércia de ua barra hoogênea de c de copriento, e relação a u eio perpendicular, que: a) passa no ponto édio da barra; b) passa por ua etreidade da barra. Considerar a densidade linear da barra igual a, kg I l b a d ( ) ρ( ) d I l k. (, ), k a) d ( ), (, ),.,, kg. ( k,). k d
b) d( ) ( ) I l k. 9 k ( ) ( ) 9.,, kg.. k d OBS.: no outro etreo teos ρ ρ ρ 9k k d, kg.. Ua barra horizontal ede de copriento. No seu ponto édio a densidade linear é, kg e cresce proporcionalente co o quadrado da distância até este ponto. Se nua das etreidades a densidade é 6, kg, deterinar a assa e o centro de assa da barra ( ), ( ) k ( ), ( ) 6 k, 6, k ( ),) ( ) 9, kg, d
9, [( ),] ( 6,) d 6,.96,,999 d. Deterinar o oento de inércia da barra do eercício e relação a u eio perpendicular que: a) passa no ponto édio da barra; b) passa por ua das etreidades da barra. a) I l,. (, ( ) )( ) (,( ) ( ) ) ( ) ( ),kg. d d b) I l (, ( ) )( ) (, 6)( 6 6 ) (,,, ),kg. d d d 9. Achar o oento de inércia da barra dos eercícios e para u eio perpendicular que: a) passa pelo etreo direito; b) passa pelo etreo esquerdo; c) passa pelo ponto édio da barra. 9
Eercício (a) ( ) ( ) ( ). 6 6 c kg d d I l (b) ( ). 9 9 c kg d I l (c) ( ) ( ) ( )( ) ( ). 96 6 6 6 c kg d d d I l Eercício (a)
I l, [, ( ) ]( ) [, ( ) ( ) ] ( ) ( ), kg. d d (b) I l [, ( ) ] [ 6, ] (, ),, kg. d d d (c) I l (, ) [, ( ) ] [( 6, )( 6, ) ] [, 6, 6,], kg. d d 6,,, 6 d
. Ua barra localizada sobre o eio dos te etreos e. Se a densidade linear é dada por ρ ( ), deterinar a assa e o centro de assa da barra. d ln ln u.. d. ln ln ln ln ln ln ( ln ) d. Deterinar o oento de inércia da barra do eercício e relação a u eio perpendicular que passa no ponto I l ( ) ( ) d d. Deterinar a assa e o centro de assa de ua barra que esta localizada sobre o eio dos, co etreos nos pontos e. A densidade linear da barra é dada por ρ ( ) e e d e e u.
e d e e ( e e ) ( e e ). Deterinar o oento de inércia da barra do eercício e relação a u eio perpendicular que passa pela orige I e d ( e e e ) e e e e I. Ua barra hoogênea ede de copriento. Se o seu oento de inércia e relação a u eio perpendicular que passa por ua de suas etreidades é, kg., deterinar a densidade linear da barra. k 9k, k d k ρ ρ,kg / ( ). k k 9k, 9,. Ua ola te copriento natural de. Sob u peso de N, ela se distende : a) Deterinar o trabalho realizado para distender a ola de seu copriento natural até. b) Deterinar o trabalho realizado para distender a ola de a
f ( ) k k k f ( ) a) w b) w d,j d J 6. Ua força de N é necessária para copriir ua ola de u copriento natural de para u copriento de. Encontrar o trabalho realizado para copriir a ola de seu copriento natural para u copriento de f k; k. k w 6 d 6J k 6. Ua ola te copriento natural de. Para coprii-la de seu copriento natural até 9, usaos ua força de N. Deterinar o trabalho realizado ao copriir a ola de seu copriento natural até. f k; k w d J
. U balde pesa N e conté argila cujo peso é N. O balde está no etreo inferior de ua corrente de de copriento, que pesa N e está no fundo de u poço. Encontrar o trabalho necessário para suspender o balde até a borda do poço. peso balde peso argila N O peso de u etro da corrente é N. Quando o balde subiu, o peso correspondente da corrente é: ( )., f w ( ) ( )., ( ( ).,), J d. 9. U tanque cilíndrico circular reto, de raio, e altura está cheio de água, achar o trabalho efetuado para esvaziar o tanque, pela parte superior. w π 9,.. π (, ) 69,6 J (, ). ( )..9,. U tanque cilíndrico circular reto de de diâetro e de profundidade, está cheio de água e deve ser esvaziado pela parte superior. Deterinar o trabalho necessário para esvaziar o tanque: a) considerando que a água seja deslocada por u uro de u ebolo, partindo da base do tanque; b) por bobeaento.
