Centro de Estudos Matemáticos Florianópolis Professor: Erivaldo Santa Catarina Função Inversa SUPERSEMI 0)(Aman 0) Na figura abaio está representado o gráfico de uma função real do º grau f(). A epressão algébrica que define a função inversa de f() é a) y = + b) y = + c) y = d) y = + e) y = + 0)(Ufsj 0) Considere a função g ( ) =. O domínio de g() e a + função inversa de g() são, respectivamente, a) { R; } e g ( ) = + b) { R; e } e g ( ) = c) { R; } e g ( ) = d) { R; e } e g ( ) = + +
Centro de Estudos Matemáticos 0)(Ufba 0) Determine f (), função inversa de f : R sabendo que f( ) = 6 para todo R { }. { } R, 04)(Udesc 0) Sejam f e g as funções definidas por + 8 f( ) = e g( ) = +. + O conjunto solução da inequação fg ( ( )) + ( g ( )) é: { } { } { } { } { } a) R / < 0 ou b) R / ou 0 < c) R / < 0 ou d) R / 0 < e) R / e 0 05)(Uern 0) Seja f() uma função do primeiro grau que intercepta os eios cartesianos nos pontos (0, 4) e (, 0). O produto dos coeficientes da função inversa de f() é a). b). c) 4. d). -, < 0 06)(Ita 0) Analise se f :R R, f() = +, 0 afirmativo, encontre f :R R. é bijetora e, em caso
Centro de Estudos Matemáticos 07)(Unicamp 0) Uma placa retangular de madeira, com dimensões 0 0 cm, deve ser recortada conforme mostra a figura abaio. Depois de efetuado o recorte, as coordenadas do centro de gravidade da placa (em função da medida w) serão dadas por 400 5w 400 + ( w 0) CG ( w ) = e ycg ( w ) =, 80 w 80 w em que CG é a coordenada horizontal e ycg é a coordenada vertical do centro de gravidade, tomando o canto inferior esquerdo como a origem. a) Defina A(w), a função que fornece a área da placa recortada em relação a w. Determine as coordenadas do centro de gravidade quando A(w) = 50 cm. b) Determine uma epressão geral para w(cg), a função que fornece a dimensão w em relação à coordenada CG, e calcule ycg quando CG = 7/ cm.
Centro de Estudos Matemáticos 08)(Uesc 0) Uma mensagem pode ser codificada de inúmeras maneiras. Se, por eemplo, a cada letra do alfabeto for associado um número inteiro positivo n, considerando-se uma função f( n ), de conhecimento apenas do remetente e do destinatário da mensagem, é possível estabelecer uma forma de codificação. Nesse caso, a função f é usada para codificar e sua inversa f, para decodificar a mensagem. Considerando A =, B=,..., W =, X= 4, Y = 5, Z 6 f n = n+ = e ( ) para codificar a letra U, ao invés de transmitir o número associado a ela, que é, transmite-se a letra associada a f() = 4, que é X. Para decodificar a letra X recebida, observa-se que ela corresponde a 4. Logo, f ( 4) função f( ) log ( ) =, que é U. Admitindo-se, hipoteticamente, que a = +, 0possa ser considerada função-chave para codificação de certo padrão de mensagens, a epressão de sua inversa a ser utilizada na decodificação dessas mensagens é a) ( ) b) ( + ) c) ( + ) d) log ( ) e) log ( ) 09)(Ufpa 008) O custo c de produção de uma peça em função do número n de produtos é dado pela fórmula c(n) = + n A função inversa desta fórmula é a) n = b) n = c) n = d) n = c + c c c + c c
Centro de Estudos Matemáticos 0)(Uft 008) Seja f: ] -, ] [-, [ definida por f() = - 4 + Então a função inversa f - é: a) f - () = - + b) f - () = + c) f - () = - + d) f - () = + + )(Ufsc 006) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 0. Se f() = + a e a função inversa de f é g() = +, então a = -. 0. Se (an) e (bn) são duas progressões aritméticas, então (an + bn) é uma progressão aritmética. 04. A equação 08. 4 4 4 + 4 + ( ) 6. n ( n+ ) + = não tem solução real. = 64 para todo real. = n para todo número inteiro n. )(CFTMG 006) Seja a função definida por f() = ( + )/(4 + ), -/4 e f - = (- + )/(a + b). A soma (a + b) é a) 0 b) c) d) 5
Centro de Estudos Matemáticos )(Ufpb 006) Considere a função f: [0, ] [0, ], definida por: f() =, 0, < A função inversa de f está melhor representada no gráfico: 4)(Uff 005) A relação entre o preço p de determinado produto e a quantidade q disponível no mercado obedece à seguinte lei: 5q = p + p -, sendo p e q quantidades positivas e q [, 9]. Determine uma epressão que defina p em função de q; 5)(CFTCE 004) Considere a função f() = ( - )/( - ), /. Calcule f(f - ()), onde f - () é a lei da função inversa de f. 6)(CFTMG 004) A função inversa da função f() = ( - )/ é a) + b) - c) /( - ) d) ( + )/ 7)(Ufrrj 00) Determine o valor real de a para que f() = ( + )/( + a) possua como inversa a função f - () = ( - )/( - ).