a) w 9π..( ) 9 π, π J b) w 9π ( ) 9π,π J. U tanque te a fora de u cone circular reto, de altura e raio da base c. Se o tanque está cheio de água, encontrar o trabalho realizado para bobear a água pelo topo do tanque.,,, raio:, 6,66πJ (,) ( ) w 9 π 9 π.,6, π ( ) 6
. U reservatório cheio de água é da fora de u paralelepípedo retângulo de, de profundidade, de largura e de copriento. Encontrar o trabalho necessário para bobear a água do reservatório ao nível de acia da superfície., w 9.. 69, J (, ) 9.,,. Ua coporta vertical de ua represa te a fora de u retângulo de base e altura. O lado superior da coporta está a, abaio da superfície da água. Calcular a força total que essa coporta está sofrendo. F 9 (, ) 9, 6 N.. U tanque te a fora de u prisa quadrangular de altura. Se o tanque está cheio de água e o seu lado da base ede, deterinar a força decorrente da pressão da água sobre u lado do tanque F 9 9, N ( ) ( ) ( ) 9
. Ua chapa te a fora da região deliitada pelas curvas e. Se esta chapa é iersa verticalente na água, de tal fora que seu lado superior coincide co o nível d água, deterinar a força decorrente da pressão da água sobre u lado da chapa. F 9 9 9. ( ) ( ) ( ) 6, N. 6. Ua chapa retangular de de altura e de largura é iersa verticalente nu liquido, sendo que sua base inferior esta a da superfície do liquido. Deterinar a força total eercida sobre u lado da chapa, se o liquido pesa N. F ( ) ( ). N Nos eercícios de a, teos ua coporta de ua represa, colocada verticalente, co a fora indicada. Calcular a força total contra a coporta.. U retângulo co de largura e de altura; nível d água: acia da base da coporta.
F 9 9. N ( ). U trapézio isósceles co de largura no topo, de largura na base e de altura; nível da água coincide co o topo da coporta. F 9 9 ( ) 9 6 6 N.. ( 6 ) 9. U triângulo isósceles co 6 de altura no topo e de altura; nível da água coincide co o topo da coporta. F 9 9 6 N ( ) ( ) ( ) 9 6 9 6.. U trapézio isósceles co de largura no topo, 9 na base e de altura; nível da água: acia da base da coporta. 9
F 9. 9. 9. 9 ( ) 9,6 N ( ), 9, 9,,. O topo de u tanque te de copriento e de largura. As etreidades são triângulos eqüiláteros verticais, co u vértice apontando para baio. Qual é a força total e ua etreidade do tanque, quando ele está cheio de u líquido que pesa N? F ( ). N. Ua chapa é liitada pela curva / e a reta, no plano, co o eio dos apontando para cia e suas escalas edidas e etros. A chapa está subersa e óleo, cujo peso é 96 N, co a reta sobre a superfície do óleo. Qual é a força do óleo e cada lado da chapa? F 96 ( ) 9 9, N.
. Ua lâina te a fora de u triângulo retângulo de lados, e. A lâina está iersa verticalente nu líquido de tal fora que a hipotenusa coincide co o nível do líquido. Deterinar a força eercida pelo líquido sobre u lado da lâina se o peso do líquido é 6 N h a b Cálculo de h: A área do triângulo pode ser epressa coo:. h Área: A 6 ou A. Portanto, h 6 h Cálculo de a: a a 9 Cálculo de b: b b 6
Equação da reta que passa por (, ) ( 9, ) Equação da reta que passa por (, ) ( 6, ) Assi teos: F 6 N ( ). A função deanda para u certo produto é dada por p 9 sendo p o preço unitário e reais e a quantidade deandada seanalente. Deterine o ecedente de consuo se o preço de ercado é estabelecido a R$, cada unidade do produto. A figura que segue ostra o gráfico da função deanda e a área que representa o ecedente de consuo. 9 6 CS CS Teos: ( 9 ) d, Resposta: R$,
. U fornecedor de produtos de lipeza estabelece que a quantidade de ercadoria a ser colocada no ercado está relacionada co o preço p, e reais, pela função p. Se o preço de ercado é igual a R$6,, encontrar o ecedente de produção. A figura que segue ostra a área a ser calculada. p 9 6 PS Teos: / / PS (6 Resposta: R$, ) d, 6. A quantidade deandada de u certo produto A está relacionada ao preço unitário p, e reais, por p e a quantidade (e unidades) que o fornecedor está disposto a colocar no ercado está relacionada ao preço unitário p por p. Se o preço de ercado é igual ao preço de equilíbrio, deterine o ecedente de consuo e o ecedente de produção. A figura que segue ilustra o problea
p 9 6 CS PS Teos: Ponto de equilíbrio: ( /,/ ) / ( CS ) d 6,6. / ( PS ) d,96. Estia-se que u investiento gerará renda à taa de R (t) igual a R$., por ano, pelos próios três anos. Deterine o valor presente deste investiento se a taa de juros é de 6% ao ano, copostos continuaente. VP. e,6t dt 9.9,6