Centro de Estudos Matemáticos 8)(Ufsm 000) Seja f: IR IR uma função definida por f()=m+p. Se f passa pelos pontos A(0,4) e B(,0), então f - passa pelo ponto a) (8, -) b) (8, ) c) (8, -) d) (8, ) e) (8, ) 9)(Ufsc 000) Sejam as funções f() = ( + )/( - ) definida para todo real e e g()=+ definida para todo real.determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S). 0. f(/) = -f() para todo IR - {0, }. 0. O valor de g(f()) é igual a 4/. 04. O domínio da função fog (f composta com g) é D(fog) = IR - {-}. 08. A função inversa da g é definida por g - ()=(-)/. 6. A reta que representa a função g intercepta o eio das abscissas em (-/, 0). 0)(Puccamp 999) Estudando a viabilidade de uma campanha de vacinação, os técnicos da Secretária da Saúde de um município verificaram que o custo da vacinação de por cento da população local era de, aproimadamente, y=00/(400-) milhares de reais. Nessa epressão, escrevendo-se em função de y, obtém-se igual a a) 4/ b) 00y / (400 - y) c) 00y / (400 + y) d) 400y / (00 - y) e) 400y / (00 + y)
Centro de Estudos Matemáticos Gabarito: 0) c 0) c 0) f () = 04) c 05) b 9 + 06) A função inversa de f() será f - () dada por:, para f () =, para < 07) 400 5 0 50 5 (0) = = = cm 80 0 60 6 a) CG e 400 + (0 0) 500 5 y CG(0) = = = cm. 80 0 60 7 b) Quando CG = cm, segue que: 08) a 09) c 0) a ) 07 ) c ) e 400 + (5 0) 45 7 y CG(5) = = = cm. 80 5 50 4) p = - + ( 4 + 5q), com q [, 9] 5) f(f ()) = 6) a 7) a = 8) c 9) 6 0) e
Centro de Estudos Matemáticos Resoluções Questão 0: Seja f :R R a função definida por f() = a + b. O valor inicial de f é a ordenada do ponto de interseção do gráfico de f com o eio y, ou seja, b =. Logo, como o gráfico de f passa pelo ponto (, 0), temos que 0 = a ( ) + a =. Portanto, f() = + e sua inversa é tal que y = + y = ( ) f () =. Questão 0: O domínio da função g é o conjunto de valores de para os quais + 0, ou seja, D = R;. A função inversa de g é tal que y y = = + y + y y = g () =.
Centro de Estudos Matemáticos Questão 0: Fazendo t =, segue que + = t t =. Substituindo por t na lei da função f, vem: + + + f = f() =. + 9 6 Portanto, y+ = y 9 = y+ y 9 y( ) = 9 + 9 + y = = f (). Questão 04: A função inversa de g é dada por g() = + = y + g () =. Desse modo, ( ) + 8 f(g ()) + (g()) + + + + 6 0 4 + 6 0 ( )( + )( + 4) 0. O estudo de sinal da epressão ( )( + )( + 4) é: Portanto, como queremos os valores de para os quais a epressão é positiva ou nula, segue que S = { R < 0 ou }.
Centro de Estudos Matemáticos Questão 05: Seja f() = a + b a lei da função afim cujo gráfico intersecta os eios cartesianos nos pontos (0, 4) e (, 0). Como o gráfico de f intersecta o eio das ordenadas no ponto (0, 4), segue que b = 4. Por outro lado, se (, 0) é o ponto de interseção com o eio das abscissas, então 0 = a + 4 a =. Daí, f() = + 4 e, assim, a lei da função f é tal que = y+ 4 = y + 4 = f () +. Portanto, o produto pedido é igual a =. Questão 06: Observando o gráfico, formado por dois ramos de parábolas, concluímos que: - seu contradomínio é igual ao seu conjunto imagem, logo é sobrejetora. - cada valor y do conjunto imagem é imagem apenas de um valor do domínio, logo é injetora. - Portanto, a função dada é bijetora.
Centro de Estudos Matemáticos Determinando a inversa: Para 0, temos: ( ) f = + ( ) ( ( )) = f f =, para Para < 0, temos: ( ) f = ( ) ( ( )) = f f =, para < Logo, a função inversa de f() será f - () dada por:, para f () =, para < Questão 07: a) A função que fornece a área da placa recortada em relação a w é dada por: A(w) = 0 0 5 w = 00 5w. Assim, quando A(w) = 50cm, temos que: A(w) = 50 00 5w = 50 w 0cm. = Portanto, as coordenadas do centro de gravidade quando A(w) = 50cm são: 400 5 0 50 5 CG(0) = = = cm 80 0 60 6 e 400 + (0 0) 500 5 y CG(0) = = = cm. 80 0 60 b) Temos que: 400 5w CG = 80CG wcg = 400 5w 80 w 5w w = 400 80 CG w(5 ) = 400 80 CG 400 80CG w( CG) =. 5 CG CG CG
Centro de Estudos Matemáticos Logo, 7 400 80 7 7 0 CG = cm w 5cm. = = = 7 5 8 7 Portanto, quando CG = cm, segue que: Questão 08: 400 + (5 0) 45 7 y CG(5) = = = cm. 80 5 50 A inversa de f é dada por y = log ( + ) = + Questão 09: c y y = f () =. Questão 0: a Questão : 07 Questão : c Questão : e Questão 4: p = - + ( 4 + 5q), com q [, 9] Questão 5: f(f ()) = Questão 6: a Questão 7: a = Questão 8: c Questão 9: 6 Questão 0: e